Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli - zgodnie z powyższą definicją - funkcje . Wartości takiej funkcji w kolejnych liczbach naturalnych nazywa się wyrazami ciągu i oznacza
![]() |
Zarówno na wykładzie, jak i na ćwiczeniach spotkamy wielokrotnie ciągi zdefiniowane w różny sposób: przez podanie ogólnego wzoru na -ty wyraz, np.
dla
, albo przez określenie rekurencyjnej reguły, która pozwala obliczyć następny wyraz ciągu, gdy znane są wyrazy o wcześniejszych numerach, np.
![]() |
(nawiasem: ciąg nazywa się ciągiem Fibonacci'ego).
Ciągi służą matematykowi m.in. do tego, żeby nowe, nieznane jeszcze liczby rzeczywiste przybliżać liczbami prostszymi, już oswojonymi - np. liczbami wymiernymi. Bywa i na odwrót: znamy jakiś ciąg liczb, wyrażony skomplikowanym wzorem lub regułą, a chcemy powiedzieć coś względnie prostego i jasnego o zachowaniu dalekich wyrazów ciągu. Aby robić jedno i drugie w sposób możliwie ścisły, wprowadza się fundamentalne w całej Analizie pojęcie granicy ciągu. Zanim je wprowadzimy, przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej.

![]() |
Interpretacja wartości bezwzględnej, z którą będziemy nieustannie mieć do czynienia, jest następująca: to odległość liczby (punktu)
od
na prostej rzeczywistej, a
to odległość punktów
i
.

![]() |
Dowód:
Sprawdzenie przypadków, gdy obie liczby są tego samo znaku lub co najmniej jedna z nich jest zerem, jest łatwe. W nierówności trójkąta zachodzi wtedy równość. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.
Pozostaje wykazać nierówność dla (przypadek
jest w pełni analogiczny, wystarczy zamienić
i
rolami). Prawa strona nt, którą oznaczymy
, jest wtedy równa
. Lewa strona,
, jest równa
lub
.
Jeśli , to nierówność
jest równoważna temu, że
, czyli temu, że
, a wiemy, że ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż
.
Jeśli natomiast , to nierówność
jest równoważna temu, że
, czyli temu, że
, a wiemy, że ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż
.
Granica ciągu i jej podstawowe własności






![]() |
Pozwólmy sobie na nieformalny komentarz. Warunek z definicji należy rozumieć tak: jakkolwiek małą liczbę weźmiemy, można będzie wskazać taką liczbę
, odpowiednio dobraną do
, że wszystkie wyrazy ciągu
o numerach większych od
będą się różnić od liczby
- granicy ciągu - mniej niż o
. Mówiąc inaczej, liczba
określa żądany poziom dokładności przybliżenia
, natomiast
wskazuje moment, od którego jesteśmy w stanie taką dokładność zapewnić.
Oznaczenia i terminologia. Ciąg, który ma granicę, nazywa się zbieżny. Ciąg rozbieżny to taki ciąg, który nie ma granicy . Jeśli
ma granicę, która jest równa liczbie
, to piszemy
![]() |
(skrót lim pochodzi od łacińskiego limes), lub czasem po prostu: dla
. Proszę pamiętać,



□








![]() |
wtedy i tylko wtedy, gdy . Można więc wybrać np.
; wtedy dla
jest
, a więc
, zgodnie z warunkiem podanym w definicji granicy. Uwaga (banalna, ale nie pozbawiona pewnego sensu). W tym przykładzie równie dobrze moglibyśmy użyć jako
dowolnej liczby naturalnej większej od
, np. wziąć
![]() |
Z implikacji wynika przecież, że
, a więc
. W definicji granicy nie ma mowy o tym, że powinniśmy liczbę
wybrać najlepiej, jak tylko się da.
Spójrzmy teraz na kolejny przykład, gdzie powyższa banalna uwaga ma pewne znaczenie.



