W tym rozdziale omówimy pojęcie całki niewłaściwej. Zajmiemy się też dwoma bardzo ważnymi konkretnymi typami takich całek: funkcjami (gamma) i~
(beta) Eulera, które stanowią, odpowiednio, naturalne uogólnienie silni oraz współczynników dwumianowych Newtona na wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie.
Całka niewłaściwa

![]() |
to nazywamy ją całką niewłaściwą funkcji na przedziale
(albo: od
do nieskończoności) i oznaczamy
![]() |
Mówimy wtedy, że całka niewłaściwa na
jest zbieżna. Jeśli granica defniewlas1 nie istnieje, to mówimy, że całka
jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji , a także całkę niewłaściwą takiej funkcji
(odpowiednio,
), która dla każdego
(odpowiednio, każdego
) jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale domkniętym o końcach
.
Spójrzmy na proste przykłady.



![]() |
Jeśli , to granica całek
przy
jest nieskończona, gdyż
dla
. Całka niewłaściwa
jest zatem rozbieżna.
Jeśli , to granica całek
przy
jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja potęgowa
ma granicę skończoną dla
, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy wykładnik
. Dla takich
mamy
![]() |
Dla wszystkich pozostałych całka
jest rozbieżna.



![]() |
Dlatego
![]() |
Z uwagi na parzystość funkcji podcałkowej, mamy także
![]() |
Zatem,
![]() |



![]() |
Istotnie, dla każdego mamy przecież
![]() |
Dlatego lewa strona ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona ma granicę. Zachodzi też równość tych granic, czyli równość dodcalniew.




![]() |
Dowód:
Jeśli jest zbieżna, tzn. istnieje granica
![]() |
to zgodnie z definicją (Cauchy'ego) granicy dla każdego istnieje takie
, że dla wszystkich
jest
. Zatem, dla
jest
![]() |
Na odwrót, załóżmy, że zachodzi warunek podany w twierdzeniu. Niech będzie dowolnym ciagiem zbieżnym do nieskończoności. Warunek Cauchy'ego dla całek jest po prostu warunkiem Cauchy'ego dla ciągu liczbowego
. Zatem, istnieje granica tego ciągu, pewna liczba
.
Ustalmy . Dobierzmy do
liczbę
tak, aby warunek Cauchy'ego dla całek zachodził dla wszystkich
z liczbą
zamiast
po prawej stronie nierówności. Niech
. Wybierzmy
tak, aby
oraz
. Wówczas,
![]() |
Zatem, wprost z definicji granicy dla
.
□
Zajmiemy się teraz nieco bliżej związkiem całek niewłaściwych z szeregami.




![]() |
Jeśli całka jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że jest zbieżna warunkowo. Mówimy wtedy, że
jest warunkowo całkowalna na
.



Dowód:
Stosujemy kryterium całkowalności z Twierdzenia~ [link] i nierówność trójkąta dla całek,
![]() |
Jeśli całki z prawej strony nierówności są (dowolnie) małe dla wszystkich dostatecznie dużych, to i całki z lewej strony są (dowolnie) małe dla wszystkich
dostatecznie dużych.
□
Jest więc podobnie, jak dla szeregów: bezwzględna zbieżność implikuje zwykłą zbieżność. Nie musi być odwrotnie: spójrzmy na klasyczny przykład.








![]() |
jest zbieżna tylko warunkowo, tzn. zbieżna, ale nie bezwzględnie zbieżna.
\begin{figure}[!h]
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Na przedziale jest
.
} \end{figure}
Zacznijmy od rozbieżności całki niewłaściwej z funkcji . Niech
,
. Mamy
![]() |
i dlatego
![]() |
gdyż szereg harmoniczny jest rozbieżny. Zatem całka
jest rozbieżna.
Oznaczmy teraz
![]() |
Aby wykazać zbieżność całki Dirichleta caldir, sprawdzimy najpierw, że szereg liczbowy jest zbieżny. Posłużymy się w tym celu kryterium Leibniza (Wniosek~ [link]). Zauważmy najpierw, że dla każdego
jest
![]() |
To łatwo wynika z monotoniczności całki i faktu, że sinus jest dodatni na przedziałach , a ujemny na przedziałach
. Ponadto, ponieważ w każdej z całek
funkcja podcałkowa ma stały znak, więc dla każdego
jest
![]() |
Skorzystaliśmy tu z okresowości modułu sinusa (środkowa równość) oraz z nierówności
![]() |
Zatem, znaki liczb zmieniają się na przemian, zaś ciąg
jest malejący. Z wypisanych oszacowań wnioskujemy ponadto, że
dla
. Spełnione są więc wszystkie założenia kryterium Leibniza; na mocy tego kryterium szereg
jest zbieżny. Niech
oznacza sumę tego szeregu.
Ustalmy teraz liczbę . Wybierzmy
, tak, aby spełnione były dwa warunki:
![]() |
oraz
![]() |
Niech i
. Wtedy, z własności entier,
. Możemy więc oszacować
![]() |
(Idea jest bardzo prosta: dla dużych całka
różni się bardzo niewiele od odpowiednio dobranej sumy częściowej szeregu całek
).
Otrzymaliśmy więc równość
![]() |
![]() |
Dla funkcji nieujemnych zbieżność całek niewłaściwych można bardzo wyraźnie powiązać ze zbieżnością szeregów. Dla uproszczenia przyjmijmy (przedział całkowania zawsze można tak przesunąć, aby jego koniec znalazł się w zerze).

