Czym zajmuje się Analiza Matematyczna?
Jedna z możliwych ogólnych odpowiedzi na to pytanie jest następująca: badaniem odpowiednio regularnych funkcji, określonych zwykle na podzbiorach przestrzeni wektorowych (Z pojęciem przestrzeni wektorowej Czytelnik tych notatek zetknie się na wykładach Geometrii z Algebrą Liniową.). Do najważniejszych zagadnień w Analizie należą zatem:
- sposoby definiowania tych funkcji oraz opis ich własności;
- badanie różnych typów procesów, które wiążą się z matematycznym opisem ciągłych zmian (przejścia graniczne, różniczkowanie, całkowanie);
- badanie wielu zastosowań powyższej teorii w innych obszarach, np. w geometrii, fizyce, ekonomii, biologii.
W najprostszym przypadku chodzi o funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Podczas pierwszego roku studiów matematycznych praktycznie nie będziemy się stykać z istotnie bardziej zaawansowanymi działami Analizy.
A jak powstaje typowa teoria matematyczna?
We współczesnej matematyce typowa teoria ma budowę aksjomatyczną. To znaczy, że wprowadzamy pewne pojęcia pierwotne, których nie definiujemy; zakładamy natomiast, że między tymi pojęciami zachodzą pewne określone związki, wyrażone za pomocą aksjomatów (inaczej nazywanych pewnikami). Na tej podstawie budujemy resztę teorii.
Ponieważ mamy zajmować się funkcjami zmiennej rzeczywistej, więc rozpoczniemy cały wykład od podania pojęć pierwotnych i aksjomatów teorii liczb rzeczywistych, oraz omówienia ich najważniejszych konsekwencji.
Aksjomatyka liczb rzeczywistych
Pojęcia pierwotne teorii liczb rzeczywistych są następujące: dany jest zbiór liczb rzeczywistych z dwoma wyróżnionymi elementami,
i
(przy czym
), relacja nierówności
, oraz dwa działania, dodawanie i mnożenie, przypisujące każdej parze liczb
ich sumę
oraz iloczyn
. Uwaga. Czytelnik, jeśli tylko chce, może sobie wyobrażać jako
zbiór punktów osi liczbowej, o której uczono go w szkole. Relacja nierówności, zero i jedynka, suma i iloczyn też nieprzypadkowo są oznaczane tak, jak w szkole. Zamiast mówić liczba
, będziemy czasem mówić punkt
Aksjomaty teorii liczb rzeczywistych wygodnie jest podzielić na trzy grupy: aksjomaty ciała przemiennego, aksjomaty porządku, oraz aksjomat ciągłości.
Aksjomaty ciała przemiennego
Pierwsza grupa aksjomatów orzeka, że liczby rzeczywiste tworzą ciało przemienne. Chodzi o opis kluczowych własności dodawania i mnożenia.
Oto własności dodawania:
- [A.1 (Przemienność dodawania).] Dla wszystkich
zachodzi równość
.
- [A.2 (Łączność dodawania).] Dla wszystkich
zachodzi równość
.
- [A.3 (Charakteryzacja zera).] Dla wszystkich
jest
.
- [A.4 (Istnienie elementów przeciwnych).] Dla każdego
istnieje element
, taki, że
.
Mnożenie ma podobną listę własności:
- [A.5 (Przemienność mnożenia).] Dla wszystkich
zachodzi równość
.
- [A.6 (Łączność mnożenia).] Dla wszystkich
zachodzi równość
.
- [A.7 (Charakteryzacja jedynki).] Dla wszystkich
jest
.
- [A.8 (Istnienie elementów odwrotnych).] Dla każdego
,
, istnieje element
, taki, że
.
Ostatni aksjomat z tej grupy mówi o tym, jaki jest związek dodawania z mnożeniem.
- [A.9 (Rozdzielność mnożenia względem dodawania).] Dla wszystkich
zachodzi równość
.
Aksjomaty porządku
- [N.1 (Prawo trichotomii).] Dla wszystkich
zachodzi dokładnie jedna z trzech możliwości:
- [N.2 (Przechodniość).] Dla wszystkich
, jeśli
i
, to
.
- [N.3 (Związki nierówności z działaniami).] Dla wszystkich
:
- jeśli
, to
;
- jeśli
i
, to
.
Z tych dwóch grup aksjomatów można wyprowadzić wszystkie szkolne reguły arytmetyki, definiując po drodze dwa pozostałe działania, odejmowanie i dzielenie (przez liczbę różną od zera). Są wśród tych reguł m.in. następujące:
- (#) Elementy przeciwne i odwrotne są określone jednoznacznie. Ponadto,
dla każdego
, a
dla każdego
,
.
- Dla dowolnych
istnieje dokładnie jeden element
taki, że
.
- Jeśli
i
, to
.
- Dla wszystkich
z równości
wynika, że
lub
.
- Dla każdego
mamy
.(#)
- Dla dowolnych
,
, istnieje dokładnie jeden element
taki, że
.
- Dla wszystkich liczb rzeczywistych
zachodzą równości
.
- Dla każdego
mamy
; przy tym
wtedy i tylko wtedy, gdy
. W szczególności, (#)
Uwaga notacyjna. Czytelnik zauważył może, że w ostatniej własności pojawił się symbol , dotychczas niezdefiniowany, ani nie wymieniony wśród pojęć pierwotnych. Zgodnie z~naturalnym oczekiwaniem, przyjmujemy dla wszystkich liczb rzeczywistych
, że
-
wtedy i tylko wtedy, gdy
lub
;
-
wtedy i tylko wtedy, gdy
;
-
wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Dla przykładu przeprowadzimy
Dowód własności (W5). Ustalmy dowolną liczbę . Z aksjomatu A.3 wynika, że
. Mnożąc obie strony przez
i stosując wskazane aksjomaty, otrzymujemy
![]() |
a zatem
![]() |
co było do udowodnienia.
Nie będziemy przeprowadzać dowodów wszystkich własności z listy (W1)-(W [link]). Dowody nie są zbyt skomplikowane, a treść tych własności powinna być Czytelnikowi dobrze znana. Przykładowe dowody takich własności pojawią się na ćwiczeniach. Podkreślmy inną rzecz: warto i należy zdawać sobie sprawę, że podana lista aksjomatów A.1-A.9 i N.1-N.3, wystarcza, by wyprowadzić z niej wszystkie pozostałe reguły arytmetyki, zdefiniowawszy wcześniej odejmowanie i dzielenie
dla
. To oznacza, że reguły z listy (W [link])-(W [link]) czy np. szkolne prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania nie są już, jak aksjomaty, kwestią umowy, a tym bardziej opinii nauczyciela, zapisanej w kolorowych ramkach. Są konieczną konsekwencją aksjomatów.
Pojęcie kresu górnego i aksjomat ciągłości
Ostatni aksjomat, który jest nam potrzebny, ma inny charakter od aksjomatów ciała i porządku. Dotyczy nie pojedynczych liczb rzeczywistych, ani ich par czy trójek, tylko podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. Sformułowanie tego aksjomatu poprzedzimy definicjami ograniczenia górnego i kresu górnego.




