Topologia I

O topologii

Topologią jest dziedziną matematyki w której nadaje się precyzyjny, abstrakcyjny sens intuicjom związanym z pojęciami ciągłości, deformacji, spójności oraz analizy jakościowej wzajemnego położenia obiektów geometrycznych - stąd dawna nazwa topologii Analysis situs, czyli analiza położenia. Topologia bywa określana jako ''elastyczna geometria''; czyli nauka o relacjach geometrycznych abstrahujących od pomiarów odległości, ale dopuszczających ciągłe przekształcenia obiektów geometrycznych. Relacje przystawania czy izometrii znane z geometrii zastępują w topologii pojęcia homeomorfizmu lub jeszcze bardziej zgrubne homotopijnej równoważności obiektów geometrycznych. Niezmiennikiem homeomorfizmu jest np. zwartość i spójność przestrzeni; niezmiennikiem homotopijnych równoważności tylko spójność i jej wyżej wymiarowe odpowiedniki (''dziury w przestrzeni'').

Początki rozważań topologicznych znajdują się w pracach Leonarda Eulera , ale pierwszego całościowego ujęcia idei topologicznych dokonał Johann Benedict Listing w wydanej w 1848 roku książce Vorstudien zur Topologie, który wprowadził też nazwę "Topologia" od greckiego słowa tópos - miejsce. Kolejne przełomy w rozwoju topologii są związane ze sformułowaniem jej podstawowych i pojęć w terminach teorii mnogości, rozwiniętej przez Georga Cantora pod koniec XIX w. oraz z wprowadzeniem narzędzi algebraicznych do badania własności topologicznych przez Henri Poincaré na początku wieku XX. Do rozwoju topologii wybitnie przyczynili się warszawscy matematycy Kazimierz Kuratowski, Karol Borsuk i Samuel Eilenberg (od 1939 r. w USA).

Tak jak przewidywał Poincaré, metody topologiczne wywarły ogromny wpływ na badania matematyczne w wielu dziedzinach. W XX w. kilkunastu matematyków otrzymało medal Fieldsa za osiągnięcia w dziedzinie topologii lub za osiągnięcia w geometrii i analizie globalnej motywowane ideami topologicznymi. Topologia przeplata się z niemal wszystkimi działami matematyki czystej, a w ostatnich latach jej idee są wykorzystywane coraz szerzej w informatyce teoretycznej i robotyce; obok tradycyjnych działów topologii: topologii mnogościowej (ogólnej), algebraicznej, geometrycznej coraz więcej mówi się o topologii obliczeniowej ( computational topology ).

O e-skrypcie

E-skrypt stanowi zintegrowaną i uzupełnioną wersję prezentacji wyświetlanych podczas wykładu przedmiotu Topologia I, prowadzonego przez autora w latach 2012-2014 na Wydziale MIM UW. Założeniem kursu było przekazania wiedzy i umiejętności przewidzianych programem i jednocześnie:

  • rozwijanie umiejętności posługiwania się pojęciami z teorii zbiorów;
  • podkreślenie analogii i związków pojęć i konstrukcji topologicznych ze znanymi z algebry liniowej, teorii grup i analizy matematycznej;
  • zastosowanie abstrakcyjnych pojęć do badania dobrze znanych powierzchni: walca, wstęgi Möbiusa, sfery, torusa, płaszczyzny rzutowej i butelki Kleina.

Skrypt intenetowy stwarza możliwości aktualizacji niedostępne na nośniku papierowym. Obok tekstu skryptu w menu po lewej stronie ekranu znajdują się linki do quizów (testów) mających na celu weryfikację opanowania podstawowych pojęć topologii. Pierwszy quiz testuje opanowanie pojęć teorii zbioru, niezbędnych do nauki topologii. Po wypełnieniu quizu otrzymuje się informacje o prawidłowych odpowiedziach, czasami wraz z uzasadnieniem. Na zakończenie każdego rozdziału umieszczone są zadania, sprawdzające przyswojenie materiału, często na konkretnych przykładach przestrzeni i przekształceń. W tekście znajduje się wiele zewnętrznych linków, w tym do not biograficznych o matematykach, których twierdzenia są omawiane.

Zachęcam do równoległej lektury skryptu S. Betley, J. Chaber, E.Pol, R.Pol TOPOLOGIA I, wykłady i zadania, wrzesień 2012 oznaczanego dalej BCPP. Czytelnik zauważy z pewnością pewne różnice zarówno w zakresie materiału, jak i rozkładu akcentów. Mam jednak nadzieję, że spojrzenie na topologię z różnych perspektyw pozwoli lepiej zrozumieć jedne z najważniejszych idei matematyki. Wśród zadań znajduje się wiele odsyłaczy do ciekawych zadań z skryptu BCPP.

Zapraszam do korzystania z e-skryptu oraz przesyłania wszelkich uwag, w tym postulatów uzupełnienia dowodów, dodania wskazówek do zadań, uzupełnienia skryptu o pewne tematy itp. Dzięki współpracy z użytkownikami e-skrypt może stawać się coraz lepszy.

UWAGA. Załączone do poszczególnych stron pliki pdf nie zawierają obecnie wielu poprawek wprowadzonych w wersji html !

Stefan Jackowski

30 września 2015 r.

CIĄGŁOŚĆ i TOPOLOGIA

Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego wykładu Analizy Matematycznej dotyczy jednynie liczb rzeczywistych i wykorzystuje dwie struktury, w które wyposażone są liczby rzeczywiste: dodawanie i porządek. Definicja topologii w zbiorze motywowana jest pytaniem, jaka możliwie najsłabsza struktura jest potrzebna, aby mówić o ciągłości w taki sposób, by w znanych przypadkach pokrywało się ono z faktami z analizy matematycznej oraz z intuicją geometryczną związaną z potocznym rozumieniem tego pojęcia.

Topologie i przestrzenie topologiczne

Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów $ U\subset\R $, że dla każdego punktu $ {x\in U} $ istnieją liczby $ {s<x<t} $ takie, że $ (s,t)\subset U. $ Istotnie, ciągłość funkcji rzeczywistej, zdefiniowana przez Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857)

Definicja Niech $ f\colon\R\to\R $ będzie będzie funkcją rzeczywistą. Mówimy, że $ f $ jest ciągła jeśli dla każdego punktu $ x_0\in\R $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ \delta >0 $ taka, że zachodzi implikacja: $  |x_0 - x| < \delta\quad \implies\quad  |f(x_0) - f(x)| < \epsilon. $

może być określona odwołując się jedynie do odcinków otwartych:

Stwierdzenie Funkcja $ f\colon\R\to\R $ jest ciagła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego odcinka otwartego $ (c,d)\subset\R $ i dowolnego punktu $ x\in f^{-1}((c,d)) $ istnieje odcinek owarty $ (a,b)\ni x $ taki, że $ (a,b)\subset f^{-1}((c,d)) $, czyli przeciwobraz $ f^{-1}((c,d)) $ jest sumą mnogościową odcinków otwartych. □

Łatwo zauważyć, że przecięcie skończonej rodziny sum odcinków otwartych jest sumą odcinków otwartych. Mamy zatem następującą definicję topologii w dowolnym zbiorze:

Definicja (#) Niech $ X $ będzie zbiorem. Topologią w zbiorze $ X $ nazywamy rodzinę podzbiorów $ \sT\subset \sP (X) $ taką, że:

  1. $ \emptyset, X \in \cal T $
  2. Dla dowolnej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in \cal T $ suma mnogościowa $ \bigcup_{i\in I}U_i\in\cal T $
  3. Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in\cal T $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}U_i\in\cal T $

Przestrzenią topologiczną nazywamy parę $ (X,\sT) $, gdzie $ X $ jest zbiorem, a $ {\sT} $ ustaloną topologią. Zbiory należące do $ \sT $ nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej $ (X,{\sT}) $.

     Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego $ \sP(X) $, czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $ X $, oznaczanego też czasem $ 2^X $:

  • Zbiór topologii w $ X $ jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
  • W dowolnym zbiorze $ X $ definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną) $ {\cal T}_{\alpha\delta} = \{\emptyset , X\} $ oraz maksymalną (dyskretną) $ {\cal T}_{\delta} = {\cal P}(X). $ Dla dowolnego zbioru $ X $ przestrzeń $ (X,\sT_{\alpha\delta}) $ nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń $ (X,\sT_{\delta}) $ nazywamy przestrzenią dyskretną.
  • Dla dowolnej topologii $ \cal T $ w $ X:\quad {\cal T}_{\alpha\delta} \subset {\cal T} \subset {\cal T}_{\delta} $.
Stwierdzenie Jeśli $ \{{\cal T}_s\}_{s\in S} $ jest rodziną topologii w zbiorze $ X $, to ich przecięcie $ \bigcap\limits_{s\in S}  {\cal T}_s $ też jest topologią.

Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy

Definicja Niech $ (X,{\cal T}_X) $ oraz $ (Y,{\cal T}_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów $ f:X\to Y $ nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru $ V\in{\cal T}_Y $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T}_X $ .

Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do definicji ciągłości wg. Cauchy:

Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (X,\sT_X)\to  (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru $ V\in\sT_Y  $ takiego, że $  f(x)\in V $ istnieje zbiór $ U\in \sT_X $ taki, że $ x\in U $ oraz $ f(U)\subset V. $

Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.

Stwierdzenie Jeśli odwzorowania $ (X,\sT_X)\arr f  (Y,\sT_Y) \arr g (Z,\sT_Z) $ są ciągłe, to ich złożenie $ (X,\sT_X)\arr {g\circ f} (Z,\sT_Z) $ też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT_X) $ odwzorowanie identycznościoweid_X\colon $ (X,\sT_X) \to{id_X} (X,\sT_X) $} jest ciągłe.
Definicja Przekształcenie ciągłe $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe $ g: (Y,{\cal T}_Y)\to (X,{\cal T}_X)  $ takie, że $ f\circ g = Id_Y $ oraz $ g\circ f = Id_X $.

     Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:

  • Homeomorfizm $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest bijekcją zbiorów $ X\arr f Y $, ale nie każda ciągła bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór $ X $ ma co najmniej dwa punkty, to identyczność $ Id:(X,\sT_\delta)\to (X,\sT_{a\delta}) $ jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli $ g $ jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to $ f(U) = g^{-1}(U) $ a ten zbiór na mocy ciągłości $ g $ jest otwarty.
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.

Zbiory domknięte

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się domknięty (w topologii $ \sT $) jeśli $ X\setminus A\in\sT $. Rodzinę podzbiorów domkniętych oznaczamy $ \sF_{\sT} $.

Zauważmy, że odwzorowanie $ -^c : {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ przypisujące każdemu zbiorowi jego dopełnienie ustala bijekcję między rodziną zbiorów otwartych $ \sT $ i rodziną zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $.

Ze wzorów De Morgana (Madurai, Tamil Nadu, India 1806 - 1871 London, UK) wynikają następujące własności rodziny zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $, dwoiste do własności rodziny zbiorów otwartych $ \sT $, wymienionych w Definicji [link] :

  1. $ X,\, \emptyset\in\sF_\sT $,
  2. Dla dowolnej skończonej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ suma mnogościowa   $ \bigcup_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $,
  3. Dla dowolnej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $ .

Odnotujmy fakty dotyczące ciągłości odwzorowań w terminach zbiorów domkniętych, analogiczne do sformułowanych poprzednio dla zbiorów otwartych.

  1. Przeształcenie $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz $ f^{-1}(B) $ dowolnego podzbioru domknietego $ B\subset Y $ jest domknięty w $ X $.
  2. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym.
  3. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, że dla dowolnego zbioru domkniętego $ A\subset X $ jego obraz $ f(A)\subset Y $ jest zbiorem domkniętym to $ f $ jest homeomorfizmem.

