W tym podrozdziale symbol oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych na
względem miary Lebesgue'a
.

![]() |
Iloczyn dwóch funkcji całkowalnych wcale nie musi być funkcją całkowalną (przykład: na odcinku jednostkowym), więc nie jest rzeczą jasną, czy definicja splotu jest poprawna. (Łatwo natomiast zauważyć, że splot funkcji
z funkcją mierzalną, ograniczoną
jest dobrze określony.) Wykażemy jednak, że nie ma powodu do obaw.


![]() |
gdyż całka nie zależy od
. Z drugiej strony, wprost z definicji splotu
, otrzymujemy
![]() |
Zatem i, na mocy twierdzenia Fubiniego, całka
, jest skończona dla prawie wszystkich
.
Tezę w ogólny przypadku otrzymujemy natychmiast z nierówności , która zachodzi, gdyż
dla dowolnej przestrzeni z miarą. □






![]() |
Dowód jest zakończony.□
Podobnie można wykazać, że splot jest działaniem łącznym na , ma więc pożądane cechy `mnożenia'. Jest to jednak mnożenie bez jedynki:





Aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi
Jednym z najważniejszych zastosowań splotu w różnych działach analizy jest aproksymowanie funkcji `nieporządnych' (tzn. być może bardzo nieregularnych) funkcjami znacznie `porządniejszymi', o lepszych własnościach. Wskażemy, jak się to robi.



![]() |
jest jedynką aproksymatywną.(#)






![]() |
Ostatnia równość oznacza po prostu, że różniczkowanie można bez obaw o wynik wprowadzić pod całkę, definiującą splot. Jest to możliwe dzięki twierdzeniu Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.




Ustalmy i punkt
. Wówczas
![]() |
Dla funkcje podcałkowe są punktowo zbieżne do
. Nośnik funkcji gładkiej
jest zbiorem zwartym, dlatego wobec twierdzenia o wartości średniej
![]() |
Można więc, korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej, przejść do granicy pod całką po prawej stronie równości pochodnasplotu; daje to wynik
![]() |
(skorzystaliśmy, jak widać, z przemienności splotu). □





![]() |
Zobaczymy teraz, że splot funkcji
z jedynką aproksymatywną przybliża
w normie
. Zaczniemy od sprawdzenia tego w szczególnie prostej sytuacji.




![]() |
jednostajnie na . Ponadto,
w przestrzeni
, gdy
. (#)










![]() |
Zatem wprost z definicji zbieżności jednostajnej. Ponieważ dla
nośnik funkcji
zawiera się w kuli
, więc ze zbieżności jednostajnej
wynika także zbieżność
w
.□








Z uwagi na nierówność trójkąta w wystarczy więc wykazać, że dla dowolnego
i
, gdzie
jest zbiorem ograniczonym, istnieje funkcja ciągła
, znikająca poza pewną kulą w
i taka, że
.
Z Twierdzenia [link] wynika, że istnieje zbiór zwarty i zbiór otwarty
takie, że
. Z lematu Urysohna wynika, że istnieje funkcja ciągła
taka, że
na
i
na
. Mamy
![]() |
Dowód lematu jest zakończony.□
Możemy teraz łatwo wykazać zapowiedziane wcześniej twierdzenie o aproksymacji funkcji całkowalnych za pomocą splotu z jedynką aproksymatywną.









![]() |
Trzeci składnik nie przekracza wskutek doboru
. Drugi składnik jest mniejszy od
dla wszystkich
dostatecznie małych wobec Lematu [link]. Wreszcie, dla każdego
, na mocy nierówności 5.46 z tezy Twierdzenia [link],
![]() |
Ostatecznie,
![]() |
Dowód twierdzenia jest zakończony. □
Często wygodnie jest wiedzieć, że funkcje całkowalne można aproksymować nie tylko funkcjami gładkimi, ale także funkcjami gładkimi o zwartym nośniku. Nietrudno to wywnioskować z ostatniego twierdzenia.




