Twierdzenie Stokesa

Niech $ M^m\subset \R^n $ będzie $ m $-wymiarową rozmaitością zorientowaną. Aby sformułować twierdzenie Stokesa, powiemy najpierw, jak orientuje się brzeg podzbioru rozmaitości.

Niech $ G $ będzie takim zwartym podzbiorem $ M $, którego brzeg $ \partial G $ (w topologii indukowanej) (Inaczej mówiąc, punkt $ \pp\in \partial G $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg $ (\pp_j)\subset G $ zbieżny do $ \pp $ oraz ciąg $ (\qq_j)\subset M\setminus G $ zbieżny do $ \pp $.) na $ M $ jest rozmaitością $ (m-1) $-wymiarową. Wówczas dla dowolnej mapy $ \Phi_\alpha\colon U_\alpha\cap M\to V_\alpha\subset \R^m $ zbiór $ \Phi_\alpha(U_\alpha\cap G) $ też jest rozmaitością $ (m-1) $-wymiarową (dowód: ćwiczenie dla Czytelnika).

Orientację $ \partial G $ (tzw. orientację brzegu dziedziczoną z $ M $) określa się następująco. Jeśli $ \pp\in \partial G $, to w $ T_{\mpp}M $ istnieje wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $, tzn. istnieje jednoznacznie określone przekształcenie $ {\bm\nu}\colon\partial G\to \S^{n-1}\subset \R^n $ takie, że

\[ \bnu(\pp)\in T_{\mpp} M, \qquad \bnu(\pp)\perp T_{\mpp}(\partial G) \]

i wreszcie dla każdej krzywej gładkiej $ \gamma\colon (-\eps,\eps)\to M $ takiej, że $ \gamma(0)=\pp $ i $ \gamma'(0)=\bnu(\pp) $ warunek $ \gamma(t)\not\in G $ spełniony jest dla wszystkich $ t>0 $ dostatecznie małych. Przyjmujemy, że baza $ \vv_1,\ldots,\vv_{m-1} $ przestrzeni $ T_{\mpp}(\partial G) $ jest zorientowana dodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy

\[ \bnu(\pp), \vv_1,\ldots,\vv_m \]

jest dodatnio zorientowaną bazą $ T_{\mpp}M $.

Czytelnik zechce porównać to określenie orientacji brzegu z określeniem, którym posłużyliśmy się, formułując w podrozdziale 7.1 twierdzenie Greena na płaszczyźnie (wtedy $ m=2 $, $ m-1=1 $). Nietrudno stwierdzić, że oba są równoważne.

Twierdzenie (#) Niech $ M^m\subset\R^n $ będzie $ m $-wymiarową rozmaitością zorientowaną klasy $ C^1 $ i niech $ G\subset M $ będzie zwartym podzbiorem $ M $, którego brzeg $ \partial G $ (w topologii indukowanej na $ M $ przez zanurzenie w $ \R^n $) jest $ (m-1) $-wymiarową podrozmaitością $ \R^n $, wyposażoną w orientację brzegu, dziedziczoną z $ M $. Załóżmy, że $ M\subset W $, gdzie $ W $ jest zbiorem otwartym w $ \R^n $. Wówczas dla każdej $ (m-1) $-formy różniczkowej $ \omega\in \Omega^{m-1}(W) $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 	\label{stokesog} 	\int_{\partial G} \omega = \int_G d\omega\, . \end{equation} \]
Uwaga Przy założeniach twierdzenia Stokesa zbiór $ \partial G $ ma $ (m-1) $-wymiarową miarę powierzchniową równą zero.

Dowód tego ważnego twierdzenia przeprowadzimy w trzech zasadniczych krokach. Pierwszy z nich to samodzielne `twierdzenie z nazwiskiem'.

Lemat [twierdzenie Gaussa o dywergencji] Niech $ G\subset \R^n $ będzie obszarem ograniczonym z brzegiem klasy $ C^1 $. Oznaczmy przez $ \bnu\colon \partial G\to\S^{n-1}\subset \R^n $ wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $. Niech $ W\subset \R^n $ będzie zbiorem otwartym takim, że $ \overline{G}\subset W $. Wówczas dla każdego pola wektorowego $ \ww=(w_1,\ldots, w_n)\colon W\to \R^n $ klasy $ C^1 $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 	\label{wzor:Gauss} 	\int_G \dyw \ww\, d\lambda_n = \int_{\partial G} \langle \ww,\bnu\rangle\, d\sigma_{n-1}\, , \end{equation} \]

gdzie $ \dyw \ww=\sum_{i=1}^n \pcz{w_i}{x_i} $ jest dywergencją pola $ \ww $, zaś $ \sigma_{n-1} $ oznacza miarę powierzchniową na rozmaitości $ \partial G $.

Interpretacja fizyczna równości z tezy lematu jest następująca: prawa strona to tzw. strumień pola wektorowego przez powierzchnię $ \partial G $. Jeśli np. $ \vv $ jest polem prędkości cieczy w (pewnym obszarze) przestrzeni $ \R^s $, to $ \int_\Sigma \langle \vv,\bnu\rangle\, d\sigma_{2} $ jest ilością cieczy, przepływającej przez powierzchnię $ \Sigma $ w jednostce czasu. (Czytelnik zechce sprawdzić, że jednostki się zgadzają.) Twierdzenie Gaussa orzeka, że przepływ pola przez powierzchnię zamkniętą jest równy całce dywergencji pola po obszarze ograniczonym tą powierzchnią.

    Dowód twierdzenia Gaussa. Dowód jest bardzo podobny do dowodu twierdzenia Greena: wykorzystuje się gładki podział jedności. Z uwagi na liniowy charakter tezy, wystarczy przeprowadzić dowód dla pola wektorowego, które ma tylko jedną współrzędną niezerową. Przyjmijmy więc $ \ww=(0,\ldots 0,w_n) $ (w pozostałych przypadkach dowód jest identyczny).

Dla każdego punktu $ \pp\in \overline G $ wybierzmy przedział otwarty $ Q_{\mpp} $ o środku w $ \pp $ tak, aby

  • $ \overline{Q}_{\mpp}\subset G $ dla $ \pp\in G $;
  • dla $ \pp\in \partial G $ zbiór $ \partial G\cap Q_{\mpp} $ był, dla pewnego indeksu $ i\in \{1,\ldots,n\} $, wykresem funkcji $ x_i=\varphi(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots x_n) $, określonej na przedziale $ (n-1) $-wymiarowym, będącym ścianą $ Q_{\mpp} $.

Korzystając ze zwartości $ \overline G $, wybierzmy pokrycie skończone $ \overline G $, złożone z $ N $ takich przedziałów, $ Q_1,\ldots, Q_N $. Jak w dowodzie twierdzenia Greena, przyjmijmy, że $ Q_1,\ldots,Q_k $ stanowią pokrycie brzegu, zaś $ Q_{k+1},\ldots, Q_N $ są (wraz z domknięciami) zawarte w $ G $.