Własność Hausdorffa

Definicja [Własność Hausdorffa (Breslau (Wrocław) 1868 - 1942 Bonn ).] Przestrzeń topologiczną $ (X,{\cal T}) $ nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów $ x_0,x_1\in X $ istnieją zbiory $ U_0,U_1\in\sT $ takie, że $ x_0\in U_0,\,\, x_1\in U_1 $ oraz $ U_0\cap U_1 = \emptyset $.

Przykład Niech $ X $ będzie zbiorem nieskończonym. Zdefiniujmy w $ X $ tzw. "finite complement topology" jako rodzinę składającą się ze zbiorów, których dopełnienia są zbiorami skończonymi oraz całego zbioru pustego. W tej topologii dowolne dwa niepuste zbiory otwarte mają niepuste przecięcie (na rysunku na płaszczyźnie zaznaczono dwa zbiory - jeden po usunięciu punktów $ x_i $, drugi $ y_j $):

Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr h (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem i $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią Haudorffa, to $ (Y,\sT_Y) $ też jest przestrzenią Hausdorffa.

Topologie pochodzące od metryki

Definicja [Metryka] Metryką w zbiorze X nazywa się funkcję $ d\colon X \times X \to \R $ spełniającą następujące warunki:

  1. $ d(x, y) = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ x = y $,
  2. $ d(x, y) = d(y, x) $, dla $ x, y \in  $X,
  3. $ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y), $ dla $ x, y, z \in X. $ (nier. trójkąta)

Liczba $ d(x,y) $ nazywa się odległością punktów $ x, y \in X $ w metryce $ d $. Parę $ (X, d) $ nazywamy przestrzenią metryczną.

Uwaga Jeśli $ A\subset X $ jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d_X) $, to obcięcie odwzorowania $ d $ do zbioru $ A\times A $ zadaje metrykę na $ A $ - odpowiednią przestrzeń metryczną oznaczamy $ (A,d_X|A) $.
Definicja Kulą (otwartą) w przestrzeni metrycznej $ (X, d) $ o środku w punkcie $ x_0\in X $ i promieniu $ r > 0 $ nazywamy zbiór

$$B(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) < r\},$$

a kulą domkniętą zbiór $ D(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) \leq r\} $

Stwierdzenie Niech $ (X, d) $ będzie przestrzenią metryczną. Rodzina podzbiorów zbioru $ X $:

$$\sT (d) := \{U\subset X\,|\, \forall_{x\in U}\exists_{r>0}\,  B(x,r)\subset U\}$$

czyli składająca się z sum kul otwartych, jest topologią w $ X, $ spełniajacą warunek Hausdorffa.

Dowód: Spełnienie przez zdefinowaną wyżej rodzinę warunków (1), (2) w definicji topologii [link] jest oczywiste. Jeśli $ U_1,.., U_k\in\sT(d) $ oraz $ x\in  U_1\cap...\cap U_k $ i dla każdego $ i=1,..,k $ istnieje liczba $ r_i>0 $ taka, że $ B(x,r_i)\subset U_i $, to dla $ r := \min \{r_1,..,r_k\} $ zachodzi inkluzja $ B(x,r)\subset U_1\cap...\cap U_k. $

Zauważmy, że dowolna kula otwarta $ B(x,r)\in\sT(d) $, bowiem dla dowolnego punktu $ y\in B(x,r) $ z nierówności trójkata wynika, że dla $ s := r - d(x,y) $ zachodzi inkluzja $ B(y,s)\subset B(x,r). $

Podobnie warunek Hausdorffa wynika natychmiast z warunku (1) i z nierówności trójkąta. Jeśli $ x_1,x_2\in X $ są różnymi punktami i $ d := d(x_1,x_2)>0 $ to kule $ B(x_1,\frac{d}{2}) $ i $ B(x_2,\frac{d}{2}) $ są rozłącznymi otoczeniami otwartymi tych punktów. □

Nie każda topologia pochodzi od metryki, choćby dlatego, ze nie każda ma własność Hausdorffa. Z drugiej strony dwie różne metryki mogą wyznaczać tę samą topologię. Np. dla dowolnej metryki $ d $ jej ''obcięcie'' z góry przez dowolną liczbę $ >0 $ np. 1, czyli $ d'(x,y) := \min\{d(x,y),1\} $ wyznacza tę samą topologię co $ d $ bowiem kule o promieniu $ <1 $ są w obu metrykach identyczne. Stąd następna definicja:

Definicja [Metryki równoważne i topologia metryzowalna] Metryki $ d_1, d_2 $ w zbiorze $ X $ nazywają się równoważne jeśli $ \sT (d_1) = \sT(d_2). $ Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią topologiczną taką, że istnieje metryka $ d $ na $ X $ taka, że $ \sT = \sT(d) $ to mówimy, że przestrzeń $ (X,\sT) $ jest metryzowalna.
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest metryzowalna, a przestrzeń $ (Y,\sT_Y) $ jest z nią homeomorficzna, to jest także metryzowalna.
Dowód: Jeśli $ g:(Y,\sT_Y) \to (X,\sT_X) $ jest homeomorfizmem, a $ d_X:X\times X\to\R $ metryką taką, że $ \sT_X=\sT(d_X) $ to definiujemy metrykę ''przenosząc'' ją przez odwzorowanie $ g $ : $ d_Y:Y\times Y\to\R $ wzorem $ d_Y(y_1,y_2) := d_X(g(y_1),g(y_2)). $
Stwierdzenie Odwzorowanie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ {x_0\in X} $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ {\delta >0} $ taka, że $ f(B(x_0,\delta))\subset B(f(x_0),\epsilon). $
Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\} $ przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbieżny do punktu $ x_0\in X $ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla wszystkich $ n>n(\epsilon),\, x_n\in B(x_0,\epsilon) $ tzn. $ d(x_n,x_0)<\epsilon . $
Stwierdzenie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje granice ciągów, tzn.

$$ x_0 = \lim \{x_n\} \implies  f(x_0) = \lim \{f(x_n)\}.$$
Dowód: Powtórz dowód równoważności definicji ciagłości wg Heinego i Cauchy znany z Analizy Matematycznej I.□

Zadania

Zadanie (#) W zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów $ {\cal T}_i $:

  • $ {\cal T}_1=\sP (\R) $ -- topologia dyskretna
  • $ {\cal T}_2=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t>s}[s,t)\subset U\} $ -- topologia prawej strzałki
  • $ {\cal T}_3=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t<s}(t,s]\subset U\} $ -- topologia lewej strzałki
  • $ {\cal T}_4=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{r<s<t}(r,t)\subset U\} $ -- topologia euklidesowa
  • $ {\cal T}_5=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(-\infty,x)\colon x\in \R\} $ - topologia lewych przedziałów
  • $ {\cal T}_6=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(x,+\infty)\colon x\in \R\} $ - topologia prawych przedziałów
  • $ {\cal T}_7=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{U\subset \R\colon  \R\setminus U \; \hbox{jest zbiorem skończonym}\} $ -- topologia Zariskiego
  • $ {\cal T}_8=\{\emptyset\}\cup\{\R\} $ -- topologia antydyskretna
  1. Sprawdź, że rodziny $ {\cal T}_i $ są topologiami.
  2. Porównaj topologie $ {\cal T}_i $, rysując diagram inkluzji tych topologii i zbadaj ich przecięcia.
  3. Które z topologii $ (\R ,\sT_i), $ mają własność Hausdorffa?
  4. Wskaż pary $ (\R ,\sT_i),\, (\R ,\sT_j) $, które są lub nie są homeomorficzne. Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
Zadanie Jeśli odwzorowanie ciągłe przestrzeni topologicznych $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest bijekcją oraz dla dowolnego zbioru otwartego $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem.
Zadanie Zdefiniujmy funkcje $ f,g,h\colon \R\longrightarrow \R $ wzorami:

$$f(x)=x^2 , \quad g(x)=\begin{cases}x^2 \quad\text{jeżeli $x\ge0$} \\ 0,\quad\text{jeżeli $x<0$}\end{cases}, \quad h(x)=\begin{cases}1 \quad\text{jeżeli $x\in [0,1)$}\\ 0\quad\text{jeżeli $x\notin [0,1)$}\end{cases}$$

Zbadać ciągłość funkcji jako przekształceń $ (\R,{\cal T}_i)\longrightarrow (\R,{\cal T}_j) $. Wyniki badań wpisać w tabelki.

Zadanie Rozpatrzmy w zbiorach liczb rzeczywistych $ \R $ i zespolonych $ \C $ topologię Zariskiego tzn. taką w której otwarte są jedynie dopełnienia zbiorów skończonych i cała prosta (odp. płaszczyzna zespolona). Sprawdzić, że odwzorowania wielomianowe $ w:\R\to\R $ oraz $ w:\C\to\C $ są ciągłe w topologii Zariskiego. Czy dowolne odwzorowanie $ \R\to\R $, ciągłe w topologii euklidesowej jest ciągłe w topologii Zariskiego?
Zadanie Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa a $ \sT'\subset \sP(X) $ inną topologią w zbiorze $ X $ taką, że $ \sT\subset\sT' $, to przestrzeń $ (X,\sT') $ jest także przestrzenią Hausdorffa.
Zadanie Wykaż, że jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolny zbiór jednopunktowy jest domknięty. Czy zachodzi odwrotna implikacja?
Zadanie Jeśli $ f,g:X\to Y $ są przekształceniami ciągłymi o wartościach w przestrzeni Hausdorffa, to zbiór $ Eq (f,g):=\{x\in X\, |\, f(x)=g(x)\} $ jest domknięty.
Zadanie Przekonaj się, że metryki $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisane w BCPP Przykład 1.1.2 oraz 1.1.6 (A) są równoważne.
Zadanie Wykaż, że dowolne dwie kule w metrykach $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisanych w BCPP są homeomorficzne (wypisz wzory dla $ n=2 $). Podać przykład przestrzeni metrycznej i dwóch kul w niej, które nie są homeomorficzne.
Zadanie Czy dowolna metryka, która wyznacza w nieskończonym zbiorze $ X $ topologię dyskretną jest ograniczona z dołu?
Zadanie Wykaż, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbiorem domkniętym w topologii $ \sT(d) $.
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.1 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.2 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.6 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.7 z BCPP. Porównaj topologie z Zad 1.6 i 1.7.

GENEROWANIE TOPOLOGII i BAZA

Nie każda rodzina podzbiorów ustalonego zbioru jest topologią, bowiem w ogólności nie musi spełniać żadnego z warunków definicji topologii. W tym rozdziale dla ustalonej rodziny podzbiorów opisujemy procedurę znajdywania najmniejszej zawierającej ją rodziny spełniającej aksjomaty topologii. Taką topologię nazywamy topologią generowaną przez rodzinę podzbiorów. Dla ustalonej topologii można poszukiwać najmniejszej rodziny generującej tę topologię. Szczególną rolę odgrywają bazy topologii - czyli takie rodziny podzbiorów danej topologii, że dowolny zbiór należący do tej topologii jest sumą zbiorów z bazy.

Generowanie topologii

Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem a $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ dowolną rodziną jego podzbiorów.

Definicja Topologią generowaną przez rodzinę $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ nazywamy najmniejszą topologię w $ X $ zawierającą $ \rodz{U} $ - czyli przecięcie wszystkich topologii zawierających rodzinę $ \rodz{U} $. Oznaczamy ją $ \topind(\rodz{U}) $.

