Rozmaitości zanurzone w $\mathbb{R}^n$

(#)

Definicja Zbiór $ M\subset \R^{n+m} $ nazywamy zanurzoną rozmaitością $ n $-wymiarową klasy $ C^1 $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ \pp\in M $ istnieje kula $ B(\pp,r) $ w $ \R^{n+m} $, $ n $-wymiarowa podprzestrzeń liniowa $ P=\text{span}\, (\ee_{i_1},\ee_{i_2},\ldots,\ee_{i_n})\subset \R^{n+m} $, zbiór $ U $ otwarty w $ P\equiv\R^n $ i funkcja $ \varphi\in C^1(U,P^\perp) $ takie, że

\[ 	M\cap B(\pp, r)= \text{wykres}\, \varphi \cap B(\pp,r), 	\]

gdzie

\[ \text{wykres}\, \varphi=\{(\xx,\yy)\in \R^{n+m}= P\oplus P^\perp\colon \xx\in U, \ \yy=\varphi (\xx)\}\, . \]

Mówiąc krótko i potocznie, zanurzona rozmaitość $ n $-wymiarowa klasy $ C^1 $ w $ R^{n+m} $ to zbiór, który lokalnie, w otoczeniu każdego swojego punktu, jest wykresem pewnej funkcji klasy $ C^1 $ wybranych $ n $ zmiennych.

Liczbę $ m $ nazywamy kowymiarem rozmaitości $ M\subset \R^{n+m} $.

Twierdzenie (#) Niech $ \Omega \subset \R^{n+m} $ będzie zbiorem otwartym i niech $ F\in C^1(\Omega,\R^m) $. Jeśli $ \qq\in \Omega $ jest punktem takim, że $ DF(\zz) $ jest epimorfizmem liniowym dla każdego punktu $ \zz $, należącego do zbioru

\[ 	M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)= F(\qq)\}%=F^{-1}\big(\{F(\qq)\}\big)\, , 	\]

to wówczas $ M $ jest rozmaitością $ n $-wymiarową klasy $ C^1 $.

Dowód: Niech $ \pp\in M $. Ponieważ $ DF(\zz) $ jest epimorfizmem w każdym punkcie zbioru $ M $, więc w punkcie $ \pp $ nie znika pewien minor rozmiaru $ m\times m $ macierzy $ DF(\pp) $. Dlatego, odpowiednio permutując zmienne, można zastosować Twierdzenie [link] (o funkcji uwikłanej) i wywnioskować, że w małym otoczeniu punktu $ \pp $ zbiór $ M $ pokrywa się z wykresem pewnej funkcji klasy $ C^1 $, określonej na otwartym podzbiorze $ \R^n $ iprowadzącej w $ \R^m $. □

Zastosowania tego twierdzenia spotkaliśmy już w przykładach [link](ii), [link], [link], [link]. Przykładami rozmaitości są więc elipsa (zarówno zanurzona w $ \R^2 $, jak i zanurzona w $ \R^3 $), sfera i torus.

Przykład [lemniskata i precel] Lemniskatą nazywamy zbiór

\[ 	L=\{(x,y)\in \R^2\colon x^4-x^2+y^2=0\}\, . 	\]

Równanie $ x^4-x^2+y^2=0 $, równoważnie $ y=\pm x\sqrt{1-x^2} $, opisuje w $ \R^2 $ krzywą w kształcie ósemki. Wykresy funkcji $ x\mapsto \pm x\sqrt{1-x^2} $ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $ (0,0)\in L $, więc $ L $ nie jest rozmaitością jednowymiarową zanurzoną w $ \R^2 $.