Weźmy funkcje $ \zeta_l\in C_0^\infty (Q_l) $ takie, żeby $ \zeta_1+\cdots+\zeta_N\equiv 1 $ w pewnym otoczeniu $ \overline G $. Wówczas suma pochodnych $ \sum_l(\zeta_l)_{x_n}=0 $ na $ G $ i dlatego

\[ \begin{align} 	\label{rozbicie dyw} 	\int_G \dyw \ww\; d\lambda_n & = \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap G} \zeta_l\pcz {w_n}{x_n}\; d\lambda_n= \sum_{l=1}^N \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n\\ 	& =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n} \; d\lambda_n + \sum_{l=k+1}^N \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n 	 =\sum_{l=1}^k \int_{Q_l\cap G} \pcz {(\zeta_l w_n)}{x_n}\; d\lambda_n.\nonumber \end{align} \]

(Jak w dowodzie twierdzenia Greena, nietrudno wywnioskować, posługując się twierdzeniem Fubiniego i definicją całki oznaczonej, że każdy składnik drugiej sumy w ostatniej linijce jest zerem, gdyż $ \zeta_lw_n $ znika na brzegu przedziału $ Q_l $).

Każdą z całek w sumie po prawej stronie wzoru rozbicie dyw obliczymy oddzielnie. Ustalmy indeks $ l $; dla krótkości zapisu, niech $ u=\zeta_l w_n $, $ Q=Q_l $. Wtedy

    Przypadek 1. Załóżmy, że iloczyn $ Q\cap \partial G $ jest wykresem funkcji $ x_n=\varphi(x_1,\ldots,x_{n-1}) $ zmiennej $ \xx'=(x_1,\ldots,x_{n-1})\in Q'\subset \R^{n-1} $, gdzie $ Q' $ jest $ (n-1) $-wymiarową ścianą $ Q $. Przyjmijmy, bez zmniejszenia ogólności, że $ Q\cap G=\{ (\xx',x_n)\colon x_n<\varphi(\xx'),\; \xx'\in Q'\} $. Wtedy

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap G} \pcz {u}{x_n}\; d\lambda_n &=\int_{Q'} \bigg(\int_{-\infty}^{\varphi({\mxx}')} \pcz u{x_n} dx_n \bigg)\; d\lambda_{n-1}(\xx')\\&= \int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\; \lambda_{n-1}(\xx'). \end{align*} \]

Wektor normalny zewnętrzny do $ \partial G $ w punkcie $ \xx=(\xx',x_n) $ dany jest wzorem

\[ \bnu(\xx)=\frac{N(\xx')}{\|N(\xx')\|} =\frac{N(\xx')}{\sqrt{1+\sum (\varphi_{x_i})^2}}\, , \]

gdzie \( N(\xx')=\big(-\pcz{\varphi}{x_1}(\xx'), \ldots, -\pcz{\varphi}{x_{n-1}}(\xx'),1\big)^T \). Miarę powierzchniową na wykresie funkcji $ \varphi $ określamy, całkując funkcję $ \|N(\xx')\| $ względem $ \lambda_{n-1} $ (patrz Uwaga [link]). Dlatego

\[ \begin{multline*} \int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\; \lambda_{n-1}(\xx')=\int_{Q'} u(\xx',\varphi(\xx'))\frac{1}{\|N(\xx')\|}\, {\|N(\xx')\|} \; \lambda_{n-1}(\xx')\\=\int_{Q\cap \partial G} \langle \zeta_l \ww, \bnu\rangle \; d\sigma_{n-1}\, , \end{multline*} \]

gdyż, z uwagi na szczególną postać pola $ \ww $, jest $ \langle \zeta_l\ww, \bnu\rangle=\zeta_lw_n/\|N\|=u/\|N\| $. Ostatecznie więc, otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{jedna kostka} 	\int_{Q_l\cap G}\, \pcz{(\zeta_lw_n)}{x_n} d\lambda_n = \int_{Q_l\cap \partial G}\zeta_l\,  \langle  \ww, \bnu\rangle \; d\sigma_{n-1}\, . \end{equation} \]

    Przypadek 2. Załóżmy, że $ \partial G \cap Q $ jest wykresem funkcji $ x_i=\varphi(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots x_n) $ dla pewnego $ i<n $. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy $ i=1 $ oraz

\[ Q \cap  G =\{(x_1,\xx')\in \R\times \R^{n-1}\colon \; \xx'\in Q'\subset \R^{n-1}, \; -d<x_1<\varphi(\xx')<0\}\, , \]

gdzie $ Q' $ jest ścianą $ Q $, położoną w płaszczyźnie $ x_1=\mathrm{const} $. Wtedy $ u=\zeta_l w_n $ znika dla $ \xx'\in \partial Q', -d<x_1<0 $. Bez zmniejszenia ogólności, (gładko) przedłużając $ u $ zerem, zakładamy, że $ u $ jest określona dla wszystkich $ x_1<\varphi(\xx') $. Piszemy, dokonując przy ustalonym $ \xx' $ zamiany zmiennych $ x_1=t+\varphi(\xx') $,

\[ \begin{align*} \int_{Q\cap \Omega} \pcz{u}{x_n} d\lambda_n & = \int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_n} (t+\varphi(\xx'),\xx')\; dt\;\biggr) d\xx'=:I\, . \end{align*} \]

Oznaczmy $ v(t,\xx')=u(t+\varphi(\xx'),\xx') $ dla $ t\le 0 $ i $ \xx'\in Q' $. Mamy wówczas

\[ \pcz v{x_n}(t,\xx')=\pcz u{x_1} \big(t+\varphi(\xx'),\xx'\big)\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')+\pcz u{x_n} \big(t+\varphi(\xx'),\xx'\big). \]

Zauważmy ponadto, że $ v $ znika w punktach $ t\le 0 $, $ \xx'\in \partial Q' $. Dlatego

\[ \int_{-\infty}^0\int_{Q'} \pcz v{x_n} (t,\xx')\; d\xx'\; dt= 0, \]

stąd zaś (i z twierdzenia Fubiniego) po ponownej, odwrotnej zamianie zmiennych (Zauważmy: pierwsza zamiana zmiennych polega, podobnie jak w dowodzie twierdzenia Greena, na ``wyprostowaniu brzegu''.) otrzymujemy

\[ \begin{align*} I &=\int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_n} (t+\varphi(\xx'),\xx')\; dt\;\biggr) d\xx' \\&= -\int_{Q'}\biggl( \int_{-\infty}^{0}\pcz u{x_1} (t+\varphi(\xx'),\xx')\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')\; dt\;\biggr) d\xx'\\ &= -\int_{Q'} u (\varphi(\xx'),\xx')\cdot \pcz\varphi{x_n}(\xx')\;  d\xx'= \int_{Q'} u \cdot \bnu_n \; d\sigma_{n-1} = \int_{Q'} \zeta_l \langle \ww,\bnu\rangle\; d\sigma_{n-1} \end{align*} \]

(proszę zerknąć ponownie na wzór przypomniany wcześniej w dowodzie, wyrażający wektor normalny do wykresu funkcji). Widzimy więc, że także i w tym przypadku zachodzi wzór jedna kostka.

