Zamiana zmiennych. Twierdzenie Fubiniego

Podamy teraz dwa bardzo ważne twierdzenia, które w połączeniu z Twierdzeniem [link] umożliwiają obliczanie wielu całek. Pierwsze z nich, twierdzenie o zamianie zmiennych, jest naturalnym uogólnieniem Twierdzenia [link] (o mierze liniowego obrazu zbioru mierzalnego) na przypadek odwzorowań nieliniowych. Twierdzenie Fubiniego orzeka natomiast, że całkę z funkcji wielu zmiennych $ \xx=(x_1,\ldots, x_n) $ całkowalnej względem miary Lebesgue'a można obliczać, całkując kolejno względem zmiennych $ x_k $ imiary Lebesgue'a $ d\lambda_1(x_k) $ (a kolejność całkowań nie ma wpływu na wynik).

Podamy najpierw ścisłe sformułowania obu twierdzeń, następnie zaś omówimy kilka przykładów ich zastosowań.

Twierdzenie [o zamianie zmiennych](#) Niech $ \Omega\subset\R^n $ będzie zbiorem otwartym, a $ \Phi\colon \Omega\to \Phi(\Omega)\subset \R^n $ dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $ zbioru $ \Omega $ na $ \Phi(\Omega) $. Załóżmy, że $ f $ jest funkcją całkowalną (lub mierzalną i nieujemną) względem miary Lebesgue'a $ \lambda_n $ na $ \Phi(\Omega) $. Wtedy $ (f\circ\Phi)\cdot |\det D\Phi| $ jest całkowalna (odpowiednio, mierzalna i nieujemna) na zbiorze $ \Omega $ i zachodzi równość

\[ \begin{equation} 	\int_{\Phi(\Omega)} f\, d\lambda_n = \int_\Omega (f\circ\Phi)\cdot |\det D\Phi|\,\, d\lambda_n\, . \label{rown-zamiana} \end{equation} \]

Biorąc $ f=\charfn_{\Phi(E)} $, gdzie $ E\subset \Omega $ jest zbiorem mierzalnym, otrzymujemy

Wniosek Jeśli $ \Omega\subset\R^n $ jest zbiorem otwartym, a $ \Phi\colon \Omega\to \Phi(\Omega)\subset \R^n $ dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $, to

\[ \begin{equation} 	\label{m-dyfobr}      	\lambda_n\big(\Phi(E)\big)=\int_E |\det D\Phi|\,\, d\lambda_n  \end{equation} \]

dla każdego zbioru mierzalnego $ E\subset \Omega $.

Twierdzenie [Fubiniego](#) Niech $ f\colon \R^{n+m}=\R^n\times\R^m\to\overline \R $ będzie funkcją całkowalną (lub mierzalną w sensie Lebesgue'a i nieujemną). Wówczas:

  1. Dla $ \lambda_n $-prawie wszystkich $ \xx\in\R^n $ i $ \lambda_m $-prawie wszystkich $ \yy\in \R^m $ funkcje $ f_{\mxx}(\yy):=f(\xx,\yy) $ oraz $ f^{\myy}(\xx):=f(\xx,\yy) $ są mierzalne odpowiednio względem $ \Leb(\R^m) $ i $ \Leb(\R^n) $;
  2. Funkcje
    \[ 		\R^n\ni \xx\longmapsto \int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\in\overline\R\, , \qquad \R^m\ni \yy\longmapsto \int_{\R^n} f(\xx,\yy)\, d\lambda_n(\xx)\in\overline\R 		\]

    są mierzalne odpowiednio względem $ \sigma $-ciał $ \Leb(\R^n) $ i $ \Leb(\R^m) $;

  3. Zachodzą równości
    \[ \begin{equation}  	\label{row:Fubini} 	\begin{split} 		\int_{\R^{n+m}} f\, d\lambda_{n+m} &= \int_{\R^n} \biggl(\int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx)\\      	  &= \int_{\R^m} \biggl(\int_{\R^n} f(\xx,\yy)\, d\lambda_n(\xx)\biggr)\, d\lambda_m(\yy) \, .         	\end{split} \end{equation} \]

    Uwaga. Dla $ m=n=1 $ i $ f=\charfn_P $, gdzie $ P $ jest przedziałem w $ \R^2 $, row:Fubini to po prostu wzór na pole prostokąta. Dla $ f=\charfn_{A\times B} $, gdzie $ A\in \Leb(\R^n) $ i $ B\in \Leb(\R^m) $, równość row:Fubini przybiera postać

\[ \lambda_{n+m}(A\times B)  =\int_{\R^{n+m}} \charfn_{A\times B} d\lambda_{n+m}  = \int_A \biggl(\int_B 1\, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx)=\lambda_n(A)\lambda_m(B)\, . \]

W Twierdzeniu [link] wykazaliśmy, że faktycznie tak jest.

Dowody obu twierdzeń na razie odłożymy i wskażemy kilka przykładów zastosowań.

Przykład Niech $ \Omega=\{(x,y)\in \R^2\colon 0<x<y<1\} $ i $ f(x,y)=x^2 y $. Obliczymy całkę $ \int_\Omega f\, d\lambda_2 $, korzystając z twierdzenia Fubiniego i związku między całkami Lebesgue'a iRiemanna. Czytelnik zechce naszkicować trójkąt $ \Omega $ i prześledzić rachunki, patrząc na rysunek. Otóż,

\[ \begin{align*}  \int_\Omega  f\, d\lambda_2 = \int_{\R^2} \charfn_\Omega\cdot f\, d\lambda_2 &=\int_{\R} \biggl(\int_{\R} \charfn_\Omega\cdot f \, d\lambda_1(x)\biggr)\, d\lambda_1(y) \\  &= \int_0^1 \biggl(\int_0^yx^2 y\, dx \biggr) dy\\   &= \int_0^1 y\biggl(\int_0^yx^2\, dx \biggr) dy\\    &= \int_0^1 y\cdot  \biggl. \frac{x^3}3\biggr|_0^y  \,\, dy = \frac{1}{3}\int_0^1 y^4\, dy= \frac 13 \cdot \biggl. \frac{y^5}{5}\, dx \biggr|_0^y = \frac 1{15}\, .  \end{align*} \]

Całkując najpierw względem $ y $, potem zaś względem $ x $, otrzymujemy

\[ \begin{align*}  \int_\Omega  f\, d\lambda_2 = \int_{\R^2} \charfn_\Omega\cdot f\, d\lambda_2 &=\int_{\R} \biggl(\int_{\R} \charfn_\Omega\cdot f  \,   d\lambda_1(y)\biggr)\, d\lambda_1(x) \\  &= \int_0^1 x^2\biggl(\int_x^1  y\, dy \biggr)\, dx \\ &= \frac{1}{2}\int_0^1 x^2\biggl(1-x^2\biggr)\, dx  = \bigg(\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{10}\bigg)\bigg|_0^1  =\frac{1}{15}\, . \end{align*} \]

