Formy rzędu 1 i twierdzenie Greena

Definicja [forma różniczkowa rzędu 1] Niech $ U\subset\R^n $ będzie zbiorem otwartym i niech $ f_1,f_2\ldots,f_n\in C^k(U) $, gdzie $ k\ge 1 $. Wyrażenie

\[ \begin{equation} 	\label{1forma} 	\omega=f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n \end{equation} \]

nazywamy formą różniczkową rzędu 1 i klasy $ C^k $, albo krótko 1-formą na zbiorze $ U $.

Definicja [krzywa zorientowana] Rozmaitość jednowymiarową $ M=M^1\subset \R^n $ klasy $ C^1 $ z ustalonym ciągłym polem niezerowych wektorów stycznych $ \vv(\pp) $, $ \pp\in M $, będziemy nazywać krzywą zorientowaną\/.

Jeśli $ \gamma\colon \R\supset I\to M\subset \R^n $ jest parametryzacją $ M $, to dla każdego $ t\in I $ wektor $ \gamma'(t) $ jest styczny do $ M $ w punkcie $ \pp=\gamma(t) $. Są dwie możliwości: albo wektor $ \gamma'(t) $ ma dla każdego $ t\in I $ taki sam zwrot, jak wektor $ \vv(\gamma(t)) $, określający orientację $ M $, albo ma zawsze zwrot przeciwny. (Wynika to stąd, że funkcja ciągła $ t\mapsto \big\langle\gamma'(t),\vv(\gamma(t))\big\rangle $ nie znika w żadnym puncie $ t\in I $.) W pierwszym przypadku będziemy mówić, że parametryzacja $ \gamma $ jest zgodna z orientacją $ M $.

Definicja [całka z $ 1 $-formy wzdłuż krzywej zorientowanej] Niech $ M $ będzie krzywą zorientowaną skończonej długości, zawartą w zbiorze otwartym $ U\subset \R^n $, zaś $ \gamma\colon \R\supset I=(a,b)\to M $ - parametryzacją zgodną z orientacją $ M $. Jeśli $ \omega=f_1\, dx_1+\cdots+f_n\, dx_n $ jest formą klasy $ C^1 $ na $ U $, to piszemy

\[ \begin{equation} 		\label{defcalkiz1formy} 		\int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j(\gamma(t))\, \gamma_j'(t)\, dt\,  . \end{equation} \]

Definicją można operować mnemotechnicznie: jeśli $ \xx=(x_1,\ldots,x_n)=\gamma(t)\in M $, to $ x_j=\gamma_j(t) $, `więc' $ dx_j=\gamma_j'(t)\, dt $. Podobnego formalizmu używaliśmy, całkując przez podstawienie funkcje jednej zmiennej.

Przytoczona definicja ma sens tylko dla krzywych spójnych. Formy różniczkowe rzędu 1 można całkować także po krzywych niespójnych (dodając całki po składowych spójności takiej krzywej).

Stwierdzenie [poprawność definicji] Wartość całki

\[ 	\int_M \big(f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n\big) 	\]

nie zależy od wyboru parametryzacji $ \gamma\colon I\to M $, zgodnej z orientacją.

Dowód: Załóżmy, że $ \gamma\colon (a,b)\to M $ i $ \eta\colon (c,d)\to M $ są dwiema parametryzacjami $ M $ zgodnymi z orientacją. Przekształcenie $ \psi=\eta^{-1}\circ\gamma $ jest wówczas, na mocy Lematu [link] ofunkcjach przejścia, dyfeomorfizmem odcinka $ (a,b) $ na $  (c,d) $. Mamy $ \eta\circ\psi = \gamma $, stąd zaś

\[ \eta'(\psi(t))\cdot \psi'(t) = \gamma'(t), \qquad t\in (a,b). \]

Ponieważ $ \gamma,\eta $ są zgodne z orientacją $ M $, więc wektory $ \eta'(\psi(t)) $ i $ \gamma'(t) $ mają ten sam zwrot. Zatem $ \psi'(t)>0 $ dla każdego $ t $, co oznacza, że $ \psi $ jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia o zamianie zmiennych, używając podstawienia

\[ (c,d)\ni s=\psi (t), \qquad t\in (a,b), \]

otrzymujemy

\[ \begin{align*} \sum_{j=1}^n\int_c^d f_j(\eta (s))\, \eta_j'(s)\, ds &=\sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\eta (\psi(t))\big) \, \eta_j'(\psi(t))\, \psi'(t)\, dt\\ & = \sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt\, . \end{align*} \]

