Kilkakrotnie mieliśmy już do czynienia z granicami ciągów, zależnych od dodatkowego parametru, który mógł być liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Przyjęliśmy np. definicję funkcji wykładniczej
![]() |
Dla każdego wartość
funkcji wykładniczej jest więc granicą wartości konkretnych wielomianów. Można zadać naturalne pytania: jeśli, ogólnie,
dla wszystkich
z pewnego podzbioru prostej lub płaszczyzny, to które własności wszystkich funkcji
(ciągłość? różniczkowalność? \ldots ) dziedziczy graniczna funkcja
? Czy dziedziczy je w każdym przypadku, czy może potrzebne są dodatkowe założenia?
W tym rozdziale postaramy się przynajmniej częściowo wyjaśnić te kwestie.
Definicje i przykłady
Niech , gdzie
, a
oznacza (na razie) zupełnie dowolny zbiór.




![]() |
Piszemy wtedy: na
.







![]() |
Piszemy wtedy: na
.
Uwaga. Mówimy, że szereg funkcji jest zbieżny punktowo (odpowiednio: jednostajnie) do funkcji
na zbiorze
wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum częściowych
tego szeregu jest zbieżny do
punktowo (odpowiednio: jednostajnie) na zbiorze
. Zwykle będziemy mieć do czynienia z sytuacją
lub
.
Aby ostro uwidocznić różnicę między oboma pojęciami, zapiszemy Definicje~ [link] i ~ [link], używając kwantyfikatorów, potrzebnych do określenia granicy: Różnica polega na tym, że liczbę
w pierwszym przypadku wybieramy, ustaliwszy wcześniej zarówno
, jak i
. Dlatego
może zależeć zarówno od
, jak i od punktu
. Natomiast w drugim przypadku najpierw ustalamy
, a potem wybieramy liczbę
niezależną od
, tak, aby warunek
zachodził dla wszystkich
i wszystkich
jednocześnie. (Z podobnym rozróżnieniem spotkaliśmy się już, definiując ciągłość jednostajną.)
Zacznijmy od standardowego przykładu, wskazującego, że różnica między obiema definicjami jest istotna.
![$ X=[0,1]\subset \R $](/sites/default/files/tex/bef7f201b6c439ebf13243e1de32f5cd879b5b5b.png)
![$ f_n\colon [0,1]\to\R $](/sites/default/files/tex/e88b69c927c07d0ef563ce72a1963058039ab134.png)

![]() |
Innymi słowy, ciąg jest zbieżny punktowo na
do funkcji
. Nie jest to jednak zbieżność jednostajna: dla każdego
jest
![]() |
a zatem warunek z definicji zbieżności jednostajnej z pewnością nie zachodzi dla żadnej liczby dodatniej .
![$ X=[0,1]\subset \R $](/sites/default/files/tex/bef7f201b6c439ebf13243e1de32f5cd879b5b5b.png)
![]() |
Z Twierdzenia~ [link] wynika, że na
, tzn. dla każdego
szereg
jest zbieżny do
. Mamy ponadto
![]() |
Uzyskaliśmy oszacowanie niezależne od liczby . Jeśli
, to biorąc
, otrzymujemy
![]() |
Dlatego tym razem na
.
Zauważmy jeszcze, że do podobnego oszacowania można dojść, posługując się wzorem Taylora-MacLaurina z resztą Lagrange'a:
![]() |
a zatem, ponieważ w tym przykładzie dla wszystkich
,
![]() |
![]() |
jest zbieżny jednostajnie do
- {(\alph{enumi})}
- na każdym ograniczonym przedziale
;
- na każdym kole domkniętym
.
To, że w poprzednim przykładzie, a także w ostatnim zadaniu, mamy do czynienia ze zbiorami ograniczonymi, jest rzeczą istotną.