Sumując takie wzory względem $ l $ i wykorzystując równość rozbicie dyw, otrzymujemy tezę twierdzenia Gaussa.□

    Dowód Twierdzenia [link] Część I. Najpierw przeprowadzimy dowód w przypadku, gdy $ m=n $, $ M=\R^n $ i $ G $ jest obszarem ograniczonym w $ \R^n $. Okazuje się, że wtedy twierdzenie Stokesa jest zmyślnie przeformułowanym twierdzeniem Gaussa o dywergencji.

Niech $ W $ będzie zbiorem otwartym w $ \R^n $, $ \overline G\subset W $, $ \omega\in \Omega^{n-1}(W) $. Bez zmniejszenia ogólności można przyjąć, że

\[ \omega=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} v_i(\xx)\; dx_1\wedge \ldots \wedge dx_{i-1}\wedge dx_{i+1}\wedge\ldots \wedge dx_n\, . \]

Posługując się wzorem na różniczkę zewnętrzną, łatwo jest sprawdzić, że wówczas

\[ d\omega = \biggl(\sum_{i=1}^n \pcz {v_i}{x_i}\biggr)\, dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n = (\dyw \vv) \, dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n \qquad\mbox{na $W$,}   \]

gdzie $ \vv=(v_1,\ldots,v_n)\colon W\to \R^n $ jest pewnym polem wektorowym na zbiorze $ W $. Dlatego, z definicji,

\[ \begin{equation}  	\label{lewa:Stokes n} 	\int_G d\omega = \int_G \dyw \vv \; d\lambda_n\, . \end{equation} \]

Pokażemy, że

\[ \begin{equation} 	\label{prawa:Stokes n}   	\int_{\partial G} \omega = \int_{\partial G} \langle \vv, \bnu\rangle\; d\sigma_{n-1},  \end{equation} \]

gdzie $ \sigma_{n-1} $ jest miarą powierzchniową na brzegu obszaru $ G $. Ze wzorów lewa:Stokes n i prawa:Stokes n twierdzenie Stokesa wyniknie natychmiast, dzięki twierdzeniu Gaussa.

Przejdźmy zatem do dowodu prawa:Stokes n. Załóżmy najpierw, że $ U\subset \R^n $ jest zbiorem otwartym, a $ \Psi\colon \R^{n-1}\supset V\to U\cap \partial G $ jest gładką, zorientowaną parametryzacją $ U\cap \partial G $. Sprawdzimy najpierw, że wektor normalny $ \bnu=(\nu_1,\ldots,\nu_n) $ do $ \partial G $ spełnia zależność

\[ \begin{equation} 	\label{norm:Stokes} 	\nu_j(\Psi(\yy))\sqrt{\big(\det D\Psi(\yy)^TD\Psi(\yy)\big)}= (-1)^{j+1}\det D\Psi_{I_j}(\yy), \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation} \]

gdzie $ \Psi_{I_j} $ oznacza przekształcenie, które powstaje z $ \Psi $ przez opuszczenie $ j $-tej współrzędnej, tzn.

\[ \Psi_{I_j}=(\Psi_1,\ldots,\Psi_{j-1},\Psi_{j+1},\ldots,\Psi_n)\, . \]

Ustalmy punkt $ \yy\in V $. Niech $ \bta=(\eta_1,\ldots,\eta_n) $ oznacza wektor w $ \R^n\setminus\{\zero\} $, równy prawej stronie norm:Stokes, tzn. niech

\[ \eta_j= (-1)^{j+1}\det D\Psi_{I_j}(\yy), \qquad j=1,\ldots, n. \]

Niech $ \bxi\in \R^n $ będzie dowolnym wektorem. Rozważmy macierz kwadratową $ A_{\bxi} $, której kolumnami są wektory

\[ \begin{equation} 	\label{xi dpsi}       	\bxi,\quad\pcz{\Psi}{y_1}(\yy), \quad\ldots, \quad \pcz{\Psi}{y_{n-1}}(\yy)\, .   \end{equation} \]

Rozwijając wyznacznik $ A_{\bxi} $ względem pierwszej kolumny, sprawdzamy, że

\[                      \det A_{\bxi} = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}\xi_j \det D\Psi_{I_j}(\yy) = \sum_j \xi_j\eta_j=\langle \bxi,\bta\rangle. \]

Jeśli wektor $ \bxi $ należy do przestrzeni liniowej $ \mathrm{Im}\, D\Psi(\yy) $, rozpiętej na wektorach $ \pcz{\Psi}{y_i}(\yy)=D\Psi(\yy)\ee{}_i $, to kolumny macierzy $ A_{\bxi} $ są liniowo zależne i lewa strona powyższej równości jest zerem. Dlatego $ \bta\perp \mathrm{Im}\, D\Psi(\yy)=T_{\Psi(\myy)}\partial G $. Podstawiając $ \bxi=\bta $, otrzymujemy

\[ \det A_{\bta}=\|\bta\|^2 >0. \]

Zatem dla $ \bxi=\bta $ baza xi dpsi przestrzeni $ \R^n $ jest zorienowana dodatnio, a ponieważ wektory $ \partial \Psi/\partial y_{j} $, $ j=1,\ldots,n-1 $ tworzą dodatnio zorientowaną bazę przestrzeni stycznej $ T_{\Psi(\myy)}\partial G $, więc zgodnie z przyjętym określeniem orientacji brzegu wektor $ \eta $ wskazuje na zewnątrz $ G $. Ponadto,

\[ A_{\bta}^TA_{\bta} =    \begin{pmatrix} \|\bta\|^2  & \zero \\ \zero & D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy) \end{pmatrix} \, ,      \]

stąd zaś

\[ \|\bta\|^2\,  \det\big(D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy)\big)=\det \big(A_{\bta}^TA_{\bta}\big) = \big(\det A_{\bta}\big)^2=\|\bta\|^4\, , \]

tzn. ostatecznie

\[ \|\bta\|^2= \det\big(D\Psi^T(\yy)D\Psi(\yy)\big)\, . \]

Widzimy więc, że równoważnym zapisem równości norm:Stokes jest $ \|\bta\| \bnu(\Psi(\yy))=\bta $, tzn. istotnie $ \bnu $ jest wektorem normalnym zewnętrznym do $ \partial G $.

