Zakończenie: eliptyczność orbit

\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{4.6cm} \vspace*{-.45cm} \includegraphics*[totalheight=6cm]{Principia02.jpg}

\end{wrapfigure}

%\setcounter{chapter}{11}

Opiszmy na zakończenie jeden z największych historycznych sukcesów rachunku różniczkowego: dowód, że pod działaniem siły grawitacji planety poruszają się po elipsach.

Zgodnie z prawem grawitacji, dwa ciała o masach $ M $ i $ m $ przyciągają się z siłą skierowaną wzdłuż łączącej je prostej i proporcjonalną do iloczynu mas oraz odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości ciał. Ciało o masie $ M $ (Słońce) umieścimy w początku układu współrzędnych w $ \R^3 $. Zmienna $ t>0 $ to czas. Milcząco założymy, że wszystkie funkcje występujące w rachunkach są różniczkowalne.

W chwili $ t>0 $ planeta o masie $ m $ jest w punkcie $ y(t)\in \R^3 $. Słońce przyciąga ją z siłą

\[ F=-\frac{GMm}{|y|^3} y\, , \]

gdzie $ |y| $ oznacza długość wektora $ y\in\R^3 $. Z drugiej zasady dynamiki wiadomo, że siła $ F $ nadaje przyspieszenie $ a=y'' $ i zachodzi równość $ F=ma $. Dlatego

\[ y''=-\frac{GM}{|y|^3} y\, . \]

Matematykowi wolno przyjąć, że wskutek doboru jednostek iloczyn $ GM=1 $. Równanie różniczkowe, opisujące ruch planety wokół Słońca ma wtedy postać

\[ \begin{equation} 	\label{cf} 	y''=-\frac{y}{|y|^3}\, . \end{equation} \]
Twierdzenie [Newton] Wszystkie rozwiązania równania cf są krzywymi płaskimi. Jedyne krzywe zamknięte, spełniające cf, to elipsy (o ognisku w zerze).

Dowód:
Najpierw wykażemy, że ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie. W tym celu rozpatrzymy iloczyn wektorowy $ y\times y' $ i obliczymy jego pochodną: \begin{displaymath} \ddt \big(y\times y'\big)=y'\times y'+ y\times y''= y\times y'' \stackrel{ cf}=0. \end{displaymath}% \underbrace{ % }_{=0} (Łatwo sprawdzić, że wzór na pochodną iloczynu wektorowego funkcji $ f,g\colon I\to\R^3 $ jest taki sam, jak zwykły wzór na pochodną iloczynu; ponadto $ a\times a=0 $ i dlatego otrzymujemy kolejne równości). Zatem

\[ \begin{equation} 	\label{1plane} 	y\times y'\equiv \mathrm{const} =: h\in \R^3\, , \end{equation} \]

to zaś oznacza, że płaszczyzna rozpięta na wektorach $ y,y' $ jest w każdej chwili prostopadła do wektora $ h $. Zatem $ y,y'\perp h $ i ruch odbywa się w ustalonej płaszczyźnie.

\begin{wrapfigure}[13]{l}[0cm]{5.8cm} \includegraphics*[totalheight=2.8cm]{biegunowe.png}

{\footnotesize\baselineskip 11pt

Współrzędne biegunowe. Wektor $ y(t) $ jest iloczynem wektora jednostkowego $ e_r $ i liczby $ r=|y| $. Siła i przyspieszenie są równoległe do $ e_r $.

}

\end{wrapfigure}

Odtąd więc, obróciwszy układ współrzędnych, mamy prawo zakładać, że $ y=y(t)\in \R^2 $. Wprowadźmy w $ \R^2 $ współrzędne biegunowe $ r,\theta $. Będziemy pisać

\[ e_r=(\cos \theta,\sin\theta)\, , \qquad  e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)\, , \]

oraz

\[ \begin{equation} 	\label{y-rer} 	y=r\cdot e_r\, ,\quad\mbox{gdzie } r=|y|\, . \end{equation} \]

Oczywiście, $ r,\theta\colon (0,T)\to \R $ są funkcjami czasu $ t $, określonymi tak długo, jak długo odbywa się ruch. Wyraźmy przyspieszenie w tym układzie współrzędnych. Ze wzorów na pochodne sinusa i cosinusa wynika, że $ (e_r)'=\theta' e_\theta $ i $ (e_\theta)'=-\theta' e_r $. Dlatego po prostym rachunku, różniczkując dwukrotnie, otrzymujemy

\[ \begin{gather} y'=r'e_r+r(e_r)'=r'e_r+r\theta'e_\theta\, ,\\ y''=\big(r''-r(\theta')^2\big)e_r +\big(r\theta''+2r'\theta')e_\theta\, .\label{ybis} \end{gather*} \]

Jednak z równania cf wynika, że wektor $ y'' $ jest równoległy do $ y $, tzn. do wektora jednostkowego $ e_r $. Współrzędna w kierunku $ e_\theta $ musi więc znikać. Przeto

\[ \begin{equation} 	\label{vpolowe} 	r\theta''+2r'\theta'=0\, ,\qquad r^2+2rr'\theta'=\ddt\big(r^2\theta'\big)=0\, , \qquad r^2\theta'\equiv\mathrm{const}=L\, . \end{equation} \]

