










![]() |
jest ciągłe (tu korzystamy ze Stwierdzenia [link]). Ponieważ z istnienia różniczki wynika ciągłość funkcji, więc funkcje klasy są ciągłe.
Na odwrót, jeśli założymy, że jest ciągła i ma ciągłą różniczkę
, to oczywiście spełnione są warunki Definicji [link]. To wynika ze Stwierdzenia [link].
Podamy teraz odpowiednik twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych.


![$ [\xx,\yy]\subset \Omega $](/sites/default/files/tex/d7434e616c802793a88ed00bf8134181bb25aa08.png)

![]() |
Geometryczny sens tego twierdzenia jest następujący: jeśli różniczka zwiększa długość wektorów co najwyżej
-krotnie, to norma przyrostu funkcji wzdłuż odcinka
, zawartego w dziedzinie, nie przekracza iloczynu liczby
i długości tego odcinka.
![]() |
Dla punkt
, zatem
jest funkcją różniczkowalną zmiennej
(jako złożenie funkcji różniczkowalnych). Podobnie,
jest funkcją różniczkowalną. Ponadto,
i
. Wyraźmy przyrost funkcji
, stosując twierdzenia Lagrange'a dla funkcji jednej zmiennej, a następnie obliczmy pochodną
, korzystając z twierdzeń o pochodnej iloczynu i różniczce złożenia. Otrzymamy
![]() |
(Pierwsza nierówność to nierówność Schwarza; druga wynika z definicji normy przekształcenia liniowego). Jeśli , to teza jest oczywista. W przeciwnym przypadku dzielimy otrzymaną nierówność przez
i biorąc kres górny prawej strony względem
otrzymujemy nier-wartsr. □
Podamy jeszcze drugi dowód tego ważnego twierdzenia. Wymaga on wprawdzie nieco mocniejszych założeń, jednak użyty w nim sposób postępowania jest bardzo naturalny iczęsto wykorzystywany w wielu działach analizy.
Drugi dowód twierdzenia o wartości średniej. Niech nadal oznacza funkcję pomocniczą, określoną wzorem pomoc-g. Założymy dodatkowo, że
. Wtedy
jest funkcją ciągłą. Wyrazimy przyrost
, tzn. przyrost
na odcinku
, całkując
.
Uwaga. Wartościami są wektory z przestrzeni
. Przyjmujemy naturalną umowę: całka oznaczona
z (ciągłej) funkcji wektorowej
jest wektorem o współrzędnych
. Zachodzi wtedy nierówność
![]() |
którą Czytelnik może udowodnić samodzielnie. (Wskazówka: Całkę można przybliżać sumami Riemanna, a dla sum Riemanna mamy tu do czynienia po prostu z nierównością trójkąta dla normy.)
Mamy
![]() |
Korzystając z nierówności [link] i obliczając (jak w pierwszym dowodzie), otrzymujemy
![]() |
(Pisząc ostatnią nierówność, oszacowaliśmy całkę przez iloczyn kresu górnego funkcji idługości odcinka). □