     Konstrukcja topologii $ \topind(\rodz{U}) $:

  1. dołączamy do $ \rodz{U} $ przecięcia skończenie wielu elementów rodziny $ \rodz{U} $ definiując rodzinę:
    $$\rodz{U}^\cap := \{U_1\cap\dots \cap U_k\, |\, U_i\in\rodz{U}\}$$

    Rodzina $ \rodz{U}^\cap  $ jest już zamknięta ze względu na branie przecięć skończenie wielu zbiorów tzn. jeśli $ V_1,V_2\in \rodz{U}^\cap $ to $ V_1\cap V_2\in \rodz{U}^\cap $

  2. Do rodziny $ \rodz{U}^\cap $ dołączamy wszystkie sumy zbiorów należących do $ \rodz{U}^\cap $ definiując rodzinę:
    $$(\rodz{U}^\cap)^\cup := \{\bigcup\limits_{i\in I} V_i\, |\, V_i\in\rodz{U}^\cap\}$$

    Rodzina $ (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jest zamknięta ze względu na branie sum zbiorów tzn. dla dowolnej rodziny $ \{W_j\}_{j\in J}\subset (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jej suma $ \bigcup\limits_{j\in J}W_j\in (\rodz{U}^\cap)^\cup. $

  3. $ \topind(\rodz{U}) = (\rodz{U}^\cap)^\cup $
Stwierdzenie Niech $ (X,\sT) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną, $ Y $ będzie zbiorem oraz $ {\cal V}\subset\sP (Y) $ rodziną jego podzbiorów. Przekształcenie $ f\colon (X,\sT) \to (Y,\sT({\cal V})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $ V\in\rodz{V} $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T} $ .
Przykład Wybór rodziny generującej topologię nie jest oczywiście jednoznaczny; np. cała topologia generuje samą siebie. W przestrzeni metrycznej topologia $ \sT(d) $ jest generowana przez każdą z następujących rodzin:

  1. Rodzinę wszystkich kul otwartych.
  2. Rodzinę kul otwartych o promieniach wymiernych.
  3. Rodzinę kul otwartych o promieniach $ \frac{1}{n} $ dla $ n=1,2,3... $.

i wiele innych.

Przykład Topologia euklidesowa na prostej jest generowana przez rodzinę półprostych o końcach będących liczbami wymiernymi.

Baza topologii

Definicja [Baza topologii] Niech $ {\cal T}\subset \sP(X) $ będzie topologią w zbiorze $ X $. Podrodzinę $ {\cal B}\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ jeśli dowolny zbiór $ U\in{\cal T} $ jest sumą mnogościową pewnych zbiorów należących do $ \cal B $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną, to mówimy że spełnia II aksjomat przeliczalności.

Rodzina $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \cal T $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu $ x\in X $ oraz zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \cal B $ taki, że $ x\in V\subset U $. Istotnie, jest to warunek równoważny stwierdzeniu, że $ U $ jest sumą zbiorów należących do $ {\cal B} $. W zapisie logicznym warunek, że zbiór jest otwarty, wyrażony w terminach bazy jest nastepujący:

$$U\in\sT\,\iff\, \forall_{x\in U}\,\exists_{V\ni \sB}\, x\in V\subset U.$$

Jeśli $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \sT $ to oczywiście $ \sB $ generuje topologię $ \sT $, przy czym w opisanej wyżej procedurze generowania topologii przez rodzinę zbiorów wystarczy dokonać kroku drugiego, bowiem definicji bazy przecięcie skończenie wielu zbiorów otwartych jest sumą zbiorów z $ \sB $.

Definicja Mówimy, że rodzina podzbiorów $ \{A_s\}_{s\in S} $ zbioru $ X $ jest jego pokryciem jeśli $ \bigcup\limits_{s\in S}A_s = X $ .
Stwierdzenie Rodzina $ \sB\subset\sP (X) $ jest bazą topologii $ \sT(\sB) $ generowanej przez rodzinę $ \sB $ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

  1. Rodzina $ \sB $ jest pokryciem $ X $;
  2. Dla dowolnych zbiorów $ V_1,V_2\in\sB $ oraz punktu $ x\in V_1\cap V_2 $ istnieje zbiór $ {V\in\sB $ taki, że $ x\in V\subset V_1\cap V_2 $.

Stwierdzenie (#) Niech $ \sT_1,\,\sT_2 $ będą topologiami w zbiorze $ X $ a $ \sB_1\subset\sT_1, $ i $ \sB_2\subset\sT_2 $ odpowiednio pewnymi ich bazami. Inkluzja topologii $ \sT_1\subset \sT_2 $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru bazowego $ U_1\in\sB_1 $ takiego, że $ x\in U_1\in\sB_1 $ istnieje zbiór $ U_2 $ taki, ze $ x\in U_2\subset U_1 $. □
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ posiada bazę przeliczalną, to z każdego pokrycia $ X $ zbiorami otwartymi $ \{U_s\}_{s\in S}\subset\sT $ można wybrać podpokrycie przeliczalne, czyli istnieją wskaźniki $ s_1,s_2,...\in S $ takie, że $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_{s_i} = X $.

Ostatnie stwierdzenie wynika natychmiast z następującego lematu teorio-mnogościowego:

Lemat (#) Załóżmy, że mamy dane dwa pokrycia zbioru $ X $: $ \{A_s\}_{s\in S} $ oraz $ \{B_t\}_{t\in T} $. Jeśli dla każdego $ s\in S $ i dla każdego punktu $ a\in A_s $ istnieje zbiór $ B_{t(a)} $ taki, że $ a\in B_{t(a)}\subset A_s $, to istnieje podzbiór $ S'\subset S $ mocy nie większej niż moc zbioru $ T $ taki, że $ \{A_s\}_{s\in S'} $ jest także pokryciem.
Dowód: Rozpatrzmy funkcję $ \tau:\left\{ (a,s) \ | \ a \in A_s, \ s \in S\right\} \to T $ taką, że $ \forall_{(a,s)} a\in B_{\tau (a,s)}\subset A_s $ i oznaczmy przez $ T'\subset T $ obraz $ \tau $, a więc $ X= \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} $. Dla dowolnego $ t'\in T' $ wybieramy po jednym elemencie $ (a', s')\in\tau^{-1}(t') $ i definiujemy zbiór

$$S' := \{s'\in S\, |\, \exists_{t'\in T'}\, (a', s')\, \text{jest wybranym elementem}\, \tau^{-1}(t')\}.$$

Oczywiście $ |S'|\le |T'|\le |T| $ oraz $ \{A_{s'}\}_{s'\in S'} $ jest pokryciem, bowiem:

$$\bigcup_{s' \in S'}A_{s'} \supset \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} = X.$$

Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. posiada bazę przeliczalną), to z dowolnej bazy można wybrać bazę przeliczalną.
Dowód: Oznaczmy bazę przeliczalną $ X $ jako $ \sB $, natomiast dowolną bazę $ \sB' $. Dowód wynika natychmiast z Stw. [link]. Dowolny zbiór z przeliczalnej bazy $ \sB $ można pokryć przeliczalną ilością zbiorów z bazy $ \sB' $ - ponieważ przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, więc biorąc zbiory z bazy $ \sB' $ potrzebne do pokrycia wszystkich zbiorów z bazy $ \sB $ otrzymujemy bazę przeliczalną. □
Definicja [Baza topologii w punkcie] Niech $ x\in X $ będzie ustalonym punktem. Podrodzinę $ {\cal B}_x\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ w punkcie $ x $ jeśli dla każdego zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \sB_x $ taki, że $ x\in V\subset U $. Bazę w punkcie nazywamy także bazą otoczeń punktu $ x $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną w każdym punkcie, to mówimy że spełnia I aksjomat przeliczalności.

Zauważmy, że jeśli $ {\cal B} $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $, to dla dowolnego $ x\in X $ rodzina $ {\cal B}_x := \{U\in\ {\cal B}\, |\, U\ni x\} $ jest bazą w punkcie $ x $. Odwrotnie, mając bazy w punktach $ {\cal B}_x $ dla wszystkich $ x\in X $, rodzina $ {\cal B} := \bigcup\limits_{x\in X} {\cal B}_x $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $.

Przykład (#) Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną to dla ustalonego punktu $ x_0\in X $ rodzina kul $ \sB(x_0) :=\{B(x_0;\frac{1}{n})\, |\, n=1,2,...\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $ w punkcie $ x_0 $, a więc dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności.

Zadania

Zadanie Niech $ \sB_1,\,\sB_2 $ będą bazami topologii $ \sT. $ Wykazać, że rodzina podzbiorów $ \sB_{12}:=\{U\cap V\, |\, U\in\sB_1,\, V\in\sB_2\} $ też jest bazą $ \sT $.
Zadanie Wykazać. że przekształcenie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy obrazy zbiorów z pewnej bazy przestrzeni $ (X,\sT_X) $ są bazą przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.
Zadanie Na płaszczyźnie rzeczywistej $ \R^2 $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów. $ \sU_i $: (punkty płaszczyzny oznaczamy $ x=(x_1,x_2) $).

  • $ \sU_1=\sP (\R^2) $ -- topologia dyskretna;
  • $ \sU_2=\{(a,b)\times\R \colon a<b\}\cup\{\R\times(a,b) \colon a<b\} $;
  • $ \sU_3=\{(a,b)\times (c,d) \colon  a<b,\, c<d\} $ -- topologia euklidesowa;
  • $ \sU_4=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \} $ gdzie $ B(x,r) := \{x'\in X\, |\, ||x-x'||\leq r\} $;
  • $$\sU_5=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \}\cup \{B((x_1,x_2),|x_2|)\cup \{(x_1,0)\}\cup B((x_1,- x_2),|x_2|)\, |\,  \, x_2\neq 0\}\}$$

    - płaszczyzna motylków Niemyckiego. (Zazwyczaj płaszczyzną Niemyckiego nazywa się górną półpłaszczyznę z opisaną topologią. Opisana przestrzeń to sklejenie dwóch półprzestrzeni Niemyckiego wzdłuż osi poziomej $ x_2=0 $.);

  • $$\sU_6:=\{\{a\}\times (c,d) \colon a\in\R,\, c<d<0\, \text{lub}\, 0<c<d\}\cup\{ (a,b)\times (-c,c)  \colon a < b,\, c >0\}$$

    - topologia rzeczna;

  • $ \sU_7=\{I(\vv,\epsilon)  \colon \vv\neq 0,\, 0<\epsilon<1 \}\cup  \{(-a,a)\times (-a,a) \colon a >0\}, $ gdzie dla wektora $ \vv\in\R^2 $ i $ \epsilon >0 $, $ I(\vv,\epsilon) := \{t\vv\,|\, 1-\epsilon < t < 1+\epsilon\} $ -- topologia kolejowa;
  • $ \sU_8=\{\emptyset\}\cup\{U\subset \R^2\colon  \R^2\setminus U \; \hbox{jest zbiorem jednopunktowym}\} $ -- topologia Zariskiego;
  • $ \sU_{10}=\{\emptyset\}\cup\{\R^2\} $ -- topologia antydyskretna;

Topologie generowane przez te rodziny będziemy oznaczać $ \sT_i := \sT (\sU_i) $.

  1. Które z rodzin $ \sU_i $ są topologiami, a które bazami topologii przez nie generowanymi?
  2. Porównaj topologie $ \sT_i := \sT (\sU_i) $, rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia $ \sT_i\cap\sT_j $. Kiedy otrzymuje się inną topologię niż jedną z wyżej zdefiniowanych ?
  3. Zbadaj, które z topologii $ \sT_i  $ mają własność Hausdorffa.
  4. O których przestrzeniach $ (\R^2 ,\sT_i),\, (\R^2 ,\sT_j) $ potrafisz powiedzieć, że są lub nie są homeomorficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
  5. Dla wektora $ {\vv}\in {\R^2} $ definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) $ T_{\vv}\colon \R^2\to\R^2 $ wzorem $ T_{\vv}(\ww):=\vv+\ww. $ Dla każdego $ i=1..8 $ zbadać dla jakich wektorów $ \vv $ przesunięcie $ T_{\vv}\colon (\R^2,\sT_i)\to (\R^2,\sT_i) $ jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem).
  6. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ spełniają I, a które II aksjomat przeliczalności ?
  7. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ są metryzowalne?

