Podstawowe pojęcia. Twierdzenie Caratheodory'ego

Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem. Będziemy używać oznaczenia $ [0,+\infty]=\rplus=\R_{+}\cup \{0,+\infty\} $.

{[0,+\infty]}

Definicja [ciało i $ \sigma $-ciało zbiorów] Powiemy, że rodzina zbiorów $ \F\subset 2^X $ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy

    \parskip 1pt {(\roman{enumi})}

  1. $ \emptyset\in \F $;
  2. Jeśli $ A\in \F $, to także $ X\setminus A\in \F $;
  3. Jeśli $ A,B\in \F $, to $ A\cup B\in \F $.

Gdy spełniony jest także warunek

    \parskip 1pt \setcounter{enumi}{3} {(\roman{enumi})}

  1. Dla wszystkich $ A_1,A_2,A_3,\ldots \in \F $ zbiór $ \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \F $,

to mówimy, że $ \F $ jest $ \sigma $-ciałem (lub: ciałem przeliczalnie addytywnym).

Uwaga (#) Korzystając ze wzorów De Morgana, łatwo jest wykazać, że jeśli $ \F\subset 2^X $ jest ciałem zbiorów i $ A,B\in \F $, to $ A\cap B\in F $ oraz $ A\setminus B\in F $. Istotnie,

\[ X\setminus(A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B) \in \F,  \]

a więc także $ A\cap B=X\setminus\big(X\setminus(A\cap B)\big)\in \F $. Dalej, $ A\setminus B=A\cap (X\setminus B)\in \F $. Podobnie dowodzi się, że każde $ \sigma $-ciało jest zamknięte ze względu na branie przeliczalnych przecięć.□

Nietrudno podać kilka prostych przykładów ciał i $ \sigma $-ciał. Rodzina $ 2^X $ wszystkich podzbiorów zbioru $ X $ jest zarówno ciałem, jak i $ \sigma $-ciałem. Rodzina

\[ \F=\{A\subset \N\colon A \text{ lub }  \N\setminus A \text{ jest zbiorem skończonym}\} \]

jest ciałem, ale nie jest $ \sigma $-ciałem: suma przeliczalnie wielu zbiorów skończonych może być zbiorem nieskończonym, którego uzupełnienie też jest nieskończone. Rodzina

\[ \F=\{A\subset \R\colon A \text{ lub } \R\setminus A \text{ jest zbiorem (co najwyżej) przeliczalnym}\} \]

jest $ \sigma $-ciałem (To łatwo wynika z twierdzenia, orzekającego, że suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.).

Przykład Niech $ (\F_i)_{i\in I} $ będzie dowolną rodziną $ \sigma $-ciał (odpowiednio: ciał) podzbiorów zbioru $ X $. Wtedy

\[ 	\F=\bigcap_{i\in I} \F_i\subset 2^X 	\]

też jest $ \sigma $-ciałem (odpowiednio: ciałem). To wynika wprost z definicji: każde z $ \F_i $ jest zamknięte ze względu na odpowiednie działania na zbiorach, więc część wspólna $ \F_i $ też jest zamknięta ze względu na te same działania.

Uwaga Z powyższego przykładu wynika, że dla każdej niepustej rodziny zbiorów $ \G \subset 2^X $ istnieje najmniejsze (ze względu na inkluzję) $ \sigma $-ciało $ \F\subset 2^X $ takie, że $ \G\subset \F $: jest to przecięcie rodziny wszystkich $ \sigma $-ciał, zawierających $ \G $ (jest to rodzina niepusta, gdyż należy do niej $ \sigma $-ciało $ 2^X $).
Definicja [zbiory borelowskie] Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną. Najmniejsze $ \sigma $-ciało, zawierające wszystkie zbiory otwarte w przestrzeni $ X $, nazywamy $ \sigma $-ciałem zbiorów borelowskich w $ X $ i oznaczamy $ \B(X) $.

