Definicja miary powierzchniowej

Wyznacznik Grama. Intuicje geometryczne.

Przypomnijmy, że wyznacznikiem Grama wektorów $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $ nazywamy liczbę

\[ \begin{equation} 	\label{gram} G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=\det \Big(\langle \ww_i,\ww_j\rangle\Big)_{i,j=1,\ldots,m}\, . \end{equation} \]

Na wykładach Geometrii z Algebrą Liniową dowodzi się następujących własności wyznacznika Grama:

  1. $ G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=0 $, gdy wektory $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $ są liniowo zależne.
  2. Zachodzi wzór
    $$G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)=h^2\cdot G(\ww_2,\ldots,\ww_m),$$

    gdzie $ h=\dist(\ww_1,\text{span}\, (\ww_2,\ldots,\ww_m)) $ jest długością rzutu prostopadłego wektora $ \ww_1 $ na podprzestrzeń $ \R^n $ prostopadłą do $ \text{span}\, (\ww_2,\ldots,\ww_m) $. W szczególności,

    \[ \begin{multline}  		\label{gramwys} 		G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_m)= 		\|\ww_1\|^2\cdot G(\ww_2,\ldots,\ww_m),\\ \qquad\mbox{gdy wektor $\ww_1\perp \ww_j$ dla $j=2,\ldots,m$.} 	\end{multline} \]

Ponadto, wprost z definicji wyznacznika Grama i definicji iloczynu dwóch macierzy wynika, że dla $ m=n $ liczba $ G(\ww_1,\ww_2,\ldots,\ww_n) $ jest równa kwadratowi wyznacznika macierzy o kolumnach $ \ww_i $, a więc kwadratowi $ n $-wymiarowej miary Lebesgue'a równoległościanu rozpiętego na wektorach $ \ww_i $.

Posługując się wzorem gramwys i definicją, nietrudno zauważyć, że dla $ m=2 $ i $ n=3 $ liczba $ G(\ww_1,\ww_2) $ jest kwadratem pola równoległoboku rozpiętego na wektorach $ \ww_1,\ww_2\subset \R^3 $. Przyjmuje się, że $ m $-wymiarowa objętość równoległościanu, rozpiętego na wektorach $ \ww_1,\ldots,\ww_m\in \R^n $, jest równa pierwiastkowi z wyznacznika Grama tych wektorów. Z powyższych uwag wynika, że jest to interpretacja naturalna i sensowna.

\subsection*{Intuicje geometryczne}

Opiszemy teraz intuicję, kryjącą się za definicją $ m $-wymiarowej miary powierzchniowej na rozmaitości $ M\subset \R^n $. Przypuśćmy, że dla pewnego zbioru otwartego $ U\subset \R^n $ część wspólna $ U\cap M $ jest równa $ \Psi(V) $, gdzie $ V $ jest zbiorem otwartym w $ \R^m $. Zakładamy, że przekształcenie

\[ \Psi \colon \R^m\supset V\to \Psi(V)=M\cap U\subset \R^n \]

jest homeomorfizmem na obraz, klasy $ C^1 $, a jego różniczka $ D\Psi(\xx) $ ma maksymalny rząd $ m $ (tzn. jest monomorfizmem liniowym) w każdym punkcie $ \xx\in V $.

Parametryzacja fragmentu rozmaitości dwuwymiarowej; obrazy małych kwadratów w dziedzinie $ V $ parametryzacji $ \Psi $ są krzywoliniowymi czworokątami na powierzchni $ M $.