WNĘTRZE i DOMKNIĘCIE ZBIORU

Nie każdy podzbiór przestrzeni topologicznej jest otwarty lub domknięty. Dla danego podzbioru przestrzeni można jednak wskazać zarówno jego punkty wewnętrzne, jak też punkty leżące blisko tego zbioru, choć niekoniecznie do niego należące. Ta geometryczna intuicja jest sformalizowana w postaci definicj operacji wnętrza i domknięcia zbioru. Poniżej niech $ (X,\sT) $ będzie ustaloną przestrzenią topologiczną.

Wnętrze zbioru

Definicja Wnętrzem zbioru $ A\subset X $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) otwarty podzbiór w $ A $, a więc sumę wszystkich podzbiorów otwartych zawartych w $ A $:

$$\Int_{(X,\sT)}(A) := \bigcup\{U\, |\,U\subset A,\, U\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \Int_{(X,\sT)}(A) $ podkreśla, że rozpatrujemy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ (X,\sT) $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej położony jest zbiór $ A $ stosowane są skrócone oznaczenia $ \Int_X (A),\, \Int (A) $ lub $ \overset{\;\circ} A $.
Stwierdzenie Operacja brania wnętrza wyznacza odwzorowanie zbiorów potegowych $ \Int\colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \Int (A)\subset A $,
  2. $ U\in\sT\,\iff\,\Int (U) = U, $
  3. $ \Int(\Int (A)) = \Int (A) $,
  4. $ \Int (A)\cap \Int (B) =  \Int (A\cap B). $

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy w punkcie $ a $ istnieje zbiór $ U $ z tej bazy taki, że $ U\subset A $.
Definicja (#) Podbiór $ A\subset X $ nazywa się brzegowy jeśli ma puste wnętrze tzn. $ \Int (A)=\emptyset $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest brzegowy wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera żadnego odcinka.

Domknięcie zbioru

Definicja Domknięciem zbioru $ A\subset X $ nazywamy minimalny (ze względu na inkluzję) domknięty podzbiór zawierający $ A $, a więc przecięcie wszystkich podzbiorów domkniętych zawierających $ A $:

$$\cl_{(X,\sT)} (A) := \bigcap\{C\, |\,C\supset A,\, X\setminus C\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \cl_{(X,\sT)} (A) $ podkreśla, że domykamy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ X $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej domykamy nasz zbiór, stosowane jest skrócone oznaczenie $ \cl_X (A), \cl (A) $ lub $ \bar A $.
Stwierdzenie Operacja domknięcie wyznacza odwzorowanie zbiorów potęgowych $ \cl \colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \cl (A)\supset A $,
  2. $ \cl (A) = A\,\iff\, X\setminus A\in\sT, $
  3. $ \cl(\cl (A)) = \cl (A) $,
  4. $ \cl (A)\cup \cl (B) =  \cl (A\cup B). $
Stwierdzenie $ x\in \bar A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $ U\ni x $ (równoważnie dowolnego zbioru z pewnej bazy w punkcie $ x\in X $) przecięcie ze zbiorem $ A $ jest niepuste: $ U\cap A\neq \emptyset $
Dowód: Niech $ \sB_x $ będzie ustaloną bazą w punkcie $ x $. Rozpatrzmy zbiór

$$C:=\{x\in X\, |\, \forall_{U\in\sB_x}\, U\cap A \neq\emptyset\}.$$

Z definicji wynika, że $ A\subset C $ oraz $ X\setminus C $ jest zbiorem otwartym, a więc $ C $ jest zbiorem domkniętym, a więc $ \bar A\subset C $. Zauważmy, że także $ C\subset \bar A $. Istotnie, jeśli $ x\notin\bar A $ to znaczy, że istnieje podzbiór domknięty $ B\supset A $ taki, że $ x\notin B $, a więc zbiór otwarty $ X\setminus B $ zawiera $ x $ i nie przecina się z $ A $. □

Definicja Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się gęsty jeśli jego domknięcie jest całą przestrzenią tzn. $ \cl (A) = X $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest gęsty wtedy i tylko wtedy gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym odcinkiem.
Stwierdzenie (#) Jeśli $ p\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją oraz $ A\subset X $ jest podzbiorem gęstym, to jego obraz $ f(A)\subset Y $ też jest podzbiorem gęstym. □
Uwaga Obraz ciągły zbioru brzegowego nie musi być zbiorem brzegowym!
Definicja Brzegiem zbioru $ A\subset X $ nazywamy zbiór

$$ \op{Fr} (A) := \cl (A)\cap\cl (X\setminus A).$$
Stwierdzenie Zachodzą następujące równości zbiorów:

  1. $ \Int (A) = A\setminus \op{Fr}(A). $
  2. $  \op{Fr}(A)\cap\Int (A) = \emptyset $
  3. $ \cl (A) = \Int (A)\cup \op{Fr}(A) $
  4. $ X = \Int (A)\cup \op{Fr}(A)\cup \Int (X\setminus A) $ i te zbiory są parami rozłączne.
Uwaga Zbiór jest brzegowy [link] wtedy i tylko wtedy, gdy $ \cl(A)=\op{Fr}(A). $

Ośrodkowość

Definicja Przestrzeń $ (X,{\cal T}) $ nazywa się ośrodkowa jeśli posiada gęsty podzbiór przeliczalny.
Przykład Prosta euklidesowa jest przestrzenią ośrodkową. Liczby wymierne są zbiorem przeliczalnym, gęstym.
Stwierdzenie Niech $ (X,{\cal T}) $ będzie przestrzenią topologiczną.

  1. Podzbiór $ A\subset X $ jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym niepustym zbiorem otwartym (równoważnie: zbiorem z pewnej bazy).
  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. ma bazę przeliczalną), to jest ośrodkowa.
  3. Jeśli metryzowalna przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ jest ośrodkowa, to spełnia II aksjomat przeliczalności.
Dowód:

     Ad 1. Wynika natychmiast ze Stw. 4.4

    Ad 2. Wybierając z każdego zbioru bazy przeliczalnej po jednym punkcie otrzymujemy zbiór przeliczalny mający niepuste przecięcie z każdym zbiorem otwartym (bo każdy zbiór otwarty jest sumą zbiorów z bazy.)

    Ad 3. Niech dla pewnej metryki $ d $ w $ X $, $ \sT = \sT(d). $ Jeśli $ G\subset X $ jest zbiorem przeliczalnym gęstym, to pokażemy, że przeliczalna rodzina zbiorów $ \sB := \{B(y,\frac{1}{n})\, |\, y\in G,\, n\in\N\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $. W tym celu wystarczy pokazać, że dla dowolnej kuli $ B(x_0,r) $ i punktu $ x\in B(x_0,r) $ istnieje punkt $ y_i\in G $ oraz $ \epsilon>0 $ takie, że $ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $. Ponieważ $ G $ jest gęsty a więc w $ G $ istnieje ciąg punktów $ \{y_n\}_{n=1}^\infty $ zbieżny do $ y $. Dobierzemy teraz punkt $ y_i $ z tego ciagu i promień $ \epsilon $ dla których$ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $ w następujący sposób: niech $ y_i\in G $ będzie punktem takim, że $ d(y_i,x)\leq \frac13 (r-d(x,x_0)) $ natomiast $ \epsilon := \frac12 (r-d(x,x_0)) $. Wykorzystując warunek trójkąta sprawdzamy, że zachodzą wymagane inkluzje. [Wykonaj rysunek]

    

Zauważmy, że obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową. Wynika to natychmiast ze Stw. [link].

Uwaga Założenie o metryzowalności przestrzeni topologicznej w ostatniej implikacji jest istotne, wystarczy rozpatrzeć prostą z topologią strzałki, która jest ośrodkowa, lecz nie spełnia II aksjomatu przeliczalności.

Wnętrze i domknięcie w terminach metryki

Niech $ (X,d) $ będzie przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $. Opiszemy operacje wnętrza i domknięcie zbioru $ A $ w topologii $ \sT(d) $ w terminach metryki $ d $ .

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $ {r>0} $ taka, że $ B(a,r)\subset A. $
Stwierdzenie Punkt $ x\in\cl (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciag elementów $ a_n\in A $ zbieżny do punktu $ x $.
Dowód: Jeśli $ x\in \bar A $, to dla dowolnej kuli $ B(x,\frac{1}{n}) $ istnieje punkt $ a_n\in B(x,\frac{1}{n})\cap A $. Ciąg $ \{a_n\} $ jest więc zbieżny do $ x $.

Odwrotnie, jeśli ciąg $ a_n\to x $, to w dowolnym otoczeniu punktu $ x $ leżą punkty ze zbioru $ A $, a więc $ x\in\bar A $. □

Domknięcie zbioru może być opisane w terminach intuicyjnej funkcji odstępu punktu od zbioru.

Stwierdzenie Funkcja odstępu punktu $ a\in X $ od podzbioru $ A \subset X $, $ d(\cdot ,A):X\to \R $ określona wzorem $ d(x ,A) := \inf \{d(x.a)\, |\, a\in A\} $ jest ciągła oraz:

$$d(x,A) = 0\quad\iff\quad x\in \cl (A).$$
Dowód: Sprawdzimy, że $ d(\cdot ,A) $ jest ciągła. Dla każdego punktu $ a\in A $ z nierówności trójkąta mamy oszacowanie: $ d(x,a)  \leq d(x,y) - d(y,a) $ oraz $ d(y,a)  \leq d(x,y) - d(x,a)| $, a więc $ |d(x,A) - d(y,A)|  \leq d(x,y). $ Z definicji ciągłości wg Heine natychmiast wynika ciągłość $ d(\cdot ,A) $. Odstęp $ d(x,A)=0 $ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg $ {\{a_n\}\subset A} $ zbieżny do $ x $, a więc $ x\in\cl (A) $. □

Zadania

Zadanie [Wnętrza i domknięcia na płaszczyźnie] Wybrane przykłady zbiorów np. BCPP Zad. 1.16
Zadanie [Przestrzenie z jednym punktem skupienia] BCPP Zad. 1.33.
Zadanie [Wnętrze, domknięcie, ciągłość] Udowodnij, że dla przekształcenia przestrzeni topologicznych $ (X,\sT_X)\arr{f}(Y,\sT_Y) $ następujące warunki są równoważne:

  1. $ f $ jest ciągłe
  2. $ \forall_{B\subset Y}\,\cl ({f^{-1}(B)})\subset f^{-1}(\cl (B)) $.
  3. $ \forall_{B\subset Y}\, f^{-1}(\Int (B)) \subset \Int f^{-1}(B) $.
  4. $ \forall_{A\subset X}\, f(\cl (A)) \subset \cl (f(A)) $.
Zadanie Jeśli przestrzeń topologiczna zawiera nieprzeliczalny podzbiór dyskretny, to nie spełnia II aksjomatu przeliczalności.

KONSTRUKCJE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH

Mając daną przestrzeń topologiczną lub rodzinę przestrzeni można poprzez pewne standardowe konstrukcje budować nowe przestrzenie. Cztery konstrukcje (zwane także operacjami), które opisujemy w tym rozdziale to: podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa, produkt kartezjański i suma prosta. Nowe przestrzenie powstają przez wykonanie najpierw odpowiedniej konstrukcji na zbiorach, a potem zdefiniowanie w nich ''naturalnej'' topologii. Analogiczne konstrukcje występują w wielu innych teoriach matematycznych m.in. w algebrze liniowej i w teorii grup. Pierwszy podrozdział poświęcony jest definiowaniu topologii w zbiorze poprzez żądanie, aby były ciągłe przekształcenia należace do danej rodziny przekształceń określonych na tym zbiorze (lub prowadząca do tego zbioru). W następnych podrozdziałach stosujemy ten punkt widzenia do omawiając kolejno wspomniane wyżej konstrukcje przestrzeni.

