Rozmaitości zanurzone w $\mathbb{R}^n$ | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

(#)

Definicja Zbiór $M\subset \R^{n+m}$ nazywamy zanurzoną rozmaitością $n$ -wymiarową klasy $C^1$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $\pp\in M$ istnieje kula $B(\pp,r)$ w $\R^{n+m}$ , $n$ -wymiarowa podprzestrzeń liniowa $P=\text{span}\, (\ee_{i_1},\ee_{i_2},\ldots,\ee_{i_n})\subset \R^{n+m}$ , zbiór $U$ otwarty w $P\equiv\R^n$ i funkcja $\varphi\in C^1(U,P^\perp)$ takie, że

$M\cap B(\pp, r)= \text{wykres}\, \varphi \cap B(\pp,r),$

gdzie

$\text{wykres}\, \varphi=\{(\xx,\yy)\in \R^{n+m}= P\oplus P^\perp\colon \xx\in U, \ \yy=\varphi (\xx)\}\, .$

Mówiąc krótko i potocznie, zanurzona rozmaitość $n$ -wymiarowa klasy $C^1$ w $R^{n+m}$ to zbiór, który lokalnie, w otoczeniu każdego swojego punktu, jest wykresem pewnej funkcji klasy $C^1$ wybranych $n$ zmiennych.

Liczbę $m$ nazywamy kowymiarem rozmaitości $M\subset \R^{n+m}$ .

Twierdzenie (#) Niech $\Omega \subset \R^{n+m}$ będzie zbiorem otwartym i niech $F\in C^1(\Omega,\R^m)$ . Jeśli $\qq\in \Omega$ jest punktem takim, że $DF(\zz)$ jest epimorfizmem liniowym dla każdego punktu $\zz$ , należącego do zbioru

$M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)= F(\qq)\}%=F^{-1}\big(\{F(\qq)\}\big)\, ,$

to wówczas $M$ jest rozmaitością $n$ -wymiarową klasy $C^1$ .

Dowód: Niech $\pp\in M$ . Ponieważ $DF(\zz)$ jest epimorfizmem w każdym punkcie zbioru $M$ , więc w punkcie $\pp$ nie znika pewien minor rozmiaru $m\times m$ macierzy $DF(\pp)$ . Dlatego, odpowiednio permutując zmienne, można zastosować Twierdzenie [link] (o funkcji uwikłanej) i wywnioskować, że w małym otoczeniu punktu $\pp$ zbiór $M$ pokrywa się z wykresem pewnej funkcji klasy $C^1$ , określonej na otwartym podzbiorze $\R^n$ iprowadzącej w $\R^m$ . □

Zastosowania tego twierdzenia spotkaliśmy już w przykładach [link](ii), [link], [link], [link]. Przykładami rozmaitości są więc elipsa (zarówno zanurzona w $\R^2$ , jak i zanurzona w $\R^3$ ), sfera i torus.

Przykład [lemniskata i precel] Lemniskatą nazywamy zbiór

$L=\{(x,y)\in \R^2\colon x^4-x^2+y^2=0\}\, .$

Równanie $x^4-x^2+y^2=0$ , równoważnie $y=\pm x\sqrt{1-x^2}$ , opisuje w $\R^2$ krzywą w kształcie ósemki. Wykresy funkcji $x\mapsto \pm x\sqrt{1-x^2}$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $(0,0)\in L$ , więc $L$ nie jest rozmaitością jednowymiarową zanurzoną w $\R^2$ .