![]() |
nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji wykładniczej. Udowodnimy to przez zaprzeczenie.
Załóżmy przez chwilę, że dla istnieje
takie, że
dla wszystkich
i
. Ustalmy
. Dla
jest
![]() |
Wstawiając do tego oszacowania , otrzymujemy
![]() |
to zaś jest sprzeczność, bo dla wszystkich , a więc także dla
, powinna zgodnie z założeniem zachodzić nierówność przeciwna. Warunek z definicji jednostajnej zbieżności nie jest więc w tym przypadku spełniony. □
Norma jednostajna. Interpretacja geometryczna zbieżności jednostajnej
Nietrudno zauważyć, że Definicja~ [link] jest równoważna następującej:
\begin{quote} {\it Ciąg na
wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg liczbowy
![]() |
jest zbieżny do zera dla . } \end{quote} Wprowadza się czasem oznaczenie
![]() |
(indeks opuszczamy, gdy wiadomo dobrze, o jaki zbiór chodzi). Liczbę
nazywamy normą jednostajną funkcji
(na zbiorze
). (Oczywiście
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest funkcją ograniczoną. ) Przy takich oznaczeniach,
![]() |
Tę liczbę można traktować jak - abstrakcyjnie zdefiniowaną! - odległość funkcji i
. Jeśli bowiem
jest zbiorem wszystkich funkcji
, to funkcja
![]() |
spełnia trzy naturalne warunki, które spełnia np. zwykła odległość punktów na płaszczyźnie czy w przestrzeni:
- Dla wszystkich
warunek
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
;
- Dla wszystkich
jest
.
- Dla wszystkich
zachodzi nierówność trójkąta
Pierwsze dwa warunki są oczywiste. Trzeci wynika z nierówności trójkąta w i definicji kresu górnego: dla każdego
jest
![]() |
biorąc teraz supremum lewej strony względem , otrzymujemy
![]() |
Mówi się krótko, że jest metryką\/ na zbiorze
. Z ogólnym pojęciem przestrzeni metrycznej i metryki Czytelnik zapozna się bliżej na II roku studiów, na zajęciach z Topologii i z Analizy. Podkreślmy jednak już teraz dwie rzeczy:
- Zbieżność jednostajna
na
jest równoważna temu, że odległość
Traktujemy zatem funkcje tak jak punkty zbioru
; zbieżność jednostajna
to zbieżność (odpowiednio określonej) odległości punktów
i
w zbiorze
do zera.
- Warunek
jest oczywiście równoważny następującemu:
Oznacza to, że
, gdy wykres
zawiera się w krzywoliniowym pasku o wysokości
, narysowanym wokół wykresu funkcji
(patrz rysunek).
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt Warunek oznacza, że wykres
mieści się w ``pasku o wysokości
'' wokół wykresu
.
}
\end{figure}
\subsubsection*{Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcyjnego} Zakończymy ten wstępny podrozdział prostym, ale ważnym twierdzeniem, które wyjaśnia jeden z powodów wprowadzenia pojęcia jednostajnej zbieżności ciągów funkcyjnych.












![]() |
(Na mocy Stwierdzenia~ [link], wyniknie stąd ciągłość w punkcie
.)
Ponieważ , więc istnieje
takie, że
dla wszystkich
. Ustalmy jakąkolwiek liczbę
. Z nierówności trójkąta,
![]() |
Funkcja jest ciągła w
. Istnieje zatem liczba
taka, że
dla wszystkich
, spełniających nierówność
. Dlatego
![]() |
dla takich, że
. Wybierając
, otrzymujemy warunek cel-jzb i kończymy dowód. □







![$ [0,1] $](/sites/default/files/tex/cb7a13577f6d3c55e4b2f98ac06b9d18a0ec7c53.png)






![]() |
Następnie, kładziemy dla
i
. Wykresy funkcji
wyglądają jak garby, przesuwające się w równym tempie w stronę
(patrz rysunek). Przy ustalonym
mamy po prostu
dla
. Nietrudno sprawdzić, że w tej sytuacji oczywiście
na
, ale
, czyli
.
\begin{figure}[!t]
{\footnotesize\baselineskip 11pt ``Wędrujący garb'': ciąg funkcji punktowo, ale
dla wszystkich
.
}
\end{figure}