Dla uproszczenia pomyślmy najpierw o przypadku $ m=2 $, $ n=3 $; przekształcenie $ \Psi $ określa wtedy, jak należy umieścić (płaski, dwuwymiarowy) zbiór $ V $ jako (pozbawioną zagięć i sklejeń) powyginaną powierzchnię w trójwymiarowej przestrzeni. (Z taką sytuacją spotkał się już Czytelnik np. w Przykładzie . Obcinając to przekształcenie do kwadratu $ (0,2\pi)^2 $, otrzymamy parametryzację torusa z usuniętymi dwoma okręgami. " title="przyklad:obmotki), gdzie opisywaliśmy powierzchnię torusa obrotowego jako obraz pewnego przekształcenia $ F\colon \R^2\to\R^3 $. Obcinając to przekształcenie do kwadratu $ (0,2\pi)^2 $, otrzymamy parametryzację torusa z usuniętymi dwoma okręgami. " class="ext">[link] Obrazami kwadracików w dziedzinie $ V $ są krzywoliniowe czworokąty na powierzchni $ M\cap U $. Jeśli $ K\subset V $ jest małym kwadratem o wierzchołku $ \xx\in V $ i bokach równoległych do osi układu współrzędnych, to obraz $ \Psi(K) $ jest - niemalże, z bardzo dobrym przybliżeniem! - równoległobokiem zawartym w (afinicznej) płaszczyźnie stycznej do $ M $, o bokach równoległych do wektorów $ D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ D\Psi(\xx)\ee_2 $, gdzie $ \ee_i $ oznaczają wektory standardowej bazy w $ \R^2 $. Zatem

\[ \text{Pole}\, \big(\Psi (K)\big) \approx\text{pole równoległoboku} =  \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\cdot \lambda_2(K)\, . \]

Proszę zauważyć, że przekształcenie liniowe $ D\Psi(\xx)\colon \R^2\to\R^3 $ przeprowadza kwadrat jednostkowy $ [0,1]^2\subset \R^2 $ na równoległobok rozpięty na wektorach $ \ww_1=D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ \ww_2 = D\Psi(\xx)\ee_2 $; kwadrat pola tego równoległoboku jest równy wyznacznikowi Grama $ G(\ww_1,\ww_2)=\det (D\Psi(\xx)^TD\Psi(\xx)) $, gdyż elementy macierzy $ D\Psi(\xx)^TD\Psi(\xx) $ to właśnie iloczyny skalarne wektorów $ \ww_1=D\Psi(\xx)\ee_1 $ i $ \ww_2 = D\Psi(\xx)\ee_2 $.

Dlatego jest rzeczą naturalną przyjąć, dla $ m=2 $ i $ n=3 $ oraz zbiorów mierzalnych $ A\subset V\subset \R^2 $, definicję

\[ \begin{equation} 	\label{sigmadwa} 	\sigma_2(\Psi(A))=\int_A \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_2(\xx)\, ; \end{equation} \]

symbol $ \sigma_2 $ oznacza tu dwuwymiarową miarę powierzchniową na rozmaitości $ M\subset \R^3 $, parametryzowanej przez odwzorowanie $ \Psi $.

W ogólnym przypadku, dla $ 1\le m\le n $, postępuje się podobnie, przyjmując, że dla $ M\cap U=\Psi(V) $, gdzie parametryzacja $ \Psi $ jest różnowartościowa i jej różniczka ma rząd $ m $, miara powierzchniowa $ \sigma_m $ podzbiorów $ M\cap U $ określona jest wzorem

\[ \begin{equation} 	\label{sigma-m} 	\sigma_m(\Psi(A))=\int_A \sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)\, \qquad\mbox{dla $A\subset V\subset \R^m$, $A\in \Leb(\R^m)$.} \end{equation} \]

Sens powyższego wzoru jest następujący. W małej skali przekształcenie klasy $ C^1 $ jest z dobrym przybliżeniem liniowe. Dlatego miarę gładkiej, $ m $-wymiarowej powierzchni przybliżamy za pomocą sumy $ m $-wymiarowych objętości równoległościanów, będących obrazami (pod działaniem różniczki parametryzacji) małych, $ m $-wymiarowych kostek, zawartych w dziedzinie przekształcenia.