- Całka niewłaściwa
jest zbieżna.
- Dla każdego rosnącego ciągu liczb nieujemnych
dążącego do
szereg
jest zbieżny.
- Dla pewnego rosnącego ciągu liczb nieujemnych
dążącego do
szereg
jest zbieżny.
Dowód:
(i) (ii). Niech
będzie jakimkolwiek ciągiem rosnącym liczb nieujemnych. Mamy
![]() |
Z warunku (i) wynika, że lewa strona ma skończoną granicę dla . Zatem prawa strona też ma skonczoną granicę, a to oznacza, że ciąg sum częściowych szeregu
jest zbieżny.
(ii) (iii). To jest oczywiste.
(iii) (i). Załóżmy, że szereg
jest zbieżny. Niech
. Z kryterium Cauchy'ego dla szeregów wynika, że istnieje
takie, że dla wszystkich
jest
![]() |
(pamiętajmy, że ). Niech teraz
będą dowolne. Wybierzmy
tak, aby
. Wówczas, dzięki monotoniczności całki,
![]() |
Zachodzi więc warunek Cauchy'ego dla całek niewłaściwych, podany w Twierdzeniu~ [link]. Dlatego całka jest zbieżna.
□
Czytelnik może sprawdzić, że analogiczne twierdzenie zachodzi dla funkcji nieujemnych, które są całkowalne w sensie Riemanna na każdym przedziale skończonym .


- Całka niewłaściwa
jest zbieżna.
- Szereg
jest zbieżny.
Szkic dowodu. Ponieważ jest nieujemna i nierosnąca, więc dla
mamy
![]() |
Sumując takie nierówności względem , łatwo porównujemy (z góry i z dołu, z dokładnością do stałych składników) sumy częściowe
szeregu
z całkami
. Zarówno sumy
, jak i całki
, tworzą ciągi rosnące. Zatem jeden z tych ciągów jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest drugi z nich. (Patrz także rysunek).
□
\begin{figure}[!h]
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Jeśli jest funkcją malejącą np. na
, to dla każdego
jest
![]() |
} \end{figure}






Aby podkreślić związki całek niewłaściwych z szeregami, sformułujemy jeszcze dwa kryteria zbieżności takich całek.










Dowód pozostawiamy zainteresowanemu Czytelnikowi. Jest nietrudny i bardzo podobny do dowodu kryterium porównawczego dla szeregów.
Podamy też odpowiednik kryterium Abela i Dirichleta. W tym celu najpierw wykażemy pomocnicze twierdzenie o wartości średniej dla całek.

