Topologia w $\mathbb{R}^n$. Zbiory otwarte, domknięte i zwarte

Przestrzeń kartezjańska $ n $-wymiarowa, $ \R^n $, to iloczyn $ n $ kopii prostej rzeczywistej $ \R $. Elementy przestrzeni $ \R^n $ będziemy zamiennie nazywać punktami lub wektorami i oznaczać je $ \tl{x}=(x_1,\ldots,x_n) $, $ \yy=(y_1,\ldots,y_n) $ itp., starając się - w skrypcie, nie na tablicy - konsekwentnie używać pogrubionych liter dla zasygnalizowania, że chodzi o punkt w $ \R^n $, niepogrubionych zaś dla oznaczenia współrzędnych punktu.

Norma i iloczyn skalarny

Definicja [iloczyn skalarny] (Standardowym) iloczynem skalarnym w $ \R^n $ nazywamy funkcję

\[ 	\R^n\times\R^n \ni (\xx,\yy)\longmapsto \langle \xx, \yy\rangle :=\sum_{i=1}^n x_iy_i\in \R\,. 	\]

     Jak wiadomo z wykładów Algebry Liniowej, iloczyn skalarny jest dwuliniowy (liniowy względem każdej zmiennej z osobna), symetryczny (tzn. $ \langle\xx,\yy\rangle=\langle \yy,\xx\rangle $ dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $) i dodatnio określony, tzn. $ \langle \xx,\xx\rangle>0 $ dla wszystkich $ \xx\not=\zero\in\R^n $.

Definicja [norma euklidesowa] Funkcję

\[ \R^n\ni \xx\mapsto \|x\|_2\equiv\|x\|=\biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2\biggr)^{1/2}\ \in\  [0,\infty) \]

nazywamy normą euklidesową.

Przymiotnik euklidesowa, a także dolny indeks 2, będziemy zwykle opuszczać, pisząc po prostu $ \|\xx\| $. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że dla $ n=2 $ (odpowiednio, $ n=3 $) liczba $ \|\xx\| $ jest po prostu odległością punktu $ \xx $ od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie $ \R^2 $ (odpowiednio, w trójwymiarowej przestrzeni $ \R^3 $).

Liczbę $ \|\xx-\yy\| $ nazywamy, zgodnie z naturalną geometryczną interpretacją, odległością punktów $ \xx $ i $ \yy\in \R^n $

Stwierdzenie [własności normy i iloczynu skalarnego w $ \R^n $] $ \phantom{a} $ (#)

  1. (Nierówność trójkąta). Dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $ jest
    \[ 	\|\xx+\yy\|\le \|\xx\|+\|\yy\|\, .  	\]
  2. (Jednorodność). Dla wszystkich $ t\in \R $ i $ \xx\in\R^n $ jest $ \|t\, \xx\|=|t|\cdot \|\xx\| $.
  3. Równość $ \|\xx\|=0 $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=\zero\in \R^n $.
  4. (Nierówność Schwarza). Dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $ jest
    \[ \begin{equation} 		\label{nierSchwarza} 		|\langle \xx,\yy\rangle|\le \|\xx\|\cdot \|\yy\|\, , \end{equation} \]

    a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=t\yy $ lub $ \yy=t \xx $ dla pewnego $ t\in \R $.

Dowód: Własności (ii) oraz (iii) są oczywiste. Nierówność Schwarza i nierówność trójkąta Czytelnik miał okazję poznać wcześniej, ale naszkicujemy dla porządku krótkie dowody.

