Szeregi potęgowe

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie $ z_0\in \C $ i współczynnikach $ a_n\in \C $ nazywamy szereg

\[ \begin{equation} 	\label{szerpot} 	\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n\, , \end{equation} \]

gdzie $ z\in \C $. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając funkcję wykładniczą, sinus i cosinus.

W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu szerpot.

Dygresja: granica górna i dolna

Niech $ (b_n) $ będzie ciągiem liczb rzeczywistych.

Definicja (#) Granicą górną ciągu $ (b_n) $ nazywamy element zbioru $ \R\cup\{\pm\infty\} $, określony następująco:

\[ 	\limsup_{n\to\infty} b_n := \inf_{n\in \N} \left(\sup_{m\ge n} b_m\right)\, . 	\]

Granicą dolną ciągu $ (b_n) $ nazywamy element zbioru $ \R\cup\{\pm\infty\} $, określony następująco:

\[ \liminf_{n\to\infty} b_n := \sup_{n\in \N} \left(\inf_{m\ge n} b_m\right)\, . \]

Symbole `lim sup' i `lim inf' pochodzą od łacińskich nazw limes superior oraz limes inferior.

    Uwaga. Nietrudno sprawdzić, że zachodzą równości

\[ \begin{gather} \limsup_{n\to\infty} b_n=\inf_{n\in \N} \left(\sup_{m\ge n} b_m\right)= \lim_{n\to\infty} \left(\sup_{m\ge n} b_m\right)\, ,\label{ls2}\\ \liminf_{n\to\infty} b_n = \sup_{n\in \N} \left(\inf_{m\ge n} b_m\right)=\lim_{n\to\infty} \left(\inf_{m\ge n}b_m\right)\, .\label{li2} \end{gather*} \]

Istotnie, ciąg $ B_n=\sup_{m\ge n} b_m $ jest nierosnący (zwiększając $ n $, obliczamy kres górny mniejszego lub tego samego zbioru). Dlatego ciąg $ B_n $ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą: nie wiemy wszak, czy $ B_n $ jest ograniczony), która zarazem jest kresem dolnym wszystkich liczb $ B_n $. (Patrz Twierdzenie~ [link], Wniosek~ [link] i Twiredzenie~ [link]). To dowodzi pierwszej z podanych równości; drugą można sprawdzić analogicznie.

\subsubsection*{Inna definicja granicy górnej i dolnej. Granice częściowe}

Równoważna definicja granicy górnej i dolnej jest następująca. Oznaczmy literą $ \mathcal{B} $ zbiór wszystkich tych podciągów ciągu $ (b_n) $, które są zbieżne do granicy właściwej lub niewłaściwej. Niech $ \Gamma $ oznacza zbiór wszystkich granic podciągów $ (b_{n_k})\in \mathcal{B} $. Inaczej mówiąc, element $ c\in\overline\R $ należy do $ \Gamma $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ c=\lim b_{n_k} $ dla pewnego podciągu $ (b_{n_k}) $ ciągu $ (b_n) $.

Tak określony zbiór $ \Gamma $ nazywamy zbiorem granic częściowych ciągu $ (b_n) $. Zachodzą równości

\[ \begin{equation} 	\label{limsupliminf2} \limsup_{n\to\infty} b_n = \sup \Gamma\, , \qquad \liminf_{n\to\infty} b_n=\inf \Gamma\, . \end{equation} \]

Ich sprawdzenie w oparciu o Definicję~ [link] pozostawimy jako nietrudne zadanie dla Czytelnika.

Przykład Ciąg $ b_n=(-1)^n $ ma granicę górną $ 1 $ i granicę dolną $ -1 $. Zbiór granic częściowych tego ciągu to zbiór dwuelementowy $ \{-1,1\} $. Ciąg

$$0, \quad 1, \quad \frac 12, \quad \frac 13, \quad \frac 23, \quad \frac 14, \quad \frac 24,\quad  \frac 34, \quad \frac 15, \quad \frac 25, \quad \frac 35,\quad  \frac 45, \quad \ldots$$

ma granicę górną $ 1 $ i granicę dolną $ 0 $. Zbiór granic częściowych tego ciągu to przedział $ [0,1] $.

Zadanie Niech $ (b_n) $ będzie ciągiem liczb rzeczywistych, a $ \Gamma $ zbiorem granic częściowych tego ciągu. Wykazać, że jeśli ciąg $ (g_n)\subset \Gamma $ ma granicę (właściwą lub niewłaściwą) $ g $, to $ g\in \Gamma $.

Posługując się wnioskiem~ [link], nietrudno udowodnić, że ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny (do granicy właściwej lub niewłaściwej) wtedy i tylko wtedy, gdy jego granica górna i dolna są równe.

Zanotujmy jeszcze jedną własność granicy górnej, którą wykorzystamy w tym rozdziale.

Stwierdzenie Jeśli $ \limsup_{n\to\infty} b_n=b $, to dla każdego $ b'>b $ istnieje $ n_0\in \N $ takie, że $ b_n<b' $ dla wszystkich $ n>n_0 $.(#)

Dowód:
Wiemy, że $ b=\lim_{n\to\infty} (\sup_{m\ge n} b_m) $; patrz ls2. Jeśli $ b'>b $, to dla dostatecznie dużych $ n $ jest $ \sup_{m\ge n} b_m<b' $, tzn. $ b_m<b' $ dla wszystkich dostatecznie dużych $ m $.

Promień zbieżności; ciągłość sumy szeregu potegowego

Rozpatrzmy szereg potęgowy

\[ \begin{equation} 	\label{szp2} S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \end{equation} \]

o środku w punkcie $ z_0=0 $.

Stwierdzenie (#) Załóżmy, że szereg $ S(\xi) $ jest zbieżny w pewnym punkcie $ \xi\in \C\setminus\{0\} $. Jeśli $ 0<\varrho<|\xi| $, to w kole domkniętym $ D_\varrho=\{z\in \C\colon |z|\le \varrho\} $ szereg $ S(z) $ jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.

Dowód:
Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że $ a_n\xi^n\to 0 $, a więc istnieje liczba $ M $ taka, że $ |a_n\xi^n|\le M $ dla wszystkich $ n $. Jeśli $ z\in D_\varrho $, to

\[ |a_n z^n|\le |a_n|\varrho^n = |a_n \xi^n| \cdot \frac{\varrho^n}{|\xi|^n}\le M q^n, \]

gdzie $ q=\varrho/|\xi|\in (0,1) $, gdyż $ 0<\varrho<|\xi| $. Szereg o wyrazach $ Mq^n $ jest więc zbieżnym szeregiem liczbowym (po prostu: szeregiem geometrycznym). Teza stwierdzenia wynika z kryterium Weierstrassa.

Stwierdzenie . Załóżmy, że szereg $ S(\xi) $ jest rozbieżny w pewnym punkcie $ \xi\in \C\setminus\{0\} $. Jeśli $ |z|>|\xi| $, to szereg $ S(z) $ jest rozbieżny.

Dowód:
Przypuśćmy, że jest przeciwnie i szereg $ S(z) $ jest zbieżny. Ponieważ $ |\xi|<|z| $, więc z poprzedniego stwierdzenia wynika wtedy, że zbieżny jest szereg $ S(\xi) $, sprzeczność.

