Całkowanie funkcji dowolnego znaku

Dla takich funkcji posługujemy się rozkładem $ f=\plus f-\minus f $, gdzie

\[ \plus f= \max (f,0), \qquad \minus f = -\min(f,0) \]

oznaczają część dodatnią i część ujemną funkcji mierzalnej $ f\colon X\to \overline \R $. (Zbiór $ X $, $ \sigma $-ciało $ \F\subset 2^X $ jego podzbiorów i miara $ \mu $ na $ \F $ są ustalone).

Definicja Jeśli $ f\colon X\to \overline \R $ jest funkcją mierzalną, zbiór $ E\subset X $ jest mierzalny i co najmniej jedna z całek $ \int_E \plus f\, d\mu $, $ \int_E \minus f\, d\mu $ jest skończona, to przyjmujemy

\[ \int_E f\, d\mu = \int_E \plus f\, d\mu-\int_E \minus f\, d\mu\, .	 	\]

Jeśli całka $ \int_E f\, d\mu $ jest skończona, to mówimy, że funkcja $ f $ jest całkowalna na $ E $.

Jeśli $ f\ge 0 $, to jej część ujemna $ \minus f=0 $; zatem dla funkcji nieujemnych powyższa definicja pokrywa się z przyjętą wcześniej.

Zanotujmy dłuższą listę elementarnych własności całki.

Stwierdzenie [własności całki](#) $ \phantom{a} $

  1. Jeśli $ f=c $ jest stała na zbiorze $ E $, to $ \int_E f\,d\mu=c\mu(E) $.
  2. Jeśli $ \mu(E)=0 $, to $ \int_Ef\,d\mu=0 $ dla każdej funkcji mierzalnej $ f\colon X\to \overline\R $.
  3. Funkcja $ f\colon X\to \overline\R $ jest całkowalna na zbiorze $ E\subset X $ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $ |f| $ jest całkowalna na $ E $.
  4. Funkcja $ f $ całkowalna na $ E\subset X $ jest skończona prawie wszędzie w $ E $.
  5. Monotoniczność całki: jeśli $ f\le g $ na zbiorze $ E $ i całki z obu funkcji są określone, to $ \int_E f\, d\mu\le \int_Eg\, d\mu $.
  6. Własność wartości średniej: dla każdej funkcji $ f $ całkowalnej na $ E $ jest
    $$\inf_E f\cdot \mu(E)\le \int_E f\, d\mu\le \sup_E f\cdot \mu(E)\, .$$
  7. Nierówność trójkąta: jeśli $ \int_Ef\, d\mu $ jest określona, to
    \[ 		\left|\int_E f\, d\mu\right| \le \int_E |f|\, d\mu\, . 		\]
  8. Przeliczalna addytywność całki jako funkcji zbioru: Jeśli $ E $ jest sumą zbiorów $ E_i\in \F $ parami rozłącznych, a $ f $ jest całkowalna na $ E $, to
    \[ 		 \int_E f\, d\mu=\sum_{i=1}^\infty \int_{E_i} f\, d\mu\, . 		\]
  9. Liniowość całki: jeśli całki funkcji $ f,g $ są określone na $ E $ i ich suma też jest określona (tzn. nie jest wyrażeniem $ \infty-\infty $), to
    \[ 		\int_E (f+g)\, d\mu=\int_E f\, d\mu+\int_E g\, d\mu\, . 		\]
Dowód: Własności (i) oraz (ii) wynikają łatwo z definicji i odpowiednich własności całki funkcji nieujemnej. Mamy $ |f|=\plus f+\minus f $, dlatego wobec liniowości całki funkcji nieujemnej

\[ \int_E |f|\, d\mu=\int_E \plus f\, d\mu + \int_E \minus f\, d\mu <\infty \]

wtedy i tylko wtedy, gdy całki funkcji $ \plus f, \minus f $ są skończone, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy ich różnica jest określona i skończona, tzn. gdy $ f $ jest całkowalna. Zatem zachodzi (iii).

Gdyby $ f=+\infty $ (odpowiednio, $ f=-\infty $) na zbiorze miary dodatniej w $ E $, to całka funkcji $ \plus f $ (odpowiednio, funkcji $ \minus f $) byłaby nieskończona. Stąd wynika własność (iv).