Zgodnie z twierdzeniem Fubiniego, wynik jest za każdym razem taki sam. □

Przykład Pokażemy, że założenie całkowalności $ f $ w twierdzeniu Fubiniego jest istotne. Wybierzmy ciąg liczb $ 0=a_0<a_1<a_2<a_3<\ldots < 1 $, $ \lim a_j=1 $. Dla $ j\in \N $ niech $ g_j\colon [0,1]\to [0,\infty) $ będzie funkcją ciągłą na $ [0,1] $ (np. kawałkami liniową), znikającą poza przedziałem $ I_j=[a_{j-1},a_j] $ i taką, że całka $ \int_0^1 g_j(x)\, dx =1 $. Połóżmy

\[ f(x,y)=\sum_{j=1}^\infty \big(g_j(x)-g_{j+1}(x)\big)g_j(y)\, , \qquad (x,y)\in [0,1]^2.   \]

Zauważmy, że dla każdego punktu $ (x,y)\in [0,1]^2 $ szereg, określający $ f $, ma co najwyżej jeden\/ składnik niezerowy (trzeba dobrać $ j_0 $ tak, aby $ y\in [a_{j_0-1},a_{j_0}] $; dla $ j\not= j_0 $ jest $ g_j(y)=0 $). Dlatego $ f $ jest dobrze określoną funkcją mierzalną.

Nietrudno zauważyć (proszę na rysunku zaznaczyć w kwadracie $ [0,1]^2 $ zbiór, gdzie funkcja $ f\not=0 $, a następnie zbadać całki z $ f $ po odcinkach $ x=\mathrm{const} $ i $ y=\mathrm{const} $), że

\[ \int_0^1\biggl(\int_0^1f(x,y)\,d\lambda_1 (x)\biggr)\, d\lambda_1(y) =\sum_{j=1}^\infty\int_{I_j} g_j(y) \biggl(\int_0^1 \big(g_j(x)-g_{j+1}(x)\big)\, dx\biggr) \, dy = 0, \]

jednak

\[ \int_0^1\biggl(\int_0^1f(x,y)\,d\lambda_1 (y)\biggr)\, d\lambda_1(x) =\sum_{j=1}^\infty\int_{I_j} \biggl(\int_0^1 f(x,y) \, dy\biggr) \, dx = \int_{I_1}\int_{I_1} g_1(x)g_1(y)\,dx\, dy= 1. \]

Wyniki są różne, gdyż $ \int_{[0,1]^2}|f|\, d\lambda_2=\infty $, tzn. $ f $ nie jest całkowalna na kwadracie $ [0,1]^2 $.□

Przykład Sprawdzimy, że $ \int_\R \exp(-x^2)\, dx=\sqrt{\pi} $. Oznaczmy tę całkę literą $ I $. Z twierdzenia Fubiniego

\[ I^2=\int_\R \exp(-x^2)\, dx\cdot \int_\R \exp(-y^2)\, dy = \int_{\R^2} \exp(-x^2-y^2)\, d\lambda_2(x,y)\, .  \]

Wprowadzimy teraz zmienne biegunowe w $ \R^2 $. Niech

\[ (0,\infty)\times (0,2\pi)\ni (r,\theta)\ \longmapsto\  \Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\in \Phi(\Omega)=\R^2 \setminus \Big([0,\infty)\times \{0\}\Big)\, ;       \]

przekształcenie $ \Phi $ jest dyfeomorfizmem pasa $ \Omega=(0,\infty)\times (0,2\pi) $; uzupełnienie $ \R^2\setminus \Phi(\Omega) $ obrazu tego pasa jest półprostą, a więc ma miarę Lebesgue'a równą zero. Ponadto

\[ \det D\Phi(r,\theta)= \det \begin{pmatrix} \cos \theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos \theta \end{pmatrix} = r\, . \]

Dlatego, na mocy wzoru rown-zamiana i twierdzenia Fubiniego,

\[ \begin{multline*} 	I^2  	    = \int_{\Phi(\Omega)}  \exp(-x^2-y^2)\, d\lambda_2(x,y) 	    = \int_\Omega \exp(-r^2)\cdot r \, d\lambda_2(r,\theta)\\         = \int_0^\infty e^{-r^2}r\bigg(\int_0^{2\pi} 1\, d\theta\bigg)\, dr = 2\pi \cdot \int_0^\infty e^{-r^2}r\, dr=\pi \cdot  \left(-{e^{-r^2}}\right)\bigg|_0^\infty  =\pi. \end{multline*} \]

Przykład Obliczymy miarę Lebesgue'a kuli $ B(x,r)\subset\R^n $. Z uwagi na niezmienniczość miary Lebesgue'a względem przesunięć i Twierdzenie [link],

\[ \begin{equation} 		\label{kular} 	   \lambda_n\big(B(x,r)\big)=\lambda_n\big(B(0,r)\big)= |\det (r\cdot \mathrm{Id})|\cdot \lambda_n(B(0,1))=r^n\cdot \, \lambda_n(B(0,1)).  \end{equation} \]

Wystarczy więc obliczyć

\[ \begin{equation} 	\omega_n:=\lambda_n(B(0,1))\, . \end{equation} \]
Twierdzenie (#) Dla $ n=1,2,\ldots $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 		\label{on}       		\omega_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma((n+2)/2)}    \end{equation} \]

gdzie

\[ \Gamma(\lambda)=\int_0^\infty t^{\lambda-1} e^{-t}\, dt  \]

jest funkcją gamma Eulera.

Dowód: Przekrój kuli $ B^n(0,1)\subset\R^n $ `płaszczyzną' afiniczną $ \{\xx\in \R^n \colon x_n=t\} $ jest $ (n-1) $-wymiarową kulą o promieniu $ (1-t^2)^{1/2} $. Dlatego z twierdzenia Fubiniego i wzoru kular wynika, że

\[ \omega_n = \int_{\R^n} \charfn_{B^n(0,1)} \, d\lambda_n = \int_{-1}^1 \omega_{n-1} (1-t^2)^{(n-1)/2}\, dt= 2\omega_{n-1} \int_{0}^1 (1-t^2)^{(n-1)/2}\, dt\, . \]

Dokonując teraz zamiany zmiennych $ s=t^2 $, $ dt =(\sqrt{s})'\, ds=\frac 12 s^{-1/2} \, ds $, otrzymujemy zależność rekurencyjną

\[ \begin{equation} 	\omega_n = \omega_{n-1} \int_0^1 (1-s)^{\frac{n+1}2-1}s^{\frac 12 - 1}\, ds =\omega_{n-1}\, \cdot \,  B\Big(\frac{n+1}2, \frac 12\Big)\, ,  \label{ononp1} \end{equation} \]

w której

\[ B(a,b)=\int_0^1 (1-s)^{a-1} s^{b-1}\, ds, \qquad a,b>0 \]

oznacza funkcję beta Eulera. Wiadomo (patrz wykłady Analizy Matematycznej zIroku, podrozdział10.2), że

\[ B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, \qquad \Gamma(a+1)=a\Gamma(a), \qquad \Gamma(\tfrac 12) = \sqrt{\pi}\, , \qquad \Gamma(n)=(n-1)! \quad\mbox{dla $n\in \N$.} \]

Zatem rekurencję ononp1 można zapisać jako

\[ \begin{equation} 	\label{rekur-omega} 	\omega_n=\omega_{n-1}\cdot \pi^{1/2} \cdot \frac{\Gamma\big((n+1)/2\big)}{\Gamma\big((n+2)/2\big)}\, .       \end{equation} \]