Z obu powyższych stwierdzeń wynika, że szereg potęgowy szp2 jest zbieżny w pewnym kole otwartym $ \{z\in \C\colon |z|<R\} $ i rozbieżny poza kołem domkniętym o tym samym promieniu, tzn. na zbiorze $ \{z\in \C\colon |z|>R\} $. Okazuje się, że liczbę $ R $, nazywaną promieniem zbieżności szeregu szp2, można wyznaczyć, znając współczynniki $ a_n $ tego szeregu.

Twierdzenie [wzór Cauchy'ego-Hadamarda] Niech $ (a_n) $ będzie dowolnym ciągiem liczb zespolonych i niech

\[ \begin{equation} 		\label{wzorCHnaR} \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\, . 	\end{equation} \]

Wtedy szereg potęgowy $ S(z) $ jest, dla każdego $ \varrho<R $, zbieżny bezwględnie i jednostajnie w kole $ D_\varrho=\{z\in \C\colon |z|\le \varrho\} $, oraz rozbieżny w punktach zbioru $ \{z\in \C\colon |z|>R\} $.

Dowód:
Rozpatrzymy najpierw przypadek $ R>0 $. Ustalmy $ \varrho <R $. Wybierzmy liczby rzeczywiste $ R_1,R_2 $ tak, aby $ \varrho<R_1<R_2<R $. Niech $ \xi $ będzie (jakimkolwiek) punktem okręgu $ \gamma_{R_1}=\{w\in \C\colon |w|=R_1\} $. Ponieważ $ 1/R_2>1/R $, więc na mocy Stwierdzenia~ [link] istnieje takie $ n_0 $, że dla wszystkich $ n>n_0 $ jest

\[ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac{1}{R_2}, \]

lub równoważnie $ |a_n|<(R_2)^{-n} $. Dlatego

\[ |a_n\xi^n|=|a_n| R_1^n< \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^n \qquad \mbox{dla $n> n_0$,} \]

a więc na mocy kryterium porównawczego szereg $ S(\xi) $ jest zbieżny (nawet bezwględnie). Ze Stwierdzenia~ [link] wynika teraz pierwsza część tezy: $ S(z) $ zbieżny bezwględnie i jednostajnie w kole $ D_\varrho=\{z\in \C\colon |z|\le \varrho\} $.

Niech teraz $ |z|>R $. Ustalmy $ R_3\in \R $ tak, aby mieć $ R<R_3<|z| $. Z definicji granicy górnej wynika, że istnieje podciąg $ n_j $ taki, że $ |a_{n_j}|^{1/n_j}\to  1/R>1/R_3 $. Dla dostatecznie dużych $ n_j $ jest więc $ |a_{n_j}|>R_3^{-n_j} $, a zatem

\[ |a_{n_j}z^{n_j}|>R_3^{-n_j} |z|^{n_j}> R_3^{-n_j}R_3^{n_j}=1\, . \]

Przeto szereg $ S(z) $ nie może być zbieżny, gdyż pewien podciąg ciągu jego wyrazów nie dąży do zera: nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.

  Wreszcie, gdy $ R=0 $, to po prostu dla każdego $ z\not=0 $ szereg $ S(z) $ jest rozbieżny. Aby to sprawdzić, Czytelnik zechce prześledzić ostatni fragment rozumowania, wpisując wszędzie $ R=0 $, $ 1/R=\infty $.

Definicja Koło $ \{z\in \C\colon |z|<R\} $, gdzie liczba $ R $ jest dana wzorem Cauchy'ego-Hadamarda wzorCHnaR, nazywamy kołem zbieżności szeregu szp2.

Wiemy z poprzedniego rozdziału, że suma szeregu jednostajnie zbieżnego na pewnym podzbiorze płaszczyzny $ \C $ (lub prostej $ \R) $ jest na tym zbiorze funkcją ciągłą. Ponieważ na każdym kole domkniętym $ D_\varrho $ zawartym we wnętrzu koła zbieżności szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie, więc otrzymujemy natychmiast następujący wniosek.

Wniosek Suma $ S(z) $ szeregu potęgowego szp2 jest funkcją ciągłą wewnątrz koła $ \{z\in \C\colon |z|<R\} $, gdzie liczba $ R $ jest dana wzorem wzorCHnaR. (Jeśli $ 1/R=0 $, to $ S(\cdot) $ jest funkcją ciągłą na całej płaszczyźnie $ \C $.)

Przykład Szereg

\[ 	\exp (z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} 	\]

ma promień zbieżności $ R=\infty $, gdyż $ a_n=1/n! $,

\[ \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{(n!)^{1/n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{(n!)^{1/n}} = 0\, . \]

Ostatnią równość można otrzymać, posługując się tezą Zadania~ [link], albo (znacznie mniej subtelnym) oszacowaniem $ (n!)^2\ge n^n $, z którego wynika, że

\[ 0<\frac{1}{(n!)^{1/n}}\le \frac{1}{\sqrt{n}}\, . \]

Możemy więc - niezależnie od tego, co znacznie wcześniej udowodniliśmy w zupełnie inny sposób - stwierdzić, że funkcja $ \exp (z) $ jest ciągła na całej płaszczyźnie $ \C $.

Przykład Szereg

\[ 	\sin (z)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!} 	\]

też ma promień zbieżności $ R=\infty $. Zauważmy, że tym razem $ a_n=0 $ dla $ n $ parzystych. Dla $ n $ nieparzystych mamy do czynienia z podciągiem ciągu $ (n!)^{-1/n} $, który rozpatrzyliśmy w poprzednim przykładzie.

Przykład Niech $ k\in \N $. Każdy z szeregów

\[ S_1({z})=\sum_{n=0}^\infty z^n, \qquad S_{2,k}(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{kn}}{n}, \qquad S_{3}(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n^2} \]

ma promień zbieżności $ R=1 $. Nietrudno to stwierdzić, posługując się równością

$$\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1.$$

Zauważmy jednak, że szereg $ S_1 $ jest rozbieżny we wszystkich punktach okręgu $ |z|=1 $. Szereg $ S_3 $ jest zbieżny bezwzględnie we wszystkich punktach tego okręgu, gdyż dla $ |z|=1 $ jest $ |z^n/n^2|=1/n^2 $. Szereg $ S_{2,k}(\xi) $ jest rozbieżny, gdy $ \xi^k=1 $ (bo wtedy jego sumy częściowe są sumami cześciowymi rozbieżnego szeregu $ \sum \frac 1n $) i zbieżny - warunkowo, ale nie bezwzględnie - w pozostałych punktach okręgu jednostkowego. Aby udowodnić ostatnią własność, można posłużyć się kryterium Dirichleta; zrobiliśmy to w istocie w Przykładzie~ [link] (proszę do niego zajrzeć i podstawić $ z=\xi^k $).

Widać więc, że zachowanie szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest rzeczą delikatną: bez szczegółowego badania współczynników nic naprawdę ogólnego nie da się tu powiedzieć.

Różniczkowalność sumy szeregu potęgowego

Szeregi potęgowe mają bardzo wygodną własność: ich sumy mają pochodne wszystkich rzędów, które wolno obliczać tak samo, jak pochodne wielomianów - różniczkując kolejne składniki sumy.

