1. Strona główna
  2. Analiza Matematyczna II
  3. Całka Lebesgue'a
  4. Splot

Splot

W tym podrozdziale symbol $ L^1(\R^n) $ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych na $ \R^n $ względem miary Lebesgue'a $ \lambda_n $.

Definicja Splotem funkcji $ f,g\in L^1(\R^n) $ nazywamy funkcję

\[ f\ast g(\xx)=\int_{\R^n} f(\xx-\yy)g(\yy) \, d\lambda_n(\yy)\, . \]

Iloczyn dwóch funkcji całkowalnych wcale nie musi być funkcją całkowalną (przykład: $ f(x)=g(x)=1/\sqrt{x} $ na odcinku jednostkowym), więc nie jest rzeczą jasną, czy definicja splotu jest poprawna. (Łatwo natomiast zauważyć, że splot funkcji $ f\in L^1 $ z funkcją mierzalną, ograniczoną $ g $ jest dobrze określony.) Wykażemy jednak, że nie ma powodu do obaw.

Twierdzenie (#) Jeśli $ f,g\in L^{1}(\R^n) $, to ich splot $ f\ast g\in L^1(\R^n) $ i zachodzi nierówność

\[ \begin{equation} \label{5.46} \|f\ast g\|_1\le \|f\|_1 \cdot \|g\|_1\, . \end{equation} \]
Dowód: Czytelnik zechce samodzielnie sprawdzić, że $ \Phi(\xx,\yy)=|f(\xx-\yy)\cdot g(\yy)| $ jest funkcją mierzalną na $ \R^{2n} $. Wobec Twierdzenia Fubiniego i niezmienniczości miary Lebesgue'a względem przesunięć,

\[ \begin{equation} \label{splot11} \begin{split} \int_{\R^{2n}} |f(\xx-\yy)\cdot g(\yy)|\, d\lambda_{2n}(\xx,\yy) &= \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^n} |f(\xx-\yy)|\, d\lambda_n(\xx)\biggr)\, |g(\yy)|\, d\lambda_n(\yy)\\ &= \int_{\R^n} |f|\, d\lambda_n \cdot \int_{\R^n} |g|\, d\lambda_n= \|f\|_1\cdot \|g\|_1\, , \end{split} \end{equation} \]

gdyż całka $ \int_{\R^n}|f(\xx-\yy)|\, d\lambda_n(\xx) $ nie zależy od $ \yy $. Z drugiej strony, wprost z definicji splotu $ f\ast g $, otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*} \big\||f|\ast |g| \big\|_1=\int_{\R^n} |f|\ast |g|\, d\lambda_n & = &\int_{\R^n} \biggl(\int_{\R^n}|f(\xx-\yy)\cdot g(\yy)|\, d\lambda_{n}(\yy)\biggr) d\lambda_n(\xx) \\&= & \int_{\R^{2n}} |f(\xx-\yy)\cdot g(\yy)|\, d\lambda_{2n}(\xx,\yy)\, \\ & \stackrel{\eqref{splot11}}= & \|f\|_1\cdot \|g\|_1\, < \infty\, . \end{eqnarray*} \]

Zatem $ |f|\ast |g|\in L^1(\R^n) $ i, na mocy twierdzenia Fubiniego, całka $ \int_{\R^n}|f(\xx-\yy)\cdot g(\yy)|\, d\lambda_{n}(\yy) $, jest skończona dla prawie wszystkich $ \xx\in\R^n $.

Tezę w ogólny przypadku otrzymujemy natychmiast z nierówności $ |f\ast g|\le |f|\ast |g| $, która zachodzi, gdyż $ |\int_X h\,d\mu|\le \int_X |h|\, d\mu $ dla dowolnej przestrzeni z miarą. □

