Formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa

Dalekosiężnym celem tego rozdziału będzie sformułowanie i udowodnienie wielowymiarowych odpowiedników wzoru Newtona-Leibniza $ \int_a^b f'(t)\, dt=f(b)-f(a) $. Zostały one odkryte w pierwszej połowie XIX wieku i odegrały fundamentalną rolę w fizyce matematycznej, m.in. w matematycznej teorii pola elektromagnetycznego. (Osobom zainteresowanym historią polecam tekst Victora J. Katza, The History of Stokes' Theorem), Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (1979), str. 146-156. Bez tych wzorów - twierdzenia Greena, twierdzenia Gaussa o dywergencji i twierdzenia Stokesa - nie mogłaby się obyć ani teoria równań różniczkowych cząstkowych i jej zastosowania w fizyce, ani geometria różniczkowa, ani wiele innych działów współczesnej matematyki.

Z pewnego dystansu widać, że w tej partii materiału ceną za względną prostotę sformułowań twierdzeń i ich dowodów jest skomplikowany formalizm. Nie będziemy go od razu wprowadzać w pełnej ogólności; zaczniemy od sytuacji prostej.

Pisząc ten rozdział, korzystałem m.in. z notatek prof. Dietmara Salamona z Politechniki w Zurychu z wykładów o formach różniczkowych, prowadzonych w 2009 roku. Oryginał w języku niemieckim można znaleźć w sieci.