Twierdzenie Załóżmy, że $ R>0 $ jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego

\[ 	S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\, . 	\]

Wtedy funkcja $ S $ ma pochodną w każdym punkcie $ z\in \{w\in \C\colon |w|<R\} $ i zachodzi wzór

\[ \begin{equation} S'(z)=\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}\, . \label{szp-prim} \end{equation} \]

Dowód:
Przy dowolnym ustalonym $ z $, szereg po prawej stronie wzoru szp-prim jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg o wyrazach $ na_nz^n $. (Mnożymy po prostu szereg szp-prim przez ustaloną liczbę). Ponieważ $ n^{1/n}\to 1 $ dla $ n\to\infty $, więc

\[ \limsup_{n\to\infty }  |na_n|^{1/n}=\limsup_{n\to \infty} |a_n|^{1/n} = \frac 1R\, . \]

Dlatego szereg $ \sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1} $, tzn. szereg utworzony z pochodnych kolejnych składników szeregu $ S(z) $, jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie na każdym kole $ D_\varrho=\{z\colon |z|\le \varrho\} $, gdzie $ \varrho<R $. Z twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych (stosujemy jego wariant zespolony - wolno to zrobić, gdyż koło jest zbiorem wypukłym) wnioskujemy, że istotnie zachodzi wzór szp-prim.

Przykład Korzystając z powyższego twierdzenia, obliczamy

\[ \begin{eqnarray*} 	\bigl(\sin z\bigr)'&=&\biggl(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}\biggr)'\\&=& 	\sum_{n=1}^\infty (2n-1)\cdot (-1)^{n+1}\frac{z^{2n-2}}{(2n-1)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cos z\, . \end{eqnarray*} \]

(Podstawiliśmy wyżej $ k=n-1 $.)

Ponieważ pochodna sumy szeregu potęgowego wyraża się przez nowy szereg potęgowy o tym samym promieniu zbieżności, więc ostatnie twierdzenie oczywiście wolno stosować wielokrotnie.

Wniosek (#) Załóżmy, że $ R>0 $ jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego

\[ 	S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\, . 	\]

Funkcja $ S $ ma w kole $ z\in \{w\in \C\colon |w|<R\} $ ciągłe pochodne wszystkich rzędów. Zachodzi wzór

\[ \begin{equation} S^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^\infty n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k+1)a_nz^{n-k}\, . \label{szp-ktapoch} \end{equation} \]

Dla każdego $ k\in \N\cup\{0\} $ jest $ k! \, a_k=S^{(k)}(0) $.

Dowód:
Ogólny wzór szp-ktapoch otrzymujemy, stosując $ k $-krotnie poprzednie twierdzenie. Podstawiając w szp-ktapoch $ z=0 $, otrzymujemy po prawej stronie tylko jeden niezerowy składnik sumy (dla $ n=k $), równy właśnie $ k!a_k $.

Wniosek [jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy] Załóżmy, że sumy dwóch szeregów potęgowych,

\[ 	S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \qquad\mbox{oraz}\qquad T(z)=\sum_{n=0}^\infty b_nz^n\, ,  	\]

są równe w pewnym kole $ |z|<\varrho $. Wtedy $ a_n=b_n=S^{(n)}(0)/n! $ dla wszystkich $ n=0,1,2,\ldots $(#)

Innymi słowy, żadnej funkcji nie można przedstawić w postaci zbieżnego szeregu potęgowego o środku w zerze na dwa istotnie różne sposoby.

Dowód:
Skoro $ S(z)=T(z) $ w kole $ |z|<\varrho $, to promień zbieżności obu szeregów jest przynajmniej taki, jak $ \varrho $. Ponadto, z poprzedniego wniosku wynika, że $ S^{(k)}(z)=T^{(k)}(z) $ dla wszystkich $ |z|<\varrho $ i wszystkich $ k $, a w szczególności

\[ a_n=\frac{S^{(n)}(0)}{n!}= \frac{T^{(n)}(0)}{n!}=b_n\, . \]

Dowód jest zakończony.

Pojęcie funkcji analitycznej

Uwaga Wszystko, co powiedzieliśmy do tej pory w tym rozdziale, przenosi się bez zmian na szeregi potęgowe zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych. Trzeba tylko zastąpić koło zbieżności $ |z|<R $ przedziałem zbieżności $ |x|<R $. Wzór na promień zbieżności $ R $, a także wzory na pochodne sumy szeregu potegowego i jego współczynniki, nie ulegają zmianie.
Uwaga Zauważmy, że wzory na współczynniki szeregu potęgowego funkcji $ S $, tzn. równości $ a_n=S^{(n)}(0)/n! $, otrzymane we Wnioskach~ [link]- [link], są takie same, jak wzory na kolejne współczynniki Taylora-Maclaurina. Jednak wzór Taylora z resztą w postaci Peano (lub innej) ma charakter lokalny; jak widzieliśmy w Przykładzie~ [link], funkcja

\[ \begin{equation} 	\label{e-1x2} 	f(x)=\left\{ 	\begin{array}{ll} 	\exp(-1/x^2),\  & x\not= 0, \\ 	0, & x=0  	\end{array}\right. \end{equation} \]

ma na prostej pochodne wszystkich rzędów i $ f^{(n)}(0)=0 $ dla wszystkich $ n $. Zatem $ f $ nie jest sumą żadnego zbieżnego szeregu potęgowego - gdyby $ f(x)=\sum a_nx^n $, to musiałoby być $ a_n=f^{(n)}(0)/n!=0 $, tzn. $ f\equiv 0 $, ale przecież $ f $ wcale nie znika tożsamościowo.

Niech $ P $ będzie otwartym przedziałem w $ \R $. Wprowadźmy następujące oznaczenia.

    

\begin{tabular}{rl} $ C^k(P):\qquad $ & zbiór wszystkich funkcji $ f\colon P\to \R $, mających w $ P $ ciągłe pochodne \\ & do rzędu $ k $ włącznie;\

\[10pt] $C^\infty(P):\qquad$ & zbiór wszystkich funkcji $f\colon P\to \R$, mających w $P$ ciągłe pochodne \\ & wszystkich rzędów;\\[10pt] $C^\omega(P):\qquad$ & zbiór wszystkich funkcji $f\colon P\to \R$, dla których dla każdego $a\in P$\\ & istnieje $R_a>0$ takie, że $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$, gdy $|x-a|<R_a$. \\  \end{tabular}</p>
<p>\noindent Funkcje $f\in C^\infty(P)$ nazywamy \emph{gładkimi}, a funkcje $f\in C^\omega (P)$ - \emph{analitycznymi (w~sensie rzeczywistym)}. Są to istotnie różne pojęcia: analityczność to coś więcej, niż gładkość.</p>
<p>\begin{corollary} Dla każdego przedziału otwartego $\emptyset\not=P\subset\R$ jest $C^\omega(P)\varsubsetneqq C^\infty(P)$.\label{CinfComega} \end{corollary}</p>
<p><strong>Dowód:</strong><br /> Niech $a\in P$. Funkcja $f(x-a)$, gdzie $f$ jest dana wzorem \eqref{e-1x2}, jest gładka w $P$, ale nie jest sumą żadnego szeregu potęgowego $\sum_n a_n(x-a)^n$, więc $f\notin C^\omega(P)$. <p style="text-align: right">&square;</p> </p>
<p>Sprawdzimy jeszcze, że funkcja, która jest sumą szeregu potęgowego $\sum a_nz^n$, zbieżnego w kole $\{z\in \C\colon |z|<R\}$, rozwija się w szereg potęgowy wokół każdego innego punktu $z_0$, należącego do tego koła. Najpierw udowodnimy pomocniczy lemat, który pozwala zamieniać kolejność dwóch nieskończonych sum.</p>
<p>\begin{lemma}\label{lemkolsum} Niech $a_{ij}\in \C$ dla $i,j\in \N$. Załóżmy, że  	\[ \begin{equation} 		\label{aij-bi} \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|=b_i \quad\mbox{dla $i=1,2,\ldots$}, \qquad \sum_{i=1}^\infty b_i<+\infty. 	\end{equation} \]

