Funkcje mierzalne | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Określimy teraz klasę funkcji, które można całkować względem danej miary. Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, a $\F$ - ustalonym $\sigma$ -ciałem podzbiorów $X$ , wyposażonym w przeliczalnie addytywną miarę $\mu\colon \F\to [0,+\infty]$ . Trójkę $(X, \F,\mu)$ nazywa się przestrzenią z miarą\/. Najważniejszym modelem takiej sytuacji będzie dla nas na razie $X=\R^n$ , $\F=\Leb(\R^n)$ , $\mu=\lambda_n$ . Będziemy rozpatrywać funkcje $f\colon X\to \overline \R=\R\cup\{-\infty, +\infty\}$ .

Definicja (#) Mówimy, że funkcja $f\colon X\to \overline \R$ jest mierzalna (względem $\sigma$ -ciała $\F$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby $a\in \R$ zbiór

$f^{-1}\big((a,+\infty]\big)=\{x\in X\colon f(x)>a\}$

należy do $\F$ .

Jeśli $X=\R^n$ , $\F=\Leb(\R^n)$ , $\mu=\lambda_n$ , to mówimy o funkcjach mierzalnych w sensie Lebesgue'a.

Stwierdzenie (#) Niech $f\colon X\to \overline \R$ . Następujące warunki są równoważne:

funkcja $f$ jest mierzalna;
dla każdego $a\in \R$ zbiór $\{x\in X\colon f(x)\le a\}\in \F$ ;
dla każdego $a\in \R$ zbiór $\{x\in X\colon f(x)< a\}\in \F$ ;
dla każdego $a\in \R$ zbiór $\{x\in X\colon f(x)\ge a\}\in \F$ .

Dowód: Skorzystamy z tego, że $\sigma$ -ciało $\F$ jest zamknięte ze względu na branie dopełnień i przeliczalnych sum.

Zauważmy, że zbiór $\{x\in X\colon f(x)\le a\}$ jest dopełnieniem $\{x\in X\colon f(x)> a\}$ . Dlatego (i) $\Rightarrow$ (ii). Następnie,

$\{x\in X\colon f(x)< a\} =\bigcup_{m=1}^\infty \{x\in X\colon f(x)\le a-\tfrac 1m\}\, .$

Dlatego drugi warunek pociąga za sobą trzeci.

Z warunku (iii) wynika (iv), gdyż $\{x\in X\colon f(x)\ge a\}=X\setminus \{x\in X\colon f(x)< a\}$ . Wreszcie,

$\{x\in X\colon f(x)> a\}= \bigcup_{m=1}^\infty \{x\in X\colon f(x)\ge a+\tfrac 1m\}\, ;$

dlatego (iv) pociąga za sobą warunek, podany w definicji funkcji mierzalnej. □

Stwierdzenie (#) Jeśli $f,g\colon X\to \overline\R$ są funkcjami mierzalnymi, to zbiory

$\{x\in X\colon f(x)>g(x)\}, \qquad \{x\in X\colon f(x)\ge g(x)\}, \qquad \{x\in X\colon f(x)=g(x)\}$

należą do $\sigma$ -ciała $\F$ .

Dowód: Ponieważ zbiór liczb wymiernych $\Q$ jest gęsty w $\R$ , więc

$\begin{align*} \{x\in X\colon f(x)>g(x)\}&=\bigcup_{w\in \Q} \{x\in X\colon f(x)>w>g(x)\} \\&= \bigcup_{w\in \Q} \{x\in X\colon f(x)>w\}\cap \{x\in X\colon w>g(x)\}. \end{align*}$

Z poprzedniego stwierdzenia wynika więc, że $\{f>g\}\in \F$ . Przez symetrię, $\{g>f\}$ też należy do $\F$ . Zbiory $\{f\ge g\}$ i $\{g\ge f\}$ są dopełnieniami zbiorów, odpowiednio, $\{g>f\}$ i $\{f>g\}$ , więc także należą do $\F$ . Wreszcie,

$\{x\in X\colon f(x)=g(x)\}=\{x\in X\colon f(x)\ge g(x)\}\cap \{x\in X\colon g(x)\ge f(x)\}\in \F\, ,$

gdyż $\F$ jest zamknięte ze względu na branie iloczynu zbiorów.□

Stwierdzenie Jeśli $f\colon X\to \overline\R$ jest funkcją mierzalną, to przeciwobraz $f^{-1}(B)$ każdego zbioru borelowskiego $B\in \B(\R)$ jest mierzalny.