Mówimy, że zbiór jest ograniczony z góry, gdy ma choć jedno ograniczenie górne. Na przykład przedział domknięty
jest ograniczony z góry. Jego ograniczeniami górnymi są m.in. liczby
,
,
i
.


-
jest ograniczeniem górnym
,
- jeśli
jest ograniczeniem górnym
, to
.
Kres górny zbioru oznaczamy symbolem `sup' (od łacińskiego supremum) i piszemy . Definicję kresu górnego niepustego zbioru liczb rzeczywistych można sformułować na inne, równoważne sposoby:
-
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru
;
-
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest ograniczeniem górnym zbioru
i dla każdego
istnieje
taki, że
.
Sprawdzenie równoważności tych definicji pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Podobnie, łatwo jest sprawdzić, posługując się tylko definicją, że
![]() |
Teraz możemy już sformułować zapowiedziany aksjomat ciągłości.
Aksjomat ciągłości (Dedekinda). Każdy niepusty, ograniczony z góry podzbiór ma kres górny
.
Uwaga. Analogicznie do ograniczenia górnego i kresu górnego definiuje się ograniczenie dolne zbioru liczb i kres dolny niepustego zbioru liczb . Kres dolny oznaczamy symbolem `inf', od łacińskiego infimum. Liczba
jest największym ograniczeniem dolnym niepustego zbioru
. Sformułowanie ścisłych definicji pozostawiamy jako ćwiczenie.
Zbiór, który ma ograniczenie dolne, nazywa się ograniczny z dołu. Mówimy, że zbiór jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z dołu.
Wygodnie jest przyjąć następującą dodatkową umowę, która w wielu sytuacjach jest naturalna: , gdy
nie jest ograniczony z góry, oraz
, gdy
nie jest ograniczony z dołu. Ponadto,
![]() |
gdzie symbol oznacza zbiór pusty.
Podzbiory 
Wielokrotnie będziemy spotykać następujące podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, skądinąd dobrze Czytelnikowi znane: zbiór liczb naturalnych,
![]() |
zbiór liczb całkowitych (Symbol , na ogół nie używany w polskiej szkole, za to powszechnie używany przez matematyków na całym świecie, pochodzi od niemieckiego słowa Zahlen), liczby.,
![]() |
oraz zbiór liczb wymiernych
![]() |
O kluczowych własnościach zbioru i jednym z możliwych sposobów aksjomatycznego wprowadzenia tego zbioru opowiemy w następnym podrozdziale. Teraz sformułujemy twierdzenie, z którego wynika, że zbiór liczb wymiernych
jest istotnie mniejszy, niż zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór
, z naturalnymi działaniami ``na ułamkach'' i szkolną relacją mniejszości, spełnia wprawdzie (jak nietrudno sprawdzić, choć nie jest to zajęcie szczególnie pasjonujące) wszystkie aksjomaty ciała i porządku. Jednak
nie spełnia aksjomatu ciągłości: nie każdy ograniczony z góry zbiór liczb wymiernych ma kres górny, który jest liczbą wymierną.

Dowód podamy już teraz, choć niektóre występujące w nim liczby nie zostały jeszcze w sposób ścisły zdefiniowane. Czytelnik zna je jednak pewnie ze szkoły, a ich ścisłe określenia pozna w ciągu najbliższych tygodni na wykładzie. {\sc Dowód 1.} Wykażemy, że nie jest liczbą wymierną. Przypuśćmy na chwilę, że jest przeciwnie i
, gdzie
i
są całkowite,
. Ponieważ
