Funkcje mierzalne

Określimy teraz klasę funkcji, które można całkować względem danej miary. Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem, a $ \F $ - ustalonym $ \sigma $-ciałem podzbiorów $ X $, wyposażonym w przeliczalnie addytywną miarę $ \mu\colon \F\to [0,+\infty] $. Trójkę $ (X, \F,\mu) $ nazywa się przestrzenią z miarą\/. Najważniejszym modelem takiej sytuacji będzie dla nas na razie $ X=\R^n $, $ \F=\Leb(\R^n) $, $ \mu=\lambda_n $. Będziemy rozpatrywać funkcje $ f\colon X\to \overline \R=\R\cup\{-\infty, +\infty\} $.

Definicja (#) Mówimy, że funkcja $ f\colon X\to \overline \R $ jest mierzalna (względem $ \sigma $-ciała $ \F $) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $ a\in \R $ zbiór

\[ 	f^{-1}\big((a,+\infty]\big)=\{x\in X\colon f(x)>a\} 	\]

należy do $ \F $.

Jeśli $ X=\R^n $, $ \F=\Leb(\R^n) $, $ \mu=\lambda_n $, to mówimy o funkcjach mierzalnych w sensie Lebesgue'a.

Stwierdzenie (#) Niech $ f\colon X\to \overline \R $. Następujące warunki są równoważne:

  1. funkcja $ f $ jest mierzalna;
  2. dla każdego $ a\in \R $ zbiór $ \{x\in X\colon f(x)\le a\}\in \F $;
  3. dla każdego $ a\in \R $ zbiór $ \{x\in X\colon f(x)< a\}\in \F $;
  4. dla każdego $ a\in \R $ zbiór $ \{x\in X\colon f(x)\ge a\}\in \F $.
Dowód: Skorzystamy z tego, że $ \sigma $-ciało $ \F $ jest zamknięte ze względu na branie dopełnień i przeliczalnych sum.

Zauważmy, że zbiór $ \{x\in X\colon f(x)\le a\} $ jest dopełnieniem $ \{x\in X\colon f(x)> a\} $. Dlatego (i) $ \Rightarrow  $ (ii). Następnie,

\[ \{x\in X\colon f(x)< a\}  =\bigcup_{m=1}^\infty \{x\in X\colon f(x)\le a-\tfrac 1m\}\, . \]

Dlatego drugi warunek pociąga za sobą trzeci.

Z warunku (iii) wynika (iv), gdyż $ \{x\in X\colon f(x)\ge a\}=X\setminus \{x\in X\colon f(x)< a\} $. Wreszcie,

\[ \{x\in X\colon f(x)> a\}=  \bigcup_{m=1}^\infty \{x\in X\colon f(x)\ge a+\tfrac 1m\}\, ;  \]

dlatego (iv) pociąga za sobą warunek, podany w definicji funkcji mierzalnej. □

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f,g\colon X\to \overline\R $ są funkcjami mierzalnymi, to zbiory

\[    \{x\in X\colon f(x)>g(x)\}, \qquad   \{x\in X\colon f(x)\ge g(x)\},   \qquad \{x\in X\colon f(x)=g(x)\} 	\]

należą do $ \sigma $-ciała $ \F $.

Dowód: Ponieważ zbiór liczb wymiernych $ \Q $ jest gęsty w $ \R $, więc

\[ \begin{align*} \{x\in X\colon f(x)>g(x)\}&=\bigcup_{w\in \Q} \{x\in X\colon f(x)>w>g(x)\} \\&=  \bigcup_{w\in \Q} \{x\in X\colon f(x)>w\}\cap  \{x\in X\colon w>g(x)\}.  \end{align*} \]