Niech teraz $F\colon \R^3\to \R$ będzie dana wzorem

$F(x,y,z)= \big(x^4-x^2+y^2\big)^2+z^2-\frac{1}{36}$

i niech $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon F(x,y,z)=0$ . Sprawdzimy, że spełnione są założenia Twierdzenia [link]. Pochodne cząstkowe $F$ są równe

$\begin{gather*} F_x(x,y,z) = 2\big(x^4-x^2+y^2\big) \cdot (4x^3-2x)=4x(2x^2-1)\big(x^4-x^2+y^2\big), \\ F_y(x,y,z) = 4y\big(x^4-x^2+y^2\big), \qquad F_z(x,y,z)=2z\, . \end{gather*}$

W tych punktach $M$ , gdzie $z\not=0$ , różniczka funkcji $F$ jest epimorfizmem (tzn. ma rząd równy 1), gdyż tam $F_z\not=0$ . Jeśli $(x,y,z)\in M$ i $z=0$ , to $x^4-x^2+y^2=\pm \frac 16$ . Zatem, o ile $y\not=0$ , to $F_y(x,y,0)\not = 0$ w punktach $(x,y,0)\in M$ .

Jeśli wreszcie $(x,y,z)\in M$ i $y=z=0$ , to $x^4-x^2+y^2=x^4-x^2=\pm \frac 16$ . Inaczej mówiąc, liczba $x$ jest pierwiastkiem wielomianu $P(t)=t^4-t^2\mp \frac 16$ . Mamy $P'(t)=4t^3-2t$ ; $P'$ znika więc dla $t=0$ i $t=\pm 1/\sqrt{2}$ . Te punkty nie są jednak pierwiastkami $P$ , tzn. $P$ ma pierwiastki jednokrotne i jeśli $P(x)=0$ , to $P'(x)\not=0$ . Ostatecznie więc,

$F_x(x,0,0)= 4x(2x^2-1)\big(x^4-x^2+y^2\big) = 2P'(x) \cdot \pm{1}{6} \not=0 \qquad\mbox{dla $(x,0,0)\in M$.}$

Sprawdziliśmy więc, że we wszystkich punktach $(x,y,z)\in M$ różniczka $DF(x,y,z)$ jest epimorfizmem (ma maksymalny możliwy rząd, w tym przypadku równy $1$ ).

Z lewej: wykres funkcji $f(x,y)=x^4-x^2+y^2$ widziany od dołu. Z prawej: precel o równaniu $f(x,y)^2+z^2=\frac 1{36}$ . (Oba rysunki poddano lekkiemu - afinicznemu - zniekształceniu.)

Jak wygląda zbiór $M$ ? Wyobraźmy sobie, że zmienna $z$ to wysokość. Cięcie zbioru $M$ poziomą płaszczyzną $\{z=c\}$ , gdzie $c\in [-\frac{1}{6},\frac{1}{6}]$ , składa się z takich punktów $(x,y,z)$ , że

$x^4-x^2+y^2 =\pm a, \quad\mbox{gdzie } a= \sqrt{\frac{1}{36}-c^2}, \qquad z=c,$

tzn. wygląda tak samo, jak dwa poziome przekroje wykresu funkcji $f(x,y)=x^4-x^2+y^2$ , płaszczyznami $\{z=\pm a\}$ . Czytelnik zechce sprawdzić, że w punkcie $(0,0)$ funkcja $f$ ma siodło, a w punktach $(\pm 1/\sqrt 2,0)$ dwa minima lokalne. Zatem, krzywe $f=\mathrm{const}$ wyglądają tak, jak na załączonym rysunku, zaś sam zbiór $M$ wygląda tak, jak powierzchnia precla z dwiema dziurami na wylot. (Ten konkretny sposób przedstawienia precla jako jednej) poziomicy pewnej funkcji klasy $C^1$ obmyślił Hermann Karcher, geometra z Uniwersytetu w Bonn. □

Opiszemy teraz zbiór wektorów stycznych (w sensie Definicji [link]) do rozmaitości zanurzonej klasy $C^1$ . Okazuje się, że jeśli $M$ jest rozmaitością $n$ -wymiarową, to $T_{\mpp}M$ jest przestrzenią liniową wymiaru $n$ . Oto jej opis, w dwóch wersjach, uzależnionych od tego, jak opisujemy rozmaitość $M$ .

