



![]() |
ma pochodną w punkcie , gdzie
wybieramy tak, aby odcinek
. Przyjmujemy
![]() |
Używa się także innych oznaczeń:
![]() |
Jak widać, pochodną cząstkową obliczamy, traktując wszystkie zmienne oprócz
jako ustalone parametry i wykonując różniczkowanie względem
. Obowiązują przy tym oczywiście wszystkie reguły, które Czytelnik poznał, ucząc się rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Np. jeśli
![]() |
to
![]() |






Podkreślmy od razu, że samo istnienie pochodnych cząstkowych funkcji nie gwarantuje\/ ciągłości funkcji.
- Niech
bedzie funkcją charakterystyczną zbioru
, tzn. niech
na
i
na
. Na obu osiach układu współrzędnych mamy
i dlatego, wprost z definicji,
Jednak
nie jest ciągła w zerze, gdyż
.
- Rozpatrzmy ponownie funkcję z Przykładu [link]:
Jeśli
, to
Podobnie jak w poprzednim przykładzie,
na obu osiach układu współrzędnych mamy i dlatego
Jednak wiemy już, że
nie jest ciągła w punkcie
.











![]() |
ma pochodną w zerze. (Liczbę wybieramy tak, by odcinek
.) Przyjmujemy
![]() |
Używa się także innych oznaczeń:
![]() |


![]() |



![]() |
Zatem ma w zerze wszystkie pochodne kierunkowe (sprawdzaliśmy już istnienie pochodnych cząstkowych). Nietrudno stwierdzić, że w pozostałych punktach
funkcja
też ma wszystkie pochodne kierunkowe. Wynika stąd, że nawet istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w każdym punkcie dziedziny nie gwarantuje ciągłości funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.
Właściwym odpowiednikiem pojęcia pochodnej jest, dla funkcji wielu zmiennych, pojęcie różniczki.




![]() |
Przekształcenie nazywamy różniczką (lub pochodną, lub różniczką zupełną)
w punkcie
\/ i oznaczamy
lub
.


-
jest różniczkowalna w punkcie
;
- istnieją przekształcenie liniowe
i funkcja
ciągła w punkcie
,
, dla których zachodzi równość
Jeśli zachodzi warunek (ii), to
.

![]() |
Funkcja jest określona, gdy
. Ponadto, dzięki warunkowi defrozniczki,
![]() |
tzn. równoważnie dla
. Na odwrót, jeśli zachodzi (ii), to warunek
dla
implikuje, że granica we wzorze defrozniczki jest równa zero, tzn.
.□










![]() |
Jednak lewa strona strona nie zależy od . Zatem przekształcenia liniowe
i
pokrywają się na całej sferze jednostkowej
, a więc są równe.



![]() |
W szczególności, dla jest
![]() |



![]() |
Lewa strona nie zależy od ; dlatego zachodzi pierwsza równość z tezy wniosku. Druga równość to jej przypadek szczególny (wspominaliśmy już, że pochodna
w kierunku
ipochodna cząstkowa
są równe).□

![]() |
Następujące warunki są równoważne:
- funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
;
- każda z funkcji
jest różniczkowalna w punkcie
.
W standardowych bazach przestrzeni i
macierz
jest wtedy
-tym wierszem macierzy
.



















![]() |
gdzie dla
, jest różniczkowalna w punkcie
, to jej różniczka ma w standardowych bazach przestrzeni
i
macierz
![]() |
Kolumny tej macierzy to wektory
![]() |
Macierz JacobiM nazywamy macierzą Jacobiego przekształcenia różniczkowalnego . Dla
wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem przekształcenia
w punkcie
.





![]() |
to zaś oznacza, że jest ciągła w punkcie
. □









![]() |

Dla uproszczenia (Chodzi o uproszczenie zapisu, a nie istotnych trudności - Czytelnik zechce się nad tym zastanowić. W ogólnym przypadku mielibyśmy w dowodzie do czynienia z sumą przyrostów, a nie dwóch. ) przyjmiemy
. Niech odtąd
,
. Aby skorzystać z istnienia pochodnych cząstkowych, wyrazimy przyrost
na odcinku
jako sumę przyrostów wzdłuż dwóch odcinków równoległych do osi układu współrzędnych. Stosując twierdzenie Lagrange'a dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych do funkcji
![]() |
oraz
![]() |
sprawdzamy, że dla pewnych punktów posrednich (
) jest
![]() |
gdzie reszta
![]() |
Z nierówności Schwarza wynika, że dla jest
![]() |
Jednak
![]() |
dzięki ciągłości w punkcie
. Zatem
![]() |
gdzie i
dla
. Ze Stwierdzenia [link] wynika teraz, że
![]() |
Dowód został zakończony.□
Na zakończenie tego podrozdziału podkreślmy jedno. Czytelnikowi może wydawać się, że pochodna cząstkowa i być może pochodna kierunkowa to pojęcia naturalniejsze od różniczki. Tak nie jest. Pochodne cząstkowe i kierunkowe określa się po to, żeby badać zachowanie funkcji na prostych. Z przytoczonych przykładów wynika jasno, że nie daje to dostatecznych informacji o zachowaniu funkcji w całym otoczeniu danego punktu. Naturalnym uogólnieniem pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej jest właśnie różniczka. Jej istnienie oznacza, że odwzorowanie można lokalnie przybliżać przekształceniami
![]() |
Ponadto, przekształcenie liniowe koduje w sobie pełną informację o pochodnych kierunkowych i cząstkowych
.