Z poprzedniego stwierdzenia wynika więc, że $ \{f>g\}\in \F $. Przez symetrię, $ \{g>f\} $ też należy do $ \F $. Zbiory $ \{f\ge g\} $ i $ \{g\ge f\} $ są dopełnieniami zbiorów, odpowiednio, $ \{g>f\} $ i$ \{f>g\} $, więc także należą do $ \F $. Wreszcie,

\[ \{x\in X\colon f(x)=g(x)\}=\{x\in X\colon f(x)\ge g(x)\}\cap \{x\in X\colon g(x)\ge f(x)\}\in \F\, , \]

gdyż $ \F $ jest zamknięte ze względu na branie iloczynu zbiorów.□

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon X\to \overline\R $ jest funkcją mierzalną, to przeciwobraz $ f^{-1}(B) $ każdego zbioru borelowskiego $ B\in \B(\R) $ jest mierzalny.
Dowód: Klasa $ \mathscr{K} $ wszystkich tych podzbiorów prostej, których przeciwobrazy należą do $ \sigma $-ciała $ \F $, sama jest $ \sigma $-ciałem (łatwe ćwiczenie). Ponadto, wszystkie przedziały otwarte należą do $ \mathscr{K} $; to wynika ze Stwierdzenia [link]. Dlatego $ \mathscr{K} $ zawiera najmniejsze $ \sigma $-ciało, zawierające wszystkie przedziały, tzn. $ \sigma $-ciało $ \B(\R) $. □
Twierdzenie (#) Niech $ f_j\colon X\to\overline\R $, $ j=1,2,\ldots $, będzie dowolnym ciągiem funkcji mierzalnych. Wówczas każda z funkcji

\[ \begin{gather*} 		\inf_{j\in \N} f_j, \qquad \sup_{j\in \N} f_j, \qquad\liminf_{j\to\infty} f_j, \qquad \limsup_{j\to\infty} f_j  	 	\end{gather*}     \]

jest mierzalna.

Zanim podamy dowód tego twierdzenia, sformułujmy oczywisty, ważny wniosek.

Wniosek (#) Jeśli ciąg funkcji mierzalnych $ f_j\colon X\to\overline\R $ jest zbieżny punktowo na $ X $, to $ f=\lim f_j $ jest funkcją mierzalną.

    Dowód Wniosku [link] Jeśli ciąg $ f_j $ jest zbieżny punktowo na $ X $, to $ f=\lim f_j=\liminf f_j $. □

    Dowód Twierdzenia [link] Wykorzystamy Stwierdzenie [link]. Przy ustalonym $ x\in X $ kres dolny zbioru $ \{f_n(x)\colon n=1,2,\ldots\} $ jest mniejszy od $ a\in \R $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego $ n\in \N $ jest $ f_n(x)<a $. Innymi słowy,

\[ \left\{x\in X\colon  \inf_{n\in \N} f_n(x)<a\right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in X\colon  f_n(x)<a\right\}\, .  \]

Ponieważ kazdy ze zbiorów $ \left\{x\in X\colon  f_n(x)<a\right\} $ należy do $ \F $, więc i zbiór po lewej stronie ostatniej równości należy do $ \F $, to zaś oznacza, że funkcja $ f=\inf_n f_n $ jest mierzalna.

Podobnie,

\[ \left\{x\in X\colon  \sup_{n\in \N} f_n(x)>a\right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in X\colon  f_n(x)>a\right\} \in \F\, . \]

Dlatego $ \sup_n f_n $ jest funkcją mierzalną.

Aby wykazać mierzalność granicy dolnej i górnej, przypomnijmy (patrz np. skrypt wykładów z Analizy I, podrozdział 8.1), że

\[ \liminf_{j\to \infty} a_j=\sup_{j\in \N}\left(\inf_{n>j} a_n \right), \qquad  \limsup_{j\to \infty} a_j=\inf_{j\in \N}\left(\sup_{n>j} a_n \right).   \]

Z udowodnionej już części twierdzenia i tych wzorów wynika mierzalność funkcji $ \liminf f_n $ i $ \limsup f_n $. □

Okazuje się, że klasa funkcji mierzalnych jest zamknięta z uwagi na różne operacje algebraiczne.

