Poznamy teraz kolejne twierdzenie, które w ścisły sposób wypowiada naturalne oczekiwanie: jeśli mamy równań, w których występuje
niewiadomych, to `zwykle'
spośród tych niewiadomych można wyznaczyć za pomocą pozostałych
. (Oczywiście nie zawsze tak jest - równania mogą np. być sprzeczne).
Oznaczenia. W tym podrozdziale będziemy rozpatrywać funkcję
![]() |
Punkty będziemy oznaczać literą
, a punkty
- literą
. Różniczka
jest macierzą o
wierszach i
kolumnach; będziemy pisać
![]() |
gdzie ma
wierszy i
kolumn, zaś
jest macierzą kwadratową o
wierszach i tyluż kolumnach. Inaczej mówiąc, zapis
oznacza, że chodzi o różniczkę
jako funkcji zmiennej
, natomiast
traktujemy jako parametr; podobnie interpretujemy
.





![]() |
Istnieją wówczas zbiory otwarte i
oraz funkcja
takie, że
,
, zaś warunek
![]() |
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego
. Ponadto,
![]() |
Nazwa twierdzenia ma następujący sens: w małym otoczeniu takiego punktu , w którym spełnione są założenia, równanie
definiuje funkcję
wsposób uwikłany. Zanim podamy dowód, spójrzmy na dwa proste przykłady (z wieloma innymi Czytelnik spotka się później).



![]() |
dane wzorem dla
oraz
. Równanie
można rozwiązać; zachodzi ono wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
Mamy też oczywiście i
. Widać więc, że w tej sytuacji funkcja
jest określona na całej przestrzeni
i jest liniowa; zachodzi też warunek dh-TFU, opisujący jej różniczkę. (ii). Niech
,
i niech
. Równanie
opisuje elipsę
w
. Mamy
![]() |
W otoczeniu każdego punktu , który ma współrzędną
, spełnione są założenia Twierdzenia [link]. Zatem, istnieją przedziały otwarte
takie, że
,
, a równanie
, rozpatrywane dla
, wyznacza zmienną
jako funkcję
. W tym przykładzie też możemy napisać jawny wzór
![]() |
Wybór znaku zależy od położenia na elipsie, tzn. od znaku
. Widać też, że ważny jest wybór dwóch małych otoczeń
i
: jeśli nie ograniczymy się do małego otoczenia punktu
, to nie wiemy, jaki znak wybrać we wzorze elipsa.
Załóżmy na chwilę, że . Można wtedy wybrać jako
np. przedział
. Zgodnie z wzorem dh-TFU, powinno być
![]() |
Taki właśnie wynik uzyskujemy, różniczkując funkcję , daną wzorem elipsa.
W otoczeniu punktu ,
, elipsa
o równaniu
jest wykresem funkcji
. W otoczeniu punktu
ta sama elipsa jest wykresem funkcji
zmiennej
.
Zauważmy jeszcze, że jeśli i
, to wtedy w otoczeniu punktu
równanie elipsy wyznacza
jako funkcję zmiennej
. Nie kłóci się to z Twierdzeniem [link]. Możemy wszak je zastosować, wybierając inny, nieznikający minor macierzy
. W tym przypadku
i
.
Dowód Twierdzenia [link] Krok 1: zastosowanie twierdzenia o funkcji odwrotnej. Rozpatrzmy funkcję pomocniczą
![]() |
Ponieważ , więc także
. Nietrudno zauważyć, że macierz różniczki funkcji
wygodnie zapisuje się w postaci blokowej,
![]() |
gdzie
![]() |
Posługując się -krotnie rozwinięciem Laplace'a, stwierdzamy, że
![]() |
Zatem, w punkcie spełnione są założenia Twierdzenia [link] (o funkcji odwrotnej). Istnieje więc kula
-wymiarowa
i zbiór otwarty
takie, że
jest bijekcją i funkcja
jest klasy
. Ponadto, dla
jest
.
Krok 2: postać funkcji odwrotnej do . Zapiszmy
![]() |
gdzie i
. Przy tych oznaczeniach,
![]() |
Porównując początkowych współrzędnych tej równości, otrzymujemy
dla
, a następnie
![]() |
Krok 3: opis rozwiązań równania . Jeśli
, to warunek
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy , co oznacza, że
. Z równania
wyznaczyliśmy więc
jako pewną funkcję
.
W kuli zawarty jest pewien produkt
, gdzie
i
są zbiorami otwartymi; można np. wziąć
i
. Wtedy
![]() |
i na zbiorze równanie
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
i
. Zmniejszając w razie potrzeby
, np. biorąc
tak małe, żeby
(tu korzystamy z ciągłości
. Ponieważ
, więc
i dlatego
. Udowodniliśmy więc całą tezę twierdzenia, wyjąwszy wzór dh-TFU.
Krok 4: różniczka funkcji uwikłanej . Na zbiorze
jest
. Różniczkując to równanie stronami i stosując wzór na pochodną złożenia
![]() |
(Czytelnik zechce sam narysować odpowiednie macierze, najlepiej w postaci blokowej), otrzymujemy
![]() |
Dla macierz
jest odwracalna; przenosząc
na prawą stronę równania i mnożąc obie strony przez
, otrzymujemy wzór dh-TFU. □