Wówczas

\[ \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} =  \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}\, . \]

Dowód:
(Patrz Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej), rozdział 8. Niech $ E=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\subset \R $. Załóżmy, że $ x_i $ są parami różne i $ \lim_{n\to\infty} x_n=x_0 $. Zdefiniujmy funkcje $ f_i,g\colon \R $ następująco:

\[ \begin{eqnarray*} 	f_i(x_0) & = & \sum_{j=1}^\infty a_{ij} \qquad\mbox{dla $i\in \N$,}\\ 	f_i(x_n) & = & \sum_{j=1}^n a_{ij} \qquad\mbox{dla $i,n\in \N$,}\\ 	g(x) & = & \sum_{i=1}^\infty f_i(x) \qquad\mbox{dla $x\in E$.} \end{eqnarray*} \]

Wprost z definicji sumy szeregu wynika, że $ f_i(x_n)\to f(x_0) $ dla $ n\to \infty $. Zatem każda z funkcji $ f_i $ jest ciągła w $ x_0\in E $. Ponieważ $ |f_i(x)|\le b_i $ na $ E $, więc na mocy kryterium Weierstrassa i zbieżności szeregu $ \sum b_i $ szereg definiujący funkcję $ g $ jest zbieżny jednostajnie na $ E $. Wynika stąd, że $ g $ jest ciągła w $ x_0 $. Dlatego

\[ \begin{gather*} \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{i=1}^\infty f_i(x_0) = g(x_0)=\lim_{n\to\infty} g(x_n)\\ =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^\infty f_i(x_n) =\lim_{n\to\infty}\Bigl( \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^n a_{ij} \Bigr) =\lim_{n\to\infty}\Bigl( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty  a_{ij} \Bigr) = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty  a_{ij}\, . \end{gather*} \]

Przedostatnia równość wynika z własności sumy skończenie wielu szeregów, patrz Stwierdzenie~ [link].

Twierdzenie Załóżmy, że szereg

\[ \begin{equation} 		\label{staryszer} 		S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n 	\end{equation} \]

jest zbieżny w kole $ K_R=\{z\in \C\colon |z|<R\} $. Niech $ \xi\in K_R $. Funkcję $ S $ można rozwinąć w szereg potęgowy, który ma środek w punkcie $ \xi $ i jest zbieżny w każdym punkcie $ z $ takim, że $ |z-\xi|<R-|\xi| $. Zachodzi przy tym równość

\[ \begin{equation} 	\label{nowyszer} S(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{S^{(n)}(\xi)}{n!} (z-\xi)^n\, , \qquad |z-\xi|< R-|\xi|\, . \end{equation} \]

Dowód:
Podstawiając $ z=(z-\xi)+\xi $ we wzorze na $ S $, otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray} 	S(z) &= &\sum_{n=0}^\infty a_n \bigl((z-\xi)+\xi\bigr)^n\nonumber\\ 	&=& \sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{k=0}^n \binom nk 	(z-\xi)^k\xi^{n-k}\label{twtaylora}\\ 	&=& \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\biggl(\sum_{n=k}^\infty a_n  \binom nk \xi^{n-k}\biggr)}_{=\text{ (ozn.) }c_k}	(z-\xi)^k\, .\nonumber \end{eqnarray} \]

Pisząc ostatnią równość, zmieniliśmy kolejność sumowania; sprawdzimy, że dla $ |z-\xi|<R-|\xi| $ można to zrobić dzięki Lematowi~ [link]. Po pierwsze, wzór

\[ \binom nk = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!} \]

pozwala określić symbol Newtona dla wszystkich $ k=0,1,2,\ldots $; mamy $ \binom nk=0 $ dla $ k>n $. Wobec tego

\[ \sum_{n=0}^\infty  \sum_{k=0}^n\biggl| a_n\binom nk 	(z-\xi)^k\xi^{n-k}\biggr|= \sum_{n=0}^\infty  \sum_{k=0}^\infty\biggl| a_n\binom nk 	(z-\xi)^k\xi^{n-k}\biggr|=\sum_{n=0}^\infty |a_n| \bigl(|z-\xi|+|\xi|\bigr)^n \]

Podstawmy $ t=|z-\xi|+|\xi| $. Szereg $ \sum_n|a_n|t^n $ ma taki sam promień zbieżności, jak wyjściowy szereg $ S(z) $; dlatego szereg podwójny po lewej stronie ostatniego wzoru jest zbieżny dla $ t=|z-\xi|+|\xi|<R $ i wtedy, posłygując się Lematem~ [link], można zmienić kolejność sumowania we wzorze twtaylora. Wzory na współczynniki szeregu funkcji $ S $ wokół punktu $ \xi $, tzn. równości $ c_k=S^{(k)}(\xi)/k! $, wynikają z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy (patrz Wniosek~ [link]).

  Czytelnik zechce samodzielnie sformułować `rzeczywisty' wariant ostatniego twierdzenia i sprawdzić, że podany dowód przenosi się bez zmian.

Uwaga (#) Może się okazać, że szereg nowyszer w poprzednim twierdzeniu jest zbieżny na zbiorze większym, niż koło $ \{z\in \C\colon |z-\xi|<R-|\xi|\} $. Oto prosty przykład. Mamy

\[ 	\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n\, , \qquad |z|<1. 	\]

Nietrudno rozwinąć tę funkcję w szereg potęgowy o środku w innym punkcie $ \xi $ koła jednostkowego. Otóż,

\[ \frac{1}{1-z} = \frac{1}{1-\xi-(z-\xi)}=\frac 1{1-\xi}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-\xi}{1-\xi}}=\frac 1{1-\xi}\cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-\xi}{1-\xi}\right)^n =\sum_{n=0}^\infty b_n\cdot (z-\xi)^n, \]

gdzie $ b_n=(1-\xi)^{-n-1} $. Otrzymany szereg potęgowy jest znów szeregiem geometrycznym, zbieżnym, gdy liczba $ |\frac{z-\xi}{1-\xi}|<1 $, tzn. gdy $ |z-\xi|<|1-\xi| $. Np. dla $ \xi=1/2 $ otrzymujemy więc promień zbieżności $ 1/2 $, ale dla $ \xi=-1/2 $ szereg jest zbieżny wtedy, gdy $ |z+\frac 12|<3/2 $, tzn. w kole otwartym o środku $ -1/2 $ i promieniu $ 3/2 $, które zawiera całe koło $ |z|<1 $ i wiele punktów spoza niego. Czytelnik zechce zrobić odpowiednie rysunki i zobaczyć, że w każdym przypadku punkt $ z_0=1 $, w którym funkcja $ 1/(1-z) $ przestaje być określona, leży na brzegu koła zbieżności odpowiedniego szeregu.

