Formy rzędu 1 i twierdzenie Greena | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja [forma różniczkowa rzędu 1] Niech $U\subset\R^n$ będzie zbiorem otwartym i niech $f_1,f_2\ldots,f_n\in C^k(U)$ , gdzie $k\ge 1$ . Wyrażenie

$\begin{equation} \label{1forma} \omega=f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n \end{equation}$

nazywamy formą różniczkową rzędu 1 i klasy $C^k$ , albo krótko 1-formą na zbiorze $U$ .

Definicja [krzywa zorientowana] Rozmaitość jednowymiarową $M=M^1\subset \R^n$ klasy $C^1$ z ustalonym ciągłym polem niezerowych wektorów stycznych $\vv(\pp)$ , $\pp\in M$ , będziemy nazywać krzywą zorientowaną\/.

Jeśli $\gamma\colon \R\supset I\to M\subset \R^n$ jest parametryzacją $M$ , to dla każdego $t\in I$ wektor $\gamma'(t)$ jest styczny do $M$ w punkcie $\pp=\gamma(t)$ . Są dwie możliwości: albo wektor $\gamma'(t)$ ma dla każdego $t\in I$ taki sam zwrot, jak wektor $\vv(\gamma(t))$ , określający orientację $M$ , albo ma zawsze zwrot przeciwny. (Wynika to stąd, że funkcja ciągła $t\mapsto \big\langle\gamma'(t),\vv(\gamma(t))\big\rangle$ nie znika w żadnym puncie $t\in I$ .) W pierwszym przypadku będziemy mówić, że parametryzacja $\gamma$ jest zgodna z orientacją $M$ .

Definicja [całka z $1$ -formy wzdłuż krzywej zorientowanej] Niech $M$ będzie krzywą zorientowaną skończonej długości, zawartą w zbiorze otwartym $U\subset \R^n$ , zaś $\gamma\colon \R\supset I=(a,b)\to M$ - parametryzacją zgodną z orientacją $M$ . Jeśli $\omega=f_1\, dx_1+\cdots+f_n\, dx_n$ jest formą klasy $C^1$ na $U$ , to piszemy

$\begin{equation} \label{defcalkiz1formy} \int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j(\gamma(t))\, \gamma_j'(t)\, dt\, . \end{equation}$

Definicją można operować mnemotechnicznie: jeśli $\xx=(x_1,\ldots,x_n)=\gamma(t)\in M$ , to $x_j=\gamma_j(t)$ , `więc' $dx_j=\gamma_j'(t)\, dt$ . Podobnego formalizmu używaliśmy, całkując przez podstawienie funkcje jednej zmiennej.

Przytoczona definicja ma sens tylko dla krzywych spójnych. Formy różniczkowe rzędu 1 można całkować także po krzywych niespójnych (dodając całki po składowych spójności takiej krzywej).

Stwierdzenie [poprawność definicji] Wartość całki

$\int_M \big(f_1\, dx_1+ f_2\, dx_2 +\cdots+ f_n\, d x_n\big)$

nie zależy od wyboru parametryzacji $\gamma\colon I\to M$ , zgodnej z orientacją.

Dowód: Załóżmy, że $\gamma\colon (a,b)\to M$ i $\eta\colon (c,d)\to M$ są dwiema parametryzacjami $M$ zgodnymi z orientacją. Przekształcenie $\psi=\eta^{-1}\circ\gamma$ jest wówczas, na mocy Lematu [link] ofunkcjach przejścia, dyfeomorfizmem odcinka $(a,b)$ na $(c,d)$ . Mamy $\eta\circ\psi = \gamma$ , stąd zaś

$\eta'(\psi(t))\cdot \psi'(t) = \gamma'(t), \qquad t\in (a,b).$

Ponieważ $\gamma,\eta$ są zgodne z orientacją $M$ , więc wektory $\eta'(\psi(t))$ i $\gamma'(t)$ mają ten sam zwrot. Zatem $\psi'(t)>0$ dla każdego $t$ , co oznacza, że $\psi$ jest funkcją rosnącą. Z twierdzenia o zamianie zmiennych, używając podstawienia

