Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Definicja Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.

Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli - zgodnie z powyższą definicją - funkcje $ a\colon \N\to\R $. Wartości takiej funkcji w kolejnych liczbach naturalnych nazywa się wyrazami ciągu i oznacza

\[ a_1, \quad a_2, \quad a_3, \quad \ldots \]

Zarówno na wykładzie, jak i na ćwiczeniach spotkamy wielokrotnie ciągi zdefiniowane w różny sposób: przez podanie ogólnego wzoru na $ n $-ty wyraz, np. $ a_n=1/n $ dla $ n\in\N $, albo przez określenie rekurencyjnej reguły, która pozwala obliczyć następny wyraz ciągu, gdy znane są wyrazy o wcześniejszych numerach, np.

\[ F_1=F_2=1, \qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad\mbox{dla $n=0,1,2,\ldots$} \]

(nawiasem: ciąg $ (F_n) $ nazywa się ciągiem Fibonacci'ego).

Ciągi służą matematykowi m.in. do tego, żeby nowe, nieznane jeszcze liczby rzeczywiste przybliżać liczbami prostszymi, już oswojonymi - np. liczbami wymiernymi. Bywa i na odwrót: znamy jakiś ciąg liczb, wyrażony skomplikowanym wzorem lub regułą, a chcemy powiedzieć coś względnie prostego i jasnego o zachowaniu dalekich wyrazów ciągu. Aby robić jedno i drugie w sposób możliwie ścisły, wprowadza się fundamentalne w całej Analizie pojęcie granicy ciągu. Zanim je wprowadzimy, przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej.

Definicja [wartość bezwględna liczby rzeczywistej] Dla $ x\in\R $ kładziemy

\[ 	|x|=\left\{ 	\begin{array}{rl} 	x,  &\quad\mbox{gdy $x\ge 0$,}\\ 	-x, &\quad\mbox{gdy $x< 0$.} 	\end{array} 	\right. 	\]

Interpretacja wartości bezwzględnej, z którą będziemy nieustannie mieć do czynienia, jest następująca: $ |x| $ to odległość liczby (punktu) $ x $ od $ 0 $ na prostej rzeczywistej, a $ |x-a| $ to odległość punktów $ x\in\R $ i $ a\in\R $.

Stwierdzenie [nierówność trójkąta] Dla wszystkich $ x,y\in \R $ zachodzi nierówność

\[ \begin{equation} 		\label{nt} 	|x+y|\le |x|+|y| \end{equation} \]

Dowód:
Sprawdzenie przypadków, gdy obie liczby są tego samo znaku lub co najmniej jedna z nich jest zerem, jest łatwe. W nierówności trójkąta zachodzi wtedy równość. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.

Pozostaje wykazać nierówność dla $ x<0<y $ (przypadek $ y<0<x $ jest w pełni analogiczny, wystarczy zamienić $ x $ i $ y $ rolami). Prawa strona nt, którą oznaczymy $ P $, jest wtedy równa $ |x|+|y|=y-x $. Lewa strona, $ L $, jest równa $ x+y $ lub $ -x-y $.

Jeśli $ L=x+y $, to nierówność $ L\le P $ jest równoważna temu, że $ x+y\le y-x $, czyli temu, że $ 2x\le 0 $, a wiemy, że ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż $ x<0 $.

Jeśli natomiast $ L=-x-y $, to nierówność $ L\le P $ jest równoważna temu, że $ -x-y\le y-x $, czyli temu, że $ 0\le 2y $, a wiemy, że ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż $ y>0 $.     $ \Box $

Granica ciągu i jej podstawowe własności

Definicja Ciąg $ (a_n) $ liczb rzeczywistych jest zbieżny do granicy $ g\in \R $ (inaczej: ma granicę $ g\in\R $) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $ \eps>0 $ istnieje $ n_\eps\in\N $ takie, że dla wszystkich numerów $ m>n_\eps $ zachodzi nierówność

\[ 	|a_m-g|<\eps\, . 	\]

Pozwólmy sobie na nieformalny komentarz. Warunek z definicji należy rozumieć tak: jakkolwiek małą liczbę $ \eps>0 $ weźmiemy, można będzie wskazać taką liczbę $ n_\eps $, odpowiednio dobraną do $ \eps $, że wszystkie wyrazy ciągu $ (a_n) $ o numerach większych od $ n_\eps $ będą się różnić od liczby $ g $ - granicy ciągu - mniej niż o $ \eps $. Mówiąc inaczej, liczba $ \eps $ określa żądany poziom dokładności przybliżenia $ a_m\approx g $, natomiast $ n_\eps $ wskazuje moment, od którego jesteśmy w stanie taką dokładność zapewnić.

    Oznaczenia i terminologia. Ciąg, który ma granicę, nazywa się zbieżny. Ciąg rozbieżny to taki ciąg, który nie ma granicy $ g\in \R $. Jeśli $ (a_n) $ ma granicę, która jest równa liczbie $ g\in\R $, to piszemy

\[ \lim_{n\to\infty} a_n=g \]

(skrót lim pochodzi od łacińskiego limes), lub czasem po prostu: $ a_n\to g $ dla $ n\to \infty $. Proszę pamiętać,

Przykład Ciąg stały, $ a_n=a\in\R $ dla wszystkich $ n\in\N $, ma granicę równą $ a $.

Przykład Ciąg $ a_n=\frac 1n $ dla $ n=1,2,\ldots $ ma granicę równą zero, tzn. $ \lim_{n\to\infty} \frac 1n =0 $. Sprawdzimy to, posługując się definicją. Weźmy dowolne $ \eps>0 $. Mamy wskazać $ n_\eps $ tak, żeby $ |a_m-g|<\eps $ dla wszystkich $ m>n_\eps $. Zobaczmy więc, kiedy nierówność $ |a_m-g|<\eps $ jest spełniona. Mamy

\[ 	|a_m-g|=\left|\frac 1m - 0\right| = \frac 1m <\eps 	\]

wtedy i tylko wtedy, gdy $ m>1/\eps $. Można więc wybrać np. $ n_\eps=\left[\frac 1\eps\right]+1>1/\eps $; wtedy dla $ m>n_\eps $ jest $ m>1/\eps $, a więc $ \frac 1m = |a_m-g|<\eps $, zgodnie z warunkiem podanym w definicji granicy.     Uwaga (banalna, ale nie pozbawiona pewnego sensu). W tym przykładzie równie dobrze moglibyśmy użyć jako $ n_\eps $ dowolnej liczby naturalnej większej od $ 1/\eps $, np. wziąć

\[ 	n_\eps' = \left(\left[\frac 1\eps\right]+7\right)^3+ 2010^{2010}\, . 	\]

Z implikacji $ m> n_\eps' $ wynika przecież, że $ m>1/\eps $, a więc $ \frac 1m = |a_m-g|<\eps $. W definicji granicy nie ma mowy o tym, że powinniśmy liczbę $ n_\eps $ wybrać najlepiej, jak tylko się da.

Spójrzmy teraz na kolejny przykład, gdzie powyższa banalna uwaga ma pewne znaczenie.