Cały powyższy opis należy jednak traktować wyłącznie jako pewną intuicję. Nie znamy na razie odpowiedzi na następujące pytania:

  1. Czy każdy zbiór $ M\subset \R^n $, dopuszczający (lokalnie) podany wyżej opis parametryczny, rzeczywiście jest rozmaitością?
  2. Czy definicja miary $ \sigma_m $ na $ M\cap U $ nie zależy od wyboru parametryzacji $ \Psi $? Jak postąpić, gdy rozmaitość $ M $ jest sumą wielu części $ M\cap U_i $, opisanych za pomocą różnych parametryzacji $ \Psi_i\colon V_i\to M\cap U_i\subset \R^n $?

W kolejnym podrozdziałach (patrz [link] i [link] niżej) przekonamy się, że wzory sigmadwa- sigma-m istotnie nie zależą od wyboru parametryzacji $ \Psi\colon V\to M\cap U $. Zanim jednak przejdziemy do ogólnych, abstrakcyjnych rozważań, poczyńmy dwie uwagi, które ułatwiają obliczanie pola gładkich powierzchni w $ \R^3 $.

Uwaga Niech $ m=2 $, $ n=3 $ i $ \Psi(\xx)=(\xx,f(\xx)) $, gdzie $ f\colon \R^2\supset V\to \R $ jest funkcją klasy $ C^1 $. Rozmaitość (powierzchnia) $ M=\Psi(V) $ jest wtedy wykresem funkcji $ f $. Mamy

\[ D\Psi^T D\Psi =\begin{pmatrix} 1 & 0 & f_{x_1}\\[3pt] 0 & 1 & f_{x_2} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 	1 & 0 \\ 	0 & 1 \\ 	f_{x_1} & f_{x_2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+f_{x_1}^2 & f_{x_1}f_{x_2}\\[4pt] f_{x_1}f_{x_2} & 1+f_{x_2}^2 \end{pmatrix} \]

i dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{wykresdwa} 	\sqrt{\det \Big(D\Psi(\xx)^T D\Psi(\xx)\Big)}= \sqrt{1+f_{x_1}^2(\xx)+f_{x_2}^2(\xx)}\, . \end{equation} \]
Zadanie [tożsamość Lagrange'a] Niech $ M $ będzie macierzą o trzech wierszach i dwóch kolumnach. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że

\[ \begin{equation} 	\det (M^TM)= A^2+B^2+C^2, \end{equation} \]

gdzie $ A $, $ B $ i $ C $ oznaczają minory $ 2\times 2 $ macierzy $ M $. Ogólniej, dla dowolnych wektorów $ \uu,\vv \in \R^n $ zachodzi równość

\[ \|\uu\|^2\cdot \|\vv\|^2- \langle\uu,\vv\rangle^2 = \sum_{1\le i<j\le n} (u_iv_j-v_iu_j)^2\, . \]

Przykład [pole sfery] Niech $ M=\{(x,y,z)\in \S^2\colon z>0\} $ będzie połówką sfery jednostkowej. Wtedy $ M $ jest wykresem funkcji

\[ 	f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}, \qquad x^2+y^2<1 	\]

Łatwo obliczamy

\[ f_x=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, , \qquad f_y=\frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, , \qquad \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, . \]

Dlatego, posługując się wzorem sigmadwa i równością wykresdwa, a następnie przechodząc do całkowania we współrzędnych biegunowych (jak wtedy, gdy korzystając z twierdzenia Fubiniego i twierdzenia o zamianie zmiennych obliczaliśmy całkę $ \int_\R e^{-x^2}\, dx $), otrzymujemy

\[ \begin{align*} \sigma_2(M)&=\int_{\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\, d\lambda_2(x,y)\\ & = \int_0^{2\pi}\biggl(\int_0^1 \frac{r\, dr}{\sqrt{1-r^2}}\biggr)\, d\theta= 2\pi \cdot \Big(-\sqrt{1-r^2}\Big)\bigg|_{r=0}^{r=1}=2\pi. \end{align*} \]

Wynik, jak widać, jest zgodny z oczekiwaniami. □

Przejdziemy teraz do uściślenia wszystkiego, co zostało powiedziane wyżej.