Przeciąganie i popychanie topologii

Przeciąganie topologii

Niech $ X $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\mathfrak{f}} = \{f_i:X \rightarrow Y_i\}_{i\in I} $ rodziną przekształceń określonych na $ X $ o wartościach w przestrzeniach topologicznych $ (Y_i,{\sT}_i) $.

Definicja $ \sT^*({\frak f}) $ najmniejsza topologia w $ X $, w której ciągłe są wszystkie odwzorowania

$$\{f_i\colon (X,\sT^*({\frak f})) \to (Y_i,\sT_i)\}_{i\in I}.$$
Stwierdzenie Topologia $ \sT^*({\frak f}) $ jest generowana przez rodzinę zbiorów

$$\{f_{i}^{-1} (U_{i})\,|\, U_{i}\in{\cal T}_{i},\, i\in I\}.$$

Bazą topologii $ \sT^*({\frak f}) $ są zbiory $ \{f_{i_1}^{-1} (U_{i_1})\cap ...\cap f_{i_k}^{-1}(U_{i_k})\} $, gdzie $ U_{i_k}\in{\cal T}_{i_k} $, $ k\in \N $.

Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ g:(Z,\sT_Z) \to (X,\sT^*({\frak f})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {i\in I} $ złożenie przekształceń  $ (Z,\sT_Z)  \arr g (X,\sT^*({\frak f})) \arr {f_i} (Y_i,\sT_i) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Z definicji topologii $ \sT^*({\frak f}) $ dowolne odwzorowanie $ f_i $ jest ciągłe, a więc jego złożenie z odwzorowaniem ciągłym $ g $ jest ciągłe.

     $ \impliedby $ Załóżmy, że wszystkie złożenia $ f_ig $ są przekształceniami ciągłymi. W takim razie dla dowolnego zbioru otwartego $ U_i\in\sT_i $ przeciwobraz $ (f_ig)^{-1}(U_i) = g^{-1}(f_i^{-1} (U_i)) $ jest zbiorem otwartym w $ (Z,\sT_Z) $. Z definicji zbiory postaci $ f_i^{-1} (U_i) $ generują topologię $ \sT^*({\frak f} $, a więc przeciwobraz dowolnego zbioru z tej topologii jest otwarty w $ (Z,\sT_Z) $. □

Popychanie topologii

Niech teraz $ Y $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\frak g} := \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ rodziną przekształceń określonych na przestrzeniach topologicznych $ (X_j,{\sT}_j) $ o wartościach w zbiorze $ Y $.

Definicja $ \sT_*({\frak g}) $ największa topologia w $ Y $, w której wszystkie odwzorowania $ \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ są ciągłe.
Stwierdzenie $ \sT_*({\frak g}) =\{U\subseteq Y\,\colon\, \forall_{j\in J}\, g_j^{-1}(U)\in{\cal T}_j\} $
Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ (Y,\sT_*({\frak g})) \arr {f} (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {j\in J} $ złożenie $ (X_j,\sT_j) \arr {g_j} (Y,\sT_*({\frak g}))\arr f (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Odwzorowania $ g_j $ są ciągle na mocy definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $, a więc jeśli $ f $ jest ciągłe to złożenie $ fg_j $ jest ciągłe.

    $ \impliedby $ Żeby pokazać, że $ f $ jest ciągłe trzeba pokazać, żę przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ gdzie $ V\in\sT_Z $ jest zbiorem otwartym. W myśl definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $ ma to miejsce wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ j\in J $ przeciwobraz $ g_j^{-1}(f^{-1}(V)) = (fg_j)^{-1}(V) $ jest zbiorem otwartym w $ (X_j,\sT_j) $, co jest równoważne z ciągłością złożenia $ fg_j $. □

Podprzestrzeń

Rozpatrujemy przestrzeń $ (X,\sT) $ i jej podzbiór $ A\subset X. $ Chcemy określić topologię $ \sT|A $ w tym zbiorze, wyznaczoną przez topologię w całej przestrzeni. Naturalnym żądaniem jest aby odwzorowanie włożenia $ \iota\colon A\subset X,\, \iota (a) := a $ było ciągłe, a z drugiej strony topologia ta była jak najbliższa topologii w $ X $. Definiujemy więc topologię $ \sT|A $ jako przeciagnięcie topologii $ \sT $ przez włożenie $ \iota $:

$$\sT|A := \sT^*(\iota) = \{\iota^{-1}(U)\, |\, U\in\sT\} =  \{U\cap A\, |\, U\in\sT\}$$

Zauważmy, że jeśli $ \sB $ jest bazą topologii $ \sT $, to rodzina $ \sB|A := \{U\cap A\colon U\in\sB\} $ jest bazą topologii $ \sT|A $ -- podobnie dla bazy w punkcie.

Podobnie jak w przypadku zbiorów otwartych w $ \sT|A $, zbiory domknięte w topolgii podprzestrzeni to przecięcia zbiorów domkniętych w całej przestrzeni z tą podprzestrzenią: $ \sF_{\sT|A} = \{B\cap A \subset A\colon B\in\sF_\sT\}. $

Stwierdzenie Dla dowolnego podzbioru $ B\subset A $ zachodzi równość $ \cl_{(A,\sT|A)} (B) = \cl_{(X,\sT)} (B)\cap A $. □

Podobna równość nie zachodzi dla wnętrza zbioru!

Stwierdzenie

  1. Odwzorowanie $ (X',{\cal T}')\to (A,{\cal T}|A) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X',{\cal T}')\arr {f}  (A,{\cal T}|A) \arr {\iota} (X,{\cal T}) $ jest ciągłe.
  2. Jeśli odwzorowanie $ f:(X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe oraz $ A\subset X $, to obcięcie $ f|A : (A,{\cal T}_X|A)\to (Y,{\cal T}_Y) $ też jest ciągłe. □

Odnotujmy zachowanie poznanych własności topologii przy przechodzeniu do podprzestrzeni (tzw. dziedziczność własności):

Stwierdzenie (#)

  1. Podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności), to dowolna jej podprzestrzeń też spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności).
  3. Dowolna podprzestrzeń przestrzeni metryzowalnej jest metryzowalna. Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $, to zachodzi równość topologii $ \sT (d)|A = \sT (d|A) $.
  4. Dowolna podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa. □
Dowód: Dowody punktów 1-3 wynikają bezpośrednio z definicji. Żeby pokazać, że podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa przypomnijmy, że dla przestrzeni metryzowalnej ośrodkowośc pociąga spełnianie II aksjomatu przeliczalności, a zatem na mocy punktu 2. podprzestrzeń również spełnia II aksjomat przeliczalności, czyli w szczególności jest ośrodkowa. □
Przykład Podprzestrzeń przestrzeni ośrodkowej nie musi być ośrodkowa (np. oś $ y=0 $ na płaszczyźnie Niemyckiego). Wynika stąd także, że topologia płaszczyzny Niemyckiego nie jest metryzowalna.

Produkt kartezjański

Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

Definicja Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór:

$$\prod\limits_{s\in S}X_s :=\{\phi :S\to \bigcup\limits_{s\in S}X_s\, |\, \forall_{s\in S}\,\phi (s)\in X_s\} $$

wraz z rodziną rzutowań na współrzędne $ {\frak p} := \{\prod\limits_{s\in S}X_s \arr{p_t} X_t\}_{t\in S} $ gdzie $ p_t( \{x_s\}_{s\in S}) := x_t $

Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów $ S $. Funkcję $ \phi $ można zapisać jako rodzinę jej wartości $ \{\phi (s)\}_{s\in S} $, tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny $ \{x_s\}_{s\in S} $ gdzie $ x_s\in X_s $, co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów $ (x_1,x_2,..) $.

Definicja (#) Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych nazywamy zbiór $ \{X_s\}_{s\in S} $ wyposażony w topologię $  \sT^*({\frak p}) $ przeciągnietą przez rodzinę projekcji $ {\frak p} $

$$\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))$$

wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t). $

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:

Stwierdzenie (#)

  1. Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci
    $$p_t^{-1}(U_t)= \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s\neq t $ oraz $ U_t\in\sT_t $.

  2. Jeśli dla każdego $ s\in S $ wybrana jest baza $ \sB_s $ topologii $ \sT_s $, to bazę iloczynu kartezjańskiego tworzą zbiory postaci
    $$\langle U_{s_1},..,U_{s_n}\rangle := p_{s_1}^{-1}(U_{s_1})\cap\dots p_{s_n}^{-1}(U_{s_n}) = \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s $ poza pewnym skończonym zbiorem indeksów $ \{s_1,..,s_n\} $ oraz $ U_{s_i}\in\sB_{s_i} $. □

Stwierdzenie Rzutowania $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t) $ są odwzorowaniami otwartymi tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte.
Dowód: Wystarczy pokazać, że obrazy zbiorów z pewnej bazy topologii $  \sT^*({\frak p}) $ są otwarte, co wynika ze Stw. [link] oraz faktu, że $ p_t( \prod\limits_{s\in S} U_s) = U_t $. □
Stwierdzenie [Produkty kartezjańskie odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f: (Y,{\cal T}_Y)\to \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne odwzorowania $ f $, czyli zdefiniowane dla każdego $ t\in S $ złożenia $ (Y,{\cal T}_Y)\arr {f}\prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{p_t} (X_t,{\cal T}_t) $ są ciągłe.
  2. Dla rodziny odwzorowań ciągłych $ \{(Y,\sT_Y)\arr{f_s} (X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ (Y,\sT_Y)\arr{f}\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)  $ takie, że dla każdego $ s\in S $ współrzędna $  p_s\circ f = f_s $.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z definicji topologii iloczynu kartezjańskiego i Stw. [link]. □

Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $. Wybierając punkt dowolny punkt $ x^0\in \prod X_s $ dla każdego $ {t\in S} $ definiujemy odwzorowanie zbiorów $ \iota_t\colon X_t\to \prod\limits_{s\in S} X_s: $

$$\iota_t (x_t)_s = \begin{cases} x_t\,\text{jeśli}\, s=t\\ x_s^0 \,\text{jeśli}\, s\neq t \end{cases}$$
Lemat (#) Odwzorowanie $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\to \prod (X_s,\sT_s) $ jest ciągłe i zadaje homeomorfzim $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\arr {\simeq} (i_t(X_t), \sT|i_t(X_t)), $ gdzie $ \sT $ oznacza topologię produktową w $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s). $
Dowód: Żeby sprawdzić, że odwzorowanie jest ciągłe wystarczy sprawdzić, że złożenia z rzutowaniami $ \prod (X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są ciągłe. Istotnie z definicji: $ p_t\circ \iota_t = id_{X_t} $ natomiast dla $ s\neq t,\, p_s\circ \iota_t = x_s^0 $ jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowaniem odwrotnym do $ \iota_t $ jest obcięcie rzutowania $ p_t\colon \iota (X_t)\to X_t $.□

    

Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) oraz wszystkie zbiory $ X_s $, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) to dowolna podprzestrzeń, a zatem przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ spełniają I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności). Jeśli zbiór $ S $ jest nieprzeliczalny oraz $ |X_s|>2 $, to stosując Lemat [link] stwierdzamy, że z bazy w punkcie (odp. bazy) opisanej w Stw. [link] nie da się wybrać bazy przeliczalnej.

$ \impliedby $ Niech $ (X_i,\sT_i) $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne $ \sB_i\subset\sT_i $ w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □

Stwierdzenie Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa oraz co najwyżej $ 2^{\aleph_0} $ spośród przestrzeni $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma więcej niż jeden punkt.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ośrodkowa to dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. [link]).