- Załóżmy, że
i
. Wówczas istnieje taki punkt
, że
- Załóżmy, że
, a ponadto
jest funkcją monotoniczną. Wówczas istnieje taki punkt
, że
Dowód:
Najpierw udowodnimy pierwszy punkt. Ponieważ , więc dla każdego
mamy
. Dlatego, z monotoniczności całki,
![]() |
Jeśli , to
i jako
można wybrać dowolny punkt przedziału
. Jeśli
, to liczba
![]() |
należy do przedziału , a więc na mocy własności Darboux jest wartością funkcji
w pewnym punkcie
. To kończy dowód punktu pierwszego.
Aby wykazać drugą część twierdzenia, połóżmy dla
. Funkcja
znika dla
i jest funkcją pierwotną
.
Dla ułatwienia załóżmy, że jest funkcją klasy
i
(wpp. można
pomnożyć przez
). Całkując przez części, otrzymujemy
![]() |
Niech teraz będzie dowolną funkcją ciągłą monotoniczną. Znajdziemy ciąg wielomianów
zbieżny do
jednostajnie na
. Można bez zmniejszenia ogólności zakładać, że każdy z wielomianów
jest monotoniczny na
. (To nietrudno wywnioskować np. z faktu, że wielomiany Bernsteina funkcji
zależą w sposób monotoniczny od
). Zatem, dla każdego
istnieje
takie, że
![]() |
Ciąg nie musi wprawdzie być zbieżny, lecz ma podciąg zbieżny; przyjmiemy więc, żeby nie komplikować oznaczeń, że
jest po prostu zbieżny. Przechodząc w powyższej równości do granicy
i korzystając z Twierdzenia~ [link] (o przejściu do granicy pod znakiem całki), żeby wykonać przejście graniczne po lewej stronie, otrzymujemy tezę punktu drugiego w ogólnym przypadku (bez założenia różniczkowalności
).
Dowód całego twierdzenia jest zakończony.
□
![]() |
są ciągłe, a ponadto:
- Funkcja
jest monotoniczna i ma granicę równą zero dla
.
- Istnieje taka liczba
, że dla wszystkich
jest
Wówczas całka
![]() |
jest zbieżna.
Dowód. Sprawdzimy, że spełniony jest warunek Cauchy'ego dla całek niewłaściwych. Ustalmy i dobierzmy
tak, aby mieć
dla wszystkich
. Z drugiego twierdzenia o wartości średniej wnioskujemy, że dla dowolnych
znajdzie się punkt
taki, że
![]() |
(Skorzystaliśmy po prostu z nierówności trójkąta dla sumy. Obie całki z szacują się przez
, a wartości
w punktach
- przez
; są dwa takie składniki).
□
- Z tego kryterium raz jeszcze można wywnioskować zbieżność całki Dirichleta
Oczywiście można ograniczyć się do badania funkcji podcałkowej na
. Funkcja
jest na tym przedziale ciągła i monotonicznie maleje do zera, natomiast
dla wszystkich
.
\begin{figure}[!h]
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Funkcje Fresnela
Czarny kolor odpowiada funkcji
, gdyż
,
(skale na osiach są różne).
} \end{figure}
- Całki Fresnela
są zbieżne, choć funkcje podcałkowe nie mają w ogóle granicy w nieskończoności! Znów, sprawdzimy, co się dzieje na przedziale
. Zamieniając zmienne (
), otrzymujemy
Funkcja
jest monotoniczna i ma w nieskończnoności granicę 0. Ograniczoność całek sinusa na dowolnym przedziale sprawdziliśmy wyżej. Tak samo można postąpić z drugą całką. (Tempo zbieżności obu całek jest powolne).
\subsection*{Całki niewłaściwe na przedziale skończonym}
Z bardzo podobną sytuacją mamy do czynienia, gdy funkcja jest ciągła (lub ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna) na każdym przedziale
, gdzie
, ale nie można jej przedłużyć do funkcji ciągłej (odpowiednio: ograniczonej i całkowalnej w sensie Riemanna) na
, gdyż np.
ma w
granicę nieskończoną, lub w ogóle nie ma granicy w punkcie
, ani nie jest ograniczona w żadnym otoczeniu tego punktu. Mówimy wtedy, że całka niewłaściwa
jest zbieżna, gdy istnieje skończona granica
![]() |
Jeśli ta granica nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
![]() |
jest zbieżna dla i rozbieżna dla
. Istotnie, mamy
![]() |
Gdy , to
dla
. Dla
zbieżność rozpatrywanej całki jest równoważna istnieniu skończonej granicy
przy
, tzn. dodatniości wykładnika
.
□
Badając zbieżność całek niewłaściwych z nieograniczonych funkcji nieujemnych na przedziale ograniczonym, wolno oczywiście posługiwać się kryterium porównawczym: jeśli dla pewnej stałej
i wszystkich
, to ze zbieżności całki
wynika zbieżność całki
i na odwrót, z rozbieżności całki z funkcji
na
wynika rozbieżność całki z
na tym przedziale.
![]() |
jest rozbieżna. Istotnie, na
, gdy
jest dostatecznie małą liczbą (wystarczy np. wziąć
; Czytelnik zechce to sprawdzić). Dlatego
i funkcja podcałkowa jest nie mniejsza od
, zaś całka z tej ostatniej funkcji,
jest oczywiście rozbieżna.
![]() |
interpretując każdą całkę jako całkę niewłaściwą i przyjmując, że
![]() |
Podobnie postępujemy z całkami niewłaściwymi na przedziałach skończonych: stosujemy odpowiedni wzór nie na , tylko na mniejszym przedziale
, a następnie przechodzimy do granicy
.
Przy pewnej dozie ostrożności można po prostu całkować przez części i przez podstawienie praktycznie tak samo, jak dla zwykłych całek oznaczonych. Spotkamy się kilkakrotnie z taką sytuacją w następnym podrozdziale.
Funkcje
i 
Nietrudno przekonać się, że definicja jest poprawna, tzn. całka jest zbieżna dla każdego parametru . Istotnie, ponieważ
dla
, więc
![]() |
Dla i
jest też
![]() |
(porównujemy funkcję z
-tym wyrazem jej szeregu potęgowego, a następnie korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie
). Dlatego
![]() |
Całka określająca funkcję gamma jest sumą całek gamma-lewo i gamma-prawo, więc jest zbieżna.

![]() |
Dowód:
Liczbę wyznaczamy wprost z definicji (patrz także Przykład~ [link]):
![]() |
Całkując przez części, sprawdzamy, że
![]() |
Otrzymaliśmy więc Gamma1. Równość Gamma2 łatwo udowodnić przez indukcję: dla wzór Gamma2 zachodzi, i jeśli
, to
.
□
Widzimy więc, że funkcja jest jednym z możliwych przedłużeń funkcji
ze zbioru liczb naturalnych na liczby dodatnie. Oczywiście wszystkich takich przedłużeń jest nieskończenie wiele. Funkcję
wyróżnia spośród nich jedna własność: okazuje się, że
jest funkcją wypukłą. Wyjaśnijmy ten fakt możliwie starannie.