Wzór on zachodzi dla $ n=1 $, gdyż

\[ \omega_1=\lambda_1\big((-1,1)\big)= 2 = \frac{\pi^{1/2}}{\frac 12 \pi^{1/2}}= \frac{\pi^{1/2}}{\frac 12 \Gamma(\frac 12)}=\frac{\pi^{1/2}}{\Gamma(3/2)}\, ; \]

dlatego teza twierdzenia łatwo wynika z rekur-omega przez indukcję. □

Dla $ n=2 $ i $ n=3 $ wzór on implikuje znane Czytelnikowi zależności

\[ \omega_2=\frac{\pi^{2/2}}{\Gamma(4/2)}=\frac{\pi}{(2-1)!}=\pi, \qquad \omega_3 = \frac{\pi^{3/2}}{\Gamma(5/2)}=\frac{\pi\sqrt{\pi}}{\frac 32 \cdot \frac 12 \cdot \Gamma\big(\frac 12 \big)}= \frac 43 \pi\, . \]
Uwaga Całkę $ \int_0^1 (1-t^2)^{(n-1)/2}\, dt $ można obliczyć różnymi sposobami, niekoniecznie odwołując się do funkcji $ \Gamma $ i $ B $ Eulera. Można np. podstawić $ t=\cos y $, $ y\in (0,\frac \pi 2) $ i potem przez części obliczać całki z potęg sinusa.

Ponadto, miarę $ \omega_n $ kuli $ B^n(0,1) $ można obliczyć inaczej, np. całkując we współrzędnych biegunowych w $ \R^n $. Czytelnik zechce rozwiązać następujące zadanie.

Zadanie Niech, dla $ r>0 $, $ \theta_2\in (0,2\pi) $ i $ |\theta_1|<\frac \pi 2 $,

\[ 	x=r\cos\theta_1 \cos \theta_2\, , \qquad y=r \cos\theta_1 \sin\theta_2\, , \qquad z=r \sin\theta_1\, . 	\]

Proszę sprawdzić, że przekształcenie $ \varphi\colon (r,\theta_1,\theta_2)\mapsto (x,y,z) $ określone powyższymi wzorami jest dyfeomorfizmem przedziału $ (0,1)\times (0,2\pi)\times (-\frac \pi 2, \frac \pi 2)\subset \R^3 $ na podzbiór otwarty pełnej miary w kuli $ B(0,1)\subset \R^3 $. Obliczyć wyznacznik macierzy Jacobiego tego dyfeomorfizmu i objętość kuli.

Dowód twierdzenia o zamianie zmiennych

Idea dowodu jest prosta: rozkłada się dziedzinę $ \Omega $ dyfeomorfizmu $ \Phi\colon \Omega\to \Phi(\Omega)\subset\R^n $ na drobne, parami rozłączne zbiory borelowskie, tak, aby na każdym z nich różniczka $ D\Phi $ tego dyfeomorfizmu była niemalże stała, równa z góry zadanemu automorfizmowi liniowemu przestrzeni $ \R^n $, z dokładnością do ustalonego marginesu błędu. Następnie, korzysta się zTwierdzenia [link] (o mierze liniowego obrazu zbioru mierzalnego), sumuje otrzymane wyniki i przechodzi do granicy z marginesem błędu.

Szczegóły wymagają pewnej staranności.

Lemat [o rozkładzie dziedziny dyfeomorfizmu](#) Jeśli $ \Phi\colon \R^n\supset \Omega\to \Phi(\Omega)\subset \R^n $ jest dyfeomorfizmem, a $ c>1 $ ustaloną liczbą, to dla $ j=1,2,\ldots $ istnieją zbiory otwarte $ U_j\subset \Omega $, których domknięcia $ \overline U_j $ są zwarte i $ \overline U_j\subset \Omega $ dla $ j\in \N $, oraz automorfizmy liniowe $ s_j\in GL(n,\R) $ przestrzeni $ \R^n $, które spełniają następujące warunki:

    {{\rm(\roman{enumi})}}

  1. $ \Omega=\bigcup_{j=1}^\infty U_j $;
  2. Zachodzą nierówności
    \[ \begin{equation} 			\label{det-z-dolu} |\det D\Phi(\xx)|\ge \frac 1c |\det s_j| \qquad\mbox{dla $\xx\in U_j$, $j=1,2,\ldots$} 	\end{equation} \]
  3. Dla każdego zbioru mierzalnego $ A\subset U_j $, gdzie $ j=1,2,\ldots $, zbiór $ \Phi(A) $ jest mierzalny, a ponadto
    \[ \begin{equation}  	  \label{niermiara} 	  \lambda_n(A) |\det s_j| \ge \frac 1c \lambda_n(\Phi(A)). \end{equation} \]

Intuicja jest prosta: $ U_i $ to zbiór tych punktów $ \xx $, dla których $ D\Phi(\xx)\approx s_i $, gdzie $ s_i $ są automorfizmami, wybieranymi z pewnego przeliczalnego, gęstego w $ GL(n,\R) $ podzbioru automorfizmów liniowych $ \R^n $. Liczba $ c>1 $ służy do kontroli błędu przybliżenia i wynikających zeń oszacowań det-z-dolu- niermiara. Dowód tego lematu zawiera kluczowe trudności dowodu twierdzenia o zamianie zmiennych.

    Dowód Lematu [link] Ustalmy $ c>1 $. Wybierzmy przeliczalny gęsty podzbiór $ \mathbb{S}\subset GL(n,\R) $; można np. wziąć wszystkie automorfizmy liniowe, których macierze w standardiowej bazie mają tylko wyrazy wymierne. Ustalmy automorfizm $ s\in \mathbb{S} $ i liczbę $ m\in \N $. Niech $ \eps>0 $ będzie małą liczbą, której wartość dobierzemy do $ c,s,n $ później.

Niech $ k>m $, $ k\in \N $. Określmy $ Z(s,m,k) $ jako zbiór tych punktów $ \xx\in \Omega $, dla których spełnione są trzy warunki, zsm-1- zsm-3 niżej: po pierwsze,

\[ \begin{equation} \dist (\xx, \R^n\setminus \Omega)>\frac 1m \qquad \mbox{oraz} \qquad \|\xx\|<m\, ,\label{zsm-1}      \end{equation} \]

a ponadto dla $ A=D\Phi(\xx) $ jest

\[ \begin{gather}  \big\|A\circ s^{-1}-\mathrm{Id}\big\|  +\big\|s^{-1}\circ A -\mathrm{Id}\big\|     +  \big\| s\circ A^{-1}-\mathrm{Id}\big\| + \big\| A^{-1} \circ  s  -\mathrm{Id}\big\| < \eps\, , \label{zsm-2}\\ \frac{\|\Phi(\xx+\vv)-\Phi(\xx)-D\Phi(\xx) \vv\|}{\|\vv\|} < {\eps} \quad\mbox{dla wszystkich $\zero\not=\vv\in B(\zero,1/k)$,}\label{zsm-3} \end{gather} \]

Następnie, niech $ Z(s,m)=\bigcup_{k>m} Z(s,m,k) $. Jest to zbiór otwarty\/: jeśli $ \xx\in Z(s,m) $, to warunki zsm-1- zsm-2 zachodzą w pewnej kuli wokół $ \xx $, gdyż nierówności są ostre, a $ \Phi $ jest dyfeomorfizmem klasy $ C^1 $. Jeśli warunek zsm-3 jest spełniony w punkcie $ \xx $ dla liczby $ k>m $, to jest spełniony na małej kuli wokół $ \xx $ dla pewnej liczby $ k_1>k $; nietrudno to uzasadnić, korzystając np. z ciągłości lewej strony nierówności zsm-3 jako funkcji pary zmiennych $ \xx,\vv $ (dla $ \vv=\zero $ oczywiście przyjmujemy wartość 0). (Osoby zainteresowane dogłębnym rozumieniem wykładu proszone są o uzupełnienie szczegółów.)

