Ekstrema warunkowe i mnożniki Lagrange'a

W wielu konkretnych zastosowaniach rachunku różniczkowego trzeba znajdować wartość największą lub najmniejszą pewnej funkcji $ n $ zmiennych, ale nie na zbiorze otwartym $ \Omega\subset \R^n $, tylko wtedy, gdy między poszczególnymi zmiennymi zachodzą dodatkowe związki. Np. obliczając odległość punktu $ (3,4,5) $ od powierzchni sfery $ \S^2 $, szukamy w istocie najmniejszej wartości funkcji

\[ g(x,y,z)=(x-3)^2+(y-4)^2+(z-5)^2, \qquad (x,y,z)\in \S^2, \]

na pewnej podrozmaitości w $ \R^3 $: na sferze. Gradient funkcji $ g\colon \R^3\to \R $, jak nietrudno stwierdzić, znika jedynie w punkcie $ (3,4,5) $, w którym $ g $ osiąga swój kres dolny na $ \R^3 $. Jednak $ (3,4,5)\not\in \S^2 $, gdzie jest więc osiągany kres dolny na sferze?

Akurat to zadanie można rozwiązać szkolnymi metodami, odwołując się do elementarnej geometrii. Problemy tego typu pojawiają się jednak w wielu dziedzinach, choćby w ekonomii, w różnych zadaniach związanych z optymalizacją kosztów i zysku, gdy wiadomo, że np. suma różnych rodzajów wydatków firmy (płace, reklama, środki produkcji, ubezpieczenie itp.) powinna być stała. Warto więc dysponować ogólnymi metodami rozwiązywania podobnych zadań.

Powiemy teraz, jak badać minima i maksima funkcji, określonych na $ n $-wymiarowych rozmaitościach zanurzonych w $ \R^{n+m} $. Równania, opisujące daną rozmaitość, traktujemy jako dodatkowe warunki, wiążące poszczególne zmienne w $ \R^{n+m} $. Stąd właśnie bierze się nazwa ekstrema warunkowe albo ekstrema związane.

Twierdzenie [warunek konieczny ekstremum warunkowego] (#) Załóżmy, że $ g\in C^1(\Omega,\R) $ i $ F=(F_1,\ldots,F_m)\in C^1(\Omega,\R^m) $, gdzie $ \Omega $ jest zbiorem otwartym w $ \R^{n+m}=\R^n\times\R^m $. Niech $ M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)=\zero\} $. Niech $ \pp\in M $ i niech przekształcenie $ DF(\pp) $ będzie epimorfizem liniowym.

Jeśli $ g $ osiąga w punkcie $ \pp\in M $ swój kres górny lub dolny na zbiorze $ M $, to

\[ \langle \grad g (\pp), \ww\rangle =0  \qquad\mbox{dla każdego}\quad \ww\in T_{\mpp} M \]

i istnieją liczby $ \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in \R $ takie, że

\[ \begin{equation} 	\label{mnozLagr}    	\grad g(\pp) = \sum_{i=1}^m \lambda_i \cdot \grad F_i (\pp)\, .  \end{equation} \]

Liczby $ \lambda_i $ nazywa się mnożnikami Lagrange'a. Geometryczny sens warunku mnozLagr jest następujący: gradient funkcji $ g $ w punkcie $ \pp $ jest prostopadły do przestrzeni stycznej $ T_{\mpp}M=\ker DF(\pp) $ do rozmaitości $ M $. To wynika z Twierdzenia [link]. Aby to łatwiej zrozumieć, Czytelnik może pomyśleć o przypadku $ m=1 $, $ n=2 $. Wtedy $ F $ ma wartości rzeczywiste i warunek mnozLagr oznacza, że $ \grad g(\pp)=\lambda\, \grad F(\pp) $, a wektor $ \grad F(\pp) $ jest wszak prostopadły do poziomicy funkcji $ F $.