Stwierdzenie Dla $ f,g\in L^1(\R^n) $ jest $ f\ast g=g\ast f $.
Dowód: To łatwo wynika z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie: przy ustalonym $ \xx $ przekształcenie $ \yy\mapsto \zz=\xx-\yy $ jest dyfeomorfizmem $ \R^n $ na $ \R^n $, a moduł wyznacznika macierzy Jacobiego tego przekształcenia jest (oczywiście) równy 1. Dlatego

\[ f\ast g(\xx)=\int_{\R^n} f(\xx-\yy) g(\yy)\, d\lambda_n(\yy) = \int_{\R^n} f(\zz)g (\xx-\zz)\, d\lambda_n(\zz) = g\ast f(\xx). \]

Dowód jest zakończony.□

Podobnie można wykazać, że splot jest działaniem łącznym na $ L^1(\R^n) $, ma więc pożądane cechy `mnożenia'. Jest to jednak mnożenie bez jedynki:

Zadanie Wykazać, że nie istnieje funkcja $ \delta\in L^{1}(\R^n) $ taka, że $ \delta\ast f=f $ dla każdej $ f\in L^1(\R^n) $.     Wskazówka. Jaką wartość powinna mieć całka takiej funkcji $ \delta $? Na jakim zbiorze powinna zachodzić równość $ \delta=0 $?

Aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi

(#)

Jednym z najważniejszych zastosowań splotu w różnych działach analizy jest aproksymowanie funkcji `nieporządnych' (tzn. być może bardzo nieregularnych) funkcjami znacznie `porządniejszymi', o lepszych własnościach. Wskażemy, jak się to robi.

Definicja [jedynka aproksymatywna] Niech $ \varphi\in C_0^\infty (B(\zero,1)) $ będzie nieujemną funkcją gładką o nośniku zawartym w kuli $ B(\zero, 1)\subset \R^n $, taką, że $ \int_{B(\zero,1)}\varphi\, d\lambda_1=1 $. Będziemy mówić, że rodzina funkcji

\[ \varphi_\eps(\xx)=\eps^{-n}\varphi\Big(\frac{\xx}{\eps}\Big), \qquad \xx\in \R^n, \quad \eps>0, \]

jest jedynką aproksymatywną.(#)

Lemat Jeśli $ h $ jest funkcją klasy $ C_0^\infty(\R^n) $, to dla każdej funkcji $ f\in L^1 $ splot $ f\ast h $ jest funkcją klasy $ C^\infty $. Ponadto, dla każdego wielowskaźnika $ \alpha $ zachodzi równość

\[ D^\alpha(f\ast h) = f\ast (D^\alpha h)\, . \]

Ostatnia równość oznacza po prostu, że różniczkowanie $ D^\alpha $ można bez obaw o wynik wprowadzić pod całkę, definiującą splot. Jest to możliwe dzięki twierdzeniu Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.

Dowód: Ciągłość funkcji $ f\ast h $ oraz $ f\ast (D^\alpha h) $ łatwo wynika z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej, gdyż każda funkcja gładka o zwartym nośniku jest ograniczona. Dowód równości z tezy lematu wystarczy przeprowadzić w przypadku, gdy $ \alpha $ jest wielowskaźnikiem długości $ |\alpha|=1 $, tzn. dla pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu. Przypadek ogólny wynika stąd natychmiast przez indukcję.

Ustalmy $ j\in \{1,\ldots,n\} $ i punkt $ \xx\in \R^n $. Wówczas

\[ \begin{equation} \label{pochodnasplotu} \frac{f\ast h(\xx+t\ee_j)-f\ast h(\xx)}t=\int_{\R^n} \frac{ h(\xx+t\ee_j-\yy)-h(\xx-\yy)}t f(\yy)\, d\lambda_n(\yy). \end{equation} \]

Dla $ t\to 0 $ funkcje podcałkowe są punktowo zbieżne do $ \pcz {h}{x_j} (\xx-\yy)\cdot f(\yy) $. Nośnik funkcji gładkiej $ h $ jest zbiorem zwartym, dlatego wobec twierdzenia o wartości średniej

\[ \left|\frac{ h(\xx+t\ee_j-\yy)-h (\xx-\yy)}t\right| \le \frac{|t|\sup_{\mzz} \|Dh (\zz)\|}{|t|} = \sup_{\mzz} \|Dh(\zz)\|=: C\, . \]