Równoważnie, jest logarytmicznie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych
oraz
zachodzi nierówność
![]() |
Logarytmując tę nierówność stronami, co wolno zrobić, gdyż jest funkcją rosnącą, otrzymujemy nierówność Jensena dla funkcji
(patrz Definicja~ [link]).
Dowód:
Suma funkcji wypukłych jest wypukła. Dlatego, jeśli jest funkcją wypukłą dla
, to
też jest funkcją wypukłą.
□
Logarytmiczną wypukłość funkcji można sprawdzić na kilka sposobów. My przypomnimy w tym celu nierówność H\"{o}ldera dla sum skończonych, a następnie wyprowadzimy z niej łatwy wniosek: nierówność H\"oldera dla całek. Jak pamiętamy (patrz Twierdzenie~ [link]), jeśli
i
, to dla dowolnych
oraz
jest
![]() |
Łatwo stąd otrzymać



![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)
![]() |
Szkic dowodu. Z nierówności H\"{o}ldera dla sum wynika, że dla każdego podziału odcinka
i punktów pośrednich
jest \begin{multline*} \biggl|\sum_{i=1}^n f(s_i)g(t_i)\Delta t_i\biggr|\le \sum_{i=1}^n |f(s_i)|(\Delta t_i)^{1/p}\cdot |g(s_i)|(\Delta t_i)^{1/q}\\ \le \biggl(\sum_{i=1}^n |f(s_i)|^p\cdot \Delta t_i\biggr)^{1/p} \biggl(\sum_{i=1}^n |g(s_i)|^q\cdot \Delta t_i\biggr)^{1/q}\, , \end{multline*} gdzie
dla
. Z takich nierówności dla sum całkowych otrzymujemy po przejściu granicznym nierówność H\"o{ldera dla całek.
□

Dowód:
Ustalmy i liczbę
. Posłużymy się nierównością H\"oldera z wykładnikami
i
. Wtedy
,
i warunek
jest spełniony. Prosty rachunek daje
![]() |
Dowód jest zakończony.
□

- Najpierw trzeba sprawdzić, że suma (dwóch) funkcji logarytmicznie wypukłych jest logarytmicznie wypukła. Można w tym celu skorzystać z kryterium wypukłości funkcji ciągłych podanego w Twierdzeniu~ [link]. Przez indukcję wynika stąd, że suma
funkcji logarytmicznie wypukłych jest logarytmicznie wypukła.
- Następnie, sprawdza się, że sumy całkowe Riemanna,
przybliżające całkę
są funkcjami logarytmicznie wypukłymi zmiennej
.
- Łatwo jest wykazać, że granica punktowo zbieżnego ciągu funkcji logarytmicznie wypukłych jest logarytmicznie wypukła. Stąd i z logarytmicznej wypukłości sum Riemanna wnioskujemy najpierw o logarytmicznej wypukłości całek
, a następnie - logarytmicznej wypukłości funkcji
.
Zainteresowany Czytelnik zechce samodzielnie uzupełnić wszystkie szczegóły takiego rozumowania.
Okazuje się, że własność Gamma1 funkcji , połączona z jej logarytmiczną wypukłością, jednoznacznie identyfikuje tę funkcję.






Dowód:
Krok 1. Ponieważ i
, więc po pierwsze
dla każdego
, po drugie zaś funkcja
jest jednoznacznie wyznaczona przez swoje wartości na odcinku
. Podobną własność ma funkcja
: warunek Gamma1 pozwala wyznaczyć jej wszystkie wartości, jeśli znamy
dla
. Dlatego wystarczy sprawdzić, że
![]() |
Krok 2. Ustalmy . Skorzystamy teraz z logarytmicznej wypukłości
. Niech
będzie dowolne. Ponieważ
jest funkcją wypukłą, więc na mocy Twierdzenia~ [link] o monotoniczności ilorazów różnicowych otrzymujemy
![]() |
Upraszczając te wyrażenia z wykorzystaniem warunku , a następnie mnożąc obie strony przez
, otrzymujemy
![]() |
Przeto
![]() |
stąd zaś
![]() |
Jednak . Podstawiając tę równość wyżej, otrzymujemy przybliżenie
z góry i z dołu:
![]() |
Ponieważ takie nierówności zachodzą dla każdego , więc możemy po lewej stronie zastąpić
przez
. Zatem \begin{align*} \Gamma_{n}(x):=\frac{n!\cdot n^x}{(x+n)\cdot\ldots (x+1)x} \le f(x)&\le \frac{(n-1)!\, n^x}{(x+n-1)\cdot \ldots \cdot(x+1)x }\\ &= \frac{n!\cdot n^x}{(x+n)\cdot\ldots (x+1)x} \cdot \frac {x+n}n=\Gamma_n(x)\, \cdot \frac {x+n}n. \end{align*} Równoważnie, dla
i
liczba
spełnia
![]() |
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach, granica dla
istnieje i jest równa
. Otrzymaliśmy więc konkretny wzór na funkcję
:
![]() |
Jednak funkcja też spełnia założenia twierdzenia i dlatego musi wyrażać się tym samym wzorem. Zatem
na przedziale
, a więc (jak stwierdziliśmy wczesniej) także na całym zbiorze liczb dodatnich.
□
Analizując powyższy dowód, nietrudno stwierdzić następujący fakt.
Dowód:
Ponieważ
![]() |
więc jeśli granica w prodGamma istnieje dla liczby , to istnieje także dla
. Widać także, że
spełnia tożsamość
. Widzieliśmy już, że
dla
. Z równości
i
wynika, że prodGamma zachodzi dla wszystkich
.
□

