Twierdzenie o wartości średniej

Definicja [Funkcje klasy $ C^1 $] Niech $ \Omega $ będzie zbiorem otwartym w $ \R^n $. Mówimy, że $ f\in C^1(\Omega,\R^m) $, jeśli $ f\colon \Omega\to\R^m $ ma na $ \Omega $ ciągłe pochodne cząstkowe $ \pcz f{x_j} $, $ j=1,2,\ldots,n $. (#)
Uwaga Jeśli $ f\in C^1(\Omega,\R^m) $, to wobec twierdzenia [link] $ f $ jest różniczkowalna w każdym punkcie $ \Omega $, a ponadto odwzorowanie

\[ 	\Omega\ni \xx\longmapsto Df(\xx)\in L(\R^n,\R^m)\simeq M_{m\times n} 	\]

jest ciągłe (tu korzystamy ze Stwierdzenia [link]). Ponieważ z istnienia różniczki wynika ciągłość funkcji, więc funkcje klasy $ C^1 $ są ciągłe.

Na odwrót, jeśli założymy, że $ f\colon \R^n\supset \Omega\to \R^m $ jest ciągła i ma ciągłą różniczkę $ Df\colon \R^n\supset \Omega\to L(\R^n,\R^m) $, to oczywiście spełnione są warunki Definicji [link]. To wynika ze Stwierdzenia [link].

Podamy teraz odpowiednik twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych.

Twierdzenie [o wartości średniej](#) Niech $ f\colon \R^n\supset\Omega\to \R^m $. Załóżmy, że dla pewnych $ \xx,\yy\in \Omega $ odcinek $ [\xx,\yy]\subset \Omega $ i $ f $ jest różniczkowalna we wszystkich punktach tego odcinka. Wówczas

\[ \begin{equation} 		\label{nier-wartsr} 		\norm{f(\yy)-f(\xx)}\le \norm{\yy-\xx}\cdot \sup_{\theta\in [0,1]}\|Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\|\, . \end{equation} \]

Geometryczny sens tego twierdzenia jest następujący: jeśli różniczka $ Df(\pp) $ zwiększa długość wektorów co najwyżej $ k $-krotnie, to norma przyrostu funkcji wzdłuż odcinka $ [\xx,\yy] $, zawartego w dziedzinie, nie przekracza iloczynu liczby $ k $ i długości tego odcinka.

Dowód: Wprowadźmy dwie funkcje pomocnicze,

\[ \begin{eqnarray} 	g(t) & =& f(\xx+t(\yy-\xx))-f(\xx)\, , \qquad t\in [0,1]\, , \label{pomoc-g}\\    	\Phi(t) &=&\big\langle g(1),g(t)\big\rangle\, , \qquad t\in [0,1]\, . \end{eqnarray} \]

Dla $ t\in [0,1] $ punkt $ \xx+t(\yy-\xx)\in [\xx,\yy] $, zatem $ g $ jest funkcją różniczkowalną zmiennej $ t $ (jako złożenie funkcji różniczkowalnych). Podobnie, $ \Phi $ jest funkcją różniczkowalną. Ponadto, $ \Phi(1)=\|g(1)\|^2=\norm{f(\yy)-f(\xx)}^2 $ i $ \Phi(0)=0 $. Wyraźmy przyrost funkcji $ \Phi $, stosując twierdzenia Lagrange'a dla funkcji jednej zmiennej, a następnie obliczmy pochodną $ \Phi'(\theta) $, korzystając z twierdzeń o pochodnej iloczynu i różniczce złożenia. Otrzymamy

\[ \begin{eqnarray*} \norm{f(\yy)-f(\xx)}^2& =& \Phi(1)-\Phi(0)\\ & = & \Phi'(\theta)\qquad\mbox{dla pewnego $\theta\in (0,1)$}\\ & = & \big\langle g(1),g'(\theta)\big\rangle	\\ & = & \big\langle f(\yy)-f(\xx),Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\cdot(\yy-\xx)\big\rangle \\ & \le & \norm{f(\yy)-f(\xx)}\cdot \norm{Df(\xx+\theta(\yy-\xx))\cdot{(\yy-\xx)}}\\ & \le & \norm{f(\yy)-f(\xx)}\cdot \norm{Df(\xx+\theta(\yy-\xx))}\cdot\norm{\yy-\xx}. \end{eqnarray*} \]

(Pierwsza nierówność to nierówność Schwarza; druga wynika z definicji normy przekształcenia liniowego). Jeśli $ \norm{f(\yy)-f(\xx)}=0 $, to teza jest oczywista. W przeciwnym przypadku dzielimy otrzymaną nierówność przez $ \norm{f(\yy)-f(\xx)}>0 $ i biorąc kres górny prawej strony względem $ \theta\in [0,1] $ otrzymujemy nier-wartsr. □

Podamy jeszcze drugi dowód tego ważnego twierdzenia. Wymaga on wprawdzie nieco mocniejszych założeń, jednak użyty w nim sposób postępowania jest bardzo naturalny iczęsto wykorzystywany w wielu działach analizy.

    Drugi dowód twierdzenia o wartości średniej. Niech $ g $ nadal oznacza funkcję pomocniczą, określoną wzorem pomoc-g. Założymy dodatkowo, że $ f\in C^1(\Omega,\R^m) $. Wtedy $ g'(t) $ jest funkcją ciągłą. Wyrazimy przyrost $ f $, tzn. przyrost $ g $ na odcinku $ [0,1] $, całkując $ g' $.

     Uwaga. Wartościami $ g' $ są wektory z przestrzeni $ \R^m $. Przyjmujemy naturalną umowę: całka oznaczona $ \int_a^b h(t)\, dt $ z (ciągłej) funkcji wektorowej $ h=(h_1,\ldots,h_m)\colon [a,b]\to\R^m $ jest wektorem o współrzędnych $ \int_a^b h_j(t)\, dt $. Zachodzi wtedy nierówność

\[ \begin{equation} 	\label{normint}  	\norm{\int_a^b h(t)\, dt}\le \int_a^b\norm{h(t)}\, dt\, ,  \end{equation} \]

którą Czytelnik może udowodnić samodzielnie. (Wskazówka: Całkę można przybliżać sumami Riemanna, a dla sum Riemanna mamy tu do czynienia po prostu z nierównością trójkąta dla normy.)

Mamy

\[ f(\yy)-f(\xx)=g(1)=g(1)-g(0)=\int_0^1g'(t)\, dt\, . \]

Korzystając z nierówności [link] i obliczając $ g' $ (jak w pierwszym dowodzie), otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*} \|f(\yy)-f(\xx)\| & = & \norm{\int_0^1g'(t)\, dt} \\ & \le & \int_0^1\norm{g'(t)}\, dt \\ & = & \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))\cdot{(\yy-\xx)}}\, dt   \\ & \le  & \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\cdot\norm{\yy-\xx}\, dt  \\ & =  & \norm{\yy-\xx}\cdot \int_0^1\norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\, dt  \\                                                   & \le  &\norm{\yy-\xx}\cdot \sup_{t\in [0,1]} \norm{Df(\xx+t(\yy-\xx))}\, .                                                 \end{eqnarray*} \]

(Pisząc ostatnią nierówność, oszacowaliśmy całkę przez iloczyn kresu górnego funkcji idługości odcinka). □