Formy różniczkowe

Definicja [forma różniczkowa rzędu $ k $] Niech $ U\subset \R^n $ będzie zbiorem otwartym. Formą różniczkową rzędu $ k $ i klasy $ C^\infty $ na zbiorze $ U $, lub krótko: gładką $ k $-formą różniczkową na $ U $, nazywamy przekształcenie

\[ 	\omega\colon U\times \big(\R^n\big)^k\to \R 	\]

klasy $ C^\infty $, takie, że dla każdego punktu $ \xx\in U $ przekształcenie

\[ \begin{equation} 	\label{o x} 	\big(\R^n\big)^k\ni (\bxi_1,\ldots,\bxi_k)\longmapsto \omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k)\in \R \end{equation} \]

jest $ k $-formą antysymetryczną, tzn. elementem przestrzeni $ \Lambda^k\big(\R^n\big)^k $.

    Uwaga. Jeśli $ \omega\colon U\times \big(\R^n\big)^k\to \R $ jest $ k $-formą różniczkową, to odwozorowanie o x oznacza się symbolem $ \omega_{\mxx} $, tzn.

\[ \omega_{\mxx} (\bxi_1,\ldots,\bxi_k)=\omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k) \]

dla wszystkich $ \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^n $. Można więc utożsamić $ \omega $ z przekształceniem gładkim

\[ U\ni\xx\longmapsto \omega_{\mxx}\in \Lambda^k\big(\R^n\big)^\ast \]

o wartościach w przestrzeni $ k $-form antysymetrycznych. Zgodnie z Przykładem [link], dla każdego $ \xx\in U $ formę $ \omega_{\mxx} $ można wyrazić jako kombinację form bazowych $ {\dyj xI} $,

\[ \omega_{\mxx}=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(n)} {\bigi aI}(\xx)\; {\dyj xI}, \qquad {\bigi aI}\in C^\infty(U)\, , \]

przy czym $ {\bigi aI}(\xx)=\omega_{\mxx}(\ee_{i_1},\ldots, \ee_{i_k}) $ dla $ I=(i_1,\ldots, i_k) $, na mocy wzoru wzor aJ na współczynniki formy w bazie.

Zbiór wszystkich $ k $-form różniczkowych na $ U\subset \R^n $ oznacza się

\[ \Omega^k(U):=C^\infty\big(\Omega, \Lambda^k(\R^n)^\ast\big)\, . \]

Uwaga. Iloczyn zewnętrzny form różniczkowych będziemy oznaczać tak samo, jak iloczyn zewnętrzny form liniowych; dla $ \alpha\in \Omega^k(U),\beta\in \Omega^\ell(U) $ przyjmujemy

\[ (\alpha\wedge\beta)_{\mxx}:= \alpha_{\mxx}\wedge\beta_{\mxx}\in \Lambda^{k+l}(\R^n)^\ast\, . \]

We współrzędnych pisze się po prostu

\[ \biggl(\sum_I {\bigi aI}\, {\dyj xI}\biggl)\wedge \biggl(\sum_J {\bigi b J}\, dx_J\biggl) = \sum_{I,J} {\bigi aI}{\bigi b J} {\dyj xI}\wedge dx_J\, . \]

Przeciąganie form różniczkowych. Różniczka zewnętrzna.

Niech $ U\subset \R^n $ i $ V\subset \R^m $ będą zbiorami otwartymi, zaś $ f\colon V\to U $ - przekształceniem gładkim.