Wspomnijmy o interpetacji geometrycznej ostatniej równości: wynika z niej, że całka

\[ A(t)=\int_{\theta_0}^{\theta(t)} \frac{r^2(\theta)}2\, d\theta \]

ma stałą pochodną $ A'(t)=L/2 $. Jest to tzw. drugie prawo Keplera - prędkość polowa planety jest stała (inaczej: w równych odcinkach czasu promień wodzący planety zamiata figury o równych polach). Czytelnik zechce samodzielnie pomyśleć, dlaczego całka $ A(t) $ jest równa polu odpowiedniej figury. (Trzeba znać wzór na pole trójkąta i umieć posługiwać się sumami Riemanna.)

Z równań ybis i vpolowe otrzymujemy $ y''=\big(r''-r(\theta')^2\big)e_r=\big(r''-r(\theta')^2\big)\frac{y}{|y|} $. Porównując to wyrażenie z równaniem cf, sprawdzamy, że

\[ r''-r(\theta')^2=-\frac{1}{|y|^2}=-\frac{1}{r^2}. \]

Jednak wobec równości vpolowe jest $ r(\theta')^2=L^2/r^3 $, więc

\[ \begin{equation} 	\label{rbis} r''=r^{-3}{L^2}-r^{-2}. \end{equation} \]

Aby rozwiązać to równanie, użyjemy sztuczki. Niech $ u(\theta):=1/r(t(\theta)) $, gdzie $ t=t(\theta) $ jest funkcją odwrotną do $ \theta=\theta(t) $. Ze wzorów na pochodną złożenia i vpolowe otrzymujemy

\[ \begin{gather} \dth u=-\frac{1}{r^2}\cdot \frac{\mathrm{d}r} {\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta} = -\frac{1}{L}r'\, ,\qquad  \ddth u =	-\frac{1}{L}\cdot \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta} = -\frac{r^2}{L^2}\, r''\, . \end{gather*} \]

Stąd

\[ \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u =  -\frac{r^2}{L^2}\, r''+\frac 1r \stackrel{\eqref{rbis}}= \frac{1}{L^2}\, . \]

Można wykazać - proszę spróbować zrobić to samodzielnie - że jedynymi rozwiązaniami równania $ u''+u=L^{-2} $ są funkcje

\[ u(\theta) = A\cos(\theta+ B) + \frac{1}{L^2}, \qquad\mbox{tzn.} \qquad r=\frac 1u=\frac{L^2}{1+AL^2\cos(\theta+B)}\, . \]

Gdy stała $ AL^2\in (0,1), $ ostatnie równanie jest parametrycznym równaniem elipsy. Czytelnik zdoła to sam sprawdzić. Dla $ AL^2\ge 1 $ funkcja $ r=r(\theta) $ nie jest ograniczona. Trajektoria jest wtedy parabolą lub hiperbolą.

    

W swoich Prinicipia Mathematica Newton wykazał także, że jeśli wszystkie orbity zamknięte są elipsami, to wielkość siły musi być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ciał. Stała $ AL^2 $ jest mimośrodem elipsy.

\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{5.8cm} \includegraphics*[totalheight=5.7cm]{3elipsy.png}

{\footnotesize\baselineskip 11pt

Okrąg (linia przerywana), elipsa o mimośrodzie takim, jak orbita Ziemi (ciągła linia czarna) i elipsa o mimośrodzie orbity Marsa (linia czerwona). Środek okręgu i jedno z ognisk każdej elipsy są w tym samym punkcie.

}

\end{wrapfigure} Przybliżone mimośrody orbit planet w Układzie Słonecznym są następujące:

\begin{flushright} \begin{tabular}{c|c|c|c} Merkury & Wenus & Ziemia & Mars \\ \hline 0,\! 205 & 0,\! 007 & 0,\! 017 & 0,\! 093 \\ \hline\hline Jowisz & Saturn & Uran & Neptun\\ \hline 0,\! 048 & 0,\! 054 & 0,\! 047 & 0,\! 009 \end{tabular}\qquad$ \phantom{ab} $ \end{flushright}

Orbity odbiegają więc od kołowych bardzo nieznacznie. Mimo to, na podstawie danych obserwacyjnych, które zgromadził astronom Tycho Brahe, Kepler zdołał w 1609 roku wysunąć przypuszczenie, że orbity planet są elipsami.

Czytelnik zgodzi się jednak, że czym innym jest supozycja, wysnuta z obserwacji, czym innym zaś dowód, stwierdzający, że przy pewnych założeniach orbity muszą być elipsami. (To zresztą tylko rozsądne przybliżenie rzeczywistości, gdyż naprawdę na ruch każdej z~planet wokół Słońca wpływa siła przyciągania pozostałych planet, znikoma w porównaniu z przyciąganiem Słońca, ale przecież niezerowa. Dlatego orbity są elipsami jedynie w pewnym przybliżeniu, a ich mimośrody podlegają wahaniom.)

Siła Analizy Matematycznej tkwi więc zarówno w zastosowaniach, jak i w subtelnej teorii. Warto o tym pamiętać.