$(c,d)\ni s=\psi (t), \qquad t\in (a,b),$

otrzymujemy

$\begin{align*} \sum_{j=1}^n\int_c^d f_j(\eta (s))\, \eta_j'(s)\, ds &=\sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\eta (\psi(t))\big) \, \eta_j'(\psi(t))\, \psi'(t)\, dt\\ & = \sum_{j=1}^n\int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt\, . \end{align*}$

Wartość prawej strony wzoru defcalkiz1formy nie zależy więc od wyboru parametryzacji. □

Uwaga Gdy zmienimy orientację $M$ na przeciwną, to liczba $\int_M\omega$ zmieni znak.□

Interpretacja fizyczna całki z 1-formy. Definicja 1-formy wydaje się, na pierwszy rzut oka, sztuczna; nie wiadomo, czym (tzn. jakimi obiektami matematycznymi) są symbole $dx_j$ . Jednak całka z formy $\sum f_i\, dx_i$ ma naturalną interpretację fizyczną. Jeśli mianowicie przyjmiemy, że $f=(f_1,\ldots, f_n)$ jest polem wektorowym w obszarze $U$ , np. pewnym polem sił, to całka $\int_M \omega$ z formy $\omega=\sum f_i\, dx_i$ jest pracą sił pola wzdłuż krzywej $\gamma$ . Istotnie,

$\sum_{j=1}^n f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)= \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \|\gamma'(t)\|$

i dlatego

$\int_M \omega= \sum_{j=1}^n \int_a^b f_j\big(\gamma(t))\big) \, \gamma_j'(t)\, dt = \int_a^b \Big\langle f\big(\gamma(t))\big) ,\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|}\Big\rangle\cdot \underbrace{\|\gamma'(t)\|\, dt}_{d\sigma_1} = \int_M \langle f, \ww \rangle\, d\sigma_1\, ,$

Naturalna orientacja brzegu obszaru w $\R^2$ : jedna z baz powstaje z drugiej przez obrót.

gdzie $\ww=\gamma'/\|\gamma'\|$ jest jednostkowym wektorem stycznym do krzywej. Liczba $\langle f, \ww \rangle$ jest długością składowej wektora $f$ , stycznej do $M$ ; to właśnie ta składowa wykonuje pracę wzdłuż krzywej.

Definicja Mówimy, że $\Omega\subset \R^n$ jest obszarem z brzegiem klasy $C^k$ , jeśli $\Omega$ jest zbiorem otwartym spójnym, którego brzeg $\partial \Omega$ jest rozmaitością zanurzoną klasy $C^k$ w $\R^n$ .

Definicja Będziemy mówić, że brzeg obszaru $\Omega\subset\R^2$ ma naturalną orientację, jeśli dla każdego $\pp\in\partial\Omega$ baza $(\ww,\nu)$ , gdzie $\ww \in T_{\mpp}(\partial \Omega)$ wyznacza orientację brzegu, a $\nu$ jest wektorem normalnym wewnętrznym w $\pp$ , wyznacza tę samą orientację $\R^2$ , co standardowa baza $(\ee_1,\ee_2)$ . (Oto prosta, mnemotechniczna reguła: brzeg obszaru jest zorientowany naturalnie, gdy idąc wzdłuż niego we wskazanym przez orientację kierunku, mamy punkty obszaru z lewej strony.)

Twierdzenie [G. Green (George Green, matematyk brytyjski, żył na przełomie XVIII i XIX wieku. W 1828 r. wydał słynną pracę An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.\/)] Załóżmy, że $\Omega\subset \R^2$ jest obszarem ograniczonym z brzegiem klasy $C^1$ . Niech $f,g\in C^1(U)$ , gdzie $U\subset \R^2$ jest otwarty i $\overline \Omega\subset U$ . Wreszcie, niech brzeg $\partial \Omega$ zbioru $\Omega$ ma naturalną orientację. Wówczas

$\begin{eqnarray} \int_{\partial\Omega} g\, dy = \int_\Omega \pcz gx \;\label{green-g} d\lambda_2\, , \label{Green g}\\ -\int_{\partial\Omega} f\, dx = \int_\Omega \pcz fy \;\label{green-f} d\lambda_2\, . \label{Green f} \end{eqnarray}$

