Otoczenia tubularne i twierdzenie o materacu

W całym podrozdziale symbol $ X_\eps $ oznacza zbiór $ \{\yy\in \R^n\colon \dist(\yy,X)<\eps\} $ wszystkich punktów przestrzeni, odległych od ustalonego zbioru $ X\subset \R^n $ mniej niż o $ \eps>0 $. (Jeśli np. $ X $ jest gładką krzywą w $ \R^3 $, to $ X_\eps $ jest rurką o grubości $ 2\eps $ wokół tej krzywej, patrz rysunek).

Twierdzenie [o otoczeniu tubularnym]% Niech $ M\subset \R^n $ będzie $ m $-wymiarową zanurzoną rozmaitością zwartą klasy $ C^2 $. Wówczas, dla wszystkich dostatecznie małych $ \eps>0 $, zbiór $ M_\eps $ spełnia zależność

\[ \begin{equation} 	\label{tubka} 	M_\eps =\bigcup_{\mpp\in M} D^\perp(\pp,\eps),  \end{equation} \]

przy czym dyski

\[ \begin{equation} 	\label{dyskperp} 	D^\perp(\pp,\eps) = \{\pp + \vv\colon \vv\in \R^n, \ \|\vv\|<\eps, \ \vv \perp T_{\mpp}M\}\,  \end{equation} \]

położone w przestrzeniach $ (T_{\mpp}M)^\perp $, są parami rozłączne dla różnych punktów $ \pp\in M $. Przekształcenie

\[ P\colon M_\eps\ni \yy\mapsto P(\yy)\in M, \]

gdzie $ \|P(\yy)-\yy\|=\min_{\mzz\in M}\|\zz-\yy\| $, jest dobrze określonym przekształceniem klasy $ C^1 $.(#)%

Fragment gładkiej krzywej zamkniętej w$ \R^3 $ i jej otoczenia tubularnego.

Przed przystąpieniem do dowodu spróbujemy wyjaśnić poglądowo treść tego ważnego twierdzenia. Przekształcenie $ P $ nazywane jest rzutowaniem na najbliższy punkt. Punktowi $ \yy $, należącemu do wąskiej tuby $ M_\eps $ wokół rozmaitości $ M $, przypisujemy ten punkt $ \zz=P(\yy)\in M $, który jest najbliższy $ \yy $. Twierdzenie mówi, że dla zwartych rozmaitości klasy $ C^2 $, przy dostatecznie małym $ \eps>0 $, istnieje dokładnie jeden taki punkt $ \zz $.

Czytelnik zechce pomyśleć najpierw o przypadkach, które względnie łatwo można sobie wyobrazić: $ m=1 $ i $ n=2 $, $ m=1 $ i $ n=3 $, wreszcie $ m=2 $ i $ n=3 $. W pierwszym z nich $ M $ jest gładką krzywą zamkniętą w$ \R^2 $. Dyski $ D^\perp(\pp,\eps) $ są po prostu odcinkami otwartymi długości $ 2\eps $, prostopadłymi do krzywej i mającymi środki w jej punktach. Twierdzenie o otoczeniu tubularnym orzeka, że dla małych $ \eps>0 $ takie odcinki są rozłączne, a ich suma jest zbiorem wszystkich punktów, odległych od krzywej mniej niż o $ \eps $\/. Przekształcenie $ P $ nietrudno opisać geometrycznie: każdy punkt zbioru $ M_\eps $ należy do dokładnie jednego odcinka $ D^\perp(\pp,\eps) $ i jeśli $ \yy\in D^\perp(\pp,\eps)  $, to $ P(\yy)=\pp $.

Dla $ m=1 $, $ n=3 $ mamy do czynienia z krzywą zamkniętą w $ \R^3 $; jej otoczenie tubularne to rurka, zbudowana z małych, płaskich, parami rozłącznych dysków, prostopadłych do tej krzywej i mających środki w jej punktach. Wreszcie, dla $ m=2 $ i $ n=3 $ rozmaitość $ M\subset \R^3 $ jest zwartą, gładką powierzchnią bez brzegu. Zbiór $ M_\eps $ jest wtedy - jak gęsty `jeż' - sumą parami rozłącznych odcinków o długościach równych $ 2\eps $; każdy z tych odcinków ma środek na $ M $ i jest prostopadły do $ M $ (tj. do przestrzeni stycznej do $ M $).