Ponieważ $ \Phi\in C^1 $, więc rodzina wszystkich $ Z(s,m) $ pokrywa zbiór $ \Omega $, a domknięcia zbiorów $ Z(s,m) $ są zwartymi podzbiorami $ \Omega $. Na zbiorze $ Z(s,m) $ funkcja $ \Phi $ nie tylko jest dyfeomorfizmem, ale spełnia warunek Lipschitza na każdej zawartej w nim kuli; stąd wynika, że dla mierzalnych $ A\subset Z(s,m) $ zbiór $ \Phi(A) $ jest mierzalny. (Proszę sprawdzić, że lipschitzowski obraz zbioru miary zero jest zbiorem miary zero, a homeomorficzny obraz zbioru borelowskiego jest borelowski.)

Z oszacowań normy zsm-2 otrzymujemy

\[ \begin{equation} 	\label{DP-s} 	\|D\Phi(\xx)\ww - s(\ww)\|\le \eps \|s(\ww)\|, \qquad    \| s(\ww)-D\Phi(\xx)\ww \|\le \eps \|D\Phi(\xx)(\ww)\| \end{equation} \]

dla $ \xx\in Z(s,m) $ i wszystkich $ \ww\in\R^n $. Stąd i z zsm-2 wynika, że obraz kuli $ B=B(0,1) $ pod działaniem przekształceń liniowych $ D\Phi(\xx) $ i $ s $ spełnia dla każdego $ \xx\in Z(s,m) $ zależności

\[ \begin{equation} 	D\Phi(\xx)(B)\subset (1+\eps)\cdot s(B), \qquad s(B)\subset (1+\eps)\cdot D\Phi(\xx)(B), \end{equation} \]

gdzie $ (1+\eps)\cdot X $ oznacza obraz zbioru $ X $ w jednokładności o środku w zerze i skali $ 1+\eps $. ZTwierdzenia [link] o mierze obrazu liniowego zbioru mierzalnego otrzymujemy więc

\[ \begin{equation} \frac{|\det s|}{(1+\eps)^n}	\le |\det D\Phi(\xx)|\le (1+\eps)^n |\det s|,  \qquad \xx\in Z(s,m). \end{equation} \]

Zatem dla $ 1<(1+\eps)^n\le c $ przeliczalna rodzina zbiorów $ Z(s,m) $ spełnia tezę lematu, za wyjątkiem warunku (iii), którego jeszcze nie sprawdziliśmy.

Dalej pracujemy przy ustalonych $ s $ i $ m $. Wybierzmy jeszcze $ M>1 $ tak, aby

\[ \begin{equation} 	\label{wyborM}  	 \qquad \|s\| + \|s^{-1}\| < M.   \end{equation} \]

Ustalmy $ k>m $. Oszacujemy miarę zbioru $ f(Z(s,m,k)\cap U) $, gdzie $ U $ jest dowolnym otwartym podzbiorem $ Z(s,m) $. Przedstawmy $ U $ jako sumę małych kostek domkniętych o wnętrzach parami rozłącznych. Niech $ Q $ będzie jedną z tych kostek, o krawędzi $ d\ll  1/k $. Wybierzmy $ \xx\in Z(s,m,k)\cap Q $. Porównamy wielkość zbiorów $ \Phi(Q) $ i $ s(Q) $. Niech $ \yy\in Q $ będzie dowolnym punktem. Z nierówności trójkąta,

\[ \begin{eqnarray*} \|\Phi(\yy)-\Phi(\xx) - s(\yy-\xx)\| & \le &  \|\Phi(\yy)- \Phi(\xx)  - D\Phi(\xx)(\yy-\xx)\|\\ & & {} +\|(D\Phi(\xx)-s)(\yy-\xx)\|\\ &\le & \eps\|\yy-\xx\| +\eps \|s(\yy-\xx_0)\| \qquad\mbox{wobec \eqref{zsm-3} i \eqref{DP-s}}\\ & \stackrel{\eqref{wyborM}}\le & 2\eps M \|\yy-\xx_0\|\le 2\eps M d\sqrt{n} .    \end{eqnarray*} \]

Zatem $ \Phi(\yy)-\Phi(\xx) - s(\yy-\xx)=\ww=s(\zz) $ dla punktu $ \zz $ takiego, że

\[\|\zz\|\le \|s^{-1}\|\cdot \|\ww\| \le 2\eps  M^2d\sqrt{n} \, .\]

Punkt $ \yy+\zz $ należy więc do kostki $ Q' $ współśrodkowej z $ Q $ i mającej krawędź $ d'=d+ 2\cdot 2\eps  M^2d\sqrt{n} $. Jest $ d' < c^{1/n} d $, gdy do ustalonych $ M>1 $ i $ c>1 $ dobierzemy $ \eps>0 $ dostatecznie małe. Punkt $ \Phi(\yy)= \Phi(\xx)-s(\xx)+ s(\yy+\zz)=\pp + s(\yy+\zz) $ należy do przesuniętego o ustalony wektor $ \pp $ obrazu zbioru $ s( Q') $. Stąd

\[ \lambda_n(\Phi(Q))\le\lambda_n( s(Q'))=|\det s|\cdot \lambda_n(Q') \le c \cdot |\det s|\cdot  \lambda_n(Q). \]

Sumując takie oszacowania, otrzymujemy

\[ \lambda_n(\Phi(Z(s,m,k)\cap U))\le  c \cdot |\det s|\cdot  \lambda_n(U), \qquad U\subset Z(m,s) \]

a następnie, przechodząc do granicy $ k\to \infty $ (zbiory $ Z(s,m,k) $ tworzą ciąg wstępujący!),

\[ \lambda_n(\Phi(U))\le  c \cdot |\det s|\cdot  \lambda_n(U)  \]

dla otwartych podzbiorów $ U\subset Z(s,m) $. Stąd już łatwo uzyskać warunek (iii) tezy lematu najpierw dla zbiorów borelowskich typu $ G_\delta $, potem zaś dla wszystkich mierzalnych. □

     Uwaga. Drugą część dowodu tego lematu można nieco uprościć; trzeba w tym celu wykazać, że na odpowiednio drobnych podzbiorach zbioru $ Z(s,m,k) $ funkcja $ \Phi\circ s^{-1} $ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $ \theta $ odpowiednio bliską 1 (co jest dość łatwe) i wiedzieć, że wtedy $ \lambda_n(\Phi(Q))\le \theta^n \lambda_n(Q) $. Intuicyjnie to w miarę jasne, ale dowód nie jest zupełnie trywialny.