Wartość prawej strony wzoru defcalkiz1formy nie zależy więc od wyboru parametryzacji. □

Uwaga Gdy zmienimy orientację $ M $ na przeciwną, to liczba $ \int_M\omega $ zmieni znak.□

    Interpretacja fizyczna całki z 1-formy. Definicja 1-formy wydaje się, na pierwszy rzut oka, sztuczna; nie wiadomo, czym (tzn. jakimi obiektami matematycznymi) są symbole $ dx_j $. Jednak całka z formy $ \sum f_i\, dx_i $ ma naturalną interpretację fizyczną. Jeśli mianowicie przyjmiemy, że $ f=(f_1,\ldots, f_n) $ jest polem wektorowym w obszarze $ U $, np. pewnym polem sił, to całka $ \int_M \omega $ z formy $ \omega=\sum f_i\, dx_i $ jest pracą sił pola wzdłuż krzywej $ \gamma $. Istotnie,

\[ \sum_{j=1}^n f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)= \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \|\gamma'(t)\| \]

i dlatego

\[ \int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt = \int_a^b \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \underbrace{\|\gamma'(t)\|\, dt}_{d\sigma_1} = \int_M \langle f, \ww \rangle\, d\sigma_1\, , \]

Naturalna orientacja brzegu obszaru w$ \R^2 $: jedna z baz powstaje z drugiej przez obrót.

     gdzie $ \ww=\gamma'/\|\gamma'\| $ jest jednostkowym wektorem stycznym do krzywej. Liczba $ \langle f, \ww \rangle $ jest długością składowej wektora $ f $, stycznej do $ M $; to właśnie ta składowa wykonuje pracę wzdłuż krzywej.

Definicja Mówimy, że $ \Omega\subset \R^n $ jest obszarem z brzegiem klasy $ C^k $, jeśli $ \Omega $ jest zbiorem otwartym spójnym, którego brzeg $ \partial \Omega $ jest rozmaitością zanurzoną klasy $ C^k $ w $ \R^n $.
Definicja Będziemy mówić, że brzeg obszaru $ \Omega\subset\R^2 $ ma naturalną orientację, jeśli dla każdego $ \pp\in\partial\Omega $ baza $ (\ww,\nu) $, gdzie $ \ww \in T_{\mpp}(\partial \Omega) $ wyznacza orientację brzegu, a $ \nu $ jest wektorem normalnym wewnętrznym w $ \pp $, wyznacza tę samą orientację $ \R^2 $, co standardowa baza $ (\ee_1,\ee_2) $. (Oto prosta, mnemotechniczna reguła: brzeg obszaru jest zorientowany naturalnie, gdy idąc wzdłuż niego we wskazanym przez orientację kierunku, mamy punkty obszaru z lewej strony.)
Twierdzenie [G. Green (George Green, matematyk brytyjski, żył na przełomie XVIII i XIX wieku. W 1828 r. wydał słynną pracę An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.\/)] Załóżmy, że $ \Omega\subset \R^2 $ jest obszarem ograniczonym z brzegiem klasy $ C^1 $. Niech $ f,g\in C^1(U) $, gdzie $ U\subset \R^2 $ jest otwarty i $ \overline \Omega\subset U $. Wreszcie, niech brzeg $ \partial \Omega $ zbioru $ \Omega $ ma naturalną orientację. Wówczas

\[ \begin{eqnarray} 	\int_{\partial\Omega} g\, dy = \int_\Omega \pcz gx \;\label{green-g} d\lambda_2\, , \label{Green g}\\  -\int_{\partial\Omega} f\, dx = \int_\Omega \pcz fy \;\label{green-f} d\lambda_2\, . \label{Green f} \end{eqnarray} \]

