Określimy teraz klasę funkcji, które można całkować względem danej miary. Niech będzie dowolnym zbiorem, a
- ustalonym
-ciałem podzbiorów
, wyposażonym w przeliczalnie addytywną miarę
. Trójkę
nazywa się przestrzenią z miarą\/. Najważniejszym modelem takiej sytuacji będzie dla nas na razie
,
,
. Będziemy rozpatrywać funkcje
.




![]() |
należy do .
Jeśli ,
,
, to mówimy o funkcjach mierzalnych w sensie Lebesgue'a.

- funkcja
jest mierzalna;
- dla każdego
zbiór
;
- dla każdego
zbiór
;
- dla każdego
zbiór
.


Zauważmy, że zbiór jest dopełnieniem
. Dlatego (i)
(ii). Następnie,
![]() |
Dlatego drugi warunek pociąga za sobą trzeci.
Z warunku (iii) wynika (iv), gdyż . Wreszcie,
![]() |
dlatego (iv) pociąga za sobą warunek, podany w definicji funkcji mierzalnej. □


![]() |
Z poprzedniego stwierdzenia wynika więc, że . Przez symetrię,
też należy do
. Zbiory
i
są dopełnieniami zbiorów, odpowiednio,
i
, więc także należą do
. Wreszcie,
![]() |
gdyż jest zamknięte ze względu na branie iloczynu zbiorów.□














![]() |
jest mierzalna.
Zanim podamy dowód tego twierdzenia, sformułujmy oczywisty, ważny wniosek.
Dowód Wniosku [link] Jeśli ciąg jest zbieżny punktowo na
, to
. □
Dowód Twierdzenia [link] Wykorzystamy Stwierdzenie [link]. Przy ustalonym kres dolny zbioru
jest mniejszy od
wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego
jest
. Innymi słowy,
![]() |
Ponieważ kazdy ze zbiorów należy do
, więc i zbiór po lewej stronie ostatniej równości należy do
, to zaś oznacza, że funkcja
jest mierzalna.
Podobnie,
![]() |
Dlatego jest funkcją mierzalną.
Aby wykazać mierzalność granicy dolnej i górnej, przypomnijmy (patrz np. skrypt wykładów z Analizy I, podrozdział 8.1), że
![]() |
Z udowodnionej już części twierdzenia i tych wzorów wynika mierzalność funkcji i
. □
Okazuje się, że klasa funkcji mierzalnych jest zamknięta z uwagi na różne operacje algebraiczne.
- Zakładamy milcząco, że podane wyżej funkcje są dobrze określone.
- W wielu sytuacjach można się nie przejmować powyższym zastrzeżeniem. Wyjaśnijmy to nieco bliżej. Najpierw wprowadzimy ważny termin: mówi się, że funkcja mierzalna
ma własność
prawie wszędzie na
, jeśli zbiór tych punktów
, gdzie własność
jest naruszona, jest zbiorem miary zero. Jeśli
i
, a funkcja
jest mierzalna, to każda funkcja
, która jest równa
prawie wszędzie (tzn. jest taka, że
jest zbiorem miary Lebesgue'a zero), też jest funkcją mierzalną. To wynika z faktu, że każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.
Jeśli zatem funkcje
są prawie wszędzie skończone (tzn. zbiory
i
są zbiorami miary Lebesgue'a zero), to sumę
oraz iloczyn
można bez kłopotu określić na zbiorze
, a na zbiorze
nadać im jakąkolwiek wartość. To nie wpłynie na mierzalność.
Dowód Stwierdzenia [link] Krok 1. Jeśli , to
![]() |
Jeśli , to zmienia się kierunek jednej z nierówności w powyższym wzorze; mierzalność funkcji
wynika wtedy z równoważności warunków, podanych w Stwierdzeniu [link].
Krok 2: mierzalność sumy dwóch funkcji. Mierzalność wystarczy udowodnić, gdy
. Zauważmy najpierw, że jeśli
jest funkcją mierzalną, to
też jest mierzalna, gdyż
. Dalej, dla każdego
mamy
![]() |
funkcja jest mierzalna, więc mierzalność zbioru
wynika ze Stwierdzenia [link].
Krok 3: mierzalność kwadratu funkcji mierzalnej. Dla zbiór
jest po prostu równy
, a więc należy do
. Dla
mamy
![]() |
Krok 4: mierzalność iloczynu wynika teraz natychmiast ze wzoru
![]() |
Krok 5: mierzalność sprawdzamy łatwo wprost z definicji; dla
jest
![]() |
zaś dla mamy po prostu
.
Krok 6: aby zakończyć cały dowód, stosujemy wzory
![]() |
i korzystamy z udowodnionej już mierzalności sumy, różnicy i wartości bezwzględnej funkcji mierzalnych. □






