Szeregiem potęgowym o środku w punkcie i współczynnikach
nazywamy szereg
![]() |
gdzie . Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając funkcję wykładniczą, sinus i cosinus.
W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu szerpot.
Dygresja: granica górna i dolna
Niech będzie ciągiem liczb rzeczywistych.


![]() |
Granicą dolną ciągu nazywamy element zbioru
, określony następująco:
![]() |
Symbole `lim sup' i `lim inf' pochodzą od łacińskich nazw limes superior oraz limes inferior.
Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że zachodzą równości
![]() |
Istotnie, ciąg jest nierosnący (zwiększając
, obliczamy kres górny mniejszego lub tego samego zbioru). Dlatego ciąg
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą: nie wiemy wszak, czy
jest ograniczony), która zarazem jest kresem dolnym wszystkich liczb
. (Patrz Twierdzenie~ [link], Wniosek~ [link] i Twiredzenie~ [link]). To dowodzi pierwszej z podanych równości; drugą można sprawdzić analogicznie.
\subsubsection*{Inna definicja granicy górnej i dolnej. Granice częściowe}
Równoważna definicja granicy górnej i dolnej jest następująca. Oznaczmy literą zbiór wszystkich tych podciągów ciągu
, które są zbieżne do granicy właściwej lub niewłaściwej. Niech
oznacza zbiór wszystkich granic podciągów
. Inaczej mówiąc, element
należy do
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla pewnego podciągu
ciągu
.
Tak określony zbiór nazywamy zbiorem granic częściowych ciągu
. Zachodzą równości
![]() |
Ich sprawdzenie w oparciu o Definicję~ [link] pozostawimy jako nietrudne zadanie dla Czytelnika.




![]() |
ma granicę górną i granicę dolną
. Zbiór granic częściowych tego ciągu to przedział
.





Posługując się wnioskiem~ [link], nietrudno udowodnić, że ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny (do granicy właściwej lub niewłaściwej) wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica górna i dolna są równe.
Zanotujmy jeszcze jedną własność granicy górnej, którą wykorzystamy w tym rozdziale.
Dowód:
Wiemy, że ; patrz ls2. Jeśli
, to dla dostatecznie dużych
jest
, tzn.
dla wszystkich dostatecznie dużych
.
□
Promień zbieżności; ciągłość sumy szeregu potegowego
Rozpatrzmy szereg potęgowy
![]() |
o środku w punkcie .





Dowód:
Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że , a więc istnieje liczba
taka, że
dla wszystkich
. Jeśli
, to
![]() |
gdzie , gdyż
. Szereg o wyrazach
jest więc zbieżnym szeregiem liczbowym (po prostu: szeregiem geometrycznym). Teza stwierdzenia wynika z kryterium Weierstrassa.
□




Dowód:
Przypuśćmy, że jest przeciwnie i szereg jest zbieżny. Ponieważ
, więc z poprzedniego stwierdzenia wynika wtedy, że zbieżny jest szereg
, sprzeczność.
□
Z obu powyższych stwierdzeń wynika, że szereg potęgowy szp2 jest zbieżny w pewnym kole otwartym i rozbieżny poza kołem domkniętym o tym samym promieniu, tzn. na zbiorze
. Okazuje się, że liczbę
, nazywaną promieniem zbieżności szeregu szp2, można wyznaczyć, znając współczynniki
tego szeregu.