Przykład Niech $ n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n $. Wykażemy, że $ \lim_{n\to\infty} \frac 1{n!} =0 $. Postępujemy podobnie, jak w poprzednim przykładzie. Ustalmy dowolne $ \eps > 0 $. Warunek

\[ 	|a_m-g|=\left|\frac 1{m!} - 0\right| = \frac 1{m!} <\eps 	\]

jest równoważny innemu, $ m!>1/\eps $. W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, tej nierówności nie potrafimy łatwo rozwiązać, tzn. wyznaczyć wszystkich liczb $ m $, które ją spełniają. Możemy jednak skorzystać z oczywistej nierówności $ m!\ge m $ i zauważyć, że jeśli $ m>n_\eps=[\frac 1 \eps]+1 $, to

\[ 	m!\ge m > \left[\frac 1 \eps\right]+1 > \frac 1\eps, 	\]

a zatem warunek $ |a_m-g|<\eps $ jest spełniony. Zatem, wprost z definicji $ \lim_{n\to\infty} \frac 1{n!} =0 $.

W obu powyższych przykładach było rzeczą względnie jasną, jaka liczba powinna być granicą ciągu. Nie zawsze tak jest.

Przykład Znajdziemy granicę ciągu $ a_n=\sqrt[n]n $. Ktoś, kto nie dowiedział się wcześniej, że jest to ciąg zbieżny, ma prawo tego nie wiedzieć; ma także prawo mieć wątpliwość: jaka właściwie liczba powinna być granicą tego ciągu? Aby wskazać możliwą odpowiedź na to pytanie, użyjemy brutalnej siły, tzn. przyjrzymy się odpowiednio dużej liczbie wyrazów ciągu. Odpowiedni eksperyment można przeprowadzić z użyciem dowolnego pakietu do obliczeń symbolicznych, np. pakietu Mathematica, dostępnego dla każdego użytkownika w laboratorium komputerowym Wydziału MIM. Krótki program \begin{center} 	\begin{verbatim} 	      Do[Print[{n, N[n^{1/n}, 8]}], {n, 1, 10000}] \end{verbatim} \end{center} pozwala wypisać przybliżone wartości wyrazów $ a_1 $, $ a_2 $, \ldots, $ a_{10000} $ z dokładnością do 8 miejsc znaczących. Jego wykonanie nie trwa szczególnie długo. Oględziny wyników eksperymentu wskazują, że

\[ \begin{gather*} 	a_2 = 1,\! 414\ldots, \quad a_3 = 1,\! 442\ldots, \quad a_4=a_2, \quad a_5< a_4, \\ 	a_{10} = 1,\! 258\ldots, \quad a_{100}=1,\! 047\ldots, \quad a_{1000}=1,\! 0069\ldots, \quad a_{10000}=1,\! 0009\ldots\, . \end{gather*} \]

Naturalna, nawet temu, kto wątpi, że programy komputerowe robią naprawdę to, co im każemy, wydaje się więc hipoteza: $ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n] n = 1 $. Aby sprawdzić, że tak rzeczywiście jest, oznaczymy różnicę $ \sqrt[n] n -1 $ symbolem $ \delta_n $. Użyjemy dwumianu Newtona

\[ (a+b)^n = \binom n0 a^n + \binom n1 a^{n-1}b + \binom n2 a^{n-2} b^2 +\cdots + \binom nn b^n\, , \]

gdzie tzw. symbol Newtona dany jest wzorem

\[ \binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

(Umowa: $ 0!=1 $.) Podstawiając $ a=1 $ i $ b=\delta_n $, otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*} 	n=\bigl(\sqrt[n] n\bigr)^n =(1+\delta_n)^n & = & \binom n0 + \binom n1 \delta_n + \binom n2 \delta_n^2 +\mbox{[cała reszta składników]} \\ 	& = & 1 + n\delta_n + \frac{n(n-1)}2 \delta_n^2 + \cdots \end{eqnarray*} \]

Stąd $ n> \frac{n(n-1)}2 \delta_n^2   $ dla $ n>1 $, gdyż suma składników dodatnich jest większa od każdego z nich; równoważnie,

\[ \begin{equation} 	\label{sqrtn-deltan} \delta_n < \sqrt{\frac 2{n-1}}\qquad \mbox{dla $n>1$.} \end{equation} \]

Ponieważ w tym przykładzie $ |a_n-g|=|\sqrt[n]n -1|= \delta_n $, więc wystarczy sprawdzić, dla jakich $ n $ zachodzi nierówność

\[ \sqrt{\frac 2{n-1}} < \eps\, . \]

Nietrudno się przekonać, że spełniają ją wszystkie liczby $ n>1+ (2/\eps^2) $. Zatem, dla wszystkich $ n>n_\eps:= 2+[2/\eps^2] $ mamy

\[ |\sqrt[n]n-1|=\delta_n \stackrel{\eqref{sqrtn-deltan}}< \sqrt{\frac 2{n-1}} <\eps, \]

a to, zgodnie z definicją granicy, oznacza, że $ \sqrt[n] n\to 1 $ dla $ n\to \infty $.

Przykład Ciąg $ a_n=(-1)^n $, czyli ciąg liczb $ -1,1,-1,1,-1,1,\ldots $ jest rozbieżny. Gdyby liczba $ g\in\R $ była jego granicą, to biorąc w warunku z definicji granicy $ \eps=1/2 $ otrzymalibyśmy

\[ 	g-\frac 12 <a_n< g+ \frac 12 \qquad\mbox{dla wszystkich $n>n_\eps=n_{1/2}$.} \]

To jednak jest niemożliwe: przedział $ (g-1/2,g+1/2) $ ma długość 1, więc punkty $ 1 $ i $ -1 $ (odległe o 2) nie mogą do niego jednocześnie należeć, niezależnie od tego, jaką weźmiemy liczbę $ g $.

Podobnie pokazuje się, że jeśli $ a\not=b $, to ciąg $ a,b,a,b,a,b,\ldots $ jest rozbieżny.

Posługiwanie się bezpośrednio definicją granicy ciągu za każdym razem, gdy chcemy wykazać, że jakiś ciąg jest zbieżny, i obliczyć jego granicę, byłoby rzeczą niewygodną. Bardzo pożyteczne jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie [arytmetyczne własności granicy] (#) Załóżmy, że ciągi liczb rzeczywistych $ (a_n) $ i $ (b_n) $ są zbieżne odpowiednio do $ a $ i $ b $, tzn.

\[ 	\lim_{n\to\infty} a_n = a , \qquad \lim_{n\to\infty} b_n = b. 	\]

Wówczas

\[ \begin{eqnarray} 		\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) & = & a + b, 	\label{lim-suma}		\\ 		\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n) & = & a - b, 	\label{lim-roznica}			\\ 		\lim_{n\to\infty} (a_nb_n) & = & ab. \label{lim-iloczyn} 	\end{eqnarray} \]

Ponadto, jeśli $ b\not=0 $ i $ b_n\not=0 $ dla wszystkich $ n\in\N $, to

\[ \begin{equation} \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac ab\, . \end{equation} \]

Dowód tego nietrudnego, ale ważnego twierdzenia wygodnie będzie poprzedzić pewnym przygotowaniem.

Definicja Ciąg $ (a_n) $ nazywa się ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ A=\{a_n\ \colon \ n\in \N\} $ jest ograniczonym podzbiorem $ \R $.

Analogicznie definiuje się ciągi ograniczone z góry i z dołu. Nietrudno zobaczyć, że np. ciąg $ a_n=n^2 $ nie jest ograniczony z góry, choć jest ograniczony z dołu. Ciąg $ a_n=(-1)^n n $ nie jest ograniczony ani z góry, ani z dołu.