Dowód:
Stosujemy poprzedni wniosek;
![]() |
na mocy wzoru Wallisa (patrz Twierdzenie~ [link]).
□
Jak widać, w ostatnim dowodzie obliczamy po prostu granicę pewnego konkretnego ciągu. Jednak interpretacja tej granicy - tzn. umiejętność zauważenia jej związku z funkcją z jednej strony i ze wzorem Wallisa z drugiej strony - wymaga solidnej znajomości rachunku całkowego.
![]() |
jest zbieżna i równa .
Dowód:
Sprawdźmy najpierw zbieżność całki. Dla jest
, więc
![]() |
Przez symetrię,
![]() |
Stąd już wynika zbieżność rozważanej całki (na przedziale funkcja
jest ciągła). Ponadto, dokonując na przedziale
zamiany zmiennych
,
, otrzymujemy
![]() |
To jest żądany wynik.
□
Zamieniając zmienne (,
) w równości
, otrzymujemy
![]() |
Funkcja nazywa się gęstością standardowego rozkładu normalnego. Czytelnik spotka ją na studiach wielokrotnie, na zajęciach z Rachunku Prawdopodobieństwa i ze Statystyki, a także w opisie rozwiązań równania przewodnictwa cieplnego.
Teraz zdefiniujemy funkcję (beta Eulera) i omówimy związek, łączący
i
.
Zauważmy, że całka jest zbieżna dla wszystkich
. Dla
funkcja podcałkowa jest po prostu ciągła na
. Dla pozostałych
piszemy
![]() |
W pierwszej całce osobliwość jest tylko w zerze. Mamy
![]() |
Rozpatrywanie drugiej całki sprowadzamy do powyższego, zamieniając zmienne:
![]() |
zatem
![]() |
dla wszystkich (szacujemy jak poprzednio, zamieniając
i
rolami).




Szkic dowodu. O równości przekonujemy się łatwo, dokonując zamiany zmiennych
. Logarytmicznej wypukłości
dowodzi się tak samo, jak logarytmicznej wypukłości funkcji
- korzystając z nierówności H\"{o}ldera. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi jako zadanie.
□
![]() |
Uwaga. Wzór podstGB bywa nazywany podstawowym związkiem między funkcjami i
.
Dowód:
Najpierw sprawdzimy wzory beta2 i beta3. Ustalmy liczby . Dodając całki, otrzymujemy \begin{multline*} B(a+1,b)+B(a,b+1)=\int_0^1 \Bigl(t^{a}(1-t)^{b-1}+t^{a-1}(1-t)^{b}\Bigr)\, dt \\ = \int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\Bigl(t+(1-t)\Bigr)\, dt = B(a,b)\, . \end{multline*} To jest wzór beta2. Aby sprawdzić beta3, całkujemy najpierw przez części, zauważając, że funkcja
ma granicę równą zero zarówno dla
, jak i dla
. Dlatego w poniższym rachunku można zaniedbać wartości funkcji na końcach przedziału:
![]() |
Zatem,
![]() |
lub równoważnie . To jest wzór beta3.
Zajmijmy się teraz wzorem podstGB. Ustalmy . Niech
![]() |
Ponieważ iloczyn funkcji logarytmicznie wypukłych jest funkcją logarytmicznie wypukłą, więc jest logarytmicznie wypukła. Mamy
![]() |
Wreszcie, dzięki znanym już własnościom funkcji i
,
![]() |
Zatem funkcja spełnia założenia Twierdzenia~ [link], charakteryzującego funkcję
. Mamy więc
![]() |
Ponieważ było w całym rozumowaniu dowolne, więc dowód jest zakończony.
□



![]() |
Aby obliczyć ostatnią całkę, dokonajmy zamiany zmiennych . Zmiennej
odpowiadają wartości
; jest
, a ponadto
![]() |
Dlatego
![]() |
(Jak widać, w ostatnim kroku obliczamy tę samą całkę, którą trzeba obliczyć, żeby wyznaczyć długość półokręgu o promieniu równym 1. To świadczy o tym, że całki niewłaściwe służą nie tylko do teoretycznych rachunków, ale także pojawiają się w prostych i naturalnych zagadnieniach geometrycznych).
Wzór iloczynowy Weierstrassa i kilka innych własności funkcji 
Zasadniczym celem tego i następnego podrozdziału jest po pierwsze uzyskanie pewnej liczby ciekawych wzorów, po drugie zaś - i to jest cel ważniejszy - przekonanie Czytelnika, że funkcjami, które są zdefiniowane jako całki zależne od parametru, lub granice wyrażeń zależnych od parametru, można operować niemal tak samo, jak dobrze znanymi funkcjami elementarnymi, prowadząc swobodnie najróżniejsze obliczenia.
To ilustracja tego, jaką rolę odgrywa w analizie pojęcie granicy i twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych oraz własnościach szeregów potęgowych. Cały ten aparat, łącznie z prostymi elementami rachunku różniczkowego, będzie obecny w dowodach i obliczeniach, jakie niżej przeprowadzimy. Tekst byłby znacznie krótszy, gdyby nie wyjaśniać, dlaczego można wykonać poszczególne kroki we wzorach, które z formalnego punktu widzenia są dość jasne.
Funkcja , ważna w analizie, znakomicie się nadaje do przeprowadzenia takiej ilustracji. Zbieżność jednostajną ciągów i szeregów funkcyjnych oraz własności takich ciągów i szeregów wprowadza się i bada między innymi właśnie po to, żeby móc bez przeszkód operować funkcjami zdefiniowanymi w sposób nieelementarny.

