Pochodne cząstkowe, kierunkowe i różniczka zupełna | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja [pochodna cząstkowa] (#) Mówimy, że funkcja $f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m$ , gdzie zbiór $\Omega\subset \R^n$ jest otwarty, ma w punkcie $\aa=(a_1,\ldots,a_n)\in \Omega$ pochodną cząstkową względem zmiennej $x_i$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jednej zmiennej rzeczywistej

$\begin{equation} F_i(t) = f(a_1,\ldots, a_{i-1},t,a_{i+1},\ldots, a_n), \qquad F_i\colon (a_i-\delta,a_i+\delta) \to \R^m \end{equation}$

ma pochodną w punkcie $a_i$ , gdzie $\delta>0$ wybieramy tak, aby odcinek $(\aa-\delta\ee_i,\aa+\delta\ee_i)\subset \Omega$ . Przyjmujemy

$\begin{equation} \label{def-pcz} \pcz{f}{x_i}(\aa)=F_i'(a_i)=\lim_{h\to 0}\frac{f(\aa+h\ee_i)-f(\aa)}h\, . \end{equation}$

Używa się także innych oznaczeń:

$D_i f(\aa) = f_{x_i}(\aa)=\pcz{f}{x_i}(\aa)\, .$

Jak widać, pochodną cząstkową $\pcz{f}{x_i}$ obliczamy, traktując wszystkie zmienne oprócz $x_i$ jako ustalone parametry i wykonując różniczkowanie względem $x_i$ . Obowiązują przy tym oczywiście wszystkie reguły, które Czytelnik poznał, ucząc się rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Np. jeśli

$f(x,y,z)= x^2 + x\cos (y z) + z\exp(x^2)\, ,$

$\begin{gather*} \pcz{f}{x}(x,y,z) = 2 x + \cos(y z)+2zx\exp(x^2)\, , \qquad \pcz{f}{y}(x,y,z) = -xz\sin(y z)\, , \\ \pcz{f}{z}(x,y,z) = -xy\sin(y z) +\exp(x^2)\, . \end{gather*}$

Uwaga Ze wzoru def-pcz wynika, że gdy wartości $f$ są liczbami rzeczywistymi, tzn. $m=1$ w Definicji [link], to także $\pcz{f}{x_i}(\aa)$ - tam, gdzie jest określona - jest liczbą rzeczywistą. Jeśli $m>1$ , to $\pcz{f}{x_i}(\aa)$ jest wektorem z przestrzeni $\R^m$ .

Podkreślmy od razu, że samo istnienie pochodnych cząstkowych funkcji $f$ nie gwarantuje\/ ciągłości funkcji.

Przykład

Niech $f\colon\R^2\to \R$ bedzie funkcją charakterystyczną zbioru $A=\{(x,y)\in \R^2: y=x^2, y\not=0\}$ , tzn. niech $f\equiv 1$ na $A$ i $f\equiv 0$ na $\R^2\setminus A$ . Na obu osiach układu współrzędnych mamy $f\equiv 0$ i dlatego, wprost z definicji,

$\pcz{f}{x}(\zero)=0=\pcz{f}{y}(\zero)\, .$

Jednak $f$ nie jest ciągła w zerze, gdyż $f(\zero)=0\not=\lim_{j\to\infty} f(1/j,1/j^2)$ .
Rozpatrzmy ponownie funkcję z Przykładu [link]:

$\begin{equation} \label{zlafunkcja} f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{yx^2}{y^2+x^4}\, , \qquad & (x,y)\not=(0,0),\\[12pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{array}\right. \end{equation}$

Jeśli $(x,y)\not=(0,0)\in \R^2$ , to

$\begin{eqnarray} \pcz{f}{x}(x,y)&=&\frac{2xy(y^2+x^4)-4x^3\cdot yx^2}{(y^2+x^4)^2}=\frac{2xy(y^2-x^4)}{(y^2+x^4)^2}\, , \\ \pcz{f}{y}(x,y)&=&\frac{x^2(y^2+x^4)-2y\cdot yx^2}{(y^2+x^4)^2} =\frac{-x^2(y^2-x^4)}{(y^2+x^4)^2}\, . \end{eqnarray}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, $f\equiv 0$ na obu osiach układu współrzędnych mamy i dlatego

$\pcz{f}{x}(\zero)=0=\pcz{f}{y}(\zero)\, .$

Jednak wiemy już, że $f$ nie jest ciągła w punkcie $\zero\in \R^2$ .