    Dowód w przypadku szczególnym. Załóżmy najpierw, dla uproszczenia, że dla pewnych przedziałów $ (a,b),\; (c,d)\subset \R $ i funkcji $ \varphi,\psi\colon (a,b)\to \R $ oraz $ \eta,\zeta\colon (c,d)\to \R $ jest

\[ \begin{align*} \Omega &=\{(x,y)\in \R^2 \colon\; x\in (a,b),\quad \varphi(x)<y<\psi(x)\} \\&= \{(x,y)\in \R^2 \colon\; y\in (c,d),\quad \eta(y)< x<\zeta(y)\}\, , \end{align*} \]

tzn. że brzeg $ \Omega $ jest sumą dwóch wykresów funkcji (różniczkowalnych), niezależnie od tego, wzdłuż której osi układu współrzędnych patrzymy. (Tak jest np. dla obszarów wypukłych, ale nie tylko.) Wówczas, na mocy twierdzenia Fubiniego i wzoru Newtona-Leibniza, \begin{align} \int_\Omega \pcz gx \; d\lambda_2 = \int_c^d\biggl(\int_{\eta(y)}^{\zeta(y)} \pcz gx(x,y) \;dx\biggr)\; dy = \int_c^d \Big( g(\zeta(y),y)-g(\eta(y),y) \Big)\; dy\, . (#) \end{align} Niech $ M_1 $ oznacza część $ \partial\Omega $, będącą wykresem $ \zeta $. Parametryzacja \( (c,d)\ni y\mapsto \gamma(y) = (\zeta(y),y) \) krzywej $ M_1 $ jest zgodna z orientacją; dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{calkaM1} 	\int_{c}^d g(\zeta(y),y)\; dy = \int_{M_1} g\; dy\, , \end{equation} \]

gdyż druga współrzędna parametryzacji ma pochodną 1. Reszta brzegu, $ M_2=\partial\Omega\setminus \overline{M_1} $, ma parametryzację

\[ (c,d)\ni y\longmapsto (\eta(y),y)\, , \]

która wyznacza orientację przeciwną do naturalnej orientacji $ M_2 $. Dlatego

\[ \begin{equation} 	\label{calkaM2} 	-\int_c^d g(\eta(y),y) \; dy = \int_{M_2} g\; dy\, . \end{equation} \]

Dodając calkaM1 do calkaM2, otrzymujemy z calka-dg pierwszą część tezy twierdzenia Greena.

Podobnie, biorąc $  M_3=\{(x,y)\in \partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\varphi(x)\} $ oraz $ M_4= \{(x,y)\in\partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\psi(x)\} $ (z naturalną orientacją brzegu $ \partial\Omega<img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/e91575b2a09f7181e2768fba24bea1000713b254.png" alt="77e654e0fd479978f3452042e9ed0b11:40:" />Q_1,\ldots Q_N $ pokrywa domknięcie $ \overline\Omega $ obszaru $ \Omega\subset\R^2 $. Istnieją wówczas funkcje nieujemne $ \psi_l\in C_0^\infty(Q_l) $ takie, że $ \sum_{l=1}^N\psi_l\equiv 1 $ na pewnym zbiorze otwartym $ W $, zawierającym $ \overline\Omega $.

    Dowód twierdzenia Greena w przypadku ogólnym. Dla każdego punktu $ \pp\in \overline\Omega $ wybierzmy prostokąt otwarty $ Q_{\mpp} $ o środku w $ \pp $ tak, aby

  • $ \overline{Q}_{\mpp}\subset \Omega $ dla $ \pp\in \Omega $;
  • dla $ \pp\in \partial\Omega $ i $ Q_{\mpp}=(a,b)\times (c,d) $ zbiór $ \partial\Omega\cap Q_{\mpp} $ był wykresem funkcji $ y=\varphi(x) $, $ x\in (a,b) $, ew. funkcji $ x=\varphi(y) $, $ y\in (c,d) $.