Można więc, korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej, przejść do granicy $ t\to 0 $ pod całką po prawej stronie równości pochodnasplotu; daje to wynik

\[ \pcz {(f\ast h)}{x_j} (\xx)= \int_{\R^n} \pcz {h}{x_j} (\xx-\yy) f(\yy) \, d\lambda_n(\yy)= \pcz {h}{x_j}\ast f(\xx)= f\ast \pcz {h}{x_j} (\xx) \]

(skorzystaliśmy, jak widać, z przemienności splotu). □

Wniosek Jeśli $ (\varphi_\eps) $ jest jedynką aproksymatywną, to dla każdej funkcji $ f\in L^1 $ i każdego $ \eps>0 $ splot $ f\ast\varphi_\eps\in C^\infty $ idla każdego wielowskaźnika $ \alpha $

\[ D^\alpha(f\ast \varphi_\eps) = f\ast (D^\alpha\varphi_\eps)\, . \]

(#)

Zobaczymy teraz, że splot $ f\ast \varphi_\eps $ funkcji $ f\in L^1 $ z jedynką aproksymatywną przybliża $ f $ w normie $ L^1 $. Zaczniemy od sprawdzenia tego w szczególnie prostej sytuacji.

Lemat Jeśli $ (\varphi_\eps) $ jest jedynką aproksymatywną, to dla każdej funkcji $ g\colon \R^n\to\R $ ciągłej na $ \R^n $ i znikającej poza pewną kulą $ B(\zero,r) $ mamy

\[ g\ast \varphi_\eps \rightrightarrows g \qquad\mbox{dla $\eps\to 0$} \]

jednostajnie na $ \R^n $. Ponadto, $ g\ast\varphi_\eps\to g $ w przestrzeni $ L^1(\R^n) $, gdy $ \eps\to 0 $. (#)

Dowód: Ustalmy liczbę $ \eta >0 $. Ponieważ funkcja $ g $ jest ciągła i znika poza pewnym zbiorem zwartym, więc jest jednostajnie ciągła na $ \R^n $. Dobierzmy $ \delta>0 $ tak, aby $ |g(\xx)-g(\zz)|<\eta $ dla $ \|\xx-\zz\|<\delta $. Niech $ \eps\in (0,\delta) $. Ponieważ nośnik funkcji $ \varphi_\eps $ jest zwarty w kuli $ B(0,\eps) $, aponadto $ \int \varphi_\eps=1 $, więc

\[ \begin{multline*} |g\ast\varphi_\eps(\xx)-g(\xx)| = \biggl|\int_{B(\zero, \eps)}g(\xx-\zz)\varphi_\eps(\zz)\, d\lambda_n(\zz)\, - \, g(\xx)\int_{B(\zero, \eps)}\varphi_\eps(\zz)\, d\lambda_n(\zz)\biggr| \\ \le \int_{B(\zero, \eps)}|g(\xx-\zz)-g(x)|\cdot \varphi_\eps(\zz)\, d\lambda_n(\zz) < \eta \int_{B(\zero,\eps)}\varphi_\eps(\zz)\, d\lambda_n(\zz) = \eta\, . \end{multline*} \]

Zatem $ g\ast\varphi_\eps\rightrightarrows g $ wprost z definicji zbieżności jednostajnej. Ponieważ dla $ \eps<1 $ nośnik funkcji $ g\ast\varphi_\eps $ zawiera się w kuli $ B(\zero,r+1) $, więc ze zbieżności jednostajnej $ g\ast\varphi_\eps\rightrightarrows g $ wynika także zbieżność $ g\ast\varphi_\eps\to g $ w $ L^1(\R^n) $.□

Lemat Funkcje ciągłe o zwartym nośniku w $ \R^n $ tworzą zbiór gęsty w $ L^1(\R^n) $. (#)
Dowód: Ustalmy $ f\in L^1 $. Niech $ \eta>0 $ będzie dowolną liczbą. Przybliżając część dodatnią $ \plus f $ i część ujemną $ \minus f $ funkcji $ f $ niemalejącymi ciągami funkcji prostych (patrz Twierdzenie [link]), znajdziemy funkcję prostą $ h $ taką, że $ \|f-h\|_1<\eta $. Bez zmniejszenia ogólności, posługując się twierdzeniem o bezwzględnej ciągłości całki, można założyć, że $ h $ jest skończoną kombinacją liniową funkcji charakterystycznych zbiorów mierzalnych ograniczonych.

