Formy wieloliniowe antysymetryczne | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

W tym podrozdziale $S_k$ oznacza grupę permutacji. Przypomnijmy: znakiem permutacji $\sigma\in S_k$ nazywa się liczbę

$\eps(\sigma)=(-1)^{p(\sigma)}, \qquad\mbox{gdzie}\quad p(\sigma)=\#{}\{(i,j)\colon 1\le i< j\le k, \ \sigma(i)>\sigma(j)\}\, .$

Znak permutacji $\sigma$ jest równy $1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\sigma$ jest złożeniem parzystej liczby transpozycji; jeśli $\sigma$ jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji, to $\eps(\sigma)=-1$ . Przekształcenie $\eps\colon S_k\to \Z_2=\{-1,1\}$ jest homomorfizmem grup.

Definicja Niech $k\in \N$ i niech $X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem $\R$ . Przekształcenie $k$ -liniowe $\omega\colon X^k=X\times \ldots \times X\to \R$ nazywa się $k$ -formą antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy równość

$\begin{equation}\label{antysym} \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{i-1},\textcolor{blue}{\bxi_j} ,\bxi_{i+1},\ldots,\bxi_{j-1},\textcolor{blue}{\bxi_i},\bxi_{j+1},\ldots,\bxi_k) = - \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_k) \end{equation}$

zachodzi dla wszystkich $i,j\in \{1,\ldots,k\}$ , $i<j$ , oraz wszystkich wektorów $\bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X$ .

Zbiór wszystkich $k$ -form antysymetrycznych oznacza się symbolem $\Lambda^kX^\ast$ . Dla $k=0$ przyjmujemy $\Lambda^0X^\ast=\R$ . Dla $k=1$ warunek z definicji jest zawsze spełniony; wtedy $\Lambda^1X^\ast=X^\ast$ jest przestrzenią wszystkich funkcjonałów liniowych na $X$ .

Uwaga Zbiór $\Lambda^kX^\ast$ jest przestrzenią liniową. Jeśli forma $\omega\in \Lambda^kX^\ast$ i permutacja $\sigma\in S_k$ , to

$\omega(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})=\eps(\sigma)\cdot \omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k})$

dla wszystkich wektorów $\bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X$ . Wynika to z faktu, że każda permutacja jest złożeniem transpozycji.

Stwierdzenie Jeśli $\omega\in \Lambda^kX^\ast$ i wektory $\bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X$ są liniowo zależne, to $\omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k})=0$ . W szczególności, $\Lambda^kX^\ast=\{0\}$ dla $k>\dim X$ .

Dowód: Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że $\bxi_1=a_2\bxi_2+\cdots a_k\bxi_k$ . Z liniowości $\omega$ względem pierwszego argumentu wynika, że

$\omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k})=\sum_{j=2}^ka_j\, \omega(\bxi_j,\bxi_2,\ldots,\bxi_k).$

Wobec antysym, każdy składnik sumy jest zerem (dwa spośród argumentów $\omega$ są równe!). □

Przykład [baza i wymiar przestrzeni $\Lambda^k (\R^n)^\ast$ ](#) Ustalmy $k\in \{1,\ldots, n\}$ . Niech $X=\R^n$ . Dla każdego uporządkowanego zestawu $k$ różnych liczb

$\begin{equation} \label{J} J=(j_1,\ldots,j_k)\in \N^k, \qquad 1\le j_1<j_2<\ldots<j_k\le n \end{equation}$

określimy odwzorowanie liniowe $dx_J\colon \big(\R^n\big)^k\to \R$ wzorem

$\begin{equation} \label{dx J} dx_J(\bxi_1,\bxi_2,\ldots,\bxi_k)=\det\Big(\big(\bxi_{\mu,j_\nu} \big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\Big)\, . \end{equation}$

Ponieważ wyznacznik jest antysmetryczną funkcją kolumn (wierszy) macierzy, więc rzeczywiście $dx_J\in \Lambda^k (\R^n)^\ast$ . Zbiór wszystkich zestawów $J$ , określonych w J, oznaczymy symbolem $\mathcal{J}_k(n)$ . Jest rzeczą jasną, że $\mathcal{J}_k(n)$ ma $\binom nk$ elementów.