Przykłady

Przykład Zastosujemy wzór szp-ktapoch, aby obliczyć sumę szeregu

\[ T(z)=\sum_{n=1}^\infty n^2{z^n}\, , \qquad |z|<1\, . \]

Ponieważ $ n^2=n(n-1)+n $, a szereg $ T $ jest zbieżny bezwzględnie na każdym kole $ |z|\le \varrho $ (gdzie $ \varrho <1 $), więc

\[ \begin{eqnarray*} T(z) &=& \sum_{n=2}^\infty n(n-1) z^n + \sum_{n=1}^\infty nz^n\\ &=& z^2\sum_{n=2}^\infty n(n-1) z^{n-2} + z\sum_{n=1}^\infty nz^{n-1}\\ &\stackrel{\eqref{szp-ktapoch}}=& z^2\biggl(\sum_{n=0}^\infty  z^{n}\biggr)'' + z\biggl(\sum_{n=0}^\infty z^{n}\biggr)'\\ &=& z^2 \biggl(\frac{1}{1-z}\biggr)'' + z \biggl(\frac{1}{1-z}\biggr)' \\ &=& \frac{2z^2}{(1-z)^3}+\frac{z}{(1-z)^2}\ = \ \frac{z+z^2}{(1-z)^3}\, . \end{eqnarray*} \]

Proszę zauważyć: wykorzystaliśmy jedynie wzór na pierwszą i drugą pochodną szeregu potęgowego, a następnie dwukrotnie zróżniczkowaliśmy funkcję $ 1/(1-z) $.

Przykład [wzór Bineta na liczby Fibonacciego] Skorzystamy z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy, aby wyznaczyć jawnym wzorem liczby Fibonacciego ($ a_0=a_1=1 $, $ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n $ dla $ n=0,1,2,\ldots $). Niech

\[ 	\Phi(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\, . 	\]

Łatwo sprawdzić, że $ 0<a_n\le 2^n $ dla wszystkich $ n\in \N $. Dlatego $ \frac 1R=\limsup {|a_n|}^{1/n}\le 2 $ i szereg określający funkcję $ \Phi $ jest zbieżny (przynajmniej) w kole $ |z|<\frac 12 $. Wewnątrz tego koła wszystkie rachunki, które będziemy prowadzić, mają sens dzięki bezwzględnej zbieżności odpowiednich szeregów.

Zauważmy, że

\[ \begin{eqnarray*} z\Phi(z) & = & a_0z+ a_1z^2 +a_2z^3 + a_3z^4+\cdots, \\ z^2\Phi(z) & = &\phantom{a_0z+{}}a_0z^2+a_1z^3+a_2z^3+\cdots\, . \end{eqnarray*} \]

Dodając te równości stronami i korzystając z rekurencyjnej definicji ciągu Fibonacciego, otrzymujemy \begin{multline*} (z+z^2)\Phi(z) = z + (a_1+a_0)z^2 + (a_2+a_1)z^3 + (a_3+a_2)z^4+\cdots \\ \ = \ a_1z+a_2z^2+a_3 z^3 + a_4z^4+\cdots\ = \ \Phi(z)-1\, . \end{multline*} Stąd $ \Phi(z)=1/(1-z-z^2) $. Trójmian kwadratowy $ T(z)=1-z-z^2 $ ma pierwiastki $ z_1=-(\sqrt 5+1)/2 $, $ z_2=(\sqrt 5 - 1)/2 $. Łatwo sprawdzić (rozwiązując układ równań liniowych z niewiadomymi $ a,b $), że

\[ \Phi(z)=\frac{1}{1-z-z^2}= \frac a{z_1-z}+ \frac b{z_2-z}\, \qquad\mbox{dla}\quad a=-b=-\frac 1{\sqrt 5}\, . \]

Stosując, podobnie jak w Uwadze~ [link], wzór na sumę szeregu geometrycznego, zapisujemy teraz $ \Phi(z) $ jako

\[ \begin{eqnarray*} 	\Phi(z)&=&-\frac 1{z_1\sqrt 5} \frac{1}{1-\frac z{z_1}}  	+\frac 1{z_2\sqrt 5} \frac{1}{1-\frac z{z_2}} \\ 	&=&-\frac 1{z_1\sqrt 5}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z{z_1}\right)^n +\frac 1{z_2\sqrt 5}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z{z_2}\right)^n \\ 	&=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\sqrt 5} \bigl(z_2^{-n-1}-z_1^{-n-1}\bigr)  z^n\, . \end{eqnarray*} \]

Dzięki jednoznaczności rozwinięcia $ \Phi $ w szereg potęgowy o środku w zerze,

\[ a_n=\frac{1}{\sqrt 5} \bigl(z_2^{-n-1}-z_1^{-n-1}\bigr) =\frac{1}{\sqrt 5}\biggl(\Bigl(\frac{\sqrt 5 +1}2\Bigr)^{n+1} -\Bigl(\frac{1-\sqrt 5}2\Bigr)^{n+1} \biggr)\, ,\quad n=0,1,\ldots \]

Jest to tak zwany wzór Bineta.

Podobnymi metodami można znajdować `jawne' wzory na wyrazy innych ciągów, określonych liniowymi wzorami rekurencyjnymi.

Uwaga Wzór Bineta można także wyprowadzić metodami algebry liniowej. Otóż, definicję rekurencyjną ciągu Fibonacciego można zapisać w postaci macierzowej

\[ \begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix}\, , \]

lub krótko $ v_{n+1}=Mv_n $, gdzie

\[ v_{n}=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix}, \qquad M= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\, . \]

Przez indukcję otrzymujemy natychmiast $ v_{n+1}=M^nv_0 $. Potęgowanie macierzy $ M $ nie jest zajęciem pouczającym. Jednak w bazie złożonej z wektorów własnych przekształcenie $ M\colon \R^2\to\R^2 $ ma macierz diagonalną

\[ M'= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\, . \]

Wystarczy więc wyrazić $ v_0 $ jako kombinację wektorów własnych $ u,w $ przekształcenia $ M $, $ v_0=\alpha u + \beta w $. Wtedy

\[ v_{n}=M^n(\alpha u + \beta w) = \alpha \lambda_1^n u + \beta \lambda_2^n w\, . \]

Zainteresowany Czytelnik zechce uzupełnić nietrudne rachunki (trzeba znaleźć wartości i wektory własne $ M $, oraz dobrać stałe $ \alpha,\beta $ tak, aby $ v_0=\alpha u+\beta w $), a następnie odczytać z podanego wyżej wzoru na $ v_n $ wzór na $ a_n $ (czyli na drugą współrzędną wektora $ v_n $).

Twierdzenie Abela o granicach kątowych

Widzieliśmy już proste przykłady, wskazujące, że na brzegu koła zbieżności $ |z|<R $ szereg potęgowy może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. Udowodnimy teraz klasyczne twierdzenie, które mówi, jak zachowuje się suma szeregu potęgowego w pobliżu tych punktów okręgu $ |z|=R $, gdzie szereg jest zbieżny.