Stwierdzenie Każdy zbieżny ciąg liczb rzeczywistych jest ograniczony.

Dowód:
Niech $ a_n\to g $ dla $ n\to \infty $. Weźmy w definicji granicy $ \eps=1 $. Istnieje taka liczba $ n_1 $, że

\[ \begin{equation} 	\label{gn1} g-1 < a_n< g+1 \qquad\mbox{dla wszystkich $n>n_1$.} \end{equation} \]

Połóżmy teraz

\[ M=\max(g+1,\max(a_1, \ldots, a_{n_1}))\, , \qquad m=\min(g-1,\min(a_1, \ldots, a_{n_1}))\, , \]

gdzie symbol $ \max(x_1,\ldots, x_m) $ oznacza największą z liczb rzeczywistych $ x_1,\ldots, x_m $, a symbol $ \min(x_1,\ldots, x_m) $ - najmniejszą z tych liczb. Nietrudno zobaczyć, że $ m\le a_n\le M $ dla wszystkich $ n\in M $. Dla $ n>n_1 $ wynika to z doboru $ n_1 $, tzn. z warunku gn1, i z nierówności

\[ m\le g-1\le g+1\le M \]

Dla $ n\le n_1 $ nierówność $ m\le a_n\le M $ wynika wprost z definicji liczb $ m $, $ M $.

Stwierdzenie [o szacowaniu granic] (#) Załóżmy, że $ (a_n) $ i $ (b_n) $ są zbieżnymi ciągami liczb rzeczywistych. Zachodzą wtedy następujące implikacje:

  1. Jeśli $ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n >a  $, to istnieje takie $ n_1\in \N $, że $ a_n>a $ dla wszystkich $ n>n_1 $.
  2. Jeśli $ \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n <b  $, to istnieje takie $ n_1\in \N $, że $ b_n<b $ dla wszystkich $ n>n_1 $.
  3. Jeśli $ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n >\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n \,  $, to istnieje takie $ n_1\in \N $, że $ a_n>b_n $ dla wszystkich $ n>n_1 $.
  4. Jeśli istnieje takie $ n_1\in \N $, że $ a_n\le b_n $ dla wszystkich $ n>n_1 $, to wówczas
    \[ 	\lim_{n\to\infty} a_n \le \lim_{n\to\infty} b_n 	\]

Dowód:
Zacznijmy od własności (i). Biorąc w definicji granicy $ \eps=\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n -a >0 $, a następnie dobierając doń $ n_\eps $, otrzymujemy

\[ a_n > \lim_{n\to\infty} a_n -\eps = \lim_{n\to\infty} a_n - (\lim_{n\to\infty} a_n-a) = a \quad\mbox{dla wszystkich $n_\eps$.} \]

Dowód własności (ii) jest analogiczny; Czytelnik może przeprowadzić go samodzielnie, lub skorzystać z własności

\[ \lim_{n\to\infty} b_n = b \quad\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty} (-b_n) = (-b), \]

która pozwala wyprowadzić (ii) z udowodnionej już (i).

Aby sprawdzić (iii), bierzemy dowolną liczbę rzeczywistą $ x $ taką, że

\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n> x >\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n \]

Istnieje wtedy takie $ n_1 $, że $ a_n > x $ dla wszystkich $ n>n_1 $; to wynika z punktu (i). Podobnie, istnieje wtedy takie $ n_2 $, że $ x>b_n $ dla wszystkich $ n>n_2 $; to wynika z punktu (ii). Dla $ n> \max(n_1,n_2) $ obie nierówności zachodzą jednocześnie, a więc, dzięki przechodniości, $ a_n>b_n $.

Wreszcie, własność (iv) wynika z (iii) przez zaprzeczenie. Istotnie, gdyby nie zachodziła teza (iv), to dysponowalibyśmy założeniem (iii), a więc zgodnie z (iii) byłoby $ a_n>b_n $ dla wszystkich $ n>n_1 $, co przeczyłoby założeniu (iv).

Wróćmy teraz do arytmetycznych własności granicy.

    Dowód Twierdzenia~ [link]. 1. Granica sumy ciągów. Ustalmy $ \eps>0 $. Korzystając z definicji granicy dla liczby $ \eps/2 $ (można tak zrobić, bowiem warunek z definicji ma zachodzić dla każdej liczby dodatniej, a $ \eps/2>0 $) dobierzmy liczby $ n_1 $ i $ n_2 $ tak, żeby

\[ |a_n-a|< \frac \eps2 \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_1, \qquad  |b_n-b|< \frac \eps2 \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_2\, . \]

Wówczas, dla $ n>n_3=\max(n_1,n_2) $, zachodzi nierówność

\[ \begin{eqnarray*} 	|(a_n+b_n) -(a+b)| & = & |(a_n-a)+(b_n-b)| \\ 	&\le & |a_n-a| + |b_n-b| \qquad\mbox{z nierówności trójkąta}\\ 	& < & \frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps. \end{eqnarray*} \]

Wykazaliśmy więc, że liczba $ g=a+b $ jest granicą ciągu $ a_n+b_n $.

Przerwijmy dowód na chwilę i skomentujmy całe rozumowanie.

     Komentarz (dla początkujących). Czytelnik, który po raz pierwszy styka się z podobnym dowodem, może zapytać: skąd było wiadomo, że trzeba skorzystać z definicji granicy ciągu $ a_n $ i ciągu $ b_n $, biorąc w nich $ \eps/2 $ zamiast $ \eps $? Po pierwsze, akurat w tym przypadku rachunki są na tyle krótkie, że można je przemyśleć w pamięci (lub szybko wykonać na brudno) i odgadnąć, że tak będzie wygodnie, bo na końcu otrzymamy wynik $ \eps $. Można jednak postąpić inaczej, i to co najmniej na dwa różne sposoby:

  1. Użyć obu definicji, biorąc w nich $ \eps $, a nie $ \eps/2 $; otrzymujemy wtedy, dla $ n> n_3 $,
    \[ 	|(a_n+b_n) -(a+b)| \le |a_n-a| + |b_n-b| < \eps+\eps = 2\eps, 	\]

    ale przecież $ 2\eps $ jest dowolną liczbą dodatnią, więc otrzymaliśmy warunek z definicji granicy, tylko dla liczby o innej nazwie.

  2. Użyć obu definicji, biorąc w nich ostrożnie $ \eta>0 $ zamiast $ \eps>0 $, bowiem a priori nie mamy pewności, jaki będzie wynik; otrzymujemy wtedy, dla $ n> n_3 $,
    \[ |(a_n+b_n) -(a+b)| \le |a_n-a| + |b_n-b| < \eta+\eta = 2\eta. \]

    Teraz nietrudno już powiedzieć: niech $ \eta=\eps/2 $; w dodatku, mogliśmy tak rozumować od samego początku. W dłuższych dowodach, uzasadniających, że jakaś granica ma tę, a nie inną wartość, taki sposób postępowania bywa wygodny.

     2. Granica różnicy ciągów. Postępujemy tak samo, jak w poprzedniej części dowodu. Ustalmy $ \eps>0 $; liczby $ n_1 $ i $ n_2 $ dobierzmy tak, żeby

\[ |a_n-a|< \frac \eps2 \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_1, \qquad  |b_n-b|< \frac \eps2 \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_2\, . \]

Wówczas, dla $ n>n_3=\max(n_1,n_2) $,

\[ \begin{eqnarray*} 	|(a_n-b_n) -(a-b)| & = & |(a_n-a)+(b-b_n)| \\ 	&\le & |a_n-a| + |b-b_n| \qquad\mbox{z nierówności trójkąta}\\ 	& < & \frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps. \end{eqnarray*} \]

Wykazaliśmy więc, że różnica liczb $ a $ i $ b $ jest granicą różnicy ciągów $ a_n $ i $ b_n $.

