Całkowanie funkcji nieujemnych

W tym rodziale $ (X,\F,\mu) $ jest ustaloną przestrzenią z miarą. Elementy $ \sigma $-ciała $ \F $ nazywamy zbiorami mierzalnymi.

Ogólna idea, kryjąca się za definicją całki Lebesgue'a, jest bardzo prosta: dla funkcji $ f=c\charfn_A $, gdzie $ A $ jest zbiorem mierzalnym, przyjmujemy $ \int_X f\, d\mu=c\cdot \mu(A) $. Inaczej mówiąc, całka funkcji stałej na zbiorze $ A $ i równej zero poza $ A $ jest proporcjonalna do miary $ \mu(A) $. Oczywiście, byłoby rzeczą naturalną przyjąć umowę, że całka jest liniowa; wtedy całka z funkcji $ \sum a_i\charfn_{A_i} $ powinna być równa sumie $ \sum a_i\mu({A_i}) $. Funkcje nieujemne można przybliżać funkcjami prostymi, więc ich całki można próbować przybliżać całkami funkcji prostych. Natomiast dowolna funkcja mierzalna jest różnicą dwóch funkcji nieujemnych, więc dla takich funkcji całkę można określić jako różnicę całek tych funkcji nieujemnych.

Okazuje się, że ten plan można zrealizować. W dodatku, zachodzą wtedy naturalne, wygodne i ogólne twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Opisaniem szczegółów tej konstrukcji zajmiemy się w podrozdziałach 5.1 i 5.2. Następnie, w kolejnych podrozdziałach, wyjaśnimy, jaki jest związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna, a także omówimy dwa bardzo ważne wyniki: twierdzenie o zamianie zmiennych i twierdzenie Fubiniego. Znajomość tych narzędzi pozwala obliczać bardzo wiele konkretnych całek; przykłady pozna Czytelnik zarówno w trakcie wykładu, jak i na ćwiczeniach.

Całkowanie funkcji nieujemnych

Definicja całki Lebesgue'a przypomina definicję dolnej całki Riemanna. Różnica polega na tym, że rozbijamy dziedzinę funkcji nie na przedziały, tylko na przeliczalne rodziny dowolnych zbiorów mierzalnych. \def\rozb{\mathcal{R}}

Definicja [rozbicia zbioru mierzalnego] Załóżmy, że $ E\in \F $ jest mierzalnym podzbiorem $ X $. Mówimy, że skończona lub przeliczalna rodzina $ \P=\{E_1,E_2,\ldots\} $ zbiorów $ E_i $ jest rozbiciem $ E $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ E_i $ są mierzalne, parami rozłączne i $ E=\bigcup E_i $. Zbiór wszystkich rozbić danego zbioru mierzalnego $ E $ oznaczamy $ \rozb(E) $.
Definicja [całka funkcji nieujemnej] (#) Załóżmy, że funkcja mierzalna $ f\colon X\to \overline\R $ jest nieujemna na zbiorze mierzalnym $ E\subset X $. Kładziemy wówczas

\[      \int_E f\, d\mu\equiv  \int_E f(x)d\mu(x)= \sup\biggl( \sum _{i=1}^\infty \inf_{x\in E_i} f(x) \cdot \mu(E_i)\biggr)\, , 	\]

gdzie kres górny jest wzięty po wszystkich rozbiciach $ \P=(E_1,E_2,\ldots) $ zbioru $ E $.

Z własności kresów wynika od razu, że

\[ \begin{equation} 	\label{calkaaf}  	\int_E \alpha f(x)\, d\mu(x)=\alpha \int_E f(x)\, d\mu (x) \end{equation} \]

dla wszystkich liczb $ \alpha\ge 0 $, nieujemnych funkcji mierzalnych $ f $ i zbiorów mierzalnych $ E $. Zauważmy ponadto, że jeśli $ f\colon X\supset E\to [0,\infty] $ przyjmuje wartość $ \infty $ na zbiorze $ A\subset E $ miary dodatniej, to z pewnością $ \int_E f\, d\mu=\infty $.