![]() |
jest równoważny innemu, . W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, tej nierówności nie potrafimy łatwo rozwiązać, tzn. wyznaczyć wszystkich liczb
, które ją spełniają. Możemy jednak skorzystać z oczywistej nierówności
i zauważyć, że jeśli
, to
![]() |
a zatem warunek jest spełniony. Zatem, wprost z definicji
.
W obu powyższych przykładach było rzeczą względnie jasną, jaka liczba powinna być granicą ciągu. Nie zawsze tak jest.
![$ a_n=\sqrt[n]n $](/sites/default/files/tex/bb0c53eedcb092e071a92d6cc00a411170949f1f.png)
![\begin{center} \begin{verbatim} Do[Print[{n, N[n^{1/n}, 8]}], {n, 1, 10000}] \end{verbatim} \end{center}](/sites/default/files/tex/e80d959a71bd8ee8105d99b869daa80b27da00e6.png)



![]() |
Naturalna, nawet temu, kto wątpi, że programy komputerowe robią naprawdę to, co im każemy, wydaje się więc hipoteza: . Aby sprawdzić, że tak rzeczywiście jest, oznaczymy różnicę
symbolem
. Użyjemy dwumianu Newtona
![]() |
gdzie tzw. symbol Newtona dany jest wzorem
![]() |
(Umowa: .) Podstawiając
i
, otrzymujemy
![]() |
Stąd dla
, gdyż suma składników dodatnich jest większa od każdego z nich; równoważnie,
![]() |
Ponieważ w tym przykładzie , więc wystarczy sprawdzić, dla jakich
zachodzi nierówność
![]() |
Nietrudno się przekonać, że spełniają ją wszystkie liczby . Zatem, dla wszystkich
mamy
![]() |
a to, zgodnie z definicją granicy, oznacza, że dla
.
□




![]() |
To jednak jest niemożliwe: przedział ma długość 1, więc punkty
i
(odległe o 2) nie mogą do niego jednocześnie należeć, niezależnie od tego, jaką weźmiemy liczbę
.
Podobnie pokazuje się, że jeśli , to ciąg
jest rozbieżny.
□
Posługiwanie się bezpośrednio definicją granicy ciągu za każdym razem, gdy chcemy wykazać, że jakiś ciąg jest zbieżny, i obliczyć jego granicę, byłoby rzeczą niewygodną. Bardzo pożyteczne jest następujące twierdzenie.




![]() |
Wówczas
![]() |
Ponadto, jeśli i
dla wszystkich
, to
![]() |
Dowód tego nietrudnego, ale ważnego twierdzenia wygodnie będzie poprzedzić pewnym przygotowaniem.



Analogicznie definiuje się ciągi ograniczone z góry i z dołu. Nietrudno zobaczyć, że np. ciąg nie jest ograniczony z góry, choć jest ograniczony z dołu. Ciąg
nie jest ograniczony ani z góry, ani z dołu.
Dowód:
Niech dla
. Weźmy w definicji granicy
. Istnieje taka liczba
, że
![]() |
Połóżmy teraz
![]() |
gdzie symbol oznacza największą z liczb rzeczywistych
, a symbol
- najmniejszą z tych liczb. Nietrudno zobaczyć, że
dla wszystkich
. Dla
wynika to z doboru
, tzn. z warunku gn1, i z nierówności
![]() |
Dla nierówność
wynika wprost z definicji liczb
,
.
□


