
![]() |
Funkcje nazywamy funkcjami klasy
lub funkcjami gładkimi. Są to funkcje, które mają ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów (a zatem, mają ciągłe różniczki wszystkich rzędów).
Dla krótkości, pisze się zamiast
.



![]() |








Szkic dowodu. Krok 1. Niech . Nietrudno wykazać, że istnieje funkcja
, która jest klasy
i znika poza przedziałem
, ale
. Taką funkcją jest np.
![]() |
Sprawdzenie, że istotnie spełnia podane warunki, pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika.
Krok 2. Funkcja
![]() |
jest dobrze określona (całkujemy tylko po przedziale skończonym), nieujemna i gładka. Mamy na
i
dla
. Na przedziale
funkcja
jest rosnąca.
Teraz wykorzystamy przesuwanie, skalowanie i mnożenie funkcji gładkich.
Krok 3. Ustalmy . Dobierzmy
tak, żeby
. Funkcja
![]() |
jest gładka, znika poza przedziałem i jest równa 1 na przedziale
(patrz załączony rysunek). Funkcja
![]() |
też jest gładka. Wobec doboru ,
na
i
poza przedziałem
.
Krok 4. Funkcja spełnia warunki twierdzenia dla
. (Zauważmy, że dla
funkcja
ma stałą wartość 1, więc jej pochodne cząstkowe znikają wpunktach kuli otwartej
. Norma
jest funkcją gładką na zbiorze
, i dlatego
jest gładka na całej przestrzeni
.) Przesuwając
, tzn. biorąc
, kończymy dowód w ogólnym przypadku. □


Samodzielne rozwiązanie poniższych zadań pozwoli Czytelnikowi lepiej oswoić się z pojęciem funkcji gładkiej.