Stwierdzenie (#) Załóżmy, że $ \alpha,\beta \in \R $, a funkcje $ f,g\colon X\to \overline\R $ są mierzalne. Wówczas mierzalna jest każda z funkcji

\[ 	\alpha\cdot f, \qquad \alpha f + \beta g, \qquad f^2, \qquad fg, \qquad |f|, \qquad\max (f,g), \qquad\min (f,g). 	\]
Uwaga

  1. Zakładamy milcząco, że podane wyżej funkcje są dobrze określone.
  2. W wielu sytuacjach można się nie przejmować powyższym zastrzeżeniem. Wyjaśnijmy to nieco bliżej. Najpierw wprowadzimy ważny termin: mówi się, że funkcja mierzalna $ f $ ma własność $ W $ prawie wszędzie na $ X $, jeśli zbiór tych punktów $ X $, gdzie własność $ W $ jest naruszona, jest zbiorem miary zero. Jeśli $ X=\R^n $ i $ \F=\Leb(\R^n) $, a funkcja $ f\colon \R^n\to \overline\R $ jest mierzalna, to każda funkcja $ g $, która jest równa $ f $ prawie wszędzie (tzn. jest taka, że $ \{f\not=g\} $ jest zbiorem miary Lebesgue'a zero), też jest funkcją mierzalną. To wynika z faktu, że każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

    Jeśli zatem funkcje $ f,g $prawie wszędzie skończone (tzn. zbiory $ Z_f=\{f=\pm \infty\} $ i$ Z_g=\{g=\pm\infty\} $ są zbiorami miary Lebesgue'a zero), to sumę $ f+g $ oraz iloczyn $ f\cdot g $ można bez kłopotu określić na zbiorze $ \R^n\setminus (Z_f\cup Z_g) $, a na zbiorze $ Z_f\cup Z_g $ nadać im jakąkolwiek wartość. To nie wpłynie na mierzalność.

    Dowód Stwierdzenia [link] Krok 1. Jeśli $ \alpha >0 $, to

\[ \{x\in X\colon \alpha f(x)>a\}=\Big\{x\in X\colon f(x)> \frac a \alpha \Big\}\in \F\qquad\mbox{ dla każdego $a\in \R$.} \]

Jeśli $ \alpha <0 $, to zmienia się kierunek jednej z nierówności w powyższym wzorze; mierzalność funkcji $ \alpha f $ wynika wtedy z równoważności warunków, podanych w Stwierdzeniu [link].

    Krok 2: mierzalność sumy dwóch funkcji. Mierzalność $ \alpha f+\beta g $ wystarczy udowodnić, gdy $ \alpha=\beta=1 $. Zauważmy najpierw, że jeśli $ h $ jest funkcją mierzalną, to $ h+\mathrm{const} $ też jest mierzalna, gdyż $ \{x\in X\colon h(x)+c>a\}=\{x\in X\colon h(x)>-c+a\} $. Dalej, dla każdego $ a\in \R $ mamy

\[ \{ x\in X\colon f(x)+g(x)>a\}=\{x\in X\colon f(x)>-g(x)+a\}\, ; \]

funkcja $ -g(x)+a= -1\cdot g(x)+a $ jest mierzalna, więc mierzalność zbioru $ \{f+g>a\} $ wynika ze Stwierdzenia [link].

    Krok 3: mierzalność kwadratu funkcji mierzalnej. Dla $ a\le 0 $ zbiór $ \{x\in X\colon f^2(x)\ge a\} $ jest po prostu równy $ X $, a więc należy do $ \F $. Dla $ a>0 $ mamy

\[ \{x\in X\colon f^2(x)\ge a\}=\left\{x\in X\colon f(x)\ge \sqrt{a}\,\right\}\cup \left\{x\in X\colon f(x)\le -\sqrt{a}\,\right\}\in \F\, . \]

    Krok 4: mierzalność iloczynu wynika teraz natychmiast ze wzoru

\[ fg= \frac 14 \big((f+g)^2-(f-g)^2\big)\, . \]

    Krok 5: mierzalność $ |f| $ sprawdzamy łatwo wprost z definicji; dla $ a\ge 0 $ jest

\[ \{x\in X\colon |f(x)|\ge a\}=\left\{x\in X\colon f(x)\ge a\,\right\}\cup \left\{x\in X\colon f(x)\le -{a}\,\right\} ,    \]

zaś dla $ a<0 $ mamy po prostu $ \{x\in X\colon |f(x)|\ge a\}=X $.

