Miara powierzchniowa na rozmaitościach zanurzonych

W tym rozdziale zajmiemy się definicją tzw. miary powierzchniowej na $ m $-wymiarowej rozmaitości zanurzonej $ M\subset \R^n $ oraz opisem własności tej miary. Definicję wprowadzimy tak, aby dla $ m=1 $ otrzymać długość krzywej, a dla $ m=2 $ - pojęcie pola powierzchni gładkiej, odpowiadające naturalnym intuicjom.

Czytelnik pamięta zapewne, że na I roku studiów określiliśmy długość krzywej jako kres górny długości łamanych wpisanych w tę krzywą. Pomysł, stojący za definicją miary powierzchniowej, jest w istocie podobny. Zaczniemy jednak od przykładu, który świadczy o tym, że definiowanie pola powierzchni gładkiej wiąże się z pewnymi trudnościami.

Przykład [chińska latarnia H. A. Schwarza, 1880] Dla danych liczb naturalnych $ m,n>1 $ opiszemy powierzchnię wielościenną $ L_{m,n} $, złożoną z $ 2mn $ przystających trójkątów równoramiennych o wierzchołkach położonych na powierzchni bocznej walca obrotowego o promieniu podstawy $ r=1 $ i wysokości $ h=1 $. Poprowadźmy $ n+1 $ płaszczyzn poziomych $ \pi_0,\pi_2,\ldots,\pi_n $; pierwsza z nich zawiera dolną podstawę walca, ostatnia - górną podstawę, a odległość sąsiednich płaszczyzn jest równa $ 1/n $. Płaszczyzny te przecinają powierzchnię boczną walca wzdłuż $ n+1 $ okręgów. Na każdym okręgu ustalamy $ m $ punktów, stanowiących wierzchołki $ m $-kąta foremnego; robimy to tak, aby punkty na $ (j+1) $-szym okręgu leżały nad środkami łuków, wyznaczonych przez punkty na $ j $-tym okręgu. (Czytelnik, dbający o pełną formalną ścisłość, może opisać współrzędne tych punktów w $ \R^3 $. Rzeczą bardziej pouczającą jest jednak samodzielnie wykonanie kilku rysunków.) Liczba wszystkich punktów wynosi $ (n+1)\cdot m $. Powierzchnia $ L_{m,n} $ jest sumą wszystkich trójkątów, których podstawa łączy dwa sąsiednie punkty na tym samym okręgu, a trzeci wierzchołek znajduje się na sąsiednim okręgu, nad lub pod środkiem łuku wyznaczonego przez końce podstawy. Otrzymujemy w ten sposób $ 2m $ trójkątów między każdą parą sąsiednich okręgów. Razem trójkątów jest $ 2mn $. Rozwiązując dwa łatwe zadania z geometrii płaskiej, sprawdzamy, że każdy z tych trójkątów ma podstawę $ a_{m,n} $ i wysokość $ h_{m,n} $ dane wzorami

\[ 	a_{m,n}=2\sin \frac \pi m\, ,\qquad h_{m,n}=\sqrt{\frac 1{n^2} + \Big(1-\cos\frac \pi m\Big)^2}=\sqrt{\frac 1{n^2}+4\sin^4\frac{\pi}{2m}} 	\]

Dlatego pole $ P_{m,n} $ chińskiej latarni $ L_{m,n} $ wynosi

\[ \begin{align*} P_{m,n}&=2mn\cdot \frac{a_{m,n}h_{m,n}}2   =2mn \sin \frac \pi m\,\sqrt{\frac 1{n^2}+4\sin^4\frac{\pi}{2m}}\\ &=2\pi \cdot \frac{\sin (\pi /m)}{\pi / m}\cdot \sqrt{ 1+4n^2\sin^4\frac{\pi}{2m}}\, . \end{align*} \]

Nietrudno zauważyć, że granica podwójna $ \lim_{m,n\to\infty} P_{m,n} $ nie istnieje, z uwagi na zachowanie czynnika pod pierwiastkiem kwadratowym. Dla $ m=n\to\infty $ otrzymujemy $ P_{n,n}\to 2\pi $. Jednak np. dla $ n=2m^2 $ jest

\[ \lim_{m\to\infty}P_{m,2m^2}=2\pi \lim_{m\to\infty} \frac{\sin (\pi /m)}{\pi / m}\cdot \sqrt{ 1+16 m^4\sin^4\frac{\pi}{2m}}=2\pi\sqrt{1+\pi^4}\, . \]

Łatwo wskazać takie ciągi $ n_j,m_j\to\infty $, dla których $ P_{m_j,n_j}\to 2\pi \cdot A $, gdzie $ A\ge 1 $ jest z góry zadaną liczbą (zainteresowany Czytelnik zrobi to bez trudu sam). Wreszcie, $ P_{m,m^3}\to\infty $ dla $ m\to \infty $.

Widać więc, że wynik przybliżania powierzchni bocznej walca za pomocą trójkątów o bokach o coraz mniejszej długości zależy nie tylko od liczby tych trójkątów, ale i od proporcji ich boków. Różne wyniki uzyskuje się dlatego, że dla $ n\gg m $ kąt między płaszczyzną trójkąta i powierzchnią walca jest oddzielony od zera. □