Pojęcie szeregu wprowadza się po to, żeby można było ściśle mówić o sumach nieskończenie wielu składników. Z takimi sumami spotkaliśmy się już, mówiąc o ciągach. Np. dla jest
![]() |
Pierwszą równość traktujemy jako definicję napisu, występującego z lewej strony; druga równość wynika ze wzoru na różnicę -szych potęg, a trzecia - z twierdzenia o arytmetycznych własnościach granicy i stąd, że
dla
, gdy
.
Nieskończone sumowanie wymaga ostrożności: nie wolno w tym przypadku bezkarnie korzystać z przemienności i łączności dodawania. Gdyby np. suma miała skończoną wartość
i gdyby nieskończone dodawanie było przemienne i łączne, to mielibyśmy
![]() |
tzn. przy, jak się wydaje, naturalnej i sensownej umowie , byłoby
, co pokazuje, że
byłaby jednocześnie każdą z liczb
, tak zaś oczywiście nie może być!
Dlatego zaczniemy od definicji, służących ustaleniu, kiedy można mówić o sumie nieskończenie wielu składników.








![]() |
nazywamy jego sumą i piszemy (Nadużywamy tu lekko oznaczeń, ale jest to przyjęty i w tym przypadku niegroźny obyczaj; nie będziemy się nadmiernie obawiać pomylenia szeregu z jego sumą.)
![]() |
Szereg, który nie jest zbieżny, nazywa się rozbieżny.
(Czasem wygodnie jest numerować ciąg wyrazów szeregu za pomocą liczb całkowitych większych od pewnej ustalonej liczby ; będziemy to robić bez wahania.)


![]() |
jest zbieżny, a jego suma jest równa . To wynika ze wzoru na sumę skończonego postępu geometrycznego i zostało wyjaśnione, gdy podaliśmy wzór szergeom.

- {(CS)}
- Dla każdego
istnieje
takie, że dla wszystkich
jest
Dowód:
Mamy , więc (CS) to po prostu warunek Cauchy'ego dla ciągu
, równoważny (jak wiemy) zbieżności
, czyli - wprost z definicji - zbieżności szeregu.
□
Dla porządku odnotujmy jeszcze jeden prosty fakt. (Jego sens jest jasny: analizując zbieżność szeregu, wolno odrzucić ustaloną liczbę początkowych wyrazów.)
Dowód:
Nietrudno zauważyć, że warunek Cauchy'ego albo jednocześnie zachodzi dla obu szeregów, albo nie zachodzi dla żadnego z nich: dla dużych wartości sum
są przecież te same.
□
Dowód:
To wynika natychmiast z twierdzenia o granicy sumy ciągów zbieżnych.
□

![]() |
Dowód:
Jeśli , to
, gdy
.
□

![]() |
jest rozbieżny, gdyż dla
, a więc nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
□
Przestroga. Należy pamiętać, że podany wyżej warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest warunkiem dostatecznym: ze zbieżności nie wynika wcale zbieżność szeregu
. Istotna jest nie sama zbieżność
do zera, ale tempo tej zbieżności.


Dowód pierwszy. Dla szeregu harmonicznego nie jest spełniony warunek Cauchy'ego; sumy dalekich wyrazów nie muszą być małe. Istotnie, biorąc i dowolną liczbę
, otrzymujemy
![]() |
Dowód drugi. Wiemy już, że dla zachodzą nierówności
. Podstawiając w nich
, gdzie
, otrzymujemy
![]() |
Sumując te nierówności dla , sprawdzamy, że
![]() |
Jednak , zatem sumę logarytmów w poprzednim wzorze łatwo jest obliczyć: jest ona równa
. Otrzymujemy stąd, oznaczając dla krótkości
-tą sumę częściową szeregu harmonicznego przez
,
![]() |
Ponieważ dla
, więc
nie ma skończonej granicy, gdy
.


![]() |
a zatem
![]() |
Ciąg sum częściowych tego szeregu jest rosnący (bo wyrazy szeregu są dodatnie) i ograniczony z góry przez liczbę 2, jest więc zbieżny.
□
Szeregi o wyrazach dodatnich
Badanie zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich jest łatwiejsze od badania zbieżności szeregów o dowolnych wyrazach rzeczywistych. W podręcznikach Analizy można znaleźć bardzo wiele tzw. kryteriów zbieżności szeregów, tzn. twierdzeń, podających warunki dostateczne zbieżności (lub rozbieżności) szeregu. Nie będziemy podawać długiej listy takich twierdzeń (Zainteresowanych odsyłam do podręcznika Fichtenholza i książki Knoppa o szeregach nieskończonych.); zadowolimy się skromnym zestawem, który do wielu celów w zupełności wystarcza.
Zacznijmy od banalnej obserwacji.


![]() |
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych jest ograniczony z góry.
Dowód:
Ciąg jest niemalejący, gdyż
dla wszystkich
. Dlatego zbieżność
do granicy skończonej jest równoważna ograniczoności
, patrz Twierdzenie~ [link]. Ponieważ
, więc trzeba (i wystarcza) sprawdzać tylko ograniczoność z góry.
□
Najprostszy zestaw kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich w gruncie rzeczy można ograniczyć do dwóch faktów: kryterium porównawczego i kryterium zagęszczeniowego. Każde z nich wykorzystuje jasną, intuicyjną ideę. Sens kryterium porównawczego jest taki, że jeśli można określić sumę pewnego nieskończonego zestawu liczb dodatnich, to można także określić sumę liczb mniejszych (która będzie mniejsza). Kryterium zagęszczeniowe można opisać tak: grupując dodatnie wyrazy, łatwiej jest dostrzec, jak szybko (lub wolno) rosną sumy częściowe szeregu.