Wobec zwartości $ \overline\Omega $, istnieje pokrycie $ \overline\Omega $, złożone z $ N $ takich prostokątów, $ Q_1,\ldots, Q_N $. Ponumerujmy je tak, aby $ Q_1,\ldots,Q_k $ stanowiły pokrycie brzegu, zaś $ Q_{k+1},\ldots, Q_N $ były (wraz z domknięciami) zawarte w $ \Omega $. Niech $ \psi_l $ będą funkcjami zLematu [link]. Wówczas $ \sum_l \pcz{\psi_l}y=0 $, a stąd \begin{align} (#) \int_\Omega \pcz fy\; d\lambda_2 & = \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \psi_l\pcz fy\; d\lambda_2= \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\\ & =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 + \sum_{l=k+1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\, .\nonumber \end{align} Aby sprawdzić ostatnią równość, zauważmy, że dla każdego $ l>k $ i prostokąta $ \overline{Q}_l=[a,b]\times[c,d]\subset \Omega $ funkcja $ \psi_lf $ znika na $ \partial Q_l $ (bo $ \psi_l $ znika na brzegu tego prostokąta!), a więc

\[ \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2=\int_{Q_l} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 = \int_a^{b}\bigg(\int_c^{d} \pcz {(\psi_l f)}y\, dy\bigg) \; dx = 0\, . \]

Teraz obliczymy każdą z całek w sumie po prawej stronie wzoru rozbiciedg, rozważając kilka przypadków. Dla prostoty, ustalimy indeks $ l $ i będziemy często pisać $ F=\psi_l f $, $ Q=Q_l $.

Prostokąt $ Q_i $ odpowiada $ i $-temu z rozpatrywanych przypadków.

    Przypadek 1. Niech

\[ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon c< y<\varphi(x), x\in (a,b)\}. \]

Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ x\in (a,b),y=c $. Zatem

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2&=\int_a^{b}\bigg(\int_b^{\varphi(x)}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx\\&= \int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx\\& = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx. \end{align*} \]

Ostatnią równość zachodzi na mocy definicji całki z1-formy. Zauważmy, że w tym przypadku fragment $ \partial\Omega\cap Q_l $ jest zorientowany przeciwnie do kierunku osi $ x $.

    Przypadek 2. Załóżmy, że $ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon \varphi(x)< y<d, x\in (a,b)\} $. Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ x\in (a,b),y=d $. Zatem

\[ \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2=\int_a^{b}\bigg(\int_{\varphi(x)}^{d}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx= -\int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx. \]

(Tym razem orientacja $ \partial\Omega\cap Q_l $ jest zgodna z kierunkiem osi $ x $.)

W tych dwóch przypadkach postąpiliśmy w istocie tak samo, jak wcześniej dla obszarów szczególnej postaci. Dodatkowego chwytu wymagają pozostałe przypadki.

    Przypadek 3. Załóżmy, że $ \Omega\cap Q=\{(x,y)\colon  y\in (c,d), a<x<\varphi(y)\} $. Wtedy $ F=\psi_l f $ znika dla $ y\in (c,d),x=a $. Bez zmniejszenia ogólności, (gładko) przedłużając $ F $ zerem, zakładamy, że $ F $ jest określona dla wszystkich $ x<\varphi(y) $. Piszemy, dokonując przy ustalonym $ y $ zamiany zmiennych $ x=t+\varphi(y) $,

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y(x,y)\; d\lambda_2(x,y) & = \int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fy (x,y)\; dx\biggr)	\; dy\\ &=\int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\;\biggr) dy=:I\, . \end{align*} \]

Oznaczmy $ \Phi(t,y)=F(t+\varphi(y),y) $ dla $ t\le 0 $ i $ y\in [c,d] $. Mamy wówczas

\[ \pcz\Phi y (t,y)=\pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)+\pcz Fy (t+\varphi(y),y). \]

Zauważmy ponadto, że $ \Phi $ znika na dwóch półprostych $ t\le 0 $, $ y\in \{c,d\} $. Dlatego

\[ \int_c^d \frac {\partial\Phi}{\partial y}(t,y)\, dy=0\quad \mbox{dla $t\le 0$,} \qquad \int_{-\infty}^0\int_{b}^{d} \pcz\Phi y (t,y)\; dy\; dt= 0, \]

stąd zaś (i z twierdzenia Fubiniego) po ponownej, odwrotnej zamianie zmiennych (Pierwszą z wykonanych w tym przypadku zamian zmiennych nazywa się czasem prostowaniem brzegu): zauważmy, że dla $ t=x-\varphi(y) $ zbiór opisany równaniem $ x=\varphi(y) $ przeszedł na zbiór $ t=0 $. otrzymujemy

\[ \begin{align*} I &=\int_b^{d} \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\; dy =-\int_b^{d} \int_{-\infty}^0 \pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)\; dt\; dy \\ & = -\int_b^{d}\varphi'(y) \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fx(x,y)\; dx\; dy = -\int_{b}^{d} F(\varphi(y),y)\varphi'(y)\; dy = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\, dx, \end{align*} \]

gdyż na brzegu $ x=\varphi(y) $, a w tym przypadku naturalna orientacja brzegu jest zgodna z kierunkiem osi $ y $.