    Szkic dowodu Twierdenia [link] Dla każdego $ \yy\in M_\eps $ istnieje (co najmniej jeden) punkt $ P(\yy)\in M $ taki, że $ \|P(\yy)-\yy\|=\dist (\yy, M)=\min_{\mzz\in M}\|\zz-\yy\| $. To wynika stąd, że przy ustalonym $ \yy $ funkcja $ f(\zz)=\|\zz-\yy\| $ osiąga swój kres dolny na zbiorze zwartym $ M $. Zauważmy, że jeśli $ \pp=P(\yy) $, to wektor $ \vv=\yy-\pp $ jest prostopadły do $ T_{\mpp} M $ (gdyby tak nie było, odległość $ \yy $ od $ M $ nie osiągałaby w punkcie $ \pp $ najmniejszej wartości - Czytelnik zechce to sprawdzić, posługując się np. prostopadłością gradientu do rozmaitości w punkcie ekstremum warunkowego). Inaczej mówiąc,

\[ M_\eps =\bigcup_{\mpp\in M} D^\perp(\pp,\eps)\, .  \]

Sprawdzimy, że dla małych $ \eps $ dyski $  D^\perp(\pp,\eps) $ są parami rozłączne dla różnych $ \pp $. Przypuśćmy, że jest przeciwnie: dla $ \eps_j=1/j $, gdzie $ j=1,2,\ldots $ istnieją punkty $ \pp_j\not=\pp'_j\in M $ takie, że iloczyn $ D^\perp(\pp_j,\frac 1j)\cap D^\perp(\pp'_j,\frac 1j) $ jest niepusty. Wtedy $ \|\pp_j-\pp'_j\|<2/j\to \zero $; dzięki zwartości $ M $, przechodząc do odpowiedniego podciągu, można założyć, że $ \lim\pp_j=\lim\pp'_j=\pp\in M $.

Niech $  \Psi\colon \R^m\supset V\to U\cap M \subset \R^n  $ będzie parametryzacją klasy $ C^2 $ pewnego otoczenia $ \pp $ w $ M $. Bez zmniejszenia ogólności, obracając i przesuwając w razie potrzeby układ współrzędnych, załóżmy, że $ \pp=\zero=\Psi(\zero)\in \R^n $,

\[ T_{\zero} M= \text{span}\, (\ee_1,\ldots,\ee_m)\, , \qquad (T_{\zero} M)^\perp= \text{span}\, (\ee_{m+1},\ldots,\ee_{n})\, . \]

Niech $ I\colon \R^{n-m}\to (T_{\zero} M)^\perp\subset \R^n $ oznacza włożenie liniowe, polegające na utożsamieniu $ \vv=(v_{m+1},v_{m+2},\ldots,v_{n})\in \R^{n-m} $ z wektorem $ I(\vv)=\sum_{i>m} v_i\ee_i $ w $ (n-m) $-wymiarowej podprzestrzeni $ (T_{\zero} M)^\perp $. Określmy odwzorowanie

\[ F\colon \R^n=\R^m\times \R^{n-m}\supset V\times B^{n-m}(\zero,1)\to \R^n \]

następująco:

\[ F(\xx,\vv)= \Psi(\xx)+ \pi(\Psi(\xx)) (I(\vv))\, , \]

gdzie dla ustalonego $ \yy\in M $ przekształcenie $ \pi(\yy) $ jest rzutem ortognalnym $ \R^n $ na przestrzeń $ (T_{\myy} M)^\perp $. Jeśli $ \Psi(\xx)=\qq\in M $, to $ F(\xx,\vv)\in D^\perp(\qq,1) $.

Można sprawdzić, że jeśli $ M $ jest klasy $ C^2 $, to wyrazy macierzy rzutu $ \pi(\Psi(\xx)) $ w standardowej bazie $ \R^n $ są funkcjami klasy $ C^1 $ zmiennej $ \xx $. (To niezbyt trudne zadanie; do jego rozwiązania trzeba wykorzystać geometryczną charakteryzację rzutu ortogonalnego na podprzestrzeń liniową.) Dlatego $ F\in C^1 $. Obliczmy jakobian $ F $ w punkcie $ (\zero,\zero) $. Ponieważ $ I(\zero)=\zero $, a $ \pi(\yy) $ jest liniowe przy ustalonym $ \yy $, więc

\[ \pcz{F}{x_j}(\xx,\zero)=\pcz{\Psi}{x_j}(\xx), \qquad\pcz{I}{v_i}(\vv)=\ee_i=\pcz{F}{v_i}(0,\vv). \]