W przypadku $ \text{supp}\,\vv \cap \partial G\subset \Psi(V)=U\cap \partial G $ (tzn. dla pól wektorowych o zwartym, odpowiednio małym nośniku) ze wzoru norm:Stokes otrzymujemy, posługując się definicją miary powierzchniowej, następujące równości:

\[ \begin{eqnarray*} \int_{\partial G} \langle \vv, \bnu\rangle \, d\sigma_{n-1} & = & \int_{\Psi(V)} \langle \vv, \bnu\rangle \, d\sigma_{n-1} \\ & = & \int_V  \langle \vv(\Psi(\yy)), \bnu(\Psi(\yy))\rangle \, \sqrt{\big(\det D\Psi(\yy)^TD\Psi(\yy)\big)}\; d\lambda_{n-1}(\yy) \\ & \stackrel{\eqref{norm:Stokes}}= & \int_V \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1} v_j(\Psi(\yy)) \det \big(D\Psi_{I_j}(\yy)\big) \; dy_1\, \ldots\, dy_{n-1}   \\ & = & \int_V \Psi^\ast \omega \stackrel{\text{def.}}= \int_{\Psi(V)}\omega = \int_{\partial G} \omega\, . \end{eqnarray*} \]

Przypadek, gdy $ \vv $, tzn. forma $ \omega $, nie ma nośnika zawartego w dziedzinie jednej mapy, łatwo sprowadzić do powyższego, posługując się rozkładem jedynki; szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi.

    Część II. Niech teraz $ m<n $. Wybierzmy pokrycie skończone $ G $ zbiorami otwartymi $ U_\alpha\subset \R^n $, takimi, że $ U_\alpha\cap M $ są obrazami zgodnych z orientacją parametryzacji

\[ \Psi_\alpha\colon \R^{m}\supset V_\alpha\to U_\alpha\cap M, \qquad \alpha=1,\ldots N. \]

Wybierzmy gładki rozkład jedności $ (\zeta_\alpha) $,

\[ \text{supp}\, \zeta_\alpha\subset U_\alpha, \qquad \sum_{\alpha=1}^N \zeta_\alpha\equiv 1\quad \mbox{na $W\supset \overline G$.} \]

Wprowadźmy skrócone oznaczenia:

\[ \omega_\alpha:=\Psi_\alpha^\ast(\zeta_\alpha\omega)\in \Omega^{m-1}(V_\alpha), \qquad G_\alpha=\Psi_\alpha^{-1}(G). \]

Wówczas zbiór $ \Psi_\alpha^{-1}(\partial G) $ jest brzegiem $ G_\alpha $ w topologii indukowanej na $ V_\alpha $ przez zanurzenie w $ \R^{m} $. Z części pierwszej dowodu otrzymujemy

\[ \int_{G_\alpha} d\omega_\alpha = \int_{\partial G_\alpha} \omega_\alpha\, , \qquad \alpha=1,\ldots, N, \]

lub równoważnie, zgodnie z definicjami całki i własnościami przekształcenia $ \Psi^\ast $,

\[ \int_{G\cap U_\alpha} d(\zeta_\alpha \omega) = \int_{\partial G \cap U_\alpha } \zeta_\alpha\omega\, , \qquad \alpha=1,\ldots, N. \]

Sumując takie wzory i korzystając z równości $ 1=\sum_\alpha\zeta_\alpha $, otrzymujemy tezę.
$ \Box $

Przykład [przypadek szczególny: klasyczny wzór Stokesa] Znamy już dwa ważne przypadki szczególne twierdzenia Stokesa, mianowicie twierdzenie Greena i twierdzenie Gaussa o dywergencji. Omówimy teraz jeszcze jeden. Załóżmy, że rozmaitość orientowalna dwuwymiarowa $ M^2 $ jest zawarta w $ \R^3 $. Niech $ G\Subset M $ będzie zbiorem zwartym z brzegiem (w topologii indukowanej) $ \partial G $, który jest rozmaitością jednowymiarową, tzn. po prostu sumą skończenie wielu krzywych zamkniętych klasy $ C^1 $. Weźmy zbiór otwarty $ W\subset \R^3 $ taki, że $ G\Subset W $, oraz 1-formę

\[ 	\omega= v_1\, dx_1 + v_2\, dx_2 + v_3\, dx_3\in \Omega^1(W)\, . 	\]

Tak, jak opisaliśmy w podrozdziale [link], 1-formę $ \omega $ można w $ \R^3 $ utożsamić z gładkim polem wektorowym $ \vv=(v_1,v_2,v_3)\colon W\to \R^3 $.

Orientacja powierzchni w $ \R^3 $ polega w istocie na wskazaniu jej dodatniej strony. Na rysunku $ M $ jest torusem (niewidocznym w całości); strona zewnętrzna, wskazywana przez iloczyn wektorowy wektorów dodatnio zorientowanej bazy przestrzeni stycznej, jest dodatnia. Zbiór $ G $ jest wygiętą rurką; $ \partial G $ składa się z dwóch okręgów. Zaznaczony wektor styczny do $ \partial G $ wskazuje orientację brzegu dziedziczoną z $ M $.

Krążeniem pola $ \vv $ wzdłuż krzywej (zorientowanej) $ \gamma\subset \R^3 $ nazywamy całkę

\[ \int_\gamma \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1\, , \]

gdzie $ \btau\colon \gamma\to \S^1 $ oznacza jednostkowy wektor styczny do krzywej $ \gamma $, zgodny z jej ustaloną orientacją, zaś $ \sigma_1 $ jest długością łuku (tzn. jednowymiarową miarą powierzchniową). Okazuje się, że z twierdzenia Stokesa wynika następujący klasyczny wzór (zwany także wzorem Stokesa):

\[ \begin{equation} 	\label{Stokes klas} 	\int_{\partial G} \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1 =  	\int_G \langle\rot \vv, \bnu\rangle\, d\sigma_2\,  \end{equation} \]

gdzie $ \nu $ jest jednostkowym wektorem normalnym do $ M $, wskazującym jej dodatnio zorientowaną stronę\/, zaś $ \tau $ jest jednostkowym wektorem stycznym do $ \partial G $, wskazującym dziedziczoną orientację brzegu $ G $ w $ M $. Inaczej mówiąc, krążenie pola wektorowego wzdłuż krzywej zamkniętej jest równe strumieniowi rotacji tego pola wektorowego przez (dowolną) powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Wyjaśnijmy sprawę orientacji poglądowo (patrz załączony rysunek). Wybór orientacji $ M $ oznacza, że możemy wskazać dodatnio zorientowaną bazę $ (\ww_1,\ww_2) $ przestrzeni $ T_{\mpp} M $. Iloczyn wektorowy $ \ww_1\times \ww_2 $ jest prostopadły do $ T_{\mpp} M $; przyjęte jest mówić, że wskazuje on dodatnią stronę $ M $. Przy ustalonym $ \pp\in M $ wektor jednostkowy