Definicja (#) Jeśli $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ k $-formą różniczkową na $ U\subset \R^n $, to przeciągnięciem $ \omega $ za pomocą $ f $ nazywamy formę $ f^\ast\omega\in \Omega^k(V) $, określoną wzorem

\[ 	f^\ast\omega(\xx;\bxi_1,\ldots,\bxi_k):= 	\omega(f(\xx);Df(\xx)\bxi_1, \ldots,Df(\xx)\bxi_k), \qquad\xx\in V, \quad \bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^m\, . 	\]

Przeciąganie form różniczkowych, traktowane - dla ustalonego\/ odwzorowania $ f $ - jako przekształcenie

\[ \Omega^k(U)\ni \omega \mapsto f^\ast\omega\in \Omega^k(V), \]

jest, podobnie jak przeciąganie form liniowych za pomocą odzworowań liniowych, przekształceniem liniowym z $ \Omega^k(U) $ w $ \Omega^k(V) $. Oto jego najważniejsze własności.

Stwierdzenie (#) Niech $ U\subset \R^n $, $ V\subset \R^m $ i $ W\subset \R^p $ będą zbiorami otwartymi, zaś $ f\colon V\to U $, $ g\colon W\to V $ - odwzorwaniami gładkimi.

  1. Dla $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ (f\circ g)^\ast\omega=g^\ast f^\ast\omega $.
  2. Dla $ \alpha\in \Omega^k(U) $, $ \beta\in \Omega^\ell(U) $ mamy
    \[ 	f^\ast(\alpha\wedge \beta)=(f^\ast\alpha) \wedge (f^\ast\beta)\in \Omega^{k+\ell} (V). 	\]
  3. Jeśli współrzędnymi w $ \R^n $ i $ \R^m $ są, odpowiednio, $ \yy=(y_1,\ldots,y_n) $ i $ \xx=(x_1,\ldots,x_m) $, zaś $ \omega={\bigi b J}{\dyj yJ}\in \Omega^k(U) $, gdzie $ J\in \mathcal{J}_k(n) $ i $ {\bigi b J}\in C^\infty(U) $ są dane, to wówczas
    \[ \begin{equation} 	f^\ast\omega=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} ({\bigi b J}\circ f)\, \det\left(\pcz{{\bigi f J}}{{\bigi x I}}\right) \; {\dyj xI}  	\label{pull dyJ}, \end{equation} \]

    gdzie symbol

    \[ \pcz{{\bigi f J}}{{\bigi x I}} = \left(\pcz{f_{j_\nu}}{x_{i_\mu}}\right)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\, , \qquad I=(i_1,\ldots,i_k),\ J=(j_1,\ldots,j_k) \]

    oznacza macierz $ k\times k $, powstającą z macierzy Jacobiego $ Df $ przez wybór wierszy onumerach $ j_{\nu}\in J $ i kolumn o numerach $ i_\mu\in I $.

Dowód: Punkty (i)oraz(ii) otrzymujemy, podobnie jak odpowiadające im części Stwierdzenia [link], wprost z definicji. Wzór pull dyJ wynika od razu ze wzoru linpull dyJ wStwierdzeniu [link] i Definicji [link]. Zachęcamy Czytelnika do samodzielnego przemyślenia tych zdań i(mechanicznego, w gruncie rzeczy) wypisania odpowiednich wzorów. □

Przykład

    {{\rm (\alph{enumi})}}

  1. Niech $ \omega\in \Omega^1(U) $, $ U\subset \R^n $. Wówczas, zgodnie z podanym wcześniej opisem bazy w przestrzeni $ \Lambda^1(\R^n)^\ast $ $ 1 $-form antysymetrycznych,
    \[ 	\omega = \sum_{j=1}^n \omega_j\, dx_j, \qquad\mbox{gdzie } \omega_j\in C^\infty(\Omega). 	\]

    Zastosujmy wzór pull dyJ do formy $ \omega $ i funkcji gładkiej $ f\colon [0,1]\to U\subset \R^n $ (parametryzacji pewnej krzywej w $ U $). Oznaczając zmienną na odcinku $ [0,1] $ literą $ t $, otrzymamy

    \[ \begin{eqnarray*} 	f^\ast\omega &= & \sum_{j=1}^n f^\ast(\omega_j\, dx_j) \qquad\mbox{wobec liniowości  $\omega\mapsto f^\ast\omega$}\\ &\stackrel{\eqref{pull dyJ}}=&\sum_{j=1}^n \big(\omega_j\circ f\big) \; \frac{df_j}{dt}\; dt\, . \end{eqnarray*} \]

    Proszę porównać ten wynik z definicją całki z $ 1 $-formy.