Z uwagi na nierówność trójkąta w $ L^1 $ wystarczy więc wykazać, że dla dowolnego $ \eps>0 $ i $ h=\charfn_A $, gdzie $ A\in \Leb(\R^n) $ jest zbiorem ograniczonym, istnieje funkcja ciągła $ g $, znikająca poza pewną kulą w $ \R^n $ i taka, że $ \|h-g\|_1<\eps $.

Z Twierdzenia [link] wynika, że istnieje zbiór zwarty $ K\subset A $ i zbiór otwarty $ \Omega\supset A $ takie, że $ \lambda_n(\Omega\setminus K)<\eps $. Z lematu Urysohna wynika, że istnieje funkcja ciągła $ g\colon \R^n\to [0,1] $ taka, że $ g\equiv 1 $ na $ K $ i $ g\equiv 0 $ na $ \R^n\setminus \Omega $. Mamy

\[ \|h-g\|_1=\int_{R^n}|\charfn_A-g|\, d\lambda_n = \int_{\Omega\setminus K}|\charfn_A-g|\, d\lambda_n \le \int_{\Omega\setminus K}1\, d\lambda_n =\lambda_n(\Omega\setminus K) <\eps\, . \]

Dowód lematu jest zakończony.□

Możemy teraz łatwo wykazać zapowiedziane wcześniej twierdzenie o aproksymacji funkcji całkowalnych za pomocą splotu z jedynką aproksymatywną.

Twierdzenie Niech $ (\varphi_\eps)_{\eps>0} $ będzie jedynką aproksymatywną. Dla każdej funkcji $ f\in \L^1(\R^n) $ splot $ f\ast\varphi_\eps\to f $ w $ L^1(\R^n) $ dla $ \eps\to 0 $.
Dowód: Ustalmy $ f\in L^1(\R^n) $ i liczbę $ \eta>0 $. Posługując się Lematem [link], wybierzmy taką funkcję ciągłą o zwartym nośniku $ g\colon \R^n\to\R $, żeby $ \|f-g\|_1<\frac\eta 3 $. Z nierówności trójkąta,

\[ \|f\ast\varphi_\eps-f\|_{{L^1}}\le \|(f-g)\ast\varphi_\eps\|_{{L^1}} + \|g\ast\varphi_\eps-g\|_{{L^1}} + \|g-f\|_{{L^1}}\, . \]

Trzeci składnik nie przekracza $ \eta/3 $ wskutek doboru $ g $. Drugi składnik jest mniejszy od $ \eta/3 $ dla wszystkich $ \eps $ dostatecznie małych wobec Lematu [link]. Wreszcie, dla każdego $ \eps>0 $, na mocy nierówności 5.46 z tezy Twierdzenia [link],

\[ \|(f-g)\ast\varphi_\eps\|_1\le \|f-g\|_1\cdot \|\varphi_\eps\|_1 = \|f-g\|_1 <\frac \eta/3. \]

Ostatecznie,

\[ \|f\ast\varphi_\eps-f\|_{{L^1}}<\frac \eta 3 +\frac \eta 3 +\frac \eta 3 = \eta\, . \]

Dowód twierdzenia jest zakończony. □

Często wygodnie jest wiedzieć, że funkcje całkowalne można aproksymować nie tylko funkcjami gładkimi, ale także funkcjami gładkimi o zwartym nośniku. Nietrudno to wywnioskować z ostatniego twierdzenia.

Wniosek Dla każdej funkcji $ f\in L^1(\R^n) $ i każdej liczby $ \eta>0 $ istnieje funkcja $ \psi \in C_0^\infty (\R^n) $ taka, że $ \|f-\psi\|_1<\eta $.
Dowód: Niech $ \zeta\colon \R^n\to [0,1] $ będzie ustaloną funkcją klasy $ C_0^\infty(\R^n) $, taką, że $ \zeta\equiv 1 $ na kuli $ B(\zero,1) $ i $ \zeta\equiv 0 $ poza kulą $ B(\zero,2) $. Połóżmy $ \zeta_R(\xx)=\zeta(\xx/R) $ dla $ \xx\in \R^n $ i $ R>0 $.