![]() |
gdzie oznacza tzw. stałą Eulera, tzn.
![]() |
Dowód:
Dokonamy prostych przekształceń wzoru prodGamma, uzyskanego we Wniosku~ [link]. Mamy
![]() |
Zauważmy teraz, że ciąg ma granicę skończoną. Istotnie, nietrudno zauważyć, że dla
jest
![]() |
Zatem jest ciągiem rosnącym; ponadto, dzięki monotoniczności
, zachodzi nierówność (Czytelnik zechce porównać ten argument z dowodem całkowego kryterium zbieżności szeregów, patrz Twierdzenie~{krytcalkszer) i towarzyszący mu rysunek - to takie samo rozumowanie!}
![]() |
Dlatego ciąg jest zbieżny; liczba
nazywa się stałą Eulera lub stałą Eulera-Mascheroniego. Możemy więc skorzystać we wzorze prodG2 z twierdzenia o granicy iloczynu ciągów zbieżnych i napisać
![]() |
(Zauważmy: ostatnia granica istnieje, bo istnieje granica pierwszego czynnika, równa oraz granica iloczynu obu czynników.)
□

![]() |
Dowód:
Raz jeszcze wykorzystujemy wzór prodGamma. Rozszerzając ułamek tak, aby zauważyć wyrażenie , otrzymujemy
![]() |
gdyż
![]() |
W ostatnim wyrażeniu we wzorze prelegendre mamy granicę trzech czynników. Pierwszy z nich, dla
- por. wzór prodGamma. Drugi czynnik, rozważany już wcześniej w dowodzie Wniosku~ [link], na mocy wzoru Wallisa ma granicę
. Ostatni czynnik,
, ma granicę 2. Dlatego
![]() |
Ta obserwacja kończy cały dowód.
□
Dotychczas rozważaliśmy funkcję tylko dla
. Definicja
jako całki niewłaściwej
ma sens tylko dla takich
. Gdy
, całka jest rozbieżna, z uwagi na zachowanie funkcji podcałkowej w pobliżu zera.
Wiemy już jednak (patrz Wniosek~ [link]), że
![]() |
Przypomnijmy: aby wykazać tę równość, skorzystaliśmy z tego, że granica istnieje dla oraz z równości Gnx1Gnx:
![]() |
Podstawmy . Otrzymamy
![]() |
Wzór określający ma sens dla wszystkich
. Dlatego z powyższej równości wynika, że jeśli
i
ma granicę dla
, to
też ma granicę dla
. Wiemy już jednak, że granica
istnieje dla wszystkich
i jest równa funkcji
. Dlatego następująca definicja jest poprawna i pozwala rozszerzyć funkcję
na cały zbiór
.



![]() |
Dla definicja ta jest równoważna wcześniejszej, wykorzystującej wzór defGamma.
Uwaga. W istocie, funkcję można zdefiniować tak, jak wyżej (albo wzorem iloczynowym Weierstrassa) dla wszystkich zespolonych
. Nie będziemy jednak badać zachowania
dla argumentów spoza prostej rzeczywistej.
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Wykres funkcji , tzn. zbiór punktów
w
, gdzie
,
. Widoczne są osobliwości (tzw. bieguny) funkcji
w punktach
. Kolor powierzchni odpowiada argumentowi liczby
.
} \end{figure}


□
Ponieważ w dowodzie wzoru iloczynowego Weierstrassa i wzoru Legendre'a korzystaliśmy jedynie z istnienia granicy oraz z ciągłości funkcji wykładniczej, więc oba te wzory zachodzą dla wszystkich
z wyjątkiem liczb całkowitych niedodatnich.