Dowód: Klasa $\mathscr{K}$ wszystkich tych podzbiorów prostej, których przeciwobrazy należą do $\sigma$ -ciała $\F$ , sama jest $\sigma$ -ciałem (łatwe ćwiczenie). Ponadto, wszystkie przedziały otwarte należą do $\mathscr{K}$ ; to wynika ze Stwierdzenia [link]. Dlatego $\mathscr{K}$ zawiera najmniejsze $\sigma$ -ciało, zawierające wszystkie przedziały, tzn. $\sigma$ -ciało $\B(\R)$ . □

Twierdzenie (#) Niech $f_j\colon X\to\overline\R$ , $j=1,2,\ldots$ , będzie dowolnym ciągiem funkcji mierzalnych. Wówczas każda z funkcji

$\begin{gather*} \inf_{j\in \N} f_j, \qquad \sup_{j\in \N} f_j, \qquad\liminf_{j\to\infty} f_j, \qquad \limsup_{j\to\infty} f_j \end{gather*}$

jest mierzalna.

Zanim podamy dowód tego twierdzenia, sformułujmy oczywisty, ważny wniosek.

Wniosek (#) Jeśli ciąg funkcji mierzalnych $f_j\colon X\to\overline\R$ jest zbieżny punktowo na $X$ , to $f=\lim f_j$ jest funkcją mierzalną.

Dowód Wniosku [link] Jeśli ciąg $f_j$ jest zbieżny punktowo na $X$ , to $f=\lim f_j=\liminf f_j$ . □

Dowód Twierdzenia [link] Wykorzystamy Stwierdzenie [link]. Przy ustalonym $x\in X$ kres dolny zbioru $\{f_n(x)\colon n=1,2,\ldots\}$ jest mniejszy od $a\in \R$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego $n\in \N$ jest $f_n(x)<a$ . Innymi słowy,

$\left\{x\in X\colon \inf_{n\in \N} f_n(x)<a\right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in X\colon f_n(x)<a\right\}\, .$

Ponieważ kazdy ze zbiorów $\left\{x\in X\colon f_n(x)<a\right\}$ należy do $\F$ , więc i zbiór po lewej stronie ostatniej równości należy do $\F$ , to zaś oznacza, że funkcja $f=\inf_n f_n$ jest mierzalna.

Podobnie,

$\left\{x\in X\colon \sup_{n\in \N} f_n(x)>a\right\} = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{x\in X\colon f_n(x)>a\right\} \in \F\, .$

Dlatego $\sup_n f_n$ jest funkcją mierzalną.

Aby wykazać mierzalność granicy dolnej i górnej, przypomnijmy (patrz np. skrypt wykładów z Analizy I, podrozdział 8.1), że

$\liminf_{j\to \infty} a_j=\sup_{j\in \N}\left(\inf_{n>j} a_n \right), \qquad \limsup_{j\to \infty} a_j=\inf_{j\in \N}\left(\sup_{n>j} a_n \right).$

Z udowodnionej już części twierdzenia i tych wzorów wynika mierzalność funkcji $\liminf f_n$ i $\limsup f_n$ . □

Okazuje się, że klasa funkcji mierzalnych jest zamknięta z uwagi na różne operacje algebraiczne.

Stwierdzenie (#) Załóżmy, że $\alpha,\beta \in \R$ , a funkcje $f,g\colon X\to \overline\R$ są mierzalne. Wówczas mierzalna jest każda z funkcji

$\alpha\cdot f, \qquad \alpha f + \beta g, \qquad f^2, \qquad fg, \qquad |f|, \qquad\max (f,g), \qquad\min (f,g).$

Uwaga

Zakładamy milcząco, że podane wyżej funkcje są dobrze określone.