![$ \zeta\colon \R^n\to [0,1] $](/sites/default/files/tex/5e28658a34a53f2323dcc69ca7f559d93229adae.png)








Ustalmy i dobierzmy
tak, aby
. Nietrudno sprawdzić, że dla każdej funkcji
iloczyn
w
dla
. Istotnie,
![]() |
gdyż .
Zatem, dla odpowiedniego małego i odpowiednio dużego
(dobranego do
) jest
![]() |
Funkcja jest oczywiście gładka i ma zwarty nośnik. □
Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji wielu zmiennych
Metodą bardzo podobną do opisanej w poprzednim podrozdziale można udowodnić ogólną wersję twierdzenia Weierstrassa o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami. Czytelnik zna ją już dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.




![]() |
W dowodzie wykorzystamy jako narzędzie splot. Posłużymy się tak zwanymi wielomianami Tonellego. Zbiór wszystkich funkcji ciągłych na o wartościach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem
.
Dowód. Ponieważ złożenie wielomianu z funkcją afiniczną jest wielomianem, więc wystarczy wykazać twierdzenie przy dodatkowym założeniu
. Ustalmy
. Korzystając z twierdzenia Tietzego o przedłużaniu możemy założyć, że
jest określona na całej przestrzeni
i znika poza kulą
.
Krok 1: definicja wielomianów Tonellego. Połóżmy
![]() |
Sprawdzimy, że
![]() |
W tym celu oszacujemy (Można wyrazić przez funkcje
i
Eulera, posługując się regułą Cavalieri'ego.) całkę, definiującą
, stosując twierdzenie Fubiniego (podobnie jak w dowodzie Twierdzenia [link]). Oznaczając
, gdzie
, otrzymujemy po niezbyt skomplikowanym rachunku
![]() |
Dokonaliśmy wyżej linowej zamiany zmiennych: w wewnętrznej całce, przy ustalonym , podstawiliśmy
; jest to przekształcenie liniowe przestrzeni
, a jego jakobian wynosi
.
Ponieważ na
, więc z rekurw otrzymujemy
![]() |
Stąd, przez indukcję,
![]() |
Połóżmy teraz
![]() |
Przy ustalonym funkcja podcałkowa jest wielomianem zmiennej
. Dlatego funkcja
jest wielomianem zmiennej
. Ponieważ
poza kulą
, więc całkowanie w TNF odbywa się w istocie tylko po
. Jeśli
, to
. Dlatego, z przemienności splotu,
![]() |
Krok 2. Zbieżność wielomianów Tonellego. Ustalmy . Funkcja
jest jednostajnie ciągła na
, więc istnieje liczba
taka, że dla
jest
. Wprost z definicji funkcji
i liczb
otrzymujemy
![]() |
więc dla dowolnego punktu jest
![]() |
gdzie
![]() |
Całkę szacujemy brutalnie, zastępując moduł różnicy sumą modułów, a następnie uwzględniamy oszacowanie dnn liczb
. Oto efekt:
![]() |
Dlatego całka dla wszystkich
; uzyskane oszacowanie
jest jednostajne względem
, więc oczywiście
nie zależy\/ od
.
Szacując , zauważamy, że w tej całce czynnik
jest mały wskutek doboru liczby
. Dlatego
![]() |
Ostatecznie więc, dla wszystkich
. □
Czytelnik, który pamięta jeszcze definicję wielomianów Bernsteina i dowód twierdzenia Weierstrassa dla przestrzeni , może zwrócić uwagę na podobieństwo obu dowodów. Mówiąc niezbyt precyzyjnie, uśredniamy w nich wartości
względem pewnej miary unormowanej (inaczej: probabilistycznej)
, dobranej tak, aby wynik uśrednienia był wielomianem stopnia zależnego od
. Dla dużych
miara
jest niemal skoncentrowana w jednym punkcie. Oszacowanie różnicy między funkcją
i wielomianem, który powstaje w wyniku jej uśredniania, wykonane jest w obu dowodach tym samym sposobem. Osoba, zainteresowana analizą, zetknie się z taką metodą szacowania sum lub całek wwielu innych zagadnieniach.