Z $ \sigma $-ciałem $ \B(\R^n) $ zbiorów borelowskich w $ \R^n $ zetkniemy się wielokrotnie.

Definicja [miara zewnętrzna] Funkcję $ \mu^\ast\colon 2^X\to\rplus $ nazywamy miarą zewnętrzną na $ X $, jeśli $ \mu^\ast(\emptyset)=0 $, $ \mu (A)\le \mu(B) $ dla wszystkich $ A\subset B\subset X $ i wreszcie

\[ \begin{equation} 	\mu^\ast\biggl(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\biggr)\le\sum_{i=1}^\infty \mu^\ast(A_i)\qquad\mbox{dla wszystkich }\quad A_1,A_2,\ldots \in 2^X. \label{podadd}  \end{equation} \]

Własność podadd nazywa się przeliczalną podaddytywnością miary zewnętrzne.

Definicja [miara] Niech $ \F\subset 2^X $ będzie $ \sigma $-ciałem. Funkcję $ \mu\colon \F   \to\rplus $ nazywamy miarą na $ \F $, jeśli $ \mu(\emptyset)=0 $ oraz

\[ \begin{equation} 	\mu\biggl(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\biggr)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)\qquad\mbox{dla wszystkich parami rozłącznych } A_1,A_2,\ldots \in \F. \label{add}  \end{equation} \]

Własność add nazywa się przeliczalną addytywnością miary.

Podamy teraz kilka prostych własności miary, wynikających łatwo z definicji, następnie zaś sformułujemy ważne twierdzenie, wskazujące, jak dla danej miary zewnętrznej $ \mu^\ast $ na $ X $ wyróżnić pewne $ \sigma $-ciało $ \F\subset 2^X $, na którym funkcja $ \mu^\ast $ - jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki - staje się miarą, tzn. spełnia nie tylko podadd, ale i mocniejszy, naturalny warunek add.

Stwierdzenie (#) Niech $ \F\subset 2^X $ będzie $ \sigma $-ciałem, a $ \mu $ - miarą na $ \F $. Wówczas:

  1. $ \mu(A)\le \mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A) $ dla wszystkich $ A\subset B\in \F $;
  2. jeśli $ A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots $, $ A_i\in \F $, to
    \[ 	\mu\biggl(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\biggr)=\lim_{i\to\infty}\mu (A_i)\, ; 	\]
  3. jeśli $ A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots $, $ A_i\in \F $ i $ \mu(A_{1})<\infty  $, to
    \[ 	\mu\biggl(\bigcap_{i=1}^\infty A_i\biggr)=\lim_{i\to\infty}\mu (A_i)\, . 	\]
Dowód: Własność (i), tzw. monotoniczność miary, uzyskujemy, kładąc w add $ A_1=A $, $ A_2=B\setminus A\in \F $ i $ A_j=\emptyset $ dla $ j\ge 3 $. Wtedy $ \bigcup A_j=A\cup (B\setminus A)=B $ i zbiory $ A_j $ są parami rozłączne. Dlatego, wobec add,

\[ \mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)+\mu (\emptyset)+\mu(\emptyset)+\cdots =\mu(A)+\mu(B\setminus A)\ge \mu (A). \]

Aby wykazać (ii), przyjmiemy $ P_1=A_1 $ i $ P_j=A_j\setminus A_{j-1} $ dla $ j=2,3,\ldots $. Wtedy $ \bigcup A_j=\bigcup P_j $, zaś wobec założenia $ A_1\subset A_2\subset A_3\subset\ldots $ zbiory $ P_j $ są parami rozłączne. Dlatego, wobec równości $ \mu(P_j)=\mu(A_j)-\mu(A_{j-1}) $, %która zachodzi dla $ j\ge 2 $ na mocy pierwszej części stwierdzenia,

\[ \begin{align*} \mu\biggl(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\biggr)=\mu\biggl(\bigcup_{j=1}^\infty P_j\biggr)\ &=\sum_{j=1}^\infty \mu(P_j) \\ &= \mu(A_1) +\big(\mu(A_2)-\mu(A_1)) + \big(\mu(A_3)-\mu(A_2)\big) +\cdots\\[6pt] &=\lim_{j\to\infty}\mu (A_j)\, , \end{align*} \]

gdyż $ \mu (A_j) $ jest $ j $-tą sumą częściową szeregu $ \sum\mu(P_j) $.