W wielu sytuacjach można się nie przejmować powyższym zastrzeżeniem. Wyjaśnijmy to nieco bliżej. Najpierw wprowadzimy ważny termin: mówi się, że funkcja mierzalna $f$ ma własność $W$ prawie wszędzie na $X$ , jeśli zbiór tych punktów $X$ , gdzie własność $W$ jest naruszona, jest zbiorem miary zero. Jeśli $X=\R^n$ i $\F=\Leb(\R^n)$ , a funkcja $f\colon \R^n\to \overline\R$ jest mierzalna, to każda funkcja $g$ , która jest równa $f$ prawie wszędzie (tzn. jest taka, że $\{f\not=g\}$ jest zbiorem miary Lebesgue'a zero), też jest funkcją mierzalną. To wynika z faktu, że każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.
Jeśli zatem funkcje $f,g$ są prawie wszędzie skończone (tzn. zbiory $Z_f=\{f=\pm \infty\}$ i $Z_g=\{g=\pm\infty\}$ są zbiorami miary Lebesgue'a zero), to sumę $f+g$ oraz iloczyn $f\cdot g$ można bez kłopotu określić na zbiorze $\R^n\setminus (Z_f\cup Z_g)$ , a na zbiorze $Z_f\cup Z_g$ nadać im jakąkolwiek wartość. To nie wpłynie na mierzalność.

    Dowód Stwierdzenia [link] Krok 1. Jeśli $\alpha >0$ , to

$\{x\in X\colon \alpha f(x)>a\}=\Big\{x\in X\colon f(x)> \frac a \alpha \Big\}\in \F\qquad\mbox{ dla każdego $a\in \R$.}$

Jeśli $\alpha <0$ , to zmienia się kierunek jednej z nierówności w powyższym wzorze; mierzalność funkcji $\alpha f$ wynika wtedy z równoważności warunków, podanych w Stwierdzeniu [link].

    Krok 2: mierzalność sumy dwóch funkcji. Mierzalność $\alpha f+\beta g$ wystarczy udowodnić, gdy $\alpha=\beta=1$ . Zauważmy najpierw, że jeśli $h$ jest funkcją mierzalną, to $h+\mathrm{const}$ też jest mierzalna, gdyż $\{x\in X\colon h(x)+c>a\}=\{x\in X\colon h(x)>-c+a\}$ . Dalej, dla każdego $a\in \R$ mamy

$\{ x\in X\colon f(x)+g(x)>a\}=\{x\in X\colon f(x)>-g(x)+a\}\, ;$

funkcja $-g(x)+a= -1\cdot g(x)+a$ jest mierzalna, więc mierzalność zbioru $\{f+g>a\}$ wynika ze Stwierdzenia [link].

    Krok 3: mierzalność kwadratu funkcji mierzalnej. Dla $a\le 0$ zbiór $\{x\in X\colon f^2(x)\ge a\}$ jest po prostu równy $X$ , a więc należy do $\F$ . Dla $a>0$ mamy

$\{x\in X\colon f^2(x)\ge a\}=\left\{x\in X\colon f(x)\ge \sqrt{a}\,\right\}\cup \left\{x\in X\colon f(x)\le -\sqrt{a}\,\right\}\in \F\, .$

    Krok 4: mierzalność iloczynu wynika teraz natychmiast ze wzoru

$fg= \frac 14 \big((f+g)^2-(f-g)^2\big)\, .$

    Krok 5: mierzalność $|f|$ sprawdzamy łatwo wprost z definicji; dla $a\ge 0$ jest

$\{x\in X\colon |f(x)|\ge a\}=\left\{x\in X\colon f(x)\ge a\,\right\}\cup \left\{x\in X\colon f(x)\le -{a}\,\right\} ,$

zaś dla $a<0$ mamy po prostu $\{x\in X\colon |f(x)|\ge a\}=X$ .

