Orientacja rozmaitości. Całka z formy różniczkowej

Przypomnijmy, że orientacja przestrzeni liniowej $ \R^m $ to, formalnie biorąc, wybór jednej zdwóch klas abstrakcji następującej relacji równoważności, określonej na bazach $ \R^m $: bazy

\[ \bxi_1,\ldots,\bxi_m \qquad \mbox{oraz}\qquad \bta_1,\ldots,\bta_m \]

są w tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy zapisana w tych bazach macierz przekształcenia identycznościowego ma dodatni wyznacznik.

Powiemy teraz, co to znaczy, że dana rozmaitość gładka $ M^m\subset \R^n $ jest zorientowana. Wprowadźmy odpowiednie oznaczenia. Niech $ (U_\alpha)_{\alpha\in A} $ będzie rodziną zbiorów otwartych w $ \R^n $, pokrywającą $ M $. Załóżmy, że dla wszystkich indeksów $ \alpha\in A $ zbiór (Proszę zauważyć: z definicji, jest to zbiór otwarty w topologii indukowanej) $ M $. $ U_\alpha\cap M $ jest obrazem parametryzacji gładkiej

\[ \Psi_\alpha\colon \R^m\supset V_\alpha\to U_\alpha\cap M=\Psi_\alpha(V_\alpha)\subset \R^n\, , \]

a funkcja

\[ \Phi_\alpha=(\Psi_\alpha)^{-1}\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m \]

jest tzw. mapą. Zbiór map $ \{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $ jest, zgodnie z terminologią z Definicji [link], atlasem.

Funkcje przejścia $ \phi_{\beta\alpha}=\Phi_\beta\circ \Phi_\alpha^{-1}\colon V_\alpha\supset \Phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta\cap M)\to V_\beta $.

Definicja [atlas zorientowany] Powiemy, że atlas $ \{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $, gdzie

\[ 	\Phi_\alpha=(\Psi_\alpha)^{-1}\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m 	\]

są mapami na rozmaitości gładkiej $ M $, jest zorientowany, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $ \alpha, \beta\in A $ takich, że dziedziny map $ \Phi_\alpha, \Phi_\beta $ przecinają się, przekształcenie

\[ \phi_{\beta\alpha}:=\Phi_{\beta}\circ \Phi_\alpha^{-1}\colon \Phi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta\cap M)\to V_\beta\subset \R^m \]

(nazywane funkcją przejścia) spełnia warunek

\[ \begin{equation} 	\label{det > 0} 	\det D\phi_{\beta\alpha} > 0 \end{equation} \]

w każdym punkcie swojej dziedziny.

Definicja Rozmaitość $ M\subset \R^n $ nazywa się orientowalna, jeśli istnieje na niej atlas zorientowany.
Definicja Dwa atlasy zorientowane na danej rozmaitości $ M $zgodne, jeśli ich suma jest atlasem zorientowanym.

Nietrudno sprawdzić, że zgodność jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich atlasów zorientowanych danej rozmaitości orientowalnej. Wyborem orientacji danej rozmaitości nazywa się, formalnie biorąc, wybór klasy abstrakcji tej relacji. Pozostawimy Czytelnikowi sprawdzenie, że na każdej rozmaitości orientowalnej istnieją tylko dwa różne wybory orientacji.

Uwaga Wygodne jest także następujące spojrzenie: orientacja $ M $ to wybór orientacji każdej z przestrzeni stycznych $ T_{\mpp}M $, przy czym owe wybory są dopasowane tak, żeby dla każdego punktu $ \pp\in M $ istniała taka dziedzina mapy $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $, że $ \pp\in U_\alpha\cap M $ i różniczka parametryzacji $ \Psi_\alpha=(\Phi_\alpha)^{-1}\colon V_\alpha\to U_\alpha\cap M $ przeprowadza standardową bazę $ \ee_1,\ldots,\ee_m $ w dodatnio zorientowaną bazę przestrzeni $ T_{\mpp}M $.

Przykład Torus

$$\T^2=\S^1\times \S^1=\{(x,y,z,w)\in \R^4\colon x^2+y^2=z^2+w^2=1\},$$

którego pole wyznaczyliśmy w Przykładzie [link], jest rozmaitością orientowalną. Zbiór $ \T^2 $ jest obrazem przekształcenia

\[ \Psi\colon \R^2\ni (t,s)\longmapsto (\cos t,\sin t,\cos s,\sin s)\in \T^2\, . \]

Nietrudno wprowadzić na $ \T^2 $ atlas złożony np. z czterech map $ \Phi_\alpha $, $ \alpha=1,2,3,4 $, będących przekształceniami odwrotnymi do

\[ \Psi\big|_{(0,2\pi)\times (0,2\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(0,2\pi)\times (\pi,3\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(\pi,3\pi)\times (0,2\pi)}, \qquad \Psi\big|_{(\pi,3\pi)\times (\pi,3\pi)}. \]

Funkcje przejścia dla tego atlasu są po prostu przesunięciami $ (t,s)\mapsto (t\pm a,s\pm b) $, gdzie $ a,b\in \{0,\pi\}  $, a każdy z wyznaczników w det > 0 jest równy 1.