Najprostsze kryteria zbieżności jednostajnej


- {(\alph{enumi})}
- Ciąg
jest zbieżny jednostajnie na
do pewnej funkcji
;
- Ciąg
spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego: dla każdego
istnieje
takie, że dla wszystkich
i wszystkich
zachodzi nierówność
Część I. (a) (b). Ustalmy liczbę
. Ponieważ
na
, więc istnieje
takie, że
dla wszystkich
i
. Zatem, dla wszystkich
i wszystkich
otrzymujemy z nierówności trójkąta
![]() |
Część I. (b) (a). Załóżmy, że
spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego
. Wtedy dla każdego
ciąg liczbowy
spełnia warunek Cauchy'ego, a więc na mocy Twierdzenia~ [link] ma granicę w
. Oznaczmy tę granicę
. Ustalmy liczbę
i zastosujmy (b) do liczby
: istnieje takie
(zależne tylko od
i
jest
Ustalmy teraz liczbę
i przejdźmy do granicy
. Ponieważ w granicy zachowują się nierówności nieostre, więc otrzymamy
![]() |
Zatem istotnie na
. □


![]() |
a szereg liczbowy jest zbieżny, to wówczas szeregi funkcyjne
![]() |
są zbieżne jednostajnie na .
Uwaga terminologiczna. W takiej sytuacji mówimy, że szereg jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
![]() |
oznacza -tą sumę częściową szeregu
. Z założenia
, a więc gdy
i~
, to
![]() |
Szereg liczbowy zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego dla szeregów, patrz Stwierdzenie~ [link]. Zatem dla ustalonego
istnieje
takie, że
![]() |
dla wszystkich . Stąd
![]() |
Ciąg funkcyjny spełnia więc jednostajny warunek Cauchy'ego na
, tzn. na mocy poprzedniego stwierdzenia jest jednostajnie zbieżny. Z definicji, oznacza to zbieżność jednostajną szeregu
na zbiorze
.
Dowód jednostajnej zbieżności szeregu jest analogiczny. Trzeba tylko zauważyć, że dla
jest
![]() |
Łatwo stąd (podobnie, jak w pierwszej części dowodu) wywnioskować, że ciąg sum częściowych szeregu spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego na
. □
Twierdzenia Weierstrassa i Diniego
Oznaczenia. Niech . W dalszym ciągu symbolem
będziemy oznaczali zbiór wszystkich funkcji ciągłych
.
Udowodnimy teraz fundamentalne twierdzenie, które ma liczne zastosowania w Analizie Matematycznej. Niektóre z nich poznamy wkrótce.

![$ f\in C([a,b]) $](/sites/default/files/tex/64737f4029e8dd3149e73c7dfc445ddd33b4b164.png)