Stwierdzenie [monotoniczność całki] Jeśli $ 0\le f\le g $ na zbiorze mierzalnym $ E $ i $ f,g\colon X\to \overline\R $ są mierzalne, to

\[   \int_E f(x)\, d\mu(x)\le  \int_E g(x)\, d\mu(x)\, . 	\]
Dowód: Dla każdego zbioru $ A\subset E $ jest $ \inf_A f\le \inf_A g $, zatem dla każdego rozbicia $ \P=(E_1,E_2,\ldots) $ zbioru $ E $ mamy

\[ \sum _{i=1}^\infty \inf_{x\in E_i} f(x) \cdot \mu(E_i)\le \sum _{i=1}^\infty \inf_{x\in E_i} g(x) \cdot \mu(E_i)\, . \]

Biorąc kres górny względem wszystkich rozbić $ \P\in \rozb(E) $, otrzymujemy tezę. □

Stwierdzenie [o wartości średniej] Jeśli $ f\colon X\to \overline\R $ jest mierzalna i nieujemna na zbiorze $ E\in \F $, to

\[ \begin{equation} 	\label{warsredmu}  	 \mu(E)\cdot \inf_E f \le \int_E f(x)\, d\mu(x)\le  \mu(E)\cdot \sup_E f\, .   \end{equation} \]
Dowód: Ustalmy rozbicie $ \P=(E_1,E_2,\ldots) $ zbioru $ E $. Ponieważ $ \mu(E)=\sum \mu(E_i) $ oraz, dla każdego indeksu $ i $ z osobna, $ \inf_E f\le \inf_{E_i} f\le \sup_E f $, więc

\[ \mu(E)\cdot \inf_E f=\sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) \inf_E f \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i) \inf_{E_i} f \le \sup_E f \sum_{i=1}^\infty \mu (E_i) = \mu(E) \sup_E f.  \]

Stąd natychmiast wynika teza. □

Zanotujmy dwa łatwe wnioski z tego twierdzenia.

Wniosek Jeśli $ f=c $ jest funkcją stałą, to $ \int_E f\, d\mu=c\mu(E) $
Dowód: Mamy $ c=\sup_E f=\inf_E f $; obie strony nierówności warsredmu są więc równe $ c\mu(E) $.□
Wniosek Jeśli $ \mu(E)=0 $, to $ \int_E f\, d\mu=0 $ dla każdej funkcji mierzalnej $ f $, nieujemnej na $ E $. □

(#)

Twierdzenie (#) Jeśli $ f $ jest mierzalna i nieujemna na $ X $, to funkcja

\[ 	\nu(A)=\int_A f\, d\mu, \qquad A\in \F 	\]

jest miarą na $ \sigma $-ciele $ F $: gdy zbiór $ E\in \F $ jest sumą skończoną lub przeliczalną zbiorów mierzalnych i parami rozłącznych $ E_i $, to

\[ \begin{equation} 	\label{calkasumzbior}      	\int_E f\, d\mu=\sum_{i}\int_{E_i} f\, d\mu\, .  \end{equation} \]
Dowód: Własności $ \nu(A)\ge 0 $ i $ \nu(\emptyset)=0 $ są oczywiste. Wystarczy udowodnić wzór calkasumzbior. Zrobimy to dla rozbić przeliczalnych zbioru $ E $ na parami rozłączne zbiory $ E_i $ (dla rozbić skończonych zmieniają się tylko oznaczenia).

Niech $ E_i=\bigcup_{k=1}^\infty F_{ik} $, gdzie $ F_{ik}\in \F $, będzie rozbiciem $ E_i $ na zbiory $ F_{ik} $ parami rozłączne. Wtedy $ E=\bigcup_{i=1}^\infty\bigcup_{k=1}^\infty F_{ik} $ jest rozbiciem $ E $ i wprost z definicji całki

\[ \sum_{k=1}^\infty \inf_{F_{1k}} f \cdot \mu(F_{1k}) +\cdots + \sum_{k=1}^\infty \inf_{F_{Nk}} f \cdot \mu(F_{Nk})  \le   \sum_{i=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \inf_{F_{ik}} f \cdot \mu(F_{ik})\le \int_Ef\, d\mu \]

dla każdej liczby $ N\in \N $. Biorąc oddzielnie kres górny każdej ze skończenie wielu sum po lewej stronie względem wszystkich rozbić zbioru $ E_i $ ($ i=1,\ldots, N $), otrzymujemy

\[ \sum_{i=1}^N \int_{E_i}f\, d\mu \le \int_Ef\, d\mu , \]

stąd zaś, dla $ N\to \infty $,

\[ \sum_{i=1}^\infty \int_{E_i}f\, d\mu \le \int_Ef\, d\mu .   \]

