Potrafimy już definiować potęgi liczb dodatnich o wykładniku wymiernym: jeśli i
dla
, to naturalnie jest przyjąć
![]() |
Zasdadniczym celem tego rozdziału jest wskazanie, jak można określać potęgę liczby
o dowolnym wykładniku rzeczywistym
- także niewymiernym, i jak określić logarytm, to znaczy funkcję, która dla danych liczb dodatnich
,
, wskazuje taką liczbę
, że
.
Poznamy przy okazji cały szereg fundamentalnych własności tych funkcji. Jak Czytelnik być może zauważy, w nazwach niektórych z tych własności figurują takie słowa jak ciągłość i różniczkowalność. Na razie to tylko terminy; pełną treść nadamy im wtedy, gdy zajmiemy się bliżej systematycznym badaniem własności funkcji ciągłych i funkcji różniczkowalnych.
Uwaga. W jednym z późniejszych rozdziałów zajmiemy się wprowadzeniem funkcji wykładniczej w dziedzinie zespolonej. Do tego jednak przyda się nam nieco więcej narzędzi.
Funkcja wykładnicza



![]() |
Dowód:
Ponieważ , więc
i
dla dostatecznie dużych
; dla takich
skorzystamy dwukrotnie z nierówności Bernoulliego. (Czytelnik zechce sprawdzić, że dzięki poprzedniemu zdaniu wszystkie założenia tej nierówności są spełnione). Po pierwsze,
![]() |
Po drugie,
![]() |
Zatem, dla wszystkich dostatecznie dużych ,
![]() |
Ponieważ (i oczywiście tym bardziej
) dla
, więc teza lematu łatwo wynika z twierdzenia o 3 ciągach.
□

![]() |
jest zbieżny do granicy , która ma następujące własności:
-
dla każdego
i
;
-
dla wszystkich
;
-
dla każdego
;
- (Monotoniczność):
dla wszystkich
;
-
dla każdego
;
-
dla każdego
;
- (Ciągłość): jeśli
, to
;
- (Różniczkowalność): jeśli
i
dla
, to
Dowód:
Plan postępowania jest taki: wykażemy, że granica ciągu
istnieje dla każdego
, a potem stopniowo będziemy dowodzić jej własności.
Krok 1. Najpierw sprawdzimy, że ciąg jest monotoniczny od pewnego miejsca. Ustalmy
. Rozpatrujemy odtąd tylko
; wtedy
i
, zatem
![]() |
Zapiszmy iloraz potęg, występujący w ostatnim wyrażeniu, w postaci i skorzystajmy wtedy z nierówności Bernoulliego:
![]() |
(Dla oczywiście wolno było nierówność Bernoulli'ego stosować; dla
jest
). Zatem istotnie ciąg
jest niemalejący dla
.
Krok 2. Niech . Wtedy dla
zachodzą nierówności
![]() |
a to znaczy, że ciąg jest ograniczony. Ponieważ jest niemalejący od pewnego miejsca, więc jest zbieżny, a jego granica
, bo dzięki monotoniczności
dla
.
Krok 3. Dla posłużymy się sztuczką. Mianowicie,
, a zatem dla
możemy napisać
![]() |
Z lematu o ciągach szybko zbieżnych do 1 wiemy, że licznik jest zbieżny do 1, a z poprzedniego kroku dowodu - że mianownik jest zbieżny do . Zatem, z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów,
. Dla
oczywiście
. To daje istnienie
dla każdego
i własność (E1).
Krok 4. Teraz udowodnimy, że własności (E2)-(E6) istotnie przysługują .
Z twierdzenia o granicy ilorazu
![]() |
Łatwo zauważyć, że , więc z lematu o ciągach szybko zbieżnych do 1 otrzymujemy
, czyli własność (E2). Ponieważ, dzięki nierówności Bernoulliego,
dla wszystkich
i wszystkich
, więc na mocy stwierdzenia o szacowaniu granic także
. To daje własność (E3). Sprawdzimy monotoniczność, czyli własność (E4). Niech
. Korzystając z (E1)-(E3) piszemy
![]() |
gdyż i
. Zatem
dla
.
Własność (E5) łatwo wynika z (E3) i (E2). Istotnie, dla
, a więc dla takich
jest
![]() |
Aby wykazać (E6), stosujemy dla własności (E3) i (E5):
![]() |
(w ostatniej nierówności używamy warunku ).
Krok 5. Na koniec wykażemy własności (E7) i (E8). Jeśli , to wówczas
dla dostatecznie dużych
, więc oznaczając dla krótkości
, otrzymujemy z nierówności trójkąta
![]() |
Zatem, posługując się twierdzeniem o 3 ciągach, łatwo wnioskujemy, że dla
. Ponadto,
![]() |
więc także .
Została nam ostatnia własność, (E8). Piszemy
![]() |
Skoro , to dla dostatecznie dużych
jest
i wtedy
![]() |
a więc dla
. Zatem,
dla
, a to właśnie należało udowodnić.
Dowód całego twierdzenia jest teraz zakończony.
□


