Elementy teorii miary

Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wie już, że do ważnych zastosowań całki należy obliczanie pól i objętości. Okazuje się, że pytania jakie funkcje wolno (próbować) całkować? dla jakich podzbiorów przestrzeni można w ogóle określić ich objętość? są subtelne, a odpowiedzi na te pytania wymagają głębokiego wniknięcia w pogranicze teorii mnogości i topologii.

Zacznijmy od przykładu, który dobitnie wyjaśnia, że funkcji, która miałaby naturalne pożądane cechy miary\/, nie można określić na wszystkich podzbiorach prostej.

Przykład [G. Vitali](#) Nie istnieje funkcja $ \mu\colon 2^{\R}\to \rplus $, która spełniałaby następujące warunki:

  1. $ \mu([a,b])=b-a $ dla każdego przedziału $ [a,b]\subset{\R} $;
  2. $ \mu (\emptyset)=0 $;
  3. przeliczalna addytywność: Jeśli zbiory $ A_i\subset \R $, $ i=1,2,\ldots $, są parami rozłączne, to $ \mu (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\mu (A_i) $;
  4. niezmienniczość ze względu na przesunięcia: dla każdego zbioru $ V\subset \R $ i każdej liczby $ t\in \R $ jest $ \mu (t+V)=\mu(V) $.

Przypuśćmy, że taka funkcja $ \mu $ jednak istnieje. Określmy relację w zbiorze $ \R $: przyjmijmy, że $ x\sim y $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ x-y\in \Q $. Łatwo zauważyć, że jest to relacja równoważności: $ x\sim x $ dla każdego $ x\in \R $, gdyż $ x-x=0 $, a $ 0\in \Q $; jeśli $ x\sim y $, to także $ y\sim x $, gdyż $ y-x=-(x-y) $ jest liczbą wymierną, gdy $ x-y\in \Q $; wreszcie, $ x\sim y $ i $ y\sim z $ pociąga za sobą $ x\sim z $, gdyż $ x-z=(x-y)+(y-z) $, a suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna.

Każda klasa abstrakcji $ [x] $ ma reprezentanta $ y\in [0,1] $; to wynika stąd, że $ x\sim x+k $ dla każdego $ x\in\R $ i każdego $ k\in \Z $. Korzystając z aksjomatu wyboru, utwórzmy zbiór $ V\subset [0,1] $, który zawiera dokładnie jednego reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Rozpatrzmy zbiór

\[ W=\bigcup_{t\in Q\cap [-1,1]} (t+V)\, , \]

tzn. sumę mnogościową przesunięć $ t+V $ zbioru $ V $ o wektory wymierne $ t $ z przedziału $ [-1,1] $. Ponieważ $ V\subset [0,1] $, więc $ W\subset [-1,2] $. Ponadto, dla różnych $ t_1,t_2 $ zbiory $ t_1+V $ i $ t_2+V $ są rozłączne: gdyby $ t_1+v_1=t_2+v_2 $ dla pewnych $ t_1\not=t_2\in \Q $ i $ v_1,v_2\in V $, to mielibyśmy $ v_1-v_2=t_2-t_1\in \Q $ i $ v_2\not=v_1 $, tzn. $ v_1\sim v_2 $ byłyby różnymi elementami tej samej klasy abstrakcji, wbrew definicji $ V $.

Jeśli $ \mu $ spełnia warunki (i)-(iv), to $ \mu (A)\le \mu(B) $ dla $ A\subset B\subset \R $. Dlatego \begin{align*} 3=\mu([-1,2])\ge \mu (W) &=\mu\biggl(\, \bigcup_{t\in Q\cap [-1,1]} (t+V)\biggr) \\ &\stackrel{\text{(iii)}}=\sum_{t\in Q\cap [-1,1]} \mu (t+V) \stackrel{\text{(iv)}}= \mu(V)+\mu(V)+\mu(V)+\cdots \end{align*} Gdyby $ \mu(V)>0 $, to prawa strona byłaby nieskończona. Otrzymujemy więc $ \mu (V)=0 $, stąd zaś $ \mu (W)=0+0+\cdots=0 $.

Z drugiej strony, zbiór $ W $ zawiera cały przedział $ [0,1] $. Istotnie, niech $ x\in [0,1] $ będzie dowolną liczbą. Wybierzmy $ v\in V $ tak, aby $ x\sim v $; jest to możliwe, gdyż zbiór $ V $ zawiera reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Wtedy $ t=x-v\in \Q\cap [-1,1] $ i $ x=t+v\in t+V\subset W $.

Zatem

\[ 1=\mu([0,1])\le \mu(W)=0\, . \]

Ta sprzeczność dowodzi, że nie istnieje funkcja $ \mu $, spełniająca warunki (i)-(iv). □

W przestrzeni $ \R^3 $ nawet rezygnacja z przeliczalnej addytywności na rzecz skończonej addytywności nie pomaga: jak udowodnili Banach i Tarski, kulę jednostkową w $ \R^3 $ można podzielić na pięć (parami rozłącznych) zbiorów $ A_i $, $ 1\le i\le 5 $, a następnie wskazać pięć izometrii $ g_i $, $ 1\le i\le 5 $, przestrzeni $ \R^3 $ takich, że

\[ B(0,1)=g_1(A_1)\cup g_2(A_2)\cup g_3(A_3)= g_4(A_4)\cup g_5(A_5), \]

gdzie każda z dwóch sum jest sumą zbiorów parami rozłącznych. Gdyby więc istniała skończenie addytywna funkcja nieujemna $ \mu $, określona na wszystkich podzbiorach $ \R^3 $ i niezmiennicza ze względu na izometrie, to mielibyśmy

\[ \mu(B(0,1))=\sum_{i=1}^5 \mu (A_i)=\sum_{i=1}^5 \mu(g_i(A_i)) = 2\mu(B(0,1)). \]

(Konstrukcja takiego paradoksalnego rozkładu kuli wykorzystuje, prócz aksjomatu wyboru, fakt, że składanie obrotów w $ \R^3 $ nie jest przemienne, a grupa obrotów zawiera podgrupę wolną o dwóch generatorach.)

Podobne przykłady wskazują, że jakieś ograniczenie klasy zbiorów, dla których będziemy określać miarę, jest rzeczą konieczną.