Twierdzenie o funkcji uwikłanej | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Poznamy teraz kolejne twierdzenie, które w ścisły sposób wypowiada naturalne oczekiwanie: jeśli mamy $m$ równań, w których występuje $n+m$ niewiadomych, to `zwykle' $m$ spośród tych niewiadomych można wyznaczyć za pomocą pozostałych $n$ . (Oczywiście nie zawsze tak jest - równania mogą np. być sprzeczne).

Oznaczenia. W tym podrozdziale będziemy rozpatrywać funkcję

$F\colon \R^n\times \R^m\supset \Omega\longrightarrow \R^m, \qquad F\in C^1(\Omega,\R^m).$

Punkty $\R^n$ będziemy oznaczać literą $\xx$ , a punkty $\R^m$ - literą $\yy$ . Różniczka $DF(\xx,\yy)$ jest macierzą o $m$ wierszach i $n+m$ kolumnach; będziemy pisać

$\begin{equation} \label{DxDy} DF(\xx,\yy)= \big(D_{\mxx}F(\xx,\yy),D_{\myy}F(\xx,\yy)\big), \end{equation}$

gdzie $D_{\mxx}F(\xx,\yy)\in M_{m\times n}$ ma $m$ wierszy i $n$ kolumn, zaś $D_{\myy}F(\xx,\yy)\in M_{m\times m}$ jest macierzą kwadratową o $m$ wierszach i tyluż kolumnach. Inaczej mówiąc, zapis $D_{\mxx}F\in M_{m\times n}$ oznacza, że chodzi o różniczkę $F$ jako funkcji zmiennej $\xx$ , natomiast $\yy$ traktujemy jako parametr; podobnie interpretujemy $D_{\myy}F\in M_{m\times m}$ .

Twierdzenie [o funkcji uwikłanej](#) Niech $\Omega$ będzie zbiorem otwartym w $\R^n\times \R^m$ i niech $(\aa,\bb)\in \Omega$ . Załóżmy, że $F\in C^1(\Omega,\R^m)$ i $F(\aa,\bb)=\zero$ . Niech wreszcie

$\det D_{\myy}F(\aa,\bb) \not=0\, .$

Istnieją wówczas zbiory otwarte $U\subset \R^n$ i $V\subset \R^m$ oraz funkcja $h\in C^1(U,\R^m)$ takie, że $\aa\in U$ , $\bb\in V$ , zaś warunek

$\begin{equation} \label{rownanie-TFU} F(\xx,\yy)=\zero, \qquad (\xx,\yy) \in U\times V \subset \Omega \end{equation}$

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\yy=h(\xx)$ dla pewnego $\xx\in U$ . Ponadto,

$\begin{equation} \label{dh-TFU} Dh(\xx)=- \Big(D_{\myy}F(\xx,h(\xx))\Big)^{-1}\cdot D_{\mxx} F(\xx,h(\xx))\, . \end{equation}$

Nazwa twierdzenia ma następujący sens: w małym otoczeniu takiego punktu $(\aa,\bb)\in \R^{n+m}$ , w którym spełnione są założenia, równanie $F(\xx,h(\xx))=0$ definiuje funkcję $\yy=h(\xx)$ wsposób uwikłany. Zanim podamy dowód, spójrzmy na dwa proste przykłady (z wieloma innymi Czytelnik spotka się później).