    Krok 6: aby zakończyć cały dowód, stosujemy wzory

\[ \max (f,g) = \frac{f+g}2 + \frac{|f-g|}2, \qquad \min (f,g) = \frac{f+g}2 - \frac{|f-g|}2\,  \]

i korzystamy z udowodnionej już mierzalności sumy, różnicy i wartości bezwzględnej funkcji mierzalnych. □

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon X\to \R $ jest mierzalna, a $ g\colon \R\to \R $ jest ciągła, to $ g\circ f\colon X\to \R $ jest mierzalna.
Dowód: Dla dowolnych funkcji $ (g\circ f)^{-1}(Z)= f^{-1}\big(g^{-1}(Z)\big) $. Ponieważ $ g $ jest ciągła, więc zbiór $ Z_a=g^{-1}\big((a,+\infty)\big) $ jest zbiorem otwartym, tzn. jest sumą przeliczalnie wielu rozłącznych przedziałów otwartych. Dlatego

\[ \{x\in X\colon g\circ f(x)>a\}=(g\circ f)^{-1}\big((a,+\infty)\big)=f^{-1}(Z_a) \]

jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów, należących do $ \F $. □

\subsection*{Funkcje proste}

Definicja Funkcję mierzalną $ f\colon X\to\overline\R $, która ma skończony zbiór wartości, nazywamy funkcją prostą.
Stwierdzenie Funkcja $ f\colon X\to\overline\R $ jest funkcją prostą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją parami rozłączne zbiory $ A_1,\ldots, A_k\in \F $ oraz różne elementy $ a_1,\ldots,a_k\in \overline\R $ takie, że

\[ \begin{equation} 		\label{fprosta}      f=\sum_{j=1}^k a_j\cdot \charfn_{A_j}       \end{equation} \]
Dowód: Proste ćwiczenie. Jeśli $ A\in \F $, to $ \charfn_A $ jest funkcją mierzalną, gdyż zbiór $ \{\charfn_A>a\} $ jest albo pusty, albo równy $ A $, albo równy $ X $. Dlatego mierzalność kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych wynika ze Stwierdzenia [link].

Załóżmy teraz, że $ a_1<a_2<\ldots<a_k\in \overline\R $ są wszystkimi wartościami funkcji mierzalnej $ f $. Dla $ j=1,2,\ldots, k $ niech $ A_j:=\{x\in X\colon f(x)=a_j\} $. Oczywiście,

\[ A_j=X\setminus \Big(\{x\in X\colon f(x)>a_j\}\cup \{x\in X\colon f(x)<a_j\}\Big)\, ;   \]

zbiory $ A_j $ są mierzalne, parami rozłączne i $ f=\sum a_j\charfn_{A_j} $. □

Uwaga Funkcja fprosta ma skończony zbiór wartości także wtedy, gdy zbiory $ A_j $ nie są parami rozłączne.
Wniosek Kombinacja liniowa skończonej liczby funkcji prostych jest funkcją prostą.
Twierdzenie Jeśli $ f\colon X\to [0,\infty] $ jest mierzalna, to istnieje niemalejący ciąg funkcji prostych $ f_n\colon X\to [0,\infty] $ zbieżny do $ f $ punktowo na $ X $. Jeśli ponadto $ f $ jest ograniczona, to istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżny do $ f $ jednostajnie na $ X $.(#)
Dowód: Dla $ n=1,2,\ldots $ połóżmy

\[ \begin{gather*} A_{m,n}=\Big\{x\in X\colon f(x) \colon \frac m{2^n} \le f(x)< \frac{m+1}{2^n} \Big\}, \qquad m=0,1,\ldots, n\cdot 2^n-1, \\[5pt] A_{2^n,n}=\{x\in X\colon n\le f(x)\}. \end{gather*} \]

Zbiory $ A_{m,n} $ są mierzalne i są, przy ustalonym $ n $, parami rozłączne. Przyjmijmy

\[ f_n=\sum_{m=0}^{n\cdot 2^n} \frac m{2^n}\charfn_{A_{m,n}}\, . \]

(Intuicja jest prosta i naturalna: wykres $ f $ tniemy na części, prowadząc cięcia na wysokościach $ m/2^n $, gdzie $ m=0,1,\ldots, n2^n $; funkcja $ f_n $ jest stała między dwiema cięciami. Przechodząc od $ n $ do $ n+1 $, prowadzimy cięcia dwukrotnie gęściej i nieco wyżej - nie tylko do wysokości $ n $, ale aż do $ n+1 $).