W ostatnim przypadku brzeg obszaru jest wykresem funkcji $ x=\varphi(y) $, obszar zaś leży `z prawej strony' tego wykresu. Postępując tak samo, jak w przypadku 3, otrzymujemy ostatecznie

\[ \begin{equation} 	\label{brzegokostki} 	\int_{Q_l\cap \Omega} \pcz{(\psi_l f)}y \;d\lambda_2=-\int_{\partial Q_l\cap \Omega} \psi_l f\; dx, \qquad l=1,\ldots, k, \end{equation} \]

niezależnie od przypadku. Sumując takie wzory i pamiętając o rozbiciedg, otrzymujemy równość green-f z tezy twierdzenia Greena, gdyż $ \sum_{l=1}^k \psi_k=1 $ na $ \partial\Omega $.

Dowód wzoru green-g jest taki sam. □

Wniosek Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem ograniczonym z brzegiem $ \partial \Omega $ klasy $ C^1 $. Wówczas

\[ 	\lambda_2(\Omega) = \frac 12 \int_{\partial\Omega} \big(x\, dy - y\, dx\big)= \int_{\partial\Omega} x\,dy = -\int_{\partial\Omega} y\,dx , 	\]

gdzie całki krzywoliniowe oblicza się, biorąc naturalną orientację brzegu.(#)

Dowód: Stosujemy twierdzenie Greena do $ f(x,y)=-y $ i $ g(x,y)=x $; wtedy $ \frac 12 (g_x-f_y)=-f_y=g_x=1 $. □

Przykład Obliczymy pole koła jednostkowego $ K $, posługując się Wnioskiem [link]. Parametryzacją brzegu koła (bez jednego punktu), dającą naturalną orientację brzegu, jest

\[ 	(0,2\pi)\ni t\longmapsto (\cos t, \sin t)\in\R^2\, , 	\]

zatem

\[ \frac 12 \int_{\partial K} x\, dy- y\, dx = \frac 12\int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t)\, dt = \pi. \]
Uwaga Wzory Greena zachodzi w istocie dla ogólniejszych klas obszarów, np. dla obszarów ograniczonych z brzegiem $ \partial \Omega $ kawałkami klasy $ C^1 $\/, tzn. takich, że $ \partial \Omega $ jest obrazem pewnej różnowartościowej funkcji ciągłej $ \gamma\colon [0,T]\to \R^2 $, $ \gamma(0)=\gamma(T) $, przy czym odcinek $ [0,T] $ jest sumą skończonej liczby odcinków $ I_j=[t_j,t_{j+1}] $ o rozłącznych wnętrzach i $ \gamma\big|_{I_j} $ jest klasy $ C^1 $ na $ I_j $, zaś $ \|\gamma'\|>0 $ na $ I_j $. W szczególności, można korzystać z twierdzenia Greena i Wniosku [link] dla wszystkich wielokątów na płaszczyźnie.

\subsection*{Kiedy pole wektorowe jest gradientem funkcji?}

Opiszemy jeszcze związek wzoru Greena z następującym naturalnym pytaniem: Dane są dwie funkcje $ f,g\in C^1(\Omega) $, gdzie $ \Omega $ jest obszarem w $ \R^2 $; kiedy istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ \text{\rm grad}\, h=(f,g) $ w $ \Omega $? Równoważnie: kiedy pole wektorowe $ V=(f,g) $ klasy $ C^1 $ wobszarze $ \Omega\subset \R^2 $ jest gradientem pewnej funkcji klasy $ C^2 $?

