Bardzo ważnym działem Analizy Matematycznej jest rachunek różniczkowy. Poznając go, opanujemy narzędzia, umożiwiające systematyczne badanie zachowania odpowiednio regularnych funkcji jednej zmiennej. Nauczymy się, jak określać tempo wzrostu funkcji i~jak znajdować przedziały, na których funkcja rośnie (lub maleje), jest wypukła (lub wklęsła). Poznamy także dodatkowe wygodne narzędzia, służące do przybliżania funkcji za pomocą wielomianów i obliczania granic.
Pojęcie pochodnej
Pojęcie pochodnej, obok pojęcia granicy, jest jednym z najważniejszych pojęć całej analizy.





![]() |
Liczbę nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
. Stosunek
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji
.
W różnych źródłach można także spotkać oznaczenia
![]() |
którymi będziemy się posługiwać rzadko.
- Pochodną funkcji zespolonej
w punkcie skupienia
zbioru
;
(o ile istnieje) jest wtedy liczbą zespoloną.
- Pochodną funkcji wektorowej
w punkcie skupienia
zbioru
, gdzie
jest ciałem
liczb rzeczywistych lub ciałem
liczb zespolonych;
(o ile istnieje) jest wtedy pewnym wektorem z przestrzeni
.
W obu powyższych przypadkach ma sens dzielenie przez , czyli mnożenie przez
. Czytelnik powinien jednak rozumieć, że takie postępowanie straciłoby sens, gdybyśmy rozpatrywali funkcje wielu zmiennych rzeczywistych (lub zespolonych). Wtedy pojęcie pochodnej trzeba definiować inaczej. Wrócimy do tej sprawy na początku drugiego roku studiów.
Związek różniczkowalności z ciągłością
Różniczkowalność, zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej, jest warunkiem silniejszym od ciągłości.





Dowód:
Piszemy
![]() |
i przechodzimy do granicy przy , korzystając z twierdzenia o granicy iloczynu. Ponieważ
jest różniczkowalna w
, otrzymujemy
![]() |
Zatem jest ciągła w punkcie
.
□
Nie wszystkie funkcje ciągłe są jednak różniczkowalne.




![]() |







Istnieją także funkcje ciągłe , które nie mają pochodnej w żadnym punkcie. Konstrukcja przykładów takich funkcji jest jednak trudniejsza i wymaga albo bardziej zaawansowanej wiedzy matematycznej (np. z zakresu topologii), albo subtelnej analizy funkcji, określonych za pomocą szeregów. Tą sprawą zajmiemy się przy okazji omawiania tzw. zbieżności jednostajnej w następnym rozdziale.
Interpretacja pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej
Interpretacja geometryczna pochodnej. Niech będzie różniczkowalna w punkcie
i niech
będzie przedziałem. Rozważmy wykres
, tzn. zbiór punktów
![]() |
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej, przechodzącej przez punkty
i
, do osi
-ów. Intuicja podpowiada, że gdy funkcja
jest odpowiednio ``porządna'', to dla
bliskich
taka sieczna powinna być przybliżeniem stycznej do wykresu funkcji. Istnienie pochodnej w punkcie
, a więc granicy ilorazów różnicowych, oznacza istnienie stycznej do wykresu
w punkcie
. Liczba
jest współczynnikiem kierunkowym tej stycznej. Styczna to prosta, opisana równaniem
![]() |
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Po lewej: styczna do wykresu funkcji. Po prawej: przypadek, gdy granica ilorazów różnicowych jest nieskończona. Nie mówimy wtedy, że funkcja jest różniczkowalna, ale styczna do wykresu istnieje i jest prostą pionową.
} \end{figure}
![$ f(x)=\sqrt[3]{x} $](/sites/default/files/tex/762b2708487e2193a07a49bf059ce15917ac3e06.png)


![]() |
Zgodnie z naszą definicją, funkcja nie jest różniczkowalna w zerze, bo nie ma tam skończonej granicy ilorazów różnicowych. Mówi się czasem w takich przypadkach, że
ma pochodną nieskończoną (dla odróżnienia tej sytuacji od takiej, gdy granica ilorazów różnicowych w ogóle nie istnieje). Geometryczna interpretacja tego, że granica ilorazów różnicowych jest w jakimś punkcie dziedziny funkcji nieskończona, jest nietrudna: styczna do wykresu
istnieje i jest pionowa.
Interpretacja kinematyczna pochodnej. Załóżmy, że pewien punkt porusza się w sposób ciągły, tzn. dla każdej chwili czasu określona jest droga
, przebyta od chwili początkowej
do chwili
, i
jest ciągłą funkcją
. Różniczkowalność funkcji
w punkcie
, tzn. istnienie granicy ilorazów różnicowych
dla
, oznacza, że w tym ruchu można określić prędkość chwilową, tzn. granicę stosunku przebytej drogi do czasu, w jakim została przebyta, gdy ów czas dąży do zera.
\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{6cm}
\includegraphics*[totalheight=6.5cm]{Krzywa3D.png}
\end{wrapfigure}
Mówiąc nieco dokładniej, gdy funkcja
![]() |
jest torem ruchu punktu materialnego w przestrzeni (patrz rysunek obok), to wektor
![]() |
jest wektorem prędkości chwilowej w chwili . Zwrot tego wektora jest wyznaczony przez chwilowy kierunek ruchu, a długość jest równa szybkości chwilowej. Z taką interpretacją można spotkać się zarówno w mechanice, jak i w geometrii.
Arytmetyczne własności pochodnej




Dowód:
Obliczymy pochodną sumy wprost z definicji. Piszemy
![]() |
i przechodzimy do granicy przy . Prawa strona ma granicę
, więc pochodna
istnieje i jest równa właśnie
.
□



![]() |
Dowód:
Obliczymy pochodną sumy wprost z definicji. Postępujemy podobnie, jak w rozdziale 2, w dowodzie twierdzenia o granicy iloczynu ciągów. Piszemy
![]() |
i przechodzimy do granicy przy . Ze Stwierdzenia~ [link] wynika ciągłość
w
. Zatem, z twierdzenia o granicy sumy i iloczynu, prawa strona ostatniej równości ma granicę równą
![]() |
Dowód został zakończony.
□





![]() |
Dowód:
Ponownie, spójrzmy na iloraz różnicowy
![]() |
Jak w poprzednim dowodzie, możemy skorzystać ze Stwierdzenia~ [link] i stwierdzić, że ponieważ jest ciągła w punkcie
, to na mocy twierdzenia o iloczynie granic, prawa strona ostatniej równości ma dla
granicę równą
![]() |
Zatem, funkcja jest różniczkowalna w
i zachodzi równość podana w tezie tego stwierdzenia.
□





![]() |
Dowód:
Korzystamy z równości i poprzednich stwierdzeń. Czytelnik zechce sam sprawdzić rachunki.
□




Pochodna złożenia i funkcji odwrotnej
Aby wyprowadzić znany wzór na pochodną złożenia dwóch funkcji różniczkowalnych, podamy najpierw ważną charakteryzację pochodnej. Można się nią posługiwać zarówno dla funkcji zmiennej rzeczywistej, jak i zmiennej zespolonej, więc wszystkie fakty tego podrozdziału sformułujemy ogólnie (każdy z nich ma dwie wersje: jedną dla , drugą dla
).