Dla dowodu (iii) zauważmy, że na mocy wzorów De Morgana

\[ A_1\setminus \bigcap_{j=1}^\infty A_j = \bigcup_{j=1}^\infty B_j, \qquad\mbox{gdzie}\quad B_j=A_1\setminus A_j \]

Zbiory $ B_j $ tworzą ciąg wstępujący, tzn. $ B_1\subset B_2\subset B_3\subset\ldots $ Na mocy udowodnionych już punktów (i) oraz (ii),

\[ \mu (A_1)-  \mu\biggl(\bigcap_{j=1}^\infty A_j\biggr)  \stackrel{\text{(i)}}= \mu\biggl(A_1\setminus\bigcap_{j=1}^\infty A_j\biggr) =\mu \biggl(\bigcup_{j=1}^\infty B_j\biggr) \stackrel{\text{(ii)}}=\lim_{j\to\infty} \mu(B_j)\stackrel{\text{(i)}}=\mu(A_1)-\lim_{j\to\infty}\mu(A_j)\, . \]
Uwaga Założenie $ \mu(A_1)<\infty $ w Stwierdzeniu [link](iii) jest istotne. Jeśli np. na $ \F=2^{\N} $ weźmiemy miarę liczącą, która każdemu zbiorowi $ A\subset \N $ przypisuje liczbę jego elementów $ \# A $, to dla (nieskończonych) zbiorów $ A_j=\{j,j+1,j+2,\cdots\} $ jest $ \mu(A_j)=+\infty $, a zatem

\[ +\infty=\lim_{j\to\infty}\mu (A_j)> 0=\mu(\emptyset)=\mu\biggl(\bigcap_{j=1}^\infty A_j\biggr)\, . \]
Definicja [warunek Carath\'{eodory'ego}] Niech $ \mu^\ast $ będzie miarą zewnętrzną na $ X $. Powiemy, że zbiór $ A\subset X $ spełnia warunek Carath\'{eodory'ego} wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ \begin{equation} 		\label{cara} 		\mu^\ast(Z)=\mu^\ast(Z\cap A)+\mu^\ast(Z\setminus A)\qquad\mbox{dla każdego zbioru $Z\subset X$.} \end{equation} \]
Twierdzenie [C. Carath\'{eodory}] Niech $ \mu^\ast $ będzie miarą zewnętrzną na $ X $. Rodzina $ \F\subset 2^X $ wszystkich zbiorów $ A\subset X $, spełniających warunek Carath\'{e}odory'ego, jest $ \sigma $-ciałem. Funkcja

\[    \mu= \mu^\ast\big|_{\F} \colon \F\to \rplus 	\]

jest miarą, tzn. spełnia warunek przeliczalnej addytywności add. (#)

Twierdzenie Carath\'{e}odory'ego jest bardzo ważne, gdyż ułatwia konstrukcję różnych miar. Wystarczy skonstruować miarę zewnętrzną $ \mu^\ast $ (co jest łatwiejsze, gdyż warunki wdefinicji są słabsze!) na $ X $, a następnie zawęzić dziedzinę funkcji $ \mu^\ast $ do rodziny tych zbiorów $ A $, które spełniają cara. W taki właśnie sposób skonstruujemy w następnym podrozdziale miarę Lebesgue'a\/ na $ \R^n $, tzn. naturalny i ogólny odpowiednik długości przedziału w $ \R $, pola wielokąta w $ \R^2 $ czy objętości wielościanu w $ \R^3 $, określony jednak dla bardzo szerokiej klasy podzbiorów przestrzeni.