     3. Granica iloczynu ciągów. Dowód jest podobny do poprzednich, jednak nieco dłuższy. Najpierw trzeba zapisać różnicę $ a_nb_n-ab $ tak, żeby zobaczyć wyrażenia $ a_n-a $ i $ b_n-b $. Oto odpowiedni rachunek

\[ \begin{eqnarray*} 		|a_nb_n -ab| & = & |(a_n-a)b_n+a(b_n-b)| \\ 		&\le & |b_n|\, |a_n-a| + |a|\,|b_n-b| \qquad\mbox{z nierówności trójkąta}\\ 		& =: & W_n. 	\end{eqnarray*} \]

Ciąg $ b_n $ jest ograniczony, więc istnieje taka dodatnia liczba $ M $, że $ |b_n|\le M $ dla wszystkich $ n\in \N $. Ponadto, dla ustalonej liczby $ \eps >0  $ istnieją takie $ n_1,n_2\in \N $, że

\[ |a_n-a|< \frac \eps{2M} \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_1, \qquad  |b_n-b|< \frac \eps{2|a|+1} \quad\mbox{dla wszystkich } n>n_2\, . \]

Zatem, dla $ n>n_3=\max(n_1,n_2) $ możemy oszacować

\[ W_n < M  \frac \eps{2M} + |a| \frac \eps{2|a|+1} < \frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps, \]

gdyż $ |a|/(2|a|+1)< \frac 12 $ dla każdego $ a\in\R $. Otrzymaliśmy $ |a_nb_n-ab|\le W_n< \eps $ dla wszystkich $ n>n_3 $; dzięki dowolności $ \eps>0 $ wynika stąd, że $ a_nb_n\to ab $ dla $ n\to \infty $.

     3. Granica ilorazu ciągów. Wystarczy wykazać, że $ \frac 1{b_n}\to \frac{1}{b} $ dla $ n\to\infty $, a następnie skorzystać z poprzedniego punktu twierdzenia, gdyż $ a_n/b_n= a_n\cdot \frac 1{b_n}  $.

Ponieważ $ b\not =0 $, więc istnieje taki przedział otwarty $ (c,d)\subset \R $, że $ b\in (c,d) $, ale $ 0\not\in (c,d) $. Posługując się dwukrotnie Stwierdzeniem~ [link], przekonujemy się, że

\[ b_n \in (c,d)\qquad\mbox{dla wszystkich $n$ większych od pewnego $n_1\in \N$.} \]

Zatem

\[ \left|\frac 1{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-b_n|}{|b|\, |b_n|}\le  \frac{|b-b_n|}{\min (|c|,|d|)^2}. \]

Ustalamy teraz $ \eps>0 $ i wybieramy liczbę $ n_2\in\N $ tak, żeby mieć $ |b-b_n|\le \eps \min (|c|,|d|)^2 $ dla $ n>n_2 $. Dla $ n>\max(n_1,n_2) $ mamy wtedy

\[ \left|\frac 1{b_n}-\frac{1}{b}\right|< \frac{|b-b_n|}{\min (|c|,|d|)^2} < \eps, \]

czyli istotnie $ \frac 1{b_n}\to \frac{1}{b} $ dla $ n\to\infty $. Dowód całego twierdzenia jest zakończony.

Podamy teraz dwa inne twierdzenia. W połączeniu z Twierdzeniem~ [link] tworzą one wygodny zestaw narzędzi do badania zbieżności wielu ciągów o wyrazach rzeczywistych. Zobaczymy też pewne przykłady zastosowań tych twierdzeń.

Oto pierwsze z zapowiedzianych twierdzeń.

Twierdzenie [o trzech ciągach] Załóżmy, że $ (a_n),(b_n),(c_n)\subset \R $, a ponadto

\[ 	\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=g 	\]

i istnieje takie $ n_1\in\N $, że dla wszystkich $ n> n_1 $ zachodzą nierówności

\[ 	a_n\le c_n\le b_n\, . 	\]

Wówczas $ \lim_{n\to\infty} c_n=g $.

Dowód:
To twierdzenie jest stosunkowo prostym wnioskiem ze Stwierdzenia~ [link]. Ustalmy liczbę $ \eps>0 $. Ponieważ $ g=\lim a_n > g-\eps $, więc istnieje takie $ n_2\in\N $, że $ a_n>g-\eps $ dla $ n>n_2 $. Podobnie, $ g=\lim b_n<g+\eps $, więc istnieje takie $ n_3\in\N $, że $ b_n<g+\eps $ dla $ n>n_3 $.

Dla $ n>\max(n_1,n_2,n_3) $ możemy skorzystać ze wszystkich nierówności, w których występują $ a_n,b_n $ i $ c_n $. Zatem, dla takich $ n $,

\[ g-\eps < a_n\le c_n\le b_n < g+\eps\, , \]

stąd zaś wynika, że $ |c_n-g|<\eps $ dla wszystkich $ n>\max(n_1,n_2,n_3) $.

Twierdzenie o trzech ciągach jest bardzo wygodnym narzędziem. Popatrzmy na przykłady jego zastosowań.

Przykład Niech $ x\in (0,1) $. Obliczymy granicę ciągu $ c_n=\sqrt[n] x $. Załóżmy najpierw, że $ x\ge 1 $. Wtedy dla wszystkich $ n>n_1=[x]+1>x $ zachodzą nierówności

\[  1\le c_n=\sqrt[n]{x} <\sqrt[n]n\, . 	\]

Wiemy już jednak, że $ b_n=\sqrt[n]n\to 1 $ dla $ n\to\infty $, a ciąg stały $ a_n\equiv1 $ też ma granicę $ 1 $. Zatem, z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

\[ \begin{equation} 	\label{vaueniks} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n] x = 1\, . \end{equation} \]

Jeśli $ x\in (0,1) $, to $ \sqrt[n]x = 1/\sqrt[n] y $ dla $ y= 1/x >1 $, a więc wzór vaueniks także zachodzi.

Przykład Niech $ q\in\R $, $ |q|<1 $. Wtedy

\[ \lim_{n\to\infty} q^n = 0\, . \]

Ponieważ $ |q^n-0| = |q^n|=\bigl||q|^n-0\bigr| $, więc wystarczy ograniczyć się do przypadku $ q\in [0,1) $. Dla $ q=0 $ mamy do czynienia z ciągiem stałym, $ q^n\equiv 0 $; wtedy nie ma czego dowodzić.

Niech więc $ q\in (0,1) $; oznaczmy $ a=\frac 1 q -1 $. Wtedy $ a>0 $, $ 1/q = 1 +a $ i z nierówności Bernoulliego mamy

\[ \frac{1}{q^n} = (1+a)^n \ge 1 + na > na\quad\mbox{dla $n\in\N$.} \]

Zatem,

\[ 0\ \longleftarrow\ 0< q^n < \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{n} \ \longrightarrow 0, \]

gdyż $ \frac 1n \to 0 $, i dla dowolnej liczby rzeczywistej $ c $ z twierdzenia o iloczynie granicy ciągów wynika, że $ c \cdot \frac 1n \to 0 $. Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy teraz, że $ q^n\to 0 $ dla $ n\to \infty $.