\[ \bnu=\frac{\ww_1\times \ww_2}{\|\ww_1\times \ww_2\|} \]

nie zależy od wyboru dodatnio zorientowanej bazy przestrzeni stycznej. Wektor styczny $ \btau $ w punkcie $ \pp\in \partial G $ wybieramy tak, aby para $ (\nn,\tau) $, gdzie $ \nn\in T_{\mpp} M $ jest wektorem normalnym zewnętrznym do $ \partial G $, stanowiła dodatnio zorientowaną bazę $ T_{\mpp} M $. Nietrudno się przekonać, że wybór $ \btau $ opisuje następująca poglądowa reguła: wędrując wzdłuż $ \partial G $ w kierunku wskazanym przez $ \btau $, tak, aby widzieć dodatnią stronę $ M $ (tzn. tak, aby wektor $ \bnu $ wskazywał kierunek ``do góry''), widzimy zbiór $ G $ z lewej strony.

Przekonajmy się, że wzór Stokes klas istotnie wynika z ogólnego twierdzenia Stokesa. Bez zmniejszenia ogólności załóżmy, że $ \partial G=\gamma $ jest jedną krzywą zamkniętą; niech

\[ \phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)\colon [a,b]\to \R^3 \]

będzie jej (zorientowaną) parametryzacją. Wprost z definicji całki z 1-formy wynika, iż

\[ \begin{align} \int_\gamma \omega&=\int_a^b \sum_{j=1}^3 v_j(\phi(t))\phi_j'(t)\, dt \nonumber\\ &= \int_a^b \Big\langle \vv(\phi(t)), \underbrace{\frac{\phi'(t)}{\|\phi'(t)\|}}_{\text{wektor dł. 1}} \Big\rangle\, \cdot \underbrace{\|\phi'(t)\|\, dt}_{\text{długość łuku}} = \int_\gamma \langle \vv, \btau\rangle\, d\sigma_1\, . \label{st klas 1} \end{align} \]

Różniczkę $ \eta=d\omega $ formy $ \omega=\sum v_i\, dx_i $,

\[ \eta=\eta_1\, dx_2\wedge dx_3 +\eta_2\, dx_3\wedge dx_1 + \eta_3\, dx_1\wedge dx_2=\sum_{\text{znak}\, (i,j,k)=1} \eta_i\; dx_j\wedge dx_k, \]

gdzie, zgodnie ze wzorem na różniczkę zewnętrzną, $   \eta_i =\pcz{v_k}{x_j}-\pcz{ v_j}{x_k}  $, można - dzięki izomorfizmowi opisanemu w podrozdziale [link] - utożsamić z rotacją $ \rot \vv=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) $ pola $ \vv $. Niech $ \Psi\colon \R^2\supset O\to M $ będzie parametryzacją zorientowaną. Zgodnie z wzorami na przeciąganie form, patrz Stwierdzenie [link](iii),

\[ \begin{align*} \int_{\Psi(O)} d\omega = \int_{\Psi(O)}\eta & = \int_{\Psi(O)} \sum_{\text{znak}\, (i,j,k)=1} \eta_i \; dx_j\wedge dx_k\\ &= \int_O \sum_{i=1}^3 \eta_i (\Psi(u,v)) \cdot \Delta_i \; d\lambda_2(u,v)    \end{align*} \]

gdzie symbole $ \Delta_i $ oznaczają wyznaczniki

\[ \Delta_i =\pcz{\Psi_j}{u}\cdot\pcz{\Psi_k} v- \pcz{\Psi_j}{v}\cdot\pcz{\Psi_k} u,  \]

a znak permutacji $ (i,j,k) $ jest równy 1. Zatem wektor

\[ {\bm \Delta}= (\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3)=\pcz\Psi u \times \pcz \Psi v \]

jest iloczynem wektorowym wektorów stycznych $ \pcz \Psi u $ i $ \pcz \Psi v $, tworzących dodatnio (Orientacja tej bazy jest dodatnia, gdyż $ \pcz \Psi u=D\Psi(\ee_1) $, $ \pcz\Psi v=D\Psi(\ee_2) $, a baza $ (\ee_1,\ee_2) $ wyznacza standardową orientację $ \R^2 $.) zorientowaną bazę $ T_{\Psi(u,v)}M $. Inaczej mówiąc, $ \bm\Delta $ wskazuje dodatnią stronę $ M $.

Kontynuując rozpoczęty rachunek, piszemy - pamiętając, że $ \rot\vv=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) $ - równości

\[ \begin{align} \int_{\Psi(O)} d\omega   &= \int_O \sum_{i=1}^3 \eta_i (\Psi(u,v)) \cdot \Delta_i \; d\lambda_2(u,v)\label{st klas 2}\\ & = \int_{O} \Big\langle \rot \vv, \frac{\bm\Delta}{\|\bm\Delta\|}\Big\rangle\; \underbrace{\sqrt{(\Delta_i)^2+(\Delta_2)^2+(\Delta_3)^2}\;  d\lambda_2(u,v)}_{\text{miara powierzchniowa\,}} = \int_{\Psi(O)}  \langle \rot \vv, \bnu\rangle\; d\sigma_2\, . \nonumber \end{align} \]

Jak widać, posłużyliśmy się na koniec wzorem Cauchy'ego-Bineta i definicją miary powierzchniowej. Uzyskane równości st klas 1 i st klas 2 świadczą, że wzór Stokes klas istotnie wynika z twierdzenia Stokesa.

