Przestrzeń $L^1$ funkcji całkowalnych

Definicja Niech $ (X,\F,\mu) $ będzie przestrzenią z miarą. Dla $ f\colon X\to \overline \R $ mierzalnej względem $ \mu $ połóżmy

\[ \begin{equation} 	\label{norm1}   	\|f\|_1 =\int_X |f|\, d\mu\, .   \end{equation} \]

Oczywiście, wielkość $ \|f\|_1 $ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $ |f| $ jest całkowalna na $ X $ względem miary $ \mu $. Nietrudno zauważyć, że gdy $ f,g $ są całkowalne, zaś $ \alpha\in \R $, to

\[ \big\|\alpha \cdot f\big\|_1=|\alpha|\cdot \|f\|_1, \qquad \|f+g\|_1\le \|f\|_1+\|g\|_1 \]

(druga nierówność wynika wprost z nierówności trójkąta $ |f+g|\le |f|+|g| $ i liniowości całki). Jednak, formalnie biorąc, odwzorowanie $ f\mapsto \|f\|_1 $ nie jest normą na przestrzni liniowej wszystkich funkcji całkowalnych, gdyż z równości $ \|f\|_1=0 $ nie wynika wcale, że $ f\equiv 0 $ - wynika stąd jedynie, że $ f=0 $ prawie wszędzie względem miary $ \mu $ na $ X $.

Aby ominąć tę drobną trudność i wyposażyć przestrzeń funkcji całkowalnych w naturalną normę norm1, określa się na zbiorze funkcji całkowalnych na $ X $ relację

\[ \begin{equation} 	\label{rownepw}     	f\sim g\qquad\mbox{wtedy i tylko wtedy, gdy}\qquad\mu\big(\{x\in X\colon f(x)\not= g(x)\}\big)=0.   \end{equation} \]

Nietrudno sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Dwie funkcje są w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy są równe $ \mu $-prawie wszędzie. To nie ma wpływu na wartość całki.

Definicja [przestrzeń funkcji całkowalnych] Symbolem $ L^1(X,\mu) $ oznaczamy zbiór klas abstrakcji relacji rownepw, określonej na zbiorze tych funkcji mierzalnych $ f\colon X\to \overline\R $, dla których $ \int_X |f|\, d\mu<\infty $.

Z formalnego punktu widzenia, wg. powyższej definicji elementy przestrzeni funkcji całkowalnych nie są funkcjami, tylko klasami abstrakcji relacji $ \sim $. W praktyce, utożsamia się funkcję $ f $ z jej klasą abstrakcji $ [f]_{\sim} $ i traktuje elementy $ L^1(X,\mu) $ jak funkcje. W typowych sytuacjach nie prowadzi to do żadnych nieporozumień.

Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\mapsto \|f\|_1 $ jest normą na $ L^1(X,\mu) $.
Dowód: Jednorodność i nierówność trójkąta są oczywiste i już o nich mówiliśmy. Jeśli $ f\sim 0\in L^1(X,\mu) $, to $ f=0 $ prawie wszędzie i $ \|f\|_1=\int_X|f|\, d\mu=0 $. Na odwrót, jeśli $ \|f\|_1=\int_X|f|\, d\mu=0 $, to $ |f|=0 $ p.w., a więc $ f\sim 0 $, tzn. $ f=0\in L^1(X,\mu) $.□

Przestrzeń liniowa $ L^1(X,\mu) $ wyposażona w metrykę

\[ d(f,g)=\|f-g\|_1 \]

staje się przestrzenią metryczną. Ma miejsce następujący ważny fakt.

Twierdzenie [zupełność przestrzeni $ L^1 $] Przestrzeń $ L^1(X,\mu) $ z metryką $  d(f,g)=\|f-g\|_1  $ jest przestrzenią metryczną zupełną.
Dowód: Wykażemy, że jeśli ciąg $ (f_j)\subset L^1(X,\mu) $ spełnia warunek Cauchy'ego, to jest zbieżny do pewnej funkcji $ f\in L^1(X,\mu) $.