![]() |
jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów, należących do . □
\subsection*{Funkcje proste}




![]() |





Załóżmy teraz, że są wszystkimi wartościami funkcji mierzalnej
. Dla
niech
. Oczywiście,
![]() |
zbiory są mierzalne, parami rozłączne i
. □

![$ f\colon X\to [0,\infty] $](/sites/default/files/tex/0fd3b1db9f8c8304c3fcd4a46c4ba058ee123537.png)
![$ f_n\colon X\to [0,\infty] $](/sites/default/files/tex/3eb1e972d1b99e3680d27dd5d6b62fe1cee29aa6.png)






![]() |
Zbiory są mierzalne i są, przy ustalonym
, parami rozłączne. Przyjmijmy
![]() |
(Intuicja jest prosta i naturalna: wykres tniemy na części, prowadząc cięcia na wysokościach
, gdzie
; funkcja
jest stała między dwiema cięciami. Przechodząc od
do
, prowadzimy cięcia dwukrotnie gęściej i nieco wyżej - nie tylko do wysokości
, ale aż do
).
Wprost z definicji na
, gdyż
na każdym ze zbiorów
. Jeśli
, to dla wszystkich
mamy
i dlatego
na zbiorze
. Jeśli
, to
dla każdego
i wtedy
, a więc również w tym przypadku
.
Wreszcie, nietrudno sprawdzić, że , gdyż
![]() |
(Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi).
Jeśli jest ograniczona, to dla
nierówność
zachodzi na całym zbiorze
. To oznacza, że
na
. □
Podamy teraz dwa twierdzenia, opisujące związek mierzalności z ciągłością.


















Wobec Twierdzenia [link], charakteryzującego zbiory mierzalne, istnieją zbiory domknięte takie, że
. Połóżmy
![]() |
jest to zbiór domknięty, gdyż suma skończenie wielu zbiorów domkniętych jest domknięta. Ponadto,
![]() |
Zbiór domknięty spełnia, wobec wzorów de Morgana,
![]() |
Zauważmy, że jest stała na każdym ze zbiorów
, a więc jest ciągła na
, tzn. jest ciągła także na
. Ponadto, na zbiorze
jest
. Innymi słowy, na zbiorze
ciąg
funkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do
. Wynika stąd ciągłość
. Ponieważ
, więc
jest ciągła. □











Zbiory są domknięte; ponadto,
![]() |
Na zbiorze jest
dla wszystkich
. Dlatego ciąg
jest zbieżny punktowo do
na sumie
zbiorów
. Z oszacowania miarauzupDk wynika, że
![]() |
To spostrzeżenie kończy cały dowód. □
Naturalne jest pytanie, dla jakich przestrzeni z miarą zachodzą odpowiedniki twierdzeń Łuzina i Fr\'{e}cheta. W dowodach wykorzystuje się tylko dwie szczególne własności przestrzeni
i miary Lebesgue'a: charakteryzację zbiorów mierzalnych (ściślej: możliwość `przybliżania' zbiorów mierzalnych zbiorami domkniętymi) oraz twierdzenie Tietzego o przedłużaniu, które zachodzi dla każdej przestrzeni topologicznej normalnej (w szczególności: dla każdej przestrzeni metrycznej).












