Analiza Matematyczna I - zadania

Niniejszy dodatek ma na celu zaprezentowanie sytuacji, w których obliczenia komputerowe ułatwiają rozwiązywanie problemów matematycznych. Oczywiście komputer nie może zastąpić człowieka w procesie uzasadniania i dowodzenia różnych twierdzeń matematycznych. Może jednak przeprowadzić za nas żmudne obliczenia i nakierować nas na właściwe rozwiązanie problemu. Niekiedy obserwacja wystarczająco dużej porcji danych eksperymentalnych pozawala wyciągać wnioski natury ogólnej i naprowadza na poprawne rozwiązanie zadania. Zaprezentujemy tutaj przykłady podobnych sytuacji.

Obecnie mamy do dyspozycji wiele narzędzi do prowadzenia obliczeń na komputerach. Są to programy typu CAS - z angielskiego \emph{Computer Algebra System}. W~\cite{CAS-wiki} można znaleźć listę istniejących narzędzi tego typu wraz z podsumowaniem ich możliwości. Wiele z nich jest dostępnych jako wolne oprogramowanie, a funkcjonalność większości jest w~zupełności wystarczająca do naszych zastosowań.

W niniejszym skrypcie będziemy posługiwać się dwoma programami: komercyjnym \emph{Mathematica} oraz wolnym \emph{Maxima}. Program \emph{Mathematica} w wersji 6.0.1.0 jest dostępny dla studentów wydziału MIM w laboratorium komputerowym na maszynie \texttt{students}. Program \emph{Maxima} każdy może sobie zainstalować na własnym komputerze na zasadach wolnego oprogramowania. Warto też wspomnieć o narzędziu~\cite{WolframAlpha} dostępnym za darmo w formie serwisu internetowego. Serwis ten potrafi wykonywać za nas podstawowe operacje matematyczne jak obliczanie granic funkcji, różniczkowanie, całkowanie i wiele więcej.

Skrypt podzielony jest na części, których objętość powinna odpowiadać mniej więcej jednym zajęciom laboratoryjnym. Na początku każdej części podajemy zakres materiału, który dana część obejmuje a także podstawowe polecenia programu \emph{Mathematica}, które w danej części Czytelnik powinien przyswoić. Zazwyczaj nie będziemy komentować treści i składni komend, uważając że przykłady ich praktycznego użycia są same w sobie dostatecznym wyjaśnieniem. Domyślnie wszystkie obliczenia prowadzimy w \emph{Mathematice}\footnote{W wersji 7.0.1.0 dostępnej na wydziale MIM.}. Aby przepisać je do programu \emph{Maxima} należy użyć słownika podanego na początku każdej części. Część poleceń nie posiada swoich odpowiedników, lecz przy odrobinie wysiłku można je samemu zaimplementować. W~zadaniach do~samodzielnego rozwiązania mogą także pojawić się nieopisane nigdzie w skrypcie funkcje. Czytelnik sam będzie musiał znaleźć odpowiednie definicje w dokumentacji dostępnej w internecie~\cite{math-doc} oraz~\cite{maxima-doc}.