    Krok 1: identyfikacja funkcji $ f $. Korzystając z warunku Cauchy'ego, można wybrać podciąg $ f_{j_1},f_{j_2},f_{j_3},\ldots $ ciągu $ (f_j) $ taki, że

\[ \begin{equation} 	\label{2jdecay} 	\big\|f_{j_{k}}-f_{m}\big\|_1 < \frac{1}{2^k} \qquad\mbox{dla $m>j_k$, $k=1,2,3,\ldots$} \end{equation} \]

Połóżmy

\[ g_k = \sum_{s=1}^k |f_{j_{s+1}}-f_{j_s}|, \qquad g=  \sum_{s=1}^\infty |f_{j_{s+1}}-f_{j_s}|=\lim g_k. \]

Wobec 2jdecay i liniowości całki $ \|g_k\|_1<\frac 12+\cdots+\frac{1}{2^k}<1 $ dla każdego $ k\in \N $. Z lematu Fatou,

\[ \int_X |g|\, d\mu = \int_X \lim |g_k|\, d\mu = \int_X \liminf |g_k|\, d\mu \le \liminf \int_X |g_k|\, d\mu\le 1. \]

Zatem $ g\in L^1(X,\mu) $, więc z pewnością $ g $ jest skończona prawie wszędzie. Szereg, definiujący $ g $, jest więc zbieżny dla $ \mu $-prawie wszystkich $ x\in X $. Dlatego szereg

\[ \begin{equation} 	\label{SxL1} S(x)=\sum_{s=1}^\infty (f_{j_{s+1}}(x)-f_{j_s}(x))   \end{equation} \]

też jest zbieżny dla $ \mu $-prawie wszystkich $ x\in X $, gdyż jest bezwzględnie zbieżny p.w. Niech

\[ f(x)=\begin{cases} f_{i_1}(x)+S(x) & \text{gdy szereg \eqref{SxL1} jest zbieżny}\\ 0 & \text{wpp.}\end{cases} \]

Zauważmy, że na zbiorze pełnej miary w $ X $ (tam, gdzie szereg $ S(x) $ jest zbieżny) mamy

\[ f(x)=f_{i_1}(x) + \sum_{s=1}^\infty \big(f_{j_{s+1}}(x)-f_{j_s}(x)\big) = \lim_{k\to \infty} f_{j_k}(x)\, . \]

To wynika wprost z definicji sumy szeregu. Ponadto, raz jeszcze korzystając z lematu Fatou, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{zbnapodc}     	\|f-f_{j_s}\|_1= \int_X \lim_{k\to\infty} |f_{j_k}-f_{j_s}|\, d\mu \le\liminf_{k\to\infty} \|f_{j_k}-f_{j_s}\|_1\le \frac {1}{2^s}.  \end{equation} \]

    Krok 2: zbieżność ciągu $ f_j $ do $ f $ w przestrzeni $ L^1 $. Ustalmy $ \eps>0 $. Wybierzmy indeks $ j_s $ tak, aby

\[ \frac{1}{2^s} <\frac \eps 2, \qquad \|f_l-f_m\|_1<\frac \eps{2}\quad\mbox{dla $m,l\ge j_s$.} \]

Wówczas, dla dowolnego $ m\ge j_s $ jest

\[ \|f-f_m\|_1\le \|f-f_{j_s}\|_1+\|f_{j_s}-f_m\|_1 \stackrel{\eqref{zbnapodc}}\le \frac 1{2^s}   +\|f_{j_s}-f_m\|_1 < \frac \eps 2 + \frac \eps 2 = \eps, \]

a więc, wprost z definicji granicy, $ f_m\to f $ w przestrzeni $ L^1(X,\mu) $.□

Odnotujmy oddzielnie ważny wniosek z pierwszej części powyższego dowodu.

Wniosek Jeśli $ f_m\to f $ w przestrzeni $ L^1(X,\mu) $, to ciąg $ (f_m) $ ma podciąg, który jest zbieżny do $ f $ prawie wszędzie na $ X $.□