Przykład Niech $f\colon \R\to \R$ będzie funkcją różniczkowalną i niech $G(x)=(x,f(x))$ , $G\colon \R\to \R^2$ . Wówczas $\pcz{G}{x}=G'(x)=(1,f'(x))$ . Interpretacja geometryczna jest prosta: $G'(x)$ jest wektorem stycznym do wykresu $f$ w punkcie $(x,f(x))\in \R^2$ .

Definicja [pochodna kierunkowa] Mówimy, że funkcja $f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m$ , gdzie zbiór $\Omega\subset \R^n$ jest otwarty, ma w punkcie $\aa=(a_1,\ldots,a_n)\in \Omega$ pochodną kierunkową względem wektora $\vv\in \R^n\setminus\{\zero\}$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja jednej zmiennej rzeczywistej

$\begin{equation} F_{\mvv}(t) = f(\aa+t\vv), \qquad F_{\mvv}\colon (-\delta,\delta) \to \R^m \end{equation}$

ma pochodną w zerze. (Liczbę $\delta>0$ wybieramy tak, by odcinek $(\aa-\delta\vv,\aa+\delta\vv)\subset \Omega$ .) Przyjmujemy

$\begin{equation} \label{def-pkier} \pcz{f}{\vv}(\aa)=(F_{\mvv})'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(\aa+h\vv)-f(\aa)}h\, . \end{equation}$

Używa się także innych oznaczeń:

$D_{\mvv} f(\aa) = f'_{\mvv}(\aa)=\pcz{f}{\vv}(\aa)\, .$

Uwaga Zauważmy, że pochodna kierunkowa względem $\ee_i$ jest tym samym, co pochodna cząstkowa względem $\ee_i$ :

$D_{\mee_i}f(\aa) =\pcz{f}{x_i}(\aa)\, .$

Przykład Raz jeszcze rozpatrzmy funkcję z Przykładu [link], daną wzorem zlafunkcja. Dla $\aa=\zero$ i dowolnego wektora $\vv=(\xi,\eta)\in \R^2$ , gdzie $\xi,\eta\not=0$ , iloraz

$\frac{f(\aa+h\vv)-f(\aa)}{h}= \frac 1h\cdot\frac{h^3\xi^2\eta}{h^2\eta^2+h^4\xi^4}= \frac{\xi^2\eta}{\eta^2+h^2\xi^4} \to \frac{\xi^2}{\eta}\qquad\mbox{dla $h\to 0$.}$

Zatem $f$ ma w zerze wszystkie pochodne kierunkowe (sprawdzaliśmy już istnienie pochodnych cząstkowych). Nietrudno stwierdzić, że w pozostałych punktach $\R^2$ funkcja $f$ też ma wszystkie pochodne kierunkowe. Wynika stąd, że nawet istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w każdym punkcie dziedziny nie gwarantuje ciągłości funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.

Właściwym odpowiednikiem pojęcia pochodnej jest, dla funkcji wielu zmiennych, pojęcie różniczki.

Definicja [różniczkowalność funkcji wielu zmiennych] Mówimy, że funkcja $f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m$ , gdzie $\Omega\subset\R^n$ jest zbiorem otwartym, jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie liniowe $A\colon \R^n\to\R^m$ takie, że

$\begin{equation} \label{defrozniczki} \lim_{\|h\|\to 0}\frac{\| f(\aa+\hh)-f(\aa)-A\hh\|}{\|\hh\|} = 0\, . \end{equation}$

Przekształcenie $A$ nazywamy różniczką (lub pochodną, lub różniczką zupełną) $f$ w punkcie $\aa$ \/ i oznaczamy $Df(\aa)$ lub $f'(\aa)$ .

Stwierdzenie (#) Niech $f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m$ , gdzie $\Omega\subset\R^n$ jest zbiorem otwartym. Następujące warunki są równoważne:

$f$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ ;
istnieją przekształcenie liniowe $A\colon \R^n\to \R^m$ i funkcja

$r\colon \Omega_{\maa}=\{\hh\in \R^n\colon \aa+\hh\in \Omega\}\to\R^m$

ciągła w punkcie $\hh=\zero$ , $r(\zero)=\zero$ , dla których zachodzi równość

$\begin{equation} \label{A-i-r} f(\aa+\hh)=f(\aa)+A\hh+\|\hh\|\cdot r(\hh)\qquad\mbox{dla wszystkich $\hh\in \Omega_{\maa}$.} \end{equation}$

Jeśli zachodzi warunek (ii), to $Df(\aa)=A$ .