- Ze zbieżności szeregu
wynika zbieżność szeregu
;
- Z rozbieżności szeregu
wynika rozbieżność szeregu
.
Dowód:
Jeśli , to dla wszystkich
jest, dzięki dodatniości wyrazów obu szeregów,
![]() |
(moduły można po prostu pominąć). Jeśli więc warunek Cauchy'ego dla szeregów jest spełniony dla szeregu o wyrazach , to jest spełniony także dla szeregu o wyrazach
. Trzeba po prostu ustalić
, wziąć dla szeregu o wyrazach
liczbę dodatnią
, dobrać do niej
(nie mniejsze od
) i zobaczyć, że dla
będzie wtedy
.
Tak samo sprawdzamy, że jeśli warunek Cauchy'ego nie zachodzi dla szeregu o wyrazach , to nie zachodzi także dla szeregu o wyrazach
.
□
Uwaga. Jeśli komuś nie podoba się rozumowanie, w którym w sposób jawny korzysta się z warunku Cauchy'ego, może postępować w dowodzie tak: skorzystać ze Stwierdzenia~ [link], odrzucić wyrazy o numerach mniejszych od i stwierdzić, że liczba
jest ograniczeniem górnym zbioru wszystkich sum częściowych szeregu
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest ograniczeniem górnym zbioru sum częściowych szeregu
. To wynika z nierówności
i dodatniości wyrazów
. Zastosowanie Stwierdzenia~ [link] pozwala zakończyć inny, alternatywny dowód kryterium porównawczego.





Dowód:
Można bez zmniejszenia ogólności założyć, że . Wybierzmy liczbę
tak, aby
![]() |
Na mocy Stwierdzenia~ [link] (o szacowaniu granic) istnieje wtedy takie, że
![]() |
Teza wynika teraz z poprzedniej wersji kryterium porównawczego.
□


![]() |
Wtedy
- Ze zbieżności szeregu
wynika zbieżność szeregu
;
- Z rozbieżności szeregu
wynika rozbieżność szeregu
.
Dowód:
Można bez zmniejszenia ogólności założyć, że . Mnożąc nierówności ilorazy-ab stronami dla
otrzymujemy
![]() |
a więc , gdzie
. Są to założenia pierwszej wersji kryterium porównawczego; stosując je, kończymy dowód.
□





![]() |
Ponieważ dla każdego szereg geometryczny
jest zbieżny, więc szereg
jest zbieżny. To wynika z punktu (a) ostatniego kryterium.
□



□




![]() |
gdyż i
(można stwierdzić to na wiele sposobów - my w tej chwili możemy już powiedzieć, że wynika to np. ze zbieżności szeregu
, udowodnionej we wcześniejszym przykładzie!). Zatem
![]() |
Czytelnik może sam sprawdzić, że taki sam wzór ma miejsce dla .

![]() |
są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Dowód:
Niech ,
. Zauważmy, że dzięki monotoniczności ciągu
i równości
jest
Sumując te nierówności dla
, otrzymujemy
![]() |
(proszę zauważyć, że zaczynamy od , stąd kosmetyczny dodatek
po lewej stronie wyżej). Zatem, ciągi monotoniczne
i
są albo jednocześnie ograniczone, albo jednocześnie nieograniczone. Teza kryterium zagęszczeniowego wynika więc ze Stwierdzenia~ [link].
□
Zaleta tego kryterium jest taka, że (dzięki dodatkowemu założeniu o monotoniczności ciągu ) szereg o wyrazach
zachowuje się - używając przenośni - tak samo, co szereg o wyrazach
, tylko w sposób bardziej oczywisty, łatwiejszy do zauważenia. Najlepiej zobaczyć to na przykładach.

![]() |
a szereg z samych jedynek jest oczywiście rozbieżny.
□
![]() |
jest rozbieżny. Istotnie, dla otrzymujemy
![]() |
więc rozbieżność rozważanego szeregu wynika z rozbieżności szeregu harmonicznego i kryterium zagęszczeniowego.
□
Proszę zauważyć, że dla dużych liczba
jest dużo mniejsza od
(iloraz tych liczb dąży do 0 dla
), więc sumy częściowe ostatniego szeregu rosną wolniej niż sumy częściowe szeregu harmonicznego. Jednak dzięki zastosowaniu kryterium zagęszczeniowego, tzn. dzięki odpowiedniemu grupowaniu wyrazów, potrafimy łatwo wykazać rozbieżność.
![]() |
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy . Dla
rozbieżność jest oczywista: nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, gdyż dla takich
mamy
. Niech więc
. Wyrazy
maleją do zera; zastosujmy kryterium zagęszczeniowe. Otóż
![]() |
a więc zagęszczenie prowadzi do szeregu geometrycznego , który (jak już wiemy) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy
.
□




![]() |
Wystarczy teraz spojrzeć na poprzedni przykład.
□
Dla porządku odnotujmy też nieco ogólniejszą wersję kryterium zagęszczeniowego.



![]() |
są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.
Dowód:
Niezbyt trudne ćwiczenie dla zainteresowanych.
□
Warto zdawać sobie sprawę, że istnieją przykłady, które wymagają nieco subtelniejszej analizy, nie polegającej na szybkim stosowaniu gotowych kryteriów. Popatrzmy na dwa z nich.







![]() |
jest rozbieżny. Ustalmy liczbę . Niech
. Wtedy
![]() |
W ostatniej linijce występuje suma odwrotności wszystkich liczb bezkwadratowych (Mówimy, że jest liczbą bezkwadratową, jeśli
nie dzieli się przez żaden pełny kwadrat różny od 1; równoważnie,
jest liczbą bezkwadratową, gdy jest iloczynem różnych liczb pierwszych.)
,
; nietrudno zauważyć, że mnożąc wszystkie nawiasy
szkolną metodą `każdy z każdym', otrzymamy tylko odwrotności liczb bezkwadratowych: wszystkich liczb bezkwadratowych
i niektórych liczb bezkwadratowych
.
Wiemy już, że dla każdego
(patrz Przykład~ [link]); mnożąc tę nierówność przez poprzednią, otrzymujemy
![]() |
Zatem
![]() |
a więc sumy częściowe szeregu 1przezp nie są ograniczone. (Rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych wykazał L. Euler w 1737 roku, w nieco inny sposób od zaprezentowanego tutaj.)
□

![]() |
jest zbieżny, a jego suma nie przekracza liczby 80. Aby się o tym przekonać, oznaczmy
![]() |
(jak widać, to podzbiór
złożony z liczb
-cyfrowych). Liczba elementów
jest równa
![]() |
gdyż pierwszą cyfrę różną od dziewiątki, niezerową, można wybrać na 8 sposobów, a każdą z kolejnych na 9 sposobów. Zatem
![]() |
Sumując te nierówności, nietrudno stwierdzić, że , gdzie
, a indeks
przybiera wartości
□
Podamy, na zakończenie tego podrozdziału, jeszcze jedno bardzo ogólne kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.





