Ciągłość funkcji wielu zmiennych | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Zajęcia z Analizy Matematycznej II poświęcone są funkcjom wielu zmiennych rzeczywistych. Dlatego zaczniemy od opisania najważniejszych z punktu widzenia podstaw Analizy własności przestrzeni $\R^n$ i pewnych klas jej podzbiorów. Dzięki temu będziemy mogli później zobaczyć, że uogólnienia pewnych pojęć, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, są w gruncie rzeczy jasne i naturalne (choć, dla $n> 3$ , mogą zdaniem Czytelnika mieć dość abstrakcyjny charakter).

Podkreślmy jednak, że nawet z punktu widzenia w miarę naturalnych zastosowań matematyki nie warto ograniczać studiowania funkcji $f\colon \R^n\to\R^m$ do `fizycznych' przypadków $n,m\in \{1,2,3\}$ . Na przykład, opis temperatury, ciśnienia, prędkości wiatru i wilgotności powietrza w punktach pewnego obszaru przestrzeni $\R^3$ i w czasie $t\in (t_0,t_1)$ -- a więc, po ludzku mówiąc, możliwie wierne prognozowanie pogody -- wymaga w istocie, jak widać, konstrukcji pewnego przekształcenia z podzbioru przestrzeni $\R^4$ w przestrzeń $\R^6$ : temperatura, ciśnienie i wilgotność powietrza to trzy liczby, a prędkość wiatru jest wektorem o trzech współrzędnych. Choćby dlatego, ale i ze względów teoretycznych, będziemy zajmować się funkcjami $f\colon \R^n\to\R^m$ dla dowolnych $m,n$ naturalnych.