jest dodatni, więc możemy bez zmniejszenia ogólności założyć, że
i
są liczbami naturalnymi. Możemy także założyć, w razie potrzeby skracając licznik i mianownik ułamka
, że
i
są względnie pierwsze, tzn. nie mają żadnego wspólnego dzielnika większego niż 1.
Jeśli , to
, a więc
. Liczby
i
, zapisane w systemie dziesiątkowym, muszą więc mieć tę samą ostatnią cyfrę. Zbadajmy, jakie są wszystkie możliwości, wypisując ostatnią cyfrę każdej z liczb
,
i
w tabelce:
(Symbol
oznacza resztę z dzielenia
przez
, czyli właśnie ostatnią cyfrę liczby
w zapisie dziesiątkowym. Każdy, kto zna szkolny algorytm mnożenia pisemnego, może sam sprawdzić, dlaczego tabelka jest taka, a nie inna).
Ale ostatnia cyfra liczby musi być jedną z cyfr środkowego wiersza tej tabelki. I musi być taka sama, jak ostatnia cyfra
. Jedyna możliwość to
![]() |
Nietrudno jednak stwierdzić, że wtedy zarówno , jak i
, dzielą się przez 5. Jest to sprzeczność, gdyż wiemy, że
i
nie mają wspólnych dzielników większych od 1. Uzyskana sprzeczność oznacza, że
nie może być liczbą wymierną, co kończy dowód.
{\sc Dowód (W pradawnych czasach Rzeczypospolitej Drugiej i Pół ten dowód poznawali wszyscy uczniowie ósmej klasy szkoły podstawowej.) 2.} Początek rozumowania jest taki sam, jak w pierwszym dowodzie. Zakładamy, że
jest liczbą wymierną, gdzie
i
są naturalne i nie mają wspólnych dzielników większych od 1.
Jak wcześniej, z równości wynika, że
. Dalszy ciąg rozumowania jest nieco inny. Lewa strona tej równości jest parzysta, więc prawa też. Skoro
jest liczbą parzystą, to i
jest parzyste (gdyby bowiem
było nieparzyste, to
także byłoby nieparzyste: przecież jeśli
, to
). Zatem
dla pewnego
naturalnego. W takim razie,
![]() |
to zaś oznacza, że . Liczba
jest więc parzysta. Zatem
jest liczbą parzystą,
dla pewnego
naturalnego. Stwierdziliśmy więc, że
i
dzielą się przez 2, a to jest sprzeczność. Sprzeczność wzięła się z założenia, że
, więc ostatecznie
.
{\sc Dowód 3.} Wykażemy, że liczba (gdzie logarytm bierzemy przy podstawie
), czyli taka liczba dodatnia
, która spełnia równość
, nie jest wymierna. (Czytelnik być może uczył się o logarytmach w szkole; za kilka tygodni zobaczymy, jak zdefiniować logarytm w sposób ścisły.)
Przypuśćmy, że , gdzie
i
są naturalne. Wtedy
. Podnosząc obie strony do potęgi
, dostaniemy
dla pewnych
. To jednak jest oczywista sprzeczność, gdyż jedna z tych liczb dzieli się przez
, a druga nie.
Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej
Niech będzie rodziną wszystkich takich podzbiorów
, które spełniają jednocześnie dwa warunki:
-
;
- Jeśli liczba rzeczywista
, to
.
Nietrudno sprawdzić, że np. zbiór wszystkich liczb rzeczywistych , a także zbiór
, należą do rodziny
. Nietrudno sobie także wyobrazić wiele - nieskończenie wiele! - innych zbiorów, należących do tej rodziny: bierzemy liczbę
i dowolną ``chmurkę'' punktów z przedziału
, a następnie tworzymy sumę przesuniętych kopii takiego zbioru. Innymi słowy, bierzemy zbiór
![]() |
i kładziemy
![]() |
gdzie .
Znany skądinąd zbiór liczb naturalnych można, uprawiając aksjomatyczną teorię liczb rzeczywistych, określić następująco.