![]() |
Mamy wtedy .
Sens tego lematu jest następujący: różniczkowalność funkcji w punkcie
oznacza tyle, że funkcję
można przybliżać funkcją liniową
, a błąd
tego przybliżenia spełnia warunek
![]() |
Innymi słowy, dla bliskich
błąd
jest mniejszego rzędu, niż różnica
. Istnienie pochodnej
jest równoważne istnieniu najlepszego przybliżenia liniowego funkcji
w~pobliżu punktu
.
Dowód:
Jeśli istnieje, to funkcja
![]() |
spełnia oba warunki podane w tezie lematu, gdy weźmiemy . Na odwrót, jeśli odpowiednia funkcja
istnieje, to istnieje także
![]() |
To spostrzeżenie kończy dowód lematu.
□
Uwaga. Lemat~ [link] wygląda na fakt niepozorny i dość oczywisty, jednak zdecydowanie warto go zapamiętać: ukryty jest w nim pomysł, dzięki któremu można zdefiniować pochodną funkcji wielu zmiennych.













![]() |
Dowód:
Niech ,
. Z poprzedniego lematu wynika, że
![]() |
dla pewnej funkcji , która ma granicę równą zero, gdy
. Zatem
![]() |
Na mocy Stwierdzenia~ [link] funkcja jest ciągła w
, tzn.
, gdy
. Dlatego
. Zatem, przechodząc w równości deltazloz do granicy przy
, otrzymujemy
![]() |
co dowodzi różniczkowalności w punkcie
i równości, podanej w tezie.
□
Uwaga. Czytelnik zechce się zastanowić, dlaczego właściwie posłużyliśmy się w tym dowodzie poprzednim lematem, zamiast operować tylko ilorazami różnicowymi funkcji i funkcji
, jak w dowodach wzorów na pochodną sumy czy iloczynu funkcji różniczkowalnych.









![]() |
Dowód:
Niech ,
. Ponieważ
jest bijekcją z
na
, więc znajdziemy punkty
,
, takie, że
, tzn.
. Z ciągłości
w
wynika, że
. Zatem
![]() |
(wszystkie ułamki mają sens, gdyż funkcje i
są różnowartościowe). Biorąc
i posługując się definicją Heinego granicy funkcji, otrzymujemy równość
![]() |
To kończy dowód.
□





Czytelnik może się zastanowić nad (nietrudną) interpretacją geometryczną ostatniego stwierdzenia dla funkcji zmiennej rzeczywistej.
Pochodne funkcji elementarnych
Poświęcimy teraz nieco miejsca, aby wyprowadzić konkretne wzory na pochodne funkcji elementarnych.





Dowód:
Wszystkie ilorazy różnicowe funkcji stałej są równe zero.
□
Dowód:
Wszystkie ilorazy różnicowe funkcji są równe 1.
□
Dowód:
Można postąpić na dwa sposoby: udowodnić ten fakt przez indukcję, korzystając z poprzedniego stwierdzenia i wzoru na pochodną iloczynu, albo obliczyć pochodną funkcji wprost z definicji, stosując wzór xn-yn na różnicę
-tych potęg w celu uproszczenia ilorazów różnicowych. Czytelnik zechce samodzielnie uzupełnić szczegóły jednego z tych dowodów.
□

![]() |
(wzór zachodzi zarówno dla wielomianów zmiennej rzeczywistej, jak i dla wielomianów zmiennej zespolonej.)
Dowód:
Dla każdego jest
, zatem teza wynika z twierdzenia o pochodnej sumy funkcji.
□

\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
Dowód:
To wynika wprost ze wzoru pochodna-expz, który udowodniliśmy, opisując w Twierdzeniu~ [link] własności funkcji wykładniczej.
□
Dowód:
Skorzystamy ze wzorów Eulera i wzoru na pochodną funkcji wykładniczej, oraz wzoru na pochodną złożenia. Mamy
![]() |
na mocy Stwierdzenia~ [link]. Zatem, dzięki wzorowi na pochodną sumy i iloczynu,
![]() |
Tak samo dowodzimy wzoru na pochodną cosinusa:
![]() |
(pisząc przedostatnią rowność, skorzystaliśmy z tego, że ).
□
Uwaga. Znając pochodną sinusa, wzór na pochodną cosinusa można wyprowadzić ze wzorów redukcyjnych. Można także obliczyć obie pochodne wprost, korzystając z definicji, ze ze wzorów na różnicę sinusów i różnicę cosinusów (patrz Stwierdzenie~ [link]), istnienia granicy
![]() |
oraz ciągłości sinusa i cosinusa.


![]() |
Dowód:
Korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu oraz znanych już wzorów na pochodne sinusa i cosinusa, otrzymujemy we wszystkich punktach dziedziny tangensa równość
![]() |
Oczywiście, na mocy `jedynki trygonometrycznej'.
□

Dowód:
Granicę ilorazów różnicowych logarytmu naturalnego obliczyliśmy już wcześniej, opisując w Twierdzeniu~ [link] własności logarytmu naturalnego.
□
Uwaga. Można także posłużyć się wzorem na pochodną funkcji odwrotnej: jeśli jest ustalonym punktem i
, tzn.
, to wobec Stwierdzenia~ [link] zachodzą równości
![]() |


![]() |
Dowód:
Mamy . Wystarczy posłużyć się wzorem na pochodną funkcji wykładniczej i pochodną złożenia.
□
![]() |
dla każdej podstawy
.