Dowód w przypadku szczególnym. Załóżmy najpierw, dla uproszczenia, że dla pewnych przedziałów $(a,b),\; (c,d)\subset \R$ i funkcji $\varphi,\psi\colon (a,b)\to \R$ oraz $\eta,\zeta\colon (c,d)\to \R$ jest

$\begin{align*} \Omega &=\{(x,y)\in \R^2 \colon\; x\in (a,b),\quad \varphi(x)<y<\psi(x)\} \\&= \{(x,y)\in \R^2 \colon\; y\in (c,d),\quad \eta(y)< x<\zeta(y)\}\, , \end{align*}$

tzn. że brzeg $\Omega$ jest sumą dwóch wykresów funkcji (różniczkowalnych), niezależnie od tego, wzdłuż której osi układu współrzędnych patrzymy. (Tak jest np. dla obszarów wypukłych, ale nie tylko.) Wówczas, na mocy twierdzenia Fubiniego i wzoru Newtona-Leibniza, \begin{align} \int_\Omega \pcz gx \; d\lambda_2 = \int_c^d\biggl(\int_{\eta(y)}^{\zeta(y)} \pcz gx(x,y) \;dx\biggr)\; dy = \int_c^d \Big( g(\zeta(y),y)-g(\eta(y),y) \Big)\; dy\, . (#) \end{align} Niech $M_1$ oznacza część $\partial\Omega$ , będącą wykresem $\zeta$ . Parametryzacja $ (c,d)\ni y\mapsto \gamma(y) = (\zeta(y),y) $ krzywej $M_1$ jest zgodna z orientacją; dlatego

$\begin{equation} \label{calkaM1} \int_{c}^d g(\zeta(y),y)\; dy = \int_{M_1} g\; dy\, , \end{equation}$

gdyż druga współrzędna parametryzacji ma pochodną 1. Reszta brzegu, $M_2=\partial\Omega\setminus \overline{M_1}$ , ma parametryzację

$(c,d)\ni y\longmapsto (\eta(y),y)\, ,$

która wyznacza orientację przeciwną do naturalnej orientacji $M_2$ . Dlatego

$\begin{equation} \label{calkaM2} -\int_c^d g(\eta(y),y) \; dy = \int_{M_2} g\; dy\, . \end{equation}$

Dodając calkaM1 do calkaM2, otrzymujemy z calka-dg pierwszą część tezy twierdzenia Greena.

Podobnie, biorąc $M_3=\{(x,y)\in \partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\varphi(x)\}$ oraz $M_4= \{(x,y)\in\partial\Omega\colon x\in (a,b),\; y=\psi(x)\}$ (z naturalną orientacją brzegu $\partial\Omega<img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/5ca1f22592e2ec12af28670a6953c105966db4ec.png" alt="1b74f03be5db6294056d725f8c4c63e5:40:" />Q_1,\ldots Q_N$ pokrywa domknięcie $\overline\Omega$ obszaru $\Omega\subset\R^2$ . Istnieją wówczas funkcje nieujemne $\psi_l\in C_0^\infty(Q_l)$ takie, że $\sum_{l=1}^N\psi_l\equiv 1$ na pewnym zbiorze otwartym $W$ , zawierającym $\overline\Omega$ .

Dowód twierdzenia Greena w przypadku ogólnym. Dla każdego punktu $\pp\in \overline\Omega$ wybierzmy prostokąt otwarty $Q_{\mpp}$ o środku w $\pp$ tak, aby

$\overline{Q}_{\mpp}\subset \Omega$ dla $\pp\in \Omega$ ;
dla $\pp\in \partial\Omega$ i $Q_{\mpp}=(a,b)\times (c,d)$ zbiór $\partial\Omega\cap Q_{\mpp}$ był wykresem funkcji $y=\varphi(x)$ , $x\in (a,b)$ , ew. funkcji $x=\varphi(y)$ , $y\in (c,d)$ .