![]() |
Wtedy szereg potęgowy jest, dla każdego
, zbieżny bezwględnie i jednostajnie w kole
, oraz rozbieżny w punktach zbioru
.
Dowód:
Rozpatrzymy najpierw przypadek . Ustalmy
. Wybierzmy liczby rzeczywiste
tak, aby
. Niech
będzie (jakimkolwiek) punktem okręgu
. Ponieważ
, więc na mocy Stwierdzenia~ [link] istnieje takie
, że dla wszystkich
jest
![]() |
lub równoważnie . Dlatego
![]() |
a więc na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny (nawet bezwględnie). Ze Stwierdzenia~ [link] wynika teraz pierwsza część tezy:
zbieżny bezwględnie i jednostajnie w kole
.
Niech teraz . Ustalmy
tak, aby mieć
. Z definicji granicy górnej wynika, że istnieje podciąg
taki, że
. Dla dostatecznie dużych
jest więc
, a zatem
![]() |
Przeto szereg nie może być zbieżny, gdyż pewien podciąg ciągu jego wyrazów nie dąży do zera: nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
Wreszcie, gdy , to po prostu dla każdego
szereg
jest rozbieżny. Aby to sprawdzić, Czytelnik zechce prześledzić ostatni fragment rozumowania, wpisując wszędzie
,
.
□


Wiemy z poprzedniego rozdziału, że suma szeregu jednostajnie zbieżnego na pewnym podzbiorze płaszczyzny (lub prostej
jest na tym zbiorze funkcją ciągłą. Ponieważ na każdym kole domkniętym
zawartym we wnętrzu koła zbieżności szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie, więc otrzymujemy natychmiast następujący wniosek.






![]() |
ma promień zbieżności , gdyż
,
![]() |
Ostatnią równość można otrzymać, posługując się tezą Zadania~ [link], albo (znacznie mniej subtelnym) oszacowaniem , z którego wynika, że
![]() |
Możemy więc - niezależnie od tego, co znacznie wcześniej udowodniliśmy w zupełnie inny sposób - stwierdzić, że funkcja jest ciągła na całej płaszczyźnie
.
![]() |
też ma promień zbieżności . Zauważmy, że tym razem
dla
parzystych. Dla
nieparzystych mamy do czynienia z podciągiem ciągu
, który rozpatrzyliśmy w poprzednim przykładzie.

![]() |
ma promień zbieżności . Nietrudno to stwierdzić, posługując się równością
![]() |
Zauważmy jednak, że szereg jest rozbieżny we wszystkich punktach okręgu
. Szereg
jest zbieżny bezwzględnie we wszystkich punktach tego okręgu, gdyż dla
jest
. Szereg
jest rozbieżny, gdy
(bo wtedy jego sumy częściowe są sumami cześciowymi rozbieżnego szeregu
) i zbieżny - warunkowo, ale nie bezwzględnie - w pozostałych punktach okręgu jednostkowego. Aby udowodnić ostatnią własność, można posłużyć się kryterium Dirichleta; zrobiliśmy to w istocie w Przykładzie~ [link] (proszę do niego zajrzeć i podstawić
).
Widać więc, że zachowanie szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest rzeczą delikatną: bez szczegółowego badania współczynników nic naprawdę ogólnego nie da się tu powiedzieć.
Różniczkowalność sumy szeregu potęgowego
Szeregi potęgowe mają bardzo wygodną własność: ich sumy mają pochodne wszystkich rzędów, które wolno obliczać tak samo, jak pochodne wielomianów - różniczkując kolejne składniki sumy.

![]() |
Wtedy funkcja ma pochodną w każdym punkcie
i zachodzi wzór
![]() |
Dowód:
Przy dowolnym ustalonym , szereg po prawej stronie wzoru szp-prim jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg o wyrazach
. (Mnożymy po prostu szereg szp-prim przez ustaloną liczbę). Ponieważ
dla
, więc
![]() |
Dlatego szereg , tzn. szereg utworzony z pochodnych kolejnych składników szeregu
, jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym kole
, gdzie
. Z twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych (stosujemy jego wariant zespolony - wolno to zrobić, gdyż koło jest zbiorem wypukłym) wnioskujemy, że istotnie zachodzi wzór szp-prim.
□
![]() |
(Podstawiliśmy wyżej .)
Ponieważ pochodna sumy szeregu potęgowego wyraża się przez nowy szereg potęgowy o tym samym promieniu zbieżności, więc ostatnie twierdzenie oczywiście wolno stosować wielokrotnie.