- Jeśli
, to istnieje takie
, że
dla wszystkich
.
- Jeśli
, to istnieje takie
, że
dla wszystkich
.
- Jeśli
, to istnieje takie
, że
dla wszystkich
.
- Jeśli istnieje takie
, że
dla wszystkich
, to wówczas
Dowód:
Zacznijmy od własności (i). Biorąc w definicji granicy , a następnie dobierając doń
, otrzymujemy
![]() |
Dowód własności (ii) jest analogiczny; Czytelnik może przeprowadzić go samodzielnie, lub skorzystać z własności
![]() |
która pozwala wyprowadzić (ii) z udowodnionej już (i).
Aby sprawdzić (iii), bierzemy dowolną liczbę rzeczywistą taką, że
![]() |
Istnieje wtedy takie , że
dla wszystkich
; to wynika z punktu (i). Podobnie, istnieje wtedy takie
, że
dla wszystkich
; to wynika z punktu (ii). Dla
obie nierówności zachodzą jednocześnie, a więc, dzięki przechodniości,
.
Wreszcie, własność (iv) wynika z (iii) przez zaprzeczenie. Istotnie, gdyby nie zachodziła teza (iv), to dysponowalibyśmy założeniem (iii), a więc zgodnie z (iii) byłoby dla wszystkich
, co przeczyłoby założeniu (iv).
□
Wróćmy teraz do arytmetycznych własności granicy.
Dowód Twierdzenia~ [link]. 1. Granica sumy ciągów. Ustalmy . Korzystając z definicji granicy dla liczby
(można tak zrobić, bowiem warunek z definicji ma zachodzić dla każdej liczby dodatniej, a
) dobierzmy liczby
i
tak, żeby
![]() |
Wówczas, dla , zachodzi nierówność
![]() |
Wykazaliśmy więc, że liczba jest granicą ciągu
.
Przerwijmy dowód na chwilę i skomentujmy całe rozumowanie.
Komentarz (dla początkujących). Czytelnik, który po raz pierwszy styka się z podobnym dowodem, może zapytać: skąd było wiadomo, że trzeba skorzystać z definicji granicy ciągu i ciągu
, biorąc w nich
zamiast
? Po pierwsze, akurat w tym przypadku rachunki są na tyle krótkie, że można je przemyśleć w pamięci (lub szybko wykonać na brudno) i odgadnąć, że tak będzie wygodnie, bo na końcu otrzymamy wynik
. Można jednak postąpić inaczej, i to co najmniej na dwa różne sposoby:
- Użyć obu definicji, biorąc w nich
, a nie
; otrzymujemy wtedy, dla
,
ale przecież
jest dowolną liczbą dodatnią, więc otrzymaliśmy warunek z definicji granicy, tylko dla liczby o innej nazwie.
- Użyć obu definicji, biorąc w nich ostrożnie
zamiast
, bowiem a priori nie mamy pewności, jaki będzie wynik; otrzymujemy wtedy, dla
,
Teraz nietrudno już powiedzieć: niech
; w dodatku, mogliśmy tak rozumować od samego początku. W dłuższych dowodach, uzasadniających, że jakaś granica ma tę, a nie inną wartość, taki sposób postępowania bywa wygodny.
2. Granica różnicy ciągów. Postępujemy tak samo, jak w poprzedniej części dowodu. Ustalmy ; liczby
i
dobierzmy tak, żeby
![]() |
Wówczas, dla ,
![]() |
Wykazaliśmy więc, że różnica liczb i
jest granicą różnicy ciągów
i
.
3. Granica iloczynu ciągów. Dowód jest podobny do poprzednich, jednak nieco dłuższy. Najpierw trzeba zapisać różnicę tak, żeby zobaczyć wyrażenia
i
. Oto odpowiedni rachunek
![]() |
Ciąg jest ograniczony, więc istnieje taka dodatnia liczba
, że
dla wszystkich
. Ponadto, dla ustalonej liczby
istnieją takie
, że
![]() |
Zatem, dla możemy oszacować
![]() |
gdyż dla każdego
. Otrzymaliśmy
dla wszystkich
; dzięki dowolności
wynika stąd, że
dla
.
3. Granica ilorazu ciągów. Wystarczy wykazać, że dla
, a następnie skorzystać z poprzedniego punktu twierdzenia, gdyż
.
Ponieważ , więc istnieje taki przedział otwarty
, że
, ale
. Posługując się dwukrotnie Stwierdzeniem~ [link], przekonujemy się, że
![]() |
Zatem
![]() |
Ustalamy teraz i wybieramy liczbę
tak, żeby mieć
dla
. Dla
mamy wtedy
![]() |
czyli istotnie dla
. Dowód całego twierdzenia jest zakończony.
□
Podamy teraz dwa inne twierdzenia. W połączeniu z Twierdzeniem~ [link] tworzą one wygodny zestaw narzędzi do badania zbieżności wielu ciągów o wyrazach rzeczywistych. Zobaczymy też pewne przykłady zastosowań tych twierdzeń.
Oto pierwsze z zapowiedzianych twierdzeń.