Parametryczny opis rozmaitości zanurzonych

(#)

W podrozdziale [link] definiowaliśmy $ m $-wymiarowe rozmaitości zanurzone w $ \R^k $ jako zbiory, które lokalnie, w otoczeniu każdego ze swoich punktów, są wykresami $ k-m $ pewnego układu funkcji $ m $ zmiennych. Do definiowania miary powierzchniowej i jej obliczania przyda się nam równoważny, tzw. parametryczny opis takich rozmaitości.

Definicja Niech $ 1\le m < n $ i niech $ V\subset \R^m $ będzie zbiorem otwartym. Będziemy mówić, że przekształcenie

\[ 	\Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n 	\]

jest parametryzacją klasy $ C^k $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \Psi\in C^k(V,\R^n) $ jest homeomorfizmem na obraz, a ponadto przekształcenie przekształcenie $ D\Psi(\xx) $ jest włożeniem liniowym (monomorfizmem) dla każdego $ \xx\in V $.

Twierdzenie Niech $ M\subset \R^n $ i niech $ \pp\in M $ będzie ustalonym punktem. Następujące warunki są równoważne:

  1. Istnieje kula $ B(\pp,r) $ w $ \R^{n} $ taka, że $ M\cap B(\pp,r) $ jest wykresem pewnej funkcji $ m $ zmiennych klasy $ C^k $, tzn. istnieje $ m $-wymiarowa podprzestrzeń liniowa
    $$P=\text{span}\, (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_m})\subset \R^{m},$$

    zbiór $ \Omega $ otwarty w $ P $ i funkcja $ \varphi\in C^k(P,P^\perp) $ takie, że

    \[ 			M\cap B(\pp, r)= \text{wykres}\, \varphi \cap B(\pp,r), 			\]

    gdzie

    \[ 		\text{wykres}\, \varphi=\{(\xx,\yy)\in \R^{n}= P\oplus P^\perp\colon \xx\in \Omega, \ \yy=\varphi (\xx)\}\, . 		\]
  2. Punkt $ \pp $ ma takie otoczenie otwarte $ U\subset \R^n $, że $ M\cap U=\Psi(V) $ dla pewnej parametryzacji $ \Psi\in C^k $, $ \Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n $.

(#)

Pierwszy warunek powyższego twierdzenia pojawił się, dla $ k=1 $, w definicji rozmaitości zanurzonej klasy $ C^1 $ (patrz podrozdział [link]).

Dowód: Z pierwszego warunku wynika oczywiście drugi. Jeśli $ M\cap B(\pp, r) $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\cong P\to \R^{n-m}\cong P^\perp $, to wówczas przekształcenie

\[ \Psi\colon \R^m \ni \xx\longmapsto \big(\xx,\varphi(\xx))\in P\oplus P^\perp \cong \R^n \]

jest parametryzacją, tej samej klasy gładkości, co $ \varphi $. Nietrudno sprawdzić, że $ \Psi $ jest homeomorfizmem na obraz. Wreszcie, macierz różniczki $ \Psi $, która ma $ n $ wierszy i $ m $ kolumn, zawiera - w górnych wierszach - klatkę, która jest macierzą identycznościową $ m\times m $. Dlatego rząd $ D\Psi(\xx) $ jest maksymalny dla każdego $ \xx $.

Wykażemy, że drugi warunek pociąga za sobą pierwszy. Niech $ M\cap U=\Psi(V) $ dla pewnej parametryzacji $ \Psi $ klasy $ C^k $ i niech $ \Psi(\aa)=\pp $. Z definicji, pewien minor $ m\times m $ macierzy $ D\Psi(\aa) $ nie znika; to oznacza, że dla pewnych $ 1\le i_1< \cdots < i_m \le n $ przekształcenie

\[ f=(\Psi_{i_1},\Psi_{i_2},\ldots,\Psi_{i_m})\colon V\to \R^m \]

spełnia w punkcie $ \aa\in V $ założenia Twierdzenia [link] o funkcji odwrotnej. Zatem, $ f $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ (patrz Uwaga [link]) pewnego otoczenia $ V_1 $ punktu $ \aa $ na otoczenie otwarte $ V_2 $ punktu $ f(\aa) $.