Dowód: Pewien minor $ m\times m $ macierzy $ DF(\pp) $ nie znika. Bez zmniejszenia ogólności (permutując w razie potrzeby zmienne) załóżmy zatem, że $ DF(\pp)=(D_{\mxx}F(\pp),D_{\myy}F(\pp)) $, gdzie $ D_{\mxx}F(\pp) $ jest macierzą o $ n $ kolumnach i $ m $ wierszach, zaś $ D_{\myy}F(\pp) $ - odwracalną macierzą kwadratową $ m\times m $. Wobec Twierdzenia [link], dla pewnego $ r>0 $ zbiór $ M\cap B(\pp,r) $ jest wykresem funkcji $ \varphi\in C^1(U,\R^m) $, gdzie $ U $ jest zbiorem otwartym w $ \R^n $. Punkt $ \pp=(\aa,\varphi(\aa)) $ dla pewnego $ \aa\in U $. Oznaczmy jeszcze $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $.

Funkcja $ G\colon U\to\R $ dana wzorem

\[ G(\xx) = g(\xx,\varphi(\xx)),  \qquad \mbox{gdzie } \xx\in U, \quad\mbox{tzn. } (\xx,\varphi(\xx))=\Phi(\xx)\in M\cap B(\pp,r),  \]

jest różniczkowalna na $ U $ i osiąga swój kres górny (lub dolny) w punkcie $ \aa\in U $. Dlatego, wobec wzoru na pochodną złożenia,

\[ \zero = DG(\aa) = Dg(\pp) D\Phi(\aa) = D_{\mxx} g(\pp) +  D_{\myy}g(\pp)D\varphi(\aa). \]

Innymi słowy, $ \langle \grad g(\pp), \ww\rangle = (D_{\mxx} g(\pp), D_{\myy}g(\pp)) \ww = 0 $ dla każdego wektora $ \ww=D\Phi(\aa)\vv\in \R^{n+m} $, gdzie $ \vv\in \R^n $ można wybrać dowolnie. Wobec Twierdzenia [link], obraz przekształcenia liniowego $ D\Phi(\aa)\colon \R^n\to \R^{n+m} $ to przestrzeń styczna $ T_{\mpp}M $, a więc otrzymaliśmy warunek

\[ \begin{equation}       \label{gradperp} \langle \grad g(\pp), \ww\rangle = 0 \qquad\mbox{dla każdego}\quad \ww\in T_{\mpp} M\, .    \end{equation} \]

Wyprowadzimy stąd warunek mnozLagr. W tym celu opiszemy bazę przestrzeni $ V=(T_{\mpp} M)^\perp $.

Twierdzenie [link] orzeka, iż $ T_{\mpp} M= \ker DF (\pp) $. Wymiar $ T_{\mpp}M $ jest równy $ n $, zatem $ \dim V=(n+m)-n=m $. Wiersze macierzy $ DF(\pp) $, tzn. wektory $ \grad F_i(\pp) $, są ortogonalne do $ \ker DF(\pp) $. Zatem, $ \grad F_i(\pp)\in V $ dla $ i=1,\ldots, m $. Ponadto, wektory $ \grad F_1(\pp) $, \ldots, $ \grad F_m(\pp) $ są liniowo niezależne, gdyż $ DF(\pp) $ jest epimorfizem. Zatem, $ (\grad F_i(\pp))_{i=1,\ldots, m} $ jest bazą $ V $. Warunek gradperp oznacza zaś, że wektor $ \grad g(\pp)\in V $; dlatego $ \grad g(\pp) $ jest kombinacją wektorów bazy $ V $, tzn. wektorów $ \grad F_i(\pp) $. □

Funkcję $ L(\zz)=g(\zz)-\sum_{i=1}^m\lambda_i F_i(\zz) $, gdzie liczby $ \lambda_i $ spełniają, przy założeniach ostatniego twierdzenia, warunek mnozLagr, nazywamy funkcją Lagrange'a (dla punktu $ \pp\in M $). Badając drugą różniczkę tej funkcji, można w wielu sytuacjach sprawdzić, czy $ g $ ma w punkcie $ \pp $ ekstremum lokalne związane na rozmaitości $ M $, czy go nie ma.