![]() |
Dowód:
Piszemy i stosując wzór na pochodną złożenia, otrzymujemy
![]() |
□

![]() |
Dowód:
Stosujemy poprzednie stwierdzenie dla .
□



![$ f(x)=\sqrt[n]{x} $](/sites/default/files/tex/8c9402b8f28174011499b94a7dace19676583f82.png)




![]() |
Dowód:
Określając arcus sinus i arcus cosinus, sprawdziliśmy, że sinus jest funkcją rosnącą na , a cosinus jest funkcją malejącą na
.
Aby zastosować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej do obliczenia pochodnej w punkcie
, musimy sprawdzić, że pochodna sinusa nie znika w
. Tak jednak jest, gdyż
dla każdego
. Zatem, na mocy Stwierdzenia~ [link] zastosowanego do
i
w punktach
, otrzymujemy
![]() |
Zauważmy: skorzystaliśmy w powyższym rachunku z tego, że cosinus jest dodatni na przedziale .
Podobnie obliczmy pochodną funkcji . Tym razem stosujemy Stwierdzenie~ [link] (Proszę samodzielnie sprawdzić, że spełnione są założenia tego stwierdzenia!) do
i
w punktach
, gdzie
i
. Otrzymujemy
![]() |
Korzystaliśmy z tego, że dla
.
□


![]() |
Dowód:
Jak poprzednio, stosujemy twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej -- tym razem do pary funkcji ,
, oraz
,
, biorąc punkty
powiązane zależnością
. Wolno to zrobić: pochodna tangensa, tzn.
, jest zawsze liczbą większą od 1, a więc różną od zera. Otrzymujemy
![]() |
dla każdego .
□
Stosując powyższe wzory i twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji, można obliczać pochodne dowolnych funkcji elementarnych. Zakończmy ten podrozdział przykładem, ilustrującym sposób obliczania pochodnych w jeszcze jednej sytuacji.


![]() |
(Ważne jest to, że nie stosujemy bezpośrednio ani wzoru na pochodną funkcji wykładniczej, ani wzoru na pochodną funkcji potęgowej. Nie wolno tego robić, bo ani podstawa, ani wykładnik potęgi nie są w tym przykładzie stałymi).
Najważniejsze własności funkcji różniczkowalnych
W tym podrozdziale zajmiemy się opisem własności funkcji różniczkowalnych i związkiem pochodnej z monotonicznością oraz ekstremami. Będziemy zajmować się funkcjami określonymi na przedziałach prostej rzeczywistej. Termin funkcja różniczkowalna będzie oznaczał funkcję, która jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny.










Jeśli dla wszystkich ,
, nierówności są ostre, to mówimy wtedy, że
ma w punkcie
maksimum (lub minimum) właściwe.
Słowo ekstremum jest wspólną nazwą minimum i maksimum: w zależności od kontekstu i potrzeby może oznaczać jedno lub drugie. Z definicji wynika, że funkcja może mieć ekstremum lokalne także w końcu przedziału. Czytelnik powinien pamiętać, że wartość funkcji w punkcie ekstremum lokalnego nie musi być najmniejszą ani największą wartością funkcji na danym przedziale. Ekstremów może być wiele, a ponadto jeśli przedział jest otwarty, to funkcja w ogóle nie musi przyjmować swoich kresów. \begin{figure}[!h]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Funkcja , która ma dużo ekstremów lokalnych wewnątrz
, jednak w żadnym z nich nie jest osiągany kres dolny ani górny zbioru
.
} \end{figure}







Geometryczna interpretacja lematu Fermata jest prosta: styczna do wykresu funkcji różniczkowalnej w punkcie ekstremum lokalnego jest pozioma.
Dowód:
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że ma w
maksimum lokalne (w drugim przypadku dowód jest taki sam; można także rozważyć funkcję
, która ma maksima tam, gdzie
ma minima). Wybierzmy
tak, aby przedział
był zawarty w
i aby
dla wszystkich
.
Dla mamy wtedy
. Dlatego iloraz różnicowy
jest nieujemny dla
i niedodatni dla
. Nierówności nieostre zachowują się w granicy, a pochodna
istnieje, więc
![]() |
Stąd już wynika, że .
□








![$ f\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/efa6a79ce33adf8710d72fa0f5e91eb15c4d3edc.png)
![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)




Dowód:
Jeśli jest funkcją stałą, to
znika w każdym punkcie
i nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że
nie jest funkcją stałą. Połóżmy
![]() |
Ponieważ nie jest stała i
, to musi być
lub
. Z twierdzenia Weierstrassa (patrz Tw.~ [link] w rozdziale~5) wiemy, że
i
są wartościami
, zatem przynajmniej jedna z tych wartości jest przyjmowana w punkcie wewnętrznym
, należącym do przedziału otwartego
. Funkcja
ma oczywiście w tym punkcie ekstremum lokalne. Z lematu Fermata wynika, że
.
□

![$ f,g\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/2e6767c290519592084525800c63e8dccd975d00.png)
![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)




![]() |
Dowód:
Zauważmy najpierw, że , gdyż w przeciwnym przypadku na mocy twierdzenia Rolle'a istniałby punkt, w którym
znika, a zakładamy, że
na
. Dlatego prawa strona wzoru z tezy twierdzenia ma sens.
Rozpatrzmy teraz funkcję pomocniczą
![]() |
Z założeń o i
wynika, że
jest funkcją ciągłą na
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Ponadto,
Zatem,
spełnia wszystkie założenia twierdzenia Rolle'a. Istnieje więc punkt
taki, że
. Mamy jednak
![]() |
Dlatego równość jest równoważna tezie twierdzenia.
□
Odnotujmy bardzo ważny wniosek z twierdzenia Cauchy'ego.

![$ f\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/efa6a79ce33adf8710d72fa0f5e91eb15c4d3edc.png)
![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)


![]() |
Dowód:
Stosujemy twierdzenie Cauchy'ego do i do funkcji
,
.
□

![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)


![$ t\in [0,1] $](/sites/default/files/tex/492f43f1424c861d5c070025d863c16519c84d50.png)


Twierdzenie Lagrange'a ma bardzo prostą interpretację geometryczną: w przedziale istnieje taki punkt, w którym styczna do wykresu
jest równoległa do siecznej, poprowadzonej przez dwa końce łuku wykresu.
\begin{figure}[!h]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Interpretacja geometryczna twierdzenia Lagrange'a: Istnieje co najmniej jeden punkt, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do siecznej. (Może się zdarzyć, że takich punktów jest więcej).
} \end{figure}

![$ [c,d]\subset A $](/sites/default/files/tex/043ab316af3683916565da814012ed8fc692ba1e.png)


![$ [c,d] $](/sites/default/files/tex/02b2e262616fccdeb37d405b688e27e4a832278d.png)

- Jeśli
dla każdego
, to
jest niemalejąca na
.
- Jeśli
dla każdego
, to
jest rosnąca na
.
- Jeśli
dla każdego
, to
jest malejąca na
.
- Jeśli
dla każdego
, to
jest nierosnąca na
.
Dowód:
Wystarczy zapisać tezę twierdzenia Lagrange'a w postaci
![]() |
a następnie podstawiać za i
dowolne pary punktów przedziału
.
□
Dowód:
Stosując twierdzenie Lagrange'a dla na dowolnym przedziału
, stwierdzamy, że
dla każdego
.
□

![$ f\colon [c,d]\to \R $](/sites/default/files/tex/8a10accc58d63437412319bd475802df86e4ee6d.png)
![$ [c,d] $](/sites/default/files/tex/02b2e262616fccdeb37d405b688e27e4a832278d.png)