Zaczniemy od nierówności Schwarza. Niech $ t\in \R $. Z definicji normy oraz dwuliniowości i symetrii iloczynu skalarnego otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*} 	0 &\le & \|\xx+t\yy\|^2 = \langle \xx+t\yy ,   \xx+t\yy \rangle\\ 	& = &  \|\xx\|^2+2t\langle \xx, \yy\rangle + t^2 \|\yy\|^2\, . \end{eqnarray*} \]

Trójmian kwadratowy $ P(t)=\|\xx\|^2+2t\langle \xx, \yy\rangle + t^2 \|\yy\|^2 $ jest więc nieujemny dla każdego $ t\in\R $. Wyróżnik tego trójmianu musi zatem być niedodatni, tzn.

\[ 4 \langle \xx, \yy\rangle^2 - 4\|\xx\|^2\cdot \|\yy\|^2\le 0\, . \]

Stąd już wynika nierówność nierSchwarza. Zauważmy, że równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=\zero $ lub $ \yy=\zero $ lub gdy $ P(t) $ ma pierwiastek, tzn. gdy $ \xx=t\yy $ dla pewnego $ t\in \R $. To jest równoważne warunkowi, podanemu w punkcie (iv).

Nierówność trójkąta łatwo wyprowadzić z nierówności Schwarza: ponieważ $ \langle \xx, \yy\rangle\le |\langle \xx, \yy\rangle|\le \|\xx\|\cdot \|\yy\| $, więc jest

\[ \begin{eqnarray*} \bigl(\|\xx\|+\|\yy\|\bigr)^2 - \|\xx+\yy\|^2 & = &\|\xx\|^2+  2\|\xx\|\cdot \|\yy\|+ \|\yy\|^2-\bigl(             \|\xx\|^2+  2\langle \xx, \yy\rangle + \|\yy\|^2\bigr) \\ &=& 2\bigl(\|\xx\|\cdot \|\yy\|-  \langle \xx, \yy\rangle \bigr)\\  &\ge& 0.          \end{eqnarray*} \]

Dowód stwierdzenia jest zakończony. □

Uwaga Ogólnie, normą w $ \R^n $ nazywa się każdą funkcję $ \|\cdot\|\colon \R^n\to [0,\infty) $, która spełnia warunki (i)-(iii) Stwierdzenia [link]. Zauważmy, że w dowodzie tego stwierdzenia wystarczyło korzystać ze związku $ \|\xx\|^2=\langle \xx,\xx\rangle $ i z tego, że przekształcenie $ (\xx,\yy)\mapsto\langle\xx,\yy\rangle $ jest dwuliniowe, symetryczne i dodatnio określone. Nie było ważne, że chodzi akurat o standardowy iloczyn skalarny. Ponadto, normy można definiować w dowolnych przestrzeniach liniowych, także nieskończonego wymiaru. Przykład, bardzo ważny zarówno w analizie, jak i w topologii, to tzw. norma supremum

\[ 	\|f\|_\infty=\sup_{x\in I} |f(x)|\, , 	\]

określona na przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na odcinku domkniętym $ I\subset \R $. Czytelnik zna tę normę z wykładów Analizy I (patrz rozdział o zbieżności jednostajnej). Inne przykłady norm spotkamy wielokrotnie później.

Wniosek Dla każdego przekształcenia dwuliniowego, symetrycznego i dodatnio określonego

\[ \R^n\times\R^n \ni (\xx,\yy)\longmapsto \langle \xx, \yy\rangle \in \R \]

funkcja $ \xx\mapsto\|\xx\|=\langle \xx,\xx\rangle^{1/2} $ jest normą na przestrzeni $ \R^n $.

Można podać inne przykłady norm.

Przykład Dla $ p\in [1,\infty) $ połóżmy

\[ 	\|\xx\|_p=\biggl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\biggr)^{1/p}, 	\]

a dla $ p=\infty $ niech

\[ \|\xx\|_\infty=\max_{i=1,\ldots,n} |x_i|\, . \]
Zadanie Wykazać, że $ \|\xx\|_p $ jest normą dla każdego $ p\in [1,\infty] $.

    Wskazówka. Dla dowodu nierówności trójkąta przypomnieć sobie nierówność H\"oldera izauważyć, że $ |x_i+y_i|^p\le |x_i|\cdot |x_i+y_i|^{p-1} + |y_i|\cdot |x_i+y_i|^{p-1} $.

