Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Zajęcia z Analizy Matematycznej II poświęcone są funkcjom wielu zmiennych rzeczywistych. Dlatego zaczniemy od opisania najważniejszych z punktu widzenia podstaw Analizy własności przestrzeni $ \R^n $ i pewnych klas jej podzbiorów. Dzięki temu będziemy mogli później zobaczyć, że uogólnienia pewnych pojęć, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, są w gruncie rzeczy jasne i naturalne (choć, dla $ n> 3 $, mogą zdaniem Czytelnika mieć dość abstrakcyjny charakter).

Podkreślmy jednak, że nawet z punktu widzenia w miarę naturalnych zastosowań matematyki nie warto ograniczać studiowania funkcji $ f\colon \R^n\to\R^m $ do `fizycznych' przypadków $ n,m\in \{1,2,3\} $. Na przykład, opis temperatury, ciśnienia, prędkości wiatru i wilgotności powietrza w punktach pewnego obszaru przestrzeni $ \R^3 $ i w czasie $ t\in (t_0,t_1) $ -- a więc, po ludzku mówiąc, możliwie wierne prognozowanie pogody -- wymaga w istocie, jak widać, konstrukcji pewnego przekształcenia z podzbioru przestrzeni $ \R^4 $ w przestrzeń $ \R^6 $: temperatura, ciśnienie i wilgotność powietrza to trzy liczby, a prędkość wiatru jest wektorem o trzech współrzędnych. Choćby dlatego, ale i ze względów teoretycznych, będziemy zajmować się funkcjami $ f\colon \R^n\to\R^m $ dla dowolnych $ m,n $ naturalnych.