- Funkcja
spełnia warunek Lipschitza ze stałą
;
- Dla każdego
zachodzi nierówność
Dowód:
Jeśli spełnia warunek Lipschitza ze stałą
, to dla dowolnych
,
zachodzi nierówność
![]() |
Wykonując przejście graniczne , otrzymujemy
.
Na odwrót, jeśli spełnia warunek (ii), to dla dowolnych
,
, dobierając do
i
punkt
tak, jak w tezie twierdzenia Lagrange'a, możemy napisać
![]() |
Funkcja spełnia więc warunek Lipschitza ze stałą
.
□
![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)


![$ x\in [0,1] $](/sites/default/files/tex/4768e6464df1710d5735b2ed3e7d5cc9a6f319d1.png)

![$ x\in (0,1] $](/sites/default/files/tex/dff8c2a7617f9417abad0257bd7f87a1d4645e3d.png)

Na zakończenie tego podrozdziału spróbujemy udzielić częściowych odpowiedzi na dwa pytania: jakie funkcje mogą być pochodnymi, i czy pochodna funkcji różniczkowalnej musi być funkcją ciągłą. Odpowiedź na drugie pytanie jest prosta: pochodna nie musi być funkcją ciągłą.
![]() |
Dla otrzymujemy, stosując wzory na pochodną iloczynu i pochodną złożenia,
![]() |
Zatem na pochodna
istnieje i jest tam funkcją ciągłą.
Ponieważ sinus na przyjmuje tylko wartości z przedziału
, więc
dla wszystkich
. Dlatego
![]() |
Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że . Jednak
nie jest ciągła w zerze. To wynika stąd, że pierwszy składnik po prawej stronie fprimniec dąży do zera dla
(moduł tego składnika nie przekracza
), jednak drugi składnik,
, nie ma granicy dla
(patrz Przykład~ [link]). Dlatego granica
w zerze nie istnieje.
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Funkcja z Przykładu~ [link] w otoczeniu zera (dla nieco większej czytelności rysunku, oś została liniowo rozciągnięta). Wykres oscyluje między dwiema parabolami,
i
. Pochodna istnieje w każdym punkcie, jednak nie jest ciągła w zerze i zmienia znak nieskończenie wiele razy w każdym przedziale wokół zera.
} \end{figure}
Nietrudno zauważyć jeszcze jedno: tylko dla
, a dla
jest
. Zatem
ma w zerze minimum lokalne właściwe (a nawet osiąga w zerze swój kres dolny). Jednak dla dowolnej liczby
funkcja
zmienia znak nieskończenie wiele razy w przedziale
. Podobnie jest w przedziale
: tam też
zmienia znak nieskończenie wiele razy. (Czytelnik zechce, naśladując rozumowanie z Przykładu~ [link] Zatem prawdziwy jest następujący fakt, dla kogoś być może lekko zaskakujący i przeczący naiwnej intuicji. \begin{quote} Może się zdarzyć, że
jest ciągła na
i ma w punkcie
ekstremum lokalne właściwe, jednak nie jest monotoniczna na żadnym przedziale
, ani na żadnym przedziale
, gdzie
.
□
\end{quote}

![$ f\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/efa6a79ce33adf8710d72fa0f5e91eb15c4d3edc.png)
![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)
![$ c\in [f'(a),f'(b)] $](/sites/default/files/tex/9c58dac5760a8d392c9e6526f1cd182d367c9a08.png)
![$ x\in [a,b] $](/sites/default/files/tex/141504ef005239da6da2ddb3069850c46ad62ca3.png)

Uwaga: nie zakładamy, że . Napis
oznacza przedział o końcach
i
, być może zdegenerowany do jednego punktu. Podkreślmy też wyraźnie: nie zakładamy tu ciągłości
.
Dowód:
Bez zmniejszenia ogólności przyjmijmy . Rozpatrzmy funkcję pomocniczą (Nietrudno zobaczyć, że
dobieramy tak, aby mieć
.)
. Spełnia ona warunki:
![]() |
Jeśli lub
, to teza twierdzenia zachodzi (można wziąć
lub
). Załóżmy więc odtąd, że
.
Funkcja jest ciągła na
, zatem, z Twierdzenia~ [link] wynika, że istnieje punkt
taki, że
![]() |
Zauważmy, że gdyby , to mielibyśmy dla małych
![]() |
Ponieważ jednak , więc
. Tak samo pokazujemy, że
. Z lematu Fermata otrzymujemy teraz
.
□
Odpowiedź na inne naturalne pytanie: czy każda funkcja ciągła jest pochodną pewnej funkcji? jest też twierdząca, ale na jej uzasadnienie Czytelnik będzie musiał poczekać.
Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora
Definicja pochodnych wyższych rzędów
Jeśli funkcja , gdzie
, jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru
, to funkcję
taką, że
dla każdego
, nazywamy pierwszą pochodną funkcji
. Pochodne wyższych rzędów definiuje się indukcyjnie. Służą one, jak się przekonamy, do aproksymacji funkcji wielomianami, do badania ekstremów, a także (druga pochodna) do określania wypukłości. Zacznijmy od definicji.














![]() |
Krótko mówiąc, górny indeks w nawiasie oznacza liczbę wykonanych różnoczkowań. Zatem, ,
,
,
. Primów nie używamy do oznaczania pochodnych rzędu wyższego niż trzeci. Ogólna, indukcyjna reguła podana w definicji orzeka, iż
w tych punktach, w których funkcja
jest różniczkowalna.
- Jeśli
dla
, to - jak już wiemy -
. Nietrudno stąd wywnioskować, że
ma pochodne wszystkich rzędów:
,
i ogólnie
dla każdego
.
- Posługując się wzorami na pochodne sinusa i cosinusa (patrz Stwierdzenie~ [link]), łatwo sprawdzamy, że
- Ze wzoru na pochodną logarytmu naturalnego (patrz Stwierdzenie~ [link]) i pochodną funkcji potęgowej otrzymujemy dla
(Obu wzorów dowodzi się tak samo, przez łatwą indukcję.)
- Jeśli
są nieujemne, to wówczas
Pochodna -tego rzędu sumy dwóch funkcji
-krotnie różniczkowalnych jest sumą
-tych pochodnych składników, tzn.
. Dowód jest oczywisty i wynika ze wzoru na pochodną sumy. Wzory na wyższe pochodne złożenia funkcji i funkcji odwrotnej są dość zawiłe, ale w razie potrzeby można je wyprowadzić, wykonując czysto mechaniczną pracę. Odnotujmy natomiast wzór Leibniza na
-tą pochodną iloczynu. Z mnemotechnicznego punktu widzenia jest on ``taki sam'', jak dwumian Newtona.