Zadanie Czy dla $ p\not =2 $ norma $ \|\cdot\|_p $ pochodzi od pewnego (niekoniecznie standardowego) iloczynu skalarnego na $ \R^n $?     Wskazówka. W każdym równoległoboku suma kwadratów długości obu przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków. Zapisać to twierdzenie w języku normy i spróbować je wykorzystać.

Kule. Zbiory otwarte i domnkięte.

Definicja Kulą otwartą o środku $ \xx\in\R^n $ i promieniu $ r>0 $ nazywamy zbiór

\[ 	B(\xx, r)=\{\yy\in \R^n\colon \|\yy-\xx\|< r\}\, . 	\]

Zbiór $ \overline{B}(\xx, r)=\{\yy\in \R^n\colon \|\yy-\xx\|\le r\} $ to kula domknięta o środku $ \xx $ i promieniu $ r $.

Dla $ n=1 $ kule są po prostu przedziałami: norma euklidesowa w $ \R $ to wartość bezwzględna liczby, zaś warunki $ |y-x|<r $ i $ y\in (x-r,x+r) $ są równoważne. Kule w normie euklidesowej na płaszczyźnie $ \R^2 $ to koła: warunek $ (y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2< r^2 $ oznacza, że $ \yy=(y_1,y_2) $ leży wewnątrz okręgu o środku w punkcie $ \xx=(x_1,x_2) $ i promieniu $ r>0 $.

Definicja (#) Zbiór $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ \xx\in \Omega  $ istnieje promień $ r>0 $ taki, że $ B(\xx,r)\subset \Omega $.

Inaczej mówiąc, zbiór otwarty to taki zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera pewną kulę otwartą wokół tego punktu.

Przykład Cała przestrzeń $ \R^n $ jest zbiorem otwartym (dla każdego $ \xx\in \Omega=\R^n $ można wziąć w warunku z definicji np. $ r=2011 $). Zbiór pusty jest otwarty; warunek zdefinicji jest wtedy pusto spełniony. Kula otwarta $ B(\aa,r) $ jest zbiorem otwartym: jeśli $ \xx\in B(\aa,r) $ i $ 0<\rho< r-\|\xx-\aa\| $, to kula $ B(\xx,\rho)\subset B(\aa,r) $, gdyż dla $ \yy\in B(\xx,\rho) $ mamy z nierówności trójkąta

\[ \|\yy-\aa\|\le \|\yy-\xx\|+\|\xx-\aa\| < \rho + \|\xx-\aa\|< r-\|\xx-\aa\| +  \|\xx-\aa\| =r\, . \]

(Proszę samodzielnie zrobić rysunek, ilustrujący to oszacowanie). □

Stwierdzenie [własności zbiorów otwartych]$ \phantom{a} $ (#)

  1. Jeśli zbiory $ \Omega_i\subset \R^n $, gdzie $ i\in I $, a $ I $ jest dowolnym zbiorem, są otwarte, to zbiór $ \displaystyle\bigcup_{i\in I}\Omega_i $ jest otwarty.
  2. Jeśli zbiory $ \Omega_1, \Omega_2,\ldots, \Omega_N \subset \R^n $ są otwarte, to zbiór $ \displaystyle\bigcap_{i=1}^N\Omega_i $ jest otwarty.

Zauważmy od razu, że własność (ii) nie zachodzi dla nieskończonych rodzin zbiorów otwartych: przecięcie wszystkich kul $ B(\zero,1/j)\subset \R^n $, gdzie $ j=1,2,\ldots $, jest zbiorem jednopunktowym $ \{\zero\} $, a zbiór jednopunktowy w $ \R^n $ nie jest otwarty (bo każda kula otwarta w $ \R^n $ jest zbiorem nieskończonym).