Nietrudno zauważyć, jaki jest warunek konieczny istnienia takiej funkcji $ h $. Jeśli $ h\in C^2 $ i $ h_x=f $, $ h_y=g $ w $ \Omega $, to dzięki równości pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji $ h $ otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{fg konieczny} 	f_y=\big(h_x\big)_y=\big(h_y\big)_x=g_x\qquad\mbox{w $\Omega$.} \end{equation} \]

Wprowadźmy dodatkowy symbol: gdy $ A,B $ są dowolnymi zbiorami w $ \R^n $ i $ \overline A $ jest zwartym podzbiorem $ B $, to piszemy $ A\Subset B $. Załóżmy też milcząco, że odtąd wszystkie rozważane otwarte podzbiory $ U $ obszaru $ \Omega\subset \R^2 $ mają brzeg kawałkami klasy $ C^1 $. Dla dowolnego takiego zbioru $ U\Subset\Omega $ z warunku fg konieczny po zastosowaniu twierdzenia Greena otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{brzeg konieczny} 	\int_{\partial U} f\, dx + g\, dy = 0. \end{equation} \]

Na odwrót, jeśli brzeg konieczny zachodzi dla każdego $ U\Subset \Omega $, to wówczas $ f_y=g_x $ w $ \Omega $. Istotnie, wtedy

\[ 0=\int_{\partial K} f\, dx + g\, dy =\int_K (f_y-g_x)\; d\lambda_2 \qquad\mbox{dla każdego kwadratu $K\Subset \Omega$,} \]

stąd zaś wynika, że $ f_y-g_x\equiv 0 $ w $ \Omega $. (Proszę samodzielnie wykazać, że jeśli $ \int_K \varphi\; d\lambda_2=0 $ dla wszystkich kwadratów $ K\Subset\Omega $ i $ \varphi $ jest funkcją całkowalną, to $ \varphi =0 $ p.w.)

Okazuje się, że ten warunek można nieznacznie wzmocnić: jeśli $ (f,g)=\text{grad}\, h $, to całka z formy $ \omega = f\, dx+g\, dy $ znika dla każdej krzywej zamkniętej w $ \Omega $, nie tylko dla takiej, która jest brzegiem jakiegoś obszaru $ U\Subset\Omega $.

Stwierdzenie Niech $ f,g\in C^1(\Omega) $, gdzie $ \Omega $ jest obszarem w $ \R^2 $. Jeśli istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ h_x=f $, $ h_y=g $ w $ \Omega $, to dla dowolnej krzywej zamkniętej $ \gamma\subset \Omega $ kawałkami klasy $ C^1 $ jest

\[ \begin{equation} 	\label{calka zamknieta} 	\int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0\, . \end{equation} \]
Dowód: Oznaczmy $ \omega=f\, dx + g\, dy $. Jeśli $ \gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\colon [0,1]\to\Omega $ jest krzywą (kawałkami) klasy $ C^1 $, a ponadto $ f=h_x $ i $ g=h_y $ w $ \Omega $, to z definicji całki z 1-formy i wzoru na pochodną złożenia otrzymujemy

\[ \begin{align*} \int_{\gamma} \omega &=\int_0^1 \Big(f(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + g(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &=\int_0^1 \Big(h_x(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + h_y(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &= \int_0^1 \frac{d}{dt}\Big(h\circ\gamma(t)\Big)\; dt = h(\gamma(1))-h(\gamma(0)). \end{align*} \]

(Interpretacja geometryczna tej równości jest prosta: całkując wzdłuż krzywej iloczyn skalarny gradientu i jednostkowego wektora stycznego, tzn. pochodną funkcji w kierunku stycznym, otrzymujemy przyrost funkcji wzdłuż tej krzywej). Jeśli krzywa $ \gamma $ jest zamk\-nię\-ta, to $ \gamma(1)=\gamma(0) $, więc $ \int_\gamma \omega=0 $.□

Uwaga Czytelnik zechce zauważyć, że rachunek w ostatnim dowodzie nie wymaga założenia, że $ \gamma\colon [0,1]\to \Omega $ jest funkcją różnowartościową. Funkcje $ \gamma\colon [a,b]\to \Omega $, które są kawałkami klasy $ C^1 $, nazywa się czasem - nie wymagając ich różnowartościowości - drogami (w obszarze $ \Omega $) idefiniuje się całkę z 1-formy wzdłuż drogi (tak samo, jak zdefiniowaliśmy całkę wzdłuż krzywej zorientowanej). Tezę stwierdzenia można zatem wzmocnić: jeśli $ \text{grad}\, h=(f,g) $ w $ \Omega $, to $ \int_\gamma f\, dx+g\, dy=0 $ dla każdej drogi zamkniętej.