Twierdzenie [przestrzeń styczna do rozmaitości, wersja I](#) Jeśli $M\subset \R^{n+m}$ jest wykresem funkcji $\varphi\in C^1(\Omega,\R^m)$ , gdzie $\Omega\subset \R^n$ jest zbiorem otwartym, to w każdym punkcie $\pp=(\aa,\varphi(\aa))\in M$ mamy

$T_{\mpp} M = \{(\vv, D\varphi (\aa)\vv)\in \R^{n+m}\colon \vv\in \R^n\} = \mathrm{Im\,} D\Phi(\aa)\, ,$

gdzie $\Phi(\xx)=(\xx,\varphi(\xx))$ , $\Phi\colon \Omega\to \R^n\times \R^m=\R^{n+m}$ .

Przekształcenie $\Phi$ , o którym mowa w powyższym twierdzeniu, nazywa się czasem naturalną parametryzacją wykresu funkcji $\varphi$ .

Twierdzenie [przestrzeń styczna do rozmaitości, wersja II](#) Jeśli $\Omega\subset \R^{n+m}$ jest zbiorem otwartym, $F\in C^1(\Omega,\R^m)$ i dla każdego punktu $\pp\in M$ , gdzie

$M=\{\zz\in \Omega\colon F(\zz)= \zero\}\, ,$

przekształcenie liniowe $DF(\pp)$ jest epimorfizmem, to

$T_{\mpp} M=\ker DF(\pp)\qquad\mbox{dla $\pp\in M$.}$

Udowodnimy najpierw pierwsze z tych twierdzeń, posługując się wprost Definicją [link]. Drugie twierdzenie wyprowadzimy później z pierwszego, posługując się twierdzeniem ofunkcji uwikłanej, żeby opisać lokalnie $M$ jako wykres funkcji klasy $C^1$ . Uważny Czytelnik spostrzegł przypuszczalnie, że z Twierdzeniem [link] spotkaliśmy się już w prostym przypadku $m=1$ , dowodząc, że gradient funkcji jest prostopadły do poziomicy (patrz Twierdzenie [link]).

Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy $\vv\in \R^n$ . Niech $\gamma(t)=(\aa+t\vv,\varphi(\aa+t\vv))=\Phi(\aa+t\vv)$ . Wektor $\gamma'(0)$ prędkości krzywej $\gamma$ należy do zbioru $T_{\gamma(0)}M=T_{\mpp}M$ (patrz Uwaga [link]), gdzie oczywiście $\pp=(\aa,\varphi(\aa))=\Phi(\aa)$ . Wobec wzoru na pochodną złożenia,

$\gamma'(0)=D\Phi(\aa+t\vv)\cdot \vv\Big|_{t=0} = D\Phi(\aa)\vv= (\vv,D\varphi(\aa)\vv).$

Datego $\mathrm{Im\,} D\Phi(\aa)\subset T_{\mpp}M$ . Trzeba jeszcze tylko wykazać inkluzję przeciwną.

Niech zatem $\ww\in T_{\mpp}M\subset \R^{n+m}$ . Sprawdzimy, że $\ww=D\Phi(\aa)\vv$ dla pewnego wektora $\vv\in \R^n$ . Bez zmniejszenia ogólności przyjmiemy, że $\|\ww\|=1$ . Ponieważ $M=\Phi(\Omega)$ , więc zdefinicji wektora stycznego wynika, że istnieje ciąg $(\xx_j)\subset \Omega$ zbieżny do $\aa$ i taki, że

$\begin{equation} \label{calosc} \lim_{j\to\infty}\frac{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}= \frac{\ww}{\norm{\ww}}=\ww\qquad \mbox{oraz}\qquad \lim_{j\to\infty}\frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}}=\zz\in \S^{n-1}; \end{equation}$

drugie założenie nie zmniejsza ogólności, gdyż sfera $\S^{n-1}$ jest zbiorem zwartym. Funkcja $\varphi$ jest różniczkowalna w $\aa$ ; dlatego, wobec ciągłości przekształceń liniowych,

$\begin{equation} \label{pion} \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}}{\norm{\xx_j-\aa}} \stackrel{\eqref{calosc}}= \|D\varphi (\aa)\zz\|\, . \end{equation}$