Udowodnimy teraz nierówność przeciwną. Niech $ E=\bigcup_{k=1}^\infty A_k $, gdzie $ A_k $ są parami rozłączne. Ponieważ $ E=\bigcup E_i $ i zbiory $ E_i $ też są parami rozłączne, więc wobec przeliczalnej addytywności miary $ \mu $, otrzymujemy \begin{align} \sum_{k=1}^\infty \inf_{A_k} f\cdot \mu (A_k) & = \sum_{k=1}^\infty \inf_{A_k} f\cdot \sum_{i=1}^\infty \mu(A_k\cap E_i) \notag \\ & \le \sum_{i=1}^\infty \biggl(\sum_{k=1}^\infty \inf_{A_k\cap E_i} f\cdot \mu(A_k\cap E_i)\biggr)\notag\\ & \le \sum_{i=1}^\infty \int_{E_i} f\, d\mu.(#) \end{align} Ostatnia nierówność wynika wprost z definicji całki: rodzina $ A_k\cap E_i $, $ k=1,2,\ldots, $ jest rozbiciem zbioru $ E_i $. Biorąc teraz kres górny względem wszystkich rozbić $ E=\bigcup_{k=1}^\infty A_k $, otrzymujemy $ \int f\,d\mu \le \sum_i \int_{E_i}f\, d\mu $. □

Ponieważ miara jest monotoniczną funkcją zbioru, więc natychmiast otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek Jeśli $ f $ jest mierzalna i nieujemna na zbiorze $ E\in \F $, to $ \int_{E_1} f\, d\mu\le \int_E f\, d\mu $ dla każdego zbioru mierzalnego $ E_1\subset E $. □
Wniosek Jeśli funkcje mierzalne $ f,g $ są nieujemne i równe prawie wszędzie na zbiorze $ E\in \F $, to $ \int_E f\, d\mu=\int_E g\, d\mu $.
Dowód: Zbiór $ A=\{f\not=g\} $ jest mierzalny i $ \mu(A)=0 $. Dlatego $ \int_A f\, d\mu=\int_A g\, d\mu =0 $ wobec Wniosku [link]. Na zbiorze $ E\setminus A $ jest $ f=g $, więc zachodzi oczywisty ciąg równości

\[ \int_E f\, d\mu = \int_{E\setminus A}   f\, d\mu + \int_A f\, d\mu  = \int_{E\setminus A}   f\, d\mu = \int_{E\setminus A}   g\, d\mu   =  \int_{E\setminus A}   g\, d\mu + \int_A g\, d\mu =  \int_E g\, d\mu. \]
Wniosek Jeśli $ f $ jest mierzalna i nieujemna na $ E $, a $ \int_E f\, d\mu=0 $, to $ f=0 $ prawie wszędzie na $ E $.
Dowód: Zbiór $ \{x\in X\colon f(x)>0\} $ jest sumą wstępującego ciągu zbiorów mierzalnych $ E_m=\{x\in X\colon f(x)\ge 1/m\} $, $ m=1,2,\ldots $ Dlatego

\[ 0\le \frac 1m \mu(E_m) \le \int_{E_m}f\, d\mu \le \int_E f\, d\mu = 0, \]

skąd $ \mu(E_m)=0 $, a następnie, na mocy Stwierdzenia [link](ii), $ \mu(E)=\lim \mu(E_m)=0 $. □

Całka Lebesgue'a jest wygodnym narzędziem m.in. z uwagi na bardzo ogólne twierdzenia o możliwości przechodzenia do granicy pod znakiem całki. Oto pierwsze z nich.

