Twierdzenie o wartości średniej | Portal Dydaktyczny dla Matematyków

Definicja [Funkcje klasy $C^1$ ] Niech $\Omega$ będzie zbiorem otwartym w $\R^n$ . Mówimy, że $f\in C^1(\Omega,\R^m)$ , jeśli $f\colon \Omega\to\R^m$ ma na $\Omega$ ciągłe pochodne cząstkowe $\pcz f{x_j}$ , $j=1,2,\ldots,n$ . (#)

Uwaga Jeśli $f\in C^1(\Omega,\R^m)$ , to wobec twierdzenia [link] $f$ jest różniczkowalna w każdym punkcie $\Omega$ , a ponadto odwzorowanie

$\Omega\ni \xx\longmapsto Df(\xx)\in L(\R^n,\R^m)\simeq M_{m\times n}$

jest ciągłe (tu korzystamy ze Stwierdzenia [link]). Ponieważ z istnienia różniczki wynika ciągłość funkcji, więc funkcje klasy $C^1$ są ciągłe.

Na odwrót, jeśli założymy, że $f\colon \R^n\supset \Omega\to \R^m$ jest ciągła i ma ciągłą różniczkę $Df\colon \R^n\supset \Omega\to L(\R^n,\R^m)$ , to oczywiście spełnione są warunki Definicji [link]. To wynika ze Stwierdzenia [link].

Podamy teraz odpowiednik twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych.

Twierdzenie [o wartości średniej](#) Niech $f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m$ . Załóżmy, że dla pewnych $\xx,\yy\in \Omega$ odcinek $[\xx,\yy]\subset \Omega$ i $f$ jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego odcinka. Wówczas

$\begin{equation} \label{nier-wartsr} \norm{f(\yy)-f(\xx)}\le \norm{\yy-\xx}\cdot \sup_{\theta\in [0,1]}\|Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\|\, . \end{equation}$

Geometryczny sens tego twierdzenia jest następujący: jeśli różniczka $Df(\pp)$ zwiększa długość wektorów co najwyżej $k$ -krotnie, to norma przyrostu funkcji wzdłuż odcinka $[\xx,\yy]$ , zawartego w dziedzinie, nie przekracza iloczynu liczby $k$ i długości tego odcinka.

Dowód: Wprowadźmy dwie funkcje pomocnicze,

$\begin{eqnarray} g(t) & =& f(\xx+t(\yy-\xx))-f(\xx)\, , \qquad t\in [0,1]\, , \label{pomoc-g}\\ \Phi(t) &=&\big\langle g(1),g(t)\big\rangle\, , \qquad t\in [0,1]\, . \end{eqnarray}$

Dla $t\in [0,1]$ punkt $\xx+t(\yy-\xx)\in [\xx,\yy]$ , zatem $g$ jest funkcją różniczkowalną zmiennej $t$ (jako złożenie funkcji różniczkowalnych). Podobnie, $\Phi$ jest funkcją różniczkowalną. Ponadto, $\Phi(1)=\|g(1)\|^2=\norm{f(\yy)-f(\xx)}^2$ i $\Phi(0)=0$ . Wyraźmy przyrost funkcji $\Phi$ , stosując twierdzenia Lagrange'a dla funkcji jednej zmiennej, a następnie obliczmy pochodną $\Phi'(\theta)$ , korzystając z twierdzeń o pochodnej iloczynu i różniczce złożenia. Otrzymamy

$\begin{eqnarray*} \norm{f(\yy)-f(\xx)}^2& =& \Phi(1)-\Phi(0)\\ & = & \Phi'(\theta)\qquad\mbox{dla pewnego $\theta\in (0,1)$}\\ & = & \big\langle g(1),g'(\theta)\big\rangle \\ & = & \big\langle f(\yy)-f(\xx),Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\cdot(\yy-\xx)\big\rangle \\ & \le & \norm{f(\yy)-f(\xx)}\cdot \norm{Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\cdot{(\yy-\xx)}}\\ & \le & \norm{f(\yy)-f(\xx)}\cdot \norm{Df(\xx+\theta(\yy-\xx))}\cdot\norm{\yy-\xx}. \end{eqnarray*}$

(Pierwsza nierówność to nierówność Schwarza; druga wynika z definicji normy przekształcenia liniowego). Jeśli $\norm{f(\yy)-f(\xx)}=0$ , to teza jest oczywista. W przeciwnym przypadku dzielimy otrzymaną nierówność przez $\norm{f(\yy)-f(\xx)}>0$ i biorąc kres górny prawej strony względem $\theta\in [0,1]$ otrzymujemy nier-wartsr. □

Podamy jeszcze drugi dowód tego ważnego twierdzenia. Wymaga on wprawdzie nieco mocniejszych założeń, jednak użyty w nim sposób postępowania jest bardzo naturalny iczęsto wykorzystywany w wielu działach analizy.

Drugi dowód twierdzenia o wartości średniej. Niech $g$ nadal oznacza funkcję pomocniczą, określoną wzorem pomoc-g. Założymy dodatkowo, że $f\in C^1(\Omega,\R^m)$ . Wtedy $g'(t)$ jest funkcją ciągłą. Wyrazimy przyrost $f$ , tzn. przyrost $g$ na odcinku $[0,1]$ , całkując $g'$ .

Uwaga. Wartościami $g'$ są wektory z przestrzeni $\R^m$ . Przyjmujemy naturalną umowę: całka oznaczona $\int_a^b h(t)\, dt$ z (ciągłej) funkcji wektorowej $h=(h_1,\ldots,h_m)\colon [a,b]\to\R^m$ jest wektorem o współrzędnych $\int_a^b h_j(t)\, dt$ . Zachodzi wtedy nierówność

$\begin{equation} \label{normint} \norm{\int_a^b h(t)\, dt}\le \int_a^b\norm{h(t)}\, dt\, , \end{equation}$

którą Czytelnik może udowodnić samodzielnie. (Wskazówka: Całkę można przybliżać sumami Riemanna, a dla sum Riemanna mamy tu do czynienia po prostu z nierównością trójkąta dla normy.)

Mamy

$f(\yy)-f(\xx)=g(1)=g(1)-g(0)=\int_0^1g'(t)\, dt\, .$

Korzystając z nierówności [link] i obliczając $g'$ (jak w pierwszym dowodzie), otrzymujemy

$\begin{eqnarray*} \|f(\yy)-f(\xx)\| & = & \norm{\int_0^1g'(t)\, dt} \\ & \le & \int_0^1\norm{g'(t)}\, dt \\ & = & \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))\cdot{(\yy-\xx)}}\, dt \\ & \le & \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\cdot\norm{\yy-\xx}\, dt \\ & = & \norm{\yy-\xx}\cdot \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\, dt \\ & \le &\norm{\yy-\xx}\cdot \sup_{t\in [0,1]} \norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\, . \end{eqnarray*}$

(Pisząc ostatnią nierówność, oszacowaliśmy całkę przez iloczyn kresu górnego funkcji idługości odcinka). □