Inaczej mówiąc, zbiór liczb naturalnych to część wspólna wszystkich zbiorów należących do rodziny .

Dowód. Liczba , więc
jest niepusty. Postawmy hipotezę, przeczącą tezie, tzn. przypuśćmy, że
jest ograniczony z góry. Zgodnie z aksjomatem ciągłości, zbiór
ma wtedy kres górny
.
Z definicji kresu, dla każdego
. Z drugiej własności wszystkich zbiorów rodziny
wynika, że
dla wszystkich
. Stąd jednak
dla wszystkich
, więc
jest ograniczeniem górnym
. Ponownie korzystając z definicji kresu górnego - z drugiego podanego w niej warunku - stwierdzamy, że
![]() |
a zatem , czyli
. To jest sprzeczność, więc przyjęta hipoteza musiała być fałszywa. Zbiór
nie jest zatem ograniczony z góry.



Dowód. Gdyby dla wszystkich
, to liczba
byłaby ograniczeniem górnym
. Wiemy już jednak, że zbiór
nie jest ograniczony z góry.
Omówimy teraz ważną metodę dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych, tak zwaną zasadę indukcji matematycznej (zwaną także zasadą indukcji zupełnej).

-
, tzn. własność
przysługuje liczbie
;
- Jeśli
, to także
.
Wówczas własność przysługuje wszystkim liczbom naturalnym.
Dowód. Niech będzie zbiorem wszystkich tych liczb naturalnych, którym przysługuje własność
, tzn.
![]() |
Oczywiście . Pokażemy teraz, że
należy do rodziny
.
Z założenia (i) mamy , tzn. spełniony jest pierwszy z warunków z definicji rodziny
. Ponadto, jeśli
, to zachodzi
, więc na mocy założenia (ii) zachodzi także
, a to znaczy, że
. Spełniony jest więc również drugi warunek z definicji rodziny
.
Zatem . Ponieważ
jest częścią wspólną wszystkich zbiorów rodziny
, więc
.
Otrzymaliśmy więc dwie inkluzje: i
. To oznacza, że
.
Spójrzmy teraz na przykłady zastosowań zasady indukcji zupełnej w konkretnych dowodach. Pierwszy z nich będzie bardzo prosty, dwa pozostałe - wyraźnie trudniejsze.