Oznaczmy teraz $ P= \text{span}\, (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_m}) $ (dla numerów $ i_k $, użytych w definicji $ f $); płaszczyzna $ P $ zawiera obraz $ V_2 $ dyfeomorfizmu $ f $. Płaszczyzna $ P^\perp $ jest wówczas rozpięta na pozostałych $ n-m $ wektorach standardowej bazy; oznaczmy je $ \ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_{n-m}} $. Niech $ \pi_1 $ oznacza rzut prostopadły na $ P $, zaś $ \pi_2=\mathrm{Id}_{\R^n}-\pi_1 $ - rzut prostopadły na $ P^\perp $.

Nietrudno teraz wskazać funkcję $ \varphi\colon P\to P^\perp $, której wykres pokrywa się ze zbiorem $ M $ w otoczeniu punktu $ \pp $. Połóżmy mianowicie

\[ \varphi\colon=\pi_2\circ \Psi\circ f^{-1} \colon \R^m\cong P\supset V_2\to P^\perp \cong \R^{n-m}\, . \]

Zauważmy, że dla każdego $ \yy=(y_{i_1},y_{i_2},\ldots,y_{i_m})\in V_2\subset P $ jest $ (\Psi\circ f^{-1})_{i_s}(\yy)=y_{i_s} $; to wynika wprost z określenia $ f $. Innymi słowy, $ \pi_1\circ \Psi\circ f^{-1} $ jest identycznością na $ V_2 $. Dlatego wykres $ \varphi $ to zbiór punktów $ (\xx,\varphi(\xx)) $, gdzie

\[ \begin{gather*} P\supset	V_2\ni \xx =  \pi_1\circ \Psi\circ f^{-1} (\xx)\, ,\\ P^\perp \ni \varphi(\xx)= \pi_2\circ \Psi\circ f^{-1} (\xx)\, . \end{gather*} \]

Innymi słowy,

\[ \begin{equation} 	\label{paramwykres} 	(\xx,\varphi(\xx))=\Psi\circ f^{-1} (\xx), \qquad \xx\in V_2, \end{equation} \]

więc (w małym otoczeniu punktu $ \pp $) wykres funkcji $ \varphi $ jest tym samym, co obraz przekształcenia $ \Psi $. □

Definicja Będziemy mówić, że $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową klasy $ C^k $, jeśli w każdym punkcie $ \pp\in M $ spełniony jest jeden z warunków równoważnych Twierdzenia [link]. Jeśli $ \Psi\colon V\to \Psi(V)=U\cap M $ jest parametryzacją części wspólnej zbioru otwartego $ U $ z rozmaitością $ M $, to przekształcenie $ \Psi^{-1}\colon M\cap U\to V $ nazywa się mapą. Zbiór map, których dziedziny pokrywają rozmaitość $ M $, nazywa się atlasem. (#)
Uwaga [przestrzeń styczna] W Twierdzeniu [link] opisaliśmy przestrzeń styczną do rozmaitości $ M $ w punkcie $ \pp $. Przypomnijmy: jeśli w otoczeniu punktu $ \pp $ rozmaitość $ M $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\to\R^{n-m} $, to kładąc $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $ i przyjmując $ \aa=\Phi^{-1}(\pp)\in \R^m $, otrzymujemy

\[ T_{\mpp} M=\mathrm{Im}\, D\Phi(\aa)\, . \]

Porównując ten wynik ze wzorem paramwykres, wnioskujemy łatwo, że jeśli $ U\cap M=\Psi(V) $, gdzie $ \Psi $ jest jakąkolwiek parametryzacją klasy $ C^k $ i $ \Psi(\aa)=\pp\in M $ dla pewnego $ \aa\in V\subset \R^m $, to wówczas

\[ T_{\mpp} M=\mathrm{Im}\, D\Psi(\aa), \]

gdyż różniczka $ D(f^{-1}) $ dyfeomorfizmu $ f^{-1} $ we wzorze paramwykres jest izomorfizmem liniowym.

