W tym podrozdziale oznacza grupę permutacji. Przypomnijmy: znakiem permutacji
nazywa się liczbę
![]() |
Znak permutacji jest równy
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest złożeniem parzystej liczby transpozycji; jeśli
jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji, to
. Przekształcenie
jest homomorfizmem grup.






![]() |
zachodzi dla wszystkich ,
, oraz wszystkich wektorów
.
Zbiór wszystkich -form antysymetrycznych oznacza się symbolem
. Dla
przyjmujemy
. Dla
warunek z definicji jest zawsze spełniony; wtedy
jest przestrzenią wszystkich funkcjonałów liniowych na
.



![]() |
dla wszystkich wektorów . Wynika to z faktu, że każda permutacja jest złożeniem transpozycji.







![]() |
Wobec antysym, każdy składnik sumy jest zerem (dwa spośród argumentów są równe!). □




![]() |
określimy odwzorowanie liniowe wzorem
![]() |
Ponieważ wyznacznik jest antysmetryczną funkcją kolumn (wierszy) macierzy, więc rzeczywiście . Zbiór wszystkich zestawów
, określonych w J, oznaczymy symbolem
. Jest rzeczą jasną, że
ma
elementów.
Wykażemy, że formy , gdzie
, stanowią bazę
. Niech
będą wektorami standardowej bazy w
. Zauważmy, że dla
,
,
![]() |
Wartości formy wystarczy określić na wszelkich układach wektorów bazy w
(i każda forma jest przez te wartości określona jednoznacznie). Dlatego równość
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
Zatem formy istotnie są bazą
i mamy
![]() |
Interpretacja geometryczna. Zanim przejdziemy do kolejnej abstrakcyjnej definicji, wspomnijmy o geometrycznej interpretacji form . Otóż,
liniowo niezależnych wektorów
rozpina
-wymiarowy równoległościan w
. Wobec wzoru dx J oraz geometrycznej interpreatcji wyznacznika, liczba
jest, z dokładnością do znaku,
-wymiarową objętością rzutu tego równoległościanu na
-wymiarową podprzestrzeń
, rozpiętą na wektorach
, gdzie zestaw numerów
. Znak zależy od tego, czy rzuty wektorów
na
tworzą bazę zorientowaną zgodnie ze standardową bazą
, czy nie.




![]() |
gdzie oznacza podzbiór grupy permutacji
złożony z tak zwanych
-tasowań,
![]() |
Dla i
przyjmujemy
.
Na przykład, dla oraz
mamy wprost z definicji
![]() |
(ostatnia równość wynika z antysymetrii -formy
).
Wprost z definicji wynika też, że iloczyn zewnętrzny jest przekształceniem dwuliniowym, tzn. zależy liniowo od każdego z czynników
z osobna.

- dla
i
jest
- iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn.
- dla wszystkich
jest



Aby wykazać łączność, wprowadzimy zbiór `potrójnych tasowań'
![]() |
Zarówno , jak i
są, z definicji iloczynu zewnętrznego i własności znaku permutacji, równe liczbie
![]() |
Stąd wynika łączność mnożenia zewnętrznego. Iterując powyższy wzór, otrzymuje się przez indukcję, dla wszystkich -form
i wektorów
, równość
![]() |
Kładąc oraz
, otrzymujemy punkt (iii) tezy lematu.□





![]() |
Przyporządkowanie jest przekształceniem liniowym z
w
. Odnotujmy inne jego własności.
- Jeśli
i
są przekształceniami liniowymi, to
dla każdej
-formy
.
- Wzór
zachodzi dla wszystkich
liniowych oraz wszystkich
,
.
- Jeśli
, gdzie
,
, jest przekształceniem liniowym z przestrzeni
w
, przy czym współrzędnymi w
i
są, odpowiednio,
i
, to wówczas
gdzie symbol
oznacza macierz
, powstającą z
przez wybór wierszy onumerach ze zbioru
oraz kolumn o numerach ze zbioru
.
Dla dowodu (iii) skorzystamy z rachunków przeprowadzonych w Przykładzie [link]: jeśli , to równość
![]() |
wyrażająca formę w bazie
,
, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zestawu
jest
![]() |
gdyż wektory są po prostu kolumnami macierzy przekształcenia
. □