Wprost z definicji $ f_n\le f $ na $ X $, gdyż $ f_n=m/2^n\le f $ na każdym ze zbiorów $ A_{m,n} $. Jeśli $ f(x)<\infty $, to dla wszystkich $ n>f(x) $ mamy $ f_n(x)\le f(x)< f(x) +2^{-n} $ i dlatego $ f_n(x)\to f(x) $ na zbiorze $ \{f<\infty\} $. Jeśli $ f(x)=\infty $, to $ f(x)\ge n $ dla każdego $ n\in \N $ i wtedy $ f_n(x)=n $, a więc również w tym przypadku $ f_n(x)=n\to f(x)=\infty $.

Wreszcie, nietrudno sprawdzić, że $ f_{n+1}\ge f_n $, gdyż

\[ \begin{gather*}  	A_{m,n}=A_{2m,n+1}\cup A_{2m+1,n+1}, \qquad   m=0,1,\ldots, n\cdot 2^n-1,\\ 	A_{2^n,n}=A_{n2^{n+1},n+1}\cup A_{n2^{n+1}+1,n+1}\cup\ldots  \cup A_{(n+1)2^{n+1},n+1}. \end{gather*} \]

(Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi).

Jeśli $ f $ jest ograniczona, to dla $ n>\sup f $ nierówność $ |f_n(x)-f(x)|\le 2^{-n} $ zachodzi na całym zbiorze $ X $. To oznacza, że $ f_n\rightrightarrows f $ na $ X $. □

Podamy teraz dwa twierdzenia, opisujące związek mierzalności z ciągłością.

Twierdzenie [N. Łuzin] Jeśli $ f\colon \R^n\to \R $ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to dla każdego $ \eps>0 $ istnieje taki zbiór domknięty $ F\subset \R^n $, że $ \big.f\big|_F $ jest ciągła i $ \lambda_n(\R^n\setminus F)<\eps $.
Dowód: Ustalmy $ \eps>0 $. Niech $ h(x)=\frac \pi 2 +\arctg f(x) $. Funkcja $ h $ jest nieujemna i ograniczona na $ \R^n $, zatem wobec Twierdzenia [link] istnieje ciąg funkcji prostych $ h_k\rightrightarrows h $ na $ \R^n $, $ h-2^{-k}\le h_k\le h $. Niech $ h_k=\sum_{i=1}^{m_k}a_{k,i}\charfn_{A_{k,i}} $, gdzie $ A_{k,1}, A_{k,2}, \ldots, A_{k,m_k} $ są parami rozłączne. Można przyjąć, że $ a_{k,1}=0 $ dla wszystkich $ k $; wtedy $ \R^n $ jest sumą zbiorów $ A_{k,i} $.

Wobec Twierdzenia [link], charakteryzującego zbiory mierzalne, istnieją zbiory domknięte $ F_{k,i}\subset A_{k,i} $ takie, że $ \lambda_n(A_{k,i}\setminus F_{k,i})<\eps /(m_k2^{k}) $. Połóżmy

\[ F_k= F_{k,1}\cup F_{k,2} \cup \ldots \cup F_{k,m_k}, \]

jest to zbiór domknięty, gdyż suma skończenie wielu zbiorów domkniętych jest domknięta. Ponadto,

\[ \begin{equation} 	\label{miaraFkc}   	\lambda_n(\R^n\setminus F_k) =\sum_{i=1}^{m_k} \lambda_n(A_{k,i}\setminus F_{k,i}) < m_k \cdot \frac{\eps}{m_k2^k} = \frac{\eps}{2^k}   \end{equation} \]