Przykład (#) (i). Niech $A_1\in M_{m\times n}$ , $A_2\in M_{m\times m}$ i $\det A_2\not =0$ . Rozpatrzmy przekształcenie liniowe

$F\colon \R^{n+m}=\R^n\times \R^m\rightarrow \R^m$

dane wzorem $F(\xx,\yy)= A_1\xx+ A_2\yy$ dla $\xx\in \R^n$ oraz $\yy\in \R^m$ . Równanie $F(\xx,\yy)=\zero$ można rozwiązać; zachodzi ono wtedy i tylko wtedy, gdy

$\yy = h(\xx)= -\big(A_2\big)^{-1}\cdot A_1\xx, \qquad \xx\in \R^n\, .$

Mamy też oczywiście $D_{\mxx} F\equiv A_1$ i $D_{\myy}F\equiv A_2$ . Widać więc, że w tej sytuacji funkcja $h$ jest określona na całej przestrzeni $\R^n$ i jest liniowa; zachodzi też warunek dh-TFU, opisujący jej różniczkę. (ii). Niech $n=m=1$ , $a,b>0$ i niech $F(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1$ . Równanie $F(x,y)=0$ opisuje elipsę $E$ w $\R^2$ . Mamy

$F_x(x,y)=\frac{2x}{a^2}\, , \qquad F_y(x,y)=\frac{2y}{b^2}\, .$

W otoczeniu każdego punktu $(x_0,y_0)\in E$ , który ma współrzędną $y_0\not = 0$ , spełnione są założenia Twierdzenia [link]. Zatem, istnieją przedziały otwarte $U,V\subset \R$ takie, że $x_0\in U$ , $y_0\in V$ , a równanie $F(x,y)=0$ , rozpatrywane dla $(x,y)\in U\times V$ , wyznacza zmienną $y$ jako funkcję $x$ . W tym przykładzie też możemy napisać jawny wzór

$\begin{equation} \label{elipsa} y=h(x)=\pm b\cdot \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\, . \end{equation}$

Wybór znaku zależy od położenia $(x_0,y_0)$ na elipsie, tzn. od znaku $y_0$ . Widać też, że ważny jest wybór dwóch małych otoczeń $U$ i $V$ : jeśli nie ograniczymy się do małego otoczenia punktu $y_0$ , to nie wiemy, jaki znak wybrać we wzorze elipsa.

Załóżmy na chwilę, że $y_0>0$ . Można wtedy wybrać jako $V$ np. przedział $(0,2b)$ . Zgodnie z wzorem dh-TFU, powinno być

$h'(x) = - (F_y(x,y))^{-1}\cdot F_x(x,y) = -\frac{b^2}{2y}\cdot \frac{2x}{a^2} = - \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x}{y} = - \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x}{h(x)}\, .$

Taki właśnie wynik uzyskujemy, różniczkując funkcję $h(x)=b\sqrt{1-(x^2/a^2)}$ , daną wzorem elipsa.

W otoczeniu punktu $(x_0,y_0)\in E$ , $y_0>0$ , elipsa $E$ o równaniu $x^2/a^2 + y^2/b^2=1$ jest wykresem funkcji $y=b\sqrt{1-(x^2/a^2)}$ . W otoczeniu punktu $(-a,0)$ ta sama elipsa jest wykresem funkcji $x=-a\sqrt{1-(y^2/b^2)}$ zmiennej $y$ .

Zauważmy jeszcze, że jeśli $\pp\in (x_0,y_0)\in E$ i $y_0=0$ , to wtedy w otoczeniu punktu $\pp$ równanie elipsy wyznacza $x$ jako funkcję zmiennej $y$ . Nie kłóci się to z Twierdzeniem [link]. Możemy wszak je zastosować, wybierając inny, nieznikający minor macierzy $DF$ . W tym przypadku $x_0\not=0$ i $F_x(x_0,y_0)\not = 0$ .