![]() |
To, że , gdy
, można więc łatwo wykazać przez indukcję względem
. Dla
udowodniliśmy to już w Twierdzeniu [link]. Jeśli
i wiemy z założenia, że dowodzona własność zachodzi dla
, to pierwsze odwzorowanie w trzyfunkcje jest klasy
na mocy założenia indukcyjnego, drugie - też jest klasy
, gdyż
, trzecie zaś jest klasy
(wyrazy macierzy
wyrażają się przez funkcje wymierne od wyrazów macierzy
). Podobnie, jeśli w Twierdzeniu [link] o funkcji uwikłanej założymy, że
, to funkcja uwikłana
, o której mowa w tezie, też jest klasy
.□
Podamy teraz inne przykłady zastosowania twierdzenia o funkcji uwikłanej.



![]() |
nie znika w żadnym punkcie sfery. Dlatego w otoczeniu każdego punktu sferę
można przedstawić jako wykres funkcji
zmiennych,
![]() |
Jeśli , to w pewnym otoczeniu
z równania sfery możemy wyznaczyć zmienną
, dobierając odpowiednio znak w powyższym wzorze.

![]() |
Wtedy
![]() |
a otrzymujemy, zamieniając role
i
. Zbiór
jest domknięty, gdyż
jest ciągła; żaden punkt
nie należy do
, gdyż
. Zatem
. Zbiór
jest otwarty, a funkcja
.
Sprawdzimy, że w każdym punkcie zbioru różniczka funkcji
ma rząd równy
. Niech
. Jeśli
, to
. Jeśli
, ale
, to
i
. Jeśli wreszcie
, to
i wtedy
. Zatem, w otoczeniu każdego punktu
zbiór
można przedstawić jako wykres pewnej funkcji dwóch zmiennych, klasy
(ustaliwszy
, łatwo jest rozwikłać równanie
w sposób jawny - Czytelnik może to robić sam).
Zbiór jest torusem obrotowym: %w płaszczyźnie
we współrzędnych biegunowych
,
równanie
zmienia się w
. Dla każdego kąta
przekrój
pionową półpłaszczyzną
jest więc okręgiem.
Wskażemy jeszcze prosty przykład zastosowania Twierdzenia [link] dla
,
.

![]() |
Zbiór jest częścią wspólną zbiorów
opisanych równaniami
, gdzie
i
są współrzędnymi
, tzn. jest przecięciem elipsoidy trójosiowej i płaszczyzny. Minory
macierzy
![]() |
znikają jednocześnie tylko wtedy, gdy . Na płaszczyźnie
równości
zachodzą jedynie w punkcie
, a więc w każdym punkcie
co najmniej jeden z minorów macierzy
nie znika. Wobec Twierdzenia [link], każdy punkt zbioru
ma takie otoczenie, w którym dwie spośród zmiennych
można wyznaczyć jako funkcję trzeciej zmiennej.