![]() |
Szkic dowodu. Dowód jest łatwy; prowadzi się go przez indukcję, korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu i tożsamości . Sprawdzimy tylko wzór na
:
![]() |
pozostawiając resztę szczegółów zainteresowanym.
□
Wzór Taylora
Najważniejszym wzorem w Analizie, wykorzystującym pochodne wyższych rzędów, jest tak zwany wzór Taylora. Służy on do przybliżania funkcji -krotnie różniczkowalnych wielomianami, z pewną kontrolą błędu przybliżenia (jakość i stopień tej kontroli zależą od tego, ile wiemy o danej funkcji). W najprostszym przypadku, dla wielomianów, wynika on ze związku między współczynnikami wielomianu i wartościami pochodnych wielomianu w zerze, który z kolei łatwo otrzymać ze wzoru dkxm.
Prześledźmy odpowiedni rachunek. Niech
![]() |
będzie wielomianem stopnia o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas
![]() |
W szczególności, dla każdego
, a ponadto
![]() |


![]() |
Dowód:
Pierwszy wzór wynika z relacji dkP0 między współczynnikami wielomianu i jego pochodnymi w zerze. Aby otrzymać drugi wzór, wystarczy zastosować pierwszy do wielomianu
, gdzie
. Wtedy
dla dowolnego
.
□
Jeśli , to oczywiście
dla wszystkich
. Okazuje się, że taki warunek spełniają na prostej tylko wielomiany odpowiedniego stopnia. Odnotujmy ten fakt.






Dowód:
Dowodzimy przez indukcję względem . Jeśli
, to z Wniosku~ [link] wynika, że
, a więc
jest wielomianem stopnia 0 i teza zachodzi.
Załóżmy prawdziwość stwierdzenia dla liczby . Niech
będzie
-krotnie różniczkowalna i
. Wówczas
na mocy Wniosku~ [link]. Rozpatrzmy
. Oczywiście,
![]() |
a więc na mocy założenia indukcyjnego jest wielomianem stopnia co najwyżej
. Zatem,
, gdzie
, jest wielomianem stopnia co najwyżej
.
□







![]() |
gdzie reszta spełnia warunek
![]() |
Intuicyjny sens tego twierdzenia jest jasny: funkcję, która ma pochodnych w~pewnym przedziale i
-tą pochodną w pewnym ustalonym punkcie (jak zobaczymy później, zero nie odgrywa tu żadnej szczególnej roli), to w pobliżu tego punktu można tę funkcję przybliżać wielomianami stopnia
, przy czym błąd przybliżenia ma, dla małych
-ów, mniejszy rząd niż
.
Liczne przykłady zastosowań tego twierdzenia Czytelnik zobaczy później (także na ćwiczeniach). Najpierw przytoczymy
Dowód:
Krok 1. Niech najpierw . Wtedy wzór Maclaurina przybiera postać
, a równość
![]() |
wynika wprost z definicji pochodnej. Krok 2. Rozpatrzymy teraz przypadek szczególny: niech funkcja spełnia warunek
![]() |
Dla takiej prawa strona MCL-Peano składa się z samej `reszty', tzn. wzór Maclaurina przybiera postać
. Trzeba więc wykazać, że dla każdej takiej funkcji zachodzi równość
![]() |
Udowodnimy to przez indukcję względem . Przypadek
już rozpatrzyliśmy.
Niech spełnia warunek phiplaskak dla
. Wtedy
spełnia ten sam warunek dla
. Piszemy, stosując do
twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej na odcinku o końcach
i
,
![]() |
na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do funkcji . To kończy dowód wzoru Maclaurina dla funkcji
, spełniających dodatkowy warunek phiplaskak.
Krok 3. Przypadek ogólny. Dla spełniającej założenia twierdzenia kładziemy
![]() |
tzn. po prostu . Nietrudno sprawdzić, że
, więc
spełnia założenie phiplaskak. Zgodnie z poprzednim krokiem dowodu, zachodzi więc warunek limrxk, tzn.
dla
.
□
Podkreślmy: w całym twierdzeniu chodziło tylko o zbadanie zachowania reszty dla małych
. To był kluczowy problem. Otrzymany wzór Maclaurina można ``przesunąć'' na dowolny inny przedział
, z wyróżnionym punktem
. Jeśli
, to
dla wszystkich
, dla których pochodne rzędu
istnieją. Zachodzi więc także następujący fakt.







![]() |
![]() |
nazywa się -tym wielomianem Taylora funkcji
w punkcie
(gdy
, używamy nazwy wielomian Maclaurina). Zamiast podawać warunek rjesto, pisze się czasem
dla
. Symbol po prawej stronie to tzw.``o małe''; napis
![]() |
oznacza po prostu, że granica . Taki język jest czasem bardzo wygodny, co zobaczymy w konkretnych przykładach.
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Funkcja i jej wielomiany Taylora-Maclaurina w punkcie
dla
(styczna do wykresu), dla
(górne rysunki), dla
i
(środkowe rysunki), i wreszcie dla
i
(dolne rysunki). Jak widać, wykresy
i
na przedziale
pokrywają się praktycznie idealnie. Jednak dla
funkcja
ma oczywiście granicę
. Przybliżenie, jakie zapewnia wzór Taylora, ma charakter lokalny.
} \end{figure}
Z praktycznego punktu widzenia, przybliżenie, jakie zapewnia wzór Taylora, jest wystarczające do wielu celów praktycznych, np. choćby do obliczania wartości funkcji. Nawet ktoś zupełnie niezainteresowany teorią może zobaczyć to na rysunkach. Te, które widać w skrypcie, zostały wykonane dla konkretnej funkcji (wybranej tak, aby uzyskać rozsądną ilość przedziałów monotoniczności i wykres, który w otoczeniu zera wygląda dość przypadkowo)
![]() |
jej wykres jest zaznaczony kolorem czarnym. Kolorem niebieskim zaznaczono wykresy wielomianów Taylora-Maclaurina,
![]() |
dla różnych . Jak widać, im wyższy stopień wielomianu Taylora, tym (w danym przypadku) większa długość przedziału, na którym przybliżenie jest dokładne, i tym mniejszy błąd przybliżenia. Zobaczymy później, jakie są teoretyczne oszacowania reszty we wzorze Taylora. (Zobaczymy też, niestety, że istnieją tak `złośliwe' funkcje, dla których prawa strona wzoru Taylora w pewnych punktach składa się, dla dowolnego
, z samej reszty) - wtedy przybliżanie wielomianami Taylora nie wnosi żadnej informacji.
Oto fragment kodu, który zainteresowanym pozwoli na prowadzenie w wydziałowym Laboratorium własnych eksperymentów z wielomianami Taylora. Można samodzielnie zmieniać funkcję i dwoma suwakami zmieniać rozmiar przedziału oraz stopień wielomianu Taylora:
Manipulate[ Plot[ Evaluate[ {1.5 Cos[x] + .5 Cos[2 * Pi * x] - x + 6, Normal[Series[1.5 Cos[x] + .5 Cos[2 * Pi * x] - x + 6, {x, 0, n}]] }], {x, -x0, x0}, PlotRange -> {-.5, 12.5}, PlotPoints -> 120, MaxRecursion -> 3, PlotStyle -> {{Black, Thick}, {Blue, Thick}}, TicksStyle -> Directive[Black, 26], Ticks -> {{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}, {2, 6, 10}}, Filling -> {2}, FillingStyle -> Directive[Opacity[.15], Gray], ImageSize -> {800, 500}, ImagePadding -> 20 ], {{n, 5, "stopień wielomianu"}, 1, 80, 1}, {{x0, 5, "wielkość przedziału"}, .5, 8} ]
Przejdziemy teraz do konkretnych przykładów, wskazujących m.in., jak przydatny jest wzór Taylora przy obliczaniu granic.

