Funkcje ciągłe: definicje, własności, przykłady

Definicja Funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ \aa\in A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \eps>0 $ istnieje $ \delta>0 $ takie, że jeśli $ \xx\in A $ i $ \|\xx-\aa\|<\delta $, to $ \|f(\xx)-f(\aa)\|<\eps $.

Jak widać, jest to wierny odpowiednik definicji Cauchego funkcji ciągłej jednej zmiennej rzeczywistej. Można też definiować ciągłość funkcji wielu zmiennych, posługując się ciagową definicją Heinego: funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ \aa\in A $ wtedy itylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $ A\ni \xx_j\to \aa $ jest $ f(\xx_j)\to f(\aa) $. Dowód równoważności obu definicji jest taki sam, jak w przypadku jednowymiarowym. Nie będziemy go powtarzać.

Mówimy, że funkcja $ f $ jest ciągła na zbiorze $ A $, jeśli jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru.

Również jednostajną ciągłość funkcji wielu zmiennych definiuje się tak samo, jak w przypadku jednowymiarowym.

Definicja Funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest jednostajnie ciągła na $ A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \eps>0 $ istnieje $ \delta>0 $ takie, że jeśli $ \xx,\yy\in A $ i $ \|\xx-\yy\|<\delta $, to $ \|f(\xx)-f(\yy)\|<\eps $.

W zeszłym roku poznaliśmy trzy ogólne twierdzenia, podające własności funkcji ciagłych: twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów, twierdzenie Cantora o jednostajnej ciągłości oraz własność Darboux. Pierwsze dwa dotyczyły własności funkcji ciągłych $ f\colon \R\supset K\to \R $ na zwartych podzbiorach prostej. Przenoszą się one bez zmian, z takimi samymi dowodami, na przypadek funkcji wielu zmiennych. Oto ich sformułowania.

Twierdzenie [Weierstrassa o przyjmowaniu kresów](#) Jeśli $ K\subset \R^n $ jest niepustym zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R $ jest ciągła, to istnieją punkty $ \xx_1,\xx_2\in K $ takie, że

\[ f(\xx_1) = \sup_{K} f\, , \qquad   f(\xx_2) = \inf_{K} f\, .  \]
Twierdzenie [Cantora o jednostajnej ciągłości] Jeśli $ K\subset \R^n $ jest zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R $ jest ciągła, to $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ K $.

Wspomnijmy jeszcze, zanim przejdziemy do przykładów, że Twierdzenie [link] można traktować jako wniosek z ogólniejszego rezultatu.

Twierdzenie Jeśli $ K\subset \R^n $ jest zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R^m $ jest ciągła, to zbiór $ f(K) $ jest zwarty w $ \R^m $.
Dowód: Ustalmy dowolny ciąg punktów $ (\yy_j)\subset f(K) $. Z definicji obrazu zbioru, istnieją punkty $ \xx_j\in K $ takie, że $ \yy_j=f(\xx_j) $ dla każdego $ j\in \N $. Zbiór $ K $ jest zwarty, więc istnieje podciąg $ j_k $ taki, że $ \xx_{j_k}\to \xx\in K $. Wobec ciągłości $ f $, otrzymujemy $ \yy_{j_k}=f(\xx_{j_k})\to f(\xx)\in f(K) $. Zatem, zbiór $ f(K) $ jest zwarty. □

Poznaliśmy formalną definicję ciągłości i trzy proste, choć bardzo ważne twierdzenia, opisujące własności tych funkcji. Przejdźmy teraz do przykładów.

Definicja [warunek Lipschitza] Powiemy, że funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ spełnia na zbiorze $ A $ warunek Lipschitza ze stałą $ L $ wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność

\[ 	 \|f(\xx)-f(\yy)\| \le L\|\xx-\yy\| 	\]

zachodzi dla wszystkich $ \xx,\yy\in A $.

Nieformalnie mówiąc, funkcja lipschitzowska to taka funkcja, która wszystkie odległości między punktami zwiększa co najwyżej $ L $-krotnie.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $ L $, to $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ A $.
Dowód: (Jest taki sam, jak w przypadku jednowymiarowym). Dla $ L=0 $ teza jest oczywista. Załóżmy więc, że $ L>0 $.

Niech $ \eps>0 $; weźmy $ \delta=\eps/L $. Jeśli $ \xx,\yy\in A $ i $ \|\xx-\yy\|<\delta $, to mamy wtedy

\[ \|f(\xx)-f(\yy)\|  \le L\|\xx-\yy\| < L\delta=\eps\, ,                                      \]

a zatem, dzięki dowolności $ \eps>0 $, $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ A $. □

Przykład (#) Funkcja $ f(\xx)=x_i $, przypisująca każdemu punktowi wartość jego $ i $-tej współrzędnej, jest ciągła na $ \R^n $, gdyż spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1. Istotnie,

\[ 	|f(\xx)-f(\yy)|= |x_i-y_i|\le \biggl(\sum_{j=1}^n |x_j-y_j|^2\biggr)^{1/2}=\|\xx-\yy\|\, . 	\]

Na przypadek wielowymiarowy przenoszą się bez żadnych istotnych zmian (analizę szczegółów w prostych dowodach pozostawiamy dla Czytelnika jako ćwiczenie) twierdzenia o ciągłości sumy, iloczynu, ilorazu czy złożenia funkcji ciągłych, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

Sformułujmy je dla porządku.