Wobec zwartości $\overline\Omega$ , istnieje pokrycie $\overline\Omega$ , złożone z $N$ takich prostokątów, $Q_1,\ldots, Q_N$ . Ponumerujmy je tak, aby $Q_1,\ldots,Q_k$ stanowiły pokrycie brzegu, zaś $Q_{k+1},\ldots, Q_N$ były (wraz z domknięciami) zawarte w $\Omega$ . Niech $\psi_l$ będą funkcjami zLematu [link]. Wówczas $\sum_l \pcz{\psi_l}y=0$ , a stąd \begin{align} (#) \int_\Omega \pcz fy\; d\lambda_2 & = \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \psi_l\pcz fy\; d\lambda_2= \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\\ & =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 + \sum_{l=k+1}^N \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2\, .\nonumber \end{align} Aby sprawdzić ostatnią równość, zauważmy, że dla każdego $l>k$ i prostokąta $\overline{Q}_l=[a,b]\times[c,d]\subset \Omega$ funkcja $\psi_lf$ znika na $\partial Q_l$ (bo $\psi_l$ znika na brzegu tego prostokąta!), a więc

$\int_{Q_l\cap \Omega} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2=\int_{Q_l} \pcz {(\psi_l f)}y\; d\lambda_2 = \int_a^{b}\bigg(\int_c^{d} \pcz {(\psi_l f)}y\, dy\bigg) \; dx = 0\, .$

Teraz obliczymy każdą z całek w sumie po prawej stronie wzoru rozbiciedg, rozważając kilka przypadków. Dla prostoty, ustalimy indeks $l$ i będziemy często pisać $F=\psi_l f$ , $Q=Q_l$ .

Prostokąt $Q_i$ odpowiada $i$ -temu z rozpatrywanych przypadków.

Przypadek 1. Niech

$\Omega\cap Q=\{(x,y)\colon c< y<\varphi(x), x\in (a,b)\}.$

Wtedy $F=\psi_l f$ znika dla $x\in (a,b),y=c$ . Zatem

$\begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2&=\int_a^{b}\bigg(\int_b^{\varphi(x)}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx\\&= \int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx\\& = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx. \end{align*}$

Ostatnią równość zachodzi na mocy definicji całki z1-formy. Zauważmy, że w tym przypadku fragment $\partial\Omega\cap Q_l$ jest zorientowany przeciwnie do kierunku osi $x$ .

Przypadek 2. Załóżmy, że $\Omega\cap Q=\{(x,y)\colon \varphi(x)< y<d, x\in (a,b)\}$ . Wtedy $F=\psi_l f$ znika dla $x\in (a,b),y=d$ . Zatem

$\int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y \;d\lambda_2=\int_a^{b}\bigg(\int_{\varphi(x)}^{d}\pcz Fy\; dy \bigg)\; dx= -\int_a^b F(x,\varphi(x))\; dx = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\; dx.$

(Tym razem orientacja $\partial\Omega\cap Q_l$ jest zgodna z kierunkiem osi $x$ .)

W tych dwóch przypadkach postąpiliśmy w istocie tak samo, jak wcześniej dla obszarów szczególnej postaci. Dodatkowego chwytu wymagają pozostałe przypadki.

Przypadek 3. Załóżmy, że $\Omega\cap Q=\{(x,y)\colon y\in (c,d), a<x<\varphi(y)\}$ . Wtedy $F=\psi_l f$ znika dla $y\in (c,d),x=a$ . Bez zmniejszenia ogólności, (gładko) przedłużając $F$ zerem, zakładamy, że $F$ jest określona dla wszystkich $x<\varphi(y)$ . Piszemy, dokonując przy ustalonym $y$ zamiany zmiennych $x=t+\varphi(y)$ ,

$\begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{F}y(x,y)\; d\lambda_2(x,y) & = \int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fy (x,y)\; dx\biggr) \; dy\\ &=\int_c^{d}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\;\biggr) dy=:I\, . \end{align*}$

Oznaczmy $\Phi(t,y)=F(t+\varphi(y),y)$ dla $t\le 0$ i $y\in [c,d]$ . Mamy wówczas

$\pcz\Phi y (t,y)=\pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)+\pcz Fy (t+\varphi(y),y).$

Zauważmy ponadto, że $\Phi$ znika na dwóch półprostych $t\le 0$ , $y\in \{c,d\}$ . Dlatego