Dla dowodu (v) wystarczy zauważyć, że jeśli $ f\le g $, to $ \plus f\le \plus g $ i $ \minus f\ge \minus g  $, a następnie skorzystać z definicji całki i monotoniczności całki funkcji nieujemnej. Własności (vi) i (vii) wynikają od razu z (i), (v) oraz nierówności

\[ \inf f \le f \le \sup f\, , \qquad -|f| \le f\le |f|\, . \]

Przeliczalną addytywność całki funkcji całkowalnej otrzymujemy jako wniosek z Twierdzenia [link]: całka funkcji $ \plus f $ i całka $ \minus f $ - gdy traktować je jako funkcje zbioru - są miarami przeliczalnie addytywnymi.

Najbardziej kłopotliwy jest dowód (ix), gdyż całki mogą przyjmować wartość $ \pm \infty $. Rozważmy najpierw przypadek, gdy $ f,g $ są całkowalne. Ponieważ

\[ \int_E |f+ g|\, d\mu \le \int_E \big(|f|+ |g|\big)\, d\mu = \int_E |f|\, d\mu+ \int_E | g|\, d\mu\, ,   \]

więc $ f+g $ też jest całkowalna. Ponadto,

\[ \begin{equation} \plus f + \plus g-\plus {(f+g)}=\minus f+\minus g -\minus{ (f+g)} \ge 0  \label{znakifg} \end{equation} \]

oraz

\[ \begin{multline}   f+g= \plus f-\minus f +\plus g -\minus g  =\big(\plus f + \plus g\big )-\big(\minus f+\minus g\big)\\= \plus{(f+g)}+\big(\plus f + \plus g - \plus{(f+g)}\big) \ -\       \Big(\minus{(f+g)}+\big(\minus f + \minus g - \minus{(f+g)}\big)\Big)\, .   \end{multline} \]

Dzięki addytywności całki funkcji nieujemnych, otrzymujemy stąd

\[ \begin{eqnarray*} \int_E \plus f\, d\mu+\int_E\plus g\, d\mu = \int_E (\plus f +\plus g)\, d\mu &=& \int_E\, \plus{(f+g)}\, d\mu +\int_E \big(\plus f + \plus g - \plus{(f+g)}\big)  d\mu \notag \\ & \stackrel{\eqref{znakifg}}= &  \int_E\, \plus{(f+g)}\, d\mu +\int_E \big(\minus f + \minus g - \minus {(f+g)}\big)  d\mu \label{zplusem} \end{eqnarray*} \]

i podobnie

\[ \int_E \minus f\, d\mu  +\int_E \minus g\, d\mu =  \int_E\, \minus{(f+g)}\, d\mu +\int_E \big(\minus f + \minus g - \minus {(f+g)}\big)  d\mu\, .\label{zminusem}   \]

Odejmując te równości stronami, sprawdzamy, że $ \int_E f \, d\mu + \int_E g\, d\mu=\int_E(f+g)\, d\mu $.

Przypuśćmy teraz, że np. $ \int_E f\, d\mu=+\infty $, a $ \int_E g\, d\mu\in \R $. Wtedy musi być $ \int_E \plus f\, d\mu=+\infty $. Całki funkcji $ \minus f $, $ \plus g $, $ \minus g $ są liczbami rzeczywistymi. W takim razie, z pierwszej części dowodu,

\[ \begin{gather*} \infty > \int_E \minus f\, d\mu  +\int_E \minus g\, d\mu \stackrel{\eqref{znakifg}}\ge \int_E \minus {(f+g)}\, d\mu\ge 0\, ,   \\ \infty> \int_E\big(\minus f + \minus g - \minus{(f+g)}\big)\, d\mu\stackrel{\eqref{znakifg}}=\int_E\big(\plus f + \plus g - \plus{(f+g)}\big)\, d\mu\ge \int_E\big(\plus f - \plus{(f+g)}\big)\, d\mu\, .  \end{gather*}  \]

Gdyby $ \int_E \plus{(f+g)}\, d\mu $ była skończona, to dzięki wykazanej już liniowości całki funkcji całkowalnych, uzyskalibyśmy stąd $ \int_E \plus f\, d\mu<\infty $, wbrew założeniu. Dlatego $ \int_E \plus{(f+g)}\, d\mu=+\infty>\int_E \minus{(f+g)}\, d\mu $ i własność (ix) zachodzi w rozważanym przypadku.