Definicja Załóżmy, że $ g\in C^1(\Omega,\R) $ i $ F=(F_1,\ldots,F_m)\in C^1(\Omega,\R^m) $, gdzie $ \Omega $ jest zbiorem otwartym w $ \R^{n+m}=\R^n\times\R^m $. Niech $ M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)=\zero\} $. Mówimy, że $ g $ ma w punkcie $ \pp\in M $ minimum (odpowiednio: maksimum) lokalne związane na $ M $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego $ r>0 $ jest $ g(\pp)\le g(\zz) $ (odpowiednio: $ g(\pp)\ge g(\zz) $) dla wszystkich $ \zz\in M $, $ \|\zz-\pp\|<r $. Jeśli nierówności są ostre, to mówi się, że ekstremum lokalne związane jest właściwe.
Twierdzenie [warunki dostateczne ekstremum lokalnego związanego] (#) $ \phantom{a} $ Niech $ g\in C^2(\Omega,\R) $ i $ F=(F_1,\ldots,F_m)\in C^2(\Omega,\R^m) $, gdzie $ \Omega $ jest zbiorem otwartym w$ \R^{n+m} $. Przypuśćmy, że w punkcie $ \pp\in M=\{z\in \Omega\colon F(\zz)=0\} $ przekształcenie $ DF(\pp) $ jest epimorfizem izachodzi mnozLagr, tzn.

\[ 	\grad g(\pp) = \sum_{i=1}^m \lambda_i \cdot \grad F_i (\pp)\, .        	\]

Niech $ L=g-\sum_{i=1}^m \lambda_i F_i\colon \Omega\to \R $. Wówczas:

  1. Jeśli $ D^2L(\pp) (\ww,\ww)>0 $ (odpowiednio, $ D^2L(\pp) (\ww,\ww)<0 $) dla wszystkich $ \ww\in T_{\mpp} M\setminus\{0\} $, to $ g $ ma w $ \pp\in M $ właściwe minimum (odpowiednio: maksimum) lokalne związane.

  2. Jeśli istnieją dwa wektory $ \vv,\ww\in T_{\mpp}M $ takie, że $  D^2L(\pp) (\ww,\ww)>0 > D^2L(\pp) (\vv,\vv)\, ,  $ to $ g $ nie ma w punkcie $ \pp $ ekstremum lokalnego związanego.
Dowód: Bez zmniejszenia ogólności (można przesunąć układ współrzędnych w $ \R^{n+m} $ idodać do $ g $ stałą) załóżmy, że $ \pp=\zero\in M $, $ L(\zero)=g(\zero)=F_1(\zero)=\ldots = F_m(\zero)=0 $. Załóżmy ponadto, przenumerowując w razie potrzeby zmienne istosując twierdzenie o funkcji uwikłanej, że $ M\cap B(\pp,r) $ jest wykresem funkcji

\[ \R^n\supset U \ni \xx\longmapsto \yy=\varphi (\xx)\in M\cap B(\pp,r). \]

Dla ustalenia uwagi, niech $ \varphi(\zero)=\zero $. Wobec Uwagi [link], $ \varphi $ jest klasy $ C^2 $. Niech $ \Phi $ będzie naturalną parametryzacją $ M $, tzn. $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx))\in M $ dla $ \xx\in U\subset \R^n $ i $ \Phi(\zero)=\zero=\pp $. Załóżmy, że $ D^2L(\zero)>0 $ na $ T_{\mpp}M $.