![]() |
i istnieje takie , że dla wszystkich
zachodzą nierówności
![]() |
Wówczas .
Dowód:
To twierdzenie jest stosunkowo prostym wnioskiem ze Stwierdzenia~ [link]. Ustalmy liczbę . Ponieważ
, więc istnieje takie
, że
dla
. Podobnie,
, więc istnieje takie
, że
dla
.
Dla możemy skorzystać ze wszystkich nierówności, w których występują
i
. Zatem, dla takich
,
![]() |
stąd zaś wynika, że dla wszystkich
.
□
Twierdzenie o trzech ciągach jest bardzo wygodnym narzędziem. Popatrzmy na przykłady jego zastosowań.

![$ c_n=\sqrt[n] x $](/sites/default/files/tex/0e30ad4844e11adba16dbe97c659bf9eefd0cfcb.png)

![$ n>n_1=[x]+1>x $](/sites/default/files/tex/9d024bde79c8cc7df1dfd741b33ba9f317e129fb.png)
![]() |
Wiemy już jednak, że dla
, a ciąg stały
też ma granicę
. Zatem, z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
![]() |
Jeśli , to
dla
, a więc wzór vaueniks także zachodzi.
□


![]() |
Ponieważ , więc wystarczy ograniczyć się do przypadku
. Dla
mamy do czynienia z ciągiem stałym,
; wtedy nie ma czego dowodzić.
Niech więc ; oznaczmy
. Wtedy
,
i z nierówności Bernoulliego mamy
![]() |
Zatem,
![]() |
gdyż , i dla dowolnej liczby rzeczywistej
z twierdzenia o iloczynie granicy ciągów wynika, że
. Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy teraz, że
dla
.
□
![]() |
Wskażemy w tym celu odpowiednie oszacowania z góry i z dołu. Ponieważ
dla wszystkich
, więc
![]() |
Jednak , gdy
; to wynika z udowodnionego wcześniej wzoru vaueniks. Oszacowaliśmy więc
z góry i z dołu przez wyrazy ciągów zbieżnych do liczby 4; można zastosować twierdzenie o trzech ciągach i stwierdzić, że wzór vau-34 rzeczywiście zachodzi.
□
W istocie, prawdziwy jest wzór nieco ogólniejszy od vau-34.


![]() |
Istotnie, możemy wypisać oczywiste nierówności
![]() |
Wiemy już jednak, że , zatem, podobnie jak w poprzednim przykładzie, wzór vau-sumak wynika z twierdzenia o trzech ciągach.
□
Uważny Czytelnik spostrzegł zapewne, że praktycznie we wszystkich sytuacjach posługiwaliśmy się w istocie prostym wnioskiem z twierdzenia o trzech ciągach.




□
Drugie z zapowiedzianych twierdzeń zasługuje na osobny podrozdział.
Ciągi monotoniczne.

- malejący, gdy
dla wszystkich
;
- niemalejący, gdy
dla wszystkich
;
- rosnący, gdy
dla wszystkich
;
- nierosnący, gdy
dla wszystkich
.




