Przypomnijmy, że orientacja przestrzeni liniowej to, formalnie biorąc, wybór jednej zdwóch klas abstrakcji następującej relacji równoważności, określonej na bazach
: bazy
![]() |
są w tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy zapisana w tych bazach macierz przekształcenia identycznościowego ma dodatni wyznacznik.
Powiemy teraz, co to znaczy, że dana rozmaitość gładka jest zorientowana. Wprowadźmy odpowiednie oznaczenia. Niech
będzie rodziną zbiorów otwartych w
, pokrywającą
. Załóżmy, że dla wszystkich indeksów
zbiór (Proszę zauważyć: z definicji, jest to zbiór otwarty w topologii indukowanej)
.
jest obrazem parametryzacji gładkiej
![]() |
a funkcja
![]() |
jest tzw. mapą. Zbiór map jest, zgodnie z terminologią z Definicji [link], atlasem.
Funkcje przejścia .

![]() |
są mapami na rozmaitości gładkiej , jest zorientowany, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
takich, że dziedziny map
przecinają się, przekształcenie
![]() |
(nazywane funkcją przejścia) spełnia warunek
![]() |
w każdym punkcie swojej dziedziny.


Nietrudno sprawdzić, że zgodność jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich atlasów zorientowanych danej rozmaitości orientowalnej. Wyborem orientacji danej rozmaitości nazywa się, formalnie biorąc, wybór klasy abstrakcji tej relacji. Pozostawimy Czytelnikowi sprawdzenie, że na każdej rozmaitości orientowalnej istnieją tylko dwa różne wybory orientacji.








![]() |
którego pole wyznaczyliśmy w Przykładzie [link], jest rozmaitością orientowalną. Zbiór jest obrazem przekształcenia
![]() |
Nietrudno wprowadzić na atlas złożony np. z czterech map
,
, będących przekształceniami odwrotnymi do
![]() |
Funkcje przejścia dla tego atlasu są po prostu przesunięciami , gdzie
, a każdy z wyznaczników w det > 0 jest równy 1.
Tak samo sprawdza się, że -wymiarowy torus
![]() |
jest rozmaitością orientowalną.

Wstęga M\"{o}biusa to obraz przekształcenia wstega: powierzchnia zakreślana przez odcinek długości 2, którego środek porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu , podczas gdy sam odcinek, zawarty przez cały czas w płaszczyźnie normalnej do okręgu, obraca się o kąt
. Z topologicznego punktu widzenia, wstęga M\"{o}biusa powstaje przez sklejenie dwóch końców prostokątnego, elastycznego paska, przy czym jeden z końców zostaje przed sklejeniem obrócony o 180 stopni.
Nieorientowalna jest np. wstęga M\"{o}biusa, , gdzie
![]() |












Bez dowodu, który wykracza poza ramy wykładu, podamy następujące twierdzenie.




Całka z formy różniczkowej





![]() |



![]() |
jest zgodna z orientacją , to dla formy
o zwartym nośniku w
przyjmujemy
![]() |
Wypada oczywiście sprawdzić, że powyższa definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli nośnik formy jest zawarty w przecięciu dziedzin dwóch map Z tego samego atlasu zorientowanego,
oraz
, to funkcja przejścia
![]() |
jest dyfeomorfizmem na
, o dodatnim jakobianie. Dla parametryzacji
oraz
mamy
![]() |
Niech będą współrzędnymi w
, a
- współrzędnymi w
. Wówczas
, gdzie nośnik funkcji gładkiej
jest zwarty w zbiorze
. Zgodnie ze Stwierdzeniem [link](i) oraz(iii),
![]() |
Dlatego z twierdzenia o zamianie zmiennych otrzymujemy
![]() |
Proszę zauważyć: skorzystaliśmy z tego, że na ustalono atlas zorientowany; dlatego mogliśmy w powyższym rachunku użyć samego jakobianu funkcji przejścia, a nie wartości bezwzględnej tego jakobianu.
Zdefiniujemy teraz całkę z -formy różniczkowej po orientowalnej rozmaitości zwartej
. Taka rozmaitość ma atlas zorientowany, złożony ze skończenie wielu map
,
. Niech funkcje
tworzą tzw. gładki rozkład jedynki na
wpisany w pokrycie
, tzn. niech
![]() |
Istnienie takiego rozkładu jedynki gwarantuje Lemat [link] (patrz Dodatek [link]). Przy takich oznaczeniach przyjmujemy następujące określenie.




![]() |
Ponownie, wypada sprawdzić, że ta definicja nie zależy od wyboru atlasu zorientowanego i rozkładu jedynki. Jeśli inne zbiory pokrywają
,
, mapy
tworzą atlas zorientowany, a funkcje
są gładkim rozkładem jedynki na
wpisanym w pokrycie
, to zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy
![]() |
Stąd już wynika poprawność definicji.