Wykażemy, że formy $dx_J$ , gdzie $J\in \mathcal{J}_k(n)$ , stanowią bazę $\Lambda_k(\R^n)^\ast$ . Niech $\ee_1,\ldots,\ee_n$ będą wektorami standardowej bazy w $\R^n$ . Zauważmy, że dla $I,J\in \mathcal{J}_k(n)$ , $J=(j_1,\ldots,j_k)$ ,

${\dyj xI} (\ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_k})=\delta_{IJ}=\begin{cases}1, & I=J, \\0, &\text{w przeciwnym przypadku.}\end{cases}$

Wartości formy $\omega\in \Lambda^k(\R^n)^\ast$ wystarczy określić na wszelkich układach wektorów bazy w $\R^n$ (i każda forma jest przez te wartości określona jednoznacznie). Dlatego równość $\omega=\sum_Ja_J\, dx_J$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\begin{equation} \label{wzor aJ} \omega (\ee_{j_1},\ldots,\ee_{j_k})=a_J \qquad\mbox{dla wszystkich}\qquad J\in \mathcal{J}_k(n). \end{equation}$

Zatem formy $dx_J$ istotnie są bazą $\Lambda_k(\R^n)^\ast$ i mamy

$\begin{equation} \label{dim lambda k} \dim \Lambda_k(\R^n)^\ast=\#\mathcal{J}_k(n)=\binom nk \qquad\mbox{dla $k=1,\ldots,n$.} \end{equation}$

Interpretacja geometryczna. Zanim przejdziemy do kolejnej abstrakcyjnej definicji, wspomnijmy o geometrycznej interpretacji form ${\dyj xI}$ . Otóż, $k$ liniowo niezależnych wektorów $\bxi_1,\ldots,\bxi_k\in \R^n$ rozpina $k$ -wymiarowy równoległościan w $\R^n$ . Wobec wzoru dx J oraz geometrycznej interpreatcji wyznacznika, liczba ${\dyj xI}(\bxi_1,\ldots,\bxi_k)$ jest, z dokładnością do znaku, $k$ -wymiarową objętością rzutu tego równoległościanu na $k$ -wymiarową podprzestrzeń $\R^I\subset\R^n$ , rozpiętą na wektorach $\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k}$ , gdzie zestaw numerów $(i_1,\ldots,i_k)=I$ . Znak zależy od tego, czy rzuty wektorów $\xi_j$ na $\R^I$ tworzą bazę zorientowaną zgodnie ze standardową bazą $\R^I$ , czy nie.

Definicja [iloczyn zewnętrzny] Niech $k,l\in \N$ . Iloczynem zewnętrznym form $\alpha\in \Lambda^k X^\ast$ i $\beta\in \Lambda^l X^\ast$ nazywamy formę $\alpha\wedge\beta\in \Lambda^{k+l}X^\ast$ określoną wzorem

$\alpha\wedge\beta(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l})=\sum_{\sigma\in S_{k,l}} \eps(\sigma)\, \alpha(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})\, \beta(\bxi_{\sigma(k+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l)})$

gdzie $S_{k,l}$ oznacza podzbiór grupy permutacji $S_{k+l}$ złożony z tak zwanych $(k,l)$ -tasowań,

$S_{k,l}=\big\{\sigma\in S_{k+l}\; \colon\quad \sigma(1)<\ldots <\sigma(k),\quad \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l)\big\}\, .$

Dla $c\in \Lambda^0X^\ast\equiv \R$ i $\alpha\in \Lambda^kX^\ast$ przyjmujemy $c\wedge\alpha=c\,\alpha\in\Lambda^kX^\ast$ .