Pozostałe przypadki można rozpatrzeć podobnie; szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie. □

Posługując twierdzeniem Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, udowodnimy teraz kolejne ważne twierdzenia o możliwości przechodzenia do granicy pod znakiem całki.

Twierdzenie [lemat Fatou](#) Jeśli funkcje $ f_j\colon X\to \overline \R $, $ j=1,2,\ldots $, są mierzalne i są nieujemne na zbiorze mierzalnym $ E\subset X $, to

\[ \begin{equation} 		\label{nierfatou}  		\int_{E} \liminf_{j\to\infty} f_j \, d\mu \le \liminf_{j\to\infty}   \int_{E}  f_j \, d\mu\, .  \end{equation} \]
Uwaga [przykład `wędrującego garbu'] Może się zdarzyć, że nierówność w lemacie Fatou jest ostra. Oto przykład dla jednowymiarowej miary Lebesgue'a. Warto go pamiętać, gdyż łatwo sobie wtedy przypomnieć, jaki jest kierunek nierówności w lemacie. Jeśli $ f_j=\charfn_{[j,j+1]}\colon \R\to\R $, to mamy $ \liminf f_j(t)=\lim_j f(t)=0 $ dla każdego $ t\in \R $, więc dla $ \mu=\lambda_1 $ lewa strona nierfatou jest zerem. Jednak $ \int_\R f_j\, d\lambda_1=1 $ dla każdego $ j\in \N $, więc prawa strona nierfatou jest jedynką. Czytelnik zechce samodzielnie podać podobny przykład dla $ E=[0,1] $, $ \mu=\lambda_1 $ na $ [0,1] $. Proszę zauważyć, że ten przykład świadczy również o tym, że założenie monotoniczności w Twierdzeniu [link] jest istotne. □

    Dowód lematu Fatou. Raz jeszcze przypomnijmy, że

\[ \liminf_{j\to\infty} f_j(x)=\sup_{m\in \N} \Big(\inf_{j\ge m} f_j(x)\Big) = \lim_{m\to \infty} \Big(\inf_{j\ge m} f_j(x)\Big) =  \lim_{m\to \infty} h_m(x),  \]

gdzie $ h_m(x)=\inf_{j\ge m} f_j(x) $ jest rosnącym ciągiem funkcji mierzalnych, nieujemnych na $ E $ i $ h_m\le f_m $ dla każdego $ m $. Dlatego, wobec Twierdzenia [link] o zbieżności monotonicznej,

\[ \begin{align*}  \int_{E} \liminf_{j\to\infty} f_j \, d\mu & = \int_E \lim_{m\to\infty} h_m\, d\mu \\ & = \lim_{m\to\infty} \int_E  h_m\, d\mu=  \liminf_{m\to\infty} \int_E  h_m\, d\mu\le \liminf_{m\to\infty} \int_E  f_m\, d\mu\, .    \end{align*} \]

Ostatnia nierówność wynika z monotoniczności całki i nierówności $ h_m\le f_m $. □

Twierdzenie [Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej](#) Załóżmy, że funkcje $ f_j,f\colon X\to \overline \R $, $ j=1,2,\ldots $, są mierzalne i $ |f_j|\le g $, gdzie $ g\colon X\to [0,\infty] $ jest funkcją całkowalną. Jeśli $ f_j(x)\to f(x) $ prawie wszędzie w $ X $, to

\[ \begin{equation}        	\label{wzor-TZZ} \lim_{j\to\infty} \int_X |f_j-f|\, d\mu =0\, , \qquad \lim_{j\to\infty}\int_X f_j\, d\mu= \int_X f\, d\mu\, . \end{equation} \]

Podany wcześniej przykład `wędrującego garbu' świadczy o tym, że założenie, iż $ |f_j| $ są wspólnie ograniczone przez jedną i tę samą funkcję $ g $ (czasem nazywaną majorantą), jest istotne!