Zatem macierz $ DF(\zero,\zero) $ ma kolumny $ \pcz{\Psi}{x_j}(\zero)\in T_\zero M $ (dla $ j=1,\ldots,m $) oraz $ \ee_j\in (T_\zero M)^\perp $ dla $ j=m+1,\ldots,n $. Są to wektory liniowo niezależne w $ \R^n $ %, gdyż $ \ww_j=\pcz{\Psi}{x_j}(\zero) $ %są bazą $ T_\zero M $, a pozostałe kolumny - wektory $ \ee_j $ dla %$ j>m $ - są bazą $ (T_\zero M)^\perp $. Dlatego i dlatego $ \det DF(\zero,\zero)\not =0 $. Wobec twierdzenia o funkcji odwrotnej, $ F $ jest dyfeomorfizmem pewnego otoczenia otwartego $ W=V_1\times B^{n-m}(0,r)\subset V\times B(0,1) $ punktu $ (\zero,\zero) $ na obraz $ F(W)\subset \R^n $.

Dla dostatecznie dużych $ j $ dyski $ D_j=D^\perp(\pp_j,1/j) $ i $ D_j'=D^\perp(\pp'_j,1/j) $ są zawarte w $ F(W) $. Mamy $ \pp_j=\Psi(\xx_j) $ i $ \pp'_j=\Psi(\xx'_j) $ dla pewnych $ \xx_j,\xx'_j\in V_1 $. W punkcie wspólnym dysków $ D_j $ i $ D_j' $ spełniony jest warunek $ F(\xx_j,\vv_j)=F(\xx_j',\vv'_j) $, ale $ \xx_j\not=\xx_j' $. To jest sprzeczność z różnowartościowością $ F $ na zbiorze $ W $.

Zatem istnieje takie $ \eps_0>0 $, że wszystkie dyski $ D^\perp(\pp,\eps_0) $ są rozłączne. Pokrywając rozmaitość $ M $ skończoną liczbą otoczeń takich, jak $ F(W) $ przed chwilą, wnioskujemy, że rzut $ P $ z $ M_\eps $ na najbliższy punkt $ M $ jest dobrze określony. Jeśli w opisanych wyżej współrzędnych $ \yy=F(\xx,\vv) $, to $ P(\yy)=\Psi(\xx) $. Innymi słowy, oznaczając przez $ A $ rzut ortogonalny $ A\colon (\xx,\vv)\mapsto \xx $ przestrzeni $ \R^m\times\R^{n-m} $ na $ \R^m $, widzimy, że $ P=\Psi\circ A\circ F^{-1} $ jest klasy $ C^1 $. □

Uwaga Jest rzeczą jasną, że teza ostatniego twierdzenia nie zachodzi dla wszystkich $ \eps>0 $. Jeśli np. $ M\subset \R^3 $ jest powierzchnią torusa, powstającego przez obrót okręgu opromieniu $ r>0 $ wokół prostej, położonej w płaszczyźnie tego okręgu ioddalonej o $ R $ od jego środka, to dla $ \eps>r $ teza twierdzenia nie zachodzi. Istotne jest też założenie, że $ M $ jest klasy $ C^2 $. Czytelnik zechce rozpatrzeć wykres $ y=h(x):= |x|^{3/2} $ w otoczeniu zera w$ \R^2 $: punkt wykresu $ h $ najbliższy do $ (0,\eps) $ nie jest określony jednoznacznie dla żadnego $ \eps>0 $.

Między objętością otoczenia tubularnego rozmaitości a jej miarą powierzchniową zachodzi naturalny, zgodny z intuicją związek.

Twierdzenie [twierdzenie o materacu] Załóżmy, że $ M $ jest $ m $-wymiarową rozmaitością zwartą klasy $ C^2 $, zanurzoną w $ \R^n $. Niech $ M_\eps=\{\yy\in \R^n\colon \dist(\yy,M)<\eps\} $. Wówczas(#)

\[ 	\lim_{\eps\to 0^+}\frac{\lambda_n(M_\eps)}{\omega_{n-m}\eps^{n-m}} = \sigma_m(M)\, . 	\]

Fragment rozmaitości $ M^2\subset \R^3 $. Krótkie odcinki prostopadłe do $  M $, które mają środki w $ M $, są rozłączne.