Tak samo sprawdza się, że $ n $-wymiarowy torus

$$\T^n=\{\zz=(z_1,\ldots,z_n)\in \C^n\simeq\R^{2n}\colon |z_1|=\ldots=|z_n|=1\}$$

jest rozmaitością orientowalną.

Zadanie Sprawdzić, że sfera $ \S^{n-1}=\{\xx\in \R^n\colon \|\xx\|^2=1\} $ jest orientowalna.     Wskazówka. Można użyć atlasu, w którym są tylko dwie mapy: rzuty stereograficzne zdwóch przeciwnych biegunów; jeden z tych rzutów można złożyć z odbiciem lustrzanym.

Wstęga M\"{o}biusa to obraz przekształcenia wstega: powierzchnia zakreślana przez odcinek długości 2, którego środek porusza się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu $ 2 $, podczas gdy sam odcinek, zawarty przez cały czas w płaszczyźnie normalnej do okręgu, obraca się o kąt $ \pi $. Z topologicznego punktu widzenia, wstęga M\"{o}biusa powstaje przez sklejenie dwóch końców prostokątnego, elastycznego paska, przy czym jeden z końców zostaje przed sklejeniem obrócony o 180 stopni.

Nieorientowalna jest np. wstęga M\"{o}biusa, $ M=\Psi\big(\R\times (-1,1)\big)\subset\R^3 $, gdzie

\[ \begin{equation} 	\label{wstega} 	\begin{split} \Psi(\theta,t)&=2(\cos2\theta,\sin2\theta,0) + t \big(\cos\theta\, \cos2 \theta\, , \cos\theta\,  \sin2\theta\, ,\sin\theta\, \big)\\ & = \big((2+t\cos\theta)\cos 2\theta\, , (2+t\cos\theta)\sin2\theta,t\sin\theta\big) \end{split} \end{equation} \]
Zadanie Wskazać atlas wstęgi M\"{o}biusa, złożony z dwóch map. Sprawdzić, że nie jest to atlas zorientowany.
Zadanie Udowodnić następujący fakt: jeśli atlas $ \mathscr{A}=\{\Phi_\alpha\colon \alpha\in A\} $ rozmaitości $ M^m\subset \R^n $ jest zorientowany i obraz mapy $ \Phi\colon U\cap M\to V $ jest spójny\/ w $ \R^m $, to któryś z atlasów $ \mathscr{A_+}=\mathscr{A}\cup\{\Phi\} $ oraz $ \mathscr{A_-}=\mathscr{A}\cup\{L\circ\Phi\} $, gdzie $ L\colon \R^m\to \R^m $ jest odbiciem lustrzanym, tzn. $ L(x_1,x_2,\ldots,x_m)=(-x_1,x_2,\ldots,x_m) $, jest zorientowany.     Wskazówka. Zbiory $ D^+_\alpha=\{\xx\in V\colon \det D(\Phi_\alpha\circ \Phi^{-1})(\xx)>0\} $ oraz $ D^-_\alpha $ zdefiniowany analogicznie, za pomocą przeciwnej nierówności, są otwarte. Sprawdzić, że każdy punkt $ V $ należy do jednego z tych zbiorów. Skorzystać ze spójności $ V $.
Zadanie Z dwóch poprzednich zadań wywnioskować, że wstęga M\"{o}biusa nie jest orientowalna.

Bez dowodu, który wykracza poza ramy wykładu, podamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie Jeśli rozmaitość $ M^m=\partial\Omega $ klasy $ C^1 $ jest brzegiem obszaru ograniczonego $ \Omega\subset\R^{m+1} $, to $ M $ jest orientowalna.

Całka z formy różniczkowej

Definicja (#) Niech $ U\subset\R^m $ będzie zbiorem otwartym i niech $ \omega\in \Omega^m(U) $, $ \omega=f\, dx_1\wedge\ldots \wedge dx_m $, gdzie $ f\in C_0^\infty(U) $ jest funkcją gładką o zwartym nośniku w $ U $. Przyjmujemy wówczas

\[ 	\int_U \omega=\int_U f\, dx_1\wedge\ldots \wedge dx_m:= \int_U f\, d\lambda_m\, . 	\]
Definicja (#) Niech $ M^m\subset \R^n $ będzie rozmaitością zorientowaną. Jeśli $ U\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, $ U\cap M\not=\emptyset $, a parametryzacja

\[ 	\Psi\colon \R^m\supset V\ \longrightarrow\  U\cap M=\Psi(V) 	\]

jest zgodna z orientacją $ M $, to dla formy $ \omega\in \Omega^m(U) $ o zwartym nośniku w $ U $ przyjmujemy

\[ \begin{equation} 	\int_M \omega :=\int_V \Psi^\ast\omega \end{equation} \]