Niech teraz $ T:=\{t\in S\, |\, |X_t|\geq 2\} $ i dla każdej przestrzeni $ X_t $ niech $ U_t,\, V_t\in\sT_t $ będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że $ |T|\leq 2^{\aleph_0} $. Niech $ G\subset \prod\limits_{s\in S} X_s $ będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; $ \forall_{t\in T}\, G^t := G\cap \langle U_t\rangle $. Wykażemy, iż $ G^t \neq G^r $ jesli $ r\neq t $. Istotnie, dla dowolnych $ r,t\in T $ wybierzmy element $ d(r,t)\in G\cap\langle U_r, V_t \rangle = D\cap\langle U_r\rangle\cap\langle V_t \rangle $. Z definicji wynika, że $ d(r,t)\in G^r $, ale $ d(r,t)\notin G^t $. Wynika stąd, że przyporzadkowanie $ T\ni t \rightsquigarrow G^t\in \sP(G) $ jest injekcją, a więc $ |T|\le |\sP(G)|\le 2^{\aleph_0} $.

$ \impliedby $ Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi $ \{(X_r,\sT_r)\}_{r\in\R} $ i niech $ \forall_{r\in\R}\, \iota_r\colon (\N,\sT_\delta)\to (X_r,\sT_r) $ będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w $ X_r. $ Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań $ \prod\limits_{r\in\R}\iota_r\colon\prod\limits_{r\in\R} \N \to \prod\limits_{r\in\R} X_r $ jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania $ \phi\colon\R\to\N $. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych $ [p_{\cdot},q_{\cdot}]:=\{ [p_1,q_1],..,[p_k,q_k] \} $ i ciąg liczb naturalnych $ n_{\cdot} := \{ n_1,...,n_k\} $ definiujemy funkcję:

$$\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }(r) = \begin{cases} n_i\,\text{jeśli}\, r\in [p_i,q_i]\\ 0 \,\,\text{jeśli}\,  r\notin \bigcup [p_i,q_i]\end{cases}$$

Zbiór funkcji postaci $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) } $ jest przeliczalny oraz jest gęsty w $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci $ U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) :=\{\psi\colon \R\to\N\,|\, \psi (r_i) = n_i\} $ gdzie $ r_i\in\R $ są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz $ n_i\in\N $. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych $ [p_i,q_i]\ni r_i $ otrzymujemy funkcję $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }\in U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) $. □

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma wlasność Hausdorffa.
Dowód: $ \implies $ Jeśli dwa punkty $ x=\{x_s\}_{s\in S},\, y=\{y_s\}_{s\in S} $ są różne to istnieje $ t\in S $ takie, że $ x_t\neq y_t $. Wybierzmy w przestrzeni $ X_t $ otoczenia rozłączne $ U_{x_t}\ni x_t $ oraz $ U_{y_t}\ni y_t. $ Zbiory $ \langle U_{x_t}\rangle\ni x $ oraz $ \langle U_{y_t}\rangle\ni y $ są rozłącznymi otoczeniami $ x,y $ (oznaczenia p. [link]).

$ \impliedby $ Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa. □

Twierdzenie Produkt kartezjański niepustych przestrzeni $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalna, to dowolna jej podprzestrzeń, a zatem każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest metryzowalna.

Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link] $ \prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s) $ nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).

$ \impliedby $ Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk $ d_i $ jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej:

$$d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i)$$

Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ przez metrykę $ d' $ jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □

Przestrzeń ilorazowa

Niech $ X $ będzie zbiorem, $ R\subset X\times X $ relacją równoważności w tym zbiorze, a $ q:X\to X/R $ odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi $ x $ jego klasę abstrakcji $ [x]_R := \{y\in X\,\colon (x,y)\in R\} $. Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego $ \sP (X) $. Odwzorowanie $ q:X\to X/R\subset \sP (X) $ jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów $ p:X\to Y $ definiuje relację równoważności $ R_p := \{(x',x'')\in X\times X\, |\, p(x') = p(x'')\} $ i odwzorowanie $ p $ wyznacza bijekcję $ \bar p\colon X/R_p \arr {\simeq} Y $. Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną, a $ p\colon X\to Y $ surjekcją na zbiór $ Y. $ Definiujemy topologię $ \sT_*(p) $ w zbiorze $ Y $ jako największą topologię, w której $ p $ jest ciągłe:

$$ \sT_*(p) = \{V\subset Y\, |\, p^{-1}(V)\in {\cal T}_X\}$$
Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (Y,\sT_*(p)) \to (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X,{\cal T}_X) \arr p  (Y,\sT_*(p)) \arr f (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe.

Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].

Przykład [Odcinek z rozdwojonym punktem](#) Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Niech $ X:= \{(x_1,x_2)\in\R^2\, |\, -1\leq x_1\leq 1,\, x_2 = 0\,\text{lub}\, 1\} $ z topologią euklidesową, $ Y = [-1,1] \cup \{0'\} $ będzie zbiorem, $ p:X\to Y,\, p(x_1,x_2) := x_1 $ jeśli $ (x_1,x_2)\neq (0,1), \, p(0,1):=0' $. W przestrzeni $ (Y,\sT_*(p)) $ punkty $ 0,0' $ nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}

Przykład Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna, nawet jeśli jest Hausdorffa. Rozpatrzmy przestrzeń $ \R/\sim $ gdzie $ t_1\sim t_2\,\iff\, t_1=t_2 \,\text{lub}\, t_1,t_2 $ są liczbami całkowitymi. Przestrzeń $ \R/\sim $ jest przestrzenią Hausdorffa nie ma jednak bazy przeliczalnej w punkcie $ [0]\in \R/\sim $, a więc nie spełnia I aksjomatu przeliczalności. Wszystkie inne punkty mają przeliczalną bazę otoczeń, homeomorficznych z otoczeniami euklidesowymi.

     Odwzorowania ilorazowe

Mając daną ciągłą surjekcję $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia $ \sT_Y $ jest zdefiniowana przez odwzorowanie $ f $, co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.

Definicja Odwzorowanie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz jeśli przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ podzbioru $ V\subset Y $ jest otwarty w $ (X,\sT_X) $, to $ V\in\sT_Y $.

Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco: $ V\in\sT_Y\,\iff \, f^{-1}(V)\in\sT_X $ lub w terminach zbiorów domknętych: $ B\in\sF_{\sT_Y}\,\iff \, f^{-1}(B)\in\sF_{\sT_X} $.

Definicja Przekształcenie ciagłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się otwarte (odp. domknięte) jeśli obraz dowolnego zbioru otwartego w $  (X,\sT_X) $ jest otwarty (odp. domknięty) w $  (Y,\sT_Y) $.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest otwartą lub domkniętą surjekcją, to $ f $ jest przekształceniem ilorazowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z równości $ f(f^{-1}(A)) = A $, która zachodzi dla dowolnego podzbioru $ A\subset Y $.□

Suma prosta

Zdefiniujemy konstrukcję sumy prostej rodziny zbiorów , dwoistą w pewnym sensie dokonstrukcji iloczynu kartezjańskiego .

Definicja Sumą prostą (zwaną też koproduktem lub sumą rozłączną) rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór zbiór $ \coprod\limits_{s\in S} X_s  := \bigcup\limits_{s\in S} X_s\times \{s\} $ wraz z rodziną przekształceń (włożeń): $ {\frak j} := \{X_t \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} X_s \}_{t\in S}, \quad j_t( x_t) := (x_t, t) $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_koprod_suma_prosta.jpg}}

Zauważmy, że dla $ s\neq t, (X_s\times \{s\})\cap (X_t\times \{t\}) = \emptyset $.

Definicja (#) Sumą prostą (koproduktem) rodziny przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ nazywamy przestrzeń

$$\coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\coprod\limits_{s\in S}X_s , \sT_*({\mathfrak j}))$$

gdzie $ \sT_*({\mathfrak j} $ jest topologią wprowadzoną przez rodzinę odwzorowań $ {\mathfrak j} $, wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ j_t: (X_t,\sT_t)\arr{j_t} \coprod\limits_{s\in S}(X_s , \sT_*({\frak j})). $

Utożsamiając za pomocą $ j_s $ zbiór $ X_s $ z $ X_s\times\{s\} $ możemy powiedziec, że podzbiór $ U\subset \coprod\limits_{s\in S} X_s $ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przecięcia $ U\cap X_s \in\sT_s $, czyli są otwarte w $ (X_s,\sT_s) $. Zauważmy, że włożenia $ j_t\colon (X_t,\sT_t)\to \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)  $ są zanurzeniami homeomorficznymi.

Stwierdzenie [Sumy proste odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f:  \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ t\in S $ złożenie $  (X_t,\sT_t) \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{f} (X_t,{\cal T}_t) $ jest odwzorowaniem ciagłym.
  2. Dla dowolnej rodziny odwzorowań ciągłych $ \{ (X_s,\sT_s) \arr{f_s} (Y,\sT_Y)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) \arr{f} (Y,\sT_Y) $ takie, że dla każdego $ s\in S $ zachodzi równość $ f\circ j_s = f_s $.

Podobnie jak w przypadku iloczynów kartezjańskich zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na sumy proste. Jest to jednak dużo łatwiejsze.

Stwierdzenie

  1. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia I aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności.
  3. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia II aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  4. Suma prosta rodziny przestrzeni jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami ośrodkowymi i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  5. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna.
Dowód: Dowody punktów 1-4 jako bardzo łatwych pomijamy.

Ad 5. $ \implies $ Jeśli $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną to dowolna jej podprzestrzeń, zatem także $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną.

$ \impliedby $ Jeśli dana jest rodzina przestrzeni metrycznych $ \{(X_s,d_s)\}_{s\in S} $ to w zbiorze $ \coprod\limits_{s\in S}X_s $ określamy metrykę:

$$d(((x,s), (x',t)) = \begin{cases} d'_s(x,x') \quad\text {jeśli} \quad s=t \\ 1 \quad  \text {jeśli} \quad s\neq t \end{cases}$$

gdzie $ d'_s(x,x') : =\min (d_s(x,x'),1). $ W tej metryce kule o środku w punkcie $ (x,s)\in \coprod\limits_{s\in S}X_s $ i promieniu $ <1 $ są identyczne jak kule w metryce $ d_s $ w zbiorze $ X_s $. Stąd wynika, że metryka $ d' $ definiuje topologię $ \sT_*({\mathfrak j}) $. □

Zauważmy, że tak jak w przypadku metryki w produkcie kartezjańskim musielismy ''obciąć'' metryki $ d_i $ (nawet w przypadku sumy dwóch przestrzeni!), tym razem po to, aby spełniona była nierówność trójkąta.

Zadania

Zadanie [Rzutowania w iloczynie kartezjańskim] Wykaż, że rzutowania na czynniki iloczynu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są odwzorowaniami otwartymi (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte), a nie są zawsze odwzorowaniami domkniętymi (tzn. obrazy zbiorów domknętych nie muszą być domknięte.) (p. BCPP Zad. 1.37)
Zadanie Wykazać, że dla dowolnych przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ i podzbiorów $ A\subset X,\, B\subset Y $ zachodzi równość $ \Int (A\times B) = \Int (A)\times\Int (B) $. Czy analogiczna równość zachodzi dla produktów nieskończenie wielu przestrzeni?
Zadanie [Domknięcie w iloczynie kartezjańskim] BCPP Zad. 1.38
Zadanie [Zbiór Cantora] Pokazać, że odwzorowanie $ \prod\limits_1^{+\infty} (\{0,2\},\sT_\delta) \arr{f} ([0,1],\sT_e) $ dane wzorem $ f(\{n_i\}):= \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n_i}{3^i} $ jest homeomorfizmem na obraz, którym jest zbiór Cantora. p. M.Krych AM1. Przykład 6.5.
Zadanie Jeśli $ A\subset X $, to przez $ X/\{A\} $ lub czasem $ X/A $ oznaczamy zbiór klas abstrakcji relacji $ \sim_A $ takiej, że $ x_1\sim_A x_2 $ wtedy i tylko wtedy gdy $ x_1 = x_2 $ lub $ x_1,x_2\in A $. Wykazać, że jeśli $ A $ jest podziorem domkniętym w $ (X,\sT) $ (odpowiednio otwartym), to rzutowanie $ q\colon (X,\sT) \to (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest odzworowaniem domkniętym (odpowiednio otwartym). Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią metryzowalną, to przestrzeń $ (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy $ A\subset X $ jest podzbiorem domkniętym.
Zadanie [Bukiet przestrzeni] Niech $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ będzie rodziną przestrzeni topologicznych i w każdej z nich został wyróśniony punkt $ x_s^0\in X_s $. Bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń ilorazową $ (\coprod\limits_{s\in S} X_s)/\sim $ gdzie $ (x_s,s)\sim (x_{s'},s') $ wtedy i tylko wtedy gdy $ (x_s,s)= (x_{s'},s') $ lub $ x_s = x_s^0 $ i $ x_{s'} = x_{s'}^0 $. Bukiet przestrzeni oznaczamy $ \bigvee\limits_{s\in S} X_s $. Wykazać, że dla dwóch przestrzeni, czyli $ S={1,2} $, istnieje homeomorfizm

$$X_1\vee X_2 \simeq (X_1\times \{x_2^0\})\cup  (\{x_1^0\}\times X_2)$$

gdzie ostatni zbiór rozpatrujemy z topologią podprzestrzeni $ X_1\times \{x_2^0\}\cup  \{x_1^0\}\times X_2\subset X_1\times X_2 $. Wykonać rysunek w przypadku, gdy przestrzenie $ X_1,X_2 $ są prostymi, odcinkami lub okręgami.