![]() |
Funkcja ma w kole
ciągłe pochodne wszystkich rzędów. Zachodzi wzór
![]() |
Dla każdego jest
.
Dowód:
Ogólny wzór szp-ktapoch otrzymujemy, stosując -krotnie poprzednie twierdzenie. Podstawiając w szp-ktapoch
, otrzymujemy po prawej stronie tylko jeden niezerowy składnik sumy (dla
), równy właśnie
.
□
![]() |
są równe w pewnym kole . Wtedy
dla wszystkich
(#)
Innymi słowy, żadnej funkcji nie można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego o środku w zerze na dwa istotnie różne sposoby.
Dowód:
Skoro w kole
, to promień zbieżności obu szeregów jest przynajmniej taki, jak
. Ponadto, z poprzedniego wniosku wynika, że
dla wszystkich
i wszystkich
, a w szczególności
![]() |
Dowód jest zakończony.
□
Pojęcie funkcji analitycznej





![]() |
ma na prostej pochodne wszystkich rzędów i dla wszystkich
. Zatem
nie jest sumą żadnego zbieżnego szeregu potęgowego - gdyby
, to musiałoby być
, tzn.
, ale przecież
wcale nie znika tożsamościowo.
Niech będzie otwartym przedziałem w
. Wprowadźmy następujące oznaczenia.
\begin{tabular}{rl} & zbiór wszystkich funkcji
, mających w
ciągłe pochodne \\ & do rzędu
włącznie;\
![]() |
Wówczas
![]() |
Dowód:
(Patrz Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej), rozdział 8. Niech . Załóżmy, że
są parami różne i
. Zdefiniujmy funkcje
następująco:
![]() |
Wprost z definicji sumy szeregu wynika, że dla
. Zatem każda z funkcji
jest ciągła w
. Ponieważ
na
, więc na mocy kryterium Weierstrassa i zbieżności szeregu
szereg definiujący funkcję
jest zbieżny jednostajnie na
. Wynika stąd, że
jest ciągła w
. Dlatego
![]() |
Przedostatnia równość wynika z własności sumy skończenie wielu szeregów, patrz Stwierdzenie~ [link].
□
![]() |
jest zbieżny w kole . Niech
. Funkcję
można rozwinąć w szereg potęgowy, który ma środek w punkcie
i jest zbieżny w każdym punkcie
takim, że
. Zachodzi przy tym równość
![]() |
Dowód:
Podstawiając we wzorze na
, otrzymujemy
![]() |
Pisząc ostatnią równość, zmieniliśmy kolejność sumowania; sprawdzimy, że dla można to zrobić dzięki Lematowi~ [link]. Po pierwsze, wzór
![]() |
pozwala określić symbol Newtona dla wszystkich ; mamy
dla
. Wobec tego
![]() |
Podstawmy . Szereg
ma taki sam promień zbieżności, jak wyjściowy szereg
; dlatego szereg podwójny po lewej stronie ostatniego wzoru jest zbieżny dla
i wtedy, posłygując się Lematem~ [link], można zmienić kolejność sumowania we wzorze twtaylora. Wzory na współczynniki szeregu funkcji
wokół punktu
, tzn. równości
, wynikają z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy (patrz Wniosek~ [link]).
□
Czytelnik zechce samodzielnie sformułować `rzeczywisty' wariant ostatniego twierdzenia i sprawdzić, że podany dowód przenosi się bez zmian.