Dowód Twierdzenia [link] Krok 1: zastosowanie twierdzenia o funkcji odwrotnej. Rozpatrzmy funkcję pomocniczą

$H\colon \Omega\to \R^n\times \R^m=\R^{n+m}, \qquad H(\xx,\yy) = \big(\xx, F(\xx,\yy)\big)\in \R^{n+m}\, .$

Ponieważ $F\in C^1$ , więc także $H\in C^1$ . Nietrudno zauważyć, że macierz różniczki funkcji $H$ wygodnie zapisuje się w postaci blokowej,

$DH(\xx,\yy) = \begin{pmatrix}\mathrm{Id} & \zero \\ A & B\end{pmatrix},$

gdzie

$\begin{gather*} \mathrm{Id}\in M_{n\times n}\, , \qquad\zero \in M_{n\times m}\, ,\\ A=D_{\mxx} F(\xx,\yy)\in M_{m\times n}\, , \qquad B =D_{\myy} F(\xx,\yy)\in M_{m\times m}\, . \end{gather*}$

Posługując się $n$ -krotnie rozwinięciem Laplace'a, stwierdzamy, że

$\det DH(\aa,\bb) = \det D_{\myy} F(\aa,\bb)\not= 0\, .$

Zatem, w punkcie $\pp=(\aa,\bb)\in \Omega$ spełnione są założenia Twierdzenia [link] (o funkcji odwrotnej). Istnieje więc kula $(n+m)$ -wymiarowa $B(\pp,r)$ i zbiór otwarty $W\subset \R^{n+m}$ takie, że $H\colon B(\pp,r)\to W$ jest bijekcją i funkcja $G=H^{-1}\colon W\to B(\pp,r)$ jest klasy $C^1$ . Ponadto, dla $(\xx,\yy)\in B(\pp,r)$ jest $\det D_{\myy}F(\xx,\yy)\not=0$ .

    Krok 2: postać funkcji odwrotnej do $H$ . Zapiszmy

$G(\xx,\yy)=\big(G_1(\xx,\yy), G_2(\xx,\yy) \big),$

gdzie $G_1\colon W\to \R^n$ i $G_2\colon W\to \R^m$ . Przy tych oznaczeniach,

$(\xx,\yy)=H\big(G(\xx,\yy)\big)= \Big(G_1(\xx,\yy), F \big(G_1(\xx,\yy), G_2(\xx,\yy) \big) \Big)\, , \qquad (\xx,\yy)\in W.$

Porównując $n$ początkowych współrzędnych tej równości, otrzymujemy $G_1(\xx,\yy)=\xx$ dla $(\xx,\yy)\in W$ , a następnie

$\begin{equation} \label{postacH} H\big(G(\xx,\yy)\big)= \Big(\xx, F (\xx, G_2(\xx,\yy)) \Big)\, , \qquad (\xx,\yy)\in W. \end{equation}$

    Krok 3: opis rozwiązań równania $F=\zero$ . Jeśli $(\xx,\yy)\in B(\pp,r)$ , to warunek $F(\xx,\yy)=\zero$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$H(\xx,\yy)= (\xx,F(\xx,\yy))= (\xx,\zero) \in W\, ,$

tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy $(\xx,\yy)=G(\xx,\zero)=\big(G_1(\xx,\zero),G_2(\xx,\zero)\big)$ , co oznacza, że $\yy=G_2(\xx,\zero)$ . Z równania $F=\zero$ wyznaczyliśmy więc $\yy$ jako pewną funkcję $\xx$ .

W kuli $B(\pp,r)$ zawarty jest pewien produkt $U\times V$ , gdzie $U\subset \R^n$ i $V\subset \R^m$ są zbiorami otwartymi; można np. wziąć $U=B(\aa,r/2)$ i $V=B(\bb,r/2)$ . Wtedy

$h= G_2(\cdot,\zero) \colon U\to \R^m$

i na zbiorze $U\times V$ równanie $F(\xx,\yy)=\zero$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\yy=h(\xx)$ i $\yy\in V$ . Zmniejszając w razie potrzeby $U$ , np. biorąc $\rho>0$ tak małe, żeby $U_1=B(\aa,\rho)\subset h^{-1}\big(B(\bb,r/2)\big)$ (tu korzystamy z ciągłości $h<img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/9068687679b332aeabe5c4dd15b423c7b6303397.png" alt="e29b14b42e1b0d9e20e85bf9fb035fd6:28:" />h(U)\subset V$ . Ponieważ $G\in C^1$ , więc $G_1,G_2\in C^1$ i dlatego $h\in C^1$ . Udowodniliśmy więc całą tezę twierdzenia, wyjąwszy wzór dh-TFU.