![]() |
Dowód:
Jeśli szereg jest zbieżny, to przyjmujemy
dla
. Wtedy
![]() |
więc warunek kummer zachodzi dla i
. Na odwrót, stosując kummer dla
, otrzymujemy
![]() |
więc począwszy od miejsca ciąg
jest malejący i ma wyrazy dodatnie, tzn. ma granicę skończoną. Przeto szereg o wyrazach
jest zbieżny: jego sumy częściowe to
. Z kryterium porównawczego i nierowności kummer-przekszt wynika teraz zbieżność szeregu
.
□



![]() |
to szereg jest zbieżny. \end{quote} (Uwaga: Czytelnik może sprawdzić, że wykorzystując warunek raabe i własności funkcji wykładniczej, można wykazać, że dla
i wszystkich dostatecznie dużych
jest
, gdzie
. Szereg
jest zbieżny dla
. Zatem, niezależnie od kryterium Kummera, każdy szereg
spełniający warunek raabe jest zbieżny na mocy ilorazowej wersji kryterium porównawczego, patrz Stw.~ [link].)


Czytelnik, który zetknął się z powyższymi kryteriami i przykładami, a także samodzielnie rozwiązał pewną liczbę zadań, może zadać sobie pytanie: czy istnieje jakiś idealny, wzorcowy szereg, którego zawsze można byłoby używać w kryterium porównawczym? Odpowiedź jest negatywna: dla każdego szeregu zbieżnego istnieje szereg, który jest zbieżny wolniej\ldots



![]() |
oznacza różnicę między sumą szeregu i jego
-tą sumą częściową. Wtedy oczywiście
maleje do
, gdy
. Przyjmijmy
dla
. Mamy
![]() |
(suma liczb jest teleskopowa), a więc szereg
jest zbieżny i ma sumę równą
. Jednak
![]() |
czyli zbieżności szeregu nie można wywnioskować ze zbieżności
i kryterium porównawczego!
Interludium: zbieżność ciągów i szeregów zespolonych
Do tej pory mówiliśmy wyłącznie o ciągach i szeregach w . Wiele obserwacji i wniosków, dotyczących takich ciągów i szeregów, można przenieść na ciągi i szeregi liczb zespolonych. (Użycie takich ciągów i szeregów jest rzeczą wygodną, nawet wtedy, gdy koniec końców interesują nas wyłącznie obliczenia mające fizyczny lub praktyczny sens. Podczas studiów matematycznych Czytelnik przekona się wielokrotnie, że liczby zespolone są niezwykle użytecznym narzędziem obliczeniowym; często bywa tak, że najkrótsza droga do nietrywialnego wzoru czy twierdzenia dotyczącego liczb rzeczywistych prowadzi przez dziedzinę zespoloną.) Nam w najbliższym czasie takie ciągi i szeregi przydadzą się do trzech rzeczy:
- określenia
dla
,
- ścisłego wprowadzenia funkcji trygonometrycznych,
- wskazania jasnego związku funkcji trygonometrycznych z funkcją wykładniczą.
Zacznijmy ponownie od definicji. Są one prostym uogólnieniem tego, co już znamy. Założymy, że Czytelnik zna (np. z wykładów algebry liniowej) pojęcie liczby zespolonej i jej modułu.






Intuicja związana z tą definicją jest prosta i w gruncie rzeczy taka sama, jak w : do każdej, choćby i bardzo małej, liczby dodatniej
potrafimy dobrać taki moment
, że począwszy od tego momentu wszystkie wyrazy ciągu
będą oddalone od
mniej niż o
-- tzn. znajdą się wewnątrz dysku
.
Podobnie określa się zbieżne szeregi liczb zespolonych.




Zauważmy, że jeśli , gdzie
, to
![]() |
Interpreacja geometryczna tej nierówności jest oczywista: przeciwprostokątna trójkąta o wierzchołkach jest dłuższa, niż każda przyprostokątna z osobna, ale krótsza od sumy przyprostokątnych. Z tej łatwej nierówności otrzymujemy szybko następujące użyteczne wnioski.
Dowód:
Zapisujemy zesp-rzecz dla ,
i
, a następnie korzystamy z definicji granicy i twierdzenia o trzech ciągach.
□





□

- \setcounter{enumi}{2}
- Dla każdej liczby
istnieje
takie, że dla wszystkich
zachodzi nierówność
.
Dowód:
Ze Stwierdzenia~ [link] i Twierdzenia~ [link] wynika, że zbieżność jest równoważna koniunkcji warunków Cauchy'ego dla ciągów
i
. Wobec nierówności zesp-rzecz,
i
spełniają warunek Caychy'ego (w
) wtedy i tylko wtedy, gdy
spełnia warunek Cauchy'ego.
□

- \setcounter{enumi}{18}
- Dla każdej liczby
istnieje
takie, że
Dowód:
To wynika z definicji szeregu zbieżnego i poprzedniego stwierdzenia.
□
Szeregi o wyrazach dowolnych
Zbieżność bezwzględna i warunkowa


Szereg, który jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, nazywa się warunkowo zbieżny. Przykłady takich szeregów zobaczymy później; jednym z nich jest (który nie jest bezwzględnie zbieżny, gdyż
).


Dowód:
Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to, z definicji, szereg liczb nieujemnych
jest zbieżny, a więc spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów. Mamy jednak
![]() |
dla wszystkich , więc skoro
spełnia warunek Cauchy'ego, to i
spełnia ten warunek. To zaś oznacza, że
jest zbieżny.
□
Pojęcie zbieżności bezwzględnej jest ważne z uwagi na następujące twierdzenie.