Stwierdzenie Jeśli $ f,g\colon \R^n\supset A\to \R^m $ są ciągłe w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ f+g\colon \R^n\supset A\to \R^m $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □

Wynika stąd w szczególności, że przestrzeń funkcji ciągłych $ C(A,\R^m) $, określonych na zbiorze $ A\subset \R^n $ i przyjmujących wartości w $ \R^m $, jest przestrzenią liniową nad $ \R $.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ i $ g\colon \R^n\supset A\to \R $ są ciągłe w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ g\cdot f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □
Stwierdzenie Jeśli $ g\colon \R^n\supset A\to \R\setminus\{0\} $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ \frac 1g \colon \R^n\supset A\to \R\setminus\{0\} $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □
Stwierdzenie [ciągłość złożenia] Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $, zaś $ g\colon \R^m\subset B\to \R^k $, gdzie $ B\supset f(A) $ (tzn. wszystkie wartości funkcji $ f $ należą do dziedziny funkcji $ g $) jest ciągła w punkcie $ b=f(a) $, to wówczas funkcja $ g\circ f\colon \R^n\supset A\to \R^k $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □

Wreszcie, zachodzi następujący prosty odpowiednik Stwierdzenia [link], dzięki któremu można sprowadzić badanie ciągłości odwzorowania o wartościach w $ \R^m $ do badania ciągłości poszczególnych współrzędnych tego odwzorowania.

Stwierdzenie Niech $ f=(f_1,\ldots,f_m)\colon \R^n\supset A\to \R^m $ i $ \aa\in A $. Następujące warunki są równoważne:

  1. Funkcja $ f $ jest ciągła w punkcie $ \aa $.
  2. Dla każdego $ j=1,2,\ldots, m\,  $ funkcja $ f_j $ jest ciągła w punkcie $ \aa $.

(#)

Dowód: Dla każdego $ j_0=1,2,\ldots, m $ i każdego ciągu $ (\xx_k)\subset A $, $ \xx_k\to \aa $ mamy oczywiście

\[ 0\le |f_{j_0}(\xx_k)-f_{j_0}(\aa)|\le \biggl(\sum_{j=1}^m |f_{j}(\xx_k)-f_{j}(\aa)|^2\biggr)^{1/2} = \|f(\xx_k)-f(\aa)\|\, . \]

Dlatego implikacja (i) $ \Rightarrow $ (ii) wynika natychmiast z twierdzenia o trzech ciągach, a implikacja w drugą stronę jest konsekwencją arytmetycznych własności granicy i ciągłości pierwiastka kwadratowego. □

Uwaga W powyższym stwierdzeniu ciągłość $ f_j $ wynika także stąd, że $ f_j $ jest złożeniem $ f $ i rzutu na $ j $-tą oś układu współrzędnych. To minimalnie inny sposób wypowiedzenia tego samego faktu.
Wniosek Każdy wielomian $ n $ zmiennych rzeczywistych jest funkcją ciagłą.
Dowód: To wynika natychmiast z ciągłości funkcji współrzędnych i funkcji stałej, oraz z ciągłości sumy i iloczynu funkcji ciągłych. □
Wniosek Wyznacznik macierzy jest funkcją ciągłą na zbiorze $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $ wszystkich macierzy kwadratowych $ n\times n $.
Dowód: Z permutacyjnej definicji wyznacznika wiadomo, że

\[ \det X = \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}\,  \sigma \cdot x_{1,\sigma(1)}x_{2,\sigma(2)}\cdot\ldots\cdot x_{n,\sigma(n)}\, , \qquad X=(x_{i,j})_{1\le i,j\le n}\, , \]

gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich permutacji $ \sigma\in S_n $ zbioru $ n $-ele\-men\-towego, a $ \mathrm{sgn}\,  \sigma=\pm 1 $ oznacza znak permutacji. Zatem, wyznacznik jest po prostu wielomianem $ n^2 $ zmiennych rzeczywistych (wyrazów macierzy $ X $), a więc jest funkcją ciągłą. □

Z ostatniego wniosku wynika łatwo, że zbiór wszystkich macierzy odwracalnych jest otwartym podzbiorem $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $. Wiąże się z tym następująca ważna intuicja: mała zmiana wyrazów macierzy odwracalnej daje macierz odwracalną. Sformułujmy to ściśle.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset \Omega\to \R $ jest ciągła, a $ \Omega $ jest otwartym podzbiorem $ \R^n $, to dla każdego przedziału otwartego $ (a,b)\supset \R $ (dopuszczamy też możliwość $ a=-\infty $ lub $ b=+\infty $) zbiór $ U=f^{-1}\bigl((a,b)\bigr) $ jest otwarty. (#)
Dowód: Wybierzmy $ \xx\in U $. Znajdziemy taką liczbę $ \delta>0 $, że $ B(\xx,\delta)\subset U $, co zakończy dowód otwartości tego zbioru.

Skoro $ \xx\in U $, to z definicji $ a<f(\xx)<b $. Wybierzmy taką liczbę $ \eps>0 $, żeby przedział $ (f(\xx)-\eps,f(\xx)+\eps) $ był zawarty w $ (a,b) $. Następnie, dobierzmy $ \delta>0 $ tak, aby dla $ \|\yy-\xx\|<\delta $ zachodziła nierówność $ |f(\xx)-f(\yy)|<\eps $ (uwaga: tu właśnie korzystamy z ciągłości $ f $). Wtedy

\[ f(\yy)\in (f(\xx)-\eps,f(\xx)+\eps) \subset (a,b), \]

a więc, wprost z definicji przeciwobrazu, $ \yy\in f^{-1}\bigl((a,b)\bigr)=U $. Wykazaliśmy więc, że jeśli $ \yy\in B(\xx,\delta) $, to $ \yy\in U $, tzn. $ B(\xx,\delta)\subset U $. Zgodnie z początkową zapowiedzią, dowód jest zakończony.□