Na przykład, dla $\alpha,\beta\in \Lambda^1X^\ast$ oraz $\gamma\in \Lambda^2X^\ast$ mamy wprost z definicji

$\begin{align*} (\alpha\wedge\beta)(\bxi,\bta)&=\alpha(\bxi)\beta(\bta)-\alpha(\bta)\beta(\bxi),\\ (\alpha\wedge\gamma)(\bxi,\bta,\bzeta)&=\alpha(\bxi)\gamma(\bta,\bzeta)-\alpha(\bta)\gamma(\bxi,\bzeta) +\alpha(\bzeta)\gamma(\bxi,\bta)\\ &= \alpha(\bxi)\gamma(\bta,\bzeta)+\alpha(\bta)\gamma(\bzeta,\bxi) +\alpha(\bzeta)\gamma(\bxi,\bta) \end{align*}$

(ostatnia równość wynika z antysymetrii $2$ -formy $\gamma$ ).

Wprost z definicji wynika też, że iloczyn zewnętrzny $\alpha\wedge\beta$ jest przekształceniem dwuliniowym, tzn. zależy liniowo od każdego z czynników $\alpha,\beta$ z osobna.

Lemat [własności iloczynu zewnętrznego] (#) Niech $k,l,m\in \N\cup\{0\}$ . Wówczas:

dla $\alpha\in \Lambda^k X^\ast$ i $\beta\in \Lambda^l X^\ast$ jest

$\alpha\wedge\beta=(-1)^{kl} \beta\wedge\alpha \, ;$
iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn.

$(\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma=\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma) \qquad\mbox{dla}\quad \alpha\in \Lambda^k X^\ast, \ \beta\in \Lambda^l X^\ast, \ \gamma\in \Lambda^m X^\ast;$
dla wszystkich $J=(j_1,\ldots,j_k)\in\mathcal{J}_k(n)$ jest

$dx_J=dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_k}\, .$

Dowód: Własność (i) wynika łatwo wprost z definicji; trzeba zauważyć, że każde tasowanie $\sigma\in S_{k,l}$ można zmienić w tasowanie ze zbioru $S_{l,k}$ za pomocą $kl$ transpozycji (przestawień).

Aby wykazać łączność, wprowadzimy zbiór `potrójnych tasowań'

$S_{k,l,m}=\left\{\sigma\in S_{k+l+m}\ \Bigg|\quad \begin{array}{l} \sigma(1)< \ldots <\sigma(k), \\ \sigma(k+1)<\ldots <\sigma(k+l), \\ \sigma(k+l+1)<\ldots <\sigma(k+l+m) \end{array} \right\}$

Zarówno $\big((\alpha\wedge\beta)\wedge\gamma\big)(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l+m})$ , jak i $\big(\alpha\wedge(\beta\wedge\gamma)\big)(\bxi_1,\ldots,\bxi_{k+l+m})$ są, z definicji iloczynu zewnętrznego i własności znaku permutacji, równe liczbie

$\sum_{\sigma\in S_{k,l,m}} \eps(\sigma)\, \alpha(\bxi_{\sigma(1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k)})\, \beta(\bxi_{\sigma(k+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l)})\, \gamma(\bxi_{\sigma(k+l+1)},\ldots,\bxi_{\sigma(k+l+m)})\, .$

Stąd wynika łączność mnożenia zewnętrznego. Iterując powyższy wzór, otrzymuje się przez indukcję, dla wszystkich $1$ -form $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in X^\ast=\Lambda^1X^\ast$ i wektorów $\bxi_1,\ldots,\bxi_k\in X$ , równość

$\begin{equation} \begin{split} (\alpha_1\wedge\ldots\wedge\alpha_k)(\bxi_1,\ldots,\bxi_k) &= \sum_\sigma \eps(\sigma)\cdot \alpha_1(\bxi_{\sigma(1)})\cdot\alpha_2(\bxi_{\sigma(2)})\cdot\ldots\cdot \alpha_k(\bxi_{\sigma(k)})\, \\ &=\det\Big(\big(\alpha_\nu(\bxi_{\mu}) \big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k}\Big)\, . \end{split} \end{equation}$

