Wzór Cauchy'ego-Bineta. Przykłady

Twierdzenie Cauchy'ego-Bineta jest uogólnieniem tożsamości Lagrange'a. Można dzięki niemu obliczać wyznacznik Grama układu wektorów, nie obliczając iloczynów skalarnych tych wektorów.

Niech $ S= \{i_1,i_2,\ldots i_m\} $, gdzie $ i_1<i_2<\ldots<i_m $, będzie dowolnym $ m $-elementowym podzbiorem $ \{1,2,\ldots,n\} $. Jeśli $ A $ jest macierzą o $ m $ wierszach i $ n $ kolumnach, to przez $ A(S) $ oznaczymy macierz kwadratową $ m\times m $, która powstaje z $ A $ przez wybranie kolumn o numerach $ i_1<i_2<\ldots<i_m $ (należących do zbioru $ S $). Podobnie, jeśli $ B $ jest macierzą o o $ n $ wierszach i $ m $ kolumach, to przez $ B(S) $ oznaczymy macierz kwadratową $ m\times m $, która powstaje z $ B $ przez wybranie wierszy o numerach $ i_1<i_2<\ldots<i_m $.

Twierdzenie [wzór Cauchy'ego-Bineta] Jeśli $ A $ jest macierzą o $ m $ wierszach i $ n $ kolumnach, zaś $ B $ -- macierzą o o $ n $ wierszach i $ m $ kolumach, gdzie $ 1\le m\le n $, to

\[ \begin{equation} 	\label{wzorCB} 	\det AB=\sum_{S=\{i_1,i_2,\ldots i_m\}} \det A(S)\cdot \det B(S)\, . \end{equation} \]
Dowód: Niech $ A=(a_{ij}) $, $ B=(b_{jk}) $, gdzie pierwszy indeks oznacza numer wiersza, a drugi - kolumny. Wówczas

\[ AB=\Big(\sum_j a_{ij}b_{jk}\Big). \]

Innymi słowy, $ k $-ta kolumna macierzy $ AB $ jest kombinacją liniową kolumn macierzy $ A $, ze współczynnikami $ b_{kj} $:

\[  (AB)_{\text{kol. }k}=\sum_{j} b_{jk}(A)_{\text{kol. }j} \]

Wyznacznik macierzy jest wieloliniową funkcją jej kolumn; dlatego, z powyższej równości otrzymujemy

\[ \det AB = \sum_{j_1,j_2,\ldots,j_m} b_{j_1,1}b_{j_2,2}\ldots b_{j_m,m} \det \big((A)_{\text{kol. }j_1},(A)_{\text{kol. }j_2},\ldots,(A)_{\text{kol. }j_m}\big) \]

Jeśli któreś dwa indeksy w ostatniej sumie są równe, to wyznacznik macierzy, która ma dwie identyczne kolumny, znika. Zatem,

\[ \begin{equation} 	\label{pre-CB} 	\det AB = \sum_{S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\}} \beta(B,S) \det A(S), \end{equation} \]

gdzie współczynniki $ \beta(B,S) $ zależą od macierzy $ B $ i podzbioru $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $. Aby wyznaczyć $ \beta(B,S) $, wypiszemy powyższą równość dla konkretnych $ A $. Ustalmy $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $ i niech $ A $ będzie macierzą, której $ j_s $-ta kolumna jest równa $ \ee_s $ dla $ s=1,\ldots,m $, a pozostałe kolumny są zerowe. Wówczas $ \det A(S)=\det \mathrm{Id}=1 $ i $ \det A(S')=0 $ dla $ S'\not=S $. Ponadto, $ AB=B(S) $. Podstawiając te zależności do wzoru pre-CB, otrzymujemy $ \det B(S)=\beta (B,S) $ dla każdego $ S=\{j_1<j_2<\ldots<j_m\} $. □

Przykład [pole `płaskiego' torusa w $ \R^4 $](#) W przestrzeni $ \R^4 $ rozważmy torus

$$\T^2=\S^1\times \S^1=\{(x,y,z,w)\in \R^4\colon x^2+y^2=z^2+w^2=1\}.$$

Czytelnik zechce sam sprawdzić, że $ \T^2 $ jest rozmaitością dwuwymiarową. Niech

\[ 	\Psi\colon (0,2\pi)^2\ni (t,s)\longmapsto (\cos t,\sin t,\cos s,\sin s)\in \T^2\, ; 	\]

obrazem parametryzacji $ \Psi $ jest torus $ \T^2 $ bez dwóch okręgów, tzn. zbiór pełnej miary powierzchniowej w $ \T^2 $. Dlatego

\[ \sigma_2(\T^2)=\int_{(0,2\pi)^2} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_2\, . \]