    Krok 4: różniczka funkcji uwikłanej $h$ . Na zbiorze $U\subset \R^n$ jest $F(\xx,h(\xx))=\zero\in \R^m$ . Różniczkując to równanie stronami i stosując wzór na pochodną złożenia

$\xx\longmapsto (\xx,h(\xx))\stackrel{F}\longmapsto F(\xx,h(\xx))$

(Czytelnik zechce sam narysować odpowiednie macierze, najlepiej w postaci blokowej), otrzymujemy

$D_{\mxx} F(\xx,h(\xx)) + D_{\myy} F(\xx,h(\xx))\cdot Dh(\xx)=\zero\in M_{m\times n}.$

Dla $\xx\in U$ macierz $D_{\myy}F(\xx,h(\xx))$ jest odwracalna; przenosząc $D_{\mxx} F(\ldots)$ na prawą stronę równania i mnożąc obie strony przez $D_{\myy}F(\ldots)^{-1}$ , otrzymujemy wzór dh-TFU. □

Uwaga (#) Jeśli w Twierdzeniu [link] o funkcji odwrotnej założymy dodatkowo, że $f\in C^k$ dla pewnego $k\in \N$ , $k>1$ , to wówczas także $f^{-1}\in C^k$ . Przypomnijmy: różniczka funkcji odwrotnej $g=f^{-1}$ dana jest wzorem $ Dg(\yy) = \big(Df\big(g(\yy)\big)\big)^{-1}, $ tzn. jest złożeniem trzech odwzorowań:

$\begin{equation} \label{trzyfunkcje} \yy\mapsto g(\yy)=\zz, \qquad \zz\mapsto Df(\zz), \qquad A\mapsto A^{-1}\, . \end{equation}$

To, że $g=f^{-1}\in C^k$ , gdy $f\in C^k$ , można więc łatwo wykazać przez indukcję względem $k$ . Dla $k=1$ udowodniliśmy to już w Twierdzeniu [link]. Jeśli $f\in C^k$ i wiemy z założenia, że dowodzona własność zachodzi dla $k-1$ , to pierwsze odwzorowanie w trzyfunkcje jest klasy $C^{k-1}$ na mocy założenia indukcyjnego, drugie - też jest klasy $C^{k-1}$ , gdyż $Df\in C^{k-1}$ , trzecie zaś jest klasy $C^\infty$ (wyrazy macierzy $A^{-1}$ wyrażają się przez funkcje wymierne od wyrazów macierzy $A$ ). Podobnie, jeśli w Twierdzeniu [link] o funkcji uwikłanej założymy, że $F\in C^k$ , to funkcja uwikłana $h$ , o której mowa w tezie, też jest klasy $C^k$ .□

Podamy teraz inne przykłady zastosowania twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przykład (#) Niech $F(\xx)=\|\xx\|^2-1 = x_1^2+\cdots+x_n^2-1$ . Zbiór $M=\{\xx\in\R^n\colon F(\xx)=0\}$ jest sferą $\S^{n-1}$ . Różniczka

$DF(\xx)=\big(F_{x_1}(\xx),\ldots F_{x_n}(\xx)\big) = 2(x_1,\ldots,x_n) =2\xx$

nie znika w żadnym punkcie sfery. Dlatego w otoczeniu każdego punktu $\pp=(p_1,\ldots,p_n)\in \S^{n-1}$ sferę $\S^{n-1}$ można przedstawić jako wykres funkcji $(n-1)$ zmiennych,

$x_i=\pm \biggl(1-\sum_{{\scriptsize 1\le j\le n}\atop{ \scriptsize j\not=i}} x_j^2\biggr)^{1/2}\, .$

Jeśli $p_i\not=0$ , to w pewnym otoczeniu $\pp$ z równania sfery możemy wyznaczyć zmienną $x_i$ , dobierając odpowiednio znak w powyższym wzorze.