  2. Niech $ U=\R^2\setminus \{\zero\} $, $ V=(0,\infty)\times\R $, zaś $ f\colon V\to U $ niech będzie dane wzorem
    \[ f(r,\theta)=(r\cos \theta,r\sin\theta). \]

    Inaczej mówiąc, $ x=f_1(r,\theta)=r\cos\theta $ i $ y=f_2(r,\theta)=r\sin\theta $ to zwykłe współrzędne kartezjańskie wyrażone za pomocą współrzędnych biegunowych $ (r,\theta)\in V $. Wzór pull dyJ daje w tym przypadku

    \[ \begin{align*} 	f^\ast(dx) & = \pcz{f_1}{r}\, dr + \pcz{f_1}{\theta}\, d\theta =\cos\theta\; dr -r\sin\theta 	\; d\theta\\ 	f^\ast(dy) & = \pcz{f_2}{r}\, dr + \pcz{f_2}{\theta}\, d\theta =\sin\theta\; dr +r\cos\theta 	\; d\theta\, . \end{align*} \]

    Stosując Stwierdzenie [link](ii), otrzymujemy po nieskomplikowanym rachunku, wykorzystując zależności $ dr\wedge dr=0=d\theta\wedge d\theta $, $ dr\wedge d\theta=-d\theta\wedge dr $, wynik

    \[ f^\ast(dx\wedge dy) = f^\ast(dx)\wedge f^\ast(dy)=r\; dr\wedge d\theta. \]

    Zauważmy, że to po prostu inny sposób wyrażenia zależności $ \det Df(r,\theta)=r $. □

Definicja [różniczka zewnętrzna] Operator

\[ 	d\colon \Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U)\, , 	\]

określony wzorem

\[ \begin{equation} 	\label{d abstr} 	\begin{split} 	d\omega(\xx;\bxi_0,\bxi_1,\ldots,\bxi_k)&:=\sum_{i=0}^k(-1)^i\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0}{\omega}(\xx+s\bxi_i,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_k)\\	 	&=\sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{\omega}{x_\nu}(\xx,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_k), \end{split} \end{equation} \]

gdzie $ \xx\in \Omega $, $ \bxi_0,\ldots,\bxi_k\in \R^n $ oraz $ \bxi_i=(\bxi_{i,\nu})_{\nu=1,\ldots,n} $, nazywa się różniczką zewnętrzną.

Przykład Niech $ k=0 $; każda $ 0 $-forma różniczkowa $ f\in \Omega^0(U) $ to po prostu funkcja gładka $ f\colon U\to \R $. W tym przypadku wzór na różniczkę zewnętrzną oznacza, że

\[ 	(df)_{\mxx}(\bxi)=df(\xx;\bxi) = \sum_{\nu=1}^n \bxi_{\nu}\pcz{f}{x_\nu}(\xx) = Df(\xx)\bxi. 	\]

Różniczka zewnętrzna formy $ f\in \Omega^0(U) $ przyporządkowuje więc punktowi $ \xx\in U $ przekształcenie liniowe $ (df)_{\mxx}=Df(\xx)\in \Lambda^1(\R^n)^\ast=(\R^n)^\ast $, które dobrze znamy: zwykłą różniczkę funkcji $ f $ w punkcie $ \xx $. Stosuje się często zapis

\[ df=\sum_{j=1}^n \pcz{f}{x_j}\; dx_j\, . \]

Podstawiając $ f(\xx)=x_j $, odnajdzie Czytelnik jedno z możliwych wyjaśnień, dlaczego rzut na $ j $-tą oś oznaczaliśmy w poprzednim podrozdziale symbolem $ dx_j $. □