    Krok 6: aby zakończyć cały dowód, stosujemy wzory

$\max (f,g) = \frac{f+g}2 + \frac{|f-g|}2, \qquad \min (f,g) = \frac{f+g}2 - \frac{|f-g|}2\,$

i korzystamy z udowodnionej już mierzalności sumy, różnicy i wartości bezwzględnej funkcji mierzalnych. □

Stwierdzenie Jeśli $f\colon X\to \R$ jest mierzalna, a $g\colon \R\to \R$ jest ciągła, to $g\circ f\colon X\to \R$ jest mierzalna.

Dowód: Dla dowolnych funkcji $(g\circ f)^{-1}(Z)= f^{-1}\big(g^{-1}(Z)\big)$ . Ponieważ $g$ jest ciągła, więc zbiór $Z_a=g^{-1}\big((a,+\infty)\big)$ jest zbiorem otwartym, tzn. jest sumą przeliczalnie wielu rozłącznych przedziałów otwartych. Dlatego

$\{x\in X\colon g\circ f(x)>a\}=(g\circ f)^{-1}\big((a,+\infty)\big)=f^{-1}(Z_a)$

jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów, należących do $\F$ . □

\subsection*{Funkcje proste}

Definicja Funkcję mierzalną $f\colon X\to\overline\R$ , która ma skończony zbiór wartości, nazywamy funkcją prostą.

Stwierdzenie Funkcja $f\colon X\to\overline\R$ jest funkcją prostą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją parami rozłączne zbiory $A_1,\ldots, A_k\in \F$ oraz różne elementy $a_1,\ldots,a_k\in \overline\R$ takie, że

$\begin{equation} \label{fprosta} f=\sum_{j=1}^k a_j\cdot \charfn_{A_j} \end{equation}$

Dowód: Proste ćwiczenie. Jeśli $A\in \F$ , to $\charfn_A$ jest funkcją mierzalną, gdyż zbiór $\{\charfn_A>a\}$ jest albo pusty, albo równy $A$ , albo równy $X$ . Dlatego mierzalność kombinacji liniowej funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych wynika ze Stwierdzenia [link].

Załóżmy teraz, że $a_1<a_2<\ldots<a_k\in \overline\R$ są wszystkimi wartościami funkcji mierzalnej $f$ . Dla $j=1,2,\ldots, k$ niech $A_j:=\{x\in X\colon f(x)=a_j\}$ . Oczywiście,

$A_j=X\setminus \Big(\{x\in X\colon f(x)>a_j\}\cup \{x\in X\colon f(x)<a_j\}\Big)\, ;$

zbiory $A_j$ są mierzalne, parami rozłączne i $f=\sum a_j\charfn_{A_j}$ . □

Uwaga Funkcja fprosta ma skończony zbiór wartości także wtedy, gdy zbiory $A_j$ nie są parami rozłączne.

Wniosek Kombinacja liniowa skończonej liczby funkcji prostych jest funkcją prostą.

Twierdzenie Jeśli $f\colon X\to [0,\infty]$ jest mierzalna, to istnieje niemalejący ciąg funkcji prostych $f_n\colon X\to [0,\infty]$ zbieżny do $f$ punktowo na $X$ . Jeśli ponadto $f$ jest ograniczona, to istnieje niemalejący ciąg nieujemnych funkcji prostych zbieżny do $f$ jednostajnie na $X$ .(#)

Dowód: Dla $n=1,2,\ldots$ połóżmy

$\begin{gather*} A_{m,n}=\Big\{x\in X\colon f(x) \colon \frac m{2^n} \le f(x)< \frac{m+1}{2^n} \Big\}, \qquad m=0,1,\ldots, n\cdot 2^n-1, \\[5pt] A_{2^n,n}=\{x\in X\colon n\le f(x)\}. \end{gather*}$

Zbiory $A_{m,n}$ są mierzalne i są, przy ustalonym $n$ , parami rozłączne. Przyjmijmy

$f_n=\sum_{m=0}^{n\cdot 2^n} \frac m{2^n}\charfn_{A_{m,n}}\, .$

(Intuicja jest prosta i naturalna: wykres $f$ tniemy na części, prowadząc cięcia na wysokościach $m/2^n$ , gdzie $m=0,1,\ldots, n2^n$ ; funkcja $f_n$ jest stała między dwiema cięciami. Przechodząc od $n$ do $n+1$ , prowadzimy cięcia dwukrotnie gęściej i nieco wyżej - nie tylko do wysokości $n$ , ale aż do $n+1$ ).