![]() |
Innymi słowy, wyrazy szeregu bezwzględnie zbieżnego można dowolnie przestawiać; nie wpływa to ani na jego zbieżność, ani na wartość jego sumy.
Dowód:
Ustalmy . Dobierzmy
tak, aby
![]() |
(istnienie takiej liczby wynika z bezwzględnej zbieżności
i warunku Cauchy'ego). Biorąc
i przechodząc do granicy
, otrzymujemy
![]() |
Niech będzie taką liczbą, że
, gdzie
, tzn.
. Dla
połóżmy
. Wtedy
jest ciągiem rosnącym.
Zauważmy, że dla numerów mamy
, gdyż
jest bijekcją i wartości
przymuje w liczbach nie większych od
. Zatem, dla wszystkich
spełniona jest nierówność
![]() |
Szereg spełnia więc warunek Cauchy'ego, tzn. jest zbieżny.
Ponadto, dla wszystkich jest
![]() |
a więc granica ciągu i granica wskazanego wyżej podciągu (o numerach
) sum częściowych szeregu
różnią się co najwyżej o
. Z dowolności
wynika zatem, że obie wspomniane granice są równe, a więc sumy obu szeregów są równe. To kończy cały dowód.
□
Założenie bezwzględnej zbieżności w ostatnim twierdzeniu jest istotne. Bez niego teza nie zachodzi. Co więcej, ma miejsce następujący zaskakujący fakt.




![]() |
Dowód:
Opiszemy dowód słowami, gdyż dzięki temu będzie bardziej zrozumiały. Zainteresowany Czytelnik zdoła samodzielnie uzupełnić drobne szczegóły.
Nietrudno zauważyć, że szereg ma nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych, gdyż w przeciwnym razie wszystkie wyrazy o dostatecznie dużych numerach byłyby tego samego znaku, a więc
byłby nie tylko zbieżny, ale i bezwzględnie zbieżny.
Niech będą kolejnymi numerami wyrazów ujemnych, a
-- kolejnymi numerami wyrazów dodatnich szeregu
. (Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że żadna z liczb
nie jest zerem.) Zauważmy, że
![]() |
Gdyby tak nie było, to oba powyższe szeregi byłyby zbieżne, a cały szereg byłby zbieżny bezwzględnie.
Bijekcję budujemy indukcyjnie. Oto pierwsze dwa kroki konstrukcji.
Wybieramy najmniejszą liczbę taką, że
. Kładziemy
,
, \ldots,
. Następnie zmniejszamy uzyskaną sumę, korzystając z ujemnych wyrazów szeregu: wybieramy najmniejszą liczbę
taką, że
![]() |
Przyjmujemy teraz
, \ldots,
. Zarówno
, jak i
, są dobrze określone, gdyż szeregi wyrazów dodatnich i wyrazów ujemnych są rozbieżne. Niech
,
.
Załóżmy teraz, że wykonaliśmy podobnych kroków, definiując
dla wszystkich
, gdzie
. Wyrazy o numerach
są już wykorzystane, a wyrazy o numerach
-- jeszcze dostępne. Załóżmy także, że (1) jeśli
jest nieparzyste, to
![]() |
a także: (2) jeśli jest parzyste, to
![]() |
W kolejnym kroku w przypadku (1) dobieramy kolejne dostępne jeszcze (tzn. niewykorzystane wcześniej) ujemne wyrazy szeregu, aż do momentu, gdy uzyskamy sumę częściową mniejszą od
. Można to osiągnąć, gdyż szereg wyrazów ujemnych jest rozbieżny. Natomiast w przypadku (2) dobieramy kolejne dostępne jeszcze wyrazy dodatnie, aż do momentu, gdy uzyskamy sumę częściową większą od
. Numery wyrazów, które wybieramy w
-szym kroku, to wartości
w liczbach
.
Postępując indukcyjnie, definiujemy . Jest to bijekcja, gdyż każdy wyraz wykorzystujemy tylko raz i każdy wyraz zostaje kiedyś wykorzystany. Łatwo zauważyć, że
, gdy
. Sumy częściowe
szeregu
oscylują wokół liczby
, gdyż tak były wybierane. W dodatku różnice między tymi sumami i liczbą
są coraz mniejsze, gdyż
dla
(to jest warunek konieczny zbieżności szeregu
).
\'{S}ciślej, nie jest trudno sprawdzić, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego. To wynika z konstrukcji
i zbieżności
. Ponadto, ciąg
jest zbieżny do
. Zatem, cały ciąg
też jest zbieżny do
.
□
Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że jeśli jest tylko warunkowo zbieżny, to można tak przestawić wyrazy, żeby po przestawieniu ciąg sum częściowych był rozbieżny do
(albo do
). Czytelnik, po zapoznaniu się z dowodem twierdzenia Riemanna, bez większego trudu wskaże odpowiednie permutacje wyrazów.
Uwaga. Jeśli szereg liczb zespolonych jest zbieżny warunkowo, ale nie bezwzględnie, to na płaszczyźnie zespolonej
istnieje taka prosta
, że dla każdej liczby
![]() |
dla pewnej bijekcji .
Przekształcenie Abela
W tym podrozdziale zajmiemy się opisem warunków, które pozwalają wnioskować, że szereg jest zbieżny. Wygodnie będzie przyjąć następującą konwencję: jeśli wyrazy szeregu oznaczamy jakąś małą literą (np.
), to sumy częściowe tego szeregu oznaczamy odpowiednią wielką literą (
).




![]() |
to wtedy szereg jest zbieżny.
Dowód:
Najpierw zapiszmy pomocniczy
Lemat. Jeśli jest ograniczonym ciągiem w
, a szereg
jest bezwgzlędnie zbieżny, to szereg
jest bezwględnie zbieżny.
(Dla dowodu wystarczy zauważyć, że jeśli dla wszystkich
, to wtedy
, a więc ze zbieżności szeregu
i kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu
).
Teraz wykonujemy przekształcenie Abela, tzn. zapisujemy sumy częściowe szeregu w innej postaci, korzystając z równości
:
![]() |
Ostatni składnik, , jest zbieżny do zera, gdyż
i
. Pozostała, oznaczona klamrą, część sumy
, tzn.
![]() |
też ma granicę dla . To wynika z lematu, zastosowanego dla
oraz dla
.
□




Dowód:
Ponieważ i
, więc
![]() |
Można więc stosować twierdzenie Abela: spełnione są wszystkie jego założenia.
□

![]() |
jest zbieżny.
Dowód:
Przyjmujemy w kryterium Dirichleta ; wtedy
dla wszystkich
.
□








![]() |
są, niezależnie od , ograniczone przez liczbę
, gdyż
. Ponieważ
, więc rozpatrywany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.
W tym przykładzie można zamiast użyć dowolnego ciągu
malejącego do zera i takiego, że
-- żadna konkluzja nie ulegnie zmianie.
□









Mnożenie szeregów i twierdzenie Mertensa
Ze zdroworozsądkowego punktu widzenia, mnożenie szeregów i
powinno polegać na próbie sprawdzenia, czy zbieżny będzie szereg, który (w jakimś porządku) zawiera wszystkie składniki
, które uzyskalibyśmy, mnożąc formalnie jedną sumę przez drugą. Czytelnik rozumie już, że zbieżność takiego szeregu może zależeć od tego, jak uporządkujemy liczby
.