Co ciekawe, twierdzenie Carath\'{e}odory'ego nie wydaje się łatwe, gdyż warunek cara nie jest szczególnie naturalny. Jednak, jak zobaczymy, dowód wprawdzie jest długi, ale nie jest zbyt trudny: w gruncie rzeczy polega na planowym i żmudnym, choć dość prostym sprawdzaniu kolejnych warunków.

Dowód: Krok 1: Zbiór pusty należy do $ \F $, gdyż dla każdego $ Z $ jest $ \mu^\ast (Z)=0+\mu^\ast(Z\setminus \emptyset)= \mu^\ast(Z\cap\emptyset) +\mu^\ast(Z\setminus \emptyset) $.

    Krok 2: rodzina $ \F $ jest zamknięta ze względu na branie dopełnień. To wynika z faktu, że warunek Carath\'{e}odory'ego można zapisać w symetrycznej postaci

\[  \mu^\ast(Z)=\mu^\ast(Z\cap A)+\mu^\ast(Z\setminus A)= \mu^\ast\big(Z\setminus (X\setminus A)\big)+\mu^\ast\big(Z\cap(X\setminus A)\big)\, . \]

    Krok 3: jeśli $ A,B\in \F $, to $ A\cup B\in \F $. Aby to wykazać, piszemy $ A\cup B=A\cup (B\setminus A) $ oraz

\[ \begin{gather} Z \cap (A\cup B)  = \big(Z\cap A\big) \cup \big((Z\setminus A)\cap B \big), \label{krok3-c1}\\   Z\setminus(A\cup B)  = (Z\setminus A)\setminus B,\label{krok3-c2} \end{gather} \]

następnie zaś szacujemy, korzystając z podaddytywności $ \mu^\ast $,

\[ \begin{align*} \mu^\ast(Z\cap(A\cup B)) & + \mu^\ast(Z\setminus (A\cup B)) \\  &\stackrel{\eqref{krok3-c1}}\le \mu^\ast\big(Z\cap A\big) +\mu^\ast \big((Z\setminus A)\cap B\big)  + \mu^\ast(Z\setminus (A\cup B))    \\ &\stackrel{\eqref{krok3-c2}}= \mu^\ast\big(Z\cap A\big) +\mu^\ast \big((Z\setminus A)\cap B\big)  + \mu^\ast((Z\setminus A)\setminus B) \\ & \stackrel{\eqref{cara}}= \mu^\ast\big(Z\cap A\big) + \mu^\ast(Z\setminus A) \stackrel{\eqref{cara}}= \mu^\ast(Z) \end{align*} \]

Nierówność przeciwna, $ \mu^\ast(Z)\le \mu^\ast(Z\cap(A\cup B))  + \mu^\ast(Z\setminus (A\cup B)) $, zachodzi na mocy podaddytywności funkcji $ \mu^\ast $. Zatem zbiór $ A\cup B $ spełnia warunek Carath\'{e}odory'ego.

    Krok 4. Wiemy już, że $ \F $ jest ciałem zbiorów. Dlatego (patrz Uwaga [link]) iloczyn oraz różnica dwóch zbiorów spełniających warunek Carath\'{e}odory'ego też spełnia warunek Carath\'{e}odory'ego.