Wprowadźmy najpierw odpowiednie oznaczenia. Niech $ \alpha\in (0,\frac \pi 2) $. Połóżmy

\[ \begin{equation} 	\label{sektor} T(1,\alpha) = \{z\in \C \colon \quad |z|<1,\quad 1-z=re^{i\theta} \quad \mbox{dla pewnych $\theta\in (-\alpha,\alpha)$, $r>0$}\}\, .  \end{equation} \]

\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{6.3cm} \includegraphics*[totalheight=5.7cm]{T1a.png}

\end{wrapfigure}

     Nietrudno jest sprawdzić, że $ T(1,\alpha) $ stanowi część wspólną dysku jednostkowego $ K_1=\{z\colon |z|<1\} $ oraz kąta o rozwartości $ 2\alpha $, wierzchołku w punkcie $ 1\in \C $ oraz dwusiecznej pokrywającej się z półprostą $ (-\infty, 1] $ na osi rzeczywistej.

Definicja Powiemy, że funkcja $ f\colon K_1=\{z\in \C\colon |z|<1\}\to \C $ ma w punkcie $ 1 $ granicę kątową równą $ g $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \alpha\in (0,\frac \pi 2) $ funkcja

\[ 	f_\alpha\equiv \Bigl. f\Bigr|_{T(1,\alpha)} \ \colon T(1,\alpha) \longrightarrow \C 	\]

ma w punkcie $ 1 $ granicę równą $ g $; równoważnie, $ f\colon K_1=\{z\in \C\colon |z|<1\}\to \C $ ma w punkcie $ 1 $ granicę kątową równą $ g $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego kąta $ \alpha\in (0,\frac \pi 2) $ i~każdego $ \eps>0 $ istnieje takie $ \delta>0 $, że jeśli $ z\in T(1,\alpha) $ i $ |z-1|<\delta $, to wówczas $ |f(z)-g|<\eps $.

Definicja Funkcja $ g\colon K_R=\{|z|<R\}\to \C $ ma granicę kątową równą $ g $ w punkcie $ z_0\in \gamma_R=\{|z|=R\} $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ f(z)=g(z\cdot z_0) $ ma granicę kątową równą $ g $ w punkcie $ 1 $.
Twierdzenie [Abela o granicy kątowej] Niech

\[ 	g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \quad\mbox{dla  $|z|<R$\, ,} \qquad\mbox{gdzie } \frac 1R = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\, . 	\]

Załóżmy, że szereg potęgowy definiujący funkcję $ g $ jest zbieżny w pewnym punkcie $ z_0 $ należącym do okręgu $ \gamma_R=\{|z|=R\}\subset \C $ i ma w tym punkcie sumę równą $ S $. Wówczas $ g $ ma w punkcie $ z_0 $ granicę katową równą $ S $.

Dowód:
Posługując się definicją granicy kątowej można bez zmniejszenia ogólności założyć, że $ R=1 $ i $ z_0=1 $; szereg

\[ g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \]

jest zbieżny wewnątrz koła jednostkowego, tzn. dla $ |z|<1 $, a ponadto

\[ S=g(1)=\sum_{n=0}^\infty a_n\ \in \ \C\, .  \]

Będziemy szacować $ |g(z)-S| $ dla $ z $ bliskich $ 1 $ i należących do $ T(1,\alpha) $. Ustalmy liczbę $ \eps>0 $ i kąt $ \alpha\in (0,\frac \pi 2) $. Niech $ \eta>0 $. Konkretną wartość $ \eta $ dobierzemy do $ \alpha $ i $ \eps $ na końcu dowodu.

    Krok 1. Niech

\[ \psi_{p,q}(z)=\sum_{n=p+1}^{p+q} a_n(z^n-1)\, , \qquad \psi_{p}(z)=\sum_{n=p+1}^{\infty} a_n(z^n-1)\, . \]

Wykażemy, że istnieje taka liczba $ p_0\in \N $, że dla wszystkich $ p\ge p_0 $ zachodzi nierówność

\[ \begin{equation} 	\label{psi-p} |\psi_p(z)|\le \eta\cdot \frac{|1-z|}{1-|z|}, \qquad |z|<1\, . \end{equation} \]

W tym celu udowodnimy, że analogiczny warunek zachodzi dla $ \psi_{p,q}(z) $ przy dowolnym $ q\in \N $. Oznaczmy $ S_N=\sum_{n=0}^N a_n $. Ze wzoru na różnicę $ n $-tych potęg otrzymujemy (Proszę sobie przypomnieć dowód kryterium Abela: tam wykonywaliśmy podobny rachunek.)

\[ \begin{eqnarray*} \psi_{p,q}(z)&=&(z-1)\sum_{n=p+1}^{p+q} a_n(1+z+z^2+\cdots+z^{n-1})\\ &=&(z-1)\Bigl\{(S_{p+q}-S_p)\cdot 1+ (S_{p+q}-S_p)\cdot z+\cdots{}\Bigr.\\ & & {}\Bigl.{}+ (S_{p+q}-S_p)\cdot z^p + (S_{p+q}-S_{p+1})\cdot z^{p+1} + \cdots + (S_{p+q}-S_{p+q-1})\cdot z^{p+q-1}\Bigr\}\, .	 \end{eqnarray*} \]

$ S_N $ są sumami częściowymi szeregu zbieżnego. Z warunku Cauchy'ego wynika, że istnieje takie $ p_0 $, iż dla wszystkich $ k,l\ge p_0 $ zachodzi nierówność $ |S_{k}-S_l|\le \eta $. Z nierówności trójkąta otrzymujemy zatem dla $ p\ge p_0 $ i dowolnego $ q\in \N $

\[ |\psi_{p,q}(z)|\le |z-1|\cdot \eta\cdot  \sum_{j=0}^{p+q-1}|z|^j\le |z-1|\cdot \eta\cdot  \sum_{j=0}^{\infty}|z|^j= \eta\cdot \frac{|1-z|}{1-|z|} \]

Przechodząc teraz do granicy $ q\to \infty $, otrzymujemy warunek psi-p.

    Krok 2. Oszacujmy różnicę $ g(z)-S $ następująco:

\[ \begin{eqnarray*} |g(z)-S| &= & \biggl|\sum_{n=0}^\infty a_nz^n-\sum_{n=0}^\infty a_n\biggr| \	= \ \biggl|\sum_{n=0}^\infty a_n\bigl(z^n-1\bigr)\biggr|	\\ & \le & \biggl|\sum_{n=0}^p a_n\bigl(z^n-1\bigr)\biggr| + \biggl|\sum_{n=p+1}^\infty a_n\bigl(z^n-1\bigr)\biggr|\\ & = & \biggl|\sum_{n=0}^p a_n\bigl(z^n-1\bigr)\biggr| + \bigl|\psi_p(z)\bigr|\  \stackrel{\eqref{psi-p}}\le \ \biggl|\sum_{n=0}^p a_n\bigl(z^n-1\bigr)\biggr| + \eta\cdot \frac{|1-z|}{1-|z|}\, . \end{eqnarray*} \]

Liczba $ p\ge p_0 $ jest odtąd ustalona. Wielomian $ W(z)=\sum_{n=0}^p a_n\bigl(z^n-1\bigr) $ jest ciągły i mamy $ W(1)=0 $. Dlatego istnieje liczba $ \delta_1>0 $ taka, że $ |W(z)|<\eta $ dla $ |1-z|<\delta_1 $. Zatem

\[ \begin{equation} 	\label{abel-koniec} |g(z)-S| < \eta+ \eta\cdot \frac{|1-z|}{1-|z|}\qquad\mbox{dla $|z|<1$, $|1-z|<\delta_1$.} \end{equation} \]