Dowód: Jeśli różniczka $A=Df(\aa)$ istnieje, to wystarczy określić

$r(\hh)=\frac{ f(\aa+\hh)-f(\aa)-A\hh}{\|\hh\|}\quad\mbox{dla $\hh\not=\zero$}\, , \qquad r(\zero)= \zero\, .$

Funkcja $r$ jest określona, gdy $\aa+\hh\in \Omega$ . Ponadto, dzięki warunkowi defrozniczki,

$\|r(\hh)\|=\frac{\| f(\aa+\hh)-f(\aa)-A\hh\|}{\|\hh\|}\to 0, \qquad\mbox{dla } \|\hh\|\to 0,$

tzn. równoważnie $r(\hh)\to \zero$ dla $\hh\to\zero$ . Na odwrót, jeśli zachodzi (ii), to warunek $r(\hh)\to \zero=r(\zero)$ dla $\hh\to\zero$ implikuje, że granica we wzorze defrozniczki jest równa zero, tzn. $A=Df(\aa)$ .□

Uwaga Jeśli różniczka $Df(\aa)$ istnieje, to jest określona jednoznacznie. Istotnie, gdyby wzór A-i-r zachodził dla $A_i,r_i$ , gdzie $i=1,2$ , to mielibyśmy $A_1\hh+ \|\hh\|r_1(\hh)=A_2\hh+\|h\|r_2(\hh)$ dla wszystkich $\hh$ z pewnej kuli $B(\zero,\delta)\subset \R^n$ . Stąd, kładąc $\hh=t\cdot \vv$ , gdzie $\|\vv\|=1$ i $t>0$ , a następnie dzieląc obie strony przez $t$ , otrzymujemy

$(A_1-A_2)\vv = r_2(t\vv)-r_1(t\vv)\to \zero\, , \qquad t\to 0.$

Jednak lewa strona strona nie zależy od $t$ . Zatem przekształcenia liniowe $A_1$ i $A_2$ pokrywają się na całej sferze jednostkowej $\S^{n-1}=\{\vv\in \R^n\colon \|\vv\|=1\}$ , a więc są równe.

Wniosek (#) Jeśli $f\colon \R^n\supset \Omega\to \R^m$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in\Omega$ , to dla każdego niezerowego wektora $\vv\in \R^n$ jest

$Df(\aa)\cdot \vv=\pcz{f}{\vv}(\aa)\, .$

W szczególności, dla $\vv=\ee_i$ jest

$Df(\aa)\cdot \ee_i=\pcz{f}{x_i}(\aa)\, , \qquad i=1,\ldots,n.$

Dowód: Podstawiając w równości A-i-r wektor $\hh=t\vv$ , gdzie $\vv$ jest ustalony i $t\not=0$ , otrzymujemy

$Df(\aa)\cdot \vv =\frac 1t Df(\aa)\cdot \hh = \frac{f(\aa+t\vv)-f(\aa)}{t}\pm \|\vv\| r(t\vv)\to \pcz{f}{\vv}(\aa), \qquad t\to 0.$

Lewa strona nie zależy od $t$ ; dlatego zachodzi pierwsza równość z tezy wniosku. Druga równość to jej przypadek szczególny (wspominaliśmy już, że pochodna $f$ w kierunku $\ee_i$ ipochodna cząstkowa $\pcz{f}{x_i}$ są równe).□

Wniosek (#) Niech $\Omega\subset\R^n$ będzie zbiorem otwartym i niech

$f=(f_1,\ldots,f_m)\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m.$

Następujące warunki są równoważne:

funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ ;
każda z funkcji $f_i\,$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ .

W standardowych bazach przestrzeni $\R^n$ i $\R^m$ macierz $Df_i(\aa)\in M_{1\times n}$ jest wtedy $i$ -tym wierszem macierzy $Df(\aa)\in M_{m\times n}$ .