Niech teraz $ F\colon \R^3\to \R $ będzie dana wzorem

\[ F(x,y,z)= \big(x^4-x^2+y^2\big)^2+z^2-\frac{1}{36} \]

i niech $ M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon F(x,y,z)=0 $. Sprawdzimy, że spełnione są założenia Twierdzenia [link]. Pochodne cząstkowe $ F $ są równe

\[ \begin{gather*} F_x(x,y,z) =  2\big(x^4-x^2+y^2\big) \cdot (4x^3-2x)=4x(2x^2-1)\big(x^4-x^2+y^2\big), \\	   F_y(x,y,z)  = 4y\big(x^4-x^2+y^2\big), \qquad F_z(x,y,z)=2z\, .  \end{gather*} \]

W tych punktach $ M $, gdzie $ z\not=0 $, różniczka funkcji $ F $ jest epimorfizmem (tzn. ma rząd równy 1), gdyż tam $ F_z\not=0 $. Jeśli $ (x,y,z)\in M $ i $ z=0 $, to $ x^4-x^2+y^2=\pm \frac 16 $. Zatem, o ile $ y\not=0 $, to $ F_y(x,y,0)\not = 0 $ w punktach $ (x,y,0)\in M $.

Jeśli wreszcie $ (x,y,z)\in M $ i $ y=z=0 $, to $ x^4-x^2+y^2=x^4-x^2=\pm \frac 16 $. Inaczej mówiąc, liczba $ x $ jest pierwiastkiem wielomianu $ P(t)=t^4-t^2\mp \frac 16 $. Mamy $ P'(t)=4t^3-2t $; $ P' $ znika więc dla $ t=0 $ i $ t=\pm 1/\sqrt{2} $. Te punkty nie są jednak pierwiastkami $ P $, tzn. $ P $ ma pierwiastki jednokrotne i jeśli $ P(x)=0 $, to $ P'(x)\not=0 $. Ostatecznie więc,

\[ F_x(x,0,0)=  4x(2x^2-1)\big(x^4-x^2+y^2\big) = 2P'(x) \cdot \pm{1}{6} \not=0 \qquad\mbox{dla $(x,0,0)\in M$.} \]

Sprawdziliśmy więc, że we wszystkich punktach $ (x,y,z)\in M $ różniczka $ DF(x,y,z) $ jest epimorfizmem (ma maksymalny możliwy rząd, w tym przypadku równy $ 1 $).

Z lewej: wykres funkcji $ f(x,y)=x^4-x^2+y^2 $ widziany od dołu. Z prawej: precel o równaniu $ f(x,y)^2+z^2=\frac 1{36} $. (Oba rysunki poddano lekkiemu - afinicznemu - zniekształceniu.)

Jak wygląda zbiór $ M $? Wyobraźmy sobie, że zmienna $ z $ to wysokość. Cięcie zbioru $ M $ poziomą płaszczyzną $ \{z=c\} $, gdzie $ c\in [-\frac{1}{6},\frac{1}{6}] $, składa się z takich punktów $ (x,y,z) $, że

\[ x^4-x^2+y^2 =\pm a, \quad\mbox{gdzie } a= \sqrt{\frac{1}{36}-c^2}, \qquad z=c, \]

tzn. wygląda tak samo, jak dwa poziome przekroje wykresu funkcji $ f(x,y)=x^4-x^2+y^2 $, płaszczyznami $ \{z=\pm a\} $. Czytelnik zechce sprawdzić, że w punkcie $ (0,0) $ funkcja $ f $ ma siodło, a w punktach $ (\pm 1/\sqrt 2,0) $ dwa minima lokalne. Zatem, krzywe $ f=\mathrm{const} $ wyglądają tak, jak na załączonym rysunku, zaś sam zbiór $ M $ wygląda tak, jak powierzchnia precla z dwiema dziurami na wylot. (Ten konkretny sposób przedstawienia precla jako jednej) poziomicy pewnej funkcji klasy $ C^1 $ obmyślił Hermann Karcher, geometra z Uniwersytetu w Bonn.

Opiszemy teraz zbiór wektorów stycznych (w sensie Definicji [link]) do rozmaitości zanurzonej klasy $ C^1 $. Okazuje się, że jeśli $ M $ jest rozmaitością $ n $-wymiarową, to $ T_{\mpp}M $ jest przestrzenią liniową wymiaru $ n $. Oto jej opis, w dwóch wersjach, uzależnionych od tego, jak opisujemy rozmaitość $ M $.