Dowód: Wykażemy najpierw pierwszą własność. Jeśli $ \xx\in \bigcup_{i\in I}\Omega_i $, to $ \xx\in \Omega_{i_0} $ dla pewnego $ i_0\in I $. Ponieważ zbiór $ \Omega_{i_0} $ jest otwarty, więc istnieje $ r>0 $ takie, że $ B(\xx,r)\subset \Omega_{i_0} $. Zatem, $ B(\xx,r)\subset \bigcup_{i\in I}\Omega_i $, a więc zbiór $ \bigcup_{i\in I}\Omega_i $ jest otwarty.

Jeśli $ \xx\in \bigcap_{i=1,\ldots, N}\Omega_i $, to $ \xx\in \Omega_{i} $ dla każdego $ i=1,2,\ldots, N $. Zatem, wobec otwartości $ \Omega_i $, znajdziemy liczby $ r_i>0 $ (gdzie $ i=1,2,\ldots, N $) takie, że $ B(\xx,r_i)\subset \Omega_i $. Niech $ r>0 $ będzie najmniejszą (Tu właśnie korzystamy z tego, że zbiorów $ \Omega_i $ jest tylko skończenie wiele!) spośród liczb $ r_1,r_2,\ldots, r_N $. Mamy

\[ B(\xx,r)\subset B(\xx,r_i)\subset \Omega_i\qquad\mbox{dla każdego $i=1,2,\ldots N$,} \]

a więc $ B(\xx,r)\subset \bigcap_{i=1,\ldots, N}\Omega_i  $. □

Uwaga Rodzinę zbiorów otwartych w $ \R^n $ nazywamy topologią (euklidesową).
Definicja (#) Zbiór $ F\subset \R^n $ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie $ \R^n\setminus F $ jest zbiorem otwartym.

Cała przestrzeń $ \R^n $ i zbiór pusty są domknięte, istnieją więc zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte. Nietrudno sprawdzić, że każda kula domknięta jest zbiorem domkniętym. Nie należy oczywiście uważać, że każdy zbiór w $ \R^n $ jest albo otwarty, albo domknięty: np. przedział $ [0,1)\subset \R $ nie jest ani domknięty, ani otwarty. Podobnie, koło otwarte $ B(\zero,1)\subset \R^2 $ z dołączonym punktem $ (1,2) $ nie jest ani domknięte, ani otwarte.

Korzystając z praw de Morgana (dopełnienie iloczynu zbiorów jest sumą dopełnień, a dopełnienie sumy jest iloczynem dopełnień) i definicji zbioru domkniętego, otrzymujemy natychmiast następujący odpowiednik Stwierdzenia [link].

Stwierdzenie [własności zbiorów domkniętych]$ \phantom{a} $ (#)

  1. Jeśli zbiory $ F_i\subset \R^n $, gdzie $ i\in I $, a $ I $ jest dowolnym zbiorem, są domknięte, to zbiór $ \displaystyle\bigcap_{i\in I}F_i $ jest domknięty.
  2. Jeśli zbiory $ F_1, F_2,\ldots, F_N \subset \R^n $ są domknięte, to zbiór $ \displaystyle\bigcup_{i=1}^NF_i $ jest domknięty. □

Podamy teraz definicję zbieżnego ciągu punktów przestrzeni $ \R^n $. Czytelnik miał już z nią do czynienia dla $ n=2 $, gdy mówiliśmy o zbieżności ciągów liczb zespolonych.

Definicja Mówimy, że ciąg $ (\xx_j) \subset \R^n $ jest zbieżny do punktu $ \xx\in\R^n $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $ dla $ j\to\infty $.

Definicja ma, jak widać, bardzo naturalny sens: zbieżność $ \xx_j\to\xx $ oznacza, że odległości punktów $ \xx_j $ i $ \xx $ są zbieżne do zera dla $ j\to\infty $. Okazuje się, że badanie zbieżności ciągów punktów $ \R^n $ można sprowadzić do badania zbieżności ciągów poszczególnych współrzędnych tych punktów. (Wnikliwy Czytelnik zechce zauważyć, że do określenia pojęcia ciągu zbieżnego nie jest potrzebna metryka - wystarczy topologia. Jednak w analizie zwykle wygodniej posługiwać się jest normą lub odległością.)