Twierdzenie o rzędzie. Poprawność definicji miary $ \sigma_m $.

(#)

Aby wykazać niezależność definicji miary powierzchniowej na rozmaitości $ M $ od wyboru parametryzacji, udowodnimy ważne twierdzenie, opisujące strukturę takich przekształceń klasy $ C^k $, których różniczka ma stały rząd.

Twierdzenie [o rzędzie](#) Załóżmy, że przekształcenie $ \Psi\colon \R^m\supset V\to \R^n $ jest klasy $ C^k $, a jego różniczka $ D\Psi(\xx) $ ma we wszystkich punktach $ \xx $ zbioru $ V $ rząd równy $ r $, gdzie $ r $ jest ustaloną liczbą naturalną. Wówczas dla każdego punktu $ \aa\in V $ istnieją zbiory otwarte $ U_1\ni \aa $ i $ U_2\ni \Psi(\aa) $ oraz dyfeomorfizmy klasy $ C^k $,

\[ 	f_1\colon \R^m\supset U_1\to f_1(U_1)\subset \R^m\, , \qquad f_2\colon \R^n\supset U_2\to f_2(U_2)\supset \R^n\, , 	\]

takie, że

\[ f_2\circ \Psi\circ f_1^{-1}(\xx)=\big(x_1,x_2,\ldots,x_r,\, \underbrace{0,\ldots,0}_{n-r \text{ zer}}\, \big), \qquad \xx=(x_1,\ldots,x_m)\in f_1(U_1)\, . \]
Dowód: Ustalmy $ \aa\in V $. Z założenia, pewien minor $ r\times r $ macierzy $ D\Psi(\aa) $ nie znika. Przenumerowując w razie potrzeby zmienne (w dziedzinie i w obrazie), możemy bez zmniejszenia ogólności przyjąć, że

\[ \det\Bigl(\pcz{\Psi_i}{x_j}(\aa)\Bigr)_{i,j=1,\ldots,r}\not = 0. \]

Połóżmy

\[ f_1(\xx)=(\Psi_1(\xx),\ldots,\Psi_r(\xx),x_{r+1},\ldots, x_m), \xx\in V. \]

Nietrudno sprawdzić, że macierz $ Df_1 $ ma blokową postać

\[ Df_1 = \begin{pmatrix}\Big(\displaystyle\frac{\partial\Psi_i}{\partial x_j}\Big)_{i,j=1,\ldots,r} & \ast \\[15pt] \zero & \mathrm{Id}_{(m-r)\times (m-r)} \end{pmatrix}\, . \]

Dlatego

\[ \det Df_1(\aa)=\det\Bigl(\pcz{\Psi_i}{x_j}(\aa)\Bigr)_{i,j=1,\ldots,r}\not = 0. \]

Wybierzmy otoczenie $ U_1 $ punktu $ \aa $ tak, aby $ f_1 $ było na $ U_1 $ dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ na pewien $ m $-wymiarowy przedział otwarty $ f_1(U_1) $. Wprost z określenia $ f_1 $ wynika, że

\[ \Psi\circ f_1^{-1}(\xx)=(x_1,\ldots,x_r,h_{r+1}(\xx),\ldots, h_n(\xx)), \qquad \xx\in f_1(U_1)\, , \]

gdzie $ h_s $ są pewnymi funkcjami klasy $ C^k $. Mamy

\[ D(\Psi\circ f_1^{-1})=D\Psi\circ D(f_1^{-1}), \]

a ponieważ różniczka $ D(f_1^{-1}) $ dyfeomorfizmu $ f_1^{-1} $ jest izomorfizmem liniowym, więc rząd przekształcenia $ D(\Psi\circ f_1^{-1}) $ jest taki sam, jak rząd $ D\Psi $, tzn. równy $ r $. Stąd łatwo wynika, że

\[ \pcz{h_s}{x_t}(\xx)=0 \qquad \mbox{dla $s,t>r$} \]