Wniosek Zbiór macierzy odwracalnych $ n\times n $ jest otwartym podzbiorem $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $.
Dowód: Zbiór, o który chodzi, jest sumą dwóch zbiorów:

\[ \{X\in M_{n\times n}\colon \det X > 0\} \qquad\mbox{oraz}\qquad \{X\in M_{n\times n}\colon \det X < 0\}. \]

Ze Stwierdzenia [link] i ciągłości wyznacznika wnioskujemy, że każdy z tych zbiorów jest otwarty, a więc ich suma też jest zbiorem otwartym. □

Ciągłość norm i przekształceń liniowych

Stwierdzenie Każde przekształcenie liniowe $ A\colon \R^n\to \R^m $ spełnia warunek Lipschitza (w szczególności: jest ciągłe). (#)
Dowód: Niech $ A=(a_{ij}) $, bez zbytnich obaw o kolizję oznaczeń, oznacza macierz przekształcenia $ A $ w standardowych bazach $ \R^n $ i $ \R^m $. Wektory standardowej bazy w $ \R^n $ będziemy oznaczać

\[ \ee_i=(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{i},0,\ldots,0)\, ,\qquad i=1,\ldots,n. \]

Zauważmy, że zapis $ \xx=(x_1,\ldots,x_n) $ oznacza tyle samo, co $ \xx=\sum x_i\ee_i $. Posługując się najpierw nierównością trójkąta i własnościami normy, następnie zaś nierównością Schwarza, łatwo sprawdzamy, że

\[ \begin{eqnarray*} \|A\xx\| & = & \biggl\|\sum_{i=1}^n x_i\, A\ee_i\biggr\|  \\            & \le &\sum_{i=1}^n |x_i|\, \cdot\,  \|A\ee_i\|  \\ & \le & \biggl(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\biggr)^{1/2}  \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}\\ & = & C\|x\|\, ,            \end{eqnarray*} \]

gdzie

\[ C\equiv C_A =   \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}  \]

jest pewną stałą, zależną tylko od przekształcenia $ A $, nie zaś od punktu $ \xx $.

Zastępując w powyższym rachunku wektor $ \xx $ wektorem $ \xx-\yy $, otrzymujemy

\[ \|A\xx-A\yy\| = \|A(\xx-\yy)\|\le C \|\xx-\yy\|, \qquad\xx,\yy\in \R^n\, . \]

Przekształcenie $ A\colon R^n\to \R^m $ spełnia więc warunek Lipschitza.□

Uwaga Definicję ciągłości można formalnie, bez najmniejszych zmian, przenieść na przypadek funkcji $ f\colon V\to W $, gdzie $ V,W $ są przestrzeniami liniowymi unormowanymi. Jednak, gdy $ V $ ma wymiar nieskończony, to istnieją przekształcenia liniowe $ A\colon V\to \R $, które nie są ciągłe. Czytelnik, zapoznawszy się do końca z treścią tego rozdziału, może samodzielnie zastanowić się nad (prostymi) przykładami.
Uwaga Stała $ C_A $, którą uzyskaliśmy w powyższym dowodzie, jest (na ogół) nieoptymalna. Zauważmy, że $ A\ee_i $ to po prostu $ i $-ta kolumna macierzy $ A $. Dlatego

\[ C_A =   \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}=  \biggl(\sum_{i,j} a_{ij}^2\biggr)^{1/2}  \]

jest po prostu normą euklidesową macierzy $ A $, traktowanej jako wektor o $ n\cdot m $ współrzędnych. Np. dla $ n=m=3 $ i $ A=\mathrm{Id}\colon \R^3\to \R^3 $ otrzymujemy tu wynik $ C_{\mathrm{Id}}=\sqrt{3} $, a widać wszak, że dla przekształcenia identycznościowego odpowiednia nierówność zachodzi ze stałą równą $ 1 $ (i jest po prostu równością).

Zadanie Wykazać, że dla przekształcenia liniowego $ A\colon V\to W $, gdzie $ V,W $ są przestrzeniami liniowymi unormowanymi, następujące warunki są równoważne:

  1. $ A $ jest ciągłe na $ V $;
  2. $ A $ jest ciągłe w jednym punkcie przestrzeni $ V $;
  3. Istnieje taka stała $ C $, że $ \|A\xx\|\le C\|\xx\| $ dla wszystkich $ \xx\in V $.

Nietrudno sprawdzić, że wśród wszystkich stałych, spełniających warunek (iii) z powyższego zadania, istnieje zawsze najmniejsza (nierówności nieostre zachowują się w granicy). Tę stałą nazywamy normą (lub normą operatorową) przekształcenia liniowego $ A $ i oznaczamy $ \|A\| $. Ma ona poglądową interpretację geometryczną: dla $ A\colon\R^n\to \R^m $ liczba $ \|A\| $ jest równa

\[ \sup_{\|\xx\|=1} \|A\xx\|\, , \]

tzn. jest długością najdłuższej półosi elipsoidy, która jest obrazem kuli jednostkowej pod działaniem przekształcenia $ A $.

