Analiza Matematyczna I

Czym zajmuje się Analiza Matematyczna?

Jedna z możliwych ogólnych odpowiedzi na to pytanie jest następująca: badaniem odpowiednio regularnych funkcji, określonych zwykle na podzbiorach przestrzeni wektorowych (Z pojęciem przestrzeni wektorowej Czytelnik tych notatek zetknie się na wykładach Geometrii z Algebrą Liniową.). Do najważniejszych zagadnień w Analizie należą zatem:

  • sposoby definiowania tych funkcji oraz opis ich własności;
  • badanie różnych typów procesów, które wiążą się z matematycznym opisem ciągłych zmian (przejścia graniczne, różniczkowanie, całkowanie);
  • badanie wielu zastosowań powyższej teorii w innych obszarach, np. w geometrii, fizyce, ekonomii, biologii.

W najprostszym przypadku chodzi o funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Podczas pierwszego roku studiów matematycznych praktycznie nie będziemy się stykać z istotnie bardziej zaawansowanymi działami Analizy.

A jak powstaje typowa teoria matematyczna?

We współczesnej matematyce typowa teoria ma budowę aksjomatyczną. To znaczy, że wprowadzamy pewne pojęcia pierwotne, których nie definiujemy; zakładamy natomiast, że między tymi pojęciami zachodzą pewne określone związki, wyrażone za pomocą aksjomatów (inaczej nazywanych pewnikami). Na tej podstawie budujemy resztę teorii.

Ponieważ mamy zajmować się funkcjami zmiennej rzeczywistej, więc rozpoczniemy cały wykład od podania pojęć pierwotnych i aksjomatów teorii liczb rzeczywistych, oraz omówienia ich najważniejszych konsekwencji.