\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{4.6cm} \vspace*{-.45cm} \includegraphics*[totalheight=6cm]{Principia02.jpg}
\end{wrapfigure}
%\setcounter{chapter}{11}
Opiszmy na zakończenie jeden z największych historycznych sukcesów rachunku różniczkowego: dowód, że pod działaniem siły grawitacji planety poruszają się po elipsach.
Zgodnie z prawem grawitacji, dwa ciała o masach i
przyciągają się z siłą skierowaną wzdłuż łączącej je prostej i proporcjonalną do iloczynu mas oraz odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości ciał. Ciało o masie
(Słońce) umieścimy w początku układu współrzędnych w
. Zmienna
to czas. Milcząco założymy, że wszystkie funkcje występujące w rachunkach są różniczkowalne.
W chwili planeta o masie
jest w punkcie
. Słońce przyciąga ją z siłą
![]() |
gdzie oznacza długość wektora
. Z drugiej zasady dynamiki wiadomo, że siła
nadaje przyspieszenie
i zachodzi równość
. Dlatego
![]() |
Matematykowi wolno przyjąć, że wskutek doboru jednostek iloczyn . Równanie różniczkowe, opisujące ruch planety wokół Słońca ma wtedy postać
![]() |
Dowód:
Najpierw wykażemy, że ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie. W tym celu rozpatrzymy iloczyn wektorowy i obliczymy jego pochodną: \begin{displaymath} \ddt \big(y\times y'\big)=y'\times y'+ y\times y''= y\times y'' \stackrel{ cf}=0. \end{displaymath}% \underbrace{ % }_{=0} (Łatwo sprawdzić, że wzór na pochodną iloczynu wektorowego funkcji
jest taki sam, jak zwykły wzór na pochodną iloczynu; ponadto
i dlatego otrzymujemy kolejne równości). Zatem
![]() |
to zaś oznacza, że płaszczyzna rozpięta na wektorach jest w każdej chwili prostopadła do wektora
. Zatem
i ruch odbywa się w ustalonej płaszczyźnie.
\begin{wrapfigure}[13]{l}[0cm]{5.8cm} \includegraphics*[totalheight=2.8cm]{biegunowe.png}
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Współrzędne biegunowe. Wektor jest iloczynem wektora jednostkowego
i liczby
. Siła i przyspieszenie są równoległe do
.
}
\end{wrapfigure}
Odtąd więc, obróciwszy układ współrzędnych, mamy prawo zakładać, że . Wprowadźmy w
współrzędne biegunowe
. Będziemy pisać
![]() |
oraz
![]() |
Oczywiście, są funkcjami czasu
, określonymi tak długo, jak długo odbywa się ruch. Wyraźmy przyspieszenie w tym układzie współrzędnych. Ze wzorów na pochodne sinusa i cosinusa wynika, że
i
. Dlatego po prostym rachunku, różniczkując dwukrotnie, otrzymujemy
![]() |
Jednak z równania cf wynika, że wektor jest równoległy do
, tzn. do wektora jednostkowego
. Współrzędna w kierunku
musi więc znikać. Przeto
![]() |
Wspomnijmy o interpetacji geometrycznej ostatniej równości: wynika z niej, że całka
![]() |
ma stałą pochodną . Jest to tzw. drugie prawo Keplera - prędkość polowa planety jest stała (inaczej: w równych odcinkach czasu promień wodzący planety zamiata figury o równych polach). Czytelnik zechce samodzielnie pomyśleć, dlaczego całka
jest równa polu odpowiedniej figury. (Trzeba znać wzór na pole trójkąta i umieć posługiwać się sumami Riemanna.)
Z równań ybis i vpolowe otrzymujemy . Porównując to wyrażenie z równaniem cf, sprawdzamy, że
![]() |
Jednak wobec równości vpolowe jest , więc
![]() |
Aby rozwiązać to równanie, użyjemy sztuczki. Niech , gdzie
jest funkcją odwrotną do
. Ze wzorów na pochodną złożenia i vpolowe otrzymujemy
![]() |
Stąd
![]() |
Można wykazać - proszę spróbować zrobić to samodzielnie - że jedynymi rozwiązaniami równania są funkcje
![]() |
Gdy stała ostatnie równanie jest parametrycznym równaniem elipsy. Czytelnik zdoła to sam sprawdzić. Dla
funkcja
nie jest ograniczona. Trajektoria jest wtedy parabolą lub hiperbolą.
□
W swoich Prinicipia Mathematica Newton wykazał także, że jeśli wszystkie orbity zamknięte są elipsami, to wielkość siły musi być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ciał. Stała jest mimośrodem elipsy.
\begin{wrapfigure}[14]{l}[0cm]{5.8cm} \includegraphics*[totalheight=5.7cm]{3elipsy.png}
{\footnotesize\baselineskip 11pt
Okrąg (linia przerywana), elipsa o mimośrodzie takim, jak orbita Ziemi (ciągła linia czarna) i elipsa o mimośrodzie orbity Marsa (linia czerwona). Środek okręgu i jedno z ognisk każdej elipsy są w tym samym punkcie.
}
\end{wrapfigure} Przybliżone mimośrody orbit planet w Układzie Słonecznym są następujące:
\begin{flushright} \begin{tabular}{c|c|c|c} Merkury & Wenus & Ziemia & Mars \\ \hline 0,\! 205 & 0,\! 007 & 0,\! 017 & 0,\! 093 \\ \hline\hline Jowisz & Saturn & Uran & Neptun\\ \hline 0,\! 048 & 0,\! 054 & 0,\! 047 & 0,\! 009 \end{tabular}\qquad \end{flushright}
Orbity odbiegają więc od kołowych bardzo nieznacznie. Mimo to, na podstawie danych obserwacyjnych, które zgromadził astronom Tycho Brahe, Kepler zdołał w 1609 roku wysunąć przypuszczenie, że orbity planet są elipsami.
Czytelnik zgodzi się jednak, że czym innym jest supozycja, wysnuta z obserwacji, czym innym zaś dowód, stwierdzający, że przy pewnych założeniach orbity muszą być elipsami. (To zresztą tylko rozsądne przybliżenie rzeczywistości, gdyż naprawdę na ruch każdej z~planet wokół Słońca wpływa siła przyciągania pozostałych planet, znikoma w porównaniu z przyciąganiem Słońca, ale przecież niezerowa. Dlatego orbity są elipsami jedynie w pewnym przybliżeniu, a ich mimośrody podlegają wahaniom.)
Siła Analizy Matematycznej tkwi więc zarówno w zastosowaniach, jak i w subtelnej teorii. Warto o tym pamiętać.