Aby wykazać tezę, zastosujemy wzór Taylora do funkcji $ L $. Z warunku mnozLagr wynika, że $ DL(\zero)=Dg(\zero)-\sum\lambda_i DF_i(\zero)= 0 $. Dlatego dla $ \zz\in B(\zero,r) $ jest

\[ L(\zz)= D^2L(\zero)(\zz,\zz) + r_1(\zz), \qquad\mbox{gdzie} \quad\lim_{\|\mzz\|\to 0}\,  \frac{r_1(\zz)}{\norm{\zz}^2}=\zero. \]

Podstawiając do tej równości

\[ M\ni \zz= \Phi(\xx) = \Phi(\zero)+ D\Phi(\zero)\xx + r_2(\xx)=D\Phi(\zero)\xx + r_2(\xx), \]

gdzie reszta $ r_2(\xx)/\|\xx\|\to \zero $ dla $ \xx\to \zero $, dzięki dwuliniowości $ D^2L(\zero) $ otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{d2l} 	L(\zz)= D^2 L(\zero)\big( D\Phi(\zero)\xx,D\Phi(\zero)\xx\big) + R(\xx),  \qquad \zz=\Phi(\xx)\in M\cap B(\zero,r), \end{equation} \]

gdzie

\[ \begin{equation} \label{trypreszta} R(\xx)=r_1(\Phi(\xx))+2D^2L(\zero)(D\Phi(\zero)\xx,r_2(\xx))+	D^2L(\zero)(r_2(\xx),r_2(\xx))\, . \end{equation} \]

Z założenia, forma $ D^2L(\zero) $ jest dodatnia na wektorach z przestrzeni stycznej. Istnieje więc stała $ \alpha>0 $ taka, że

\[ D^2 L(\zero)( \ww,\ww)\ge \alpha\|\ww\|^2\, . \]

Biorąc wektor $ \ww=D\Phi(\zero)\xx\in T_{\mpp}M $ (tu stosujemy Twierdzenie [link]!) otrzymujemy

\[ \begin{equation}   \label{d2l-dol}  D^2 L(\zero)( D\Phi(\zero)\xx,D\Phi(\zero)\xx)\ge \alpha \|D\Phi(\zero)\xx\|^2\ge \alpha \|\xx\|^2.	 \end{equation} \]

Nietrudno stwierdzić - nie będziemy podawać formalnego dowodu w języku $ \eps $-$ \delta $ - że reszta $ R(\xx) $, dana wzorem trypreszta, jest równa $ o(\|\xx\|^2) $ dla $ \xx\to\zero $, tzn. $ |R(\xx)|<\alpha\|\xx\|^2/2 $ dla $ \|\xx\| $ dostatecznie małych, $ \|\xx\|<\delta $. Ostatecznie więc ze wzorów d2l- d2l-dol otrzymujemy

\[ L(\zz)=L(\Phi(\xx))\ge \alpha \|\xx\|^2 + R(\xx)\ge \frac {\alpha\|\xx\|^2}2 \qquad\mbox{dla wszystkich $\zz=\Phi(\xx)\in M\cap B(\zero,\delta)$.}   \]

Ponieważ $ L(\zero)=0 $, więc $ L(\zz)>L(\zero) $ dla $ \zz\in M\cap B(\zero,\delta) $, $ \zz\not=\zero $. Jednak na rozmaitości $ M $ jest $ F_1=\ldots =F_m=0 $ i dlatego

\[ g(\zz)=L(\zz)+\sum_{i=1}^m \lambda_i F_i(\zz) = L(\zz)> L(\zero)=L(\zero)+\sum_{i=1}^m \lambda_i F_i(\zero) =g(\zero) \]

dla wszystkich punktów $ \zz\in M\cap B(\zero,\delta) $, $ \zz\not=\zero $. Dowód punktu (i) jest zakończony. Dowód punktu (ii) jest bardzo podobny. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi jako zadanie. □

Przejdźmy do przykładów.