Twierdzenie [przestrzeń styczna do rozmaitości, wersja I](#) Jeśli $ M\subset \R^{n+m} $ jest wykresem funkcji $ \varphi\in C^1(\Omega,\R^m) $, gdzie $ \Omega\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, to w każdym punkcie $ \pp=(\aa,\varphi(\aa))\in M $ mamy

\[ 	T_{\mpp} M = \{(\vv, D\varphi (\aa)\vv)\in \R^{n+m}\colon \vv\in \R^n\} = \mathrm{Im\,} D\Phi(\aa)\, , 	\]

gdzie $ \Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx)) $, $ \Phi\colon \Omega\to \R^n\times \R^m=\R^{n+m} $.

Przekształcenie $ \Phi $, o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nazywa się czasem naturalną parametryzacją wykresu funkcji $ \varphi $.

Twierdzenie [przestrzeń styczna do rozmaitości, wersja II](#) Jeśli $ \Omega\subset \R^{n+m} $ jest zbiorem otwartym, $ F\in C^1(\Omega,\R^m) $ i dla każdego punktu $ \pp\in M $, gdzie

\[ 	M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)= \zero\}\, , 	\]

przekształcenie liniowe $ DF(\pp) $ jest epimorfizmem, to

\[ T_{\mpp} M=\ker DF(\pp)\qquad\mbox{dla $\pp\in M$.} \]

Udowodnimy najpierw pierwsze z tych twierdzeń, posługując się wprost Definicją [link]. Drugie twierdzenie wyprowadzimy później z pierwszego, posługując się twierdzeniem ofunkcji uwikłanej, żeby opisać lokalnie $ M $ jako wykres funkcji klasy $ C^1 $. Uważny Czytelnik spostrzegł przypuszczalnie, że z Twierdzeniem [link] spotkaliśmy się już w prostym przypadku $ m=1 $, dowodząc, że gradient funkcji jest prostopadły do poziomicy (patrz Twierdzenie [link]).

    Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy $ \vv\in \R^n $. Niech $ \gamma(t)=(\aa+t\vv,\varphi(\aa+t\vv))=\Phi(\aa+t\vv) $. Wektor $ \gamma'(0) $ prędkości krzywej $ \gamma $ należy do zbioru $  T_{\gamma(0)}M=T_{\mpp}M $ (patrz Uwaga [link]), gdzie oczywiście $ \pp=(\aa,\varphi(\aa))=\Phi(\aa) $. Wobec wzoru na pochodną złożenia,

\[ \gamma'(0)=D\Phi(\aa+t\vv)\cdot \vv\Big|_{t=0} = D\Phi(\aa)\vv= (\vv,D\varphi(\aa)\vv). \]

Datego $ \mathrm{Im\,} D\Phi(\aa)\subset T_{\mpp}M $. Trzeba jeszcze tylko wykazać inkluzję przeciwną.

Niech zatem $ \ww\in T_{\mpp}M\subset \R^{n+m} $. Sprawdzimy, że $ \ww=D\Phi(\aa)\vv $ dla pewnego wektora $ \vv\in \R^n $. Bez zmniejszenia ogólności przyjmiemy, że $ \|\ww\|=1 $. Ponieważ $ M=\Phi(\Omega) $, więc zdefinicji wektora stycznego wynika, że istnieje ciąg $ (\xx_j)\subset \Omega $ zbieżny do $ \aa $ i taki, że

\[ \begin{equation} 	  \label{calosc} 	\lim_{j\to\infty}\frac{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}= \frac{\ww}{\norm{\ww}}=\ww\qquad \mbox{oraz}\qquad  	\lim_{j\to\infty}\frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}}=\zz\in \S^{n-1}; \end{equation} \]

drugie założenie nie zmniejsza ogólności, gdyż sfera $ \S^{n-1} $ jest zbiorem zwartym. Funkcja $ \varphi $ jest różniczkowalna w $ \aa $; dlatego, wobec ciągłości przekształceń liniowych,

\[ \begin{equation} 	\label{pion} \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}}{\norm{\xx_j-\aa}} \stackrel{\eqref{calosc}}= \|D\varphi (\aa)\zz\|\, .   \end{equation} \]

