Całka Lebesgue'a

W tym rodziale $ (X,\F,\mu) $ jest ustaloną przestrzenią z miarą. Elementy $ \sigma $-ciała $ \F $ nazywamy zbiorami mierzalnymi.

Ogólna idea, kryjąca się za definicją całki Lebesgue'a, jest bardzo prosta: dla funkcji $ f=c\charfn_A $, gdzie $ A $ jest zbiorem mierzalnym, przyjmujemy $ \int_X f\, d\mu=c\cdot \mu(A) $. Inaczej mówiąc, całka funkcji stałej na zbiorze $ A $ i równej zero poza $ A $ jest proporcjonalna do miary $ \mu(A) $. Oczywiście, byłoby rzeczą naturalną przyjąć umowę, że całka jest liniowa; wtedy całka z funkcji $ \sum a_i\charfn_{A_i} $ powinna być równa sumie $ \sum a_i\mu({A_i}) $. Funkcje nieujemne można przybliżać funkcjami prostymi, więc ich całki można próbować przybliżać całkami funkcji prostych. Natomiast dowolna funkcja mierzalna jest różnicą dwóch funkcji nieujemnych, więc dla takich funkcji całkę można określić jako różnicę całek tych funkcji nieujemnych.

Okazuje się, że ten plan można zrealizować. W dodatku, zachodzą wtedy naturalne, wygodne i ogólne twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Opisaniem szczegółów tej konstrukcji zajmiemy się w podrozdziałach 5.1 i 5.2. Następnie, w kolejnych podrozdziałach, wyjaśnimy, jaki jest związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna, a także omówimy dwa bardzo ważne wyniki: twierdzenie o zamianie zmiennych i twierdzenie Fubiniego. Znajomość tych narzędzi pozwala obliczać bardzo wiele konkretnych całek; przykłady pozna Czytelnik zarówno w trakcie wykładu, jak i na ćwiczeniach.