Przykład [długi, ale pouczający] Niech $ n=2 $, $ m=1 $. Znajdziemy wszystkie ekstrema lokalne związane funkcji $ g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $ na powierzchni $ M $, opisanej równaniem

\[ 	F(x,y,z):=\frac{x^4}{3^4}+\frac{y^4}{2^4}+z^4-1=0. 	\]

Jak zobaczymy, na $ M $ jest 26 punktów, w których dla pewnej liczby $ \lambda $ zachodzi warunek Lagrange'a $ \grad g=\lambda\, \grad F $. Stosując ostatnie twierdzenie, sprawdzimy, że w ośmiu znich $ g $ ma maksimum warunkowe na $ M $, a w sześciu - minimum warunkowe na $ M $. W dwunastu pozostałych `podejrzanych' punktach $ g $ nie ma ani minumum warunkowego, ani maksimum warunkowego.

Warunek mnozLagr i równanie $ F\equiv 0 $, opisujące $ M $, prowadzą do układu czterech równań:

\[ \begin{gather} 2x= 4 \lambda \frac{x^3}{3^4}\, , \qquad 	     2y= 4 \lambda \frac{y^3}{2^4}\, , \qquad  2z= 4 \lambda z^3 , \qquad   \label{Cartan1} \\ \frac{x^4}{3^4}+\frac{y^4}{2^4}+z^4=1\, .  \label{Cartan2} \end{gather} \]

Mnożąc równania Cartan1 odpowiednio przez $ x $, $ y $, $ z $, a następnie dodając wyniki stronami, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=2\lambda \left(\frac{x^4}{3^4}+\frac{y^4}{2^4}+z^4\right) 	\stackrel{\eqref{Cartan2}}= 2\lambda >0, \label{g-lambda} \end{equation} \]

dla każdego punktu $ (x,y,z)\in M $, który spełnia warunek z tezy Twierdzenia [link]. Liczba $ \lambda\not=0 $, gdyż współrzędne punktu $ (x,y,z)\in M $ nie mogą jednocześnie znikać.

Wypiszmy jeszcze funkcję Lagrange'a, która pomoże nam określić charakter punktów krytycznych funkcji $ g\big|_M $. Mamy

\[ L(x,y,z)=g(x,y,z)-\lambda F(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-\lambda\left(\frac{x^4}{3^4}+\frac{y^4}{2^4}+z^4-1\right)\, . \]

Dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{D2-Cartan} 	D^2L(x,y,z)=\begin{pmatrix}   	2-{12\lambda}\dfrac{x^2}{3^4} & 0 & 0 \\ 	0 & 2-{12\lambda}\dfrac{y^2}{2^4} & 0 \\ 	0 & 0 & 2-{12\lambda}z^2 \\  \end{pmatrix}\, . \end{equation} \]

Układ równań Cartan1- Cartan2 rozwiążemy, rozpatrując oddzielnie trzy przypadki.

    Przypadek 1: $ xyz\not= 0 $. Dzieląc równania Cartan1 odpowiednio przez $ 4\lambda x $, $ 4\lambda y $ i $ 4\lambda z $, otrzymujemy wtedy

\[ \begin{equation} 	\label{kwadratyxyz}  	x^2=\frac{3^4}{2\lambda}, \qquad y^2=\frac{2^4}{2\lambda}, \qquad z^2=\frac {1}{2\lambda}\, .  \end{equation} \]

Dlatego

\[ 2\lambda \stackrel{\eqref{g-lambda}}= x^2+y^2+z^2=\frac{3^4+2^4+1}{2\lambda}= \frac{98}{2\lambda}, \]

stąd zaś $  2\lambda=\sqrt{98}=7\sqrt{2}  $. Ostatecznie więc rozwiązaniami układu Cartan1- Cartan2 są w tym przypadku

\[ \begin{equation} 	\label{Cartan-przyp1}    	2\lambda=g(x,y,z)=7\sqrt{2} 	\, , \qquad x=\pm \frac{9}{\sqrt{7\sqrt 2}} 	\, , \qquad y=\pm \frac{4}{\sqrt{7\sqrt 2}} 	\, , \qquad z=\pm \frac{1}{\sqrt{7\sqrt 2}} \end{equation} \]