![]() |
Dowód:
Zauważmy najpierw, że zbiór wyrazów ciągu, , jest ograniczony z góry, więc liczba
istnieje.
Ustalmy . Ponieważ
, więc
nie jest ograniczeniem górnym zbioru
. Zatem, znajdziemy takie
, że
![]() |
Ciąg jest niemalejący; dlatego
dla wszystkich
. Jednak oczywiście mamy też
, gdyż
jest ograniczeniem górnym zbioru wyrazów ciągu. Podsumowując, mamy
![]() |
tzn. dla
. Przeto, zgodnie z definicją granicy ciągu,
.
□
Ponieważ ciąg jest niemalejący wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
jest nierosnący, a
, więc zachodzi oczywiście następujący, bliźniaczy fakt.


![]() |



![]() |
Sprawdzimy, że ciąg jest rosnący i ograniczony. Niech
. Zauważmy, że dla takich
nierówność
jest równoważna innej,
. Ponieważ
, więc ostatecznie
![]() |
Zauważmy też, że
![]() |
Wyrazy ciągu są oczywiście dodatnie. Ponieważ
, więc z implikacji xin03 wynika, na mocy zasady indukcji matematycznej, że
dla wszystkich
; ciąg
jest więc ograniczony. Ponadto,
![]() |
Zatem ciąg jest rosnący. Z Twierdzenia~ [link] wynika, że istnieje granica tego ciągu.
Nietrudno tę granicę znaleźć: ponieważ
![]() |
więc z Twierdzenia~ [link] wynika, że spełnia równość
, a przy tym
, gdyż
dla wszystkich
. Przeto
.
□
Uwaga. Ostatni fragmemt rozumowania wolno przeprowadzić dopiero wtedy, gdy wiadomo już, że liczba istnieje. Wcześniej można stąd jedynie wywnioskować, że jeśli
istnieje i
, to wtedy
.











![]() |
tzn. ciąg jest rosnący. Z Twierdzenia~ [link] wynika teraz, że istnieje granica
tego ciągu. Mamy także
, stąd zaś
.
Granice niewłaściwe
Wśród wszystkich ciągów rozbieżnych wygodnie jest wyróżnić osobno ciągi rozbieżne do plus nieskończoności i ciągi rozbieżne do minus nieskończoności

![]() |
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej istnieje
takie, że
dla wszystkich
.

![]() |
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej istnieje
takie, że
dla wszystkich
.
Oto proste przykłady: ciąg jest rozbieżny do
, ciąg
jest rozbieżny do
, natomiast ciąg
jest rozbieżny, ale nie jest rozbieżny ani do
, ani do
. Czytelnik sam zechce się zastanowić, dlaczego tak jest.
Posługując się pojęciem granicy nieskończonej, łatwo jest podać nieco ogólniejszą wersję Twierdzenia~ [link].



Dowód:
Gdy ciąg jest ograniczony, to korzystamy po prostu z Twierdzenia~ [link]. Gdy jest nieograniczony z góry, to dla każdej liczby
można wskazać takie
, że
. Dla
mamy
, gdyż ciąg
jest niemalejący. Zatem, wprost z definicji,
.
□
Można wykazać, że przy naturalnej umowie
![]() |
twierdzenie o arytmetycznych własnościach granicy (Twierdzenie~ [link]) zachodzi także dla granic nieskończonych. Szczegółowe sprawdzenie tego faktu pozostawiamy zainteresowanym Czytelnikom (patrz też przykład, zamieszczony niżej). Nie można go jednak używać w innych przypadkach, tzn. do obliczania granic postaci
![]() |










![]() |
(Pierwszą nierówność otrzymujemy, biorąc w definicji granicy ciągu, a drugą - biorąc
w definicji granicy niewłaściwej). Dodając obie nierówności stronami, sprawdzamy, że dla wszystkich dostatecznie dużych
zachodzi nierówność
.
□
Podciągi. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.



![]() |
nazywamy podciągiem ciągu .
Mówiąc potocznie, chodzi o wybranie nieskończenie wielu wyrazów ciągu, ale bez zmiany kolejności.
Pojęcie podciągu jest ważne m.in. z następującego powodu.