    Krok 5: addytywność $ \mu^\ast $ na $ \F $. Niech $ A,B\in \F $ będą zbiorami rozłącznymi. Zamieniając w warunku Carath\'{e}dory'ego cara zbiór $ Z $ na $ Z\cap(A\cup B) $, otrzymujemy \begin{align} \mu^\ast(Z\cap(A\cup B))& = \mu^\ast(Z\cap (A\cup B)\cap A) + \mu^\ast((Z\cap (A\cup B))\setminus A)\notag \\ &= \mu^\ast(Z\cap A)+\mu^\ast(Z\cap B), (#) \end{align} gdyż dla $ A,B $ rozłącznych jest

\[ Z\cap (A\cup B)\cap A=Z\cap A, \qquad  (Z\cap (A\cup B))\setminus A = Z\cap B. \]

Dla $ Z=X $ otrzymujemy

\[ \mu^\ast(A\cup B) = \mu^\ast(A)+\mu^\ast(B). \]

Przez łatwą indukcję względem $ m $ dowodzimy, że suma skończonej liczby zbiorów z $ \F $ też należy do $ \F $. Ponadto, dla dowolnego $ Z\subset X $ zachodzi odpowiednik równości preprzelicz1, mianowicie

\[ \begin{equation} 	\label{krok5-c} 	\mu^\ast\biggl(Z \cap \bigcup_{j=1}^m A_j\biggr)= \sum_{j=1}^m\mu^\ast(Z\cap A_j)\qquad\mbox{dla $A_1,\ldots, A_m\in \F$ parami rozłącznych.}  \end{equation} \]

    Krok 6: rodzina $ \F $ jest $ \sigma $-ciałem. Wystarczy w tym celu sprawdzić, że

\[ \begin{equation} 	\label{krok6-cara} \bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \F \qquad\mbox{dla $A_j\in \F$, $j=1,2,\ldots,$ parami rozłącznych,} \end{equation} \]

gdyż suma dowolnych zbiorów $ A_j\in \F $, $ j=1,2,\ldots $, jest równa sumie zbiorów

\[ P_1=A_1, \quad P_2=A_2\setminus A_1, \quad\ldots, \quad P_m=A_m\setminus(A_1\cup \ldots \cup A_{m-1}), \quad \ldots, \]

które już są parami rozłączne (i też należą do $ \F $, gdyż $ \F $ jest ciałem).

Niech więc odtąd $ A_j\in \F $, gdzie $ j\in \N $, będą parami rozłączne. Ustalmy $ m\in \N $. Niech $ Z\in 2^X $ będzie dowolnym zbiorem. Korzystając z krok5-c i monotoniczności $ \mu^\ast $, piszemy

\[ \begin{eqnarray*} \mu^\ast(Z) & = & \mu^\ast\biggl(Z \cap \bigcup_{j=1}^m A_j\biggr) + \mu^\ast\biggl(Z\setminus \bigcup_{j=1}^m A_j\biggr)\\  & \stackrel{\eqref{krok5-c}}= & \sum_{j=1}^m\mu^\ast(Z\cap A_j) + \mu^\ast\biggl(Z\setminus \bigcup_{j=1}^m A_j\biggr)  \ge  \sum_{j=1}^m\mu^\ast(Z\cap A_j) + \mu^\ast\biggl(Z\setminus \bigcup_{j=1}^\infty A_j\biggr)\, . \end{eqnarray*} \]

Zatem, wszystkie sumy częściowe szeregu $ \sum_{j=1}^\infty \mu^\ast(Z\cap A_j) $ o wyrazach dodatnich są ograniczone. Szereg ten jest więc zbieżny, a jego suma spełnia nierówność

\[ \mu^\ast(Z) \ge \sum_{j=1}^\infty\mu^\ast(Z\cap A_j) + \mu^\ast\biggl(Z\setminus \bigcup_{j=1}^\infty A_j\biggr)\, . \]

Wobec przeliczalnej podaddytywności miary zewnętrznej $ \mu^\ast $, otrzymujemy stąd %

TeX Embedding failed!

%\end{align*} \] Nierówność $ L\le P $ jest oczywista; dlatego $ \bigcup_{j=1}^\infty A_j $ spełnia warunek Carath\'{e}odory'ego.

