










![]() |
gdzie
![]() |
Mówiąc krótko i potocznie, zanurzona rozmaitość -wymiarowa klasy
w
to zbiór, który lokalnie, w otoczeniu każdego swojego punktu, jest wykresem pewnej funkcji klasy
wybranych
zmiennych.
Liczbę nazywamy kowymiarem rozmaitości
.





![]() |
to wówczas jest rozmaitością
-wymiarową klasy
.











Zastosowania tego twierdzenia spotkaliśmy już w przykładach [link](ii), [link], [link], [link]. Przykładami rozmaitości są więc elipsa (zarówno zanurzona w , jak i zanurzona w
), sfera i torus.
![]() |
Równanie , równoważnie
, opisuje w
krzywą w kształcie ósemki. Wykresy funkcji
przecinają się pod kątem prostym w punkcie
, więc
nie jest rozmaitością jednowymiarową zanurzoną w
.
Niech teraz będzie dana wzorem
![]() |
i niech . Sprawdzimy, że spełnione są założenia Twierdzenia [link]. Pochodne cząstkowe
są równe
![]() |
W tych punktach , gdzie
, różniczka funkcji
jest epimorfizmem (tzn. ma rząd równy 1), gdyż tam
. Jeśli
i
, to
. Zatem, o ile
, to
w punktach
.
Jeśli wreszcie i
, to
. Inaczej mówiąc, liczba
jest pierwiastkiem wielomianu
. Mamy
;
znika więc dla
i
. Te punkty nie są jednak pierwiastkami
, tzn.
ma pierwiastki jednokrotne i jeśli
, to
. Ostatecznie więc,
![]() |
Sprawdziliśmy więc, że we wszystkich punktach różniczka
jest epimorfizmem (ma maksymalny możliwy rząd, w tym przypadku równy
).
Z lewej: wykres funkcji widziany od dołu. Z prawej: precel o równaniu
. (Oba rysunki poddano lekkiemu - afinicznemu - zniekształceniu.)
Jak wygląda zbiór ? Wyobraźmy sobie, że zmienna
to wysokość. Cięcie zbioru
poziomą płaszczyzną
, gdzie
, składa się z takich punktów
, że
![]() |
tzn. wygląda tak samo, jak dwa poziome przekroje wykresu funkcji , płaszczyznami
. Czytelnik zechce sprawdzić, że w punkcie
funkcja
ma siodło, a w punktach
dwa minima lokalne. Zatem, krzywe
wyglądają tak, jak na załączonym rysunku, zaś sam zbiór
wygląda tak, jak powierzchnia precla z dwiema dziurami na wylot. (Ten konkretny sposób przedstawienia precla jako jednej) poziomicy pewnej funkcji klasy
obmyślił Hermann Karcher, geometra z Uniwersytetu w Bonn. □
Opiszemy teraz zbiór wektorów stycznych (w sensie Definicji [link]) do rozmaitości zanurzonej klasy . Okazuje się, że jeśli
jest rozmaitością
-wymiarową, to
jest przestrzenią liniową wymiaru
. Oto jej opis, w dwóch wersjach, uzależnionych od tego, jak opisujemy rozmaitość
.




![]() |
gdzie ,
.
Przekształcenie , o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nazywa się czasem naturalną parametryzacją wykresu funkcji
.



![]() |
przekształcenie liniowe jest epimorfizmem, to
![]() |
Udowodnimy najpierw pierwsze z tych twierdzeń, posługując się wprost Definicją [link]. Drugie twierdzenie wyprowadzimy później z pierwszego, posługując się twierdzeniem ofunkcji uwikłanej, żeby opisać lokalnie jako wykres funkcji klasy
. Uważny Czytelnik spostrzegł przypuszczalnie, że z Twierdzeniem [link] spotkaliśmy się już w prostym przypadku
, dowodząc, że gradient funkcji jest prostopadły do poziomicy (patrz Twierdzenie [link]).
Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy . Niech
. Wektor
prędkości krzywej
należy do zbioru
(patrz Uwaga [link]), gdzie oczywiście
. Wobec wzoru na pochodną złożenia,
![]() |
Datego . Trzeba jeszcze tylko wykazać inkluzję przeciwną.
Niech zatem . Sprawdzimy, że
dla pewnego wektora
. Bez zmniejszenia ogólności przyjmiemy, że
. Ponieważ
, więc zdefinicji wektora stycznego wynika, że istnieje ciąg
zbieżny do
i taki, że
![]() |
drugie założenie nie zmniejsza ogólności, gdyż sfera jest zbiorem zwartym. Funkcja
jest różniczkowalna w
; dlatego, wobec ciągłości przekształceń liniowych,
![]() |
Uwzględniając tę równość, otrzymujemy
![]() |
Teraz piszemy
![]() |
Inaczej mówiąc, , gdzie wektor
. Dowód Twierdzenia [link] jest zakończony. □
Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy . Bez zmiany ogólności (permutując w razie potrzeby zmienne w
) przyjmiemy, że w małym otoczeniu
punktu
funkcja
zmiennej
, gdzie
i
, spełnia założenia Twierdzenia [link] ofunkcji uwikłanej, tzn.
![]() |
Istnieje wtedy funkcja klasy
taka, że zbiór
w otoczeniu punktu
jest wykresem funkcji
. Niech
. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że
![]() |
Posłużymy się teraz wzorem dh-TFU na różniczkę funkcji uwikłanej . Wynika zeń, że
![]() |
lub równoważnie, , tzn. każdy wektor
należy do jądra przekształcenia
. Na odwrót, jeśli
, gdzie
i
, to
![]() |
stąd zaś, wobec wzoru dh-TFU, otrzymujemy . Zatem rzeczywiście
. □