Zadanie Niech $ \gamma=\{(x,y,0)\in \R^3\colon x^2+y^2=1\} $ i niech $ F\colon \R^3\to \R^3 $ będzie dyfeomorfizmem. Oznaczmy $ \gamma_1=F(\gamma) $. Wykazać, że jeśli $ \vv $ jest gładkim polem wektorowym na $ \R^3 $ o zerowej rotacji, to $ \vv $ nie może być styczne w każdym punkcie do krzywej $ \gamma_1 $. (Inaczej: krzywa $ \gamma_1 $ nie jest linią sił pola $ \vv $).
Zadanie Wyprowadzić wzór Stokes klas z twierdzenia Greena w przypadku, gdy $ M $ jest wykresem funkcji gładkiej $ x_3=g(x_1,x_2) $.
Uwaga [przypadek niegładkiego brzegu] Założenia o gładkości brzegu w twierdzeniach Greena i Gaussa można znacząco osłabić. Opiszemy tu jedno z takich uogólnień. Załóżmy, że $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty i ograniczony, zaś $  \partial\Omega = M_1\cup M_2 \cup M_3\cup\ldots \cup Z $, gdzie $ M_k $, $ k\in \N $, są rozmaitościami klasy $ C^1 $ o skończonej sumie miar powierzchniowych,

\[ \sum_{k=1}^\infty \sigma_{n-1}(M_k)<\infty\, , \]

zaś $ Z $ jest zbiorem miary Hausdorffa $ \mathcal{H}^{n-1} $ zero, tzn. spełnia warunek: dla każdego $ \eps>0 $ istnieje pokrycie zbioru $ Z $ kulami $ B(\xx_i, r_i) $, $ i\in \N $, takie, że

\[ \sum_{i=1}^\infty r_i^{n-1} < \eps\, . \]

Opisane założenia oznaczają, że brzeg $ \Omega $ jest gładki, za wyjątkiem zaniedbywalnego zbioru kantów, ostrzy itp. Nietrudno zauważyć, że takimi zbiorami $ \Omega $ są np. wszystkie wielościany w $ \R^3 $. Herbert Federer (H. Federer, Coincidence functions and their integrals. Trans. Amer. Math. Soc. 59, (1946), str. 441-466; patrz także monografia Federera Geometric measure theory). wykazał, że jeśli $ \Omega $ spełnia powyższe warunki, a $ f\colon\overline\Omega\to \R $ jest ciągła w $ \overline\Omega $ i różniczkowalna w $ \Omega $, to

\[ \begin{equation}  	\label{Federer} 	\int_{\Omega} \pcz f{x_j}\; d\lambda_n = \int_{\partial\Omega} f\bnu_j\; d\sigma_{n-1}, \qquad j=1,\ldots, n, \end{equation} \]

gdzie $ \int_{\partial\Omega} f\bnu_j\; d\sigma_{n-1}:=\sum_{k=1}^\infty\int_{M_k}f\bnu_j\; d\sigma_{n-1} $, a $ \bnu_j $ jest $ j $-tą współrzędną wektora normalnego zewnętrznego, określonego w punktach zbioru $ \partial\Omega\setminus Z $. Zauważmy, że podstawiając $ f=f_j $ i sumując wzory Federer, uzyskuje się twierdzenie Gaussa o dywergencji.

\appendix

\chapter{Gładki rozkład jedności} (#)

Lemat Niech $ K\subset \R^n $ będzie zbiorem zwartym, $ U\subset \R^n $ - zbiorem otwartym. Jeśli $ K\Subset \Omega $, to istnieje funkcja $ \eta\in C_0^\infty (U) $ taka, że $ 0\le \eta \le 1 $ i $ \eta\equiv 1 $ w otoczeniu zbioru $ K $. (#)
Dowód: Wybierzmy liczbę dodatnią $ \eps< \frac 15\dist (K,\R^n\setminus \Omega) $. Niech

$$K_{2\eps}=K+B(0,2\eps)=\{\xx\in \R^n\colon\dist (\xx, K)<2\eps \}\, .$$

Zbiór $ K_{2\eps} $ jest otwarty; nietrudno sprawdzić, że funkcja

\[ \eta:=\charfn_{K_{2\eps}}\ast \varphi_\eps, \]

gdzie $ \varphi_\eps $ jest jakąkolwiek jedynką aproksymatywną (patrz Definicja [link]), ma wszystkie żądane własności. Gładkość $ \eta $ wynika z Wniosku [link]; ponadto, jeśli $ \dist(\xx,K)>2\eps $, to $ \eta(\xx)=0 $, gdyż

\[ \eta(\xx)=\int_{\R^n} \charfn_{K_{2\eps}}(\yy)\varphi_{\eps}(\xx-\yy)\, d\lambda_n(\yy) \]

i jeśli pierwszy czynnik pod całką nie jest zerem, tzn. $ \yy\in K_{2\eps} $, to wtedy $ \|\xx-\yy\|>\eps $ dla $ \dist(\xx,K)>2\eps $, więc drugi czynnik pod całką, $ \varphi_\eps(\xx-\yy) $, znika - dlatego całka jest zerem. □

Lemat Niech $ K\subset \R^n $ będzie zbiorem zwartym i niech $ K\Subset U_1\cup\ldots \cup U_N $, gdzie zbiory $ U_j $ są otwarte dla $ j=1,\ldots,N $. Istnieją wtedy funkcje nieujemne $ \zeta_j\in C_0^\infty (U_j) $ takie, że

\[ 	\zeta_1+\cdots +\zeta_N=1 \qquad\mbox{na pewnym zbiorze otwartym $W\subset \R^n$,} 	\]

takim, że $ K\subset W\subset U_1\cup\ldots \cup U_N $. (#)

Dowód: Niech $ \lambda>0 $ będzie liczbą Lebesgue'a pokrycia $ U_1,\ldots, U_N $ zbioru $ K $. Ustalmy $ 0<\eps<\frac\lambda 3 $. Połóżmy

\[ K_j:= \{\xx\in K\colon \dist (\xx,\R^n\setminus U_j)\ge \eps\}\, , \qquad j=1,\ldots,N. \]

Zbiór $ K_j\subset K $ jest domknięty, więc jest zwarty, gdyż $ K $ jest zwarty. Jeśli $ \xx\in K $, to - zdefinicji liczby Lebesgue'a - kula $ B(\xx,\lambda) $ jest zawarta w którymś ze zbiorów $ U_j $, zatem tym bardziej $ B(\xx,3\eps)\subset U_j $, a więc $ \xx\in K_j $ dla tego indeksu $ j $. Stąd $ K= K_1\cup\ldots \cup K_N $.

Ponadto, $ K_j\Subset U_j $, gdyż jeśli $ \xx\not\in U_j $, to $ \dist(\xx,\R^n\setminus U_j)=0 $.