![]() |
Nietrudno rozwinąć tę funkcję w szereg potęgowy o środku w innym punkcie koła jednostkowego. Otóż,
![]() |
gdzie . Otrzymany szereg potęgowy jest znów szeregiem geometrycznym, zbieżnym, gdy liczba
, tzn. gdy
. Np. dla
otrzymujemy więc promień zbieżności
, ale dla
szereg jest zbieżny wtedy, gdy
, tzn. w kole otwartym o środku
i promieniu
, które zawiera całe koło
i wiele punktów spoza niego. Czytelnik zechce zrobić odpowiednie rysunki i zobaczyć, że w każdym przypadku punkt
, w którym funkcja
przestaje być określona, leży na brzegu koła zbieżności odpowiedniego szeregu.
Przykłady
![]() |
Ponieważ , a szereg
jest zbieżny bezwzględnie na każdym kole
(gdzie
), więc
![]() |
Proszę zauważyć: wykorzystaliśmy jedynie wzór na pierwszą i drugą pochodną szeregu potęgowego, a następnie dwukrotnie zróżniczkowaliśmy funkcję .
□



![]() |
Łatwo sprawdzić, że dla wszystkich
. Dlatego
i szereg określający funkcję
jest zbieżny (przynajmniej) w kole
. Wewnątrz tego koła wszystkie rachunki, które będziemy prowadzić, mają sens dzięki bezwzględnej zbieżności odpowiednich szeregów.
Zauważmy, że
![]() |
Dodając te równości stronami i korzystając z rekurencyjnej definicji ciągu Fibonacciego, otrzymujemy \begin{multline*} (z+z^2)\Phi(z) = z + (a_1+a_0)z^2 + (a_2+a_1)z^3 + (a_3+a_2)z^4+\cdots \\ \ = \ a_1z+a_2z^2+a_3 z^3 + a_4z^4+\cdots\ = \ \Phi(z)-1\, . \end{multline*} Stąd . Trójmian kwadratowy
ma pierwiastki
,
. Łatwo sprawdzić (rozwiązując układ równań liniowych z niewiadomymi
), że
![]() |
Stosując, podobnie jak w Uwadze~ [link], wzór na sumę szeregu geometrycznego, zapisujemy teraz jako
![]() |
Dzięki jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy o środku w zerze,
![]() |
Jest to tak zwany wzór Bineta.
□
Podobnymi metodami można znajdować `jawne' wzory na wyrazy innych ciągów, określonych liniowymi wzorami rekurencyjnymi.
![]() |
lub krótko , gdzie
![]() |
Przez indukcję otrzymujemy natychmiast . Potęgowanie macierzy
nie jest zajęciem pouczającym. Jednak w bazie złożonej z wektorów własnych przekształcenie
ma macierz diagonalną
![]() |
Wystarczy więc wyrazić jako kombinację wektorów własnych
przekształcenia
,
. Wtedy
![]() |
Zainteresowany Czytelnik zechce uzupełnić nietrudne rachunki (trzeba znaleźć wartości i wektory własne , oraz dobrać stałe
tak, aby
), a następnie odczytać z podanego wyżej wzoru na
wzór na
(czyli na drugą współrzędną wektora
).
Twierdzenie Abela o granicach kątowych
Widzieliśmy już proste przykłady, wskazujące, że na brzegu koła zbieżności szereg potęgowy może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. Udowodnimy teraz klasyczne twierdzenie, które mówi, jak zachowuje się suma szeregu potęgowego w pobliżu tych punktów okręgu
, gdzie szereg jest zbieżny.
Wprowadźmy najpierw odpowiednie oznaczenia. Niech . Połóżmy
![]() |
\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{6.3cm} \includegraphics*[totalheight=5.7cm]{T1a.png}
\end{wrapfigure}
Nietrudno jest sprawdzić, że stanowi część wspólną dysku jednostkowego
oraz kąta o rozwartości
, wierzchołku w punkcie
oraz dwusiecznej pokrywającej się z półprostą
na osi rzeczywistej.




![]() |
ma w punkcie granicę równą
; równoważnie,
ma w punkcie
granicę kątową równą
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego kąta
i~każdego
istnieje takie
, że jeśli
i
, to wówczas
.