    Dowód twierdzenia o zamianie zmiennych. Wystarczy przeprowadzić dowód dla funkcji mierzalnych, nieujemnych; dla funkcji całkowalnych dowolnego znaku twierdzenie wyniknie stąd natychmiast. Ustalmy zbiór mierzalny $ E\subset \Omega $ i liczbę $ c>1 $. Niech $ U_i $ oraz $ s_i $ oznaczają zbiory iprzekształcenia z Lematu [link]. Biorąc $ A_1=U_1 $ i $ A_j=U_j\setminus (A_1\cup\ldots\cup A_{j-1}) $ dla $ j\ge 2 $, otrzymujemy rodzinę zbiorów borelowskich, parami rozłącznych, pokrywającą $ \Omega $. Jest

\[ E= \bigcup_{i=1}^\infty (E\cap A_i), \qquad \Phi(E)=\bigcup_{i=1}^\infty \Phi(E\cap A_i)\, ; \]

z Lematu [link] wynika, że wszystkie zbiory wyżej są mierzalne. Wobec addytywności całki i nierówności det-z-dolu- niermiara,

\[ \begin{align*} \int_E |\det D\Phi|\, d\lambda_n &= \sum_{i=1}^\infty \int_{E\cap A_i} |\det D\Phi|\, d\lambda_n \\ &\ge \frac 1c \sum_{i=1}^\infty |\det(s_i)|\cdot \lambda_n(E\cap A_i) \ge  \frac{1}{c^2}   \sum_{i=1}^\infty  \lambda_n\big(\Phi(E\cap A_i)\big) = \frac{1}{c^2}\lambda_n(\Phi(E)). \end{align*} \]

Przechodząc do granicy $ c\to 1 $, otrzymujemy stąd

\[ \begin{equation} \int_E |\det D\Phi|\, d\lambda_n\ge \lambda_n(\Phi(E))\, , 	 \end{equation} \]

lub równoważnie,

\[ \begin{equation} \label{prenierP} \int_\Omega (f\circ\Phi)\cdot |\det D\Phi|\, d\lambda_n \ge \int_{\Phi(\Omega)} f\, d\lambda_n\, ,	 \end{equation} \]

gdzie $ f=\charfn_{\Phi(E)} $ jest funkcją charakterysteryczną zbioru $ \Phi(E) $. Wobec liniowości całki, prenierP zachodzi nie tylko dla funkcji charakterystycznych, ale i dla wszystkich nieujemnych funkcji prostych. Z Twierdzenia [link] (Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej) wynika natychmiast, że nierówność prenierP ma miejsce dla każdej funkcji mierzalnej $ f $ nieujemnej na $ \Phi(\Omega) $.

Dyfeomorfizm $ \Phi $ i zbiór otwarty $ \Omega $ też mogą być dowolne. Z tego teraz skorzystamy. Zapiszmy prenierP dla zbioru $ V=\Phi(\Omega) $, dyfeomorfizmu $ \Psi=\Phi^{-1}\colon V\to \Omega=\Psi(V) $, oraz funkcji

\[ g=(f\circ \Phi)\cdot |\det D\Phi|, \qquad g\ge 0 \quad\mbox{na $\Omega=\Psi(V)$}. \]

Otrzymamy

\[ \begin{equation} 	\label{odwrotka}    	\int_V (g\circ\Psi)\cdot |\det D\Psi|\, d\lambda_n \ge \int_{\Psi(V)} g\, d\lambda_n= \int_\Omega (f\circ \Phi)\cdot |\det D\Phi|\, d\lambda_n \, .        \end{equation} \]

Uprośćmy funkcję podcałkową po lewej stronie. Jest

\[ \begin{align*} (g\circ \Psi)(\xx)\cdot  |\det D\Psi(\xx)| & =  f\big(\Phi(\Psi(\xx))\big) \cdot \big|\det D\Phi\big(\Psi (\xx)\big)\big| \cdot  |\det D\Psi(\xx)|  \\ & =  f\big(\xx)\big) \cdot \Big|\det\big( D\Phi(\Psi (\xx))\cdot D\Psi(\xx) \big)\Big| \\ & =  f\big(\xx)\big) \cdot \Big|\det\big( D(\Phi\circ\Psi)(\xx)\big)\Big| = f(\xx)\, , \qquad \mbox{gdyż $\Phi\circ \Psi=\mathrm{Id}$.}   \end{align*} \]

Dlatego odwrotka jest w istocie nierównością przeciwną do prenierP. Znak nierówności można więc w obu warunkach zastąpić znakiem równości! Dowód twierdzenia o zmianie zmiennych jest zakończony. □

Dowód twierdzenia Fubiniego

%\texttt{- poczeka spokojnie do semestru letniego.}

Dowód Twierdzenia [link] przeprowadzimy dla funkcji mierzalnych, nieujemnych. Wersja dla funkcji całkowalnych wynika stąd łatwo; zainteresowany Czytelnik sam zechce uzupełnić odpowiednie szczegóły.

Podzielimy rozumowanie na kilka kroków, stopniowo poszerzając klasę funkcji, dla których zachodzą poszczególne części tezy. Będziemy dowodzić tylko pierwszej z równości row:Fubini i tych fragmentów pierwszego i drugiego punktu tezy, które są niezbędne do nadania sensu tej równości, tzn. mierzalności prawie wszystkich funkcji $ f_{\mxx}(\yy)=f(\xx,\yy) $ względem $ \sigma $-ciała $ \Leb(\R^m) $ i mierzalności funkcji

\[ \R^n\ni \xx\longmapsto \int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\in\overline\R\, , \]

będących całkami $ f_{\mxx} $ względem $ \lambda_m $. Aby uzyskać drugą z równości row:Fubini i pozostałe fragmenty pierwszego i drugiego punktu tezy, wystarczy zamienić role zmiennych $ \xx $ i $ \yy $ w rozumowaniu.

    Krok 1. Niech $ f $ będzie funkcją charakterystyczną $ (n+m) $-wymiarowego przedziału domkniętego $ [\aa,\bb]_{n+m} $, otwartego $ (\aa,\bb)_{n+m} $ lub domknięto-otwartego

\[ [\aa,\bb)_{n+m}=\{\zz\in \R^{n+m} \colon \aa\preccurlyeq\zz\prec \bb\} \, . \]

Każdy taki przedział jest produktem $ I_n\times J_m $ pewnego przedziału $ n $-wymiarowego $ I_n $ ipewnego przedziału $ m $-wymiarowego $ J_m $. Dla każdego $ \xx\in \R^n $ funkcja $ \yy\mapsto f(\xx,\yy) $ jest albo równa $ \charfn_{J_m} $ (gdy $ \xx\in I_n $), albo jest funkcją stałą równą zero (gdy $ \xx\not\in I_n $), więc jest mierzalna względem $ \Leb(\R^m) $. Stąd wynika, że

\[ \R^n\ni \xx\longmapsto \int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)=\charfn_{I_n}(\xx)\cdot \lambda_m (J_m) \]

jest funkcją mierzalną względem $ \Leb(\R^n) $. Pierwsza z równości row:Fubini przybiera więc w tym przypadku postać

\[ \lambda_{n+m}(I_n\times J_m) = \lambda_n(I_n) \cdot \lambda_m (J_m)\, ,   \]

co jest prawdą na mocy Twierdzenia [link]. (Można też po prostu odwołać się do równości miary Lebesgue'a i objętości przedziału.)