![]() |
Dowód. Ustalmy dowolne .
Etap 1 (baza indukcji). Sprawdzamy, co się dzieje dla . Zarówno lewa, jak i prawa strona są wtedy równe
, więc nierówność Bernoulliego zachodzi dla
.
Etap 2 (krok indukcyjny). Załóżmy, że . Wykażemy, że wtedy
.
Z aksjomatu N.3(b) i własności wynika, że obie strony nierówności nieostrej wolno pomnożyć przez liczbę nieujemną. Ponieważ
, więc z założenia indukcyjnego otrzymujemy
![]() |
Etap 3 (konkluzja). Stwierdziliśmy, że nierówność Bernoulliego zachodzi dla liczby , a także, że jeśli zachodzi dla liczby
, to zachodzi i dla
. Zatem, zgodnie z zasadą indukcji zupełnej, nierówność Bernoulli'ego zachodzi dla każdej liczby naturalnej
. Teza stwierdzenia wynika z dowolności
.
Uwaga. Proszę sprawdzić, że równość w nierówności Bernoulliego zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy lub
.
Dla potrzeb drugiego przykładu zdefiniujemy najpierw średnią arytmetyczną i geometryczną liczb rzeczywistych nieujemnych. Jeśli
, to kładziemy
![]() |
to średnia arytmetyczna liczb
(tu założenie o nieujemności nie jest potrzebne; definicja średniej arytmetycznej ma sens dla dowolnych liczb rzeczywistych, niekoniecznie nieujemnych), natomiast
jest średnią geometryczną liczb nieujemnych
.
(Pierwiastki dowolnego stopnia z liczb nieujemnych zdefiniujemy ściśle po omówieniu przykładów dowodów indukcyjnych. Teraz wystarczy nam wiedza, że , a dla
liczba
jest dodatnia i ma tę własność, że
).


![]() |
Dowód. Wystarczy rozważyć przypadek nietrywialny, gdy wszystkie są dodatnie. (Gdy choćby jedna z liczb
jest zerem, to oczywiście
).
Baza indukcji. Dla mamy jedną liczbę nieujemną
. Teza jest prawdziwa, gdyż wtedy
.
Krok indukcyjny. Załóżmy, że dla pewnego naturalnego nierówność
![]() |
zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich . Wykażemy, że przy takim założeniu dla dowolnych liczb dodatnich
jest
.
Będziemy dowodzić równoważnej nierówności . Skorzystamy z nierówności Bernoulliego, ale nie zrobimy tego od razu.
Z uwagi na przemienność dodawania i mnożenia mamy prawo założyć, że . Wtedy, ponieważ średnia arytmetyczna
składników nie przekracza największego z tych składników, mamy
![]() |
Zapiszmy teraz średnią w nieco innej postaci:
![]() |
(wypisując ostatnią linijkę, po prostu wyłączyliśmy przed nawias).
Z nierówności pre-B wynika, że
![]() |
a to znaczy, że nierówność Bernoulliego można stosować do szacowania potęg sumy z dołu. Piszemy teraz
![]() |
Zatem, . Stąd, na mocy zasady indukcji zupełnej, wynika już teza twierdzenia.
Uwaga. Czytelnik może się zastanawiać: skąd było wiadomo, że aby wykazać nierówność między średnimi, trzeba rozumować akurat tak? Na takie pytania często nie ma łatwych odpowiedzi. Tu akurat można było zauważyć, że dla dużych lewa strona nierówności
rośnie wykładniczo wraz z
i spróbować szacowania (z dołu) czegoś rosnącego wykładniczo przez coś, co rośnie zaledwie liniowo - do tego służy nierówność Bernoulliego. Reszta powyższego dowodu polega na stosunkowo prostych przekształceniach, potrzebnych, by
przekształcić do odpowiedniej postaci.
Podamy teraz drugi dowód nierówności między średnimi, po to, żeby zilustrować, że rozumowania indukcyjne mogą mieć bardzo różny charakter. Dla zobrazowania zasady indukcji zupełnej używa się często porównania z kostkami domina: jeśli wiadomo, że kostki domina są ustawione w rzędzie, na tyle blisko, że każda z nich, upadając, przewróci następną, to przewrócenie pierwszej kostki spowoduje przewrócenie wszystkich. W następnym dowodzie ustawienie kostek będzie bardzo fantazyjne: takie, że dla każdego kostka
-ta przewraca kostkę o numerze
, a kostka
-ta przewraca kostkę z numerem
.
Dowód. Jak wcześniej, założymy, że wszystkie są dodatnie. Dowód ma trzy cześci.
Po pierwsze, sprawdzamy, że (to oczywiste) i
. Druga nierówność jest równoważna innej,
.
Po drugie, wykażemy, że jeśli nierówność między średnimi zachodzi dla dowolnych liczb , to zachodzi także dla dowolnych liczb
. Istotnie, korzystając najpierw (dwukrotnie) z nierówności między średnimi dla
liczb, a potem z nierówności
, otrzymujemy
![]() |
(Komentarz: teraz wiemy, że nierówność między średnimi zachodzi dla liczb, gdy
. Te wartości
stanowią zdobyte przyczółki.)
Po trzecie, dowodzimy, że jeśli nierówność między średnimi zachodzi dla liczb dodatnich, to zachodzi także dla
liczb dodatnich. Piszemy
![]() |
Dzielimy obie strony przez , podnosimy do potęgi
i otrzymujemy
.
(Komentarz: teraz wiemy, że z każdego zdobytego wcześniej przyczółka, tzn. od każdej z wartości , można cofać się jednostkowymi krokami.)
Z trzech części dowodu wynika już teza twierdzenia.