Zadanie Niech w rodzinie $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ będzie prostą euklidesową $ (\R,\sT_e) $ a jej punktem wyróznionym będzie $ 0 $. Wykazać, że bukiet $ \bigvee\limits_{s\in S} \R $ jest homeomorficzny z podzbiorem płaszczyzny z metryką kolejową wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ S $ jest skończony.
Zadanie Stwierdzić, które z następujacych przestrzeni, (przypominających bukiet okręgów) są homeomorficzne, a które nie są homeomorficzne. Dla dowolnego punktu płaszczyzny $ x\in\R^2 $ i liczby $ r>0 $ przez oznaczamy $ S^1(x,r) := \{x'\in\R^2\, |\, ||x-x'||=r\} $ czyli okrąg o srodku w punkcie $ x $ i promieniu $ r $. Przez $ S^1 $ oznaczamy okrąg jednostkowy o środku w $ 0 $, czyli $ S^1:=S^1(0,1) $.

  1. Rozbieżne okręgi, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej $ X_1 := \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((n,0),n)\subset\R^2 $
  2. Pawie oczko, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej : $ X_2= \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((\frac 1n,0),\frac 1n)\subset\R^2 $
  3. Podprzestrzeń $ X_3 := \{ (z_1,z_2,z_3,\dots )\, |\, \exists_n\forall_{i\neq n} z_i=1\}\subset \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ gdzie w $ \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ rozpatrujemy topologię produktu kartezjańskiego;
  4. Bukiet przeliczalnej rodziny okręgów z wyróżnionym punktem $ 1\in S^1 $: $ \bigvee\limits_{i=1}^\infty S^1 $
  5. Przestrzeń ilorazowa prostej euklidesowej: $ \R/\{\Z\} $ gdzie $ \Z\subset\R $ oznacza liczby całkowite.
Zadanie [Ilorazy odcinka] }BCPP Zad. 5.2. Narysuj podzbiory płaszczyzny homeomorficzne z tymi przestrzeniami.
Zadanie [Suma prosta odcinków] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ \R\setminus\Z $ gdzie $ \Z $ oznacza (zawsze) liczby całkowite
  2. $ (0,1)\setminus \{\frac{1}{n}\, |\, n\in\N\} $
  3. $ (0,1)\times\N $ , gdzie $ \N $ - liczby naturalne z topologią dyskretną
  4. $ \coprod\limits_{n=1}^\infty X_i $ gdzie $ \forall_{i\in\N}\, X_i = (0,1) $
Zadanie [Nawijanie prostej na okrąg] Wykaż, że $ p:\R\to S^1 $, gdzie $ S^1:=\{v\in\R^2\, |\, ||v||=1\} = \{z\in\C\,|\, |z|=1\}  $, dane wzorem $ p(t) := (\cos 2\pi t , \sin  2\pi t) = e^{2\pi t}  $ jest odwzorowaniem otwartym (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte) oraz definuje homeomorfizm odcinka z utożsamionymi końcami z okręgiem: $ [0,1]/\{0\sim 1\} \arr {\bar p} S^1 $. Zauważyć, że $ p:\R\to S^1 $ jest homomorfizmem jeśli grupy addytywnej $ \R $ w grupę multyplikatywną liczb zespolonych o module 1 i definiuje izomorfizm grup $ \R/\Z \to S^1 $ będący jednocześnie homeomorfizmem przestrzeni topologicznych.
Zadanie [Walec] Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne (p.BCPP Zad. 1.39 A)

  1. $ W_1 := \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 = 1,\, x_3\in\R\} $ (powierzchnia powstała przez obrót prostej $ x_1=1,x_2=0 $ wokół osi $ x_3 $)
  2. $ W_2 := \R^2\setminus \{0\} $
  3. $ W_3 := S^1\times\R $
  4. $ W_4 := [-1,1]\times\R /\sim $ gdzie $ (x,t)\sim (x',t')\, \iff \, |x|=|x'|=1\, t = t' $ lub $ (x,t) = (x',t') $
  5. $ W_5 := \op{Fr} (A),\,  A:= \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 \leq 1,\, x_3\in\R\} $

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''walec bez brzegu''. Zastępując w punktach a), c), d) prostą $ \R $ odcinkiem $ [-1,1] $ otrzymujemy ''walec z brzegiem (podstawami)''. Nazwa ''walec'' stosowana jest w obu przypadkach.

Zadanie [Wstęga Möbiusa] (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ M_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ powstała przez obrót odcinka $ x_1=1,x_2=0, -1<x_3<1 $ wokół osi $ x_3 $ z jednoczesnym obrotem tego odcinka o kąt $ \pi $
  2. $ M_2 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,-t), $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.
  3. $ M_3 $ -- przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (z,t)\sim (-z,-t) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''wstęgę Möbiusa bez brzegu''. Zastępując w a),b),c) odcinek otwarty $ (-1,1) $ odcinkiem domkniętym $ [-1,1] $ otrzymujemy ''wstegę Möbiusa z brzegiem''. Nazwa ''wstęgę Möbiusa'' jest używana zarówno do wstęgi z brzegiem, jak i bez brzegu.

%\bza [Rozcinanie wstęgi Möbiusa] Udowodnić, że przestrzeń $ U:= M_2\setminus \{[s,0]\,|\, s\in [-1,1]\} $ powstała ze wstęgi Möbiusa $ M $ po usunięciu jej ''równika'' (czyli rozcięciu w połowie tworzącej) jest homeomorficzna z walcem $ W $. A co się stanie jeśli zacząć rozcinać wstęgę Möbiusa w $ \frac{1}{3} $ długości tworzącej?

Zadanie [Torus] (p. BCPP Zad. 1.39 B) (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ T_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T_2 := S^1\times S^1 $
  3. $ T_3 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (t,1)\sim (t,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

SPÓJNOŚĆ i ŁUKOWA SPÓJNOŚĆ

Spójność jest jedną z najbardziej intuicyjnych własności przestrzeni geometrycznych, mocno osadzoną w geometrycznej intuicji. Przestrzeń jest spójna jeśli nie można jej rozłożyć na dwa rozłączne ''kawałki'', czyli niepuste podzbiory otwarte (lub równoważni domknięte). Ważna jest też nieco mocniejsza własność, a mianowicie możliwość połączenia dowolnych dwóch punktów przestrzeni drogą, czyli odwzorowaniem odcinka przekształcającego jego końce na zadane punkty. Własność ta zwana jest łukową spójnością. Spójność pozwala na przeniesienie do świata przestrzeni topologicznych własności Darboux funkcji rzeczywistych, znanej z Analizy Matematycznej I.

Spójność

Definicja [Spójność] Przestrzeń $ (X,\sT) $ jest spójna jeśli nie istnieją niepuste zbiory $ U,V\in\sT $ takie, że $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset. $

Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się spójny jeśli podprzestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest spójna.

Przykład Przestrzeń dyskretna zawierająca więcej niż jeden element jest niespójna. Przestrzeń antydyskretna jest zawsze spójna.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_przyklady.jpg}}

Stwierdzenie Przestrzeń jest niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzna z sumą prostą dwóch niepustych przestrzeni.
Dowód: $ \implies $ Jeśli przestrzeń jest niespójna, to $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset $ gdzie $ U,V\in\sT $ . Oczywiste odwzorowanie $ U\coprod V \to X $ jest homeomorfizmem, bowiem jest ciagłą bijekcją i przeprowadza zbiory otwarte na otwarte.

$ \impliedby $ Jeśli $ h\colon (X_1\coprod X_2,\sT_*) \to (X,\sT) $ jest homeomorfizmem, to   $ X = h(X_1)\cup h(X_2) $ jest rozkładem $ X $ na sumę dwóch niepustych rozłącznych podzbiorów otwartych, a więc $ (X,\sT) $ nie jest spójna. □

Stwierdzenie [Kryteria spójności](#) Następujące warunki dla przestrzeni $  (X,\sT) $są równoważne:

  1. $ (X,\sT) $ jest spójna.
  2. Jedynymi zbiorami otwartymi i domkniętymi są $ \emptyset, X. $
  3. Każde odwzorowanie ciągłe $ f:(X,\sT)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ jest stałe.
Dowód: (1) $ \implies $ (2) Jeśli $ U\subset X $ jest niepustym otwarto - domkniętym podzbiorem różnym od $ X $, to $ X=U\cup (X\setminus U) $ jest rozkładem na sumę rozłącznych, niepustych podzbiorów otwartych, a więc $ (X,\sT) $ nie jest spójna.

(2) $ \implies $ (1) Przestrzeń nie jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją niepuste zbiory $ U,V\in\sT $ takie, że $  X=U\cup V, \, U\cap V = \emptyset $ a zatem $ U,V $ są zbiorami otwartymi i domkniętymi różnymi od $ \emptyset, X. $

(2) $ \implies $ (3) Jeśli $ f:(X,\sT)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ jest ciągłe, to przeciwobrazy $ f^{-1}(0),\, f^{-1}(1) $ są rozłącznymi zbiorami otwarto -- domkniętymi, a zatem jeden z nich musi być zbiorem $ X $ a drugi zbiorem pustym. A to oznacza, że $ f $ jest stałe.

(2) $ \impliedby $ (3) Jeśli $ U\subset X $ jest podzbiorem otwarto-domkniętym różnym od $ \emptyset, X $ to definujemy funkcję ciagłą $ f(x) := \begin{cases} 1\, \text{dla}\, x\in U \\ 0\, \text{dla}\, x\notin U\end{cases} $, która nie jest stała. □

Stwierdzenie (#)

  1. Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją określoną na spójnej przestrzeni $ (X,\sT_X) $ to $  (Y,\sT_Y) $ też jest spójna.
  2. Jeśli $ C\subset X $ jest zbiorem spójnym to dowolny podzbiór $ A $ taki, że   $ C\subset A \subset \op{cl}(C) $ jest też spójny.
  3. Jeśli $ X= \bigcup\limits_{i\in I} C_i $ jest suma spójnych podzbiorów $ C_i $ oraz istnieje zbiór $ C_{i_0} $ taki, że dla każdego $ i\in I $, $ C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $, to $ X $ jest przestrzenią spójną.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_suma_spojnych.jpg}}

Dowód:

Ad 1. Jeśli $ (Y,\sT_Y) $ nie jest spójna, to istnieje rozkład się na sumę niepustych, otwartych rozłącznych podzbiorów $ Y = V_1\cup V_2 $. Wtedy   $ X = f^{-1}(V_1)\cup f^{-1}(V_2) $ jest rozkładem przestrzeni $ X $ na sumę niepustych, otwartych rozłącznych podzbiorów, a więc $ (X,\sT) $ nie byłaby spójna.