Stwierdzenie Niech $ f(\xx)=\|\xx\|' $ będzie dowolną normą na przestrzeni $ \R^n $. Wówczas $ f $ spełnia warunek Lipschitza w normie euklidesowej $ \|\cdot\|\equiv\|\cdot\|_2 $. W szczególności, dowolna norma jest funkcją ciągłą na $ \R^n $.
Dowód: Dla każdego $ \xx\in \R^n $, postępując tak samo, jak w początkowej części dowodu Stwierdzenia [link], otrzymujemy

\[ \|\xx\|'=\biggl\|\sum_{i=1}^nx_i\ee_i\biggr\|'\le   \sum_{i=1}^n|x_i|\cdot\|\ee_i\|' \le \|x\|_2\cdot \biggl(\sum_{i=1}^n\bigl(\|\ee_i\|'\bigr)^2\biggr)^{1/2}=C\|x\|_2, \]

gdzie stała

\[ C=\biggl(\sum_{i=1}^n\bigl(\|\ee_i\|'\bigr)^2\biggr)^{1/2} \]

zależy tylko od nieznanej normy $ \|\cdot\|' $, nie zaś od konkretnego punktu $ \xx\in\R^n $. Dlatego, z nierówności trójkąta,

\[ \bigl|\|\xx\|'-\|\yy\|'\bigr| \le \|\xx-\yy\|' \le C \|\xx-\yy\|_2 \, , \]

tzn. funkcja $ f=\|\cdot\|' $ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $ C $. □

Definicja [równoważność norm] Powiemy, że normy $ \|\cdot\| $ i $ \|\cdot\|' $ określone na tej samej przestrzeni liniowej $ V $ są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała $ C\ge 1 $ taka, że

\[ 	\frac 1C \|\xx\|'\le \|\xx\|\le C\|\xx\|' \qquad\mbox{dla wszystkich $\xx\in V$.} 	\]
Twierdzenie Wszystkie normy na przestrzeni $ \R^n $ są równoważne.

     Dowód tego twierdzenia pozostawimy jako zadanie dla Czytelnika. Oto wskazówka: wystarczy umieć porównać każdą normę z normą euklidesową; porównanie $ \|\cdot\|'\le C\|\cdot\|_2 $ przeprowadziliśmy w ostatnim dowodzie. Wystarczy zatem wykazać, że zachodzi, być może z inną stałą, nierówność przeciwna. Można w tym celu wykorzystać twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów i fakt, że sfera $ \{\xx\in \R^n\colon x_1^2+\cdots+x_n^2=1\} $ jest zbiorem zwartym.

Inne z eleganckich zastosowań twierdzenia Weierstrassa opisuje poniższy

Przykład [dowód nierówności między średnimi] (#) Załóżmy, że $ x_1,\ldots,x_n\ge 0 $. Wykażemy nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną,

\[ \begin{equation} 	\label{AG}  \bigl(x_1x_2\ldots x_n\bigr)^{1/n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n \, ,    \end{equation} \]

a także sprawdzimy, że równość w tej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby $ x_i $ są równe.

Zauważmy najpierw, że rozważania wystarczy ograniczyć do przypadku, gdy $ x_1+x_2+\cdots+x_n=n $. To wynika z jednorodności: jeśli każdą z liczb $ x_i $ pomnożymy przez ten sam współczynnik $ t>0 $, to lewa i prawa strona AG też zostaną pomnożone przez $ t $.

Oznaczmy teraz

\[                                                              K=\{\xx\in\R^n  \colon x_i\ge 0 \mbox{ dla wszystkich $i$, a ponadto } x_1+\cdots+x_n=n\}\, . \]

Zbiór $ K $ jest zwarty. ($ K $ jest określony przez układ nierówności nieostrych, więc jego domkniętość uzysujemy np. ze Stwierdzenia , to $ \|\xx\|_\infty=\max |x_i|\le n $; stąd ograniczoność i ostatecznie zwartość $ K $." title="chardomkn). Jeśli $ \xx\in K $, to $ \|\xx\|_\infty=\max |x_i|\le n $; stąd ograniczoność i ostatecznie zwartość $ K $." class="ext">[link] Dla $ \xx\in K $ prawa strona nierówności AG jest równa 1. Wystarczy więc wykazać, że

\[ f(\xx):=x_1x_2\ldots x_n \le 1=f(1,1,\ldots, 1)\qquad \mbox{dla wszystkich $\xx\in K$,}   \]

przy czym równość zachodzi jedynie wtedy, gdy $ \xx=(1,1,\ldots,1)\in K $.

Funkcja $ f(\xx)=x_1x_2\ldots x_n $ jest ciągła, osiąga zatem w pewnym punkcie $ \aa\in K $ swój kres górny. Przypuśćmy, że ów punkt ma pewne dwie współrzędne różne, np. dla ustalenia uwagi niech $ a_1<a_2 $. Z pewnością $ \sup f\ge 1 $, więc $ a_i>0 $ dla wszystkich $ i $. Rozważmy pomocniczy punkt

\[ \aa'=\bigl((a_1+a_2)/2,(a_1+a_2)/2, a_3,\ldots,a_n\bigr). \]

Suma jego współrzędnych jest równa $ \sum a_i=n $, więc także $ \aa'\in K $. Nietrudno jednak sprawdzić, że z uwagi na ostrą nierówność $ a_1<a_2 $ jest (To w istocie nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb).

\[  \left(\frac{a_1+a_2}2\right)^2 > a_1a_2 \]

stąd zaś, ponieważ $ a_i>0 $ dla wszystkich $ i $,

\[ f(\aa')=\left(\frac{a_1+a_2}2\right)^2a_3\ldots a_n> a_1a_2a_3\ldots a_n= f(\aa)=\sup_K f\, , \]

sprzeczność. Punkt $ \aa $, w którym $ f $ osiąga największą wartość, musi więc mieć wszystkie współrzędne równe. W $ K $ jest tylko jeden taki punkt, mianowicie $ \aa=(1,1,\ldots, 1) $.