Łatwo sprawdzamy, że

\[ (D\Psi)^T =\begin{pmatrix} -\sin t & \cos t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sin s & \cos s \\ \end{pmatrix}\, . \]

Ze wzoru Cauchy'ego-Bineta otrzymujemy

\[ \begin{align*} \det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big) &= \sin^2 t\sin^2 s+ \sin^2 t \cos^2 s + \cos^2t \sin^2 s+ \cos^2 t \cos^2 s \\ & = \sin^2 t + \cos^2 t = 1, \end{align*} \]

więc

\[ \sigma_2(\T^2)=\int_{(0,2\pi)^2} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_2\,= \int_{(0,2\pi)^2} 1\, d\lambda_2= 4\pi^2. \]

Równość $ \det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big) =1 $ ma następujący sens geometryczny: parametryzacja $ \Psi $ zachowuje miarę podzbiorów kwadratu $ (0,2\pi)^2 $.

Przykład Wykażemy, że miara powierzchniowa $ s_{n-1}:=\sigma_{n-1}(\S^{n-1}(\zero,1)) $ sfery jednostkowej $ \S^{n-1}(\zero,1)\subset \R^n $ spełnia równość

\[ \begin{equation} 	\label{miarasferyjedn} 	s_{n-1}=n\omega_n= \frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma((n+2)/2)} \, , \end{equation} \]

gdzie $ \omega_n={\pi^{n/2}}/{\Gamma((n+2)/2)}  $ jest miarą Lebesgue'a kuli jednostkowej w $ \R^n $ (patrz Twierdzenie [link]). Niech, dla $ \xx'=(x_1,\ldots,x_{n-1})\in B^{n-1}(\zero,1) $,

\[ \varphi(\xx')=\sqrt{1-\|\xx'\|^2} = \sqrt{1-\sum_{1\le i\le n-1}x_i^2}. \]

Sfera jednostkowa $ \S^{n-1}(0,1)\subset\R^n $ z usuniętą płaszczyzną równika $ \{x_n=0\} $ jest sumą zbioru $ \S^{n-1}_+=\{(\xx',x_n)\in \R^n\colon \xx'\in B^{n-1}(\zero,1), x_n=\varphi(\xx')\} $ i jego lustrzanego odbicia względem hiperpłaszczyzny $ \{x_n=0\} $. Dlatego

\[ \sigma_{n-1}(\S^{n-1}) = 2\sigma_{n-1}(\S^{n-1}_+)=2\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_{n-1}, \]

gdzie $ \Psi(\xx')=(\xx',\varphi(\xx')) $. Macierz $ D\Psi  $ składa się z klatki identyczności $ (n-1)\times (n-1) $ i $ n $-tego wiersza $ \varphi_{x_i} $, $ i=1,2,\ldots,n-1 $. Wobec wzoru Cauchy'ego-Bineta, wyznacznik macierzy $ (D\Psi)^TD\Psi $ jest równy sumie kwadratów minorów $ (n-1)\times (n-1) $; jeden z tych minorów jest równy $ 1 $, a pozostałe wynoszą $ \pm\varphi_{x_i} $. Zatem

\[ \begin{multline*} 	s_{n-1}=%\sigma_{n-1}(\S^{n-1})=  	2\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \sqrt{\det \big( (D\Psi)^T\cdot D\Psi\big)}\, \, d\lambda_{n-1}\\ 	 = 2 \int_{B^{n-1}(\zero,1)}\sqrt{1+\sum \varphi_{x_i}^2}\, d\lambda_{n-1} 	 = 2 \int_{B^{n-1}(\zero,1)}\frac{1}{\sqrt{1-\sum x_i^2}}\, d\lambda_{n-1} =:2I_{n-1}. \end{multline*} \]

Całkę $ I_n $ obliczymy rekurencyjnie, korzystając z funkcji $ B $ i $ \Gamma $ Eulera. (Podobną metodę wykorzystywaliśmy już wcześniej, całkując wielomiany Tonellego w w dowodzie Twierdzenia [link] Stosując twierdzenie Fubiniego, a następnie liniową zamianę zmiennych

\[ \xx'=\sqrt{1-x_n^2}\cdot \yy', \qquad \yy'\in B^{n-1}(\zero,1)\, , \]

otrzymujemy (Proszę porównać poniższy rachunek z ." title="rekurw): to tak, jakby w tamtym wzorze użyć $ N=-1/2 $.">rekurw): to tak, jakby w tamtym wzorze użyć $ N=-1/2 $.