Zbiór domknięty $ F=\bigcap_{k=1}^\infty F_k $ spełnia, wobec wzorów de Morgana,

\[ \lambda_n(\R^n\setminus F)=\lambda_n\biggl(\bigcup_{k=1}^\infty \R^n\setminus F_k \biggr)  \stackrel{\eqref{miaraFkc}}\le \sum_{k=1}^\infty \frac{\eps}{2^k}=\eps \]

Zauważmy, że $ h_k $ jest stała na każdym ze zbiorów $ F_{k,i} $, a więc jest ciągła na $ F_k $, tzn. jest ciągła także na $ F\subset F_k $. Ponadto, na zbiorze $ F $ jest $ |h_k-h|\le 2^{-k} $. Innymi słowy, na zbiorze $ F $ ciąg $ h_k\big|_F $ funkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do $ h\big|_F $. Wynika stąd ciągłość $ h\big|_F $. Ponieważ $ f=\tg (h-\frac \pi 2) $, więc $ f\big|_F $ jest ciągła. □

Twierdzenie [M. Fr\'{echet}] Jeśli $ f\colon \R^n \to \R $ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to istnieje ciąg funkcji ciągłych $ \phi_k\colon \R^n\to \R $ zbieżny do $ f $ prawie wszędzie na $ \R^n $.
Dowód: Skorzystajmy z twierdzenia Łuzina. Dla $ k\in \N $ niech $ F_k $ będzie takim zbiorem domkniętym, że $ f_k=f\big|_{F_k} $ jest ciągła i $ \lambda_n(\R^n\setminus F_k)< 2^{-k-1} $. Na mocy znanego z topologii twierdzenia Tietzego o przedłużaniu istnieje funkcja ciągła $ \phi_k\colon \R^n\to \R $ taka, że $ \phi_k=f_k $ na zbiorze $ F_k $.

Zbiory $ D_k=F_k\cap F_{k+1}\cap F_{k+2}\cap \ldots $ są domknięte; ponadto,

\[ \begin{equation} 	\label{miarauzupDk}   	\lambda_n(\R^n\setminus D_k)\le \sum_{j=k}^\infty \lambda_n(\R^n\setminus F_j)<\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots = \frac 1{2^k}\, .        \end{equation} \]

Na zbiorze $ D_k $ jest $ \phi_j=f_j=f $ dla wszystkich $ j=k,k+1,k+2,\ldots $. Dlatego ciąg $ \phi_j $ jest zbieżny punktowo do $ f $ na sumie $ S=\bigcup_{k=1}^\infty D_k $ zbiorów $ D_k $. Z oszacowania miarauzupDk wynika, że

\[ \lambda_n(\R^n\setminus S)= \lambda_n\biggl(\bigcap_{k=1}^\infty \R^n\setminus D_k\biggr)= \lim_{k\to\infty }  \lambda_n(\R^n\setminus D_k) \stackrel{\eqref{miarauzupDk}}= 0\, . \]

To spostrzeżenie kończy cały dowód. □

Naturalne jest pytanie, dla jakich przestrzeni z miarą $ (X, \F,\mu) $ zachodzą odpowiedniki twierdzeń Łuzina i Fr\'{e}cheta. W dowodach wykorzystuje się tylko dwie szczególne własności przestrzeni $ \R^n $ i miary Lebesgue'a: charakteryzację zbiorów mierzalnych (ściślej: możliwość `przybliżania' zbiorów mierzalnych zbiorami domkniętymi) oraz twierdzenie Tietzego o przedłużaniu, które zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej normalnej (w szczególności: dla każdej przestrzeni metrycznej).

Definicja [miara regularna] Miara $ \mu $ na $ \sigma $-ciele $ \F $ przestrzeni topologicznej, zawierającym $ \sigma $-ciało $ \B(X) $ zbiorów borelowskich, nazywa się regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ A\in \F $ i każdego $ \eps>0 $ istnieją zbiór otwarty $ \Omega\subset X $ i zbiór domknięty $ F\subset X $ takie, że $ F\subset A\subset \Omega $ i $ \mu(\Omega\setminus F)<\eps $.
Uwaga Twierdzenie Łuzina zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej z miarą regularną $ \mu $, natomiast twierdzenie Fr\'{e}cheta zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej normalnej, wyposażonej w miarę regularną $ \mu $.