Ostatecznie więc

\[ \bigl(x_1x_2\ldots x_n\bigr)^{1/n}\le 1 \qquad \mbox{na $K$},  \]

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ x_1=x_2=\ldots =x_n=1 $. □

Przykład (#) Rozważmy teraz funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych daną wzorem

\[ 	f(x,y)=\left\{ 	\begin{array}{ll} 		\displaystyle\frac{yx^2}{y^2+x^4}\, , \qquad & (x,y)\not=(0,0),\\[12pt] 	   0, & (x,y)=(0,0).    \end{array}\right. \]

Funkcja $ f $ jest ciągła na $ \R^2\setminus\{\zero\}; $ to wynika z ciągłości licznika i mianownika.

Wykres funkcji $ f $ z Przykładu [link]; na rysunku jest $ x^2+y^2>1/500 $ (tzn. z dziedziny $ f $ wycięty został niewielki dysk o środku w zerze) i $ x,y\in [-1,1] $. Grubymi liniami zaznaczono parabole, złożone z punktów $ (t,t^2,1/2) $ oraz $ (t,-t^2,-1/2) $, gdzie $ t\in [-1,1] $: z dokładnością do punktów $ (0,0,\pm \frac 12) $, obie są położone na wykresie $ f $.

Na osiach układu współrzędnych w $ \R^2 $, tzn. tam, gdzie $ x=0 $ lub $ y=0 $, $ f $ przybiera wartość 0. Na prostej o równaniu $ y=kx $ funkcja $ f $ ma wartość

\[ f(x,kx)=\frac{kx^3}{k^2x^2+x^4}=\frac{kx}{k^2+x^2} \to 0\, , \qquad x\to 0. \]

Zatem, analizując zachowanie $ f $ na wszystkich prostych przechodzących przez $ \zero\in \R^2 $, nie widzimy jeszcze powodu, dla którego $ f $ miałaby być nieciągła w zerze. Jednak na paraboli o równaniu $ y=x^2 $ jest, poza punktem $ (0,0) $,

\[ f(x,x^2)= \frac{x^4}{(x^2)^2+x^4}=\frac{1}{2}. \]

Nie jest więc prawdą, że $ f(x_n,y_n)\to 0 $ dla każdego ciągu $ (x_n,y_n) $ zbieżnego do $ \zero\in \R^2 $: wystarczy wędrować do zera po paraboli i wtedy $ f(x_n,y_n)\equiv \frac 12 \not \to 0 $. □

Zbiory spójne

Aby zakończyć krótki przegląd podstawowych własności funkcji ciągłych, podamy jeszcze wielowymiarowy odpowiednik własności Darboux. Potrzebne nam będzie w tym celu pojęcie zbioru spójnego. Oto odpowiednia definicja.

Definicja Zbiór $ A\subset \R^n $ jest niespójny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ \begin{equation} 		\label{niespojny} 		\Omega_1\cap A\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap A, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \end{equation} \]

Zbiór $ B $ nazywa się spójny, jeśli nie jest niespójny.

Przykład [spójność odcinka] Sprawdzimy, że dla dowolnych punktów $ \xx,\yy\in \R^n $ odcinek

\[ [\xx,\yy]=\{\zz(t)= (1-t)\xx+t\yy\in \R^n\colon t\in [0,1]\} \]

jest zbiorem spójnym.

Dowód:Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Niech $ \Omega_1,\Omega_2 $ będą zbiorami otwartymi, spełniającymi niespojny dla $ A=[\xx,\yy] $. Bez zmniejszenia ogólności przyjmijmy, że $ \xx\in \Omega_1 $. Z otwartości $ \Omega_1 $ wynika, że punkt $ \zz(t)=(1-t)\xx+t\yy\in \Omega_1 $ dla wszystkich dostatecznie małych (Czytelnik sprawdzi, że jest tak dla $ 0\le t<\delta/\|\yy-\xx\| $, gdzie $ \delta>0 $ jest taką liczbą, że $ B(\xx,\delta)\subset\Omega_1 $.) $ t\ge 0 $. Oznaczmy teraz

\[ S_1=\{s\in [0,1]\colon \mbox{dla wszystkich $t\in [0,s]$ punkt $\zz(t)\in \Omega_1$}\}\, .  \]

To jest niepusty i ograniczony podzbiór odcinka $ [0,1] $. Niech $ \sigma=\sup S_1 $. Mamy $ \sigma \in (0,1] $. Gdyby $ \sigma<1 $, $ \sigma\in S_1 $, to odcinek $ [x,\zz(\sigma)] $ zawierałby się w $ \Omega_1 $. Biorąc $ \rho>0 $ takie, że $ B(\zz(\sigma),\rho)\subset\Omega_1 $, sprawdzamy, że

\[ \|\zz(\sigma)-\zz(s)\|=|\sigma-s|\cdot \|\xx-\yy\|<\rho \qquad\mbox{dla $|\sigma-s|<\rho/\|\xx-\yy\|$, $s\in [0,1]$,} \]

tzn. $ \zz(s)\in\Omega_1 $ dla wszystkich $ s $ dostatecznie bliskich $ \sigma $, co przeczy temu, że $ \sigma=\sup S_1 $.

Gdyby $ \sigma=1\in S_1 $, to mielibyśmy $ [\xx,\yy]\subset \Omega_1 $, co przeczy definicji niespójności: zbiory $ \Omega_i\cap [\xx,\yy] $ powinny być oba niepuste i rozłączne.