Łatwy dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Co więcej, można wskazać, jak taki podciąg należy wybierać.
Dowód:
Połóżmy, dla wszystkich ,
![]() |
Rozważymy osobno dwa przypadki:
- W każdym ze zbiorów
istnieje element największy.
- W którymś ze zbiorów
nie ma elementu największego.
W pierwszym przypadku z można wybrać podciąg nierosnący. Pokażemy, jak to zrobić. Niech
będzie największym elementem
. W
jest element największy,
; oczywiście
, a przy tym
, bo
,
. Jeśli wyrazy
, gdzie
, zostały już wybrane, to dobieramy
tak, aby
![]() |
Definicja jest poprawna, gdyż w każdym zbiorze istnieje element największy. Mamy, jak w pierwszym kroku rozumowania,
i
.
W drugim przypadku można wybrać z podciąg rosnący. Przypuśćmy, że w
nie ma elementu największego. Bierzemy wtedy
. Zgodnie z założeniem, istnieje
takie, że
. Gdyby dalej, dla
, nie byłoby już wyrazów większych od
, to wtedy w
byłby element największy, wbrew założeniu. Zatem można znaleźć
gdzie
. To rozumowanie można powtórzyć dowolnie wiele razy (Czytelnik zechce sam uzupełnić szczegóły).
□

Dowód:
Zgodnie z poprzednim lematem, ciąg ma podciąg monotoniczny
. Oczywiście każdy podciąg ciągu ograniczonego jest ograniczony. Z Twierdzenia~ [link] wynika więc, że podciąg
jest zbieżny.
□
Ponieważ to naprawdę istotne twierdzenie, obejrzyjmy jeszcze jeden dowód.
Dowód drugi. Można bez zmniejszenia ogólności założyć, że -- gdyby tak nie było, możemy rozpatrzeć ciąg
dla odpowiednio wybranych
oraz
; jego podciągom zbieżnym odpowiadają zbieżne podciągi ciągu
.
Podzielmy odcinek na 10 równych części, o długości
. W jednej z nich, powiedzmy
, jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Wybierzmy jeden z nich,
. Teraz podzielmy odcinek
na 10 równych części, o długości
. W jednej z nich, powiedzmy
jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu o numerach większych od
; niech
będzie jednym z tych wyrazów.
Przeprowadziwszy kroków takiego rozumowania, skonstruujemy
- Przedziały domknięte
takie, że
i w każdym z nich jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu
;
- Wyrazy
,
, \ldots,
takie, że
W -szym kroku dzielimy odcinek
na 10 równych części. W jednej z nich jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu o numerach większych od
. Nazywamy tę część
i wybieramy numer
tak, żeby
.
W efekcie otrzymujemy nieskończony, zstępujący ciąg przedziałów i podciąg
taki, że
. Ciąg
jest niemalejący i ograniczony z góry przez 1, a ciąg
nierosnący i ograniczony z dołu przez 0, zatem oba są zbieżne. Ponadto,
![]() |
Nietrudno wreszcie zauważyć, że
![]() |
- to wynika z twierdzenia o trzech ciągach.
□
Uwaga. Czytelnik-koneser zechce zauważyć, że w drugim dowodzie tak naprawdę dobieramy kolejne wyrazy ciągu, próbując stabilizować coraz dłuższe początkowe fragmenty rozwinięć dziesiętnych. Oczywiście, liczbę 10 można zastąpić w rozumowaniu liczbą 2, i nie trzeba od początku zakładać, że wyrazy ciągu są akurat w przedziale jednostkowym, ale wtedy analogia związana z rozwinięciami dziesiętnymi nie jest widoczna.
Dowód:
Jest rzeczą praktycznie oczywistą, że jeśli ciąg ma granicę, to wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy. Jeśli
jest rozbieżny (ale ograniczony), to wobec Tw. Bolzano-Weierstrassa ma zbieżny podciąg,
. Ponieważ
nie jest granicą ciągu
, to dla pewnego
poza przedziałem
jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu; z nich wybieramy inny podciąg zbieżny, którego granica
- zgodnie ze stwierdzeniem~ [link] - różni się od
co najmniej o
.
□
Czasem bywa tak, że umiemy wykazać zbieżność kilku różnych podciągów danego ciągu (np. niektóre są rosnące, a inne malejące, a wszystkie są ograniczone), dobranych tak, że każdy wyraz ciągu należy do jednego z tych podciągów. Wtedy przydaje się następujący prosty fakt.