- Niech
. Wówczas
dla dowolnego
, więc wzór MCL-Peano dla funkcji wykładniczej przybiera postać
- Dla
mamy
(tzn. w MCL-Peano nie ma w ogóle składników o numerach parzystych), natomiast
dla
. Wzór MacLaurina dla sinusa jest więc następujący:
gdzie
dla
, gdyż skończyliśmy wypisywanie wielomianu Maclaurina na pochodnej rzędu
. Zauważmy, że w tym przypadku można w istocie twierdzić, że
dla
, gdyż kolejny, parzysty, składnik w rozwinięciu Maclaurina jest zerem (parzyste pochodne sinusa znikają w zerze).
- Dla
mamy
dla każdego
, natomiast
i dlatego
gdzie
dla
(i, jak w poprzednim podpunkcie, można zauważyć, że w istocie mamy nawet
, gdyż kolejny, nieparzysty, składnik rozwinięcia Maclaurina jest zerem).
□
Uwaga. Czytelnik zauważył zapewne, że wielomiany Maclaurina w ostatnim przykładzie wyglądają tak samo, jak odpowiednie sumy częściowe szeregów, którymi posługiwaliśmy się w rozdziale 4. To nie jest przypadkowy fakt: jak zobaczymy za jakiś czas, jeśli funkcja jest sumą szeregu,
, zbieżnego na pewnym przedziale otwartym wokół zera, to wówczas
ma pochodne wszystkich rzędów i
dla każdego
.




![]() |
Podstawiając , otrzymamy
![]() |
Tym wzorem też można się posługiwać dla dowolnej liczby , gdyż logarytm naturalny ma na
pochodne wszystkich rzędów.
□
![]() |
Mamy ; biorąc
stwierdzamy, że mianownik jest równy
z dokładnością do wyrazów niższego rzędu. Dlatego znajdziemy rozwinięcie Taylora licznika też z dokładnością do wyrazów z
. Wiemy, że
dla
. Zatem
![]() |
Skomentujmy ten prosty skądinąd rachunek. Po pierwsze, nie musieliśmy wcale różniczkować złożenia . Podstawialiśmy jeden wzór Taylora do drugiego, kontrolując błąd. Po drugie, napis `
' oznaczał w różnych miejscach różne wyrażenia! Wiemy tylko, że `
dla
' to funkcja, która po podzieleniu przez
ma w zerze granicę 0. Dlatego (To jeden z powodów, dla których tej symboliki trzeba używać z wyczuciem i ostrożnie!)
oraz
, gdyż
ma zerze granicę 1. Ostatecznie,
![]() |
a więc szukana granica wynosi . Podkreślmy ponownie: w liczniku i mianowniku ostatniego ułamka pod tym samym symbolem
kryją się różne wyrażenia - reszty ze wzoru Maclaurina dla różnych funkcji! Ich wspólną własnością jest jednak to, że po podzieleniu przez
dążą do zera. Dlatego umiemy udzielić odpowiedzi.
□
Podamy teraz ogólne twierdzenie, pozwalające dokładniej szacować resztę we wzorze Taylora.





![]() |
Wówczas dla każdego i każdego
istnieje liczba
taka, że
![]() |
Dowód:
Ustalmy i rozważmy funkcję pomocniczą
![]() |
Wtedy i
; ponadto,
jest różniczkowalna w
, gdyż
ma
pochodnych na większym przedziale. Obliczmy
![]() |
Opuszczając nawiasy, otrzymujemy po dokonaniu redukcji
![]() |
Niech teraz będzie funkcją ciągłą w
, różniczkowalną w
, której pochodna nie znika nigdzie w
. Stosując Twierdzenie Cauchy'ego (patrz Tw.~ [link]; proszę samodzielnie sprawdzić, że spełnione są wszystkie założenia), otrzymujemy
![]() |
Korzystając z tej równości, obliczamy
![]() |
Aby zakończyć dowód, pozostaje odpowiednio dobrać funkcję i użyć powyższego wzoru dla niej. Weźmy
. Wtedy
jest ciągła na
i
nie znika w
. Ponadto,
i
. Niech
będzie takie, że
. Wzór prereszta przepisujemy teraz w postaci
![]() |
To jest właśnie szukana postać reszty, resztaSR. Dowód jest zakończony.
□
Dobierając różne wartości , można otrzymać różne konkretne postacie reszty. Bardzo znana jest tzw. reszta Lagrange'a, którą otrzymujemy dla
. Wtedy
, a
. Dlatego zachodzi następujący fakt.








![]() |
Warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych
Posługując się wzorem Taylora, nietrudno sformułować warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych, wyrażone za pomocą pochodnych wyższych rzędów. Wiemy już, że zerowanie pierwszej pochodnej funkcji nie jest warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum lokalnego (przykład: jest ściśle rosnąca, ale
). Jeśli jednak wiadomo, które pochodne wyższych rzędów danej funkcji znikają, a które nie, to można łatwo określić, czy w danym punkcie jest ekstremum lokalne, czy nie. Służy do tego wzór Taylora.




![]() |
to ma w
ekstremum lokalne właściwe. Dokładniej, jeśli
, to
ma w
minimum lokalne właściwe, a jeśli
, to
ma w
maksimum lokalne właściwe.
Dowód:
Rozpatrzymy tylko przypadek ; w drugim przypadku dowód jest analogiczny. Ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peano otrzymujemy, uwzględniając założenie o znikaniu pochodnych
dla
,
![]() |
gdzie dla
. Dobierzmy liczbę
tak, aby
![]() |
można to zrobić, posługując się wprost definicją granicy, gdyż . Zatem, z nierówności trójkąta,
![]() |
dla wszystkich . Dowód jest zakończony.
□




![]() |
to nie ekstremum w punkcie
.
Szkic dowodu. Postępując tak, jak w poprzednim dowodzie, otrzymujemy
![]() |
przy czym dla pewnej liczby jest
![]() |
Ponieważ wyrażenie nie ma stałego znaku, więc łatwo jest stąd wywnioskować, że i różnica
nie ma stałego znaku dla
bliskich
.
□
Warunki dostateczne wypukłości. Punkty przegięcia.
W ostatniej części tego podrozdziału powiemy o związkach pochodnej z wypukłością.