![]() |
Dla piszemy także
, gdzie
. Funkcja
nazywa się funkcją wykładniczą (zmiennej rzeczywistej).
Zatem,
![]() |
(Warto zauważyć, że wszystkie przytoczone wyżej cyfry rozwinięcia dziesiętnego znał Leonhard Euler przed 1750 rokiem!)
Wiemy już o funkcji wykładniczej bardzo wiele. Udowodnimy jeszcze jedną jej własność: każda liczba dodatnia jest wartością tej funkcji.



Dowód:
Wystarczy przeprowadzić dowód dla , gdyż
i jeśli
, to
, więc z równości
i
wynika, że
.
Niech przeto . Połóżmy
. Jeśli
, to dzięki (E3) jest
a więc
, tzn.
. Ponadto, dla
mamy, z własności (E5) użytej dla
,
![]() |
a więc dla wszystkich
dostatecznie dużych (wystarczy, by
, tzn. aby
). Zatem zbiór
jest niepusty i ograniczony z góry, a więc istnieje
. A priori, są trzy możliwości:
![]() |
Wykażemy, że pierwsze dwie prowadzą do sprzeczności. Przypuśćmy więc, że . Z własności (E7) wynika, że dla
ciąg
, a więc, dzięki Stwierdzeniu~ [link],
dla wszystkich dostatecznie dużych
. Innymi słowy,
, to zaś jest sprzeczność. Nie może więc być
.
Gdyby , to, podobnie jak przed chwilą, mielibyśmy
, tzn. dla wszystkich dostatecznie dużych
byłoby
![]() |
Z monotoniczności, patrz własność (E4), otrzymalibyśmy dla każdego
, ale
, więc byłaby to sprzeczność z definicją kresu górnego.
Musi zatem być . Jednoznaczność wynika z monotoniczności
.
□




Własności funkcji wykładniczej nietrudno przełożyć na odpowiednie własności logarytmu naturalnego.


- {(L\arabic{enumi)}}
- Dla wszystkich
jest
;
i
.
- (Monotoniczność logarytmu) Dla wszystkich
mamy
.
- Dla wszystkich
zachodzą nierówności
Równoważnie,
- Jeśli
dla wszystkich
i
, to
.
- (Ciągłość logarytmu) Jeśli
dla wszystkich
i
dla
, to wówczas
dla
.
- (Różniczkowalność logarytmu) Jeśli
dla
, a także
i
dla wszystkich
, to wówczas
Dowód:
Udowodnimy (L1). Ponieważ , więc istnieją
takie, że
,
(czyli:
,
). Z własności (E2) funkcji
otrzymujemy
![]() |
tzn. wprost z definicji logarytmu . Równości
,
wynikają stąd, że
,
. Nietrudno zauważyć, że logarytm jest monotoniczny: gdyby
dla pewnych
, to byłoby, dzięki monotoniczności funkcji wykładniczej,
, a to jest sprzeczność.
Teraz sprawdzimy, że zachodzą nierówności podane w punkcie (L3). Niech . Mamy
, tzn.
. Ponieważ
dla
, a z monotoniczności wynika, że
wtedy i tylko wtedy, gdy
, więc przy dodatkowym założeniu
,
, jest
![]() |
Gdy , to nierówność jest banalna, gdyż
dla
. To kończy dowód pierwszej wersji (L3); drugą otrzymujemy, podstawiając
(zauważmy:
wtedy i tylko wtedy, gdy
). Własność (L4) jest bardzo prosta. Otrzymujemy ją, stosując nierówności z punktu (L3) i twierdzenie o trzech ciągach.
Przejdźmy do dowodu ciągłości, tzn. do własności (L5). Ponieważ logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, więc
![]() |
gdzie , gdy
. Wiemy już jednak, że
dla każdego ciągu
,
; zatem
, gdy
i
dla
. To kończy dowód własności (L4).
Na koniec wykażemy różniczkowalność logarytmu. Zauważmy, że
![]() |
Wystarczy więc wykazać, że dla każdego ciągu , gdzie
i
dla wszystkich
, mamy
. Oznaczmy
; wtedy
i
. Zatem
![]() |
Sprawdziliśmy przed chwilą, dowodząc własności (L4), że . Korzystając z różniczkowalności funkcji wykładniczej, patrz własność (E8), wnioskujemy, że
dla
. Zatem także
.
□
Dysponując już funkcją wykładniczą i logarytmem, nietrudno jest zdefiniować potęgę dowolnej liczby dodatniej o dowolnym wykładniku rzeczywistym.