    Krok 3. Jeśli $ \alpha \in (0,\frac \pi 2) $, to istnieje taka liczba $ \delta_2>0 $, że

\[ \begin{equation} 	\label{szac-kat} 	\frac{|1-z|}{1-|z|}\le \frac{2}{\cos \alpha}\qquad\mbox{dla $z\in T(1,\alpha)$, $|1-z|<\delta_2$.} \end{equation} \]

Istotnie, niech $ 1-z=re^{i\theta} $, gdzie wobec definicji zbioru $ T(1,\alpha) $ kąt $ \theta\in (-\alpha,\alpha) $. Mamy

\[ |z|^2=z\cdot \overline z = (1-re^{i\theta})\cdot (1-re^{-i\theta})= 1 - 2r\cos\theta + r^2 \]

Stąd

\[ \begin{eqnarray*} \frac{|1-z|}{1-|z|}&=&\frac{|1-z|(1+|z|)}{1-|z|^2}=\frac{r(1+|z|)}{2r\cos\theta-r^2}= \frac{1+|z|}{2\cos\theta-r}\\ &\le & \frac{2}{2\cos\theta-r} \qquad\mbox{dla}\quad z=1-re^{i\theta}\in T(1,\alpha)\, . \end{eqnarray*} \]

Niech $ \delta_2=\cos\alpha $. Dla $ \theta\in (-\alpha,\alpha) $ jest $ \cos\theta>\cos\alpha>0 $. Jeśli $ |1-z|=r<\delta_2=\cos\alpha $, to wtedy

\[ 2\cos\theta - r> 2\cos\theta - \cos \alpha> \cos \alpha\, . \]

Dlatego

\[ \frac{|1-z|}{1-|z|}\le \frac{2}{2\cos\theta-r}\le \frac{2}{\cos \alpha}, \qquad z\in T(1,\alpha), \quad |1-z|<\delta_2=\cos\alpha \]

Otrzymaliśmy więc szac-kat.

    Krok 4. Zakończenie dowodu. Niech $ \delta=\min\bigl({\delta_1,\delta_2}\bigr) $. Gdy $ |1-z|<\delta $ i $ z\in T(1,\alpha) $, możemy jednocześnie korzystać z oszacowań abel-koniec i szac-kat. Otrzymujemy dla takich $ z $ nierówność

\[ |g(z)-S|\stackrel{\eqref{abel-koniec}}<\eta + \eta\cdot \frac{|1-z|}{1-|z|}\stackrel{\eqref{szac-kat}}\le \eta\left(1+\frac 2{\cos\alpha}\right) < \eps\, , \]

o ile np.

\[ \eta = \frac\eps 2 \cdot \left(1+\frac 2{\cos\alpha}\right)^{-1}\, . \]

Dowód twierdzenia Abela jest zakończony.

Jest oczywiste, że stosując twierdzenie Abela do funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej, otrzymujemy następujący fakt.

Wniosek Niech $ a_n\in \R $ dla $ n=0,1,2,\ldots $ i niech

\[ 	g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \quad\mbox{dla  $x\in (-R,R)$\, ,} \qquad\mbox{gdzie } \frac 1R = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\, . 	\]

Załóżmy, że szereg potęgowy definiujący funkcję $ g $ jest zbieżny w którymś końcu przedziału $ (-R,R) $ i ma w nim sumę równą $ S $. Wówczas $ g $ ma w tym końcu przedziału zbieżności granicę jednostronną równą $ S $.

Inaczej mówiąc, zachodzi następujący wniosek.

Wniosek [ciągłość szeregu potęgowego w końcu przedziału zbieżności] Załóżmy, że szereg potęgowy

\[ 	g(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 	\]

o współczynnikach rzeczywistych ma promień zbieżności równy $ R $. Jeśli suma $ g(R)=\sum_{n=0}^\infty a_nR^n $ jest skończona, to funkcja $ g $ jest ciągła na $ (-R,R] $. (#)

Przykład [suma szeregu anharmonicznego] Rozważmy szereg potęgowy

\[ g(x) = x -\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \]

Łatwo sprawdzić, że ma on promień zbieżności $ 1 $. Ponadto, różniczkując wyraz po wyrazie otrzymujemy

\[ g'(x)= 1 - x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}\, . \]

Dlatego $ g(x)=\ln (1+x) $ na $ (-1,1) $: pochodna różnicy tych funkcji znika, więc różnica jest stała, ale dla $ x=0 $ jest równa 0, więc jest równa zero dla wszystkich $ |x|<1 $. (Podobny argument widzieliśmy w Przykładzie~ [link]).

Dla $ x=1 $ szereg $ g(1)=1-\frac 12+\frac 13 - \frac 14+\cdots $ jest zbieżny (kryterium Leibniza). Na mocy Wniosku~ [link] jest więc

\[ \sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = g(1)=\lim_{x\to 1^-} g(x)= \lim_{x\to 1^-} \ln (1+x)= \ln 2\, . \]

Wykorzystaliśmy więc twierdzenie Abela, żeby obliczyć sumę $ 1-\frac 12+\frac 13 - \frac 14+\cdots $.

Przykład [szereg Leibniza o sumie $ \frac\pi 4 $] Niech

\[ 	g(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots, \qquad |x|<1. 	\]

Podobnie jak poprzednio, sprawdzamy, że

\[ g'(x)=1-x^2+x^4-x^6+\cdots = \frac{1}{1+x^2}\, . \]

Mamy też $ (\arctg x)'=1/(1+x^2) $ i $ \arctg 0=g(0)=0 $. Wnioskujemy, że $ g(x)=\arctg x $ dla $ |x|<1 $. Jednak dla $ x=1 $ szereg definiujący funkcję $ g $ jest szeregiem zbieżnym (znów wolno użyć kryterium Leibniza). Dlatego na mocy Wniosku~ [link]

\[  1-\frac{1}{3}+\frac{1}5-\frac{1}{7}+\cdots = g(1)=\lim_{x\to 1^-} g(x)= \lim_{x\to 1^-} \arctg x= \arctg 1= \frac\pi 4\, . \]

Szereg po lewej stronie nie nadaje się w praktyce do obliczania $ \pi $, gdyż jest zbieżny bardzo wolno. Obliczając np. sumę $ 1000 $ początkowych wyrazów, otrzymujemy przybliżenie $ \pi\approx3,\! 14059\ldots $, różniące się od $ \pi $ już na trzecim miejscu po przecinku.

Zadanie Wykazać, że istnieje taka stała $ c>0 $, że

\[ 	\biggl|\frac \pi 4-\sum_{k=1}^N \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}\biggr|\ge \frac c{N} \qquad\mbox{dla $N=1,2,\ldots$} 	\]

Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy

Do tej pory omijaliśmy następujący ogólny problem. Niech $ f\colon K_R=\{z\in \C\colon |z|<R\}\to \C $, lub $ f\colon \R\supset (-R,R)\to \R $. Kiedy $ f $ rozwija się w szereg potęgowy, zbieżny do $ f $ w pewnym otoczeniu zera?