Okazuje się natomiast, że żaden z równoważnych warunków fg konieczny i brzeg konieczny nie gwarantuje istnienia takiej funkcji $ h\in C^2(\Omega) $, że $ h_x=f $, $ h_y=g $.

Przykład Niech $ \Omega=\R^2\setminus\{(0,0)\} $. Połóżmy

\[ 	f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\qquad\mbox{dla $(x,y)\in \Omega$.} 	\]

Wtedy, jak łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem,

\[ f_y(x,y)=\frac{-x^2-y^2+2y^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=\frac{y^2-x^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=g_x(x,y) \qquad\mbox{w $\Omega$} \]

Jednak nie istnieje taka funkcja $ h\in C^2(\Omega) $, dla której $ f,g $ byłyby pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu, gdyż jeśli $ \gamma $ jest okręgiem jednostkowym (zorientowanym przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara), to

\[ \int_\gamma f\, dx + g\, dy = \int_0^{2\pi} \frac{(-\sin t)\cdot (-\sin t) + \cos^2 t}{\cos^2 t+\sin^2 t}\; dt = 2\pi\not=0, \]

tzn. nie zachodzi warunek konieczny calka zamknieta, podany w ostatnim stwierdzeniu. Zauważmy: okrąg jednostkowy nie jest brzegiem obszaru\/, który byłby zawarty w $ \Omega $.

Stwierdzenie (#) Jeśli $ \Omega $ jest obszarem na płaszczyźnie, $ f,g\in C^1(\Omega) $ i warunek

\[ 	\int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0 	\]

zachodzi dla każdej drogi zamkniętej $ \gamma $ w $ \Omega $, to istnieje $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że $ h_x=f $ i $ h_y=g $ w $ \Omega $.

    Szkic dowodu. Ustalmy punkt $ \pp_0\in \Omega $. Ponieważ $ \Omega $ jest zbiorem otwartym spójnym, więc każdy inny punkt $ \pp\in \Omega $ można połączyć z $ \pp_0 $ pewną łamaną $ \ell(\pp_0,\pp) $. Z założenia wynika, że liczba

\[ \begin{equation} 	\label{def pierwotnej h} 	h(\pp):=\int_{\ell(\mpp_0,\mpp)} f\, dx + g\, dy \end{equation} \]

nie zależy od wyboru tej łamanej.

Ustalmy $ \pp=(x,y)\in \Omega $. Funkcja $ [0,t]\ni s\mapsto \pp+s\ee_1\in \Omega $ parametryzuje odcinek $ [\pp,\pp+t\ee_1] $. Nietrudno sprawdzić, że dla małych $ t $ jest

\[ h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)=\int_{[\mpp,\mpp+t\mee_1]} f\, dx + g\, dy = \int_0^t f(x+s,y)\, ds. \]

Stąd

\[ h_x(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac 1t \int_0^t f(x+s,y)\, ds = f(x,y). \]

Tak samo sprawdzamy, że $ h_y(x,y)=g(x,y) $ w $ \Omega $ (ćwiczenie). Oczywiście, $ h\in C^2 $, gdyż $ h_x,h_y\in C^1 $.□

Warunek dostateczny na to, by istniała funkcja $ h\in C^2(\Omega) $, dla której $ h_x=f $ i $ h_y=g $, jest w istocie połączeniem warunku topologicznego, nałożonego na obszar $ \Omega $, z warunkiem koniecznym $ f_y=g_x $. Aby sformułować twierdzenie, które o tym mówi, będziemy potrzebować jeszcze jednej definicji.

Definicja Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem i niech $ \pp,\qq\in \Omega $. Mówimy, że drogi $ \gamma_0\colon [0,1]\to \Omega $ i $ \gamma_1\colon [0,1]\to \Omega $ takie, że $ \gamma_i(0)=\pp\in \Omega $ i $ \gamma_i(1)=\qq\in \Omega $ dla $ i=0,1 $homotopijne w $ \Omega $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja ciągła $ H\colon [0,1]^2\to \Omega $ taka, że

    {(\roman{enumi})}

  1. $ H(i,s)=\gamma_i(s) $ dla wszystkich $ s\in [0,1] $ oraz $ i=0,1 $;
  2. $ H(t,0)=\pp $ i $ H(t,1)=\qq $ dla wszystkich $ t\in [0,1] $.