Ponieważ znaki $ \pm $ można dla każdej z trzech niewiadomych $ x,y,z $ wybrać oddzielnie, więc takich rozwiązań jest 8. Macierz drugiej różniczki funkcji Lagrange'a w każdym z tych punktów określamy, wstawiając kwadratyxyz do D2-Cartan; prowadzi to do wyniku

\[ D^2L(x,y,z)= -4\cdot \mathrm{Id} \qquad\mbox{dla $(x,y,z)\in M$ spełniających \eqref{Cartan-przyp1}.} \]

Forma $ D^2L(x,y,z) $ jest więc w każdym z tych ośmiu punktów ujemna (nie tylko na przestrzeni stycznej $ T_{(x,y,z)}M $, ale po prostu na całej przestrzeni $ \R^3 $). Wobec Twierdzenia [link] funkcja $ g\big|_M $ ma w każdym z tych punktów właściwe maksimum lokalne związane.

    Przypadek 2: jedna współrzędna punktu $ (x,y,z) $ jest równa zero, a dwie są różne od zera. Rozwiązań tego typu jest 12. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy $ x=0 $, $ yz\not=0 $. (Są jeszcze analogiczne podprzypadki $ y=0 $ i $ xz\not=0 $ oraz $ z=0 $ i $ xy=0 $ - ich szczegółowe rozpatrzenie pozostawimy Czytelnikowi). Tym razem dzielimy drugie i trzecie z równań Cartan1 przez $ 4\lambda y $ i $ 4\lambda z $ odpowiednio; otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{kwadraty-yz}  	x=0, \qquad y^2=\frac{2^4}{2\lambda}, \qquad z^2=\frac {1}{2\lambda}\, .  \end{equation} \]

Dlatego

\[ 2\lambda \stackrel{\eqref{g-lambda}}= x^2+y^2+z^2=\frac{2^4+1}{2\lambda}= \frac{17}{2\lambda}, \]

stąd zaś $ 2\lambda=\sqrt{17} $. Rozwiązaniami układu Cartan1- Cartan2 są zatem

\[ \begin{equation} 	\label{Cartan-przyp2a}    	2\lambda=g(x,y,z)=\sqrt{17} 	\, , \qquad x=0 	\, , \qquad y=\pm \frac{4}{\sqrt{17}} 	\, , \qquad z=\pm \frac{1}{\sqrt{17}} \end{equation} \]

Takich rozwiązań jest 4. Podobnie otrzymujemy rozwiązania

\[ \begin{gather}  	\label{Cartan-przyp2b}    	2\lambda=g(x,y,z)=\sqrt{82} 	\, , \qquad x=\pm \frac{9}{\sqrt{82}} 	\, , \qquad y= 0 	\, , \qquad z=\pm \frac{1}{\sqrt{82}} \\ 	\label{Cartan-przyp2c}    	2\lambda=g(x,y,z)=\sqrt{97} 	\, , \qquad x=\pm \frac{9}{\sqrt{97}}   	\, , \qquad y=\pm \frac{4}{\sqrt{97}} 	\, , \qquad z=0 \end{gather} \]

Dla każdego z rozwiązań Cartan-przyp2a macierz

\[ D^2L(x,y,z)=   \begin{pmatrix}   2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\  \end{pmatrix} \]

ma wartości własne $ 2 $ i $ -4 $, nie jest więc ani dodatnia, ani ujemna na $ \R^3 $. Aby posłużyć się Twierdzeniem [link], należy jednak sprawdzić, jak zachowuje się macierz $ D^2L(x,y,z) $ na przestrzeni stycznej $ T_{(x,y,z)}M $. Wobec Twierdzenia [link],