Pierwiastki
-tego stopnia
Posługiwaliśmy się już pierwiastkami -tego stopnia z liczb nieujemnych. Aby mieć pewność, że wolno było tak postępować, udowodnimy następujące twierdzenie.
Dowód twierdzenia poprzedzimy sformułowaniem pomocniczego faktu.
Szkic dowodu. To jest nieznacznie przekształcony wzór na sumę skończonego postępu geometrycznego. Gdy , nie ma czego dowodzić; obie strony są równe
. Jeśli
, to dzieląc obie strony xn-yn przez
i kładąc
, otrzymujemy równoważny tezie lematu wzór
![]() |
Nietrudno jest udowodnić go przez indukcję. Można także po prostu ``otworzyć nawiasy'' i zaobserwować, że prawa strona jest równa
![]() |
czyli po prostu , gdyż każda ze wskazanych par składników ma sumę zero.
Dowód Twierdzenia [link] Zaczniemy od wykazania jednoznaczności pierwiastków -tego stopnia. Gdyby dla pewnego
było
, gdzie
, to byłoby wtedy
![]() |
Zatem, lub
(jeden z czynników musi znikać). W pierwszym przypadku mamy
. W drugim przypadku, ponieważ
, liczba
jest sumą
nieujemnych składników. Równość
może zachodzić jedynie wtedy, gdy każdy z tych składników jest zerem, czyli jedynie wtedy, gdy
.
W obu przypadkach mamy więc . Dla każdego
istnieje zatem co najwyżej jedna liczba
taka, że
.
Teraz zajmiemy się istnieniem. Dla wystarczy wziąć
, a dla
-
. Jeśli już udowodnimy twierdzenie dla wszystkich liczb
, to dla
będzie można postąpić następująco: jeśli
, to
, więc istnieje pierwiastek
-tego stopnia z
, tzn. liczba
taka, że
. Wtedy jednak liczba
spełnia równość
![]() |
tzn. jest pierwiastkiem -tego stopnia z
.
Wystarczy więc rozważyć przypadek . Tym się teraz zajmiemy. Niech
![]() |
Jeśli , to
, bowiem w przeciwnym przypadku mielibyśmy
, a to jest sprzeczność z definicją zbioru
. Liczba
jest więc ograniczeniem górnym zbioru
, a ponadto
, bo
.
Z aksjomatu ciągłości wynika, że zbiór ma kres górny
. Musi zachodzić jeden z trzech przypadków,
![]() |
Pokażemy, że pierwsza i druga możliwość prowadzą do sprzeczności.
Przypuśćmy, że . Rozważmy liczbę
; niewielką liczbę dodatnią
dobierzemy za chwilę. Z lematu otrzymujemy
![]() |
(każdy z składników w nawiasie szacujemy z góry przez
). Biorąc dowolną liczbę
![]() |
przekonujemy się, że , tzn.
, a więc
. Stąd
, czyli
, sprzeczność.
Przypuśćmy zatem, że . Rozważając tym razem
, gdzie
jest małą liczbą dodatnią, otrzymujemy, ponownie stosując Lemat,
![]() |
o ile tylko (wtedy mamy prawo napisać ostatnią nierówność). To jednak oznacza, że
![]() |
Z definicji zbioru mamy więc
dla każdego
, czyli
. Stąd
, jednak liczbę
wybraliśmy wcześniej dodatnią! Ta sprzeczność oznacza, że przypadek
także nie może zachodzić.
Została tylko jedna możliwość: .
Uwaga. Wygodnie jest przyjąć następującą dodatkową umowę: jeśli , natomiast
jest liczbą naturalną nieparzystą, to kładziemy
![]() |
Wtedy rzeczywiście , co wynika z przemienności mnożenia i stąd, że
. Nietrudno zauważyć, że dla
analogiczna umowa nie miałaby sensu: parzysta potęga liczby rzeczywistej
,
jest nieujemna, co wynika z własności (W [link]), patrz strona~\pageref{wlasostR}.
Liczby całkowite. Entier. Gęstość zbioru liczb wymiernych i niewymiernych
Jak już wiemy, zbiór liczb całkowitych jest określony następująco
![]() |
Przytoczymy bez dowodu dwa twierdzenia, opisujące własności zbioru .