Dowód:
Znamy już Twierdzenie~ [link], które podaje równoważne warunki wypukłości. Trzeci warunek w tym twierdzeniu orzeka, że jest wypukła na
wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
należących do
zachodzą nierówności
![]() |
Jeśli jest ściśle wypukła, to dla każdej trójki punktów nierówności są ostre.
Ustalmy teraz dowolne i załóżmy, że
jest różniczkowalna, a
jest funkcją niemalejącą. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej wynika, że istnieją
oraz
takie, że
![]() |
gdzie środkowa nierówność zachodzi, gdyż jest niemalejąca i
. Jeśli ponadto
jest rosnąca, to
. To kończy dowód w jedną stronę.
Pokażemy teraz, że jeśli jest wypukła i
istnieje, to
dla
. Z Twierdzenia~ [link] wynika, że dla
, gdzie
jest środkiem odcinka
, zachodzą nierówności
![]() |
Ponieważ nierówności nieostre zachowują się w granicy, więc wykonując przejście graniczne , otrzymujemy
![]() |
Zatem jest niemalejąca. Jeśli ponadto
jest ściśle wypukła, to środkowa nierówność jest ostra, co oznacza, że wtedy
.
□
Uwaga. Aby sprawdzić, że monotoniczność jest warunkiem dostatecznym wypukłości
, można też postąpić inaczej. Niech
,
. Funkcja
![]() |
ma pochodną . Zauważmy, że
, gdy
i
. Dlatego, jeśli
jest niemalejąca, to
na
. Stąd
, a warunek
jest po prostu nierównością Jensena. Zauważmy, że gdy
jest rosnąca, to nierówności w ostatnim zdaniu można zmienić na ostre.

- Jeśli
na
, to
jest ściśle wypukła na
;
- Jeśli
na
, to
jest wypukła na
;
- Jeśli
na
, to
jest ściśle wklęsła na
;
- Jeśli
na
, to
jest wklęsła na
.
Dowód:
Wystarczy zastosować poprzednie twierdzenie i Wniosek~ [link], podający warunki dostateczne monotoniczności funkcji różniczkowalnej.
□
Uwaga. Należy pamiętać, że mówimy tu tylko o dostatecznych warunkach wypukłości. Funkcja wypukła może przecież w pewnych punktach nie mieć nawet pierwszej pochodnej (przykład: dla
), a tym bardziej drugiej. Stosując Twierdzenie~ [link], można dość łatwo wykazać, że funkcja wypukła ma w każdym punkcie pochodne jednostronne i jest różniczkowalna poza zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Szczegóły pozostawiamy w charakterze zadania.








Można spotkać w literaturze inne, nierównoważne powyższej, definicje punktów przegięcia - np. taką: \begin{quote} {\it Niech będzie różniczkowalna w
i niech
będzie styczną do wykresu
w punkcie
. Mówimy, że
ma w
punkt przegięcia, gdy funkcja
zmienia znak w punkcie
.} \end{quote} Geometrycznie biorąc, powyższe określenie oznacza, że wykres
przechodzi z jednej strony stycznej na drugą. Nie wymagamy, żeby na ustalonym przedziale z jednej strony
funkcja była wklęsła, a z drugiej wypukła.
![]() |
będzie funkcją z Przykładu~ [link] i niech dla
,
dla
. Sprawdzić, że
nie ma w
punktu przegięcia w sensie Definicji~ [link], ale funkcja
![]() |
jest dodatnia dla i ujemna dla
, tzn. wykres
przechodzi w zerze z jednej strony stycznej na drugą. (#)






Dowód:
Bez zmiany ogólności załóżmy, że . Ponieważ
![]() |
więc dla wszystkich dostatecznie małych jest
. Zatem
jest ściśle wypukła na pewnym przedziale
i ściśle wklęsła na pewnym przedziale
. Na żadnym z tych przedziałów
oczywiście nie jest liniowa, a ponadto
istnieje, gdyż
jest dwukrotnie różniczkowalna. Spełnione są więc wszystkie warunki Definicji~ [link].
□
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt U góry: punkt przegięcia. U dołu: wykres funkcji przechodzi na drugą stronę stycznej, jednak w dowolnie małym przedziale są zarówno odcinki, na których funkcja jest wklęsła, jak i odcinki, na których funkcja jest wypukła. Konkretny przykład takiej sytuacji można znaleźć w Zadaniu~ [link].
} \end{figure}
![]() |
zmienia znak w punkcie , gdyż ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peano wynika, że
![]() |
znak prawej strony określamy tak samo, jak w dowodzie Stwierdzenia~ [link]. Z intuicyjnego punktu widzenia, przy założeniach różnica
między
i styczną do wykresu
zachowuje się w otoczeniu punktu
- z dokładnością do zaniedbywalnego błędu - tak, jak pewna wielokrotność
. Widać, że przy takich założeniach oba przytoczone określenia punktu przegięcia są równoważne (a patologie takie, jak w Zadaniu~ [link], są wykluczone).


Reguła de l'Hospitala
Sformułujemy teraz kilka wariantów tak zwanej reguły de l'Hospitala, która ułatwia obliczanie granice wyrażeń nieoznaczonych typu i
. Jest to narzędzie wygodne i warto je znać. Zobaczymy jednak przykłady sytuacji, gdy reguła de l'Hospitala prowadzi do koszmarnych rachunków i z kretesem przegrywa konkurencję z wzorem Taylora.




![]() |
istnieje i jest równa .
Dowód:
Z założeń wynika, że
![]() |
(ostatni ułamek ma sens: blisko punktu jest
, gdyż
). Z twierdzenia o granicy iloczynu i definicji pochodnej wynika natychmiast, że
![]() |





![]() |
to granica
![]() |
istnieje i jest równa .
Dowód:
Posługując się wzorem Taylora z resztą Peano i założeniem o znikaniu odpowiednich pochodnych i
, możemy napisać:
![]() |
(Zauważmy, że w otoczeniu punktu mianownik nie będzie się zerował, gdyż
.) Stąd natychmiast wynika teza.
□
Kolejny wariant od dwóch poprzednich różni się tym, że nie zakładamy różniczkowalności obu funkcji w punkcie .