Czytelnik zechce pomyśleć o przypadku $ n=3 $, $ m=2 $. Otoczenie tubularne $ M_\eps\subset \R^{3} $ powierzchni $ M $ jest wtedy sumą rozłącznych odcinków długości $ 2\eps $, prostopadłych do $ M $. Można myśleć o $ M_\eps $ jako o `materacu' grubości $ 2\eps $; powierzchnia $ M $ biegnie przez środek materaca\/. Twierdzenie orzeka, że pole powierzchni $ M $ jest granicą ilorazu objętości materaca i grubości materaca,

\[ \sigma_2(M)=\lim_{\eps\to 0^+} \frac{\lambda_3(M_\eps)}{2\eps}\, . \]

Ogólnie, dla $ n=m+1 $ i rozmaitości $ M=M^m\subset\R^{m+1} $ klasy $ C^2 $ jest

\[ \sigma_m(M)=\lim_{\eps\to 0^+} \frac{\lambda_{m+1}(M_\eps)}{2\eps}\, . \]

Przykład [miara sfery $ \S^{n-1} $ raz jeszcze] Niech $ M=\S^{n-1}(0,r) $. Nietrudno zauważyć, że dla $ \eps<r $ zbiór $ M_\eps $ jest równy $ B^n(0,r+\eps)\setminus \overline{B^n(0,r-\eps)} $. Dlatego

\[ \begin{align*} \sigma_{n-1}(\S^{n-1})&=\lim_{\eps\to 0}\frac{\omega_n (r+\eps)^n-\omega_n(r-\eps)^n}{2\eps}\\ &= \frac{\omega_n}{2} \lim_{\eps\to 0}\biggl(\frac{ (r+\eps)^n-r^n}{\eps}+\frac{r^n-(r-\eps)^n}{\eps}\biggr)  = \frac{\omega_n}{2} \cdot 2\frac{d}{dt}\big(t^n\big)\Big|_{t=r}  = \omega_n\cdot nr^{n-1}\, . \end{align*} \]

Otrzymaliśmy ponownie wynik, wspomniany już w Uwadze [link].□

    Dowód Twierdenia [link] Dla uproszczenia podamy dowód tylko w przypadku $ n=m+1 $. Wybierzmy zbiór otwarty $ U\subset \R^{m+1} $ taki, że $ M\cap U $ jest wykresem funkcji $ \varphi\colon \R^m\supset V\to \R $, gdzie $ V\subset \R^m $ jest otwarty. Niech $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $ dla $ \xx\in V $ będzie parametryzacją $ U\cap M $. Korzystając z twierdzenia o otoczeniu tubularnym, możemy zakładać, że

\[  U=\{\qq+\vv \ \mid \ \qq\in \Phi(V)\subset M,\quad \vv \perp T_{\mpp} M, \quad\|\vv\|<\eps\}. \]

jest fragmentem otoczenia tubularnego rozmaitości $ M $; dokładniej $ U=P^{-1}(\Phi(V)) $, gdzie $ P $ oznacza rzutowanie otoczenia tubularnego rozmaitości na jej najbliższy punkt.

Jeśli $ \yy=\Phi(\xx), $ to $ T_{\myy}M=\mathrm{Im}\, D\Phi(\xx) $. Kolumny macierzy $ D\Phi(\xx) $, tzn. wektory

$$ \pcz{\Phi}{x_j}(\xx)=\Big(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{\text{miejsce } j},0,\ldots,0,\pcz{\varphi}{x_j}(\xx)\Big)^T\in \R^{m+1}, \qquad j=1,2\ldots,m, $$

tworzą bazę $ T_{\myy}M $. Wektor

\[ N(\xx)=\big(-\pcz{\varphi}{x_1}(\xx), \ldots, -\pcz{\varphi}{x_m}(\xx),1\big)^T \]

jest prostopadły do nich wszystkich, a więc rozpina (jednowymiarową) przestrzeń $ (T_{\myy}M)^\perp $. Niech

$ F $ przeprowadza $ V\times (-\eps,\eps) $ na fragment otoczenia tubularnego $ M $.