Dowód: Posługujemy się Stwierdzeniem [link]. Obie strony równości A-i-r są wektorami z $\R^m$ . Równość $i$ -tych współrzędnych tych wektorów ( $i=1,\ldots,m$ ) jest równoważna różniczkowalności $f_i$ ( $i=1,\ldots,m$ ) w punkcie $\aa\in A$ oraz równości $Df_i(\aa)\hh=(Df(a)\hh)_i$ dla $\hh\in \R^n$ , tzn. - po utożsamieniu przekształceń liniowych z ich macierzami w standardowych bazach - temu, że $Df_i(\aa)$ jest $i$ -tym wierszem macierzy $Df(\aa)$ . □

Uwaga [terminologia: macierz Jacobiego] Jak wiadomo z wykładów Algbry Liniowej, przekształcenie liniowe $A\colon \R^n\to\R^m$ ma w standardowych bazach macierz (oznaczaną zwykle tą samą literą) o $m$ wierszach i $n$ kolumnach, której $j$ -tą kolumnę stanowi wektor $A\ee_j\in \R^m$ , gdzie $\ee_j$ ( $j=1,\ldots, n$ ) są wektorami standardowej bazy w $\R^n$ . Z dwóch ostatnich wniosków wypływa zatem następująca obserwacja: jeśli

$f=(f_1,\ldots,f_m)\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m\, ,$

gdzie $f_i\colon \Omega\to\R$ dla $i=1,\ldots,m$ , jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ , to jej różniczka ma w standardowych bazach przestrzeni $\R^n$ i $\R^m$ macierz

$\begin{equation} \label{JacobiM} Df(\aa)=\biggl(\pcz {f_i}{x_j}(\aa)\biggr)_{{1\le i\le m}, {1\le j \le n}} = \begin{pmatrix} \dpcz{f_1}{x_1}(\aa) & \ldots & \dpcz{f_1}{x_n}(\aa) \\ \vdots & & \vdots \\ \dpcz{f_m}{x_1}(\aa) & \ldots & \dpcz{f_m}{x_n}(\aa) \\ \end{pmatrix} \, . \end{equation}$

Kolumny tej macierzy to wektory

$Df(\aa)\ee_i = \pcz{f}{\ee_i}(\aa)= \pcz{f}{x_i}({\aa}) = \begin{pmatrix} \dpcz{f_1}{x_i}(\aa) \\ \vdots \\ \dpcz{f_m}{x_i}(\aa)\\ \end{pmatrix} \in \R^m\, , \qquad i=1\ldots, n.$

Macierz JacobiM nazywamy macierzą Jacobiego przekształcenia różniczkowalnego $f$ . Dla $n=m$ wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem przekształcenia $f$ w punkcie $\aa$ .

Wniosek Jeśli $f\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ , to $f$ jest ciągła w punkcie $\aa$ .

Dowód: Korzystamy ze Stwierdzenia [link](ii) oraz ciągłości przekształceń liniowych: dla $\hh\to 0$ jest

$f(\aa+\hh)-f(\aa)=Df(\aa)\hh+ \|\hh\|\cdot r(\hh)\to \zero\in \R^m\, ,$

to zaś oznacza, że $f$ jest ciągła w punkcie $\aa$ . □

Uwaga Wiemy już zatem, że istnienie pochodnych cząstkowych funkcji $f$ w danym punkcie jest warunkiem koniecznym różniczkowalności $f$ w tym punkcie. Nie jest jednak warunkiem dostatecznym, gdyż z istnienia pochodnych cząstkowych (a nawet wszystkich pochodnych kierunkowych) nie wynika ciągłość! Poniżej podajemy warunek dostateczny różniczkowalności, wyrażony w języku pochodnych cząstkowych.

Twierdzenie Jeśli $f\colon \R^n\supset\Omega\to\R^m$ i wszystkie pochodne cząstkowe $\pcz{f}{x_i}$ istnieją na całej kuli $B(\aa,r)\subset\Omega$ i są ciągłe w punkcie $\aa$ , gdzie $r>0$ , to $f$ jest różniczkowalna w punkcie $\aa\in \Omega$ . Zachodzi wtedy wzór

$Df(\aa)\hh = \sum_{i=1}^nh_i\pcz{f}{x_i}(\aa)\, , \qquad \hh=(h_1,\ldots,h_n)\in \R^n\, .$

(#)

Dowód: Wobec Stwierdzenia [link], wystarczy przeprowadzić dowód dla $m=1$ .