Zatem $ 0<\sigma\not\in S_1 $, stąd zaś wynika, że $ \zz(\sigma)\in \Omega_2 $. Wtedy jednak, tym razem wobec otwartości $ \Omega_2 $, dla wszystkich $ s $ dostatecznie bliskich $ \sigma $ jest $ \zz(s)\in \Omega_2 $, co przeczy równości $ \sigma=\sup S_1 $ i definicji $ S_1 $. □

Przykład [spójność łamanych] Łamaną w $ \R^n $ nazwiemy sumę skończenie wielu odcinków $ I_1 $, \ldots, $ I_N $, o tej własności, że koniec odcinka $ I_k $ jest początkiem $ I_{k+1} $ dla każdego $ k=1,2,\ldots, N-1 $. (Odcinki mogą mieć inne punkty wspólne: nie wymagamy, żeby łamana nie przecinała siebie samej).

Każda łamana też jest zbiorem spójnym. Można to wykazać na kilka sposobów. Po pierwsze, łamana jest ciągłym obrazem odcinka, a ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym (oba fakty nietrudno udowodnić samemu; szczegóły, które pojawią się na zajęciach z topologii, pozostawimy Czytelnikowi). Po drugie, można wykorzystać spójność odcinka i stosować przez indukcję następujący lemat:

Lemat Jeśli zbiory $ A,B\subset\R^n $ są spójne i $ A\cap B\not=\emptyset $, to $ S=A\cup B $ jest zbiorem spójnym.
Dowód: Przypuśćmy, że tak nie jest. Istnieją wtedy zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ \begin{equation} 			\label{niespojnysum} 			\Omega_1\cap S\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap S, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap S=\emptyset, \qquad S \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . 	\end{equation} \]

Niech $ \xx\in A\cap B $. Bez zmniejszenia ogólności, $ \xx\in \Omega_1 $. Zbiór $ A $ jest zawarty w sumie $ S $ zbiorów $ A $ i $ B $; dlatego, wobec drugiego i trzeciego warunku w niespojnysum,

\[  \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

Jednak $ A $ jest spójny, dlatego - z definicji! - któryś ze zbiorów $ \Omega_i\cap A $ musi być pusty. Ponieważ $ \xx\in A\cap\Omega_1 $, tzn. $ A\cap\Omega_1 $ nie jest pusty, więc $ A\cap\Omega_2=\emptyset $. Ponieważ $ \xx\in B, $ więc, powtarzając powyższe rozumowanie, wnioskujemy, że $ B\cap\Omega_2=\emptyset $.

Skoro jednak $ A\cap\Omega_2=B\cap\Omega_2=\emptyset $, to $ (A\cup B)\cap \Omega_2=S\cap \Omega_2=\emptyset $. Otrzymaliśmy sprzeczność z pierwszym warunkiem w niespojnysum.□

Uwaga Proszę sprawdzić, że powyższy lemat zachodzi nie tylko dla dwóch zbiorów spójnych, ale i dla dowolnej rodziny zbiorów spójnych, mających choć jeden punkt wspólny. W dowodzie trzeba dopasowac tylko oznaczenia.
Twierdzenie Załóżmy, że zbiór $ U\subset \R^n $ ma następującą własność: dla każdych $ \xx,\yy\in U $ istnieje zbiór spójny $ A\subset U $ taki, że $ \xx,\yy\in A $. Wtedy $ U $ jest spójny.
Dowód: Przypuśćmy, że $ U $ nie jest spójny. Weźmy zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ 		\Omega_1\cap U\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap U, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap U=\emptyset, \qquad U \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

Niech $ \xx\in \Omega_1\cap U $, $ \yy\in \Omega_2\cap U $. Dobierzmy zbiór spójny $ A\subset U $ taki, że $ \xx,\yy\in A $. Wtedy

\[ 		\Omega_1\cap A\supset\{\xx\}\not=\emptyset\not=\{\yy\}\subset\Omega_2\cap A, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A\subset U \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

To jednak przeczy spójności $ A $, zatem $ U $ nie może być niespójny.□

Wniosek (#) Jeśli dowolne dwa punkty zbioru $ U $ można połączyć łamaną (ogólniej: krzywą) zawartą w tym zbiorze, to $ U $ jest zbiorem spójnym.

Okazuje się, że jeśli zbiór $ U $ jest otwarty, to implikację z ostatniego wniosku można odwrócić. Zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie [spójność zbiorów otwartych] Niech $ U\subset\R^n $ będzie otwarty. Wówczas $ U $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa punkty zbioru $ U $ można połączyć łamaną, zawartą w tym zbiorze.

     Łamane można w tym twierdzeniu zastąpić ogólniejszymi krzywymi (definiując krzywą jako ciagły obraz odcinka). Zanim przejdziemy do dowodu, podkreślmy ważną rzecz: teza tego twierdzenia nie zachodzi dla zbiorów, które nie są otwarte. Różne przykłady Czytelnik pozna na zajęciach z Topologii; w szczególności, zbiór

\[ A=\{(x,y)\in \R^2\colon x=0, -1\le y\le 1\}\ \cup\ \{(x,y)\in \R^2\colon x>0, \ y=\sin (1/x)\} \]

jest spójny, ale nie każde jego dwa punkty można połączyć krzywą zawartą w $ A $.

Dowód: Wobec Wniosku [link] wystarczy wykazać, że jeśli $ \xx\in U $, to dla każdego $ \yy\in U $ istnieje łamana zawarta w $ U $ i łącząca punkty $ \xx,\yy $.