\[ \nu(\xx)=\frac{N(\xx)}{\|N(\xx)\|} =\frac{N(\xx)}{\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}} \]

oznacza (unormowany) wektor normalny do wykresu $ \varphi $ i niech $ F\colon V\times (-\eps,\eps)\to U\subset\R^n $ będzie dane wzorem \( F(\xx,t)=\Phi(\xx)+t\nu(\xx). \) Ponieważ $ \varphi\in C^2 $, więc $ \nu\in C^1 $ i$ F\in C^1 $. Na mocy twierdzenia o otoczeniu tubularnym, $ F $ jest dyfeomorfizmem $ V\times (-\eps,\eps) $ na $ U $, gdy liczba $ \eps>0 $ jest dostatecznie mała. Wobec twierdzenia o zamianie zmiennych,

\[ \begin{eqnarray} \frac{\lambda_{n} (U)}{2\eps} &= &\frac 1{2\eps}\int_U 1\, d\lambda_n\nonumber\\ &=& \frac 1{2\eps}\int_{-\eps}^\eps \biggl(\int_V \det F(\xx,t)\, d\lambda_m(\xx)\biggr)\, dt\label{detFzero}\\ &\to & \int_V \det F(\xx,0)\, d\lambda_m(\xx) \qquad \mbox{dla $\eps\to 0$, \nonumber}  \end{eqnarray} \]

gdyż funkcja $ t\mapsto h(t)=\int_V \det F(\xx,t)\, d\lambda_m(\xx) $ zależy od $ t $ w sposób ciągły. (Ciągłość $ h $ łatwo wywnioskować np. z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej. Dla każdej funkcji $ h $ ciągłej w otoczeniu zera mamy $ (2\eps)^{-1}\int_{(-\eps,\eps)} h(t)\, dt\to h(0) $. ) Obliczmy wyznacznik $ \det DF(\xx,0) $. Jest oczywiście

\[ \pcz{F}{x_j}(\xx,t)=\pcz{\Phi}{\xx_j}(\xx,t)+t\pcz{\nu}{x_j}{\xx}, \qquad \pcz{F}{t}(\xx,t)=\nu(\xx). \]

Stąd łatwo wynika, że \def\sumka{d}

\[ DF(\cdot,0)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}/{\sumka}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}/{\sumka}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & & \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}/{\sumka}\\[6pt] \pcz{\varphi}{x_1} & \pcz{\varphi}{x_2} & \ldots & \pcz{\varphi}{x_m} & 1/{\sumka} \end{pmatrix}, \qquad\text{gdzie}\quad d=\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}. \]

Zatem iloczyn liczby $ d $ i wyznacznika $ \det DF(\cdot, 0) $ jest równy

\[ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}\\[6pt] \pcz{\varphi}{x_1} & \pcz{\varphi}{x_2} & \ldots & \pcz{\varphi}{x_m} & 1 \end{pmatrix}=\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & -\pcz{\varphi}{x_1}\\[6pt] 0 & 1 & \ldots & 0 & - {\pcz{\varphi}{x_2}}\\[6pt] \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots \\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 1 & - {\pcz{\varphi}{x_m}}\\[6pt] 0 & 0 & \ldots & 0 & \underbrace{1+\sum\varphi_{x_i}^2}_{=d^2} \end{pmatrix}= d^2. \]

(Pierwszą równość uzyskujemy, dodając do ostatniego wiersza kolejno pierwszy wiersz pomnożony przez $ -\varphi_{x_1} $, potem drugi wiersz pomnożony przez $ -\varphi_{x_2} $, itd.). To oznacza, że

$$\det DF(\xx,0)=d=\sqrt{1+\sum_{1\le i\le m}\varphi_{x_i}^2(\xx)}=\sqrt{\det\Big(D\Phi(\xx)^T D\Phi(\xx)\Big)}\, .$$

Podstawiwszy ten wynik do równości detFzero, otrzymujemy

\[ \lim_{\eps\to 0}\frac{\lambda_{m+1}(U)}{2\eps}=\int_V \det F(\xx,0)\, d\lambda_m(\xx)= \int_V \sqrt{\det\big(D\Phi^T\cdot D\Phi\big)}\; d\lambda_m = \sigma_m(\Phi(V))\, . \]

Pokrywając rozmaitość $ M $ takimi zbiorami otwartymi $ U $ i korzystając z addytywności miary, łatwo otrzymujemy tezę.□