Przykład Wykażemy, że

\[ \begin{equation} 		\label{vau-34} 	\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{3^n+4^n} = 4. \end{equation} \]

Wskażemy w tym celu odpowiednie oszacowania $ \sqrt[n]{3^n+4^n} $ z góry i z dołu. Ponieważ $ 0<3^n<4^n $ dla wszystkich $ n\in\N $, więc

\[ 	4=\sqrt[n]{4^n}<  \sqrt[n]{3^n+4^n} < \sqrt[n]{2\cdot 4^n}= 4\sqrt[n] 2\, . 	\]

Jednak $ 4\sqrt[n]2\to 1 $, gdy $ n\to\infty $; to wynika z udowodnionego wcześniej wzoru vaueniks. Oszacowaliśmy więc $ \sqrt[n]{3^n+4^n} $ z góry i z dołu przez wyrazy ciągów zbieżnych do liczby 4; można zastosować twierdzenie o trzech ciągach i stwierdzić, że wzór vau-34 rzeczywiście zachodzi.

W istocie, prawdziwy jest wzór nieco ogólniejszy od vau-34.

Przykład Jeśli $ k $ jest liczbą naturalną i $ 0\le x_1\le x_2\le \ldots\le x_k $, to

\[ \begin{equation} 	\label{vau-sumak} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+\cdots +x_k^n} = x_k\, . \end{equation} \]

Istotnie, możemy wypisać oczywiste nierówności

\[ x_k=\sqrt[n]{x_k^n}\le \sqrt[n]{x_1^n+x_2^n+\cdots +x_k^n}\le  \sqrt[n]{k\cdot x_k^n} = x_k\sqrt[n]k\, . \]

Wiemy już jednak, że $ \sqrt[n] k \to 1 $, zatem, podobnie jak w poprzednim przykładzie, wzór vau-sumak wynika z twierdzenia o trzech ciągach.

Uważny Czytelnik spostrzegł zapewne, że praktycznie we wszystkich sytuacjach posługiwaliśmy się w istocie prostym wnioskiem z twierdzenia o trzech ciągach.

Wniosek Jeśli $ b\le c_n\le b_n $ dla wszystkich $ n>n_1 $, a ponadto $ \lim_{n\to\infty} b_n=b $, to wtedy także $ \lim_{n\to\infty} c_n=b $.

Drugie z zapowiedzianych twierdzeń zasługuje na osobny podrozdział.

Ciągi monotoniczne.

Definicja Ciąg liczb rzeczywistych $ (a_n) $ jest:

  1. malejący, gdy $ a_n>a_{n+1} $ dla wszystkich $ n\in \N $;
  2. niemalejący, gdy $ a_n\le a_{n+1} $ dla wszystkich $ n\in \N $;
  3. rosnący, gdy $ a_n<a_{n+1} $ dla wszystkich $ n\in \N $;
  4. nierosnący, gdy $ a_n\ge a_{n+1} $ dla wszystkich $ n\in \N $.
Definicja Ciąg $ (a_n) $ jest monotoniczny, gdy spełnia któryś z warunków (i)-(iv) poprzedniej definicji. Ciąg $ (a_n) $ jest ściśle monotoniczny, gdy jest rosnący albo malejący.
Twierdzenie (#) Załóżmy, że ciąg $ (a_n)\subset \R $ jest niemalejący i ograniczony z góry. Wówczas ciąg $ (a_n) $ jest zbieżny. Jego granicą jest liczba

\[ M= \sup\{a_n \mid n\in \N\}\, . \]

Dowód:
Zauważmy najpierw, że zbiór wyrazów ciągu, $ A=\{a_n \mid n\in \N\} $, jest ograniczony z góry, więc liczba $ M=\sup A\in \R $ istnieje.

Ustalmy $ \eps>0 $. Ponieważ $ M-\eps<M $, więc $ M-\eps $ nie jest ograniczeniem górnym zbioru $ A $. Zatem, znajdziemy takie $ n_1 $, że

\[ M-\eps< a_{n_1} \le M\, . \]

Ciąg $ (a_n) $ jest niemalejący; dlatego $ a_m\ge a_{n_1} $ dla wszystkich $ m>n_1 $. Jednak oczywiście mamy też $ a_m\le M $, gdyż $ M $ jest ograniczeniem górnym zbioru wyrazów ciągu. Podsumowując, mamy

\[ M-\eps< a_{n_1} \le a_m\le M< M+\eps \qquad\mbox{dla wszystkich } m>n_1, \]

tzn. $ |a_m-M|< \eps $ dla $ m>n_1 $. Przeto, zgodnie z definicją granicy ciągu, $ \lim_{n\to\infty} a_n=M $.

Ponieważ ciąg $ (a_n) $ jest niemalejący wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $ (-a_n) $ jest nierosnący, a $ \sup \{a_n \mid n\in \N\}=-\inf\{(-a_n) \mid n\in \N\} $, więc zachodzi oczywiście następujący, bliźniaczy fakt.

Wniosek (#) Załóżmy, że ciąg $ (a_n)\subset \R $ jest nierosnący i ograniczony z dołu. Wówczas ciąg $ (a_n) $ jest zbieżny. Jego granicą jest liczba

\[ M= \inf\{a_n \mid n\in \N\}\, . \]

Przykład Niech $ a_1=\sqrt{6} $ i $ a_{n+1}=\sqrt{6+a_n} $ dla wszystkich $ n\in \N $, tzn.

\[ 	a_2=\sqrt{6+\sqrt{6}}\, ,\quad a_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt 6}}, \quad a_4=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt 6}}}, \quad\ldots 	\]

Sprawdzimy, że ciąg $ a_n $ jest rosnący i ograniczony. Niech $ x>0 $. Zauważmy, że dla takich $ x $ nierówność $ \sqrt{x+6}>x $ jest równoważna innej, $ x^2-x-6<0 $. Ponieważ $ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $, więc ostatecznie

\[ \begin{equation} 	\label{sqrtx6x} 	x> 0 \mbox{ i } \sqrt{x+6}>x\quad \Leftrightarrow\quad x\in (0,3)\, . \end{equation} \]

Zauważmy też, że

\[ \begin{equation} \label{xin03} x\in (0,3) \quad \Rightarrow \quad 0< x+6 < 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x+6} \in (0,3)\, . \end{equation} \]

Wyrazy ciągu $ a_n $ są oczywiście dodatnie. Ponieważ $ a_1=\sqrt{6}\in (2,3) $, więc z implikacji xin03 wynika, na mocy zasady indukcji matematycznej, że $ a_n\in (0,3) $ dla wszystkich $ n\in \N $; ciąg $ (a_n) $ jest więc ograniczony. Ponadto,

\[ a_{n+1} = \sqrt{a_n+6} \stackrel{\eqref{sqrtx6x}} > a_n, \qquad \mbox{bowiem wiemy już, że $a_n\in(0,3)$.} \]

Zatem ciąg $ a_n $ jest rosnący. Z Twierdzenia~ [link] wynika, że istnieje granica tego ciągu.

Nietrudno tę granicę znaleźć: ponieważ

\[ a_{n+1}^2 = 6 + a_n, \]

więc z Twierdzenia~ [link] wynika, że $ a=\lim a_n $ spełnia równość $ a^2=6+a $, a przy tym $ a\ge 0 $, gdyż $ a_n>0 $ dla wszystkich $ n $. Przeto $ a=3 $.