Twierdzenie [Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej](#) Załóżmy, że ciąg funkcji mierzalnych $ f_j\colon X\to \overline \R $ jest niemalejący i wszystkie funkcje $ f_j $ są nieujemne na zbiorze $ E\in \F $. Wówczas

\[ \begin{equation} 	\int_E \big(\lim_{j\to\infty } f_j\big)\, d\mu= \lim_{j\to\infty }  \int_E f_j\, d\mu\, . \end{equation} \]
Dowód: Ciąg $ f_j $ jest niemalejący, więc $ f=\lim f_j $ jest dobrze określona w każdym punkcie przestrzeni $ X $, a także mierzalna na mocy Twierdzenia [link]. Ponadto, $ f_j\le f $ na $ E $ dla każdego indeksu $ j $, więc wobec monotoniczności całki

\[ \int_E f_j\, d\mu\le  \int_E f\, d\mu, \qquad j=1,2,\ldots \]

i dlatego w granicy

\[ \lim_{j\to\infty }  \int_E f_j\, d\mu\le  \int_E f\, d\mu=  \int_E  \lim_{j\to\infty } f_j\, d\mu\, . \]

Wystarczy więc udowodnić nierówność przeciwną. Oznaczmy w tym celu

\[ E_0=\{x\in E\colon f(x)=0\}, \quad E_+=\{x\in E\colon 0<f(x)<\infty\},\quad  E_\infty=\{x\in E\colon f(x)=+\infty\}.  \]

Zbiory $ E_0,E_+,E_\infty $ są parami rozłączne i mierzalne, a ich suma jest równa $ E $.

    Krok 1. Na zbiorze $ E_0 $ jest $ 0\le f_j(x)\le f(x)=0 $ dla każdego $ j\in \N $, tzn. $ f_j\equiv 0\equiv f $ na $ E_0 $ i dlatego $ \lim\int_{E_0}f_j\, d\mu= 0=\int_{E_0}f\, d\mu $.

    Krok 2. Zajmijmy się teraz zbiorem $ E_+ $. Niech $ \theta\in (0,1) $ i $ E_m=\{x\in E_+ \colon f_m(x)\ge \theta f(x)\} $. Dla każdego $ x\in E_+ $ jest $ f(x)=\lim f_j(x) >\theta f(x) $, a więc istnieje liczba $ m_x $ taka, że $ x\in E_m $ dla wszystkich $ m>m_x $. Zatem $ E_+=\bigcup_{m=1}^\infty E_m $, a wobec monotoniczności ciągu $ f_m $ ciąg zbiorów $ E_m $ jest wstępujący. Wobec Twierdzenia [link], $ \nu(A)=\int_A f\, d\mu $ jest miarą na $ \sigma $-ciele podzbiorów mierzalnych zbioru $ E $. Korzystając z monotoniczności całki i Stwierdzenia [link](ii) dla miary $ \nu $, otrzymujemy

\[ \nu(E_+)=\int_{E_+} f\, d\mu \ge \int_{E_+} f_m\, d\mu \ge \int_{E_m} \theta f \, d\mu=\theta \nu(E_m) \to \theta \nu(E_+) \qquad\mbox{dla $m\to \infty$.} \]

Zatem

\[ \int_{E_+}f\, d\mu\ge \lim_{m\to\infty} \int_{E_+} f_m\, d\mu  \ge \theta\int_{E_+} f\, d\mu \]

Biorąc $ \theta \to 1 $, otrzymujemy

\[ \int_{E_+}f\, d\mu= \lim_{m\to\infty} \int_{E_+} f_m\, d\mu\, . \]

    Krok 3. Wreszcie, zbadajmy zachowanie całek funkcji $ f,f_m $ na zbiorze $ E_\infty $. Ustalmy $ M<\infty $. Niech $ A_m=\{x\in E_\infty\colon f_m(x) \ge M\} $. Wtedy

\[ \int_{E_\infty}f\, d\mu\ge \int_{E_\infty} f_m\, d\mu\ge \int_{A_m}f_m\, d\mu \ge M\mu(A_m)  \]