$\int_c^d \frac {\partial\Phi}{\partial y}(t,y)\, dy=0\quad \mbox{dla $t\le 0$,} \qquad \int_{-\infty}^0\int_{b}^{d} \pcz\Phi y (t,y)\; dy\; dt= 0,$

stąd zaś (i z twierdzenia Fubiniego) po ponownej, odwrotnej zamianie zmiennych (Pierwszą z wykonanych w tym przypadku zamian zmiennych nazywa się czasem prostowaniem brzegu): zauważmy, że dla $t=x-\varphi(y)$ zbiór opisany równaniem $x=\varphi(y)$ przeszedł na zbiór $t=0$ . otrzymujemy

$\begin{align*} I &=\int_b^{d} \int_{-\infty}^{0}\pcz Fy (t+\varphi(y),y)\; dt\; dy =-\int_b^{d} \int_{-\infty}^0 \pcz Fx \big(t+\varphi(y),y\big)\cdot \varphi'(y)\; dt\; dy \\ & = -\int_b^{d}\varphi'(y) \int_{-\infty}^{\varphi(y)}\pcz Fx(x,y)\; dx\; dy = -\int_{b}^{d} F(\varphi(y),y)\varphi'(y)\; dy = -\int_{\partial\Omega\cap Q_l} F\, dx, \end{align*}$

gdyż na brzegu $x=\varphi(y)$ , a w tym przypadku naturalna orientacja brzegu jest zgodna z kierunkiem osi $y$ .

W ostatnim przypadku brzeg obszaru jest wykresem funkcji $x=\varphi(y)$ , obszar zaś leży `z prawej strony' tego wykresu. Postępując tak samo, jak w przypadku 3, otrzymujemy ostatecznie

$\begin{equation} \label{brzegokostki} \int_{Q_l\cap \Omega} \pcz{(\psi_l f)}y \;d\lambda_2=-\int_{\partial Q_l\cap \Omega} \psi_l f\; dx, \qquad l=1,\ldots, k, \end{equation}$

niezależnie od przypadku. Sumując takie wzory i pamiętając o rozbiciedg, otrzymujemy równość green-f z tezy twierdzenia Greena, gdyż $\sum_{l=1}^k \psi_k=1$ na $\partial\Omega$ .

Dowód wzoru green-g jest taki sam. □

Wniosek Niech $\Omega\subset \R^2$ będzie obszarem ograniczonym z brzegiem $\partial \Omega$ klasy $C^1$ . Wówczas

$\lambda_2(\Omega) = \frac 12 \int_{\partial\Omega} \big(x\, dy - y\, dx\big)= \int_{\partial\Omega} x\,dy = -\int_{\partial\Omega} y\,dx ,$

gdzie całki krzywoliniowe oblicza się, biorąc naturalną orientację brzegu.(#)

Dowód: Stosujemy twierdzenie Greena do $f(x,y)=-y$ i $g(x,y)=x$ ; wtedy $\frac 12 (g_x-f_y)=-f_y=g_x=1$ . □

Przykład Obliczymy pole koła jednostkowego $K$ , posługując się Wnioskiem [link]. Parametryzacją brzegu koła (bez jednego punktu), dającą naturalną orientację brzegu, jest

$(0,2\pi)\ni t\longmapsto (\cos t, \sin t)\in\R^2\, ,$

zatem

$\frac 12 \int_{\partial K} x\, dy- y\, dx = \frac 12\int_0^{2\pi} (\cos^2 t + \sin^2 t)\, dt = \pi.$

Uwaga Wzory Greena zachodzi w istocie dla ogólniejszych klas obszarów, np. dla obszarów ograniczonych z brzegiem $\partial \Omega$ kawałkami klasy $C^1$ \/, tzn. takich, że $\partial \Omega$ jest obrazem pewnej różnowartościowej funkcji ciągłej $\gamma\colon [0,T]\to \R^2$ , $\gamma(0)=\gamma(T)$ , przy czym odcinek $[0,T]$ jest sumą skończonej liczby odcinków $I_j=[t_j,t_{j+1}]$ o rozłącznych wnętrzach i $\gamma\big|_{I_j}$ jest klasy $C^1$ na $I_j$ , zaś $\|\gamma'\|>0$ na $I_j$ . W szczególności, można korzystać z twierdzenia Greena i Wniosku [link] dla wszystkich wielokątów na płaszczyźnie.