Szkic dowodu. Tym razem skorzystamy z twierdzenia Cauchy'ego i napiszemy
![]() |
Posługując się wprost definicją granicy (wg. Cauchy'ego), nietrudno stwierdzić, że dla prawa strona dąży do
, a więc i lewa strona dąży do
. Czytelnik zechce uzupełnić wszystkie szczegóły rozumowania.
□














![]() |
wtedy (powiedzmy, że )
![]() |
Mamy też, dzięki wzorowi na pochodną złożenia,
![]() |
W ostatniej wersji reguła de l'Hospitala przenosi się na nieoznaczoności typu .








Dowód:
Dla ustalenia uwagi rozpatrzymy przypadek i
. Niech
. Wtedy
![]() |
Dla ustalonego , ułamek
![]() |
ma dla granicę równą
, gdyż
dla
. Posługując się twierdzeniem Cauchy'ego, by wyrazić stosunek przyrostów funkcji
i
, piszemy
![]() |
Dlatego
![]() |
Ustalmy i liczbę
, którą dobierzemy do
później. Korzystając z założenia o istnieniu granicy ilorazu pochodnych, weźmy taki punkt
, aby
dla wszystkich
. Wreszcie, ustaliwszy już
, wybierzmy liczbę
tak, aby
dla wszystkich
. Szacując prawą stronę dowH, otrzymujemy teraz
![]() |
dla wszystkich liczb ; aby zachodziła ostatnia nierówność, wystarczy wziąć np.
.
□

Założenie o istnieniu granicy ilorazu jest istotnie i nie można go pominąć.
![]() |
Jednak, oznaczając ,
, otrzymujemy
![]() |
a ten iloraz nie ma granicy dla . (Można wykazać, że każda liczba
jest granicą ciągu
dla pewnego ciągu
, który dąży do nieskończoności).
Teraz omówimy kilka przykładów zastosowań reguły de l'Hospitala.








![]() |
istnieje i jest równa (Posłużyliśmy się Twierdzeniem~ [link]).









![]() |
istnieje i jest równa (Tym razem posłużyliśmy się Twierdzeniem~ [link] i Uwagą~ [link]).



![]() |
Ponieważ , więc na mocy Twierdzenia~ [link]
![]() |
![]() |
Niech dla
. W punkcie
kładziemy
. Ponieważ
dla
(to można sprawdzić, obliczając granicę prawostronną w zerze funkcji
, a następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej), więc otrzymamy w ten sposób funkcję ciągłą
, różniczkowalną dla
.
Ponadto, niech . Wtedy
i
dla wszystkich
. Aby zastosować Twierdzenie~ [link], obliczamy
![]() |
Twierdzenie~ [link] pozwala teraz sprowadzić istnienie granicy do istnienia granicy
![]() |
Niech teraz ,
. Mamy
![]() |
więc , natomiast
![]() |
tzn. ,
i na mocy Twierdzenia~ [link] otrzymujemy
![]() |
Podstawiając ten wynik do preexp1n i korzystając z równości , otrzymujemy teraz, stosując Twierdzenie~ [link],
![]() |
Ponieważ , więc otrzymujemy z ostatniego przykładu następujący wniosek.

![]() |
Dowód:
Dla ciągu , przy oznaczeniach z ostatniego przykładu, z pewnością zachodzi warunek:
dla wszystkich dostatecznie dużych
(posługujemy się definicją Heinego granicy funkcji i Stwierdzeniem~ [link]). Równoważnie,
![]() |
a to jest teza wniosku.
□
Widzimy zatem, że ciąg jest zbieżny do swojej granicy, liczby
, dość wolno: odstęp
jest większy od
. Do wszelkich celów związanych z praktycznymi obliczeniami używa się rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg, które poznaliśmy w Rozdziale~4.

![]() |
gdyż dla i
mamy
![]() |
Zauważmy: tym razem chodziło o nieoznaczoność typu i skorzystaliśmy z Twierdzenia~ [link].


![]() |
Ile razy trzeba zastosować regułę de l'Hospitala, żeby uzyskać odpowiedź?
Z ostatniego zadania i ostatniego przykładu wynika ponownie morał, który skądinąd Czytelnik miał szansę poznać wcześniej, rozwiązując elementarnymi metodami wiele konkretnych zadań o granicach ciągów:
\begin{framed} \begin{quote}
Dla :
- Logarytm naturalny dąży do nieskończoności wolniej, niż dowolna funkcja potęgowa o wykładniku dodatnim;
- Funkcja wykładnicza dąży do nieskończoności szybciej, niż dowolny wielomian.
\end{quote} \end{framed}
![]() |
Korzystając z rozwinięć Taylora-Maclaurina funkcji trygonometrycznych, i
, które poznaliśmy w poprzednim podrozdziale, możemy dla
napisać
![]() |
Funkcja ma pochodne
![]() |
Zatem ,
, i ze wzoru Maclaurina z resztą Peano otrzymujemy
![]() |
Stąd, ponieważ dla
,
![]() |
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Stosowanie reguły de l'Hospitala nie zawsze jest dobrym pomysłem. Trzecią pochodną funkcji
![]() |
można obliczyć, ułatwiając sobie pracę: załączony zrzut ekranu pokazuje wynik obliczeń symbolicznych, wykonanych przez komputer. Czytelnik powinien sobie teraz wyobrazić, że przedstawiony wynik ma trzykrotnie zróżniczkować za pomocą kartki i ołówka. Obliczanie granicy z Przykładu~ [link] tylko przy użyciu reguły de l'Hospitala jest zajęciem dość absurdalnym.
}
\end{figure} Teraz możemy zakończyć rachunki. Otóż,
![]() |
(pisząc drugą równość, po prostu skróciliśmy ułamek przez ). Dlatego
![]() |
Proszę zauważyć: o wartości granicy wnioskowaliśmy, dzieląc licznik i mianownik przez . To oznacza, że ważne były wartości szóstych pochodnych licznika i mianownika w zerze! Jednak różniczkując licznik i mianownik, otrzymujemy coraz bardziej skomplikowane wyrażenia; nic się wtedy nie upraszcza\ldots
Warto zatem pamiętać, że wzór Taylora jest znacznie bardziej uniwersalnym narzędziem niż reguła de l'Hospitala.
![]() |
Łatwo sprawdzić, że jest ciągła w zerze. Nietrudno też zauważyć, a następnie wykazać przez indukcję, że dla
zachodzi wzór
![]() |
gdzie jest pewnym wielomianem zmiennej
o współczynnikach całkowitych. Korzystając z tej własności, nietrudno udowodnić, że
dla wszystkich
. Istotnie, dla
wynika to wprost z definicji
, a jeśli wiemy już, że
, to
![]() |
na mocy reguły de l'Hospitala. Dla tej funkcji używanie wzoru Taylora-Maclaurina do jej przybliżania nic nie daje!