![]() |
Załóżmy, że szereg potęgowy definiujący funkcję jest zbieżny w pewnym punkcie
należącym do okręgu
i ma w tym punkcie sumę równą
. Wówczas
ma w punkcie
granicę katową równą
.
Dowód:
Posługując się definicją granicy kątowej można bez zmniejszenia ogólności założyć, że i
; szereg
![]() |
jest zbieżny wewnątrz koła jednostkowego, tzn. dla , a ponadto
![]() |
Będziemy szacować dla
bliskich
i należących do
. Ustalmy liczbę
i kąt
. Niech
. Konkretną wartość
dobierzemy do
i
na końcu dowodu.
Krok 1. Niech
![]() |
Wykażemy, że istnieje taka liczba , że dla wszystkich
zachodzi nierówność
![]() |
W tym celu udowodnimy, że analogiczny warunek zachodzi dla przy dowolnym
. Oznaczmy
. Ze wzoru na różnicę
-tych potęg otrzymujemy (Proszę sobie przypomnieć dowód kryterium Abela: tam wykonywaliśmy podobny rachunek.)
![]() |
są sumami częściowymi szeregu zbieżnego. Z warunku Cauchy'ego wynika, że istnieje takie
, iż dla wszystkich
zachodzi nierówność
. Z nierówności trójkąta otrzymujemy zatem dla
i dowolnego
![]() |
Przechodząc teraz do granicy , otrzymujemy warunek psi-p.
Krok 2. Oszacujmy różnicę następująco:
![]() |
Liczba jest odtąd ustalona. Wielomian
jest ciągły i mamy
. Dlatego istnieje liczba
taka, że
dla
. Zatem
![]() |
Krok 3. Jeśli , to istnieje taka liczba
, że
![]() |
Istotnie, niech , gdzie wobec definicji zbioru
kąt
. Mamy
![]() |
Stąd
![]() |
Niech . Dla
jest
. Jeśli
, to wtedy
![]() |
Dlatego
![]() |
Otrzymaliśmy więc szac-kat.
Krok 4. Zakończenie dowodu. Niech . Gdy
i
, możemy jednocześnie korzystać z oszacowań abel-koniec i szac-kat. Otrzymujemy dla takich
nierówność
![]() |
o ile np.
![]() |
Dowód twierdzenia Abela jest zakończony.
□
Jest oczywiste, że stosując twierdzenie Abela do funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej, otrzymujemy następujący fakt.


![]() |
Załóżmy, że szereg potęgowy definiujący funkcję jest zbieżny w którymś końcu przedziału
i ma w nim sumę równą
. Wówczas
ma w tym końcu przedziału zbieżności granicę jednostronną równą
.
Inaczej mówiąc, zachodzi następujący wniosek.
![]() |
o współczynnikach rzeczywistych ma promień zbieżności równy . Jeśli suma
jest skończona, to funkcja
jest ciągła na
. (#)
![]() |
Łatwo sprawdzić, że ma on promień zbieżności . Ponadto, różniczkując wyraz po wyrazie otrzymujemy
![]() |
Dlatego na
: pochodna różnicy tych funkcji znika, więc różnica jest stała, ale dla
jest równa 0, więc jest równa zero dla wszystkich
. (Podobny argument widzieliśmy w Przykładzie~ [link]).
Dla szereg
jest zbieżny (kryterium Leibniza). Na mocy Wniosku~ [link] jest więc
![]() |
Wykorzystaliśmy więc twierdzenie Abela, żeby obliczyć sumę .
□

![]() |
Podobnie jak poprzednio, sprawdzamy, że
![]() |
Mamy też i
. Wnioskujemy, że
dla
. Jednak dla
szereg definiujący funkcję
jest szeregiem zbieżnym (znów wolno użyć kryterium Leibniza). Dlatego na mocy Wniosku~ [link]
![]() |
Szereg po lewej stronie nie nadaje się w praktyce do obliczania , gdyż jest zbieżny bardzo wolno. Obliczając np. sumę
początkowych wyrazów, otrzymujemy przybliżenie
, różniące się od
już na trzecim miejscu po przecinku.