![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)
Zauważmy najpierw, że wystarczy udowodnić twierdzenie w szczególnym przypadku: dla i
. Dla innych przedziałów uzyskamy wtedy tezę, składając odpowiednie funkcje z funkcjami liniowymi
![]() |
Istotnie, przypuśćmy, że dla dowolnej istnieją wielomiany
takie, że
na
. Dla ustalonej
niech
, gdzie
;
jest funkcją ciągłą na
. Wybierzmy ciąg wielomianów
na
i połóżmy
![]() |
Wtedy są wielomianami i
na
, gdyż
.
Dlatego ograniczymy się do dowodu następującego twierdzenia.
![$ f\in C\bigl([0,1]\bigr) $](/sites/default/files/tex/eb121ddc217691849b78f39775fda2472624b3d8.png)
![]() |
Wówczas na
.
Uwaga terminologiczna. Wielomian nazywa się
-tym wielomianem Bernsteina funkcji
.
- {(\alph{enumi})}
- Jeśli
na
, to
na
dla każdego
.
- Jeśli
na
, to
na
dla każdego
.
- Jeśli
na
, to
na
dla każdego
.
Własność (a) wynika natychmiast z dwumianu Newtona. Istotnie, jeśli , to
![]() |
Dla dowodu (b) zauważmy, że dla
(a dla
lewa strona jest zerem). Dlatego dla funkcji
otrzymujemy
![]() |
(Przechodząc do trzeciej linijki, podstawiliśmy ). Aby sprawdzić (c), piszemy
![]() |
i rachujemy
![]() |
Teraz przejdziemy do zasadniczej części dowodu. Ustalmy . Ponieważ
jest jednostajnie ciągła na
, więc istnieje
takie, że
, gdy
. Różnicę między
i jej
-tym wielomianem Bernsteina szacujemy następująco:
![]() |
gdzie
![]() |
dla
![]() |
(po prostu dzielimy całą sumę na dwie inne, odpowiednio dobrane). Oszacowanie sumy jest łatwe: gdy
, to
i dlatego
![]() |
Kluczowy krok to szacowanie sumy . Niech
. Zauważmy, że
![]() |
Ponadto, oczywiście . Dlatego
![]() |
(zwiększamy zakres sumowania z do wszystkich
). Ostatnią sumę można łatwo wyrazić przez wielomiany Bernsteina funkcji
,
i
, a następnie obliczyć, korzystając z pomocniczych faktów (a)-(c); prowadzi to do oszacowania
![]() |
gdyż na
.
Wstawiając oszacowania Bnf-oszacS1 i Bnf-oszacS2 do Bnf-S1S2, otrzymujemy
![]() |
i dla . To kończy dowód. □
Jedno z zastosowań twierdzenia Weierstrassa zobaczymy nieco później w tym rozdziale, w dowodzie twierdzenia, orzekającego, że każda funkcja ciągła na przedziale
jest pochodną pewnej funkcji
. Jest to jeden z podstawowych faktów, wykorzystywanych w rachunku całkowym.
Podamy teraz dwa niezbyt trudne twierdzenia, ilustrujące związek zbieżności jednostajnej z monotonicznością.





![]() |
to wówczas na





![]() |
Opuszczając moduł, skorzystaliśmy z założenia o monotoniczności ciągu .
Zbiór jest zwarty, więc ciąg
ma podciąg zbieżny do pewnego
. Przechodząc do tego podciągu, możemy bez zmniejszenia ogólności rozważań założyć, że po prostu
dla
. Weźmy teraz dowolne
. Dla
zachodzą nierówności
![]() |
i dlatego, dzięki ciągłości ,
![]() |
To jednak przeczy punktowej zbieżności : granica ciągu liczbowego
powinna być równa
. □
![$ f_n\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/c2bfd2c0bbebc9556d31f0230c1eae62fdb4eeae.png)

![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)





![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)



![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)




![]() |
Niech . Wtedy
dla pewnego
. Funkcja
jest niemalejąca jako ciągu granica funkcji niemalejących, więc dzięki kpkt otrzymujemy dla
nierówności
![]() |
Stąd już wynika, że zarówno , jak i
, należą do przedziału
o końcach
i
. Odstępy między punktami
są mniejsze od
, więc dzięki doborowi
do
długość przedziału
jest mniejsza od
. Biorąc teraz
otrzymujemy
![]() |
co kończy dowód. □
Zauważmy, że w dowodzie nie było potrzebne założenie o ciągłości . Istotna jest oczywiście ciągłość funkcji
oraz monotoniczność wszystkich rozpatrywanych funkcji.
Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych
Udowodnimy teraz ważne twierdzenie, które w wielu sytuacjach pozwala wnioskować, że funkcja, określona jako granica ciągu (lub suma szeregu) funkcyjnego, ma pochodną.
Przypadek rzeczywisty
![$ f_n\colon \R\supset [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/267b47f878983ceef47bc4e6928493403f825a31.png)


![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)
![$ x_0\in [a,b] $](/sites/default/files/tex/55a7b4c494e5661c051eae17f21292a2c2b40bfc.png)

- {(\alph{enumi})}
- Ciąg
jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji ciągłej
;
- Funkcja
jest różniczkowalna na
i
.