    Krok 2. Niech teraz $ f $ będzie funkcją charakterystyczną zbioru otwartego $ \Omega\subset \R^{n+m} $. Wiemy, że każdy taki zbiór jest sumą przeliczalnej rodziny kostek domkniętych o wnętrzach parami rozłącznych; nietrudno stąd wywnioskować, że $ \Omega=\bigcup_{j=1}^\infty P_j $, gdzie $ P_j $ są przedziałami otwarto-domkniętymi i parami rozłącznymi. Zatem

\[ f=\charfn_\Omega=\sum_{j=1}^\infty f_j, \qquad\mbox{gdzie}\quad f_j=\charfn_{P_j}. \]

Funkcja $ \R^m\ni \yy\mapsto f(\xx,\yy) $ jest więc mierzalna dla każdego $ \xx\in\R^n $ (jako granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych). Następnie, funkcja

\[ \R^n\ni \xx\longmapsto \int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)=\sum_{j=1}^\infty  \int_{\R^m} f_j(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy) \]

(równość zachodzi wobec twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej) jest mierzalna z tego samego powodu. Wreszcie,

\[ \begin{multline*} 	\int_{\R^{n+m}} f\, d\lambda_{n+m} = \sum_{j=1}^\infty  \int_{\R^{n+m}} f_j\, d\lambda_{n+m}    	= \sum_{j=1}^\infty   \int_{\R^n} \biggl(\int_{\R^m} f_j(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) \\ 	 =    \int_{\R^n}  \biggl( \sum_{j=1}^\infty \int_{\R^m} f_j(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx)    	 =    \int_{\R^n}  \biggl(\int_{\R^m} \underbrace{\sum_{j=1}^\infty  f_j(\xx,\yy)}_{=f(\mxx,    \myy)}, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) 	%\\    =  \int_{\R^n}  \biggl(\int_{\R^m}  f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx)  \end{multline*} \]

na mocy pierwszego kroku dowodu i kilkakrotnie zastosowanego twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej.     Krok 3. Teraz niech $ f=\charfn_G $, gdzie $ G\subset \R^{n+m} $ jest zbiorem ograniczonym typu $ G_\delta $. Wówczas $ G=\bigcap_{j=1}^\infty \Omega_j $ dla pewnego zstępującego ciągu zbiorów otwartych ograniczonych $ \Omega_j $. Niech $ f_j $ oznacza funkcję charakterystyczną $ \Omega_j $; wtedy oczywiście $ f_j\searrow f $ dla $ j\to\infty $. Ponownie więc funkcja $ \yy\mapsto f(\xx,\yy) = \lim_j f_j(\xx,\yy) $ jest dla każdego $ \xx\in \R^n $ mierzalna względem $ \Leb(\R^m) $. Ponadto, dla każdego $ \xx\in \R^n $ jest

\[ \int_{\R^m} f_1(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy) < \infty \]

więc

\[ \lim_{j\to\infty} \int_{\R^m} f_j(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy) =   \int_{\R^m} \lim_{j\to\infty}  f_j(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)  = \int_{\R^m} f(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)   \]

na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej. Dlatego, wobec poprzedniego kroku dowodu, funkcja $ \xx\mapsto \int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy) $ jest mierzalna jako granica funkcji mierzalnych. Wiemy już, że

\[ \int_{\R^{n+m}} f_j\, d\lambda_{n+m} = \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^m} f_j(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) \qquad\mbox{dla $j=1,2,\ldots$;} \]

przechodząc do granicy $ j\to \infty $ (trzeba w tym celu znów kilka razy skorzystać ztwierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej), otrzymujemy równość row:Fubini dla $ f=\charfn_G=\lim f_j $.

    Krok 4. Teraz udowodnimy tezę dla $ f=\charfn_A $, gdzie $ A\in \Leb(\R^{n+m}) $ jest dowolnym zbiorem mierzalnym ograniczonym. Z charakteryzacji zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a (patrz Twierdzenie [link]) wynika, że $ A=G\setminus Z $, gdzie $ G $ jest ograniczonym zbiorem typu $ G_\delta $, zaś $ Z\subset G $ jest zbiorem miary $ \lambda_{n+m} $ zero. Zbiór $ Z $ jest zawarty w pewnym zbiorze $ H $ typu $ G_\delta $ i miary Lebesgue'a zero. (Można np. wziąć $ H=\bigcap U_j $, gdzie $ U_j $, dla każdego $ j=1,2,\ldots $, jest sumą rodziny przedziałów otwartych pokrywających $ Z $, o łącznej mierze $ < 1/j $.) Funkcja $ \charfn_H $ spełnia

\[ \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^m}\, \charfn_H (\xx,\yy)\,  d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) =\int_{\R^{n+m}}\charfn_H \, d\lambda_{n+m} =\lambda_{n+m}(H)=0, \]

więc

\[ \int_{\R^m}\, \charfn_H(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)=0\qquad\mbox{dla wszystkich $\xx\in X$, gdzie $\lambda_n(\R^n\setminus X)=0$.} \]

Stąd wynika, że dla każdego $ \xx\in X $ istnieje zbiór $ Y_{\mxx} $ taki, że

\[ \charfn_H(\xx,\yy)=0  \qquad\mbox{dla wszystkich $\yy\in Y_{\mxx}$, gdzie $\lambda_m(\R^m\setminus Y_{\mxx})=0$.}  \]

Jednak $ 0\le \charfn_Z\le \charfn_H $, więc

\[ \begin{equation} \label{chfnZ} \charfn_Z(\xx,\yy)=0 \qquad\mbox{dla wszystkich $x\in X$ i $\yy\in Y_{\mxx}$}.	 \end{equation} \]

Funkcja $ f=\charfn_A=\charfn_G-\charfn_Z $. Ustalmy $ x\in X $. Wobec chfnZ jest $ f(\xx,\yy)=\charfn_G(\xx,\yy) $ dla wszystkich $ \yy\in Y_{\mxx} $, tzn. na zbiorze pełnej miary w $ \R^m $. Funkcja, która jest $ \lambda_m $-prawie wszędzie równa funkcji mierzalnej, sama jest mierzalna; innymi słowy, $ f_{\mxx}(\cdot)=f(\xx,\cdot) $ jest mierzalna dla prawie wszystkich $ \xx $. Ponadto,

\[ \begin{equation} 	\label{naXdobrze}       	\int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)= \int_{\R^m}\charfn_G(\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy) 	\qquad\mbox{dla wszystkich $\xx\in X$.} \end{equation} \]

Wynika stąd, że lewa strona tej równości jest mierzalną funkcją zmiennej $ \xx\in \R^n $.