     Uwaga. Ostatni fragmemt rozumowania wolno przeprowadzić dopiero wtedy, gdy wiadomo już, że liczba $ a=\lim a_n $ istnieje. Wcześniej można stąd jedynie wywnioskować, że jeśli $ a=\lim a_n $ istnieje i $ a\ge 0 $, to wtedy $ a=3 $.

Przykład Niech $ a_1=\sqrt 3 $ i $ a_{n+1}=12 + \frac{a_n}7 $ dla wszystkich $ n\in\N $. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, mamy $ a_n>0 $ dla wszystkich $ n\in \N $, a także $ a_n>12 $ dla wszystkich $ n>1 $. Przez indukcję łatwo wykazać, że $ a_n<14 $ dla wszystkich $ n\in \N $ (tzn. ciąg $ a_n $ jest ograniczony, z dołu przez 0, a z góry przez $ 14 $). Zatem,

\[ 	a_{n+1}-a_n=12+\frac{ a_n}{7}-a_n=12-\frac{6 a_n}{7}> 12-\frac{6\cdot 14} 7 = 0, 	\]

tzn. ciąg $ a_n $ jest rosnący. Z Twierdzenia~ [link] wynika teraz, że istnieje granica $ a=\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n $ tego ciągu. Mamy także $ a=12+a/7 $, stąd zaś $ a=14 $.

Granice niewłaściwe

Wśród wszystkich ciągów rozbieżnych wygodnie jest wyróżnić osobno ciągi rozbieżne do plus nieskończoności i ciągi rozbieżne do minus nieskończoności

Definicja Mówimy, że ciąg liczb rzeczywistych $ a_n $ jest rozbieżny do plus nieskończoności, i piszemy

\[ \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty, \]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej $ t $ istnieje $ n_1\in \N $ takie, że $ a_n>t $ dla wszystkich $ n>n_1 $.

Definicja Mówimy, że ciąg liczb rzeczywistych $ a_n $ jest rozbieżny do minus nieskończoności, i piszemy

\[ \lim_{n\to\infty} a_n=-\infty, \]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej $ t $ istnieje $ n_1\in \N $ takie, że $ a_n<-t $ dla wszystkich $ n>n_1 $.

Oto proste przykłady: ciąg $ a_n=n $ jest rozbieżny do $ +\infty $, ciąg $ b_n=-n^2 $ jest rozbieżny do $ -\infty $, natomiast ciąg $ c_n=(-1)^n n^2 $ jest rozbieżny, ale nie jest rozbieżny ani do $ +\infty $, ani do $ -\infty $. Czytelnik sam zechce się zastanowić, dlaczego tak jest.

Posługując się pojęciem granicy nieskończonej, łatwo jest podać nieco ogólniejszą wersję Twierdzenia~ [link].

Twierdzenie (#) Każdy ciąg niemalejący $ (a_n)\subset\R $ jest albo zbieżny, albo rozbieżny do $ +\infty $. Zbieżność $ (a_n) $ jest równoważna jego ograniczoności.

Dowód:
Gdy ciąg jest ograniczony, to korzystamy po prostu z Twierdzenia~ [link]. Gdy $ (a_n) $ jest nieograniczony z góry, to dla każdej liczby $ t>0 $ można wskazać takie $ n_1\in\N $, że $ a_{n_1}>t $. Dla $ m\ge n_1 $ mamy $ a_m\ge a_{n_1}>t $, gdyż ciąg $ (a_n) $ jest niemalejący. Zatem, wprost z definicji, $ \lim_{n\to\infty} a_n=+\infty $.

Można wykazać, że przy naturalnej umowie

\[ \begin{gather*} a+(+\infty) = +\infty\quad\mbox{dla $a\in \R$}, \qquad -(-\infty) = +\infty, \qquad +\infty+\infty = +\infty \\ 	a\cdot(\pm\infty) = \pm\infty\quad\mbox{dla $a>0$},\qquad (+\infty)\cdot(\pm\infty)=\pm\infty\, \\ (-\infty)\cdot	(\pm\infty)=\mp\infty\qquad\mbox{oraz}\qquad \frac 1{\pm \infty }=0 \end{gather*} \]

twierdzenie o arytmetycznych własnościach granicy (Twierdzenie~ [link]) zachodzi także dla granic nieskończonych. Szczegółowe sprawdzenie tego faktu pozostawiamy zainteresowanym Czytelnikom (patrz też przykład, zamieszczony niżej). Nie można go jednak używać w innych przypadkach, tzn. do obliczania granic postaci

\[ 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad \frac\infty\infty\, . \]
Ćwiczenie Dla dowolnego $ a\in \R_+\cup\{0,+\infty\} $ podać przykład takich dwóch ciągów $ x_n,y_n $ rozbieżnych do $ +\infty $, żeby $ x_n/y_n\to a $ dla $ n\to\infty $.

Przykład Załóżmy, że $ a_n\to a\in \R $, natomiast $ b_n\to +\infty $. Sprawdzimy, że wtedy $ a_n+b_n\to +\infty $. Niech $ M>0 $ będzie dużą liczbą dodatnią. Dla wszystkich dostatecznie dużych $ n $ mamy

\[ 	a_n> a-1\qquad \mbox{oraz}\qquad b_n> M-a+1\, . 	\]

(Pierwszą nierówność otrzymujemy, biorąc $ \eps=1 $ w definicji granicy ciągu, a drugą - biorąc $ t=M-a+1 $ w definicji granicy niewłaściwej). Dodając obie nierówności stronami, sprawdzamy, że dla wszystkich dostatecznie dużych $ n $ zachodzi nierówność $ a_n+b_n>M $.

Podciągi. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja Jeśli $ (x_n)_{n\in\N} $ jest dowolnym ciągiem, a $ k_1,k_2,k_3,\ldots $ rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to ciąg $ (y_n) $, określony wzorem

\[ 	y_n= x_{k_n}, \qquad n=1,2,\ldots 	\]

nazywamy podciągiem ciągu $ (x_n) $.

Mówiąc potocznie, chodzi o wybranie nieskończenie wielu wyrazów ciągu, ale bez zmiany kolejności.

Pojęcie podciągu jest ważne m.in. z następującego powodu.

Stwierdzenie Jeśli ciąg $ (a_n)\subset \R $ jest zbieżny do $ g $, to każdy podciąg ciągu $ (a_n) $ też jest zbieżny do $ g $.

Łatwy dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.

Lemat [W. Sierpiński] (#) Każdy ciąg liczb rzeczywistych ma podciąg monotoniczny.

Co więcej, można wskazać, jak taki podciąg należy wybierać.

Dowód:
Połóżmy, dla wszystkich $ n\in \N $,

\[ A_n =\{a_m \ \colon \ m\ge n\} = \{a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}, \ \ldots\}\, . \]

Rozważymy osobno dwa przypadki:

  1. W każdym ze zbiorów $ A_n $ istnieje element największy.
  2. W którymś ze zbiorów $ A_n $ nie ma elementu największego.