![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)
![$ \Delta_{n,m}=f_n-f_m\colon [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/0ec4838f60d4561a24e26c6ae450ef4f65dbec96.png)



![$ x,y\in [a,b] $](/sites/default/files/tex/186773f0a80b51483a433e7ebeb3ab31adbcd06b.png)
![]() |
Dowód Lematu~ [link] Ustalmy . Funkcja
jest różniczkowalna na
i
. Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej wynika, że
![]() |
(zakładamy bez zmiany ogólności, że ). Jednak ciąg
jest jednostajnie zbieżny, a więc na mocy Stwierdzenia~ [link] istnieje takie
, że
![]() |
Wstawiając to oszacowanie do poprzedniego, kończymy dowód lematu.□
Przejdźmy teraz do zasadniczej części dowodu twierdzenia.
Krok 1. Zbieżność ciągu . Niech
i
. Dobierzmy do
liczbę
z Lematu~ [link]. Z nierówności trójkąta otrzymujemy
![]() |
Pierwszy składnik jest niegroźny: ciąg jest zbieżny, a zatem istnieje
takie, że
dla wszystkich
. Dlatego dla
i dla wszystkich
zachodzi nierówność
![]() |
co oznacza, że ciąg spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego, a więc na mocy Stwierdzenia~ [link] jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji
, która oczywiście jest ciągła (patrz Twierdzenie
).
Krok 2. Różniczkowalność funkcji . Wykażemy, że
![]() |
Ustalmy w tym celu i liczby
; znajdziemy
takie, że
![]() |
Przekształcimy prawą stronę nierówności cel-rcfR, próbując przybliżyć przez
i
przez
. Mamy
![]() |
Każdy ze składników oszacujemy osobno.
Oszacowanie składnika . Z Lematu~ [link] wynika, że dla
jest
![]() |
Ponieważ dla każdego
, więc przechodząc do granicy
, a następnie dzieląc obie strony przez
otrzymujemy
![]() |
dla wszystkich i
.
Oszacowanie składnika . Z nierówności trójkąta, \begin{multline*} B= \left|\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}h- g(x)\right|= \left|\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}h- f_n'(x)+f_n'(x)-g(x)\right|\\ \le \left|\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}h- f_n'(x)\right|+\left|f_n'(x)-g(x)\right| < \eta + \eta=2\eta\, , \end{multline*} o ile
jest ustalone i dostatecznie duże, a
dostatecznie małe. Aby się o tym przekonać, ustalmy najpierw liczbę
tak, aby
dla wszystkich
; możemy to zrobić, gdyż
. Następnie, korzystając z różniczkowalności
w punkcie
, wybierzmy
takie, by
![]() |
Wtedy istotnie .
Ostatecznie, kładąc i używając obu oszacowań, otrzymujemy dla
nierówność
![]() |
Zachodzi więc warunek cel-rcfR. To kończy dowód całego twierdzenia. □
Oczywiście, odpowiednik tego twierdzenia zachodzi dla szeregów funkcyjnych: to tylko kwestia zmiany języka.
![$ f_n\colon \R\supset [a,b]\to \R $](/sites/default/files/tex/267b47f878983ceef47bc4e6928493403f825a31.png)


![$ [a,b] $](/sites/default/files/tex/ca1a6bb55e56bdd2e103fbffe131758ad0b28699.png)

![$ x_0\in [a,b] $](/sites/default/files/tex/55a7b4c494e5661c051eae17f21292a2c2b40bfc.png)

- {(\alph{enumi})}
- Szereg
jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji ciągłej
;
- Funkcja
jest różniczkowalna na
i
.