![]() |
Innymi słowy, w iloczynie Cauchy'ego grupujemy tak, aby w każdej grupie suma
miała stałą wartość -- tzn. postępujemy tak, jak przy mnożeniu wielomianów w szkole, gdzie nauczono nas grupować składniki z tą samą potęgą zmiennej
.


![]() |
jest zbieżny. Ponadto, jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to i szereg
jest zbieżny bezwzględnie.
Dowód:
Niech, dla , zgodnie z przyjętą wcześniej konwencją,
oznacza
-tą sumę częściową szeregu
. Wykorzystując definicję
, porządkujemy
, grupując wyrazy zawierające wspólny czynnik
:
![]() |
gdzie dla
. Wykażemy, że
. Ustalmy
i liczbę
, którą dopasujemy do
później.
Mamy
![]() |
Każdy ze składników prawej strony oszacujemy osobno, odpowiednio dobierając .
Istnieje takie , że dla wszystkich
jest
i
, bo
. Ustalmy jedną z takich liczb
, wybierając ją tak, żeby spełniony był również warunek:
dla wszystkich
.
Teraz oszacujemy składnik . Niech
![]() |
i niech (
, bo ciąg
jest zbieżny do
, a więc ograniczony). Wobec wykonanych wcześniej obliczeń i równości
, dla wszystkich
mamy
![]() |
Wracając teraz do CNAB i dodając uzyskane oszacowania obu składników prawej strony, otrzymujemy
![]() |
Wybierając , kończymy dowód zbieżności
do
.
Aby wykazać ostatnią część twierdzenia, tzn. zbieżność bezwzględną szeregu przy założeniu bezwzględnej zbieżności obu szeregów
i
, zauważamy, że
![]() |
i stosujemy pierwszą część twierdzenia do iloczynu zbieżnych bezwzględnie szeregów
, otrzymując zbieżność szeregu
z kryterium porównawczego.
□
Założenie zbieżności bezwzględnej jednego z szeregów jest w twierdzeniu Mertensa istotne.



![]() |
Zatem , więc szereg
jest rozbieżny. (Aby uzyskać środkową nierówność, zastosowaliśmy nierówność między średnimi:
.)
Na zakończenie tego podrozdziału sformułujemy jeszcze jedno twierdzenie, które uzupełnia twierdzenie Mertensa.


![]() |
ma następującą własność:
![]() |
gdzie
![]() |
Szkic dowodu. Jak w dowodzie twierdzenia Mertensa, sprawdzamy, że
![]() |
Sumując takie równości dla otrzymujemy
![]() |
Dlatego
![]() |
Jeśli zarówno , jak i
są odpowiednio duże, to składnik
jest mały. Trzeba jednak uporać się z oszacowaniem wielu takich składników, oraz uwzględnić inne! Dlatego weźmiemy
i podzielimy ostatnią sumę
na trzy części:
- ogon lewy, tzn.
składników o numerach
;
- środek, tzn.
składników takich, gdzie zarówno
, jak i
są równe co najmniej
;
- ogon prawy, tzn.
składników o numerach
takich, że
.
Ustalmy i
. Ciągi
są ograniczone, gdyż są zbieżne. Niech
![]() |
Każdy składnik lewego ogona jest nie większy od (brutalne użycie nierówności trójkąta pozwala oszacować różnicę iloczynów przez sumę modułów iloczynów), a zatem cały lewy ogon ma sumę równą co najwyżej
. Podobnie, suma prawego ogona nie przekracza
. Ustalmy teraz
tak, aby
![]() |
Nietrudno sprawdzić, że przy takim warunku środek ma sumę nie większą niż
![]() |
(liczba składników środka razy oszacowanie składnika z góry (Bardzo uważny Czytelnik zechce sprawdzić, że można zamiast napisać
; to i tak nie ma szczególnego znaczenia.)). Dlatego
![]() |
Biorąc i
, otrzymamy powyżej prawą stronę mniejszą od
.
□




Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
Zaczniemy, jak w przypadku zmiennej rzeczywistej, od twierdzenia, które mówi o istnieniu pewnej granicy.



![]() |
są zbieżne do tej samej granicy. Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla każdego
.
Dowód:
Krok 1. Ponieważ dla wszystkich jest
![]() |
więc z ilorazowej wersji kryterium porównawczego wynika, że szereg jest zbieżny bezwzględnie dla każdej liczby
.
Krok 2. Wykażemy, że . Mamy
![]() |
Każdy składnik oszacujemy osobno, dobierając najpierw dużą liczbę , a potem dostatecznie duże
. Z dwumianu Newtona otrzymujemy
![]() |
gdzie
![]() |
Stąd
![]() |
Ustalmy i rozpatrzmy składniki prawej strony exp-3skl. Po pierwsze,
![]() |
Aby napisać ostatnią linijkę, skorzystaliśmy dla liczb oraz
z nierówności Bernoulli'ego
.
Po drugie, z nierówności trójkąta,
![]() |
dla wszystkich , gdyż ciąg
jest zbieżny jako ciąg sum częściowych zbieżnego szeregu
, a więc spełnia warunek Cauchy'ego.
Ustalmy teraz jakiekolwiek konkretne , tak, aby prócz powyższej nierówności na
mieć także
. Jest to możliwe, gdyż
dla
.
Na koniec wybierzmy , tak, aby dla wszystkich
mieć
![]() |
Widać, że wystarczy wziąć . Przy takim doborze
każdy z trzech składników prawej strony nierówności exp-3skl będzie mniejszy od
. Zatem, wprost z definicji granicy,
.
□

![]() |
Jak widać, dla rzeczywistych określamy tę samą funkcję, co w poprzednim rozdziale.