Wypada oczywiście sprawdzić, że powyższa definicja jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli nośnik formy $ \omega $ jest zawarty w przecięciu dziedzin dwóch map Z tego samego atlasu zorientowanego, $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha $ oraz $ \Phi_\beta\colon U_\beta\cap M\to V_\beta $, to funkcja przejścia

\[ \phi_{\beta\alpha}\colon \Phi_{\alpha}\big(U_\alpha\cap U_\beta\cap  M\big)=:W_\alpha \longrightarrow W_\beta:=\Phi_{\beta}\big(U_\alpha\cap U_\beta\cap  M\big) \]

jest dyfeomorfizmem $ W_\alpha $ na $ W_\beta $, o dodatnim jakobianie. Dla parametryzacji $ \Psi_\alpha=\Phi_\alpha^{-1} $ oraz $ \Psi_\beta=\Phi_\beta^{-1} $ mamy

\[ \Psi_\alpha=\Psi_\beta\circ \phi_{\beta\alpha}\qquad\mbox{na $W_\alpha$}. \]

Niech $ (y_1,\ldots,y_m) $ będą współrzędnymi w $ W_\beta $, a $ (x_1,\ldots,x_m) $ - współrzędnymi w $ W_\alpha $. Wówczas $ \Psi_\beta^\ast\, \omega=f\, dy_1\wedge\ldots \wedge dy_m $, gdzie nośnik funkcji gładkiej $ f $ jest zwarty w zbiorze $ W_\beta $. Zgodnie ze Stwierdzeniem [link](i) oraz(iii),

\[ \begin{align*} \Psi_\alpha^\ast \, \omega = \big(\Psi_\beta\circ \phi_{\beta\alpha}\big)^\ast\, \omega & = \phi_{\beta\alpha}^{\ast}\big(\Psi_\beta^\ast\, \omega)\\ &= \phi_{\beta\alpha}^{\ast}\big(f\, dy_1\wedge\ldots \wedge dy_m\big)\\ &= (f\circ\phi_{\beta\alpha})\, \det D\phi_{\beta\alpha}\;  dx_1\wedge\ldots\wedge dx_m\, . \end{align*} \]

Dlatego z twierdzenia o zamianie zmiennych otrzymujemy

\[ \int_{V_\alpha} \Psi_\alpha^\ast\,  \omega = \int_{W_\alpha}   (f\circ\phi_{\beta\alpha})\, \det D\phi_{\beta\alpha}\;  d\lambda_m = \int_{W_\beta} f\;  d\lambda_m = \int_{V_\beta} \Psi_\beta^\ast\, \omega\, . \]

Proszę zauważyć: skorzystaliśmy z tego, że na $ M $ ustalono atlas zorientowany; dlatego mogliśmy w powyższym rachunku użyć samego jakobianu funkcji przejścia, a nie wartości bezwzględnej tego jakobianu.

Zdefiniujemy teraz całkę z $ m $-formy różniczkowej po orientowalnej rozmaitości zwartej $ M^m\subset \R^n $. Taka rozmaitość ma atlas zorientowany, złożony ze skończenie wielu map $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $, $ \alpha=1,\ldots, N $. Niech funkcje $ \zeta_\alpha\in C_0^\infty(U_\alpha) $ tworzą tzw. gładki rozkład jedynki na $ M $ wpisany w pokrycie $ (U_\alpha) $, tzn. niech

\[ \zeta_1+\cdots +\zeta_N\equiv 1\quad\mbox{w pewnym otoczeniu zbioru $M$,}\qquad  \zeta\equiv 0\quad\mbox{poza $U_j$.} \]

Istnienie takiego rozkładu jedynki gwarantuje Lemat [link] (patrz Dodatek [link]). Przy takich oznaczeniach przyjmujemy następujące określenie.

Definicja Załóżmy, że $ W $ jest zbiorem otwartym w $ \R^n $ i rozmaitość $ M^m\subset W $. Dla formy $ \omega\in \Omega^m(W) $ kładziemy

\[ \begin{equation} 	\int_M \omega:=\sum_{\alpha=1}^N \int_{M\cap U_\alpha} \zeta_\alpha\, \omega\, . \end{equation} \]

Ponownie, wypada sprawdzić, że ta definicja nie zależy od wyboru atlasu zorientowanego i rozkładu jedynki. Jeśli inne zbiory $ U'_\beta\subset \R^n $ pokrywają $ M $, $ \beta=1,\ldots,N' $, mapy $ \Phi_\beta'\colon U_\beta'\cap M\to V_\beta\subset \R^m $ tworzą atlas zorientowany, a funkcje $ \zeta_\beta'\in C_0^\infty(U_\beta') $ są gładkim rozkładem jedynki na $ M $ wpisanym w pokrycie $ (U_\beta') $, to zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy

\[ \sum_{\alpha} \int_{M\cap U_\alpha } \zeta_\alpha \, \omega = \sum_{\alpha,\beta} \int_{M\cap U_\alpha\cap U'_\beta } \zeta_\alpha\zeta'_\beta \, \omega  = \sum_\beta \int_{M\cap  U'_\beta }\zeta'_\beta \, \omega \, . \]

Stąd już wynika poprawność definicji.

Uwaga Analogicznie definiuje się całkę z formy różniczkowej po zwartym podzbiorze dowolnej rozmaitości zorientowanej.