- w przeciwnym razie rząd macierzy $ D(\Psi\circ f_1^{-1}) $ byłby większy od $ r $. Zatem funkcje $ h_s $ na przedziale $ f_1(U_1) $ zależą tylko od zmiennych $ x_1, \ldots, x_r $. Połóżmy teraz

\[ f_2(x_1,\ldots, x_n)=\big(x_1,\ldots,x_r,x_{r+1}-h_{r+1}(x_1,\ldots,x_r),\ldots, x_n-h_n(x_1,\ldots,x_r)\big). \]

Łatwo sprawdzić, że $ f_2 $ jest dyfeomorfizmem (dyfeomorfizm odwrotny uzyskujemy, zmieniając w powyższym wzorze minusy na plusy!) i że $ f_2\circ \Psi\circ f_1^{-1} $ przeprowadza punkt $ \xx $ w $ (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots, 0) $. □

Odnotujmy ważny wniosek z twierdzenia o rzędzie.

Lemat [o funkcjach przejścia] Jeśli $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową, zbiór $ U\subset \R^n $ jest otwarty, a przekształcenia

\[ 	\Psi_i\colon \R^m\supset V_i\to \Psi_i(V_i)=U\cap M\subset \R^n\, , \qquad i=1,2, 	\]

są parametryzacjami klasy $ C^k $, to złożenie $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1\colon V_1\to V_2 $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^k $ zbiorów otwartych w $ \R^m $.(#)

Dowód: Ustalmy $ \aa\in V_1\subset\R^m $. Z Twierdzenia [link] wynika, że dla pewnych dyfeomorfizmów $ f_1 $, $ f_2 $ równość

\[ f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1}(\xx)=(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0) \]

zachodzi w otoczeniu punktu $ f_1(\aa)\in \R^m $. Obraz przekształcenia $ f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1} $ można utożsamić z $ \R^m $, a samo to przekształcenie -- z identycznością na $ \R^m $, która jest gładka i odwracalna. Zauważmy teraz, że

\[ (f_1)^{-1}\circ \big(f_2\circ \Psi_1\circ f_1^{-1}\big)^{-1}\circ f_2\circ \Psi_2 = \Psi_1^{-1}\circ \Psi_2  \]

jest klasy $ C^k $, bo lewa strona powyższej równości jest złożeniem przekształceń klasy $ C^k $. Zamieniając $ \Psi_1 $ i $ \Psi_2 $ rolami w powyższym rozumowaniu, wnioskujemy, że również $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1  $ jest klasy $ C^k $. Ponieważ parametryzacje $ \Psi_i $ są homeomorfizmami, więc $ \Psi_2^{-1}\circ \Psi_1  $ (iprzekształcenie doń odwrotne, $ \Psi_1^{-1}\circ \Psi_2 $) jest dyfeomorfizmem. □

Stwierdzenie [niezależność miary powierzchniowej od wyboru parametryzacji] Załóżmy, że $ M\subset \R^n $ jest rozmaitością $ m $-wymiarową klasy $ C^1 $, zbiór $ U\subset \R^n $ jest otwarty, a przekształcenia

\[ 	\Psi_i\colon \R^m\supset V_i\to \Psi_i(V_i)=U\cap M\subset \R^n\, , \qquad i=1,2, 	\]

są parametryzacjami klasy $ C^1 $. Niech $ B=\Psi_1(A_1)=\Psi_2(A_2) $, gdzie $ A_i\subset V_i $ dla $ i=1,2 $, będzie borelowskim podzbiorem $ M $. Wówczas

\[ \int_{A_1} \sqrt{\det \Big(D\Psi_1(\xx)^T D\Psi_1(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)= \int_{A_2} \sqrt{\det \Big(D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)\Big)}\,\,\, d\lambda_m(\xx)\, . \]

(#)