Ciąg zbiorów $ A_m $ jest wstępujący, a jego suma to zbiór $ E_\infty $, więc, podobnie jak wcześniej,

\[ \int_{E_\infty}f\, d\mu\ge \lim_{m\to\infty}\int_{E_\infty} f_m\, d\mu \ge M\mu(E_\infty)\, . \]

Dla $ M\to \infty $ otrzymujemy więc (Czytelnik zechce pamiętać o umowie $ \infty \cdot 0=0 $, którą przyjmujemy w teorii miary i całki.)

\[ \int_{E_\infty}f\, d\mu\ge \lim_{m\to\infty}\int_{E_\infty} f_m\, d\mu \ge\infty\cdot \mu(E_\infty) =\int_{E_\infty} f\, d\mu\, . \]

Dodając otrzymane wyżej nierówności, przekonujemy się, że

\[ \begin{align*} \lim_{m\to\infty}\int_E f_m\, d\mu &= \lim_{m\to\infty}\biggl(  \int_{E_0} f_m\, d\mu +\int_{E_+} f_m\, d\mu+\int_{E_\infty} f_m\, d\mu  \biggr) \\ &\ge \int_{E_0} f\, d\mu  +    \int_{E_+} f\, d\mu   + \int_{E_\infty} f\, d\mu =\int_E f\,d\mu. \end{align*} \]

Dowód twierdzenia o zbieżności monotonicznej jest zakończony. □

Stwierdzenie [liniowość całki] Dla wszystkich $ \alpha,\beta\ge 0 $ i wszystkich funkcji mierzalnych $ f,g $, nieujemnych na zbiorze $ E\in \F $, zachodzi wzór

\[ 	\int_E(\alpha f+\beta g)\, d\mu =\alpha \int_E f\, d\mu + \beta\int_E g\, d\mu. 	\]
Dowód: Z uwagi na równość calkaaf, wystarczy przeprowadzić dowód w szczególnym przypadku $ \alpha=1=\beta $. Ponadto, ponieważ wobec Twierdzenia [link] każda nieujemna funkcja mierzalna jest granicą niemalejącego ciągu funkcji prostych, więc z uwagi na twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej wystarczy ograniczyć się do sytuacji, gdy $ f,g $ są funkcjami prostymi.

Z Twierdzenia [link] wynika, że całka z nieujemnej funkcji prostej $ h=\sum_{j=1}^N c_j\charfn_{C_j} $, gdzie zbiory $ C_j $ są mierzalne i parami rozłączne, a stałe $ c_j\ge 0 $ dla wszystkich $ j $, jest równa

\[ \sum_{j=1}^N\int_{C_j} h\, d\mu = \sum_{j=1}^N c_j \mu(C_j)\, . \]

Niech więc $ f=\sum_{j=1}^m {a_j}\charfn_{A_j} $, $ g=\sum_{i=1}^l {b_i}\charfn_{B_i} $, gdzie $ E=\bigcup_{j=1}^m A_j = \bigcup_{i=1}^l B_i $ (w każdej z tych sum zbiory są mierzalne i parami rozłączne). Wtedy $ f+g=a_j+b_i $ na $ A_j\cap B_i $, a zbiór $ E $ jest rozłączną sumą iloczynów $ A_j\cap B_i $. Dlatego na mocy Twierdzenia [link]

\[ \begin{align*} \int_E (f+g)\, d\mu & = \int_{\bigcup (A_j \cap B_i)} (f+g)\, d\mu   = \sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^l \int_{A_j \cap B_i}  (f+g)\, d\mu \\ & =  \sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^l (a_j+b_i) \mu({A_j \cap B_i})    \\ & =  \sum_{j=1}^k a_j \biggl(\sum_{i=1}^l\mu({A_j \cap B_i})\biggr)    +   \sum_{i=1}^l b_i \biggl( \sum_{j=1}^k \mu({A_j \cap B_i}) \biggr) \\ & = \sum_{j=1}^k a_j \mu({A_j })    +   \sum_{i=1}^l b_i   \mu({ B_i}) =\int_E f\, d\mu + \int_E g\, d\mu\, .    \end{align*} \]