-
dla wszystkich
;
- Dla wszystkich
jest
,
.
- Dla
, gdzie
, mamy
oraz
.
- Dla wszystkich
jest
.
- Dla każdego zbieżnego do zera ciągu
(
dla wszystkich
) i~dla każdego
zachodzi równość
Dowód:
Własność (i) udowodnimy, posługując się twierdzeniem Mertensa i równością
![]() |
Ponieważ szereg jest zbieżny bezwzględnie dla wszystkich
, więc
jest, wobec twierdzenia Mertensa, sumą iloczynu Cauchy'ego (szeregu
i szeregu
). Inaczej mówiąc, iloczyn
to
![]() |
Własność (ii) wynika z równości i własności (i), gdyż
.
Aby sprawdzić (iii), korzystamy z równości , która łatwo wynika ze Stwierdzenia~ [link]. Piszemy
![]() |
Stąd
![]() |
Własność (iv) jest prostą konsekwencją (iii) oraz (i). Jeśli , gdzie
, to
![]() |
Ostatnią równość piszemy bez wahania, gdyż dla jest
.
Została nam do udowodnienia własność (v). Podobnie jak w przypadku funkcji wykładniczej zmiennej rzeczywistej, nietrudno zauważyć, że wystarczy wykazać, iż
![]() |
dla każdego ciągu ,
dla
. Dla wszystkich liczb
takich, że
, mamy (Uwaga: formalnie biorąc, zaprezentowany tu rachunek jest oczywisty. Korzystamy w nim jednak z ciągłości modułu:) jeśli
, to
dla
.
![]() |
Zatem, jeśli ,
, to dla wszystkich dostatecznie dużych
jest
![]() |
Równość expwzerze wynika teraz z twierdzenia o trzech ciągach.
□
Dowód:
Niech najpierw . Wtedy, wobec własności (v) z poprzedniego twierdzenia oraz arytmetycznych własności granicy,
![]() |
Korzystając z tej równości i z własności grupowej , w przypadku ogólnym piszemy
![]() |
gdyż . Dowód jest zakończony.
□
Uwaga. Czytelnik zechce zauważyć, że schemat dowodu jest w gruncie rzeczy taki sam, jak w przypadku rzeczywistym: dowodzimy najpierw różniczkowalności , a potem ciągłości
. Kluczem do obu własności jest oszacowanie modułu różnicy
dla małych
. W przypadku rzeczywistym najpierw dowodziliśmy oszacowania (E6) w Twierdzeniu~ [link], a z niego wynikała i różniczkowalność, i ciągłość funkcji wykładniczej.
{\footnotesize\baselineskip 11pt Portret , I. Wykres funkcji
nad prostokątem
,
; innymi słowy, wysokość punktu powierzchni nad dolnym dnem pudełka jest równa
. Szare linie to poziomice (jak na mapie: wysokość na poziomicy ma jedną, ustaloną wartość. Kolory powierzchni zależą liniowo od części urojonej liczby
. Przednia krawędź powierzchni odpowiada wartości
: widzimy wykres
na
.
}
Na zakończenie tego podrozdziału wykażemy, że funkcja wykładnicza jest jednoznacznie wyznaczona przez dwie swoje własności.


- Dla wszystkich
jest
;
- Dla każdego zbieżnego do zera ciągu liczb zespolonych
(
dla wszystkich
) zachodzi równość
Wówczas dla każdego
.
Zanim podamy dowód tego twierdzenia, sformułujemy zespolony odpowiednik lematu o ciągach szybko zbieżnych do .
Dowód Lematu~ [link]. Najpierw udowodnimy pierwszą równość. Z nierówności trójkąta, zastosowanej do sumy, którą otrzymujemy, rozpisując z użyciem dwumianu Newtona, wynika, że
![]() |
Jednak z Lematu~ [link] wynika, że ciąg jest zbieżny do 0, więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach
.
Druga podana w lemacie równość wynika łatwo z twierdzenia o granicy iloczynu ciągów i definicji funkcji wykładniczej, gdyż
![]() |
dla . Oczywiście
, więc z pierwszej cześci lematu
a zatem każda ze stron powyższej równości ma dla
granicę równą
.
□
{\footnotesize\baselineskip 11pt Portret , II. Wykres funkcji
nad prostokątem
,
. Widok z innej strony. Przednia krawędź nie bez powodu wygląda tak, jak sinusoida. Związek funkcji wykładniczej z trygonometrycznymi poznamy w następnym podrozdziale. Tu widać, że zarówno wysokości, jak i kolory powtarzają się w kierunku osi urojonej. Wykażemy później, że funkcja wykładnicza jest okresowa -- w kierunku osi urojonej!
}
Dowód Twierdzenia~ [link]. Ustalmy dowolny punkt ,
. Oznaczmy
![]() |
Z założenia (ii) wynika, że . Używając wzoru definiującego
do wyznaczenia wartości
, otrzymujemy
![]() |
gdzie jest ciągiem liczb zespolonych takim, że
dla
. Z Lematu~ [link] otrzymujemy i założenia (i) otrzymujemy teraz
![]() |
Lewa strona nie zależy w ogóle od , więc mamy po prostu
. Teza wynika z dowolności
; wprawdzie pominęliśmy w rozważaniach
, ale
, tzn.
lub
-- pierwszą możliwość odrzucamy, gdyż prowadziłaby do
, co jest sprzeczne z założeniem (ii).
□
Dla zainteresowanych przytoczymy jeszcze kilkanaście linijek kodu, które posłużyły do narysowania powyższych wykresów w programie Mathematica (jest on dostępny w laboratorium komputerowym MIM). Różne widoki powierzchni można było uzyskać, obracając gotowy rysunek myszką na ekranie.
Plot3D[Re[Exp[x + I*y]], {x, -2, 1.5}, {y, 0, 4*Pi}, PlotPoints -> {100, 100}, BoxRatios -> {1, 2, 1.3}, PlotRange -> All, TicksStyle -> Directive[Black, Thick, 24], PlotStyle -> Directive[Opacity[0.5]], ColorFunction -> (Hue[(Arg[Exp[#1 + I*#2]])/(2*Pi)] &), ColorFunctionScaling -> False, MeshFunctions -> (#3 &), MeshStyle -> {Gray, Thick}, Mesh -> 20, ImageSize -> 700, PerformanceGoal -> "Quality", AxesLabel -> (Style[#, 24] & /@ {"Re(z)", "Im(z)", "Re(exp(z))"}) ]
Funkcje trygonometryczne
Istnieje wiele równoważnych sposobów ścisłego definiowania funkcji trygonometrycznych. Jeden z nich polega na wykorzystaniu ich związku z funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej.
Wzory użyte w tej definicji będziemy nazywać wzorami Eulera.