    

Dowód: Skoro $ g\ge |f_j| $, to $ g \pm f_j\ge 0 $. Z lematu Fatou otrzymujemy więc

\[ \begin{gather} 	\int_{X} \liminf_{j\to\infty} (g\pm f_j) \, d\mu \le \liminf_{j\to\infty}   \int_{X}  (g\pm f_j) \, d\mu\, . \label{wnfatou}    \end{gather} \]

Zauważmy, że dla każdego ciągu liczbowego $ (a_j) $ i $ b\in\R $ jest

\[ \liminf_{j\to \infty} (b+a_j)= b +\liminf_{j\to \infty} a_j\, , \qquad \liminf_{j\to \infty} (b-a_j)= b - \limsup_{j\to \infty} a_j\, . \]

Funkcja $ g $, jako funkcja nieujemna całkowalna, jest skończona prawie wszędzie w $ X $. Dlatego z dwóch nierówności wnfatou, przytoczonej własności granicy dolnej i liniowości całki otrzymujemy

\[ \begin{gather*} \int_{X} \big(g+\liminf_{j\to\infty}  f_j \big)\, d\mu \le \int_X g\, d\mu  + \liminf_{j\to\infty} \int_X f_j\, d\mu\, ,\\ \int_{X} \big(g-\limsup_{j\to\infty}  f_j \big)\, d\mu \le \int_X g\, d\mu  - \limsup_{j\to\infty} \int_X f_j\, d\mu, \end{gather*} \]

stąd zaś, po odjęciu $ \int_X g\, d\mu $,

\[ \int_{X} \liminf_{j\to\infty}  f_j \, d\mu \le \liminf_{j\to\infty} \int_X f_j\, d\mu\ \le    \limsup_{j\to\infty} \int_X f_j\, d\mu \le \int_{X} \limsup_{j\to\infty}  f_j\,  d\mu \, . \]

Jednak $ \liminf f_j=\limsup f_j=\lim f_j=f $ na zbiorze pełnej miary w $ X $, więc prawa i lewa strona w powyższych nierównościach są równe $ \int_X f\, d\mu $. Stąd natychmiast wynika teza. (Dla dowodu pierwszej części p.w. i $ |f_j-f|\le |f_j|+|f|\le 2g $." title="TZZ) proszę zauważyć, że $ |f_j-f|\to 0 $ p.w. i $ |f_j-f|\le |f_j|+|f|\le 2g $.">TZZ) proszę zauważyć, że $ |f_j-f|\to 0 $ p.w. i $ |f_j-f|\le |f_j|+|f|\le 2g $.

Twierdzenie [bezwgzlędna ciągłość całki jako funkcji zbioru] Jeśli $ f $ jest funkcją całkowalną na zbiorze mierzalnym $ E $, to dla każdego $ \eps>0 $ istnieje liczba $ \delta>0 $ taka, że

\[ 	\int_A |f|\, d\mu <\eps 	\]

dla każdego zbioru mierzalnego $ A\subset E $ o mierze $ \mu(A)<\delta $.

Dowód: Wobec Twierdzenia [link],

\[ \nu(A)=\int_{A} |f|\, d\mu, \qquad A\subset E, \quad A\in \F \]

jest miarą (przeliczalnie addytywną) na $ \sigma $-ciele podzbiorów mierzalnych zbioru $ E $. Z założenia, $ \nu(E)=\int_E |f|\, d\mu<\infty $. Połóżmy

\[ E_m=\{x\in E\colon |f(x)|\ge m\}, \qquad m=1,2,\ldots\, ; \]

wtedy $ E_1\supset E_2 \supset E_3\supset\ldots $. Dzięki warunkowi $ \nu(E)<\infty $, ze Stwierdzenia [link](iii) otrzymujemy

\[ \nu\bigg(\bigcap_{m=1}^\infty E_m \bigg)=\lim_{m\to\infty } \nu(E_m)=0. \]

Ustalmy $ \eps>0 $. Dobierzmy $ m\in \N $ tak, aby $ \nu(E_m)<\eps/2 $. Wtedy, dla $ A\subset E $,

\[  \int_A |f|\, d\mu = \int_{A\cap E_m} |f|\,d\mu + \int_{A\setminus E_m} |f|\, d\mu\le \nu(E_m) + m\cdot \mu(A) < \frac \eps 2+ m\cdot \mu(A)<\eps, \]

o ile tylko $ \mu(A)<\delta=\eps/(2m) $.□

Związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna

Pozostaje pytanie, jak obliczać całkę Lebesgue'a? Czy dla miary $ \mu=\lambda_1 $ na prostej rzeczywistej mamy do czynienia z tą samą całką, którą obliczaliśmy, znajdując funkcje pierwotne i posługując się twierdzeniem Newtona-Leibniza? Okazuje się, że tak. Wyjaśnijmy krótko związek obu całek. Będziemy posługiwać się terminologią, wprowadzoną podczas wykładów na I roku (patrz rozdział 9.5 skryptu z Analizy Matematycznej I).