Stwierdzenie Niech $ \xx_j=(x_{j,1},x_{j,2},\ldots,x_{j,n}) $ dla $ j\in \N $. Następujące warunki są równoważne:

  1. Ciąg $ (\xx_j) \subset \R^n $ jest zbieżny do punktu $ \xx=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\R^n $.
  2. Dla każdego $ i=1,2,\ldots, n\,  $ jest $ \, \lim_{j\to\infty }x_{j,i}=x_i $.

(#)

Dowód: Dla każdego $ i_0=1,2,\ldots, n\,  $ jest

\[ \begin{equation} \label{zbciagn}                       0\le |x_{j,i_0}-x_{i_0}|\le \biggl(\sum_{i=1}^n |x_{j,i}-x_i|^2\biggr)^{1/2}=\|\xx_j-\xx\|.      \end{equation} \]

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach, warunek (i) pociąga za sobą %$ \lim_{j\to\infty} |x_{j,i_0}-x_{i_0}| =0  $, tzn. $ \lim_{j\to\infty} x_{j,i_0}=x_{i_0} $.

Na odwrót, jeśli każdy z $ n $ składników skończonej sumy w zbciagn zbiega do zera dla $ j\to \infty $, to, wobec arytmetycznych własności granicy ciągu i ciągłości pierwiastka, ciąg $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $ dla $ j\to \infty $. Zatem, warunek (ii) pociąga za sobą (i). □

Podamy jeszcze wygodną charakteryzację zbiorów domkniętych przestrzeni $ \R^n $.

Stwierdzenie (#) Następujące warunki są równoważne:

  1. Zbiór $ F\subset \R^n $ jest domknięty.
  2. Dla każdego ciągu $ (\xx_j)\subset F $, który jest zbieżny, zachodzi warunek $ \xx=\lim \xx_j\in F $.
Dowód: Obu implikacji (i) $ \Rightarrow $ (ii) oraz (ii) $ \Rightarrow $ (i) dowiedziemy przez zaprzeczenie.

Załóżmy najpierw, że $ F $ jest domknięty, ale warunek (ii) nie zachodzi. Istnieje wtedy ciąg $ (\xx_j)\subset F $, który jest zbieżny do punktu $ \xx\in \Omega= \R^n\setminus F $. Z definicji zbioru domkniętego wynika, że $ \Omega  $ jest zbiorem otwartym, tzn. dla pewnego $ r>0 $ kula $ B(\xx,r) $ jest zawarta w $ \Omega $ (i oczywiście nie ma punktów wspólnych ze zbiorem $ F=\R^n\setminus\Omega $). Jednak $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $, a więc $ \|\xx_j-\xx\|<r $ dla wszystkich $ j $ dostatecznie dużych; dla takich $ j $ mamy $ \xx_j\in B(\xx,r) $, tzn. $ \xx_j\not \in F $, sprzeczność.

Na odwrót, załóżmy, że (ii) zachodzi, ale $ F $ nie jest domknięty. Wówczas zbiór $ \Omega= \R^n\setminus F $ nie jest otwarty. Zaprzeczając warunkowi, podanemu w Definicji [link], wskażemy taki punkt $ \xx\in \Omega $, że dla każdego $ j\in \N $ kula $ B(\xx,1/j) $ zawiera pewien punkt $ \xx_j\not\in\Omega $, tzn. punkt $ \xx_j\in F $. (Można myśleć o tym tak: punkt $ \xx $ jest `świadkiem', że zbiór $ \Omega $ nie jest owtarty, natomiast punkt $ \xx_j $ jest `świadkiem', że kula $ B(\xx, 1/j) $ nie jest cała zawarta w $ \Omega $.) Wtedy $ \|\xx_j-\xx\|<1/j $, a więc $ F\ni \xx_j\to \xx\in \Omega=\R^n\setminus F $. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem: warunek (ii) nie zachodzi. □