\[ T_{(x,y,z)}M=\ker DF(x,y,z)=\Big\{(u,w,v)\in \R^3\colon \frac{4x^3}{3^4}\cdot {u} + \frac{4y^3}{2^4}\cdot {w} + 4z^3\cdot {v}= 0 \Big\}\, , \]

a ponieważ w przypadku Cartan-przyp2a jest $ x=0 $, $ yz\not =0 $, więc

\[ \begin{gather*} T_{(x,y,z)}M= \{(u,w,v)\in \R^3\colon {u} \text{ jest dowolne, }  \frac{4y^3}{2^4}\cdot {w} + {4z^3}\cdot {v}= 0 \}\, ,\\ D^2L(x,y,z)\Big((u,w,v),(u,w,v)\Big)= 2u^2-4(w^2+v^2)\, . \end{gather*} \]

Ponieważ współrzędną $ u $ wektora $ (u,w,v) $ stycznego do $ M $ możemy manipulować dowolnie, więc druga różniczka funkcji Lagrange'a przybiera na przestrzeni stycznej do $ M $ zarówno wartości dodatnie, jak ujemne. Wobec Twierdzenia [link](ii), funkcja $ g $ nie ma w takich punktach ekstremum lokalnego związanego.

    Przypadek 2: dwie współrzędne punktu $ (x,y,z) $ są równe zero, a jedna jest różna od zera. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy $ x=y=0 $, $ z\not=0 $. Wtedy z równań Cartan1- g-lambda otrzymujemy po łatwym rachunku

\[ \begin{equation} 	\label{Cartan-przyp3a} 	x=y=0, \qquad z=\pm 1, \qquad 2\lambda=z^2=1\, .    \end{equation} \]

Pozostałe rozwiązania tego typu to

\[ \begin{gather} 	x=z=0, \qquad y=\pm 2, \qquad 2\lambda = 4;\label{Cartan-przyp3b}\\ 	y=z=0, \qquad x=\pm 3, \qquad 2\lambda = 9.\label{Cartan-przyp3c} \end{gather} \]

W takich punktach (jest ich razem 6) funkcja $ g\big|_M $ ma właściwe minima lokalne związane. Rozpatrzmy np. zachowanie $ g $ w otoczeniu punktów Cartan-przyp3a. Mamy w nich $ DF(x,y,z)=(0,0,\pm 4) $ i

\[ T_{(x,y,z)}M=\ker DF (x,y,z) = \{(u,w,v)\in \R^3\colon v=0\}. \]

Tym razem

\[ D^2L(x,y,z)=   \begin{pmatrix}   2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\  \end{pmatrix}, \]

więc $  D^2L(x,y,z)\big((u,w,v),(u,w,v)\big)= 2(u^2+w^2)  $ dla $ (u,w,v)\in T_{(x,y,z)}M $, tzn. $ D^2L(\pp) $ jest dodatnia na $ T_{\mpp}M $. Podobnie jest w punktach Cartan-przyp3b- Cartan-przyp3c. Są to więc minima $ g\big|_M $.

Porównując wartości $ g(x,y,z)=2\lambda $ w znalezionych punktach, stwierdzimy łatwo, że $ \inf_M g =1 $ i $ \sup_M g=\sqrt{98} $.

Z lewej: powierzchnia $ M $ przypomina prostopadłościan o wyokrąglonych krawędziach i rogach. Czarnym kolorem zaznaczono poziomice funkcji $ g\big|_M $. Widać wyraźnie trzy minima lokalne związane $ g\big|_M $ i dwa jej maksima lokalne związane. W punktach skrzyżowań poziomic $ g\big|_M $ nie ma ekstremum związanego.

Z prawej: każda ze sfer, na których $ g\colon \R^3\to\R $ ma stałą wartość, przecina $ M $ wzdłuż poziomicy $ g\big|_M=\mathrm{const} $. Na rysunku wskazano poziomicę, odpowiadającą punktom Cartan-przyp2a, w których funkcja $ g\big|_M $ ma siodła.