    Krok 7: przeliczalna addytywność $ \mu^\ast $ na $ \F $. Załóżmy, że zbiory $ A_j\in \F $, gdzie $ j=1,2,\ldots, $ są parami rozłączne. Wobec krok5-c dla $ Z=X $ oraz monotoniczności $ \mu^\ast $,

\[ \mu^\ast\biggl( \bigcup_{j=1}^\infty A_j\biggr)\ge\mu^\ast\biggl(\bigcup_{j=1}^m A_j\biggr) \stackrel{\eqref{krok5-c}}= \sum_{j=1}^m\mu^\ast( A_j) \qquad\mbox{dla $m=1,2,\ldots$} \]

Przechodząc do granicy $ m\to \infty $ po prawej stronie tej nierówności, otrzymujemy

\[ \mu^\ast\biggl(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\biggr)\ge \sum_{j=1}^\infty\mu^\ast(A_j). \]

Dzięki przeliczalnej podaddytywności miary zewnętrznej $ \mu^\ast $, ostatnia nierówność jest w istocie równością. Dowód całego Twierdzenia [link] jest zakończony. □

Stwierdzenie Jeśli $ \mu^\ast $ jest miarą zewnętrzną na $ X $ i $ \mu^\ast(A)=0 $ dla pewnego $ A\subset X $, to $ A $ spełnia warunek Carath\'{e}odory'ego.(#)
Dowód: Dla każdego $ Z\subset X $ mamy, przy tych założeniach, $ 0=\mu^\ast(A)\ge\mu^\ast(Z\cap A) =0  $ idlatego

\[ \mu^\ast(Z)\le \mu^\ast(Z\cap A) + \mu^\ast(Z\setminus A) =  \mu^\ast(Z\setminus A) \le \mu^\ast(Z). \]

To spostrzeżenie kończy dowód. □

Samo twierdzenie Carath\'{e}odory'ego nie orzeka wprawdzie, jak duża jest rodzina zbiorów $ \F $ spełniających warunek cara. Jednak przy pewnych łagodnych założeniach dodatkowych, nałożonych na $ \mu^\ast $, $ \sigma $-ciało $ \F $ jest dostatecznie obszerne.

Definicja Niech $ \mu^\ast $ będzie miarą zewnętrzną na $ X $. Każdy zbiór $ A\subset X $ spełniający warunek Carath\'{e}odory'ego, nazywamy zbiorem $ \mu^\ast $-mierzalnym, a $ \sigma $-ciało $ \F $, o którym mowa w Twierdzeniu [link], oznaczamy $ \F(\mu^\ast) $.
Definicja Niech $ (X,\varrho) $ będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że miara zewnętrzna $ \mu^\ast\colon 2^X\to \rplus $ jest miarą zewnętrzną metryczną, jeśli

\[  \mu^\ast(A\cup B)=\mu^\ast(A)+\mu^\ast(B) \]

dla wszystkich $ A,B\subset X $, których odstęp $ \dist (A,B)>0 $, gdzie

\[ \dist (A,B)=\inf_{x\in A}\big(\dist (x,B)\big), \qquad \dist(x,B)=\inf_{y\in B} \varrho(x,y). \]
Twierdzenie Niech $ (X,\varrho) $ będzie przestrzenią metryczną, zaś $ \mu^\ast $ - miarą zewnętrzną metryczną na $ X $. Wówczas $ \sigma $-ciało zbiorów borelowskich $ \B(X) $ jest zawarte w $ \sigma $-ciele $ \F(\mu^\ast) $.
Dowód: Z uwagi na definicję $ \B(X) $, wystarczy wykazać, że każdy zbiór otwarty $ \Omega\subset X $ należy do $ \F(\mu^\ast) $.