![]() |
Powyższy szereg jest na przedziale zbieżny jednostajnie. To wynika z kryterium Weierstrassa (patrz Stwierdzenie~ [link]), gdyż
na
, a
jest zbieżnym szeregiem liczb dodatnich. Połóżmy
,
,
. Wtedy
. Stwierdziliśmy już, że szereg
jest na
zbieżny jednostajnie. Szereg
jest zbieżny (co najmniej) w jednym punkcie: dla
wszystkie składniki są zerami. Dlatego, na mocy Wniosku~ [link],
![]() |
Innymi słowy, nieskończoną sumę wolno na tym przedziale różniczkować tak samo, jak sumę skończoną: pochodna sumy jest sumą pochodnych. Należy jednak pamiętać, że bez założenia zbieżności jednostajnej szeregu pochodnych to nie musi być prawdą! Przykład takiej sytuacji zobaczymy w następnym podrozdziale.
Zauważmy jeszcze, że funkcje oraz
mają na przedziale
tę samą pochodną, równą
. Dlatego
na
, więc
Ostatecznie,
![]() |
gdyż całe rozumowanie można przeprowadzić, używając dowolnej liczby . □









![]() |
Ponieważ szereg liczbowy jest zbieżny, więc z kryterium Weierstrassa wynika, że szereg
jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale
. Dlatego szereg
![]() |
jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale i dla każdej liczby
zachodzi wzór
![]() |



Przypadek zespolony
Uważny Czytelnik spostrzegł być może, że w dowodzie Twierdzenia~ [link] posłużyliśmy się twierdzeniem Lagrange'a o wartości średniej, które nie zachodzi dla funkcji o wartościach zespolonych, patrz Przykład~ [link]. Dlatego zespolona wersja twierdzenia o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych wymaga nieco innego dowodu, który pokrótce naszkicujemy.
Ustalmy najpierw terminologię.



Przykład: koło domknięte jest zbiorem domkniętym (nierówności nieostre zachowują się po przejściu granicznym), a koło otwarte
nie jest zbiorem domknietym (nierówności ostre mogą po przejściu granicznym zmienić się w nieostre).










- {(\alph{enumi})}
- Ciąg
jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji ciągłej
;
- Funkcja
jest różniczkowalna na
i
.
Szkic dowodu. Jedynym miejscem w dowodzie Twierdzenia~ [link], gdzie skorzystaliśmy z faktu, że mamy do czynienia z funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, był Lemat~ [link] (w jego dowodzie skorzystaliśmy z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej). Podamy ``zespolony'' odpowiednik tego fragmentu rozumowania. Sformułowanie zespolonej wersji twierdzenia o wartości średniej poprzedzimy technicznym lematem.
![$ \varphi,\psi\colon [0,1]\to \R $](/sites/default/files/tex/058a6e6f881fd399ab6d7147dde01a6188388175.png)
![$ [0,1] $](/sites/default/files/tex/cb7a13577f6d3c55e4b2f98ac06b9d18a0ec7c53.png)


![]() |
jest różniczkowalna w i zachodzi nierówność
![]() |



![]() |
z nierówności Schwarza, więc mamy w takim punkcie
![]() |
To jest szukana nierówność.
Przypadek 2. Jeśli , to
. Wykażemy to, posługując się definicją pochodnej. W takim punkcie
jest
, a ponadto
![]() |
więc dla wszystkich dostatecznie małych zachodzi nierówność
![]() |
Pisząc ostatnią linijkę, skorzystaliśmy z nierówności , która zachodzi dla wszystkich małych
, oraz z analogicznej nierówności dla
. Przechodząc do granicy
, otrzymujemy
, gdyż czynnik
![]() |
bowiem dla
, a mamy
. □
Uwaga: w ostatnim kroku jest istotne, że będą ciągłe na
i różniczkowalne w
. Jeśli
oraz
dla
, to wówczas
![]() |