Połóżmy $ V_j=K_j+B(\zero,\eps) $. Zbiory $ V_j $ są otwarte, a ich domknięcia są zwarte i $ \overline{V}_j\Subset U_j $. Zbiór $ V=V_1\cup\ldots \cup V_N $ jest otwartym otoczeniem $ K_1\cup\ldots\cup K_N= K $. ZLematu [link] wnioskujemy, że istnieją funkcje nieujemne

\[ \eta \in C_0^\infty(V), \qquad \varphi_j\in C_0^\infty(U_j) \]

takie, że $ \eta\equiv 1 $ w pewnym otoczeniu $ W $ zbioru $ K $, takim, że $ W\Subset V $, zaś $ \varphi_j\equiv1 $ w otoczeniu $ G_j $ zbioru $ \overline{V}_j $, takim, że $ G_j\Subset U_j $. Przyjmijmy teraz

\[ h=\sum_{j=1}^N \varphi_j, \qquad \zeta_j=\frac{\eta\varphi_j} h\, . \]

Ponieważ $ h\ge 1 $ na sumie zbiorów $ G_j $, więc definicja funkcji $ \zeta_j $ jest poprawna, gdyż i tak $ \eta \equiv 0 $ poza zbiorem $ V\Subset \bigcup G_j $. Oczywiście, na zbiorze $ W $, tzn. tam, gdzie $ \eta\equiv 1 $, mamy

\[ \sum_{j=1}^N  \zeta_j=\sum_{j=1}^N \frac{\eta\varphi_j} h = \frac\eta h\sum_{j=1}^N {\varphi_j} = 1. \]

Dowód lematu jest zakończony. □

\chapter{Lemat Poincar\'{e}go w obszarach gwiaździstych}

Opiszemy jeszcze uogólnienie warunków całkowalności, sformułowanych dla $ 1 $-form w Twierdzeniu [link].

Definicja Obszar $ \Omega\subset\R^n $ nazywa się gwiaździsty względem punktu $ \xx_0\in \Omega $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \xx\in \Omega $ odcinek $ [\xx_0,\xx] $ zawiera się w $ \Omega $.
Twierdzenie [lemat Poincar\'{ego}](#) Niech $ U\subset\R^n $ będzie obszarem gwiaździstym względem zera i niech $ k=1,\ldots,n $. Wówczas każda forma zamknięta $ \omega\in \Omega^k(U) $ jest dokładna. Co więcej, jeśli dla $ k=1,\ldots,n $ operator liniowy $ H\colon \Omega^{k}(U)\to \Omega^{k-1}(U) $ określony jest wzorem

\[ \begin{equation} 		\label{pierwotna k formy} 	H(f\, {\dyj xI})=\sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l} \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx)\, dt\biggr)\; dx_{I\langle l\rangle}, \end{equation} \]

gdzie, dla $ I=(i_1,\ldots,i_k) $ symbol $ I\langle l\rangle=(i_1,\ldots,i_{l-1},i_{l+1},\ldots,i_l) $ oznacza zestaw $ I $ z pominiętym $ l $-tym elementem $ i_l $, to wówczas

\[ \begin{equation} 	\omega = H(d\omega) + d(H\omega) 	\label{oHo} \end{equation} \]

dla każdej $ k $-formy, niekoniecznie zamkniętej; w szczególności, gdy $ d\omega=0 $, to $ \omega=d(H\omega) $.

Dowód: Obliczymy najpierw różniczkę formy $ 	H(f\, {\dyj xI}) $. Stosując wzór d wspolrz, otrzymujemy

\[ \begin{align} d\big(	H(f\, {\dyj xI}) \big) & =	\sum_{l=1}^k (-1)^{l-1}  \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr)\; dx_{i_l}\wedge dx_{I\langle l\rangle}\nonumber\\ & {}\qquad{} + \sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l}\; d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) \wedge dx_{I\langle l\rangle}\label{C S}\\ &= k \biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr)\; \dyj xI %\nonumber \\& {}\qquad{}  + \sum_{l=1}^k (-1)^{l-1} x_{i_l}\; d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) \wedge dx_{I\langle l\rangle}, \nonumber \end{align} \]

gdyż $ (-1)^{l-1} dx_{i_l}\wedge dx_{I\langle l\rangle}=\dyj xI $ (aby `wstawić $ dx_{i_l} $ we właściwe miejsce', wykonujemy $ (l-1) $ przestawień). Całkując przez części, sprawdzamy, że

\[ \begin{align*} k \int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt &= t^kf(t\xx )\Big|_0^1 - \int_0^1 t^k\sum_{\nu=1}^n x_\nu \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\\ &=f(\xx)-\sum_{\nu=1}^n x_\nu\int_0^1 t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\, . \end{align*} \]

Różniczka zewnętrzna całki w C S jest równa

\[ d\biggl(\int_0^1 t^{k-1}f(t\xx )\, dt\biggr) = \sum_{\nu=1}^n \biggl(\int_0^1 t^{k}\pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\biggr) dx_\nu \]

Podstawiając te wyniki do C S, otrzymujemy

\[ \begin{equation} \label{d H f} \begin{split} d\big(	H(f\, {\dyj xI})\big)&= f(\xx)\, \dyj xI -x_\nu\biggl(\int_0^1 t^k\sum_{\nu=1}^n  \pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\,\biggr)\; \dyj xI\\  & {}\qquad{} + \sum_{l=1}^k  \sum_{\nu=1}^n(-1)^{l-1} x_{i_l}\; \biggl(\int_0^1 t^{k}\pcz{f}{x_\nu}(t\xx )\, dt\biggr) dx_\nu\wedge \dyj x{I\langle l\rangle}.	 \end{split} \end{equation} \]

Teraz, dla $ \omega=f\, \dyj xI $, wyznaczymy $ H(d\omega)=H(df\wedge \dyj xI) $. Ponieważ

\[ d\omega=df\wedge \dyj xI = \sum_{\nu=1}^n \pcz{f}{x_\nu}dx_\nu\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_l}\, , \]

więc, wobec liniowości $ H $, otrzymujemy wprost z definicji tego operatora

\[ \begin{equation} \begin{split} H(df\wedge \dyj xI) & = \sum_{\nu=1}^n \biggl(\int_0^1t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx)\, dt\biggr)\,x_\nu\; dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_l}\\ & {}\qquad{}+ \sum_{\nu=1}^n\sum_{l=1}^k(-1)^l \biggl(\int_0^1t^k \pcz{f}{x_\nu}(t\xx)\, dt\biggr)\,x_{i_l}\; dx_\nu\wedge \dyj x{I\langle l\rangle}\, . \end{split} \label{H df} \end{equation} \]

(proszę przemyśleć, dlaczego w drugiej sumie figuruje znak $ (-1)^l $, a nie $ (-1)^{l-1} $). Dodając d H f i H df stronami, otrzymujemy tezę.□

Uwaga Proszę zauważyć, że w dowodzie korzystamy jedynie z tego, że współczynniki formy $ \omega $ są klasy $ C^1 $.
Wniosek Jeśli $ g_1,\ldots,g_n\in C^1(U) $, zbiór $ U\subset\R^n $ jest otwarty i gwiaździsty względem zera w $ \R^n $, a ponadto zachodzi warunek

\[ \begin{equation} \label{fij} \pcz{g_i}{x_j}=\pcz{g_j}{x_i} \qquad\mbox{na $U$ dla wszystkich $i,j=1,\ldots, n$,}	 \end{equation} \]

to istnieje $ h\in C^2(U) $ taka, że $ h_{x_i}=g_i $ dla $ i=1,\ldots, n $.