Wprost z definicji $f_n\le f$ na $X$ , gdyż $f_n=m/2^n\le f$ na każdym ze zbiorów $A_{m,n}$ . Jeśli $f(x)<\infty$ , to dla wszystkich $n>f(x)$ mamy $f_n(x)\le f(x)< f(x) +2^{-n}$ i dlatego $f_n(x)\to f(x)$ na zbiorze $\{f<\infty\}$ . Jeśli $f(x)=\infty$ , to $f(x)\ge n$ dla każdego $n\in \N$ i wtedy $f_n(x)=n$ , a więc również w tym przypadku $f_n(x)=n\to f(x)=\infty$ .

Wreszcie, nietrudno sprawdzić, że $f_{n+1}\ge f_n$ , gdyż

$\begin{gather*} A_{m,n}=A_{2m,n+1}\cup A_{2m+1,n+1}, \qquad m=0,1,\ldots, n\cdot 2^n-1,\\ A_{2^n,n}=A_{n2^{n+1},n+1}\cup A_{n2^{n+1}+1,n+1}\cup\ldots \cup A_{(n+1)2^{n+1},n+1}. \end{gather*}$

(Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi).

Jeśli $f$ jest ograniczona, to dla $n>\sup f$ nierówność $|f_n(x)-f(x)|\le 2^{-n}$ zachodzi na całym zbiorze $X$ . To oznacza, że $f_n\rightrightarrows f$ na $X$ . □

Podamy teraz dwa twierdzenia, opisujące związek mierzalności z ciągłością.

Twierdzenie [N. Łuzin] Jeśli $f\colon \R^n\to \R$ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to dla każdego $\eps>0$ istnieje taki zbiór domknięty $F\subset \R^n$ , że $\big.f\big|_F$ jest ciągła i $\lambda_n(\R^n\setminus F)<\eps$ .

Dowód: Ustalmy $\eps>0$ . Niech $h(x)=\frac \pi 2 +\arctg f(x)$ . Funkcja $h$ jest nieujemna i ograniczona na $\R^n$ , zatem wobec Twierdzenia [link] istnieje ciąg funkcji prostych $h_k\rightrightarrows h$ na $\R^n$ , $h-2^{-k}\le h_k\le h$ . Niech $h_k=\sum_{i=1}^{m_k}a_{k,i}\charfn_{A_{k,i}}$ , gdzie $A_{k,1}, A_{k,2}, \ldots, A_{k,m_k}$ są parami rozłączne. Można przyjąć, że $a_{k,1}=0$ dla wszystkich $k$ ; wtedy $\R^n$ jest sumą zbiorów $A_{k,i}$ .

Wobec Twierdzenia [link], charakteryzującego zbiory mierzalne, istnieją zbiory domknięte $F_{k,i}\subset A_{k,i}$ takie, że $\lambda_n(A_{k,i}\setminus F_{k,i})<\eps /(m_k2^{k})$ . Połóżmy

$F_k= F_{k,1}\cup F_{k,2} \cup \ldots \cup F_{k,m_k},$

jest to zbiór domknięty, gdyż suma skończenie wielu zbiorów domkniętych jest domknięta. Ponadto,

$\begin{equation} \label{miaraFkc} \lambda_n(\R^n\setminus F_k) =\sum_{i=1}^{m_k} \lambda_n(A_{k,i}\setminus F_{k,i}) < m_k \cdot \frac{\eps}{m_k2^k} = \frac{\eps}{2^k} \end{equation}$

Zbiór domknięty $F=\bigcap_{k=1}^\infty F_k$ spełnia, wobec wzorów de Morgana,

$\lambda_n(\R^n\setminus F)=\lambda_n\biggl(\bigcup_{k=1}^\infty \R^n\setminus F_k \biggr) \stackrel{\eqref{miaraFkc}}\le \sum_{k=1}^\infty \frac{\eps}{2^k}=\eps$