\[ \begin{eqnarray} 	I_n&=&\int_{B^n(\zero,1)}\big(1-\|\xx\|^2\big)^{-1/2} d\lambda_n(\xx)\nonumber \\&=&\int_{-1}^1 \biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} \big(1-x_n^2-\|\xx'\|^2\big)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ 	& = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{-1/2}\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,\sqrt{1-x_n^2})} \biggl(1-\Big\|\frac{\xx'}{\sqrt{1-x_n^2}}\Big\|^2\biggr)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\xx')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ 	& = & \int_{-1}^1 (1-x_n^2)^{\frac{n-2}2}\biggl(\int_{B^{n-1}(\zero,1)} \Big(1-\|\yy'\|^2\Big)^{-1/2}\, d\lambda_{n-1}(\yy')\biggr)\, dx_n\nonumber\\ & = & I_{n-1}\cdot 2\int_{0}^1 \big(1-x_n^2\big)^{\frac{n-2}2} dx_n\, .	\label{rekurwsfera} 	 \end{eqnarray} \]

Podstawiając $ x_n^2=t $, sprawdzamy, że

\[ 2\int_{0}^1 \big(1-x_n^2\big)^{\frac{n-2}2} dx_n = \int_0^1\big(1-t\big)^{\frac{n-2}2} t^{-1/2}\, dt= B\Big(\frac{n}2, \frac 12\Big)= \frac{\Gamma(n/2)\cdot \Gamma(1/2)}{\Gamma((n+1)/2)}\, . \]

Ostatnia równość zachodzi na mocy znanego związku między funkcjami $ \Gamma $ i $ B $. Równość rekurwsfera można teraz przepisać jako

\[ I_n=\frac{\Gamma(n/2)\cdot \Gamma(1/2)}{\Gamma((n+1)/2)} \cdot I_{n-1}\, ; \]

stąd, przez łatwą indukcję, otrzymujemy

\[ I_n=\frac{\Gamma(1/2)^{n-1}}{\Gamma((n+1)/2)}I_1=\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)} I_1, \qquad s_{n-1}=2I_{n-1}=\frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(n/2)}s_1\, ,  \]

a ponieważ $ s_1=\sigma_1(\S^1(\zero,1))=2\pi $ jest po prostu długością okręgu jednostkowego, więc ostatecznie

\[ s_{n-1}= \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(n/2)}\cdot 2\pi =\frac{n\pi^{n/2}}{(n/2)\cdot \Gamma(n/2)}=\frac{n\pi^{n/2}}{\Gamma((n+2)/2)} = n\omega_n\, . \]

(Skorzystaliśmy ze związku $ a\Gamma(a)=\Gamma(a+1) $ i równości $ \omega_n=\pi^{n/2}/\Gamma((n+2)/2) $, wykazanej w Twierdzeniu [link]). Wzór miarasferyjedn został udowodniony. □

Uwaga [miara wykresu](#) Dokonując obliczeń w ostatnim przykładzie, sprawdziliśmy przy okazji następujący ogólniejszy fakt: jeśli $ \varphi\in C^1(V,\R) $, gdzie $ V\subset\R^m $ jest zbiorem otwartym, a

\[ 	W=\{(\xx,\varphi(\xx))\in \R^{m+1}\colon \xx\in V\} 	\]

jest wykresem $ \varphi $, to wówczas

\[ \sigma_m(W)=\int_V \sqrt{1+\|\text{{\rm grad}}\, \varphi\|^2}\; d\lambda_m\, . \]

Istotnie, $ \Phi\colon V\ni \xx\mapsto (\xx,\varphi(\xx))\in W\subset \R^{m+1} $ jest naturalną parametryzacją wykresu, a ze wzoru Cauchy'ego-Bineta otrzymujemy

\[ \det (D\Phi^T\cdot D\Phi)= 1+\sum (\varphi_{x_i})^2 = 1+\|\text{{\rm grad}}\, \varphi\|^2\, . \]
Uwaga Nietrudno stwierdzić, posługując się liniową zamianą zmiennych, że

\[	 s(r):=\sigma_{n-1}(\S^{n-1}(\zero, r))=n\omega_nr^{n-1}. \]

Jak wiemy, miara Lebesgue'a $ n $-wymiarowej kuli o promieniu $ r $ wynosi $ m(r)=\omega_nr^n $. Zachodzi więc równość

\[ s(r)=m'(r), \qquad r>0. \]

Okazuje się, że nie jest to związek przypadkowy. Wyjaśnimy to nieco dokładniej w następnym podrozdziale.(#)