Funkcje gładkie

Definicja Jeśli $ \Omega \subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, to przyjmujemy

\[ C^\infty (\Omega,\R^m)= \bigcap_{k=1}^\infty C^k(\Omega,\R^m) \]

Funkcje $ f\in C^\infty(\Omega,\R^m) $ nazywamy funkcjami klasy $ C^\infty $ lub funkcjami gładkimi. Są to funkcje, które mają ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów (a zatem, mają ciągłe różniczki wszystkich rzędów).

Dla krótkości, pisze się $ C^\infty(\Omega) $ zamiast $ C^\infty (\Omega,\R) $.

Definicja Nośnikiem $ \text{supp}\, f $ funkcji $ f\colon \R^n\to \R^m $ nazywamy domknięcie zbioru tych punktów, w których $ f $ ma wartości różne od zera:

\[ 	\text{supp}\, f= \overline{\{x\in \R^n\colon f(\xx)\not=\zero\}}\, . 	\]
Twierdzenie Istnieją funkcje klasy $ C^\infty (\R^n) $, których nośnik jest niepustym zbiorem zwartym. Ściślej mówiąc, dla każdego punktu $ \aa\in \R^n $ i każdych liczb $ 0<r<R $ istnieje funkcja $ f\in C^\infty (\R^n) $ taka, że $ f\equiv 1 $ na kuli $ B(\aa,r) $ i $ f\equiv 0 $ na $ R^n\setminus B(\aa,R) $.

    Szkic dowodu. Krok 1. Niech $ n=1 $. Nietrudno wykazać, że istnieje funkcja $ \varphi_1\colon \R\to \R $, która jest klasy $ C^\infty $ i znika poza przedziałem $ [-1,1] $, ale $ \varphi_1(0)=1 $. Taką funkcją jest np.

\[ \varphi_1(x)=\begin{cases} \exp\big({}-\tg^2 (\pi x/2)\big), & |x|<1,\\ 0, & |x|\ge 1. \end{cases}   \]

Sprawdzenie, że $ \varphi_1 $ istotnie spełnia podane warunki, pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika.

Krok 2. Funkcja

\[ \varphi_2(x)=\int_{-\infty}^x\varphi_1(t)\, dt \]

jest dobrze określona (całkujemy tylko po przedziale skończonym), nieujemna i gładka. Mamy $ \varphi_2\equiv 0 $ na $ (-\infty,-1] $ i $ \varphi_2(x) \equiv c:=\int_{-1}^1\varphi_1 $ dla $ x\ge 1 $. Na przedziale $ [-1,1] $ funkcja $ \varphi_2 $ jest rosnąca.

Teraz wykorzystamy przesuwanie, skalowanie i mnożenie funkcji gładkich.

Krok 3. Ustalmy $ R>r>0 $. Dobierzmy $ a>0 $ tak, żeby $ \frac{a+2}a=\frac Rr $. Funkcja

\[ \varphi_3(x)=\frac{1}{c^2}\varphi_2(1+a+x)\varphi_2(1+a-x), \qquad x\in \R, \]

jest gładka, znika poza przedziałem $ [-a-2,a+2] $ i jest równa 1 na przedziale $ [-a,a] $ (patrz załączony rysunek). Funkcja

\[ \varphi_4(x)=\varphi_3\Big(\frac{(a+2)x}{R}\Big)  \]

też jest gładka. Wobec doboru $ a $, $ \varphi_4\equiv 1 $ na $ [-r,r] $ i $ \varphi_4\equiv 0 $ poza przedziałem $ [-R,R] $.

Krok 4. Funkcja $ f_1(\xx)=\varphi_4(\|\xx\|) $ spełnia warunki twierdzenia dla $ \aa=0 $. (Zauważmy, że dla $ \|\xx\|<r $ funkcja $ f $ ma stałą wartość 1, więc jej pochodne cząstkowe znikają wpunktach kuli otwartej $ B(0,r) $. Norma $ \|x\|=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2} $ jest funkcją gładką na zbiorze $ \{\xx\colon \|\xx\|>r/2\} $, i dlatego $ f $ jest gładka na całej przestrzeni $ \R^n $.) Przesuwając $ f_1 $, tzn. biorąc $ f(\xx)=f_1(\xx-\aa) $, kończymy dowód w ogólnym przypadku. □

Uwaga Zbiór wszystkich funkcji gładkich o zwartym nośniku w $ \R^n $ oznacza się symbolem $ C^\infty_0(\R^n) $.

Samodzielne rozwiązanie poniższych zadań pozwoli Czytelnikowi lepiej oswoić się z pojęciem funkcji gładkiej.

Zadanie Niech $ K\subset \Omega\subset \R^n $. Załóżmy, że zbiór $ K $ jest zwarty, a zbiór $ \Omega $ jest otwarty. Wykazać, że istnieje funkcja $ f\in C_0^\infty (\R^n) $ taka, że $ f\equiv 1 $ na $ K $ i $ \text{supp}\, f\subset \Omega $.
Zadanie Niech $ F $ będzie dowolnym zbiorem domkniętym w $ \R^n $. Istnieje wówczas funkcja $ f\in C^\infty (\R^n) $ taka, że $ f\ge 0 $ i $ F=\{\xx\in \R^n\colon f(\xx)=0\} $.