Dowód: Wystarczy skorzystać z tego, że wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych jest iloczynem wyznaczników tych macierzy, a następnie zastosować twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Oznaczmy $ \Phi=\Psi_1^{-1}\circ \Psi_2 $; z ostatniego lematu wynika, że $ \Phi\colon V_2\to V_1 $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $. Zatem $ \Psi_2(\xx)=\Psi_1(\Phi(\xx)) $; kładąc $ \yy=\Phi(\xx) $, otrzymujemy ze wzoru na różniczkę złożenia

\[ \begin{align*} D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)&=\Big(D\Psi_1(\yy)D\Phi(\xx)\Big)^T D\Psi_1(\yy)D\Phi(\xx)\\ &=D\Phi(\xx)^T \cdot \Big(D\Psi_1(\yy)^T D\Psi_1(\yy)\Big)\cdot D\Phi(\xx), \end{align*} \]

stąd zaś i ze wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych,

\[ 	\sqrt{\det \Big(D\Psi_2(\xx)^T D\Psi_2(\xx)\Big)} = |\det D\Phi(\xx)|\cdot \sqrt{\det \Big(D\Psi_1(\yy)^T D\Psi_1(\yy)\Big)}\, , \quad \yy=\Phi(\xx). \]

Oznaczając $ f_i=\sqrt{\det(D\Psi_i^T\cdot D\Psi_i)} $, zapisujemy powyższą zależność krótko:

\[ f_2=|\det D\Phi| \cdot (f_1\circ \Phi\big) \qquad\mbox{na zbiorze $V_2$}. \]

Teza wynika natychmiast z Twierdzenia [link] o zamianie zmiennych. □

\subsubsection*{Definicja miary $ \sigma_m $}

Nietrudno teraz podać formalną definicję miary powierzchniowej $ \sigma_m $ na rozmaitości $ m $-wymiarowej $ M\subset\R^n $. Ponieważ topologia przestrzeni $ \R^n $ ma przeliczalną bazę, więc na $ M $ istnieje atlas złożony z co najwyżej przeliczalnie wielu map. Innymi słowy, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele parametryzacji

\[ \Psi_i\colon \R^m\to \Psi_i(V_i)=U_i\cap M\subset \R^n, \qquad\mbox{gdzie}\quad M\subset \bigcup U_i\ , \]

których obrazy pokrywają całą rozmaitość $ M $. Każdy zbiór borelowski $ B\subset M $ można przedstawić jako sumę przeliczalnie wielu zbiorów borelowskich parami rozłącznych $ B_i $, zawartych w dziedzinach poszczególnych map, kładąc

\[ B_1=B\cap U_1, \quad B_2= (B\cap U_2)\setminus U_1, \qquad B_3= (B\cap U_3)\setminus (U_1\cup U_2), \quad \ldots. \]

Niech $ V_i\supset A_i=\Psi_i^{-1}(B_i) $; przyjmujemy

\[ \begin{gather} \sigma_m(B_i)= \int_{A_i} \sqrt{\det \Big(D\Psi_i^T D\Psi_i\Big)}\,\,\, d\lambda_m\, ,\\	 \sigma_m(B)=\sum_{i=1}^\infty\sigma_m(B_i)=\sum_{i=1}^\infty \int_{A_i} \sqrt{\det \Big(D\Psi_i^T D\Psi_i\Big)}\,\,\, d\lambda_m\, . \end{gather} \]

Liczba $ \sigma_m(B) $ nie zależy ani od wyboru poszczególnych parametryzacji $ \Psi_i $, ani od wyboru zbiorów otwartych $ U_i $, pokrywających rozmaitość $ M $. To pierwsze wynika ze Stwierdzenia [link]; druga własność bierze się stąd, że mając dwa otwarte pokrycia przeliczalne $ M $, zbiorami $ U_i $ oraz $ U_i' $, można rozważyć trzecie, drobniejsze od nich obu, pokrycie zbiorami $ U_i\cap U_j' $ (a na każdym $ U_i\cap M $ funkcja $ \sigma_m $ jest miarą).

Uwaga Powyższą miarę $ \sigma_m $, określoną na borelowskich podzbiorach $ M $, można uzupełnić (tak, aby każdy podzbiór zbioru miary $ \sigma_m $ zero był mierzalny!), korzystając z twierdzenia Carath\'{e}dory'ego.