Sens tej definicji jest następujący: drogę $ \gamma_0 $ można w sposób ciągły zdeformować w zbiorze $ \Omega $ do $ \gamma_1 $, nie poruszając jej końców. O drogach $ \gamma_0,\gamma_1 $ takich, jak w powyższej definicji, będziemy mówić, że są krzywymi o wspólnych końcach.

Twierdzenie [warunek dostateczny całkowalności 1-formy] Niech $ \Omega\subset \R^2 $ będzie obszarem. Jeśli $ f,g\in C^1(\Omega) $ spełniają warunek $ f_y=g_x $, a ponadto każde dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to istnieje funkcja $ h\in C^2(\Omega) $ taka, że(#)

\[ 	h_x=f, \qquad h_y=g \qquad \mbox{w $\Omega$.} 	\]

W pełni ścisły dowód tego twierdzenia wymaga dość żmudnych i technicznych rozważań, dlatego ograniczymy się do poglądowego szkicu.

    Szkic dowodu. Krok 1. Jeśli dowolne dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to dowolne dwie łamane o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $ i można tę homotopię zrealizować za pomocą takiej funkcji $ H, $ że drogi $ H(t,\cdot) $ są łamanymi dla wszystkich $ t $. Wystarczy w tym celu zauważyć, że $ H\colon [0,1]^2\to\Omega $ jest jednostajnie ciągła, a następnie podzielić $ [0,1]^2 $ na drobne prostokąciki $ P_j $, $ j=1,\ldots, N^2 $, których obrazy są zawarte w dyskach $ D_\eps\Subset \Omega $ o małym promieniu $ \eps>0 $. Zostawiając wartości $ H $ w wierzchołkach $ P_j $ i odpowiednio modyfikując $ H $ w pozostałych punktach kwadratu $ [0,1]^2 $ - dyski $ D_\eps $ są wypukłe, więc punkty w nich można łączyć odcinkami - otrzymujemy żądaną homotopię.

Zauważmy ponadto, że można tę homotopię zbudować tak - dzieląc boki na odpowiednio krótkie odcinki i stopniowo przemieszczając je wewnątrz dysków $ D_\eps $ zawartych w $ \Omega $ - aby dla pewnego skończonego ciągu chwil $ t_i\in [0,1] $, przy dowolnym ustalonym $ i $, łamane $ \ell_i=H(t_i,\cdot) $ oraz $ \ell_{i+1}=H(t_{i+1},\cdot) $ miały ten sam zbiór boków, z dokładnością do co najwyżej dwóch boków każdej łamanej (przykład takiej sytuacji jest na rysunku).

    Krok 2. Jeśli dwie łamane $ \ell_0 $ i $ \ell_1 $ o wspólnych końcach są homotopijne w $ \Omega $, to (przy założeniu $ f_y=g_x $) zachodzi równość

\[ \int_{\ell_0} f\, dx +g\, dy = \int_{\ell_1} f\, dx +g\, dy\, . \]

To wynika z twierdzenia Greena i naszkicowanego wyżej opisu homotopii. (Proszę najpierw pomyśleć o dwóch łamanych, które pokrywają się niemal w całości, za wyjątkiem dwóch odcinków, patrz rysunek. Różnica całek po takich łamanych jest całką po obwodzie czworokąta z formy $ f\, dx +g\, dy $).

    Krok 3. Odtąd postępujemy tak, jak w dowodzie Stwierdzenia [link], definiując funkcję $ h $ wzorem def pierwotnej h, ustaliwszy wcześniej dowolny punkt początkowy $ \pp_0\in \Omega $, z którego wędruje się do innych punktów wzdłuż łamanych. □

Uwaga Nietrudno zauważyć, że założenie o homotopijności dróg o wspólnych końcach jest spełnione np. w każdym obszarze wypukłym (a także w każdym obszarze, który jest dyfeomorficzny z wypukłym). Ogólnie, obszary, w których to założenie jest spełnione, nazywa się jednospójnymi.