Każde z tych twierdzeń (Nawiasem: ze szkolnego, a także zdroworozsądkowego punktu widzenia oba twierdzenia są, praktycznie biorąc, oczywiste - tzn. wyrażają nasze bardzo naturalne intuicje związane z wyglądem) zbioru liczb całkowitych. można sprowadzić do odpowiednich własności zbioru liczb naturalnych, których dowodzi się, stosując zasadę indukcji zupełnej. Nie będziemy tego robić; szczegóły pozostawiamy zainteresowanemu Czytelnikowi.

![]() |
Zatem, na przykład, ,
,
, ale
, gdyż największą liczbą całkowitą nie przekraczającą
jest właśnie

![$ [x] $](/sites/default/files/tex/e292a3a8ab4fc7260470ad26a176cd3f72a12517.png)
![]() |
Dowód. Odpowiednie własności widać na załączonym rysunku.
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Funkcja entier i funkcja . Lewy koniec każdego z poziomych odcinków wykresu
należy do tego wykresu, a prawy - nie.
}
Oto niedługi dowód, dla zainteresowanych formalizacją. To, że , wynika z definicji cześci całkowitej i własności zbioru
, wyrażonej w Twierdzeniu~ [link]: zbiór
![]() |
jest ograniczony z góry przez , a liczba
jest największym elementem
. Mamy
wprost z definicji supremum. Gdyby
, to byłoby
![]() |
a to jest sprzeczność z definicją supremum.
Wiemy już zatem (z grubsza), co to są liczby rzeczywiste, naturalne, całkowite i wymierne. Wiemy też, że istnieją liczby niewymierne; jedną z nich jest . Sformułujmy jeszcze jedną ważną własność, którą ma zarówno zbiór
liczb wymiernych, jak i zbiór
liczb niewymiernych.