Odpowiedź na to pytanie jest inna w przypadku zespolonym, inna zaś w przypadku rzeczywistym. W dziedzinie zespolonej warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwijalności funkcji w szereg potęgowy jest istnienie $ f' $; Czytelnik pozna ten zaskakujący na pierwszy rzut oka fakt, ucząc się teorii funkcji analitycznych. Natomiast w przypadku rzeczywistym założenie $ f\in C^\infty $ jest koniecznym warunkiem rozwijalności w szereg potęgowy, ale nawet ono nie wystarcza: wspomnieliśmy o tym, omawiając funkcję e-1x2.

Jeśli $ f $ jest w pewnym otoczeniu zera gładka, tzn. ma pochodne wszystkich rzędów, to dla dowolnego $ n\in \N $ możemy napisać, posługując się np. wzorem Taylora,

\[ \begin{equation} \label{resztanta}	 f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!} x + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + r_n(x)\, . \end{equation} \]
Lemat Niech $ f\colon (-R,R)\to \R $ będzie funkcją klasy $ C^\infty $. Następujące warunki są równoważne.

  1. $ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ w przedziale $ |x|<\eta\le R $;
  2. Dla każdego $ x\in (-\eta,\eta) $ reszta $ r_n(x) $, określona wzorem resztanta, dąży do zera dla $ n\to\infty $.

Dowód:
Jeśli $ f $ jest na przedziale $ (-\eta,\eta) $ sumą zbieżnego szeregu potęgowego, to $ r_n $, równa różnicy $ f $ i $ n $-tej sumy częściowej tego szeregu, dąży do zera, gdy $ n\to \infty $. Na odwrót, gdy $ r_n(x)\to 0 $ dla $ n\to \infty $, to przechodząc do granicy $ n\to \infty $ we wzorze resztanta, otrzymujemy

\[ \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k =f(x)-\lim_{n\to \infty} r_n(x) = f(x)\, . \]

Przykład [szereg dwumienny] Niech $ a\in \R $. Wykażemy, że funkcja

$$f(x)=(1+x)^a,\qquad \R\ni x>-1,$$

jest sumą szeregu potęgowego zbieżnego na przedziale $ (-1,1) $. Połóżmy

\[ \begin{equation} 	\label{wspoldwum} 	\binom an := \frac{a(a-1)\cdot\ldots (a-n+1)}{n!} \end{equation} \]

(Dla $ a\in \N $, $ a\ge n $, definicja jest taka sama, jak definicja współczynnika dwumianowego, z którą spotykaliśmy się wcześniej). Wykażemy, że

\[ \begin{equation} 	\label{szerdwum} (1+x)^a=\sum_{n=0}^\infty \binom an x^n\, , \qquad |x|<1. \end{equation} \]

Dla $ a\in \N\cup \{0\} $ wzór szerdwum wynika wprost z dwumianu Newtona. Współczynniki dwumianowe wspoldwum są wtedy zerami dla wszystkich $ n>a $ i suma w szerdwum jest skończona.

Ustalmy liczbę $ a\in \R\setminus\{0,1,2,\ldots\} $. Niech $ a_n=\binom an $. Wtedy

\[ \biggr|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggl|= \biggr|\frac{a(a-1)\cdot\ldots \cdot (a-n)}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{a(a-1)\cdot\ldots \cdot(a-n+1)}\biggl| =\biggr|\frac{a-n}{n+1}\biggl|\to 1, \quad\mbox{gdy $n\to \infty$.} \]

Dlatego $ |a_n|^{1/n}\to 1 $, gdy $ n\to \infty $ (patrz Przykład~ [link]). Szereg po prawej stronie szerdwum ma więc promień zbieżności $ 1 $. Obliczając pochodne funkcji $ f(x)=(1+x)^a $, łatwo stwierdzamy, że

\[ \begin{equation} \label{dwum-n} f^{(n)}(x)=a(a-1)\cdot\ldots \cdot(a-n+1)(1+x)^{a-n} \end{equation} \]

i dlatego

\[ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{a(a-1)\cdot\ldots (a-n+1)}{n!}=\binom an\, . \]

Wiemy już zatem, że jeśli $ f $ rozwija się wokół zera w szereg potęgowy, to jest to szereg szerdwum. Pozostaje sprawdzić warunek z ostatniego lematu, tzn. zbieżność reszty $ r_n(x) $ do zera dla $ n\to\infty $. Posłużymy się w tym celu wzorem na resztę w postaci Schl\"omilcha-Roche'a,

\[ f(x)-\sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^j = r_n(x) \ \stackrel{\eqref{resztaSR}}=\ \frac{f^{(n+1)} (\theta x)}{n!p}(1-\theta)^{n+1-p}x^{n+1}\, , \quad \theta=\theta(x,n,p)\in (0,1). \]

(Patrz Twierdzenie~ [link], wzór resztaSR - użyliśmy numeru $ n $ zamiast $ k $, a punkt $ x_0=0 $.) Będziemy pracować z $ p=1 $; w tym przypadku reszta Schl\"omilcha-Roche'a nazywa się resztą Cauchy'ego. Podstawiając $ f(x)=(1+x)^a $ i $ p=1 $, otrzymujemy dzięki dwum-n

\[ \begin{eqnarray*} r_n(x)& =& \frac{a(a-1)\cdot\ldots \cdot(a-n)(1+\theta x)^{a-n-1}}{n!}(1-\theta)^{n}x^{n+1}\\ &=& \binom{a-1}{n}x^n \cdot a (1+\theta x)^{a-n-1} \cdot x (1-\theta)^n\\ & = & \binom{a-1}{n}x^n \cdot \left(\frac{1-\theta}{1+\theta x}\right)^n \cdot ax(1+\theta x)^{a-1}\, . \end{eqnarray*} \]

Przeanalizujmy teraz zachowanie każdego z trzech czynników w ostatnim wyrażeniu. Ustalmy $ x\in (-1,1) $. Po pierwsze,

\[ \binom{a-1}{n}x^n\to 0 \qquad\mbox{dla $n\to\infty$.} \]

Jest to warunek konieczny (zbadanej wcześniej) zbieżności szeregu po prawej stronie szerdwum dla parametru $ a-1 $ (zamiast $ a $). Po drugie, $ (1-\theta)/(1+\theta x)\in (0,1) $, gdy $ x>-1 $ i $ \theta\in (0,1) $. Dlatego

\[ \left(\frac{1-\theta}{1+\theta x}\right)^n \in (0,1)\qquad\mbox{dla wszystkich $n\in \N$, $x\in (-1,1)$.} \]

Po trzecie wreszcie, mamy $ 2> 1+\theta x \ge 1-\theta |x|> 1-|x|>0 $. Dlatego czynnik $ ax (1+\theta x)^{a-1} $ też jest ograniczony, (Wprawdzie w zapisie tego czynnika nie widać jawnej) zależności od $ n $, ale pamiętajmy, że liczba $ \theta $ zależy i od $ x $, i od $ n $. gdyż funkcja $ t\mapsto t^{a-1} $ jest ograniczona na przedziale $ [1-|x|,2] $. Reszta $ r_n(x) $ jest zatem (przy ustalonym $ x $) iloczynem czynnika, który zbiega do zera przy $ n\to \infty $ oraz dwóch czynników, które są ograniczone. Mamy więc $ r_n(x)\to 0 $; to kończy dowód wzoru szerdwum.