Twierdzenie [własności różniczki zewnętrznej] Niech $ U $ będzie zbiorem otwartym w $ \R^n $. Operator $ d\colon \Omega^k(U)\to \Omega^{k+1}(U) $ jest liniowy. Ponadto:(#)

  1. Jeśli $ \omega=a_J\, dx_J, $ gdzie $ a_J\in C^\infty(U) $ i $ J\in\mathcal{J}_k(n) $, to wówczas
    \[ \begin{equation} 			\label{d wspolrz} 			d\omega=\sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}\; dx_\nu\wedge dx_J= da_J\wedge dx_J\, ; 	\end{equation} \]
  2. Dla $ \alpha\in \Omega^k(U) $ oraz $ \beta\in \Omega^\ell(U) $ mamy
    \[ \begin{equation} 	\label{d wedge} 	d(\alpha\wedge\beta)=(d\alpha)\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge d\beta\, ; \end{equation} \]
  3. Dla każdej formy $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest $ d(d\omega)=0\, ; $
  4. Dla każdego $ f\in C^\infty(V,U) $, gdzie $ V\subset \R^m $ jest otwarty, mamy $ d(f^\ast\omega)=f^\ast(d\omega). $
Dowód: Liniowość różniczki zewnętrznej jest oczywista. Najpierw udowodnimy punkt (i). Niech $ \omega=a_J\, dx_J $. Z definicji,

\[ \begin{align*} 	d\omega(\xx;\bxi_0,\bxi_1,\ldots,\bxi_k) &=\sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{\omega}{x_\nu}(\xx,\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\\ 	& = \sum_{i=0}^k\sum_{\nu=1}^n (-1)^i\bxi_{i,\nu}\pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\, dx_J\, (\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\\ 	& = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\; 	%\textcolor{blue} 	{\biggl(\sum_{i=0}^k (-1)^i\bxi_{i,\nu} \, dx_J\, (\bxi_0,\ldots,\bxi_{i-1},\bxi_{i+1},\bxi_k)\biggr)}\\ 	& = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a_J}{x_\nu}(\xx)\, \cdot\,  %\textcolor{blue} 	{(dx_\nu\wedge dx_J)\big(\bxi_0,\ldots,\bxi_k\big)}\, .	 \end{align*} \]

Pisząc ostatnią równość, skorzystaliśmy z definicji iloczynu zewnętrznego form liniowych $ dx_\nu\in \Lambda^1(\R^n)^\ast $ oraz $ dx_J\in \Lambda^k(\R^n)^\ast $.

Własność (ii), dzięki liniowości $ d $, wystarczy wykazać dla $ \alpha=a\, {\dyj xI} $ i $ \beta=b\, dx_J $, gdzie $ a,b\in C^\infty(U) $ są funkcjami gładkimi, $ I\in \mathcal{J}_k(n) $, $ J\in\mathcal{J}_\ell(n) $. Ze wzoru na pochodną iloczynu oraz punktu (i) otrzymujemy

\[ \begin{align*} d(\alpha\wedge\beta) &=d\big(ab\; {\dyj xI}\wedge dx_J\big)=\sum_{\nu=1}^n \pcz{(ab)}{x_\nu} dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J\\ & = \sum_{\nu=1}^n \pcz{a}{x_\nu}\, b\;  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J + \sum_{\nu=1}^n \pcz{b}{x_\nu}\, a\;  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\wedge dx_J\\ & = \biggr(\sum_{\nu=1}^n \pcz{a}{x_\nu}\,  dx_\nu\wedge {\dyj xI}\biggl) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge\biggl(\sum_{\nu=1}^n \pcz{b}{x_\nu}\;  dx_\nu \wedge dx_J\biggr)\\ & = (d\alpha)\wedge\beta + (-1)^k\alpha\wedge (d\beta) \end{align*} \]

Ostatnia równość wynika ze wzoru d wspolrz, zaś w przedostatniej znak $ (-1)^k $ pojawia się dlatego, że $ I\in \mathcal{J}_k(n) $: wtedy

$$dx_\nu\wedge {\dyj xI}=dx_\nu\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots \wedge dx_{i_k}=(-1)^k  dx_{i_1}\wedge\ldots \wedge dx_{i_k} \wedge dx_\nu = (-1)^k{\dyj xI}\wedge dx_\nu\, ,$$

patrz Lemat [link](i).