Kładąc $X=\R^n$ oraz $\alpha_\nu=dx_{j_\nu}$ , otrzymujemy punkt (iii) tezy lematu.□

Definicja [przeciągnięcie formy] Jeśli $A\colon X\to Y$ jest przekształceniem liniowym i $\omega\in \Lambda^kY^\ast$ , to formę $A^\ast\omega \in \Lambda^kX^\ast$ , nazywaną przeciągnięciem $\omega$ za pomocą $A$ , definiujemy wzorem

$A^\ast\omega(\bxi_1,\ldots,\bxi_k)= \omega(A\bxi_1,\ldots,A\bxi_k)\, ,\qquad \bxi_j\in X \mbox{ dla $j=1,\ldots, k$.}$

Przyporządkowanie $\omega\mapsto A^\ast \omega$ jest przekształceniem liniowym z $\Lambda^kY^\ast$ w $\Lambda^k X^\ast$ . Odnotujmy inne jego własności.

Stwierdzenie (#)

Jeśli $A\colon X\to Y$ i $B\colon Y\to Z$ są przekształceniami liniowymi, to $(B\circ A)^\ast\omega=A^\ast(B^\ast\omega)$ dla każdej $k$ -formy $\omega\in \Lambda^k Z^\ast$ .
Wzór $A^\ast (\alpha \wedge \beta) = A^\ast\alpha \wedge A^\ast\beta$ zachodzi dla wszystkich $A\colon X\to Y$ liniowych oraz wszystkich $\alpha\in \Lambda^kY^\ast$ , $\beta\in \Lambda^lY^\ast$ .
Jeśli $A=\big(a_{ij}\big)$ , gdzie ${i=1,\ldots,n}$ , ${j=1,\ldots,m}$ , jest przekształceniem liniowym z przestrzeni $\R^m$ w $\R^n$ , przy czym współrzędnymi w $\R^n$ i $\R^m$ są, odpowiednio, $\yy=(y_1,\ldots,y_n)$ i $\xx=(x_1,\ldots,x_m)$ , to wówczas

$\begin{equation} \label{linpull dyJ} A^\ast({\dyj yJ})=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} \det A(J,I)\; {\dyj xI} \qquad\mbox{dla $J\in \mathcal{J}_k(n)$,} \end{equation}$

gdzie symbol $A(J,I)$ oznacza macierz $k\times k$ , powstającą z $A$ przez wybór wierszy onumerach ze zbioru $J\in \mathcal{J}_k(n)$ oraz kolumn o numerach ze zbioru $I\in \mathcal{J}_k(m)$ .

Dowód: Pierwsze dwie własności wynikają wprost z definicji; (i) jest praktycznie oczywista, natomiast dowód (ii) jest prostym ćwiczeniem, polegającym na wypisaniu definicji przeciągnięcia, definicji iloczynu zewnętrznego i raz jeszcze definicji przeciągnięcia. Szczegóły pozostawimy Czytelnikowi.

Dla dowodu (iii) skorzystamy z rachunków przeprowadzonych w Przykładzie [link]: jeśli $\omega=A^\ast({\dyj yJ})$ , to równość

$\omega=\sum_{I\in \mathcal{J}_k(m)} {\bigi cI}\; {\dyj xI},$

wyrażająca formę $\omega$ w bazie ${\dyj xI}$ , $I\in \mathcal{J}_k(m)$ , zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zestawu $I=(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ jest

$\begin{align*} {\bigi cI}=\omega(\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k}) & = (A^\ast {\dyj yJ}) (\ee_{i_1},\ldots,\ee_{i_k})\\ & = \dyj yJ (A\ee_{i_1},\ldots,A\ee_{i_k})\\ & = \det \Big( \big((A\ee_{i_\mu})_{j_\nu}\big)_{\mu,\nu=1,\ldots,k} \Big) = \det A(J,I), \end{align*}$

gdyż wektory $A\ee_{i_\mu}$ są po prostu kolumnami macierzy przekształcenia $A$ . □