![]() |


Dowód:
Dla mamy
wobec definicji defGamma (gdyż
jest całką dodatniej funkcji na niezerowym przedziale). Na mocy wzoru Weierstrassa dla
, dzięki ciągłości logarytmu naturalnego, jest
![]() |
Zauważmy: mamy pewność, że ostatni szereg jest zbieżny, gdyż zbieżny był iloczyn nieskończony występujący we wzorze Weierstrassa.
Sprawdzimy teraz w standardowy sposób, że jest różniczkowalna w sposób ciągły na
. Wystarczy w tym celu sprawdzić, czy szereg pochodnych, otrzymany przez różniczkowanie szeregu w logGamma wyraz po wyrazie, jest jednostajnie zbieżny na każdym przedziale
, gdzie
. Po zróżniczkowaniu otrzymujemy szereg o wyrazach
![]() |
Jeśli , to
![]() |
Z kryterium Weierstrassa wynika zatem jednostajna zbieżność szeregu na każdym przedziale
, a z twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych - równość
![]() |
i ciągłość na
. Oczywiście
też jest klasy
na przedziale
. Dla
,
różniczkowalność
i ciągłość jej pochodnej
w punkcie
wynika łatwo z tożsamości
.
□
Korzystając ze wzorów Weierstrassa i Legendre'a wykażemy teraz dość prosty (choć dla niewtajemniczonych zupełnie nieoczekiwany) związek między funkcją i sinusem. Okazuje się, że zachodzi następujące twierdzenie.
Dowód:
Plan postępowania jest następujący. Sprawdzimy, że funkcję można dookreślić w punktach
tak, aby otrzymać funkcję okresową klasy
, o okresie 1. Wzór Legendre'a pozwoli wypisać pewne równanie funkcyjne na
. W końcówce sprawdzimy, że z tego równania wynika łatwo, że
jest funkcją stałą (bo ma pochodną zero). Oto szczegóły.
Krok 1. Funkcja jest okresowa i ma okres równy
. Istotnie, niech
![]() |
Dzięki równościom oraz
, otrzymujemy dla
związki
![]() |
Stąd oczywiście .
Krok 2. Dla każdego zachodzi tożsamość
![]() |
Aby się o tym przekonać, skorzystamy (dwa razy: dla i
) ze wzoru Legendre'a:
![]() |
Krok 3. Istnieje granica
![]() |
Istotnie,
![]() |
Wiemy jednak, że jest ciągła w
,
i
dla
. Stąd już wynika równość limfi0.
Krok 4. Funkcję można przedłużyć do dodatniej funkcji klasy
, mającej okres
. Będziemy tę funkcję oznaczać nadal tą samą literą.
Wystarczy po prostu przyjąć
![]() |
Z okresowości na
oraz limfi0 wynika, że ta granica istnieje i jest równa 1 dla każdego
. Otrzymana funkcja jest różniczkowalna w punktach
, a jej pochodna
jest na
ciągła, gdyż
i
są na tym zbiorze różniczkowalne w sposób ciągły. Ciągłość
w punktach
i jej okresowość na
wynika wprost z definicji.
Pozostaje sprawdzić istnienie i ciągłość w punktach całkowitych. Korzystając (jak wyżej) z tożsamości
, a następnie rozwijając w szereg potęgowy funkcję
, piszemy
![]() |
Ostatni wzór ma sens dla wszystkich . Każdy z trzech czynników prawej strony jest na tym przedziale funkcją różniczkowalną w sposób ciągły (korzystamy z własności
i z twierdzenia o pochodnej sumy szeregu potęgowego). Dlatego
istnieje i
jest ciągła w zerze. Dzięki okresowości,
.
Krok 5. Jest . Istotnie, różniczkując prawą stronę wzoru phitrzyczyn, otrzymujemy ze wzoru na pochodną iloczynu
![]() |
(pochodna szeregu potęgowego w phitrzyczyn znika w zerze, gdyż nie ma wyrazu liniowego).
Krok 6. Wykażemy, że
![]() |
jest funkcją stałą, równą zero.
Funkcja ma okres 1 i jest ciągła. Osiąga zatem swój kres górny
![]() |
w pewnym punkcie . Z polpolphi po zlogarytmowaniu, a następnie po zróżniczkowaniu otrzymujemy
![]() |
Zatem
![]() |
Nierówność oczywiście nie może być ostra. Dlatego, w szczególności, . Przez indukcję
. Stąd
![]() |
Z drugiej strony,
![]() |
Przeto, .
W pełni analogiczne rozumowanie pozwala sprawdzić, że . Dlatego
, tzn.
. Stąd już
.
□

![]() |
Dowód:
Sprawdziliśmy, że
![]() |
Stąd i z równości dla
wynika teza wniosku.
□
Uwaga. Wzór dop ma sens także w punktach . Wystarczy umówić się, że
w punktach
i
. Co więcej, można sprawdzić (co wykracza poza ramy tego wykładu) że przy takiej umowie obie strony mają sens dla wszystkich punktów płaszczyzny zespolonej i są funkcjami analitycznymi zmiennej zespolonej na całej płaszczyźnie.
Mówiąc nieformalnie, powyższy wzór pozwala patrzeć na funkcję tak, jakby była wielomianem o nieskończonej liczbie miejsc zerowych w punktach całkowitych, równym (nieskończonemu) iloczynowi czynników
(znikających w punktach
,
) oraz czynnika
. Podobne przedstawienia funkcji w postaci iloczynów nieskończonych, zawierających czynniki liniowe, znikające tam, gdzie dana funkcja ma zera, odgrywają ważną rolę w analizie zespolonej.
Dowód Wniosku~ [link] pozostawimy jako zadanie, łatwe przy obecnej wiedzy Czytelnika. Trzeba skorzystać ze wzoru na dopełnienie podanego w poprzednim wniosku i wyrazić funkcję wzorem iloczynowym Weierstrassa~ [link], biorąc
.


