Dyfeomorfizmy zbiorów otwartych w $\mathbb{R}^n$

Definicja Jeśli $ \Omega\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, to przekształcenie $ f\colon \Omega\to \R^n $ nazywamy dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $, gdy $ f\in C^1(\Omega,\R^n) $ jest przekształceniem różnowartościowym, zbiór $ f(\Omega) $ jest otwarty w $ \R^n $ i przekształcenie odwrotne $ f^{-1}\in C^1(f(\Omega),\R^n) $.

Z definicji wynika, że dyfeomorfizm jest homeomorfizmem. Czytelnik nie powinien jednak uważać, że dyfeomorfizm to homeomorfizm, który jest różniczkowalny: przekształcenie $ \R^n\ni x\mapsto x^3 \in \R $ jest bijekcją klasy $ C^\infty $, jednak przekształcenie doń odwrotne, $ \R\ni y\mapsto \sqrt[3]{y}\in \R $, nie jest klasy $ C^1 $ (z uwagi na zachowanie pochodnej w zerze).

Przekształcenie odwrotne do dyfeomorfizmu też jest dyfeomorfizmem.

Przykład

  1. Każde odwracalne przekształcenie liniowe $ \Omega\ni \xx\mapsto A\xx\in A(\Omega)\subset \R^n $ jest dyfeomorfizmem. Z odwracalności $ A $ wynika różnowartościowość tego przekształcenia. Przekształcenia liniowe $ \xx\mapsto f(\xx)=A\xx $ i $ \yy\mapsto f^{-1}(\yy)=A^{-1}\yy $ są ciągłe, a ich różniczki $ Df(\xx)=A $ i $ Df^{-1}(\yy)=A^{-1} $ są stałe, więc też są ciągłe.
  2. Przekształcenie
    \[ (-1,1)\times \R \ni (x,y)  \longmapsto f(x,y)=\big(x,\frac 2\pi\arctg y\big)\in (-1,1)\times (-1,1)\,  \]

    jest dyfeomorfizmem pasa $ (-1,1\times \R) $ na kwadrat $ (-1,1)^2 $. Obie współrzędne $ f $ są gładkie i różnowartościowe, więc $ f $ jest gładkie i różnowartościowe. Macierz

    \[ Df(x,y)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & %\dfrac 2\pi     \dfrac{2/\pi}{1+y^2}\end{pmatrix} \]

    jest odwracalna dla każdego $ (x,y) $, więc funkcja $ f^{-1} $ - która, wobec różnowartościowości $ f $, określona jest globalnie na kwadracie $ (-1,1)^2 $ - jest klasy $ C^1 $ na mocy Twierdzenia [link]. Można zresztą wypisać $ f^{-1} $ wzorem.

  3. Niech $ \Omega_1=\R\times (0,\pi)\subset \R^2 $, $ \Omega_2=\{(x,y)\in \R^2\colon y>0\} $. Przekształcenie
    \[ \Omega_1\ni (x,y)\mapsto F(x,y) = (e^x\cos y, e^x\sin y)\in \Omega_2 \]

    jest dyfeomorfizmem pasa $ \Omega_1 $ na półpłaszczyznę $ \Omega_2=F(\Omega_1) $. Najprościej to zauważyć, odwołując się do własności funkcji wykładniczej w $ \C $. Sprawdzenie szczegółów pozostawiamy Czytelnikowi.

Stwierdzenie Złożenie dwóch dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. □
Zadanie Wykazać, że koło $ \{\xx\in \R^2\colon \|\xx\|<1\} $ i kwadrat $ \{\xx\in \R^2\colon \|\xx\|_1<1\} $ są dyfeomorficzne.

Z pojęciem dyfeomorfizmu spotkamy się wielokrotnie, także w drugim semestrze.