Udowodnimy teraz własność (iii), tzn. równość $ d\circ d=0 $. Dla $ 0 $-form, tj. funkcji $ f\in C^\infty (U) $, otrzymujemy dzięki twierdzeniu Schwarza o symetrii $ D^2 f $ równość

\[ \begin{align*} 	d(df)  = d\biggl(\sum_{\nu=1}^n\pcz{f}{x_\nu}\, dx_\nu\biggr) &= \sum_{\mu,\nu=1}^n \pcz{}{x_\mu}\left(\pcz{f}{x_\nu}\right) dx_\mu\wedge dx_\nu\\ &=\sum_{1\le \mu<\nu\le n} \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_\mu\, \partial x_\nu}-\frac{\partial^2f }{\partial x_\nu\, \partial x_\mu}\right)\, dx_\mu\wedge dx_\nu = 0\, .	 \end{align*} \]

Z definicji, $ d(dx_J)=0 $ dla każdego $ J\in \mathcal{J}_k(n) $, więc dla $ \omega=a\, dx_J\in \Omega^k(U) $, gdzie $ a\in C^\infty(U) $ jest dowolną funkcją, otrzymujemy dzięki udowodnionym już własnościom(i) oraz(ii)

\[ d(d\omega)= d\big(da \wedge dx_J) = d(da)\wedge dx_J + 0 = d(da)=0\, . \]

Stąd już wynika, że $ d\circ d=0 $ na $ \Omega^k(U) $.

Pozostaje wykazać (iv). Niech $ f=(f_1,\ldots,f_n) $, gdzie $ f_i\colon V\to \R $ są klasy $ C^\infty(V) $. Jeśli $ \omega\in \Omega^0(U)=C^\infty(U) $ jest $ 0 $-formą, czyli funkcją gładką, to $ f^\ast\omega= \omega\circ f $. Wzór

\[ \begin{equation} 	f^\ast(d\omega)=d(f^\ast\omega) \label{pull d 0}	 \end{equation} \]

wynika wtedy od razu ze wzoru na różniczkę złożenia. Dla $ \omega(\yy)=y_j $ otrzymujemy stąd w szczególności \begin{equation*} (#) f^\ast(dy_j)=df_j, \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation*} a następnie, korzystając ze Stwierdzenia [link](ii), \begin{equation*} (#) d(f^\ast {\dyj yJ}) = df_{j_1}\wedge\ldots \wedge df_{j_k}\qquad\mbox{dla wszystkich zestawów $ J\in \mathcal{J}_k(n) $.} \end{equation*} Z tej równości, stosując własność (ii) i równość $ d\circ d=0 $, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{d fgw dy} 	d\big(f^\ast({\dyj yJ})\big)=0 \qquad\mbox{dla wszystkich zestawów $J\in \mathcal{J}_k(n)$.} \end{equation} \]