Wreszcie, ponieważ $ X $ jest zbiorem pełnej miary w $ \R^n $, więc

\[ \begin{multline*} \int_{\R^{n+m}} f\, d\lambda_{n+m}=\int_{\R^{n+m}}\charfn_G\, d\lambda_{n+m} =  \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^m} \charfn_G (\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) \\ =  \int_{X}\biggl(\int_{\R^m} \charfn_G (\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) \stackrel{\eqref{naXdobrze}}=  \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^m} f (\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx)\, .   \end{multline*} \]

    Krok 5: przypadek ogólny. Niech $ f $ będzie dowolną funkcją mierzalną nieujemną. Istnieje wtedy ciąg funkcji prostych $ 0\le f_j\nearrow f $ dla $ j\to \infty $. Zauważmy, że wtedy

\[ 0\le g_j=f_j\cdot \charfn_{B(\zero,j)} \nearrow f\, . \]

Z poprzednich kroków dowodu i liniowości całki łatwo wynika, że teza twierdzenia Fubiniego zachodzi dla wszystkich funkcji prostych nieujemnych, które znikają poza pewną kulą w $ \R^{n+m} $, a więc w szczególności dla każdej z funkcji $ g_j $. Dlatego, dla każdego $ j=1,2,\ldots $ istnieje taki zbiór $ X_j\subset \R^n $, że

\[ \begin{equation} 	\label{wlas-gj} 	\lambda_n(\R^n\setminus X_j)=0, \qquad \yy\mapsto g_j(\xx,\yy) \text{ jest funkcją mierzalną dla $\xx\in X_j$.} \end{equation} \]

Ponadto, funkcje

\[ \begin{equation} 	\R^n\ni \xx\mapsto\int_{\R^m} g_j(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy) \qquad\text{są mierzalne dla } j=1,2\ldots \end{equation} \]

Połóżmy $ X=\bigcap_{j=1}^\infty X_j $. Zbiór $ X $ jest pełnej miary w $ \R^n $ i wszystkie funkcje $ \yy\mapsto g_j(\xx,\yy) $ są mierzalne dla każdego $ \xx\in X $; dlatego $ \yy\mapsto f(\xx,\yy)=\lim_j g_j(\xx,\yy) $ jest funkcją mierzalną dla każdego $ \xx\in X $. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej otrzymujemy teraz mierzalność funkcji

\[ \begin{equation}  	\label{fgj-ust-x} 	\R^n\ni \xx\mapsto\int_{\R^m} f(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy)=\lim_{j\to\infty} \int_{\R^m} g_j(\xx,\yy)\, d\lambda_m(\yy) \end{equation} \]

Ponieważ teza twierdzenia Fubiniego zachodzi dla każdej funkcji $ g_j $, więc

\[ \int_{\R^{n+m}} f\, d\lambda_{n+m}=\lim_{j\to\infty }\int_{\R^{n+m}} g_j \, d\lambda_{n+m} =\lim_{j\to\infty }  \int_{\R^n}\biggl(\int_{\R^m} g_j (\xx,\yy) \, d\lambda_m(\yy)\biggr)\, d\lambda_n(\xx) \, ; \]

stąd i z fgj-ust-x otrzymujemy, raz jeszcze stosując twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, równość row:Fubini dla funkcji $ f $. To kończy cały dowód. □

Wniosek Niech $ A\in \Leb(\R^{n+m}) $. Dla $ \xx\in \R^n $ i $ \yy\in \R^m $ niech

\[ \begin{equation} 		\label{przekroje} 		A_{\mxx}:=\{\yy\in \R^m\colon (\xx,\yy) \in A\}, \qquad A^{\myy}:=\{\xx\in \R^n\colon (\xx,\yy) \in A\} \end{equation} \]

oznaczają tak zwane przekroje pionowe i poziome zbioru $ A $. Wówczas $ A_{\mxx}\in \Leb(\R^m) $ dla prawie wszystkich $ \xx\in \R^n $ i $ A^{\myy}\in \Leb(\R^n) $ dla prawie wszystkich $ \yy\in\R^m $.

Dowód: Stosujemy pierwszy punkt tezy twierdzenia Fubiniego do $ f=\charfn_A $.□
Uwaga Jeśli $ A\in \Leb(\R^{n+m}) $, to dla pewnych $ \xx\in \R^n $ przekrój $ A_{\mxx} $ może być zbiorem niemierzalnym. Niech np. $ n=m=1 $ i niech $ V\subset [0,1] $ będzie zbiorem niemierzalnym, skonstruowanym w Przykładzie [link]. Zbiór $ A=\{0\}\times V $ jest elementem $ \sigma $-ciała $ \Leb(\R^2) $, gdyż $ \lambda_2(A)=0 $, jednak jego przekrój $ A_0=V $ nie jest mierzalnym podzbiorem $ \R<img class="teximage" src="/sites/default/files/tex/caa71b3ca5d429eee8c60fca89372f3577171a70.png" alt="fd548ac816ffe06a9bd9b6a8c2d811cf:83:" />A,B\in \Leb(\R^{n+m}) $ i równość $ \lambda_m(A_{\mxx})=\lambda_m(B_{\mxx}) $ zachodzi dla prawie wszystkich $ \xx\in \R^n $, to wówczas $ \lambda_{n+m}(A)=\lambda_{n+m}(B) $. □

Tej równości dla $ n=1,m=2 $ i `przyzwoitych' brył $ A,B\subset \R^3 $ świadom był już Archimedes, który wiedział, że objętość kuli stanowi $ \frac 23 $ objętości opisanego na niej walca, dowodził zaś tego, rozpatrując poziome przekroje kuli i dwóch stożków wpisanych w walec.

Podamy kilka innych przykładów zastosowań twierdzenia Fubiniego i twierdzenia o zamianie zmiennych.

Przykład [miara stożka nad zbiorem $ n $-wymiarowym] Niech $ A\in \Leb(\R^n) $, gdzie $ R^n $ utożsamiamy z $ \R^n\times \{0\}\subset \R^{n+1} $, i niech $ \vv\in \R^{n+1}=\R^n\times\R $ będzie punktem o współrzędnej $ v_{n+1}\not=0 $. Stożkiem $ C(A,\vv) $ o podstawie $ A $ (inaczej: nad zbiorem $ A $) i o wierzchołku $ \vv $ nazywa się zwykle zbiór

\[ 	C(A,\vv)=\{\zz\in \R^{n+1}\colon\quad \zz=t \cdot (\xx,0)+(1-t)\cdot \vv, \ \xx\in A, \ t\in [0,1]\}, 	\]

będący sumą wszystkich odcinków o jednym końcu w punkcie $ \xx=(\xx,0)\in A $ i drugim końcu w punkcie $ \vv $. Wykażemy, że

\[ \begin{equation} 	\label{miarastozka} 	\lambda_{n+1}\big(C(A,\vv)\big) = \frac{1}{n+1}\cdot  |v_{n+1}|\cdot \lambda_n(A). \end{equation} \]