Załóżmy, że funkcja $ f\colon [a,b]\to\R $ jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna na $ [a,b] $. Z całkowalności w sensie Riemanna wynika mierzalność. (Funkcja ograniczona jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest zbiorem miary Lebesgue'a zero; nietrudno wykazać, że stąd wynika mierzalność: jeśli $ f $ jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna, to zbiór $ \{x\in [a,b]\colon f(x)>t\} $ jest sumą pewnego zbioru otwartego i zbioru miary zero.) Oczywiście całka Lebesgue'a modułu takiej funkcji nie przekracza $ M(b-a) $, gdzie $ M=\sup |f| $. Niech $ P $ będzie dowolnym podziałem odcinka $ [a,b] $ i niech $ a=x_0<x_1<\ldots<x_N=b $ oznaczają końce odcinków tworzących ten podział. Wobec addytywności całki jako funkcji zbioru (patrz własność (viii) w Stwierdzeniu [link]) całka Lebesgue'a

\[ \begin{equation} \int_{[a,b]} f\, d\lambda_1=\sum_{i=1}^N \int_{J_i} f\, d\lambda_1, \qquad\mbox{gdzie $J_i=[x_{i-1},x_i]$ dla $i=1,\ldots,N$.}    \end{equation} \]

Z monotoniczności całki

\[ \begin{align*}     \sum_{i=1}^N (x_i-x_{i-1})\sup_{J_i} f &= \sum_{i=1}^N \sup_{J_i} f \cdot \lambda_1(J_i) \\ &\ge \sum_{i=1}^N \int_{J_i} f\, d\lambda_1\qquad\mbox{(ta suma jest całką Lebesgue'a $f$)} \\ &\ge \sum_{i=1}^N \inf_{J_i} f \cdot \lambda_1(J_i)=  \sum_{i=1}^N (x_i-x_{i-1})\inf_{J_i} f \end{align*} \]

Lewa i prawa strona powyższych nierówności są, odpowiednio, górną i dolną sumą całkową Riemanna dla podziału $ P $. Zatem $ G(f,P)\ge \int_{[a,b]}f\, d\lambda_1\ge D(f,P) $ dla każdego podziału $ P $. Biorąc kres dolny lewych stron i kres górny prawych stron względem wszystkich podziałów $ [a,b] $, sprawdzamy, że całka Lebesgue'a $ \int_{[a,b]}f\, d\lambda_1 $ jest nie większa od całki górnej Riemanna funkcji $ f $ i nie mniejsza od całki dolnej Riemanna funkcji $ f $:

\[ \int^b_a f(x)\, dx= \inf_P G(f,P)\ge  \int_{[a,b]}f\, d\lambda_1\ge \sup_P D(f,P) =\int^b_a f(x)\, dx\, ; \]

Ponieważ $ f $ jest całkowalna w sensie Riemanna, więc jej całka dolna i całka górna Riemanna są równe całce (Riemanna!) $ \int_a^b f(x)\, dx $. Dlatego całki Lebesgue'a i Riemanna funkcji $ f $ na $ [a,b] $ są równe.

Zachodzi zatem następujące twierdzenie.

Twierdzenie (#) Jeśli $ f\colon [a,b]\to\R $ jest funkcją ograniczoną, całkowalną w sensie Riemanna, to $ f $ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na $ [a,b] $. Obie całki - Riemanna iLebesgue'a - funkcji $ f $ są równe.
Wniosek Dla każdej funkcji ciągłej $ f\colon [a,b]\to \R $ zachodzi wzór

\[ 	\int_a^b f\, d\lambda_1 = F(b)-F(a), 	\]

gdzie $ F $ jest jakąkolwiek funkcją pierwotną $ f $.

Uwaga Nietrudno wywnioskować stąd, że jeśli $ f $ jest funkcją nieujemną na przedziale $ J\subset \R $ i jej całka niewłaściwa Riemanna jest skończona, to $ f $ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a na $ J $. Natomiast dla funkcji, które zmieniają znak, jest inaczej: ze zbieżności całki niewłaściwej Riemanna nie wynika całkowalność w sensie Lebesgue'a. Powód jest prosty: nie każda całka niewłaściwa, która jest zbieżna, jest bezwzględnie zbieżna (patrz np. Przykład10.9 w skrypcie z Analizy Matematycznej I).