Funkcje gładkie | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja Jeśli $\Omega \subset \R^n$ jest zbiorem otwartym, to przyjmujemy

$C^\infty (\Omega,\R^m)= \bigcap_{k=1}^\infty C^k(\Omega,\R^m)$

Funkcje $f\in C^\infty(\Omega,\R^m)$ nazywamy funkcjami klasy $C^\infty$ lub funkcjami gładkimi. Są to funkcje, które mają ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów (a zatem, mają ciągłe różniczki wszystkich rzędów).

Dla krótkości, pisze się $C^\infty(\Omega)$ zamiast $C^\infty (\Omega,\R)$ .

Definicja Nośnikiem $\text{supp}\, f$ funkcji $f\colon \R^n\to \R^m$ nazywamy domknięcie zbioru tych punktów, w których $f$ ma wartości różne od zera:

$\text{supp}\, f= \overline{\{x\in \R^n\colon f(\xx)\not=\zero\}}\, .$

Twierdzenie Istnieją funkcje klasy $C^\infty (\R^n)$ , których nośnik jest niepustym zbiorem zwartym. Ściślej mówiąc, dla każdego punktu $\aa\in \R^n$ i każdych liczb $0<r<R$ istnieje funkcja $f\in C^\infty (\R^n)$ taka, że $f\equiv 1$ na kuli $B(\aa,r)$ i $f\equiv 0$ na $R^n\setminus B(\aa,R)$ .

Szkic dowodu. Krok 1. Niech $n=1$ . Nietrudno wykazać, że istnieje funkcja $\varphi_1\colon \R\to \R$ , która jest klasy $C^\infty$ i znika poza przedziałem $[-1,1]$ , ale $\varphi_1(0)=1$ . Taką funkcją jest np.

$\varphi_1(x)=\begin{cases} \exp\big({}-\tg^2 (\pi x/2)\big), & |x|<1,\\ 0, & |x|\ge 1. \end{cases}$

Sprawdzenie, że $\varphi_1$ istotnie spełnia podane warunki, pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika.

Krok 2. Funkcja

$\varphi_2(x)=\int_{-\infty}^x\varphi_1(t)\, dt$

jest dobrze określona (całkujemy tylko po przedziale skończonym), nieujemna i gładka. Mamy $\varphi_2\equiv 0$ na $(-\infty,-1]$ i $\varphi_2(x) \equiv c:=\int_{-1}^1\varphi_1$ dla $x\ge 1$ . Na przedziale $[-1,1]$ funkcja $\varphi_2$ jest rosnąca.

Teraz wykorzystamy przesuwanie, skalowanie i mnożenie funkcji gładkich.

Krok 3. Ustalmy $R>r>0$ . Dobierzmy $a>0$ tak, żeby $\frac{a+2}a=\frac Rr$ . Funkcja

$\varphi_3(x)=\frac{1}{c^2}\varphi_2(1+a+x)\varphi_2(1+a-x), \qquad x\in \R,$

jest gładka, znika poza przedziałem $[-a-2,a+2]$ i jest równa 1 na przedziale $[-a,a]$ (patrz załączony rysunek). Funkcja

$\varphi_4(x)=\varphi_3\Big(\frac{(a+2)x}{R}\Big)$

też jest gładka. Wobec doboru $a$ , $\varphi_4\equiv 1$ na $[-r,r]$ i $\varphi_4\equiv 0$ poza przedziałem $[-R,R]$ .

Krok 4. Funkcja $f_1(\xx)=\varphi_4(\|\xx\|)$ spełnia warunki twierdzenia dla $\aa=0$ . (Zauważmy, że dla $\|\xx\|<r$ funkcja $f$ ma stałą wartość 1, więc jej pochodne cząstkowe znikają wpunktach kuli otwartej $B(0,r)$ . Norma $\|x\|=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ jest funkcją gładką na zbiorze $\{\xx\colon \|\xx\|>r/2\}$ , i dlatego $f$ jest gładka na całej przestrzeni $\R^n$ .) Przesuwając $f_1$ , tzn. biorąc $f(\xx)=f_1(\xx-\aa)$ , kończymy dowód w ogólnym przypadku. □

Uwaga Zbiór wszystkich funkcji gładkich o zwartym nośniku w $\R^n$ oznacza się symbolem $C^\infty_0(\R^n)$ .

Samodzielne rozwiązanie poniższych zadań pozwoli Czytelnikowi lepiej oswoić się z pojęciem funkcji gładkiej.

Zadanie Niech $K\subset \Omega\subset \R^n$ . Załóżmy, że zbiór $K$ jest zwarty, a zbiór $\Omega$ jest otwarty. Wykazać, że istnieje funkcja $f\in C_0^\infty (\R^n)$ taka, że $f\equiv 1$ na $K$ i $\text{supp}\, f\subset \Omega$ .

Zadanie Niech $F$ będzie dowolnym zbiorem domkniętym w $\R^n$ . Istnieje wówczas funkcja $f\in C^\infty (\R^n)$ taka, że $f\ge 0$ i $F=\{\xx\in \R^n\colon f(\xx)=0\}$ .