Niech teraz $ \omega=\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)} {\bigi \omega J}\; {\dyj yJ} $, gdzie współczynniki $ {\bigi \omega J}\in C^\infty(U) $ są funkcjami. Zachodzą wtedy równości

\[ \begin{eqnarray*} d(f^\ast\omega) &\stackrel{\text{Stw.\ref{pullback2}(ii)}}= & d\bigg(\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}(f^\ast {\bigi \omega J}) f^\ast({\dyj yJ})\bigg)\\ & \stackrel{\eqref{d wedge}, \ \eqref{d  fgw dy}}=& \sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}d(f^\ast {\bigi \omega J}) \wedge f^\ast({\dyj yJ}) \\ & \stackrel{\eqref{pull d 0}}=& \sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}f^\ast (d{\bigi \omega J}) \wedge f^\ast({\dyj yJ})	\\ & \stackrel{\text{Stw.\ref{pullback2}(ii)}}=& f^\ast\bigg(\sum_{J\in\mathcal{J}_k(n)}(d{\bigi \omega J}) \wedge {\dyj yJ}\bigg)\ \stackrel{\eqref{d wspolrz}}=\ f^\ast(d\omega)\, .	 \end{eqnarray*} \]

Dowód całego twierdzenia jest zakończony. □

Definicja Mówimy, że forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest zamknięta, jeśli $ d\omega=0 $. Mówimy, że forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest dokładna, jeśli $ \omega=d\eta $ dla pewnego $ \eta\in \Omega^{k-1}(U) $.

Przy użyciu tego języka część własności różniczki zewnętrznej, opisanych w ostatnim twierdzeniu wypowiada się krótko:

Stwierdzenie Każda forma dokładna $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest zamknięta. Ponadto, jeśli $ f\colon \R^m\supset V\to U\subset \R^n $ jest klasy $ C^\infty $, a forma $ \omega\in \Omega^{k}(U) $ jest zamknięta (odpowiednio: dokładna), to forma $ f^\ast\omega\in \Omega^k(V) $ też jest zamknięta (odpowiednio: dokładna).
Dowód: Pierwsza część wynika z równości $ d\circ d=0 $, a druga z przemienności przeciągania form i różniczkowania zewnętrznego. □

Formy różniczkowe w $ \R^3 $

(#)

\def\rot{\text{\,\textrm{rot}\,}} \def\dyw{\text{\,\textrm{div}\,}}

O formach różniczkowych w $ \R^3 $ mówi się często, używając nieco innego (choć też dość formalnego) języka. Otóż, wobec wzoru dim lambda k, przestrzenie $ \Lambda^1(\R^3)^\ast $ i $ \Lambda^2(\R^3)^\ast $ mają wymiar równy $ \binom 31=\binom 32=3 $, a więc każda z nich jest izomorficzna z $ \R^3 $. Dlatego dla obszarów $ U\subset \R^3 $ istnieją izomorfizmy liniowe

\[ \begin{gather*} I_k\colon C^\infty(U,\R^3)\to\Omega^k(U)= C^\infty\big(U,\Lambda^{k}(\R^3)^\ast\big)\, , \qquad k=1,2. \end{gather*} \]

Innymi słowy, zarówno $ 1 $-formy, jak i $ 2 $-formy różniczkowe w $ \R^3 $ można utożsamiać z funkcjami gładkimi o wartościach w $ \R^3 $, a więc z polami wektorowymi. Polu wektorowemu $ \vv=(f,g,h)\colon U\to \R^3 $ odpowiednie izomorfizmy - zależne od wyboru baz w przestrzeniach 1-form i2-form antysymetrycznych - przypisują następujące formy różniczkowe:

\[ \begin{equation} 	\label{izo 1} \vv=(f,g,h)\longmapsto I_1(\vv) :=	\alpha_{\mvv}= f\, dx+ g\, dy + h\, dz \end{equation} \]

oraz

\[ \begin{equation} 	\label{izo 2} \vv=(f,g,h)\longmapsto	I_2(\vv):=\beta_{\mvv}= f\, dy\wedge dz + g\, dz\wedge dx + h\, dx\wedge dy\, . \end{equation} \]

Zgodnie ze wzorem na różniczkę zewnętrzną,

\[ d\alpha_{\mvv}= (h_y-g_z)\, dy\wedge dz+(f_z-h_x)\, dz\wedge dx + (g_x-f_y)\, dx\wedge dy\, . \]