Dla $ \xx\in U $ niech

\[ U(\xx)=\{\zz\in U\colon \mbox{istnieje łamana $L\subset U$, łącząca $\xx$ i $\zz$}\}\, . \]

Zauważmy:

\[ \begin{equation} 	\label{spojnoscUxx}   	\mbox{dla każdego $\xx\in U$ zbiór $U(\xx)$ jest niepusty, otwarty i spójny. } \end{equation} \]

Istotnie, jeśli $ z\in U(\xx)\subset U $, to wobec otwartości $ U $ pewna kula $ B(\zz,\delta)\subset U $. Każdy punkt $ \yy $ tej kuli można połączyć odcinkiem (promieniem) ze środkiem kuli, punktem $ \zz $. Dodając ten odcinek do zawartej w $ U $ łamanej o końcach $ \xx,\zz $, otrzymamy łamaną, która łączy w zbiorze $ U $ punkty $ \yy $ i $ \xx $. Dlatego $ B(\zz,\delta)\subset U(\xx) $, a więc $ U(\xx) $ jest otwarty. Spójność $ U(\xx) $ wynika z Wniosku [link]: jeśli dwa punkty $ \zz_1,\zz_2\in U(\xx) $, to istnieje łamana, łącząca je w $ U(\xx) $. Łączymy po prostu łamaną w $ U $ punkty $ \zz_1 $ i $ \xx $, a nastepnie $ \xx $ i $ \zz_2 $; każdy punkt takiej łamanej z definicji należy do $ U(\xx) $.

Rozumując podobnie, stwierdzamy, że jeśli $ U(\yy)\cap U(\xx) $ jest zbiorem niepustym, to $ \yy\in U(\xx) $, a zatem cały zbiór $ U(\yy)\subset U(\xx) $. Czytelnik sam zechce wskazać łamane, łączące odpowiednie punkty. Zamieniając rolami $ \xx $ i $ \yy $, otrzymujemy inkluzję przeciwną. Zatem:

\[ \begin{equation}  	\mbox{jeśli $U(\xx)\cap U(\yy)\not = \emptyset$, to $U(\xx)=U(\yy)$.} \label{skladowax} \end{equation} \]

Ustalmy teraz $ \xx_0\in U $. Przypuśćmy, że punktu $ \yy_0\in U $ nie można z $ \xx_0 $ połączyć łamaną. Niech $ \Omega_1 $ będzie sumą tych zbiorów $ U(\zz) $, które mają punkty wspólne z $ U(\xx_0) $. Wobec skladowax, mamy $ \Omega_1=U(\xx_0)\not=\emptyset $. Niech $ \Omega_2 $ będzie sumą tych zbiorów $ U(\zz) $, które nie mają punktów wspólnych z $ U(\xx_0) $. Z założenia, $ U(\yy_0)\subset \Omega_2 $, więc $ U\cap\Omega_2\not=\emptyset $.

Z określenia $ \Omega_1 $ i $ \Omega_2 $ wnioskujemy łatwo, że $ \Omega_1 $ i $ \Omega_2 $ są rozłączne. Są też otwarte; to wynika z otwartości $ U(\xx) $ i Stwierdzenia [link]. Są też niepuste ($ \xx_0\in \Omega_1 $, a $ \yy_0\in \Omega_2 $), a ich suma jest zbiorem $ U $. To przeczy spójności $ U $. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.□

Twierdzenie [własność Darboux](#) Załóżmy, że zbiór $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty i spójny, a funkcja $ f\colon \Omega\to \R $ jest ciągła. Jeśli $ \xx,\yy\in \Omega $ i

\[   f(\xx)< c <f(\yy) \]

dla pewnego $ c\in \R $, to wówczas istnieje punkt $ \zz\in \Omega $ taki, że $ f(\zz)=c $.

Dowód: Wybierzmy łamaną $ L $, która łączy w zbiorze $ \Omega $ punkty $ \xx $ i $ \yy $. Niech $ \gamma\colon [0,1]\to L $ będzie funkcją ciągłą (Można wybrać funkcję $ \gamma $, która jest kawałkami afiniczna: po prostu parametryzujemy kolejne odcinki łamanej $ L $, np. dzieląc $ [0,1] $ na tyle przedziałów, z ilu odcinków składa się $ L $.) taką, że $ \gamma(0)=\xx $ i $ \gamma(1)=\yy $.

Funkcja $ g=f\circ\gamma\colon [0,1]\to \R $ jest ciągła i spełnia

\[ g(0)=f(\gamma(0))=f(\xx) <c <f(\yy)=f(\gamma(1))=g(1)\, . \]

Dlatego istnieje $ s\in (0,1) $ takie, że $ g(s)=c $. Zatem $ f(\zz)=c $ dla $ \zz=\gamma(s) $. □

Uwaga Czytelnik zechce zauważyć, że wykazaliśmy w istocie, że przy założeniach Twierdzenia [link] punkt pośredni $ \zz $, o którym mowa w tezie, można znaleźć na każdej łamanej, łączącej w $ \Omega $ punkty $ \xx,\yy $.

Na zakończenie powiemy kilka słów o ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji wielu zmiennych (i założeniach, których wymaga odpowiednik jednowymiarowego twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej).

Twierdzenie (#) Załóżmy, że zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty, a funkcja $ f\colon \R^n\supset K\to \R^m $ jest ciągła i różnowartościowa. Wówczas $ g=f^{-1}\colon \R^m\supset f(K)\to \R^n $ jest ciągła.
Dowód: Załóżmy, że $ \yy_j\to \yy\in f(K) $. Wykażemy, że $ g(\yy_j)\to g(\yy) $ dla $ j\to \infty $.

Niech $ \xx_j=g(\yy_j)\in K $. Ponieważ $ K $ jest zwarty, więc istnieje podciąg $ \xx_{j_k}\to\xx\in K $. Zatem, wobec ciągłości $ f $, ciąg $ \yy_{j_k}=f(\xx_{j_k}) $ ma granicę $ f(\xx) $, a ponieważ ciąg nie może mieć dwóch granic, więc $ f(\xx)=\yy $, tzn. $ \xx=g(\yy) $. Wiemy zatem, że $ g(\yy_{j_k})=\xx_{j_k}\to g(\yy) $.