Ustalmy $ \eta>0 $ i dobierzmy $ \eps>0 $ tak, aby $ \|f-f\ast\varphi_\eps\|_1<\frac \eta 2 $. Nietrudno sprawdzić, że dla każdej funkcji $ g\in L^1 $ iloczyn $ g\cdot \zeta_R\to g $ w $ L^1 $ dla $ R\to\infty $. Istotnie,

\[ \|g\cdot \zeta_R- g \|_1=\int_{\R^n\setminus B(\zero,R)} |g\cdot \zeta_R- g|\, d\lambda_n \le 2 \int _{\R^n\setminus B(\zero,R)} |g|\, d\lambda_n\to 0, \qquad R\to\infty\, , \]

gdyż $ \int_{B(\zero,R)}|g|\, d\lambda_n\to \int_{\R^n}|g|\, d\lambda_n<\infty $.

Zatem, dla odpowiedniego małego $ \eps>0 $ i odpowiednio dużego $ R>0 $ (dobranego do $ \eps $) jest

\[ \|f-\zeta_R\cdot (f\ast\varphi_\eps)\|_1\le \|f-f\ast\varphi_\eps\|_1+ \|f\ast\varphi_\eps-\zeta_R\cdot (f\ast\varphi_\eps)\|_1 <\frac \eta 2+ \frac \eta 2=\eta\, . \]

Funkcja $ \zeta_R\cdot (f\ast\varphi_\eps) $ jest oczywiście gładka i ma zwarty nośnik. □

Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji wielu zmiennych

Metodą bardzo podobną do opisanej w poprzednim podrozdziale można udowodnić ogólną wersję twierdzenia Weierstrassa o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami. Czytelnik zna ją już dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

Twierdzenie [Weierstrassa o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłych wielomianami] Niech $ K\subset\R^n $ będzie zbiorem zwartym. Dla każdej funkcji ciągłej $ f\colon K\to\R $ i każdej liczby $ \eps>0 $ istnieje wielomian $ P\colon \R^n\to\R $ taki, że

\[ \sup_{\mxx\in K} |f(\xx)-P(\xx)|<\eps. \]

(#)

W dowodzie wykorzystamy jako narzędzie splot. Posłużymy się tak zwanymi wielomianami Tonellego. Zbiór wszystkich funkcji ciągłych na $ K $ o wartościach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem $ C(K) $.

    Dowód. Ponieważ złożenie wielomianu z funkcją afiniczną $ \xx\mapsto \lambda \cdot \xx + \bb $ jest wielomianem, więc wystarczy wykazać twierdzenie przy dodatkowym założeniu $ K\subset B(\zero,\frac 14) $. Ustalmy $ f\in C(K) $. Korzystając z twierdzenia Tietzego o przedłużaniu możemy założyć, że $ f $ jest określona na całej przestrzeni $ \R^n $ i znika poza kulą $ B(\zero, \frac 12) $.

    Krok 1: definicja wielomianów Tonellego. Połóżmy

\[ \begin{gather*} t_N(\xx)= (1-\|\xx\|^2)^N, \qquad \xx\in \R^n, \quad N=1,2,\ldots,\\ d_{N,n}=\int_{B^n(\zero,1)}t_N(\xx)\, d\lambda_n(\xx)\\ \end{gather*} \]

Sprawdzimy, że

\[ \begin{equation} d_{N,n}\ge \frac{1}{N^n} \qquad\mbox{dla $N>n$.}\label{dnn} \end{equation} \]