Dowód: Z założenia fij wynika, że

\[ d(g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n)= \sum_{1\le i < j\le n}\left(\pcz{g_j}{x_i}-\pcz{g_i}{x_j}\right) dx_i\wedge dx_j = 0\, . \]

Dla formy $ \omega=g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n $ znika więc składnik $ H(d\omega) $ po prawej stronie wzoru oHo. Kładąc $ h=H\omega $, gdzie $ H $ jest operatorem z Lematu Poincar\'{e}go, otrzymujemy funkcję klasy $ C^2 $ taką, że $ dh=g_1\, dx_1+\cdots + g_n\, dx_n $, tzn. $ h_{x_i}=g_i $.□

Zadanie Udowodnić tezę powyższego wniosku, zakładając jedynie, że obszar $ U $ jest dyfeomorficzny z kulą $ B(\zero,1)\subset \R^n $.     Wskazówka. Skorzystać z Twierdzenia [link](iv).

\chapter{Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym}

Na zakończenie, pokażemy, że z twierdzenia Stokesa wynika twierdzenie Brouwera o punkcie stałym i twierdzenie o nieistnieniu retrakcji kuli do brzegu.

W tym podrozdziale symbol $ B(0,r) $ oznacza kulę domkniętą w $ \R^n $ o środku w zerze i promieniu $ r $. Niech $ B=B(0,1)=\{\xx\in \R^n\colon \|x\|\le 1\} $

Twierdzenie [Brouwera o punkcie stałym] Jeśli przekształcenie $ f\colon B\to B $ jest ciągłe, to ma punkt stały, tzn. istnieje punkt $ \xx\in B $ taki, że $ f(\xx)=\xx $. (#)
Twierdzenie Nie istnieje odwzorowanie ciągłe $ g\colon B\to \S^{n-1}=\partial B $ takie, że $ g(\xx)=\xx $ dla wszystkich $ \xx\in\partial B $. (#)

    Dowód Twierdzenia [link] Załóżmy, że teza jest fałszywa. Niech $ g\colon B\to \S^{n-1} $ będzie ciągłe i niech $ g(\xx)=\xx $ na sferze jednostkowej $ \S^{n-1} $.

    Krok 1. Wykażemy, że bez zmniejszenia ogólności można założyć, że przekształcenie $ g $ jest gładkie, $ g\colon \R^n\to \S^{n-1} $ i $ g(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $. Istotnie, przedłużmy najpierw $ g $ do przekształcenia ciągłego $ g\colon \R^n\to \R^n $, kładąc $ g(\yy)=\yy $ dla $ \|\yy\|>1 $. Następnie, rozpatrzmy splot $ g_1:=\varphi_\eps \ast g $ przekształcenia $  g $ z jedynką aproksymatywną

\[ \varphi_\eps(\xx)=\frac{1}{\eps^n}    \varphi\Big(\frac{\xx}\eps\Big), \qquad\mbox{gdzie}\quad\varphi\in C_0^\infty(\R^n),\quad  \int_{\R^n}\varphi\, d\lambda_n=1\, . \]

Przekształcenie $ g_1 $ jest dobrze określone i gładkie, patrz podrozdział [link]. Jeśli $ \eps $ jest dostatecznie małe, to $ g_1\not = 0 $ w kuli $ B(0,2) $; ponadto, jeśli wybierzemy funkcję $ \varphi\in C^\infty_0(\R^n) $ zależną jedynie od $ \|\xx\| $, to wówczas

\[ \begin{equation} 	\label{g_1}                   	g_1(\xx) = \int_{\R^n} \varphi_\eps(\yy)\cdot  (\xx-\yy) \; d\lambda_n (\yy)=\xx \qquad\mbox{dla $\|\xx\|\ge \frac 32$,}    \end{equation} \]

gdyż dla $ j=1,\ldots,n $ całki $ \int_{\R^n} y_j\varphi_\eps(\yy)d\lambda_n $ znikają wobec nieparzystości funkcji podcałkowych. Dlatego $ g_1\not=\zero $ w całej przestrzeni $ \R^n $.

Połóżmy teraz

\[ g_2(\xx) = \frac{g_1(2\xx)}{\|g_1(2\xx)\|}\, . \]

Wówczas $ g_2\colon \R^n\to \S^{n-1} $ i $ g_2\in C^\infty $. Wreszcie, $ g_2(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $ wobec warunku g_1.

    Krok 2. Niech $ g=(g_1,\ldots,g_n)\colon \R^n\to \S^{n-1} $ będzie przekształceniem gładkim, takim, że $ g(\xx)=\xx $ na $ \S^{n-1} $. Wówczas, dwukrotnie korzystając z twierdzenia Stokesa, otrzymujemy

\[ \begin{align*} \lambda_n(B)=\int_B dx_1\wedge \ldots \wedge dx_n &= \int_B d\big( x_1\, dx_2\wedge \ldots \wedge dx_n\big) \\  &=   \int_{\S^{n-1}} x_1\, dx_2\wedge \ldots \wedge dx_n \\ &=   \int_{\S^{n-1}} g_1\, dg_2\wedge \ldots \wedge dg_n \\ & = \int_{B} d\big(g_1\, dg_2\wedge \ldots \wedge dg_n\big) =\int_B   dg_1\wedge \ldots \wedge dg_n = 0, \end{align*} \]

gdyż

\[ \int_B   dg_1\wedge \ldots \wedge dg_n = \int_B \det Dg\; d\lambda_n = 0 \]

(ostatnia równość wynika stąd, że $ g $ obniża wymiar: $ n $ kolumn macierzy $ Dg $ to wektory styczne do $ (n-1) $-wymiarowej sfery, więc macierz $ Dg $ musi mieć rząd mniejszy od $ n $.)

Uzyskana sprzeczność $ \pi^{n/2}/\Gamma((n+2)/2)=\lambda_n(B)=0 $ kończy dowód. □

    Dowód Twierdzenia [link] Załóżmy, że przekształcenie ciągłe $ f\colon B\to B $ nie ma punktu stałego. Zdefinujmy odwzorowanie $ g\colon B\to \partial B $ następująco: jeśli $ \xx\in B $, to $ g(\xx) $ jest tym punktem, w którym półprosta o początku $ f(\xx) $, przechodząca przez $ \xx $, przecina sferę $ \S^{n-1}=\partial B $.

Przekształcenie $ g $ jest dobrze określone, gdyż $ f\colon B\to B $ i $ f(\xx)\not=\xx $. Ciągłość $ g $ wynika z ciągłości $ f $. Wreszcie, $ g(\xx)=\xx $ na $ \partial B $. Jednak istnienie takiego przekształcenia $ B $ przeczy udowodnionemu wcześniej Twierdzeniu [link]. Dlatego założenie, że $ f $ nie ma punktu stałego, musi być fałszywe. □