\subsection*{Kiedy pole wektorowe jest gradientem funkcji?}

Opiszemy jeszcze związek wzoru Greena z następującym naturalnym pytaniem: Dane są dwie funkcje $f,g\in C^1(\Omega)$ , gdzie $\Omega$ jest obszarem w $\R^2$ ; kiedy istnieje funkcja $h\in C^2(\Omega)$ taka, że $\text{\rm grad}\, h=(f,g)$ w $\Omega$ ? Równoważnie: kiedy pole wektorowe $V=(f,g)$ klasy $C^1$ wobszarze $\Omega\subset \R^2$ jest gradientem pewnej funkcji klasy $C^2$ ?

Nietrudno zauważyć, jaki jest warunek konieczny istnienia takiej funkcji $h$ . Jeśli $h\in C^2$ i $h_x=f$ , $h_y=g$ w $\Omega$ , to dzięki równości pochodnych mieszanych drugiego rzędu funkcji $h$ otrzymujemy

$\begin{equation} \label{fg konieczny} f_y=\big(h_x\big)_y=\big(h_y\big)_x=g_x\qquad\mbox{w $\Omega$.} \end{equation}$

Wprowadźmy dodatkowy symbol: gdy $A,B$ są dowolnymi zbiorami w $\R^n$ i $\overline A$ jest zwartym podzbiorem $B$ , to piszemy $A\Subset B$ . Załóżmy też milcząco, że odtąd wszystkie rozważane otwarte podzbiory $U$ obszaru $\Omega\subset \R^2$ mają brzeg kawałkami klasy $C^1$ . Dla dowolnego takiego zbioru $U\Subset\Omega$ z warunku fg konieczny po zastosowaniu twierdzenia Greena otrzymujemy

$\begin{equation} \label{brzeg konieczny} \int_{\partial U} f\, dx + g\, dy = 0. \end{equation}$

Na odwrót, jeśli brzeg konieczny zachodzi dla każdego $U\Subset \Omega$ , to wówczas $f_y=g_x$ w $\Omega$ . Istotnie, wtedy

$0=\int_{\partial K} f\, dx + g\, dy =\int_K (f_y-g_x)\; d\lambda_2 \qquad\mbox{dla każdego kwadratu $K\Subset \Omega$,}$

stąd zaś wynika, że $f_y-g_x\equiv 0$ w $\Omega$ . (Proszę samodzielnie wykazać, że jeśli $\int_K \varphi\; d\lambda_2=0$ dla wszystkich kwadratów $K\Subset\Omega$ i $\varphi$ jest funkcją całkowalną, to $\varphi =0$ p.w.)

Okazuje się, że ten warunek można nieznacznie wzmocnić: jeśli $(f,g)=\text{grad}\, h$ , to całka z formy $\omega = f\, dx+g\, dy$ znika dla każdej krzywej zamkniętej w $\Omega$ , nie tylko dla takiej, która jest brzegiem jakiegoś obszaru $U\Subset\Omega$ .

Stwierdzenie Niech $f,g\in C^1(\Omega)$ , gdzie $\Omega$ jest obszarem w $\R^2$ . Jeśli istnieje funkcja $h\in C^2(\Omega)$ taka, że $h_x=f$ , $h_y=g$ w $\Omega$ , to dla dowolnej krzywej zamkniętej $\gamma\subset \Omega$ kawałkami klasy $C^1$ jest

$\begin{equation} \label{calka zamknieta} \int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0\, . \end{equation}$

Dowód: Oznaczmy $\omega=f\, dx + g\, dy$ . Jeśli $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)\colon [0,1]\to\Omega$ jest krzywą (kawałkami) klasy $C^1$ , a ponadto $f=h_x$ i $g=h_y$ w $\Omega$ , to z definicji całki z 1-formy i wzoru na pochodną złożenia otrzymujemy