W tym celu oszacujemy (Można wyrazić $ d_{N,n} $ przez funkcje $ \Gamma $ i $ B $ Eulera, posługując się regułą Cavalieri'ego.) całkę, definiującą $ d_{N,n} $, stosując twierdzenie Fubiniego (podobnie jak w dowodzie Twierdzenia [link]). Oznaczając $ \xx=(\xx',x_n) $, gdzie $ \xx'\in\R^{n-1} $, otrzymujemy po niezbyt skomplikowanym rachunku

\[ \begin{eqnarray} d_{N,n}&=&\int_{B^n(\zero,1)}t_N(\xx)\, d\lambda_n(\xx)\nonumber \\&=&\int_{-1}^1 \biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} (1-x_n^2-\|\xx'\|^2)^{N}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ & = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^N\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} \biggl(1-\Big\|\frac{\xx'}{\sqrt{1-x_n^2}}\Big\|^2\biggr)^{N}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ & = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{N+\frac{n-1}2}\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \Big(1-\|\yy'\|^2\Big)^{N}\, d\lambda_{n-1}(\yy')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ & = & 2 d_{N,{n-1}}\int_{0}^1 (1-x_n^2)^{N+\frac{n-1}2} dx_n \label{rekurw} \end{eqnarray} \]

Dokonaliśmy wyżej linowej zamiany zmiennych: w wewnętrznej całce, przy ustalonym $ x_n $, podstawiliśmy $ \xx'=(1-x_n^2)^{1/2}\cdot \yy' $; jest to przekształcenie liniowe przestrzeni $ \R^{n-1} $, a jego jakobian wynosi $ (1-x_n^2)^{(n-1)/2} $.

Ponieważ $ 1-x_n^2>1-x_n $ na $ (0,1) $, więc z rekurw otrzymujemy

\[ \begin{multline*} d_{N,n} = 2 d_{N,{n-1}}\int_{0}^1 (1-x_n^2)^{N+\frac{n-1}2} dx_n \ge 2 d_{N,{n-1}} \int_0^1 (1-x_n)^{N+\frac{n-1}2}\, dx_n\\ = \frac{2 d_{N,n-1}}{N+\frac{n-1}2} > \frac{d_{N,n-1}}N\qquad\mbox{dla $N>n>\frac{n-1}2$.} \end{multline*} \]

Stąd, przez indukcję,

$$d_{N,n}\ge \frac{d_{N,1}}{N^{n-1}}=\frac 2{N^{n-1}}\int_0^1(1-x^2)^N\, dx>\frac{2}{N^{n-1}}\int_0^1(1-x)^N\, dx=\frac{2}{(N+1)N^{n-1}}>N^{-n}.$$

Połóżmy teraz

\[ \begin{equation} \label{TNF} T_Nf(\xx) =\frac 1{d_{N,n}}\cdot t_N\ast f(\xx)=\frac 1{d_{N,n}}\int_{\R^n} t_N(\xx-\zz) f(\zz)\, d\lambda_n(\zz), \qquad \xx\in B(\zero,\tfrac 12). \end{equation} \]

Przy ustalonym $ \zz $ funkcja podcałkowa jest wielomianem zmiennej $ \xx=(x_1,\ldots,x_n) $. Dlatego funkcja $ T_Nf $ jest wielomianem zmiennej $ \xx $. Ponieważ $ f\equiv 0 $ poza kulą $ B(\zero,\frac 12) $, więc całkowanie w TNF odbywa się w istocie tylko po $ B(\zero,\frac 12) $. Jeśli $ \xx,\zz\in B(0,\frac 12) $, to $ \xx-\zz\in B(0,1) $. Dlatego, z przemienności splotu,

\[ \begin{equation} \label{TNF2} T_Nf(\xx) = \frac 1{d_{N,n}}\int_{B(\zero,1)} t_N(\yy) f(\xx-\yy)\, d\lambda_n(\yy) \end{equation} \]