Ustalmy zbiór otwarty $ \Omega\subset X $ i niech

\[ \Omega_m=\Big\{x\in \Omega\colon \varrho(x,X\setminus \Omega)>\frac 1m\Big\}\qquad\mbox{dla $m=1,2,\ldots $}.  \]

Wtedy $ \dist (\Omega_m,X\setminus\Omega)\ge \frac 1m> 0 $. Dalej, niech

\[ P_m =  \Big\{x\in \Omega\colon \frac{1}{m}<\varrho(x,X\setminus \Omega)\le \frac 1{m-1}\Big\} \qquad\mbox{dla $m=2,3,\ldots $}.    \]

Zauważmy, że

\[ \begin{equation} 	\label{OOm}     \Omega\setminus\Omega_m= P_{m+1} \cup P_{m+2} \cup P_{m+3} \cup\ldots\qquad\mbox{dla $m=1,2,\ldots$,}    \end{equation} \]

a ponadto

\[ \begin{equation} 	\dist(P_i,P_j)\ge \frac{1}{j}-\frac{1}{i-1} \qquad\mbox{dla $i>j+1$, $j\ge 2$} 	\label{distpipj} \end{equation} \]

(to nietrudny wniosek z nierówności trójkąta). Aby sprawdzić, że zbiór $ \Omega $ spełnia warunek Carath\'{e}odory'ego, weźmy dowolny zbiór $ Z\subset X $. Wystarczy wykazać, że

\[ \begin{equation} 	\label{wystarczy-metr} 	\mu^\ast(Z)\ge \mu^\ast(Z\cap\Omega) +\mu^\ast(Z\setminus\Omega). \end{equation} \]

Jak widać, bez zmiany ogólności możemy przyjąć, że $ \mu^\ast(Z)<\infty $. Ponieważ $ \mu^\ast $ jest miarą zewnętrzną metryczną, więc na mocy distpipj otrzymujemy

\[ \sum_{j=1}^m \mu^\ast(Z\cap P_{2j-1})=\mu^\ast(Z\cap (P_1\cup P_3\cup\ldots\cup P_{2m-1}))\le \mu^\ast(Z) \]

oraz

\[ \sum_{j=1}^m \mu^\ast(Z\cap P_{2j})=\mu^\ast(Z\cap (P_2\cup P_4\cup\ldots\cup P_{2m}))\le \mu^\ast(Z)\, . \]

Zatem

\[ \sum_{j=1}^{2m} \mu^\ast(Z\cap P_{j})\le 2\mu^\ast(Z)<\infty\qquad \mbox{dla każdego $m=1,2,\ldots$,}    \]

tzn. szereg $ \sum \mu^\ast(Z\cap P_{j}) $ jest zbieżny. Dlatego dzięki OOm otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{resztkam}       	\mu^\ast(Z\cap (\Omega\setminus \Omega_m))\le \sum_{j=m+1}^\infty \mu^\ast (Z\cap P_j)\to 0 \qquad\mbox{dla $m\to\infty$.}   \end{equation} \]

Ponieważ $ \dist (\Omega_m,X\setminus\Omega)\ge \frac 1m> 0 $, więc

\[ \mu^\ast(Z\cap \Omega_m)+\mu^\ast\big(\underbrace{Z\cap (X\setminus \Omega)}_{=Z\setminus\Omega}\big) = \mu^\ast((Z\cap \Omega_m)\cup (Z\setminus\Omega))\le \mu^\ast(Z)\, . \]

Przeto

\[ \begin{align*} \mu^\ast(Z\cap \Omega) +\mu^\ast(Z\setminus \Omega)\ & \le  \mu^\ast(Z\cap \Omega_m)+\mu^\ast(Z\cap (\Omega\setminus\Omega_m)) +\mu^\ast(Z\setminus \Omega) \\ & \le \mu^\ast(Z)+  \mu^\ast(Z\cap (\Omega\setminus\Omega_m))                                                             \end{align*} \]

i w granicy $ m\to\infty $, dzięki warunkowi resztkam, $ \mu^\ast(Z\cap \Omega) +\mu^\ast(Z\setminus \Omega)\le \mu^\ast(Z) $. □