Uwaga Czytelnik mógłby zadać pytanie: czy, zmieniając w definicjach normę euklidesową $ \|\cdot\|\equiv\|\cdot\|_2 $ na jakąś inną, otrzymalibyśmy w $ \R^n $ tę samą rodzinę zbiorów otwartych (i tę samą rodzinę zbiorów domkniętych)? Okazuje się, że tak: to, czy zbiór jest otwarty, nie zależy od tego, jaką normą się posłużymy, określając kule w Definicji [link]. Wrócimy do tej sprawy później, mówiąc o równoważności norm\/ w $ \R^n $. Najpierw jednak potrzebne nam będą pojęcia zbioru zwartego i funkcji ciągłej.

Zbiory zwarte.

Mówiąc o własnościach funkcji ciągłych jednej zmiennej rzeczywistej, wprowadziliśmy bardzo ważną klasę zbiorów zwartych. Tak samo definiuje się zbiory zwarte w $ \R^n $.

Definicja Zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu $ (\xx_j) \subset K $ można wybrać podciąg $ (\xx_{j_k}) $ zbieżny do pewnego punktu $ \xx\in K $.
Definicja Zbiór $ A\subset\R^n $ nazywa się ograniczony, jeśli zawiera się w pewnej kuli.
Stwierdzenie Następujące warunki są równoważne:

  1. Zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty.
  2. Zbiór $ K\subset \R^n $ jest domknięty i ograniczony.
Dowód: Dla każdego zbioru zwartego zachodzi warunek (ii) Stwierdzenia [link] (gdyż dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co cały ciąg). Dlatego zwartość pociąga za sobą domkniętość.

Gdyby zbiór $ K $ był zwarty i nieograniczony, to dla każdego $ j $ znaleźlibyśmy punkt $ \xx_j\in K\setminus B(\zero, j) $. Bez zmniejszenia ogólności, przechodząc w razie potrzeby do podciągu zbieżnego, można założyć, że $ \xx_j\to \xx\in K $. Wtedy jednak, z nierówności trójkąta i definicji granicy,

\[ j\le \|\xx_j\| \le \|\xx\|+\|\xx_j-\xx\|\to \|\xx\| < \infty\qquad \mbox{dla $j\to \infty$.} \]

To jest sprzeczność, gdyż lewa strona nie jest ograniczona.

Załóżmy teraz, że zachodzi (ii). Niech $ (\xx_j)\subset K $. Aby wskazać podciąg $ (\xx_j) $ zbieżny do pewnego punktu w $ K $, posłużymy się Stwierdzeniami [link] i [link].

Dla każdego numeru $ i=1,2,\ldots, n $ ciąg współrzędnych $ (x_{j,i})_{j=1,2,\ldots} $ jest ograniczonym ciagiem liczb rzeczywistych. Możemy wybrać podciąg $ j_{k}' $ tak, aby otrzymać zbieżność na pierwszej współrzędnej, tzn. zbieżność $ x_{j_k',1}\to x_1 $. Następnie, z $ j_k' $ można wybrać kolejny podciąg $ j_k'' $ tak, żeby otrzymać zbieżność także na drugiej współrzędnej, itd. Po $ n $ krokach wybierzemy ostatecznie podciąg $ j_k $ taki, że $ x_{j_k,i}\to x_i $ dla każdego $ i=1,2,\ldots, n $. (Czytelnik być może pamięta, że z podobnym kolejnym wybieraniem podciągów mieliśmy do czynienia w dowodzie twierdzenia Arzeli i Ascoliego - tylko tam proces nie kończył się po $ n $ krokach i trzeba było używać metody przekątniowej.) Na mocy Stwierdzenia [link], $ \xx_{j_k}\to \xx $, a na mocy Stwierdzenia [link] i domkniętości $ K $, punkt $ \xx\in K $. □