Dla uproszczenia (Chodzi o uproszczenie zapisu, a nie istotnych trudności - Czytelnik zechce się nad tym zastanowić. W ogólnym przypadku mielibyśmy w dowodzie do czynienia z sumą $n$ przyrostów, a nie dwóch. ) przyjmiemy $n=2$ . Niech odtąd $\hh=(h_1,h_2)$ , $\|\hh\|< r$ . Aby skorzystać z istnienia pochodnych cząstkowych, wyrazimy przyrost $f$ na odcinku $[\aa, \aa+\hh]$ jako sumę przyrostów wzdłuż dwóch odcinków równoległych do osi układu współrzędnych. Stosując twierdzenie Lagrange'a dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych do funkcji

$F_1(t)=f(a_1+t,a_2+h_2), \qquad t\in [0,h_1],$

oraz

$F_2(t)=f(a_1,a_2+t), \qquad t\in [0,h_2]$

sprawdzamy, że dla pewnych punktów posrednich $\theta_i=\theta_i(\hh)\in [0,h_i]$ ( $i=1,2$ ) jest

$\begin{eqnarray*} f(\aa+\hh)-f(\aa) & = & \Bigl(F_1(h_1) - F_1(0)\Bigr) + \Bigr(F_2(h_2)-F_2(0)\Bigr)\\ & = & h_1 F_1'(\theta_1) + h_2F_2'(\theta_2) \\ & = & h_1\pcz{f}{x_1} (\underbrace{a_1+\theta_1,a_2+h_2}_{\text{punkt }\mpp_1}) + h_2\pcz{f}{x_2}(\underbrace{a_1,a_2+\theta_2}_{\text{punkt }\mpp_2})\\ & = & \underbrace{h_1\pcz{f}{x_1}(\aa) + h_2\pcz{f}{x_2}(\aa)}_{\text{część liniowa przyrostu}} + R(\hh), \end{eqnarray*}$

gdzie reszta

$R(\hh)= h_1\left(\pcz{f}{x_1}(\pp_1)-\pcz{f}{x_1}(\aa)\right) + h_2\left(\pcz{f}{x_2}(\pp_2)-\pcz{f}{x_2}(\aa)\right)\, .$

Z nierówności Schwarza wynika, że dla $\|\hh\|<\delta<r$ jest

$0\le |R(\hh)|\le \sqrt{2} \|h\| \cdot \max_{i=1,2}\left(\sup_{\mpp\in B(\maa,\delta)} \left|\pcz{f}{x_i}(\pp)-\pcz{f}{x_i}(\aa)\right|\right)\, .$

Jednak

$\sup_{\mpp\in B(\maa,\delta)} \left|\pcz{f}{x_i}(\pp)-\pcz{f}{x_i}(\aa)\right|\qquad \mbox{dla $\delta\to 0$}$

dzięki ciągłości $\pcz{f}{x_i}$ w punkcie $\aa$ . Zatem

$R(\hh)=\|\hh\|\cdot r(\hh),$

gdzie $r(\zero)=0$ i $r(\hh)\to 0$ dla $\hh\to \zero$ . Ze Stwierdzenia [link] wynika teraz, że

$Df(\aa)=\Bigl(\, \pcz{f}{x_1}(\aa),\pcz{f}{x_2}(\aa)\Bigr)\, .$

Dowód został zakończony.□

Na zakończenie tego podrozdziału podkreślmy jedno. Czytelnikowi może wydawać się, że pochodna cząstkowa i być może pochodna kierunkowa to pojęcia naturalniejsze od różniczki. Tak nie jest. Pochodne cząstkowe i kierunkowe określa się po to, żeby badać zachowanie funkcji na prostych. Z przytoczonych przykładów wynika jasno, że nie daje to dostatecznych informacji o zachowaniu funkcji w całym otoczeniu danego punktu. Naturalnym uogólnieniem pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej jest właśnie różniczka. Jej istnienie oznacza, że odwzorowanie $f$ można lokalnie przybliżać przekształceniami

$\xx\mapsto f(\aa)+ Df(\aa)\cdot (\xx-\aa) = f(\xx)+o(\|\xx-\aa\|) \approx f(\xx)\, .$

Ponadto, przekształcenie liniowe $Df(\aa)$ koduje w sobie pełną informację o pochodnych kierunkowych i cząstkowych $f$ .