Mówiąc inaczej, w każdym przedziale otwartym prostej rzeczywistej jest jakaś liczba wymierna i jakaś liczba niewymierna.
Dowód. Ustalmy dowolne takie, że
. Najpierw wskażemy liczbę wymierną
, która należy do przedziału
.
Wiemy, że dla każdego
. Stąd
![]() |
Ponieważ , więc
. Pozostaje dobrać
tak, żeby
, ale to nietrudne: mamy
, a zatem
![]() |
Wystarczy więc, gdy , a tak jest dla dowolnej liczby
(proszę zauważyć, że korzystamy tu z dwóch faktów:
, więc
, a ponadto zachodzi aksjomat Archimedesa).
Uwaga. Ta część dowodu wyraża prostą intuicję: jeśli wyruszamy z punktu i idziemy krokami długości
, to stąpamy tylko po liczbach wymiernych i nie możemy ominąć żadnej ``dziury'' dłuższej niż
.
Teraz wskażemy liczbę niewymierną taką, że
. Połóżmy
![]() |
Dla każdego mamy
(to oczywiste), a ponadto
, bowiem w przeciwnym przypadku mielibyśmy
, a wiemy, że
jest niewymierny. Pozostaje tylko dobrać
tak, żeby
, ale to nietrudne: ponieważ
, więc
wtedy i tylko wtedy, gdy
. Bierzemy więc jako
dowolną liczbę naturalną, która jest większa od
.
Uwaga. Z Twierdzenia~ [link] wynika, że w każdym przedziale otwartym prostej rzeczywistej jest nieskończenie wiele liczb wymiernych i nieskończenie wiele liczb niewymiernych (Czytelnik zechce się zastanowić, dlaczego tak jest). W istocie, jeśli jest dowolnym zbiorem gęstym, to do każdego przedziału otwartego należy nieskończenie wiele elementów zbioru
.
Na zakończenie tej partii wykładu podamy jeszcze jeden dowód istnienia liczb niewymiernych - dowód Dedekinda niewymierności pierwiastków niecałkowitych. To ilustracja, jak wiele można wywnioskować z najprostszych reguł arytmetyki i jednej własności zbioru : w każdym niepustym zbiorze
istnieje element najmniejszy.



Dowód. Aby lepiej zilustrować najważniejszy pomysł dowodu, rozpatrzymy najpierw przypadek .
Przypuśćmy, że , ale jednak
. Wtedy zbiór
![]() |
jest niepusty; to wynika wprost z definicji zbioru liczb wymiernych . Niech
będzie najmniejszym elementem
; wtedy oczywiście
.
Połóżmy . Z nierówności
(pamiętajmy:
nie jest liczbą całkowitą) wynika, że
. Ponadto,
![]() |
a więc jest liczbą naturalną, bo
. Wreszcie, mamy
![]() |
a więc liczba też jest naturalna. To oznacza, że
i
, a przy tym
jest najmniejszym elementem w zbiorze
. Otrzymaliśmy sprzeczność, która oznacza, że
nie może być liczbą wymierną. To kończy dowód twierdzenia w przypadku
.
Pokażemy teraz, jak rozważyć przypadek ogólny. Załóżmy, że . Przypuśćmy, że
; pokażemy, że to założenie prowadzi do sprzeczności. Niech
![]() |
Zbiór jest niepusty (
, bowiem
), więc zawiera element najmniejszy
; przy tym
, gdyż
. Oznaczmy
![]() |
Rozważmy zbiór
![]() |
Jest to zbiór niepusty, gdyż są liczbami wymiernymi. Niech
będzie najmniejszym elementem zbioru
. Dla wygody oznaczmy
![]() |
Ponieważ to najmniejszy element zbioru
, więc
![]() |
(liczba nie jest naturalna, gdyż wtedy
należałoby do
). Połóżmy
. Wtedy
. Ponadto,
![]() |
więc jest liczbą naturalną. Wreszcie, nietrudno sprawdzić, że
![]() |
Istotnie, niech będzie dowolną z liczb
. Wtedy
![]() |
a więc jest liczbą całkowitą. Do tego oczywiście
, więc
jest liczbą naturalną. Zatem, z definicji zbioru
i dowolności
, liczba
.
Otrzymaliśmy więc
![]() |
Jest to sprzeczność, która kończy dowód.
Ktoś, komu powyższy dowód wydaje się nie tylko pomysłowy, ale i trudny, powinien pamiętać, że o niewymierności wiadomo od dwóch i pół tysiąca lat, a Dedekind swój artykuł Was sind und was sollen die Zahlen? publikował, jako pięćdziesięcioparolatek, w roku 1888.
Nie należy się dziwić, jeśli nie rozumiemy w ciągu pół godziny czegoś, na co inni potrzebowali wielu lat.