Zauważmy, że

\[ d\alpha_{\mvv}= I_2(\ww), \qquad\mbox{gdzie}\qquad  \ww=(h_y-g_z,f_z-h_x,g_x-f_y)\in C^\infty(U,\R^3) \]

Pole wektorowe $ \ww=(h_y-g_z,f_z-h_x,g_x-f_y) $ nazywa się rotacją pola $ \vv=(f,g,h) $. Pisze się czasem

\[ \rot \vv =  \begin{pmatrix} h_y-g_z \\ f_z-h_x \\g_x-f_y \end{pmatrix} = \wektorek{\partial/\partial x}{{\partial/\partial y}} {\partial/\partial z} \times \wektorek fgh = \nabla \times \vv, \]

postępując z symbolem $ \nabla=({\partial/\partial x},{{\partial/\partial y}} ,{\partial/\partial z}) $ tak, jakby chodziło o wektor.

W podobnej konwencji,

\[ d\beta_{\mvv}= (f_x+g_y+h_z)\, dx\wedge dy \wedge dz = \langle \nabla,  \vv\rangle\, dx\wedge dy \wedge dz\, , \]

gdzie tym razem napis $  \langle \nabla, \vv\rangle $ oznacza formalnie rozumiany iloczyn skalarny ``wektora'' $ \nabla $ i wektora$ \vv $. Funkcję $ f_x+g_y+h_z=\langle\nabla,\vv\rangle $ nazywa się dywergencją pola wektorowego $ \vv=(f,g,h) $; piszemy

\[ \dyw \vv := f_x+g_y+h_z \qquad\mbox{dla}\quad \vv=(f,g,h)\colon U\to \R^3. \]

Mamy więc, dla funkcji $ F\in C^\infty(U) $ oraz pól wektorowych $ \vv\in C^\infty(U,\R^3) $, następujące utożsamienia:

\[ \begin{gather*} dF= \alpha_{\text{grad}\, F}=I_1(\text{grad}\, F)\, ,\\ d(I_1(\vv))=d\alpha_{\mvv}=\beta_{\rot \mvv}=I_2(\rot\vv)\, ,\\ d(I_2(\vv))=d\beta_{\mvv} = (\dyw \vv)\, dx\wedge dy \wedge dz\, . \end{gather*} \]

Inaczej mówiąc, w wymiarze 3 izomorfizmy $ I_k $, $ k=1,2 $, pozwalają utożsamić różniczkę zewnętrzną na formach stopnia 0, 1 i 2 odpowiednio z gradientem, rotacją i dywergencją. Własność $ d^2=0 $, wykazana w Twierdzeniu [link], oznacza, że

\[ \rot\big(\, \text{grad}\, F\big) = 0, \qquad \dyw\big(\rot \vv\big)=0 \]

dla wszystkich $ F\in C^\infty(U) $ i $ \vv\in C^\infty(U,\R^3) $.

Definicja Operator różniczkowy

\[ 	C^2(U)\ni f\mapsto \Delta f= f_{xx}+f_{yy}+f_{zz} = \dyw(\,\text{grad} f) 	\]

nazywa się laplasjanem.

Uwaga Ogólniej, dla obszarów $ U\subset \R^n $, gdzie $ n\ge 2 $, dywergencję pola wektorowego $ \vv=(v_1,\ldots, v_n)\in C^1(U,\R^n) $ i laplasjan funkcji $ f\in C^2(U) $ określa się wzorami

\[ \begin{align} \dyw \vv & = \sum_{i=1}^n \pcz {v_i}{x_i},\\ \Delta f & = \dyw(\grad f) = \sum_{i=1}^{n} f_{x_ix_i}\, . \end{align} \]

Jak Czytelnik będzie miał szansę przekonać się podczas dalszych studiów, laplasjan pojawia się w wielu równaniach fizyki matematycznej, a także w pewnych zagadnieniach geometrii i rachunku prawdopodobieństwa.