![]() |
Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy
Do tej pory omijaliśmy następujący ogólny problem. Niech , lub
. Kiedy
rozwija się w szereg potęgowy, zbieżny do
w pewnym otoczeniu zera?
Odpowiedź na to pytanie jest inna w przypadku zespolonym, inna zaś w przypadku rzeczywistym. W dziedzinie zespolonej warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwijalności funkcji w szereg potęgowy jest istnienie ; Czytelnik pozna ten zaskakujący na pierwszy rzut oka fakt, ucząc się teorii funkcji analitycznych. Natomiast w przypadku rzeczywistym założenie
jest koniecznym warunkiem rozwijalności w szereg potęgowy, ale nawet ono nie wystarcza: wspomnieliśmy o tym, omawiając funkcję e-1x2.
Jeśli jest w pewnym otoczeniu zera gładka, tzn. ma pochodne wszystkich rzędów, to dla dowolnego
możemy napisać, posługując się np. wzorem Taylora,
![]() |


-
w przedziale
;
- Dla każdego
reszta
, określona wzorem resztanta, dąży do zera dla
.
Dowód:
Jeśli jest na przedziale
sumą zbieżnego szeregu potęgowego, to
, równa różnicy
i
-tej sumy częściowej tego szeregu, dąży do zera, gdy
. Na odwrót, gdy
dla
, to przechodząc do granicy
we wzorze resztanta, otrzymujemy
![]() |

![]() |
jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego na przedziale . Połóżmy
![]() |
(Dla ,
, definicja jest taka sama, jak definicja współczynnika dwumianowego, z którą spotykaliśmy się wcześniej). Wykażemy, że
![]() |
Dla wzór szerdwum wynika wprost z dwumianu Newtona. Współczynniki dwumianowe wspoldwum są wtedy zerami dla wszystkich
i suma w szerdwum jest skończona.
Ustalmy liczbę . Niech
. Wtedy
![]() |
Dlatego , gdy
(patrz Przykład~ [link]). Szereg po prawej stronie szerdwum ma więc promień zbieżności
. Obliczając pochodne funkcji
, łatwo stwierdzamy, że
![]() |
i dlatego
![]() |
Wiemy już zatem, że jeśli rozwija się wokół zera w szereg potęgowy, to jest to szereg szerdwum. Pozostaje sprawdzić warunek z ostatniego lematu, tzn. zbieżność reszty
do zera dla
. Posłużymy się w tym celu wzorem na resztę w postaci Schl\"omilcha-Roche'a,
![]() |
(Patrz Twierdzenie~ [link], wzór resztaSR - użyliśmy numeru zamiast
, a punkt
.) Będziemy pracować z
; w tym przypadku reszta Schl\"omilcha-Roche'a nazywa się resztą Cauchy'ego. Podstawiając
i
, otrzymujemy dzięki dwum-n
![]() |
Przeanalizujmy teraz zachowanie każdego z trzech czynników w ostatnim wyrażeniu. Ustalmy . Po pierwsze,
![]() |
Jest to warunek konieczny (zbadanej wcześniej) zbieżności szeregu po prawej stronie szerdwum dla parametru (zamiast
). Po drugie,
, gdy
i
. Dlatego
![]() |
Po trzecie wreszcie, mamy . Dlatego czynnik
też jest ograniczony, (Wprawdzie w zapisie tego czynnika nie widać jawnej) zależności od
, ale pamiętajmy, że liczba
zależy i od
, i od
. gdyż funkcja
jest ograniczona na przedziale
. Reszta
jest zatem (przy ustalonym
) iloczynem czynnika, który zbiega do zera przy
oraz dwóch czynników, które są ograniczone. Mamy więc
; to kończy dowód wzoru szerdwum.
□