![]() |
Dla dostajemy stąd
.
□
Rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych
Z rozważań poprzedniego rozdziału wyprowadzimy teraz tożsamość, jaką spełnia funkcja w punktach
, a następnie zastosujemy tę tożsamość do obliczenia sum szeregów
![]() |
Dowód:
Niech . Mamy
![]() |
Dlatego na zbiorze szereg w ctgszereg określa funkcję ciągłą (korzystamy z kryterium Weierstrassa). Z dowolności
wynika, że wzór ctgszereg ma sens na
.
Oznaczmy
![]() |
Nietrudno sprawdzić, że dla jest \begin{align*} S_N(x+1)&= \frac{1}{x+1} + \frac 1{(x+1)+N}+\frac 1{(x+1)+N-1} +\cdots+ \frac{1}{(x+1)+1}\\ &\phantom{= \frac{1}{x+1} + \frac 1{(x+1)+N}}{}+\frac 1{(x+1)-1}+\frac 1{(x+1)-2}+\cdots+\frac{1}{(x+1)-N}\\ &= S_{N-1}(x)+ \frac{1}{x+N+1}+\frac{1}{x+N}\, . \end{align*} Dlatego
. Prawa strona ctgszereg jest więc na
funkcją okresową o okresie 1. Lewa strona ctgszereg też ma tę własność. Dlatego wystarczy sprawdzić równość z tezy dla
.
Wobec Wniosku~ [link] i nierówności , która zachodzi dla
, możemy dla takich
napisać
![]() |
Szereg po prawej stronie jest zbieżny. (Można to sprawdzić bezpośrednio, ale można też po prostu odwołać się do udowodnionego już Wniosku~ [link] Pochodna lewej strony jest równa . Różniczkując prawą stronę wyraz po wyrazie, otrzymujemy
![]() |
Korzystając z wykazanej wcześniej jednostajnej zbieżności tego szeregu oraz twierdzenia o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, kończymy dowód.
□
![]() |
tzn. wartości w liczbach naturalnych parzystych funkcji dzeta Riemanna, wspomnianej przelotnie w Przykładzie~ [link].
Trzeba w tym celu dwoma sposobami rozwinąć funkcję
![]() |
w szereg potęgowy wokół zera i porównać otrzymane współczynniki. (Zauważmy, że jest ciągła w zerze).
Posługując się Twierdzeniem~ [link], wzorem na sumę szeregu geometrycznego i Lematem~ [link] o zmianie kolejności sumowania, otrzymujemy
![]() |
(przechodząc do ostatniej linijki, zmieniliśmy kolejność sumowania, a następnie wprowadziliśmy nowy indeks ).
Aby uzyskać rozwinięcie w szereg inną metodą, wykorzystamy wiedzę o funkcjach trygonometrycznych i funkcji wykładniczej, oraz ich związek, określony w Definicji~ [link]. Otóż,
![]() |
Zauważmy, że funkcja
![]() |
jest dobrze określona na zbiorze . To wynika z faktu, że
nie ma osobliwości w zerze, a funkcja wykładnicza przyjmuje wartość
tylko w punktach
, gdzie
(patrz Wniosek~ [link]).
Sprawdzimy teraz, że
![]() |
gdzie współczynniki spełniają zależność
![]() |
Istotnie, pierwsza równość zez1 jest równoważna innej,
![]() |
Przechodząc do drugiej linii, wypisaliśmy iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów. Równość defmalebk wynika z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy i porównania współczynników. Wypada się tylko upewnić, że szereg potęgowy ma dodatni promień zbieżności. (To wynika z ogólnego twierdzenia, orzekającego, że jeśli
jest nieznikającą funkcją analityczną zmiennej rzeczywistej lub zestolonej, to
też jest funkcją analityczną. Nie dowodziliśmy jednak tego twierdzenia. Dlatego wskażemy prosty argument, dostosowany do rozważanego przypadku.) Jednak z defmalebk otrzymujemy
,
, a następnie
![]() |
Łatwo wykazać przez indukcję, że . Istotnie, dla
teza zachodzi, a z nierówności trójkąta i założenia indukcyjnego
dla
otrzymujemy
![]() |
Zatem promień zbieżności szeregu, występującego we wzorze zez1, spełnia zależność
, tzn.
. Podstawiając rozwinięcie zez1 do wzoru tworzaca-ctg, otrzymujemy
![]() |
Jednak lewa strona jest parzystą funkcją zmiennej . Dlatego
dla wszystkich
(pochodne nieparzystego rzędu funkcji parzystej są funkcjami nieparzystymi, a więc znikają w zerze). Możemy zatem napisać
![]() |
%
![]() |
gdzie
![]() |
Liczby nazywają się liczbami Bernoullego. Można je wyznaczać rekurencyjnie, korzystając z zależności defmalebk. Porównując prawe strony wzorów szerctgzeta i szerber, otrzymujemy
![]() |
Oba szeregi mają dodatni promień zbieżności; wobec jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy,
![]() |
Ten wzór znał około 1750 roku Leonard Euler. Wyznaczył zeń wartości dla
, obliczając odpowiednie liczby Bernoullego. My zauważmy, że
![]() |
Jest także
![]() |
Na tych dwóch wzorach poprzestaniemy, zamieszczając tabelkę z wartościami dla
, którą program Mathematica produkuje, zużywając około
sekundy.
Warto podkreślić, że o liczbach wiadomo znacznie mniej. Dopiero w 1978 roku niewymierność
wykazał Roger Ap\'{e}ry. Wśród liczb
,
, jest nieskończenie wiele liczb niewymiernych, ale tożsamości podobne do tozeuler nie są znane.
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Liczby . Tabelkę wykonano w programie Mathematica, korzystając z wbudowanej funkcji \texttt{BernoulliB[
]}.
} \end{figure}