Zauważmy, że $h_k$ jest stała na każdym ze zbiorów $F_{k,i}$ , a więc jest ciągła na $F_k$ , tzn. jest ciągła także na $F\subset F_k$ . Ponadto, na zbiorze $F$ jest $|h_k-h|\le 2^{-k}$ . Innymi słowy, na zbiorze $F$ ciąg $h_k\big|_F$ funkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do $h\big|_F$ . Wynika stąd ciągłość $h\big|_F$ . Ponieważ $f=\tg (h-\frac \pi 2)$ , więc $f\big|_F$ jest ciągła. □

Twierdzenie [M. Fr\'{echet}] Jeśli $f\colon \R^n \to \R$ jest mierzalna w sensie Lebesgue'a, to istnieje ciąg funkcji ciągłych $\phi_k\colon \R^n\to \R$ zbieżny do $f$ prawie wszędzie na $\R^n$ .

Dowód: Skorzystajmy z twierdzenia Łuzina. Dla $k\in \N$ niech $F_k$ będzie takim zbiorem domkniętym, że $f_k=f\big|_{F_k}$ jest ciągła i $\lambda_n(\R^n\setminus F_k)< 2^{-k-1}$ . Na mocy znanego z topologii twierdzenia Tietzego o przedłużaniu istnieje funkcja ciągła $\phi_k\colon \R^n\to \R$ taka, że $\phi_k=f_k$ na zbiorze $F_k$ .

Zbiory $D_k=F_k\cap F_{k+1}\cap F_{k+2}\cap \ldots$ są domknięte; ponadto,

$\begin{equation} \label{miarauzupDk} \lambda_n(\R^n\setminus D_k)\le \sum_{j=k}^\infty \lambda_n(\R^n\setminus F_j)<\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots = \frac 1{2^k}\, . \end{equation}$

Na zbiorze $D_k$ jest $\phi_j=f_j=f$ dla wszystkich $j=k,k+1,k+2,\ldots$ . Dlatego ciąg $\phi_j$ jest zbieżny punktowo do $f$ na sumie $S=\bigcup_{k=1}^\infty D_k$ zbiorów $D_k$ . Z oszacowania miarauzupDk wynika, że

$\lambda_n(\R^n\setminus S)= \lambda_n\biggl(\bigcap_{k=1}^\infty \R^n\setminus D_k\biggr)= \lim_{k\to\infty } \lambda_n(\R^n\setminus D_k) \stackrel{\eqref{miarauzupDk}}= 0\, .$

To spostrzeżenie kończy cały dowód. □

Naturalne jest pytanie, dla jakich przestrzeni z miarą $(X, \F,\mu)$ zachodzą odpowiedniki twierdzeń Łuzina i Fr\'{e}cheta. W dowodach wykorzystuje się tylko dwie szczególne własności przestrzeni $\R^n$ i miary Lebesgue'a: charakteryzację zbiorów mierzalnych (ściślej: możliwość `przybliżania' zbiorów mierzalnych zbiorami domkniętymi) oraz twierdzenie Tietzego o przedłużaniu, które zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej normalnej (w szczególności: dla każdej przestrzeni metrycznej).

Definicja [miara regularna] Miara $\mu$ na $\sigma$ -ciele $\F$ przestrzeni topologicznej, zawierającym $\sigma$ -ciało $\B(X)$ zbiorów borelowskich, nazywa się regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $A\in \F$ i każdego $\eps>0$ istnieją zbiór otwarty $\Omega\subset X$ i zbiór domknięty $F\subset X$ takie, że $F\subset A\subset \Omega$ i $\mu(\Omega\setminus F)<\eps$ .

Uwaga Twierdzenie Łuzina zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej z miarą regularną $\mu$ , natomiast twierdzenie Fr\'{e}cheta zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej normalnej, wyposażonej w miarę regularną $\mu$ .