![]() |
W szczególności, dla liczby przyjęta definicja daje, zgodnie z naturalnym oczekiwaniem,
, gdyż
. Zauważmy też od razu, że dla
jest, dzięki własności (L1) logarytmu,
![]() |
co zgadza się ze zwykłą definicją potęgi o wykładniku naturalnym. Nietrudno podać listę własności potęg, podawaną na ogół w szkole (Odbywa się to zwykle bez wyjaśnienia, jak należy rozumieć napis , gdy liczba
nie jest wymierna, i dlaczego wtedy odpowiednie równości mają sens - prawda jest taka, że nie da się wtedy uniknąć jakiejś wersji przejść granicznych\ldots)


-
, a ponadto
i
.
-
i
.
- Jeśli
, to
dla wszystkich
, a jeśli
, to
dla wszystkich
.
- Jeśli ciąg
dla
, to wówczas
dla
.
- Jeśli
, to
dla wszystkich
oraz
dla wszystkich
.
Możemy także zdefiniować logarytm przy dowolnej podstawie ,
.



![]() |





- {\arabic{enumi})}
-
=
dla wszystkich
.
- Jeśli
, to
dla wszystkich
.
-
dla wszystkich
.
-
dla wszystkich
,
.
Warunek 2) bywa nazywany wzorem na zamianę podstawy logarytmu.
Charakteryzacja funkcji wykładniczej
Co ciekawe, niewielka część własności funkcji wykładniczej i logarytmu określa każdą z tych funkcji jednoznacznie. Oto odpowiednie twierdzenia.


- Dla wszystkich
jest
,
-
,
- Dla każdego
i każdego ciągu
ciąg
jest zbieżny do
,
to wówczas
![]() |
Dowód:
Plan dowodu jest bardzo prosty. Korzystając z dwóch pierwszych założeń, dowodzi się, że dla wszystkich
i sprawdza się równość f-exp dla wszystkich
(niezbyt trudna indukcja). Następnie, korzystając z trzeciego założenia i gęstości
w
, dowodzi się f-exp dla wszystkich
. Oto szczegóły:
Krok 1. Z pierwszego założenia otrzymujemy i
. Liczba
jest więc zerem lub jedynką. Nie może być jednak
, bo wtedy mielibyśmy
dla wszystkich
, a wiemy, że
. Zatem
, co oznacza, że
dla każdego
. Innymi słowy, liczba
jest różna od zera i nieujemna.
Stwierdziliśmy więc, że dla wszystkich
i
.
Krok 2. Wiemy, że . Jeśli przyjąć, że
, to
. Przez indukcję wnioskujemy, że
dla wszystkich
. Ponadto, dla
mamy
, tzn.
. Zatem
![]() |
Krok 3. Niech . Wtedy
![]() |
stąd zaś . Przez indukcję, podobnie jak w poprzednim kroku stosując własność
, dowodzimy teraz, że
. Wreszcie, ponieważ
, więc
![]() |
Krok 4. Niech . Istnieje wtedy (patrz Twierdzenie~ [link]) ciąg liczb wymiernych
zbieżny do
. Z założenia (iii) oraz ciągłości funkcji wykładniczej wnioskujemy, że
![]() |
Sprawdziliśmy więc, że dla wszystkich
.
□
Uwaga. Drugie założenie Twierdzenia~ [link] ma charakter normalizujący: gdyby przyjąć, że , to byłoby
. Zamiast zakładać, że
, można też przyjąć warunek
- \setcounter{enumi}{1} {(\roman{enumi})'}
- Dla każdego ciągu różnych od zera liczb
mamy
Wskazówka: co trzeba zmienić w pierwszym kroku dowodu? Jak wykazać, że ? (Wolno używać wszystkich udowonionych własności funkcji wykładniczej).

- Dla wszystkich
jest
,
-
,
- Dla każdego
i każdego ciągu liczb dodatnich
ciąg
jest zbieżny do granicy
,
to wówczas
![]() |
Przekonamy się za pewien czas, że funkcję wykładniczą i logarytm naturalny można określić także dla zespolonych wartości zmiennej. Trzeba to jednak zrobić nieco inaczej (Czytelnik zauważył zapewne, że w dowodach w tym rozdziale wielokrotnie korzystaliśmy z własności ciągów monotonicznych i nierówności Bernoulliego, a tych narzędzi trudno używać w ). Wygodnie będzie zająć się najpierw szeregami.