$\begin{align*} \int_{\gamma} \omega &=\int_0^1 \Big(f(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + g(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &=\int_0^1 \Big(h_x(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_1'(t) + h_y(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) \gamma_2'(t)\Big)\; dt\\ &= \int_0^1 \frac{d}{dt}\Big(h\circ\gamma(t)\Big)\; dt = h(\gamma(1))-h(\gamma(0)). \end{align*}$

(Interpretacja geometryczna tej równości jest prosta: całkując wzdłuż krzywej iloczyn skalarny gradientu i jednostkowego wektora stycznego, tzn. pochodną funkcji w kierunku stycznym, otrzymujemy przyrost funkcji wzdłuż tej krzywej). Jeśli krzywa $\gamma$ jest zamk\-nię\-ta, to $\gamma(1)=\gamma(0)$ , więc $\int_\gamma \omega=0$ .□

Uwaga Czytelnik zechce zauważyć, że rachunek w ostatnim dowodzie nie wymaga założenia, że $\gamma\colon [0,1]\to \Omega$ jest funkcją różnowartościową. Funkcje $\gamma\colon [a,b]\to \Omega$ , które są kawałkami klasy $C^1$ , nazywa się czasem - nie wymagając ich różnowartościowości - drogami (w obszarze $\Omega$ ) idefiniuje się całkę z 1-formy wzdłuż drogi (tak samo, jak zdefiniowaliśmy całkę wzdłuż krzywej zorientowanej). Tezę stwierdzenia można zatem wzmocnić: jeśli $\text{grad}\, h=(f,g)$ w $\Omega$ , to $\int_\gamma f\, dx+g\, dy=0$ dla każdej drogi zamkniętej.

Okazuje się natomiast, że żaden z równoważnych warunków fg konieczny i brzeg konieczny nie gwarantuje istnienia takiej funkcji $h\in C^2(\Omega)$ , że $h_x=f$ , $h_y=g$ .

Przykład Niech $\Omega=\R^2\setminus\{(0,0)\}$ . Połóżmy

$f(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}, \qquad g(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\qquad\mbox{dla $(x,y)\in \Omega$.}$

Wtedy, jak łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem,

$f_y(x,y)=\frac{-x^2-y^2+2y^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=\frac{y^2-x^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}=g_x(x,y) \qquad\mbox{w $\Omega$}$

Jednak nie istnieje taka funkcja $h\in C^2(\Omega)$ , dla której $f,g$ byłyby pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu, gdyż jeśli $\gamma$ jest okręgiem jednostkowym (zorientowanym przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara), to

$\int_\gamma f\, dx + g\, dy = \int_0^{2\pi} \frac{(-\sin t)\cdot (-\sin t) + \cos^2 t}{\cos^2 t+\sin^2 t}\; dt = 2\pi\not=0,$

tzn. nie zachodzi warunek konieczny calka zamknieta, podany w ostatnim stwierdzeniu. Zauważmy: okrąg jednostkowy nie jest brzegiem obszaru\/, który byłby zawarty w $\Omega$ .

Stwierdzenie (#) Jeśli $\Omega$ jest obszarem na płaszczyźnie, $f,g\in C^1(\Omega)$ i warunek

$\int_\gamma f\, dx + g\, dy = 0$

zachodzi dla każdej drogi zamkniętej $\gamma$ w $\Omega$ , to istnieje $h\in C^2(\Omega)$ taka, że $h_x=f$ i $h_y=g$ w $\Omega$ .

Szkic dowodu. Ustalmy punkt $\pp_0\in \Omega$ . Ponieważ $\Omega$ jest zbiorem otwartym spójnym, więc każdy inny punkt $\pp\in \Omega$ można połączyć z $\pp_0$ pewną łamaną $\ell(\pp_0,\pp)$ . Z założenia wynika, że liczba

$\begin{equation} \label{def pierwotnej h} h(\pp):=\int_{\ell(\mpp_0,\mpp)} f\, dx + g\, dy \end{equation}$

nie zależy od wyboru tej łamanej.