W pierwszym przypadku z $ (a_n) $ można wybrać podciąg nierosnący. Pokażemy, jak to zrobić. Niech $ a_{k_1} $ będzie największym elementem $ A_1 $. W $ A_{k_1+1} $ jest element największy, $ a_{k_2} $; oczywiście $ k_2\ge k_1+1> k_1 $, a przy tym $ a_{k_2}\le a_{k_1} $, bo $ a_{k_2}\in A_{1} $, $ a_{k_1}=\sup A_1 $. Jeśli wyrazy $ a_{k_1}\ge a_{k_2}\ge \ldots \ge a_{k_n} $, gdzie $ k_1<k_2<\ldots< k_{n} $, zostały już wybrane, to dobieramy $ k_{n+1}\ge k_n+1 $ tak, aby

\[ a_{k_{n+1}}:=\sup A_m \quad\mbox{dla }{m=k_n+1}\, . \]

Definicja jest poprawna, gdyż w każdym zbiorze $ A_m $ istnieje element największy. Mamy, jak w pierwszym kroku rozumowania, $ k_{n+1}>k_n $ i $ a_{k_{n+1}}\le a_{k_n} $.

W drugim przypadku można wybrać z $ (a_n) $ podciąg rosnący. Przypuśćmy, że w $ A_m $ nie ma elementu największego. Bierzemy wtedy $ k_1=m $. Zgodnie z założeniem, istnieje $ k_2>m $ takie, że $ a_{k_2}>a_{k_1}=a_m $. Gdyby dalej, dla $ n>k_2 $, nie byłoby już wyrazów większych od $ a_{k_2} $, to wtedy w $ A_m $ byłby element największy, wbrew założeniu. Zatem można znaleźć $ a_{k_3}> a_{k_2}, $ gdzie $ k_3>k_2 $. To rozumowanie można powtórzyć dowolnie wiele razy (Czytelnik zechce sam uzupełnić szczegóły).

Twierdzenie [Bolzano-Weierstrassa] Każdy ciąg ograniczony $ (a_n)\subset \R $ zawiera podciąg zbieżny.

Dowód:
Zgodnie z poprzednim lematem, ciąg $ (a_n) $ ma podciąg monotoniczny $ (a_{k_n}) $. Oczywiście każdy podciąg ciągu ograniczonego jest ograniczony. Z Twierdzenia~ [link] wynika więc, że podciąg $ (a_{k_n}) $ jest zbieżny.

Ponieważ to naprawdę istotne twierdzenie, obejrzyjmy jeszcze jeden dowód.

    Dowód drugi. Można bez zmniejszenia ogólności założyć, że $ (a_n)\subset [0,1] $ -- gdyby tak nie było, możemy rozpatrzeć ciąg $ \lambda(a_n + C) $ dla odpowiednio wybranych $ C $ oraz $ \lambda $; jego podciągom zbieżnym odpowiadają zbieżne podciągi ciągu $ (a_n) $.

Podzielmy odcinek $ [0,1] $ na 10 równych części, o długości $ 1/10 $. W jednej z nich, powiedzmy $ [l_1,r_1] $, jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Wybierzmy jeden z nich, $ a_{k_1} $. Teraz podzielmy odcinek $ [l_1,r_1] $ na 10 równych części, o długości $ 1/10^2 $. W jednej z nich, powiedzmy $ [l_2,r_2] $ jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu o numerach większych od $ k_1 $; niech $ a_{k_2} $ będzie jednym z tych wyrazów.

Przeprowadziwszy $ m $ kroków takiego rozumowania, skonstruujemy

  • Przedziały domknięte $ [0,1]\supset [l_1,r_1]\supset[l_2,r_2]\supset \ldots \supset [l_m,r_m] $ takie, że
    \[ 	|l_j-r_j|= \frac 1{10^j}, \qquad{j=1,2,\ldots, m,} 	\]

    i w każdym z nich jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ (a_n) $;

  • Wyrazy $ a_{k_1} $, $ a_{k_2} $, \ldots, $ a_{k_m} $ takie, że
    \[ 	a_{k_j}\in [l_j,r_j] \quad\mbox{dla $j=1,\ldots, m$}; \qquad 	\]

W $ (m+1) $-szym kroku dzielimy odcinek $ [l_m,r_m] $ na 10 równych części. W jednej z nich jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu o numerach większych od $ k_m $. Nazywamy tę część $ [l_{m+1},r_{m+1}] $ i wybieramy numer $ k_{m+1}=s>k_m $ tak, żeby $ a_s\in [l_{m+1},r_{m+1}] $.

W efekcie otrzymujemy nieskończony, zstępujący ciąg przedziałów $ [l_{m},r_{m}] $ i podciąg $ (a_{k_m}) $ taki, że $ a_{k_m}\in [l_{m},r_{m}] $. Ciąg $ (l_m) $ jest niemalejący i ograniczony z góry przez 1, a ciąg $ (r_m) $ nierosnący i ograniczony z dołu przez 0, zatem oba są zbieżne. Ponadto,

\[ \lim_{m\to\infty} l_m = \lim_{m\to\infty} r_m, \qquad\mbox{gdyż}\quad r_m-l_m=\frac 1{10^m}\to 0. \]

Nietrudno wreszcie zauważyć, że

\[ \lim_{m\to\infty} l_m = \lim_{m\to\infty} a_{k_m} = \lim_{m\to\infty} r_m \]

- to wynika z twierdzenia o trzech ciągach.

    Uwaga. Czytelnik-koneser zechce zauważyć, że w drugim dowodzie tak naprawdę dobieramy kolejne wyrazy ciągu, próbując stabilizować coraz dłuższe początkowe fragmenty rozwinięć dziesiętnych. Oczywiście, liczbę 10 można zastąpić w rozumowaniu liczbą 2, i nie trzeba od początku zakładać, że wyrazy ciągu są akurat w przedziale jednostkowym, ale wtedy analogia związana z rozwinięciami dziesiętnymi nie jest widoczna.

Wniosek (#) Ciąg ograniczony ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich jego podciągów są równe.

Dowód:
Jest rzeczą praktycznie oczywistą, że jeśli ciąg $ a_n $ ma granicę, to wszystkie jego podciągi są zbieżne do tej samej granicy. Jeśli $ (a_n) $ jest rozbieżny (ale ograniczony), to wobec Tw. Bolzano-Weierstrassa ma zbieżny podciąg, $ a_{n_k}\to g $. Ponieważ $ g $ nie jest granicą ciągu $ (a_n) $, to dla pewnego $ \eps_0>0 $ poza przedziałem $ (g-\eps_0,g+\eps_0) $ jest nieskończenie wiele wyrazów ciągu; z nich wybieramy inny podciąg zbieżny, którego granica $ g' $ - zgodnie ze stwierdzeniem~ [link] - różni się od $ g $ co najmniej o $ \eps_0 $.

 

Czasem bywa tak, że umiemy wykazać zbieżność kilku różnych podciągów danego ciągu (np. niektóre są rosnące, a inne malejące, a wszystkie są ograniczone), dobranych tak, że każdy wyraz ciągu należy do jednego z tych podciągów. Wtedy przydaje się następujący prosty fakt.

Stwierdzenie (#) Jeśli ciąg $ (a_n)\subset \R $ ma $ k $ różnych podciągów zbieżnych do tej samej granicy $ g $, i każdy wyraz ciągu $ (a_n) $ jest wyrazem któregoś z tych podciągów (tzn. zbiór $ \{a_n\ \colon\ n\in\N\} $ jest sumą zbiorów wyrazów rozważanych podciągów), to $ a_n\to g $ dla $ n\to \infty $.