Przykład [torus jako poziomica pewnej funkcji](#) Niech $R>r>0$ . Połóżmy

$F(x,y,z) = \Big(\sqrt{x^2+y^2}-R\Big)^2+z^2-r^2, \qquad x^2+y^2>0,\ z\in \R.$

Wtedy

$F_z(x,y,z)=2z, \qquad F_x(x,y,z)=2 \Big(\sqrt{x^2+y^2}-R\Big)\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$

a $F_y$ otrzymujemy, zamieniając role $x$ i $y$ . Zbiór $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon F(x,y,z)=0\}$ jest domknięty, gdyż $F$ jest ciągła; żaden punkt $(0,0,z)$ nie należy do $M$ , gdyż $R^2+z^2-r^2\ge R^2-r^2>0$ . Zatem $M\subset \Omega=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2>0\}$ . Zbiór $\Omega$ jest otwarty, a funkcja $F\in C^1(\Omega,\R)$ .

Sprawdzimy, że w każdym punkcie zbioru $M$ różniczka funkcji $F$ ma rząd równy $1$ . Niech $(x,y,z)\in M$ . Jeśli $z\not=0$ , to $F_z\not= 0$ . Jeśli $z=0$ , ale $x\not=0$ , to $\sqrt{x^2+y^2}-R=\pm r\not =0$ i $F_x\not =0$ . Jeśli wreszcie $z=x=0$ , to $|y|=\sqrt{x^2+y^2}=R\pm r$ i wtedy $F_y\not= 0$ . Zatem, w otoczeniu każdego punktu $(x,y,z)\in M$ zbiór $M$ można przedstawić jako wykres pewnej funkcji dwóch zmiennych, klasy $C^1$ (ustaliwszy $(x,y,z)\in M$ , łatwo jest rozwikłać równanie $F=0$ w sposób jawny - Czytelnik może to robić sam).

Zbiór $M$ jest torusem obrotowym: %w płaszczyźnie $(x,y)$ we współrzędnych biegunowych $x= t\cos\theta$ , $y=t\sin\theta$ równanie $F=0$ zmienia się w $(t-R)^2+z^2=r^2$ . Dla każdego kąta $\theta\in [0,2\pi)$ przekrój $M$ pionową półpłaszczyzną $\{(t\cos\theta,t\sin\theta,z)\colon t>0, z\in \R\}$ jest więc okręgiem.

Wskażemy jeszcze prosty przykład zastosowania Twierdzenia [link] dla $n=1$ , $m=2$ .

Przykład (#) Niech $F\colon \R^3\to \R^2$ ,

$F(x,y,z)= (x^2+2y^2+3z^2-6,x+y+z).$

Zbiór $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon F(x,y,z)=(0,0)\}$ jest częścią wspólną zbiorów $M_i$ opisanych równaniami $F_i=0$ , gdzie $F_1$ i $F_2$ są współrzędnymi $F$ , tzn. jest przecięciem elipsoidy trójosiowej i płaszczyzny. Minory $2\times 2$ macierzy

$DF(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x & 4y & 6z \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

znikają jednocześnie tylko wtedy, gdy $x=2y=3z$ . Na płaszczyźnie $x+y+z=0$ równości $x=2y=3z$ zachodzą jedynie w punkcie $(0,0,0)\not\in M$ , a więc w każdym punkcie $M$ co najmniej jeden z minorów macierzy $DF$ nie znika. Wobec Twierdzenia [link], każdy punkt zbioru $M$ ma takie otoczenie, w którym dwie spośród zmiennych $(x,y,z)$ można wyznaczyć jako funkcję trzeciej zmiennej.