- {(T\arabic{enumi)}}
-
.
-
, a ponadto
(i oba szeregi są bezwzględnie zbieżne).
Wreszcie,
- \setcounter{enumi}{2} {(T\arabic{enumi)}}
- dla każdego ciągu
, który jest zbieżny do zera, zachodzą równości
Dowód:
Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych i równości
![]() |
otrzymujemy
![]() |
tzn. własność (T1). Mamy także
![]() |
Z definicji cosinusa,
![]() |
Ponieważ
![]() |
więc łatwo wynika stąd wzór szereg-cos (zostają tylko składniki o parzystych numerach, ze znakami na przemian). Zbieżność bezwzględna szeregu szereg-cos, tzn. zbieżność szeregu
![]() |
wynika stąd, że -ta suma częściowa nie przekracza
-szej sumy cześciowej szeregu
![]() |
Podobnie dowodzimy wzoru szereg-sin i bezwzględnej zbieżności występującego w nim szeregu. To kończy dowód własności (T2).
Dla dowodu (T3) ustalmy ciąg (
dla wszystkich
) i napiszmy
![]() |
Z własności (v) zespolonej funkcji wykładniczej wynika, że każdy ze składników w nawiasie ma dla granicę równą 1, więc z twierdzenia o arytmetycznych własnościach granic otrzymujemy
. Podobnie radzimy sobie z cosinusem, pisząc
![]() |
Tym razem dla pierwszy składnik w nawiasie ma granicę równą 1, a drugi granicę równą
. Dlatego ich suma ma granicę 0.
□
Ze wzorów szereg-cos, szereg-sin otrzymujemy natychmiast



□

![$ \sin x,\cos x\in \R\cap [-1,1] $](/sites/default/files/tex/d18f462518cbed19c70c033297cd289088e67704.png)


Dowód:
Sumy szeregów szereg-cos i szereg-sin są, rzecz jasna, liczbami rzeczywistymi, gdy . To, że
oraz
należą do przedziału
, wynika z własności (T1). Wartości sinusa i cosinusa w zerze obliczamy, wstawiając
we wzorach szereg-sin i szereg-cos.
□
Dowód:
To wynika ze wzorów Eulera i Wniosku~ [link] (ciągłości funkcji wykładniczej).
□
Dowód:
Oba wzory uzyskujemy z czysto szkolnych rachunków, stosując definicję sinusa i cosinusa oraz własność . Sprawdźmy dla przykładu wzór na różnicę cosinusów. Jego prawa strona to
![]() |
Wzór na różnicę sinusów uzyskujemy podobnie. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.
□
Liczba 
Czytelnik, który zna funkcje trygonometryczne ze szkoły, zauważył zapewne, że dotychczas nie dysponujemy formalnym opisem miejsc zerowych tych funkcji. Aby ten opis uzyskać i przy okazji zdefiniować liczbę , udowodnimy następujące twierdzenie.
Dowód tego twierdzenia poprzedzimy serią nieskomplikowanych lematów, które komuś, kto myśli: przecież widziałem już kiedyś wykresy sinusa i cosinusa, a ponadto wiem, że jedyne miejsce zerowe cosinusa w przedziale to
, mogą się wydawać oczywiste, ale pamiętajmy: funkcje trygonometryczne to dla nas obiekty zdefiniowane wzorami Eulera! Chcemy sprawdzić ich własności, odwołując się wyłącznie do definicji i~do tego, co już wykazaliśmy w sposób ścisły.
![$ y\in (0,2] $](/sites/default/files/tex/bae4a8002acf8fc3fa94b4e042bb3f505acae989.png)

Dowód:
Dzięki szereg-sin mamy
![]() |
gdzie
![]() |
Każdy z nawiasów jest dodatni dla , gdyż dla
mamy
i
, a więc
![]() |
Zatem rośnie i ma wyrazy dodatnie. Dlatego
i
dla
. Podobnie sprawdzamy, że
dla
: to wynika stąd, że każdy składnik po prawej stronie równości
![]() |
jest dodatni, gdy .
□
Dowód:
Korzystając ze wzoru na różnicę cosinusów (patrz Stwierdzenie~ [link]), piszemy dla
![]() |
Jednak , więc zgodnie z poprzednim Lematem jest
. Podobnie,
, gdyż
. Oba sinusy w powyższej równości są więc dodatnie, a stąd
.
Ponadto, przy założeniu jest
![]() |
W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że na
.
□
Dowód:
Po pierwsze, dla każdej liczby mamy wobec nierówności z poprzedniego Lematu: \( |1-\cos x|=|\cos 0 - \cos x|\le |0-x| =x < 1, \) a więc
. Oszacujemy teraz liczbę
. Mamy
![]() |
Jeśli , to
, a więc, dzięki nierówności
(z~poprzedniego Lematu) i powyższemu oszacowaniu liczby
, z pewnością jest
![]() |
Dowód Lematu~ [link] jest zakończony.
□
Dowód Twierdzenia~ [link]. Ponieważ maleje na
, więc ma w tym przedziale co najwyżej jedno miejsce zerowe. Niech
![]() |
Z monotoniczności cosinusa wynika, że ten zbiór jest przedziałem. Z ostatniego lematu wynika ponadto, że
![]() |
a więc kres górny przedziału
jest pewną liczbą z przedziału
.
Ponadto, . Istotnie, liczba
jest granicą ciągu
i dlatego z ciągłości cosinusa
. Gdyby
, to wobec równości
![]() |
byłoby dla wszystkich dostatecznie dużych
, tzn.
![]() |
to zaś jest sprzeczność.
□