Uwzględniając tę równość, otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*}  \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}  &=& \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\sqrt{\|\xx_j-\aa\|^2+\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}^2}}\\ &=& \lim_{j\to\infty} \biggl(1+\frac{\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}^2}{\norm{\xx_j-\aa}^2}\biggr)^{-1/2} \\ %\frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}} \\ & = &   \Big(1+\norm{D\varphi(\aa)\zz}^2 \Big )^{-1/2}  \\ & = &   \Big(\|\zz\|^2+\norm{D\varphi(\aa)\zz}^2 \Big )^{-1/2}= \frac {1}{\|D\Phi(\aa)\zz\|}. \end{eqnarray*} \]

Teraz piszemy

\[ \begin{eqnarray*} \ww & = & \lim_{j\to\infty}\frac{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}\\ & = &\lim_{j\to\infty}\frac{D\Phi(\aa)(\xx_j-\aa)+ o(\|\xx_j-\aa\|)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}\\ & = & \lim_{j\to\infty}  \frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}  \biggl(D\Phi(\aa) \frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}} + \frac{o(\|\xx_j-\aa\|)}{\norm{\xx_j-\aa}}\biggr) \\ & = & \frac{D\Phi(\aa)\zz}{\|D\Phi(\aa)\zz\|}         \end{eqnarray*} \]

Inaczej mówiąc, $ \ww=D\Phi(\aa)\vv $, gdzie wektor $ \vv=\|D\Phi(\aa)\zz\|^{-1}\zz $. Dowód Twierdzenia [link] jest zakończony. □

    Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy $ \pp\in M $. Bez zmiany ogólności (permutując w razie potrzeby zmienne w $ \R^{n+m} $) przyjmiemy, że w małym otoczeniu $ \Omega_1\subset \Omega $ punktu $ \pp $ funkcja $ F $ zmiennej $ \zz=(\xx,\yy) $, gdzie $ \xx\in \R^n $ i $ \yy\in \R^m $, spełnia założenia Twierdzenia [link] ofunkcji uwikłanej, tzn.

\[ \det D_{\myy} F(\xx,\yy)\not=0, \qquad (\xx,\yy)\in U. \]

Istnieje wtedy funkcja $ \varphi\colon \R^n\supset U\to \R^m $ klasy $ C^1 $ taka, że zbiór $ M $ w otoczeniu punktu $ \pp $ jest wykresem funkcji $ \varphi $. Niech $ \pp=(\aa,\varphi(\aa)) $. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że

\[ T_{\mpp}M = \{(\vv,D\varphi(\aa)\vv)\colon \vv\in \R^n\}. \]

Posłużymy się teraz wzorem dh-TFU na różniczkę funkcji uwikłanej $ \varphi $. Wynika zeń, że

\[ D_{\mxx}F(\pp)\vv + D_{\myy} F(\pp) D\varphi(\aa)\vv = 0,  \]

lub równoważnie, $ DF(\pp)\big(\vv,D\varphi(\aa)\vv\big)=0 $, tzn. każdy wektor $ \big(\vv,D\varphi(\aa)\vv\big) $ należy do jądra przekształcenia $ DF(\pp) $. Na odwrót, jeśli $ \ww=(\vv,\uu)\in \ker DF(\pp) $, gdzie $ \vv\in \R^n $ i $ \uu\in \R^m $, to

\[ 0=DF(\pp)\ww=  D_{\mxx}F(\pp)\vv + D_{\myy} F(\pp) \uu, \]

stąd zaś, wobec wzoru dh-TFU, otrzymujemy $ \uu=-\big(D_{\myy}F(\pp)\big)^{-1}D_{\mxx}F(\qq)\vv= D\varphi(\pp)\vv $. Zatem rzeczywiście $ \ww=(\vv,D\varphi(\aa)\vv)\in T_{\mpp}M $. □