Ustalmy $\pp=(x,y)\in \Omega$ . Funkcja $[0,t]\ni s\mapsto \pp+s\ee_1\in \Omega$ parametryzuje odcinek $[\pp,\pp+t\ee_1]$ . Nietrudno sprawdzić, że dla małych $t$ jest

$h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)=\int_{[\mpp,\mpp+t\mee_1]} f\, dx + g\, dy = \int_0^t f(x+s,y)\, ds.$

Stąd

$h_x(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(\pp+t\ee_1)-h(\pp)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac 1t \int_0^t f(x+s,y)\, ds = f(x,y).$

Tak samo sprawdzamy, że $h_y(x,y)=g(x,y)$ w $\Omega$ (ćwiczenie). Oczywiście, $h\in C^2$ , gdyż $h_x,h_y\in C^1$ .□

Warunek dostateczny na to, by istniała funkcja $h\in C^2(\Omega)$ , dla której $h_x=f$ i $h_y=g$ , jest w istocie połączeniem warunku topologicznego, nałożonego na obszar $\Omega$ , z warunkiem koniecznym $f_y=g_x$ . Aby sformułować twierdzenie, które o tym mówi, będziemy potrzebować jeszcze jednej definicji.

Sens tej definicji jest następujący: drogę $\gamma_0$ można w sposób ciągły zdeformować w zbiorze $\Omega$ do $\gamma_1$ , nie poruszając jej końców. O drogach $\gamma_0,\gamma_1$ takich, jak w powyższej definicji, będziemy mówić, że są krzywymi o wspólnych końcach.

W pełni ścisły dowód tego twierdzenia wymaga dość żmudnych i technicznych rozważań, dlatego ograniczymy się do poglądowego szkicu.

Szkic dowodu. Krok 1. Jeśli dowolne dwie drogi o wspólnych końcach są homotopijne w $\Omega$ , to dowolne dwie łamane o wspólnych końcach są homotopijne w $\Omega$ i można tę homotopię zrealizować za pomocą takiej funkcji $H,$ że drogi $H(t,\cdot)$ są łamanymi dla wszystkich $t$ . Wystarczy w tym celu zauważyć, że $H\colon [0,1]^2\to\Omega$ jest jednostajnie ciągła, a następnie podzielić $[0,1]^2$ na drobne prostokąciki $P_j$ , $j=1,\ldots, N^2$ , których obrazy są zawarte w dyskach $D_\eps\Subset \Omega$ o małym promieniu $\eps>0$ . Zostawiając wartości $H$ w wierzchołkach $P_j$ i odpowiednio modyfikując $H$ w pozostałych punktach kwadratu $[0,1]^2$ - dyski $D_\eps$ są wypukłe, więc punkty w nich można łączyć odcinkami - otrzymujemy żądaną homotopię.

Zauważmy ponadto, że można tę homotopię zbudować tak - dzieląc boki na odpowiednio krótkie odcinki i stopniowo przemieszczając je wewnątrz dysków $D_\eps$ zawartych w $\Omega$ - aby dla pewnego skończonego ciągu chwil $t_i\in [0,1]$ , przy dowolnym ustalonym $i$ , łamane $\ell_i=H(t_i,\cdot)$ oraz $\ell_{i+1}=H(t_{i+1},\cdot)$ miały ten sam zbiór boków, z dokładnością do co najwyżej dwóch boków każdej łamanej (przykład takiej sytuacji jest na rysunku).

Krok 2. Jeśli dwie łamane $\ell_0$ i $\ell_1$ o wspólnych końcach są homotopijne w $\Omega$ , to (przy założeniu $f_y=g_x$ ) zachodzi równość

To wynika z twierdzenia Greena i naszkicowanego wyżej opisu homotopii. (Proszę najpierw pomyśleć o dwóch łamanych, które pokrywają się niemal w całości, za wyjątkiem dwóch odcinków, patrz rysunek. Różnica całek po takich łamanych jest całką po obwodzie czworokąta z formy $f\, dx +g\, dy$ ).

Krok 3. Odtąd postępujemy tak, jak w dowodzie Stwierdzenia [link], definiując funkcję $h$ wzorem def pierwotnej h, ustaliwszy wcześniej dowolny punkt początkowy $\pp_0\in \Omega$ , z którego wędruje się do innych punktów wzdłuż łamanych. □