(Czytelnik zechce zauważyć, że gdy $ n=2 $ i $ A $ jest wielokątem w $ \R^2 $, to miarastozka jest znanym wzorem na objętość ostrosłupa.) Niech

\[ \Phi\colon \R^n\times (0,1)\ni (\xx,t)\mapsto \Phi(\xx,t)= t \cdot (\xx,0)+(1-t)\cdot \vv\in \R^{n+1}\, ; \]

macierzą różniczki $ D\Phi $ przekształcenia $ \Phi $ jest, jak łatwo zauważyć, następująca macierz $ (n+1)\times (n+1) $:

\[ \begin{pmatrix} 	t\cdot {\mathrm{Id}}_{n\times n} & B \\ \zero & -v_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  , \]

gdzie $ B $ oznacza kolumnę liczb $ x_i-v_i $, $ i=1,2,\ldots, n $. Dlatego $ |\det D\Phi(\xx,t)|=t^n\cdot |v_{n+1}| $. Mamy

\[ \begin{align*} \lambda_{n+1}\big(C(A,\vv)\big)&=\int_{\R^{n+1}}\charfn_{C(A,\mvv)} \, d\lambda_{n+1} \\ & = \int_{\R^n\times (0,1)} \Big(\charfn_{C(A,\mvv)}\circ \Phi \Big)\cdot |\det D\Phi|\, d\lambda_{n+1} \qquad\mbox{wobec Twierdzenia\ref{tw:zamiana}}\\ & = \int_0^1\int_A t^n \cdot |v_{n+1}|\, d\lambda_n(\xx)\, dt \qquad\mbox{wobec Twierdzenia Fubiniego\ref{tw:Fubini}}\\ & = \frac{1}{n+1}\cdot  |v_{n+1}|\cdot \lambda_n(A)\, ,  \end{align*} \]

a więc istotnie zachodzi wzór miarastozka\, .

Przykład [zasada Cavalieri'ego, wersja II] Niech $ f $ będzie funkcją mierzalną nieujemną na $ \R^n $. Wówczas dla każdej liczby $ p\ge 1 $ zachodzi wzór

\[ \begin{equation} 	\label{cav2} \int_{\R^n} f^p\, d\lambda_n =p\int_0^\infty t^{p-1}\cdot \lambda_n\big(\{\xx\in \R^n\colon f(\xx)>t\}\big)\, dt\, . \end{equation} \]

Istotnie, dzięki równości $ z^p=p\int_0^z t^{p-1}\, dt $, stosując twierdzenie Fubiniego, żeby zamienić kolejność całkowania względem $ \xx\in \R^n $ i $ t>0 $, otrzymujemy

\[ \begin{align*} \label{cav2} \int_{\R^n} f^p\, d\lambda_n = \int_{\R^n} \biggl(p\int_0^f t^{p-1}\, dt\biggr)\, d\lambda_n & =\int_{\R^{n+1}}  p\, t^{p-1}\cdot \charfn_{\{(\mxx,t)\colon f(\xx)>t>0\}} (\xx,t)\, d\lambda_{n+1}(\xx,t)\\  & =p\int_0^\infty t^{p-1}\cdot \lambda_n\big(\{\xx\in \R^n\colon f(\xx)>t\}\big)\, dt\, .   \end{align*} \]

Innym przykładem zastosowania obu twierdzeń (o zamianie zmiennych i Fubiniego) do obliczania objętości brył obrotowych w $ \R^3 $ jest tzw. reguła Pappusa-Guldina (znana także jako reguła Guldina lub twierdzenie Pappusa o środku ciężkości).

Definicja Jeśli $ A $ jest zbiorem mierzalnym w $ \R^n $, a $ \mu $ miarą na $ \Leb(\R^n) $, dodatnią na $ A $, to środkiem ciężkości zbioru $ A $ względem miary $ \mu $ nazywamy punkt $ s(A) $ o współrzędnych

\[ 	\frac{1}{\mu(A)} \int_A x_i\,  d\mu \, ,\qquad i=1,\ldots, n. 	\]

(Jeśli któraś z powyższych całek nie istnieje, to środek ciężkości $ A $ względem $ \mu $ nie jest określony). Używa się także zapisu wektorowego

\[ s(A)= \frac{1}{\mu(A)} \int_A \xx \,  d\mu \]

Gdy $ \mu=\lambda_n $, mówimy po prostu o środku ciężkości zbioru $ A $.

Stwierdzenie [reguła Pappusa-Guldina] Załóżmy, że zbiór $ A $ zawarty w półpłaszczyźnie $ \{(x,y,z)\in \R^3\colon x>0, y=0\} $ jest mierzalny względem $ \lambda_2 $ i ma środek ciężkości. Niech $ B $ będzie zbiorem, który powstaje z $ A $ przez obrót o kąt $ 2\pi $ wokół prostej $ x=y=0 $ w $ \R^3 $. Wtedy

\[ \begin{equation} 		\label{row:Guldin} 		\lambda_3(B)=2\pi r\cdot \lambda_2 (A), \end{equation} \]

gdzie $ r $ oznacza odległość środka ciężkości zbioru $ A $ od osi obrotu.

Dowód: Połóżmy

\[ \Phi(x,z,t)=(x\cos t,x\sin t, z) \qquad\mbox{dla}\quad (x,z,t)\in \Omega = (0,\infty)\times \R\times (0,2\pi)\, .    	\]

Czytelnik łatwo sprawdzi, że

\[ |\det D\Phi(x,z,t)|= |x\cos^2 t+ x\sin^2 t|= x, \qquad (x,z,t)\in \Omega. \]

Zbiór $ \Phi(A\times (0,2\pi)) $ to po prostu zbiór $ B $ z usuniętą półpłaszczyzną $ \{x>0, y=0\} $, która jest zbiorem miary zero w $ \R^3 $. Dlatego, wobec twierdzenia o zamianie zmiennych i twierdzenia Fubiniego,

\[ \lambda_3(B)=\lambda_3(\Phi(A))=\int_{A\times (0,2\pi)} |\det D\Phi|\, d\lambda_3 = \int_0^{2\pi}\lambda_2(A)\cdot\biggl( \frac{1}{\lambda_2(A)}\int_A x\, d\lambda_2 \biggr)\, dt\, . \]

Całka wewnętrzna

\[ \frac{1}{\lambda_2(A)}\int_A x\, d\lambda_2\, , \]

tzn. $ x $-owa współrzędna środka ciężkości $ s(A) $ zbioru $ A $, jest równa $ r $, odległości punktu $ s(A) $ od osi obrotu $ \{x=y=0\} $. Dlatego

\[ \lambda_3(B) = \int_0^{2\pi}\lambda_2(A)\cdot r\, dt\, = 2\pi r\cdot \lambda_2 (A)\, .   \]

Przykład [objętość torusa obrotowego] Niech $ R>r>0 $. Obracając wokół osi $ z $ koło $ K=\{(x,y,z)\colon (x-R)^2+z^2=r^2, y=0\} $ położone w płaszczyźnie $ y=0 $ otrzymamy pełny torus o objętości $ 2\pi R \cdot \pi r^2= 2\pi^2 Rr^2 $. To wynika z reguły Pappusa-Guldina: środek ciężkości koła $ K $ pokrywa się z jego geometrycznym środkiem i leży właśnie w odległości $ R $ od osi obrotu.
Zadanie Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego i półkola. Sprawdzić znane wzory na objętość stożka, walca i kuli, posługując się regułą Guldina.