    Krok 2. Zbieżność wielomianów Tonellego. Ustalmy $ \eps>0 $. Funkcja $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ \R^n $, więc istnieje liczba $ \delta>0 $ taka, że dla $ \|\xx-\zz\|<\delta $ jest $ |f(\xx)-f(\zz)|<\eps $. Wprost z definicji funkcji $ t_N $ i liczb $ d_{N,n} $ otrzymujemy

\[ f(\xx)= f(\xx)\cdot \frac 1{d_{N,n}}\int_{B(\zero,1)} t_N(\yy) \, d\lambda_n(\yy), \]

więc dla dowolnego punktu $ \xx\in B(\zero,\frac 12) $ jest

\[ \begin{eqnarray*} |f(\xx)-T_N f(\xx)| &=& \frac 1{d_{N,n}}\biggl|\int_{B(\zero,1)} t_N(\yy) \cdot \big(f(\xx)-f(\xx-\yy)\big)\, d\lambda_n(\yy)\biggr|\\ &\le & I_1 + I_2, \end{eqnarray*} \]

gdzie

\[ \begin{align*} I_1&=\frac1{d_{N,n}}\int_{\|\myy\|<\delta} t_N(\yy) \cdot \big|f(\xx)-f(\xx-\yy)\big|\, d\lambda_n(\yy)\, ,\\ I_2&=\frac 1{d_{N,n}}\int_{\delta\le\|\myy\|\le 1} t_N(\yy) \cdot \big|f(\xx)-f(\xx-\yy)\big|\, d\lambda_n(\yy)\, . \end{align*} \]

Całkę $ I_2 $ szacujemy brutalnie, zastępując moduł różnicy sumą modułów, a następnie uwzględniamy oszacowanie dnn liczb $ d_{N,n} $. Oto efekt:

\[ \begin{eqnarray*} I_2&\le & 2\sup |f| \cdot \frac 1{d_{N,n}}\int_{\delta\le\|\myy\|\le 1} t_N(\yy) \, d\lambda_n(\yy)\\ & \le & 2\sup |f|\cdot N^n \int_{\delta\le\|\myy\|\le 1} (1-\delta^2)^N \, d\lambda_n(\yy)\\ & \le & 2\omega_n\sup |f| \cdot N^n (1-\delta^2)^N\to 0\qquad\mbox{dla $N\to\infty$.} \end{eqnarray*} \]

Dlatego całka $ I_2<\eps $ dla wszystkich $ N>N_0=N_0(\eps,f,\delta,n) $; uzyskane oszacowanie $ I_2 $ jest jednostajne względem $ \xx $, więc oczywiście $ N_0 $ nie zależy\/ od $ \xx\in B(\zero,\frac 12) $.

Szacując $ I_1 $, zauważamy, że w tej całce czynnik $ \big|f(\xx)-f(\xx-\yy)\big| $ jest mały wskutek doboru liczby $ \delta $. Dlatego

\[ \begin{eqnarray*} I_1&\le & \frac\eps{d_{N,n}}\int_{\|\myy\|<\delta} t_N(\yy) \, d\lambda_n(\yy)\\ &\le & \frac\eps{d_{N,n}}\int_{B(\zero,1)} t_N(\yy) \, d\lambda_n(\yy) = \eps \qquad\mbox{dla wszystkich $N\in \N$ i $\xx\in B(\zero,\frac 12)$.} \end{eqnarray*} \]

Ostatecznie więc, $ \sup_{\mxx\in B(\zero,1/2)}|f(\xx)-T_N f(\xx)| <2\eps $ dla wszystkich $ N>N_0 $. □

Czytelnik, który pamięta jeszcze definicję wielomianów Bernsteina i dowód twierdzenia Weierstrassa dla przestrzeni $ C\big([0,1]\big) $, może zwrócić uwagę na podobieństwo obu dowodów. Mówiąc niezbyt precyzyjnie, uśredniamy w nich wartości $ f $ względem pewnej miary unormowanej (inaczej: probabilistycznej) $ \mu_N $, dobranej tak, aby wynik uśrednienia był wielomianem stopnia zależnego od $ N $. Dla dużych $ N $ miara $ \mu_N $ jest niemal skoncentrowana w jednym punkcie. Oszacowanie różnicy między funkcją $ f $ i wielomianem, który powstaje w wyniku jej uśredniania, wykonane jest w obu dowodach tym samym sposobem. Osoba, zainteresowana analizą, zetknie się z taką metodą szacowania sum lub całek wwielu innych zagadnieniach.