Dowód:
Ustalmy . Wybierzmy liczby
tak, aby spełniony był warunek: \begin{quote} \it Jeśli
jest wyrazem
-tego z rozważanych podciągów (gdzie
) \newline i numer~
, to
. \end{quote} (Innymi słowy, liczbę
dobieramy do
korzystając ze zbieżności
-tego podciągu). Połóżmy
. Ponieważ każdy wyraz ciągu
jest wyrazem któregoś z
rozważanych podciągów, więc dla każdego
z pewnością
.
□
Podamy teraz ważne twierdzenie, które podaje warunek równoważny zbieżności ciągu.

- \setcounter{enumi}{2}
- Dla każdej liczby
istnieje
takie, że dla wszystkich
zachodzi nierówność
.
Dowód:
Część I. () Niech
. Jeśli
, to istnieje
takie, że
dla wszystkich
. Weźmy teraz dwie liczby
. Wówczas
![]() |
Zatem ciąg spełnia warunek (C) - właśnie pokazaliśmy, jak dobrać
do liczby
.
Część II. () Łatwo sprawdzić, że każdy ciąg spełniający (C) jest ograniczony: stosujemy warunek Cauchy'ego dla
i widzimy, że dostatecznie duże wyrazy różnią się o mniej niż 1, a więc muszą zawierać się w pewnym przedziale, np. przedziale
; skończony zbiór wyrazów
też jest ograniczony.
Stosujemy zatem twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i wybieramy z podciąg
dla
. Pokażemy, że
jest granicą całego ciągu
. Niech
. Istnieje takie
, że
![]() |
a ponadto istnieje takie ,że
dla
. Niech
. Ustalając jakikolwiek numer
i biorąc dowolne
, możemy oszacować
![]() |
To kończy dowód twierdzenia.
□
Warunek Cauchy'ego odgrywa ważną rolę z kilku powodów. Po pierwsze, pozwala stwierdzić zbieżność ciągu bez wskazywania konkretnej granicy, a także pozwala stwierdzić, że jakiś ciąg jest rozbieżny. Proszę zauważyć, że wcześniej, sprawdzając rozbieżność ciągu , sprawdziliśmy tak naprawdę, że warunek Cauchy'ego nie zachodzi dla
. Po drugie, można posłużyć się warunkiem Cauchy'ego, żeby skonstruować liczby rzeczywiste, mając do dyspozycji liczby wymierne; jest to konstrukcja na tyle ogólna, że używa się jej w wielu działach matematyki - do tej sprawy wrócimy jeszcze przy innej okazji.


![]() |
Jeśli ciąg spełnia warunek
![]() |
to spełnia warunek Cauchy'ego.
Dowód:
Ciąg jest rosnący (bo
są dodatnie) i ograniczony z góry przez
. Zatem
jest zbieżny i spełnia warunek Cauchy'ego.
Niech będą dostatecznie duże. Piszemy, korzystając z nierówności trójkąta, założeń i monotoniczności ciągu
,
![]() |
Niech . Dla wszystkich dostatecznie dużych
mamy
, gdyż
spełnia warunek Cauchy'ego. Zatem
też spełnia warunek Cauchy'ego.
□



![]() |
to założenia powyższego stwierdzenia są spełnione. Istotnie, biorąc wtedy mamy
![]() |
To wynika ze szkolnego wzoru na sumę skończonego postępu geometrycznego; patrz także Lemat~ [link] i szkic jego dowodu.

![]() |