Uwzględniając tę równość, otrzymujemy

$\begin{eqnarray*} \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}} &=& \lim_{j\to\infty}\frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\sqrt{\|\xx_j-\aa\|^2+\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}^2}}\\ &=& \lim_{j\to\infty} \biggl(1+\frac{\norm{\varphi(\xx_j)-\varphi(\aa)}^2}{\norm{\xx_j-\aa}^2}\biggr)^{-1/2} \\ %\frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}} \\ & = & \Big(1+\norm{D\varphi(\aa)\zz}^2 \Big )^{-1/2} \\ & = & \Big(\|\zz\|^2+\norm{D\varphi(\aa)\zz}^2 \Big )^{-1/2}= \frac {1}{\|D\Phi(\aa)\zz\|}. \end{eqnarray*}$

Teraz piszemy

$\begin{eqnarray*} \ww & = & \lim_{j\to\infty}\frac{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}\\ & = &\lim_{j\to\infty}\frac{D\Phi(\aa)(\xx_j-\aa)+ o(\|\xx_j-\aa\|)}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}}\\ & = & \lim_{j\to\infty} \frac{\norm{\xx_j-\aa}}{\norm{\Phi(\xx_j)-\Phi(\aa)}} \biggl(D\Phi(\aa) \frac{\xx_j-\aa}{\norm{\xx_j-\aa}} + \frac{o(\|\xx_j-\aa\|)}{\norm{\xx_j-\aa}}\biggr) \\ & = & \frac{D\Phi(\aa)\zz}{\|D\Phi(\aa)\zz\|} \end{eqnarray*}$

Inaczej mówiąc, $\ww=D\Phi(\aa)\vv$ , gdzie wektor $\vv=\|D\Phi(\aa)\zz\|^{-1}\zz$ . Dowód Twierdzenia [link] jest zakończony. □

Dowód Twierdzenia [link] Ustalmy $\pp\in M$ . Bez zmiany ogólności (permutując w razie potrzeby zmienne w $\R^{n+m}$ ) przyjmiemy, że w małym otoczeniu $\Omega_1\subset \Omega$ punktu $\pp$ funkcja $F$ zmiennej $\zz=(\xx,\yy)$ , gdzie $\xx\in \R^n$ i $\yy\in \R^m$ , spełnia założenia Twierdzenia [link] ofunkcji uwikłanej, tzn.

$\det D_{\myy} F(\xx,\yy)\not=0, \qquad (\xx,\yy)\in U.$

Istnieje wtedy funkcja $\varphi\colon \R^n\supset U\to \R^m$ klasy $C^1$ taka, że zbiór $M$ w otoczeniu punktu $\pp$ jest wykresem funkcji $\varphi$ . Niech $\pp=(\aa,\varphi(\aa))$ . Z poprzedniego twierdzenia wynika, że

$T_{\mpp}M = \{(\vv,D\varphi(\aa)\vv)\colon \vv\in \R^n\}.$

Posłużymy się teraz wzorem dh-TFU na różniczkę funkcji uwikłanej $\varphi$ . Wynika zeń, że

$D_{\mxx}F(\pp)\vv + D_{\myy} F(\pp) D\varphi(\aa)\vv = 0,$

lub równoważnie, $DF(\pp)\big(\vv,D\varphi(\aa)\vv\big)=0$ , tzn. każdy wektor $\big(\vv,D\varphi(\aa)\vv\big)$ należy do jądra przekształcenia $DF(\pp)$ . Na odwrót, jeśli $\ww=(\vv,\uu)\in \ker DF(\pp)$ , gdzie $\vv\in \R^n$ i $\uu\in \R^m$ , to

$0=DF(\pp)\ww= D_{\mxx}F(\pp)\vv + D_{\myy} F(\pp) \uu,$

stąd zaś, wobec wzoru dh-TFU, otrzymujemy $\uu=-\big(D_{\myy}F(\pp)\big)^{-1}D_{\mxx}F(\qq)\vv= D\varphi(\pp)\vv$ . Zatem rzeczywiście $\ww=(\vv,D\varphi(\aa)\vv)\in T_{\mpp}M$ . □