Dowód:
Ustalmy $ \eps>0 $. Wybierzmy liczby $ l_1,\ldots, l_k\in \N $ tak, aby spełniony był warunek: \begin{quote} \it Jeśli $ a_m\  $ jest wyrazem $ j $-tego z rozważanych podciągów (gdzie $ j=1,\ldots, k $) \newline i numer~$ m>l_j $, to $ |a_m-g|<\eps $. \end{quote} (Innymi słowy, liczbę $ l_j $ dobieramy do $ \eps, $ korzystając ze zbieżności $ j $-tego podciągu). Połóżmy $ l_0=\max(l_1,\ldots, l_k) $. Ponieważ każdy wyraz ciągu $ (a_n) $ jest wyrazem któregoś z $ k $ rozważanych podciągów, więc dla każdego $ m>l_0 $ z pewnością $ |a_m-g|<\eps $.

Podamy teraz ważne twierdzenie, które podaje warunek równoważny zbieżności ciągu.

Twierdzenie [warunek Cauchy'ego]{}(#) Ciąg $ (a_n)\subset \R\,  $ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujący warunek Cauchy'ego:

    \setcounter{enumi}{2}

  1. Dla każdej liczby $ \eps>0 $ istnieje $ n_\eps\in\N $ takie, że dla wszystkich $ m,k>n_\eps $ zachodzi nierówność $ |a_m-a_k|<\eps $.

Dowód:
Część I. ($ \Rightarrow $) Niech $ \eps>0 $. Jeśli $ g=\lim_{n\to\infty} a_n $, to istnieje $ n_\eps\in\N $ takie, że $ |a_n-g|<\eps/2 $ dla wszystkich $ n>n_\eps $. Weźmy teraz dwie liczby $ m,k>n_\eps $. Wówczas

\[ |a_m-a_k|=\bigl|(a_m-g)+(g-a_k)\bigr|\le |a_m-g|+|a_k-g|< \frac \eps 2 + \frac \eps 2 =\eps\, . \]

Zatem ciąg $ (a_n) $ spełnia warunek (C) - właśnie pokazaliśmy, jak dobrać $ n_\eps $ do liczby $ \eps>0 $.

  Część II. ($ \Leftarrow $) Łatwo sprawdzić, że każdy ciąg spełniający (C) jest ograniczony: stosujemy warunek Cauchy'ego dla $ \eps=1 $ i widzimy, że dostatecznie duże wyrazy różnią się o mniej niż 1, a więc muszą zawierać się w pewnym przedziale, np. przedziale $ (a_{n_1+1}-1,a_{n_1+1}+1) $; skończony zbiór wyrazów $ a_1,\ldots, a_{n_1} $ też jest ograniczony.

Stosujemy zatem twierdzenie Bolzano-Weierstrassa i wybieramy z $ (a_n) $ podciąg $ a_{n_k}\to g\in\R $ dla $ k\to\infty $. Pokażemy, że $ g $ jest granicą całego ciągu $ (a_n) $. Niech $ \eps>0 $. Istnieje takie $ l_1\in\N $, że

\[ |a_{n_k}-g|<\frac \eps 2 \qquad\mbox{dla $n_k>l_1$}, \]

a ponadto istnieje takie $ l_2\in\N $,że $ |a_m-a_k|<\eps/2 $ dla $ m,k>l_2 $. Niech $ l_3=\max(l_1,l_2) $. Ustalając jakikolwiek numer $ n_k>l_3\ge l_1 $ i biorąc dowolne $ m>l_3\ge l_2 $, możemy oszacować

\[ |a_m-g|=|a_m-a_{n_k}+ a_{n_k}-g|\le |a_m-a_{n_k}|+ |a_{n_k}-g|  < \frac \eps 2 + \frac \eps 2 =\eps\, .                               \]

To kończy dowód twierdzenia.

Warunek Cauchy'ego odgrywa ważną rolę z kilku powodów. Po pierwsze, pozwala stwierdzić zbieżność ciągu bez wskazywania konkretnej granicy, a także pozwala stwierdzić, że jakiś ciąg jest rozbieżny. Proszę zauważyć, że wcześniej, sprawdzając rozbieżność ciągu $ a_n=(-1)^n $, sprawdziliśmy tak naprawdę, że warunek Cauchy'ego nie zachodzi dla $ \eps=1 $. Po drugie, można posłużyć się warunkiem Cauchy'ego, żeby skonstruować liczby rzeczywiste, mając do dyspozycji liczby wymierne; jest to konstrukcja na tyle ogólna, że używa się jej w wielu działach matematyki - do tej sprawy wrócimy jeszcze przy innej okazji.

Stwierdzenie [kryterium spełniania warunku Cauchy'ego] Załóżmy, że $ a_1,a_2,\ldots $ są dodatnie, a ponadto istnieje taka stała $ C\in \R $, że

\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \le C \quad\mbox{dla wszystkich $n\in\N$.} \]

Jeśli ciąg $ (x_n)\subset \R $ spełnia warunek

\[ |x_{n+1}- x_n|\le a_n \qquad \mbox{dla dostatecznie dużych $n\in\N$,} \]

to $ (x_n) $ spełnia warunek Cauchy'ego.

Dowód:
Ciąg $ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n $ jest rosnący (bo $ a_j $ są dodatnie) i ograniczony z góry przez $ C $. Zatem $ (s_n) $ jest zbieżny i spełnia warunek Cauchy'ego.

Niech $ m>k $ będą dostatecznie duże. Piszemy, korzystając z nierówności trójkąta, założeń i monotoniczności ciągu $ s_n $,

\[ \begin{eqnarray*} |x_m-x_k | &\le& |x_{m}-x_{m-1}| +|x_{m-1}-x_{m-2}|+\cdots+|x_{k+1}-x_k| \\ & \le & a_{m-1}+a_{m-2}+\cdots+a_k \\ & = & s_{m-1} - s_{k-1} = |  s_{m-1} - s_{k-1}|\, . \end{eqnarray*} \]

Niech $ \eps>0 $. Dla wszystkich dostatecznie dużych $ m,k $ mamy $ |x_m-x_k| \le |s_{m-1} - s_{k-1}|<\eps $, gdyż $ (s_n) $ spełnia warunek Cauchy'ego. Zatem $ (x_n) $ też spełnia warunek Cauchy'ego.

Przykład Nietrudno zauważyć, że jeśli dla danego ciągu $ (x_n) $ umiemy wskazać taką stałą $ M>0 $ i taką liczbę $ q\in (0,1) $, że

\[ 	 |x_{n+1}-x_n| \le Mq^n  \qquad \mbox{dla dostatecznie dużych $n\in\N$,} 	\]

to założenia powyższego stwierdzenia są spełnione. Istotnie, biorąc wtedy $ a_n=Mq^n $ mamy

\[ 	s_n=Mq+Mq^2+\cdots + Mq^n = Mq\frac{1-q^n}{1-q}\le \frac{Mq}{1-q}\quad \mbox{dla wszystkich $n\in\N$.} 	\]

To wynika ze szkolnego wzoru na sumę skończonego postępu geometrycznego; patrz także Lemat~ [link] i szkic jego dowodu.

Ćwiczenie [wzór na sumę szeregu geometrycznego] Proszę wykazać, że jeśli $ |q|<1 $, to

\[ 	\lim_{n\to\infty} (1+q+\cdots +q^{n-1}) = \frac{1}{1-q}   	\, . 	\]