![]() |
Dowód:
Wiemy już, że . Zatem, z równości
![]() |
wynika, że , bo wiemy już, że
na
. Zatem
. Stąd wynika, że
![]() |
To kończy dowód.
□










![]() |
tzn. jest okresem funkcji wykładniczej. Ponadto, jeśli liczba
jest okresem funkcji wykładniczej, to
dla pewnego
.
Dowód:
Jeśli , gdzie jest całkowite, to wtedy dla każdej liczby zespolonej
mamy
![]() |
gdyż Dlatego każda liczba
, gdzie
, jest okresem funkcji wykładniczej.
Pozostaje wykazać, że innych okresów nie ma. Jeśli dla wszystkich
, to z pewnością
. Niech
, gdzie
. Wtedy
![]() |
a zatem i
dla pewnego
.
Przypuśćmy, że nie jest całkowitą wielokrotnością
. Ponieważ suma okresów funkcji jest okresem tej funkcji, więc z pierwszej części dowodu wynika, że dla każdego
liczba
też jest okresem
. Dobierzmy
tak, aby
. Oczywiście,
![]() |
Stąd
![]() |
gdyż innych pierwiastków czwartego stopnia z jedynki nie ma. Ponieważ jednak , więc
i
. To jest sprzeczność, bo w
nie ma żadnej liczby, która spełniałaby naraz obie nierówności
.
Uzyskana sprzeczność dowodzi, że musi być całkowitą wielokrotnością
. To kończy dowód całego twierdzenia.
□
Zauważmy, że dowodząc ostatniego twierdzenia, wykazaliśmy także następujący fakt.



![]() |
Ponadto, jeśli jest okresem cosinusa (lub sinusa), to
jest całkowitą wielokrotnością
.
Dowód:
To, że każda liczba , gdzie
, jest okresem zarówno sinusa, jak i cosinusa, wynika z poprzedniego twierdzenia i wzorów Eulera.
Wykażemy drugą część twierdzenia. Niech będzie okresem cosinusa (lub, odpowiednio, sinusa). Ponieważ
, więc ze wzorów Eulera otrzymujemy
![]() |
Podobnie sprawdzamy, że
![]() |
Z obu tych wzorów (Wzory wzor-red1), \eqref{wzor-red2 bywają nazwywane wzorami redukcyjnymi.}wynika, że jest także okresem sinusa (lub, odpowiednio, cosinusa). Zatem dla dowolnego
jest
![]() |
tzn. liczba jest okresem
. Na mocy poprzedniego twierdzenia,
jest całkowitą wielokrotnością
, tzn.
dla pewnego
.
□
- Jedynymi zespolonymi rozwiązaniami równania
są liczby
, gdzie
.
- Jedynymi zespolonymi rozwiązaniami równania
są liczby
, gdzie
.
Dowód:
Jeśli , to
, więc
, a stąd
. Na mocy Wniosku~ [link] otrzymujemy
![]() |
Zatem tylko liczby , gdzie
, mogą być rozwiązaniami równania
. Na odwrót, jeśli
i
jest dowolne, to
![]() |
więc . To kończy dowód pierwszej części wniosku. Druga część wynika z pierwszej i z tożsamości
.
□
Wzór de Moivre'a
Odnotujmy prostą konsekwencję związków między funkcją wykładniczą i funkcjami trygonometrycznymi.


![]() |
Dowód:
Z własności i wzorów Eulera wynika, że lewa strona to, inaczej,
.
□


![]() |
Znając wzór de Moivre'a (i dwumian Newtona) można bez trudu wyrażać oraz
przez
i
. Ciekawsze, i ważniejsze jest zastosowanie do wyznaczania sum sinusów oraz cosinusów kolejnych wielokrotności
-- aby takie sumy obliczać, wystarczy umieć sumować postęp geometryczny, bowiem
![]() |
(Dla sum sinusów trzeba użyć części urojonej.)


![]() |
Znaleźć analogiczny wzór na sumę cosinusów. Jak zmienią się oba wzory, gdy przestaniemy zakładać, że ?
Na tym zakończymy pierwsze spotkanie z szeregami. Chciałbym, żeby Czytelnik tego tekstu nie tylko uważał szeregi za pewne obiekty matematyczne, które (być może) warto poznawać i badać same w sobie, ale widział w nich przede wszystkim narzędzie, służące m.in. do definiowania różnych funkcji, systematycznego badania ich własności, oraz obliczania ich wartości. To ma szczególne znaczenie praktyczne wtedy, gdy - mówiąc nieprecyzyjnie - szeregi są zbieżne szybko. Tak właśnie jest w przypadku szeregów ,
i
, z uwagi na błyskawiczne tempo wzrostu silni. Dopóki obliczamy np. wartości
dla niezbyt dużych
, możemy w praktyce traktować funkcję
jako wielomian, złożony z pewnej liczby składników szeregu
; np.
różni się od
naprawdę niewiele: około
.
Gdybyśmy chcieli z taką dokładnością określić odległość Ziemi od Słońca, nanometry byłyby zdecydowanie za dużymi jednostkami. Jeśli ktoś woli myśleć o wielkościach związanych z ekonomią, a nie z astronomią czy fizyką, może sprawdzić, jakie jest zadłużenie budżetu USA. Strona
http://www.brillig.com/debt_clock/
podaje je z dokładnością do 1 centa, aktualizując wartości co parę sekund. Taka precyzja z praktycznego punktu widzenia graniczy z absurdem, ale dokładność przybliżenia
![]() |
jest i tak o 25 rzędów wielkości lepsza.
Takie uwagi mogą kogoś zaciekawić, jednak - aby lepiej rozumieć, co się naprawdę za nimi kryje - musimy w miarę systematycznie poznać takie pojęcia, jak ciągłość, różniczkowalność i zbieżność jednostajna. Ich ścisłe definicje oraz własności poznamy w kolejnych rozdziałach.