Rozumując podobnie, można wykazać, że każdy podciąg ciągu $ g(\yy_j) $ zawiera podciąg $ g(\yy_{j_s}) $ taki, że $ g(\yy_{j_s})\to g(\yy) $. Stąd już wynika, ze cały ciąg $ g(\yy_j) $ jest zbieżny do $ g(\yy) $. □

Okazuje się, że założenie zwartości jest w Twierdzeniu [link] istotne. Oto przykłady.

Przykład Niech

\[ 	f\colon [0,\infty)\ni t\longmapsto f(t)=\exp\bigl(2\pi i \cdot   e^{-t}\bigr)\equiv \bigl(\cos 2\pi e^{-t},\sin 2\pi e^{-t} \bigr)\in \C\equiv \R^2\, . 	\]

Czytelnik bez trudu sprawdzi, że funkcja $ f $ jest ciągła różnowartościowa (to wynika z własności funkcji wykładniczej w $ \C $), a zbiorem jej wartości jest okrąg jednostkowy $ \gamma=\{(x,y)\in \R^2\colon x^2+y^2=1\} $. Jednak

\[ f(0)= (1,0) = \lim_{t\to+\infty} f(t)\,  \]

a więc funkcja odwrotna do $ f $ nie jest ciągła w $ (1,0) $.

Przykład [gęste krzywe na torusie] (#) Niech $ R>r>0 $ i niech $ F\colon \R^2\to \R^3 $ będzie dana wzorem

\[ F(\theta,\varphi) = \bigl((R+r\cos\varphi)\cos\theta,  \   (R+r\cos\varphi)\sin\theta,\ r\sin\varphi\bigr)\in \R^3\, . \]

Można sprawdzić, że obrazem funkcji $ F $ jest torus obrotowy $ \T $, który powstaje przez obrót (położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $) okręgu

\[ \gamma:= \{\xx\in \R^3\colon \|\xx-(R,0,0)\|=0\} \cap  \{\xx\in \R^3\colon x_2=0\} \]

wokół osi $ x_3 $ układu współrzędnych. Oczywiście, $ F $ jest ciągła. Rozpatrzmy teraz złożenie $ F $ z funkcją $  \R\ni t\longmapsto (t,at),  $ gdzie $ a $ jest (jakąkolwiek) ustaloną liczbą niewymierną, tzn. przekształcenie

\[ g(t)=F(t,at)= \bigl((R+r\cos at)\cos t,  \   (R+r\cos at)\sin t,\ r\sin at\bigr)    \]

Nietrudno sprawdzić, że $ g $ jest różnowartościowa (to wynika z niewymierności $ a $), zaś obraz funkcji $ g $, tzn. krzywa $ g(\R) $, jest gęstym (Proszę wykazać, że dla każdego $ \xx\in\T $ i każdego $ \eps>0 $ istnieją dowolnie duże liczby $ t\in \R $ takie, że $ g(t)\in\T\cap B(\xx,\eps)\setminus\{\xx\} $. Można wcześniej przypomnieć sobie dowód gęstości - dla niewymiernych $ b\in \R $ - ciągu $ c_n=nb-[nb] $ w odcinku $ [0,1] $; Czytelnik zapewne widział ten dowód podczas ćwiczeń z Analizy Matematycznej I.) podzbiorem torusa $ \T $.

Oba obrazki uzyskano dla $ R=8 $, $ r=1 $. Po lewej stronie: obraz przekształcenia $ g_1(t)=F(2t, 3t) $ to krzywa zamknięta na torusie (węzeł, nazywany trójlistnikiem). Funkcja $ g_1 $ jest okresowa.

Po prawej: obraz przekształcenia $ g_2(t)=F(t, at) $ dla $ a=1+\sqrt{5} $, $ t\in [0,15\pi] $. Funkcja $ g_2 $ jest różnowartościowa i ciągła na $ \R $, ale odwrotna do niej nie jest ciągła na zbiorze $ A=g_2(\R) $ w $ \R^3 $. Podobne krzywe na torusie nazywa się czasem obmotkami.

Z geometrycznego punktu widzenia, $ g\colon \R\to \T\subset \R^3 $ to różnowartościowe, równomierne nawinięcie (nieskończenie cienkiej i długiej) nitki na torus obrotowy.

Funkcja $ g $ jest ciągła. Jednak przekształcenie $ g^{-1} $ nie jest ciągłe w żadnym punkcie zbioru $ g(\R) $, bo dowolnie blisko punktu $ g(s) $ znajdują się punkty $ g(t) $, dla których liczba $ |t-s| $ może być dowolnie duża.

Założenie zwartościw Twierdzeniu [link] można zastąpić założeniem otwartości dziedziny oraz równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia $ f $. Zachodzi następujące twierdzenie, udowodnione przez holenderskiego matematyka L.E.J. Brouwera w 1912 roku.

Twierdzenie [Brouwera o niezmienniczości obszaru] Przypuśćmy, że zbiór $ U\subset\R^n $ jest otwarty, a funkcja $ f\colon U\to\R^n $ jest różnowartościowa i ciągła. Wtedy $ V=f(U) $ jest otwartym podzbiorem $ \R^n $, a funkcja $ f^{-1}\colon V\to U\subset \R^n $ jest ciągła.

Dowód wykracza poza ramy tego wykładu i należy do topologii, a nie do analizy.