Ad 2. Niech $ f\colon A\to \{0,1\} $ będzie odwzorowaniem ciągłym. Skoro $ C $ jest zbiorem spójnym, to $ f|A $ jest stała. Ponieważ $ \op{cl}_A(C) = \op{cl}_X(C)\cap A = A $, więc funkcja $ f $ jest stała na zbiorze $ A $.

Ad 3. Niech $ f\colon X\to \{0,1\} $ będzie funkcją ciągłą. Z założenia $ f\colon C_i \to \{0,1\} $ jest stała, wystarczy więc zauważyć, że jej wartość nie zależy od $ i $. Wynika to stąd, że $ \forall_{i\in I} C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $ a więc na każdym zbiorze $ C_i $ funkcja $ f_i $ przybiera tę sama wartość co na $ C_{i_0} $. □

Przy pewnych dodatkowych założeniach zachodzi twierdzenie odwrotne do [link] pkt.1:

Stwierdzenie (#) Niech $ p:(X,\sT_X) \to (Y,\sT_Y) $ będzie odwzorowaniem ilorazowym (Odwzorowanie nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz $ \sT_Y = p_*\sT_X $) na przestrzeń spójną $ (Y,\sT_Y) $. Jeśli przeciwobraz $ f^{-1}(y) $ dowolnego punktu $ y\in Y $ jest zbiorem spójnym, to $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią spójną.
Dowód: Niech $ \phi :(X,\sT_X)\to (\{0,1\},\sT_\delta) $ będzie odwzorowaniem ciagłym. Dla dowolnego $ y\in Y $ obcięcie $ \phi\colon f^{-1}(y) \to \{0,1\} $ jest stałe, a więc odwzorowanie $ \bar\phi\colon Y\to \{0,1\},\, \bar\phi (y) := \phi (x) $ gdzie $ p(x)=y $ jest dobrze zdefiniowane. Jest także ciągłe, bo złożenie $ p\circ\bar\phi = \phi $ jest ciągłe, a $ p $ jest ilorazowe. Ponieważ $ (Y,\sT_Y) $ jest spójna, więc odwzorowanie $ \bar\phi $ jest stałe, a zatem $ \phi $ jest stałe, co dowodzi spójności $ (X,\sT_X) $. □

    

     Łańcuchy zbiorów otwartych

Stwierdzenie (#) Niech dane będzie pokrycie przestrzeni spójnej $ (X,\sT) $ zbiorami otwartymi $ {\mathcal U} := \{U_t\}_{t\in T} $. Każde dwa punkty $ a, b\in X $ dają się połączyć skończonym łańcuchem złożonym ze zbiorów z rodziny $ {\mathcal U} $, tzn. istnieją wskaźniki $ t_0,\dots ,t_n\in T $ takie, że $ a\in U_{t_0}, \, b\in U_{t_n} $ oraz $ U_{t_i} \cap U_{t_{i+1}}\neq\emptyset $ dla $ i=0,\dots n-1 $.
Dowód: Jesli dla punktów $ a $ i $ b $ spełniona jest teza twierdzenia, to będziemy mówili w skrócie, że dają się połączyć łańcuchem w pokryciu $ {\mathcal U} $. Ustalmy punkt $ a\in X $ i rozpatrzmy zbiór

$$C(a):= \{x\in X\, |\,  \exists\,\text{łańcuch w pokryciu}\,\, {\mathcal U}\,\text{łączący}\,\, a\, \text{z}\,\, x\}.$$

Zauważmy, że ten zbiór jest otwarty: jeśli $ x\in C(a) $ i $ x\in U_t $, to $ U_t\subset C(a) $. Jest takze domknięty, bo jego dopełnienie jest zbiorem otwartym:   jeśli $ x\notin C(a) $ oraz $ x\in U_t $ to $ U_t\subset X\setminus C(a) $. Ponieważ $ a\in C(a) $ więc ze spójności przestrzeni $ (X,\sT) $ wnioskujemy, ze $ C(a) = X $. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_lancuch.jpg}}

Stwierdzenie Jeśli (X; d) jest przestrzenią metryczną spójną, to dla dowolnych $ a, b \in X $ i dla każdego $ \epsilon > 0 $ istnieją punkty $ x_1,\dots , x_n \in X $ takie, że $  x_1 = a ,\, x_n = b $ oraz $ d(x_i; x_{i+1}) < \epsilon $ dla $ i = 1, \dots , n-1. $
Dowód: Wystarczy zastosować Stw. [link] do pokrycia przestrzeni $ X $ kulami o promieniu $ \epsilon/2 $ i z kul wystepujących w łańcuchu wybrać po jednym punkcie. □

Spójne podzbiory prostej euklidesowej

Definicja Podzbiór $ A\subset\R $ nazywa się przedziałem jeśli stąd, że $ a \leq c \leq b $ i $ a, b \in A $ wynika $ c\in A $, czyli dowolna liczba leżąca między dwoma liczbami należącymi do $ A $ też należy do $ A $.
Twierdzenie [Klasyfikacja spójnych podzbiorów prostej](#)

  1. Dowolny przedział na prostej euklidesowej jest homeomorficzny z jednym ze standardowych przedziałów: zbiorem jednopunktowym $ \{0\} $ lub odcinkiem $ [0,1],\, [0,1),\, (0,1), $ przy czym żadne dwa z nich nie są homeomorficzne.
  2. Podzbiór prostej euklidesowej $ (A,\sT_e|A)\subset(\R,\sT_e) $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem.
Dowód:

Ad 1. Dowolny niepusty przedział jest zbiorem jednopunktowym lub zbiorem postaci $ (a,b),\, [a,b) $, $ (a,b],\, [a,b] $ gdzie $ a<b $, a otwarty koniec odcinka może być $ \pm\infty $ i łatwo znaleźć wśród funkcji znanych z Analizy Matematycznej I homeomorfizmy z odpowiednimi przedziałami standardowymi. Dowód, że żadne dwa rózne przedziały standardowe nie są homeomorficzne wykażemy po udowodnieniu punktu 2).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_wykresy.jpg}}

Ad 2. Wykażemy, że przedziały standardowe są spójne. Ponieważ każdy przedział jest suma wstępujacej rodziny odcinków domkniętych, wystarczy wykazać spójność odcinka $ [0,1] $. Niech $ f\colon [0,1]\to \{0,1\} $ jest funkcją ciągłą i załóżmy, że $ f(0)=0 $. Jeśli funkcja nie jest stała, zdefiniujmy   $ t_1 := \inf\{t\in [0,1]\, |\, f(t) = 1\}> 0 $ . W punkcie $ t_1 $ funkcja nie byłaby ciągła, bowiem $ f(t_1)=1 $, natomiast $ f(t)=0 $ dla $ t<t_1 $.

Jeśli podzbiór $ A\subset\R $ nie jest przedziałem, to istnieje liczba $ r\notin A $ taka, że $ \{a\in A\, |\, a<r\}\cup \{a\in A\, |\, a> r\} = A $ jest rozkładem zbioru $ A $ na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych.

Wróćmy do pkt. 1. Pokażemy teraz, że odcinki $ [0,1],\, [0,1),\, (0,1), $ nie są parami homeomorficzne. Załóżmy, że istniałby homeomorfizm $ h\colon [0,1) \to (0,1) $. Wtedy po usunieciu początku odcinka $ [0,1) $ mielibysmy homeomorfizm $ h\colon (0,1) \to (0,1)\setminus h(0) $. Jest to jednak niemożliwe, bo odcinek $  (0,1) $ jest spójny, a po usunęciu dowolnego punktu staje się niespójny. Podobnie rozumujemy w przypadku pozostałych par odcinków, korzystając z tego, że końce odcinka mogą być scharakteryzowane jako jedyne punkty, których usunięcie nie narusza spójności. □

Stwierdzenie [Uogólniona własność Darboux] Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (\R,\sT_e) $ jest odzworowaniem ciągłym i przestrzeń $ (X,\sT) $ jest spójna, to podzbiór $ f(X)\subset\R $ jest przedziałem.□

Spójność a konstrukcje przestrzeni topologicznych

Zauważmy jak zachowuje się spójność przy poznanych operacjach na przestrzeniach topologicznych. Następujące własności są oczywiste:

  1. Podprzestrzeń przestrzeni spójnej może nie być spójna.
  2. Przestrzeń ilorazowa przestrzeni spójnej jest spójna na mocy Stw. [link] pkt. 1.
  3. Suma prosta niepustych przestrzeni topologicznych nie jest spójna.

Trudniejsze do wykazania jest następujące:

Twierdzenie (#) Iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przestrzenie są spójne.
Dowód:

$ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenia spójną, to wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ też są przestrzeniami spójnymi ponieważ rzutowania na czynniki $ p_t\colon \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s)\to (X_t,\sT_t) $ są ciagłymi surjekcjami.

$ \impliedby $ Zaczniemy od wykazania tezy dla skończonych rodzin przestrzeni. Dzięki indukcji wystarczy pokazać, że iloczyn dwóch spójnych przestrzeni $ (X,\sT_X) $ i~$ (Y,\sT_Y) $ jest spójny. W tym celu rozłożymy $ X\times Y $ na sumę spójnych podprzestrzeni spełniających założenia Stw. [link] pkt. 3. Wybierzmy punkt $ x_0\in X $ i przedstawmy $ X\times Y = (\{x_0\}\times Y)\cup\bigcup\limits_{y\in Y} X\times \{y\} $ Poziomice są zbiorami spójnymi oraz $ \forall_{y\in Y}\, (\{x_0\}\times Y)\cap (X\times \{y\}) = \{(x_0,y)\} \neq\emptyset $. Z Stw. [link] pkt. 3 wynika, że $ X\times Y $ jest przestrzenią spójną.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_rozklad_prod.jpg}}

Niech teraz $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ będzie produktem dowolnej rodziny przestrzeni spójnych. Wybierzmy punkt $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $ i rozpatrzmy zbiór

$$D:= \{\{x_s\}_{s\in S}\in\prod\limits_{s\in S} X_s\, |\,   x_s = x_s^0\,\text{poza skończenie wieloma}\, {s\in S}\}$$

Zbiór $ D $ jest sumą podzbiorów homeomorficznych ze skończonymi iloczynami: jeśli $ F\subset S $ jest zbiorem skończonym, to podzbiór:

$$D_F:= \{\{x_s\}_{s\in S}\in\prod\limits_{s\in S} X_s\, |\,   x_s = x_s^0\, s\in S\setminus F\}$$

jest homeomorficzny z $ \prod\limits_{s\in F}  (X_s, {\cal T}_s) $ a więc spójny oraz $  D = \bigcup\limits_{F\subset S} D_F $. W przecięciu zbiorów $ D_F $ leży punkt $ x^0 $, więc $ D $ jest zbiorem spójnym.

Pozostaje zauważyć, że $ D $ jest gęstym podzbiorem $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $. Dowolny zbiór z bazy topologii produktowej $ \langle U_{s_1},\dots U_{s_n}\rangle $ przecina zbiór $ D_F $ gdzie $ F=\{s_1,\dots s_n\} $:

$$\langle U_{s_1},\dots U_{s_n}\rangle\cap D_F = \prod\limits_{s\in S} A_s\quad \text{gdzie}\,\, A_s = \begin{cases} U_s\,\,\text{dla}\,\, s\in F \\ x_s^0\,\,\text{dla}\,\, s\notin F\end{cases}. $$

Dowód kończy przywołanie Stw.[link] pkt. 2, bowiem $ \op{cl}(D) = \prod\limits_{s\in S}  X_s $. □

Składowe spójne

Definicja Składową spójną przestrzeni $ (X,\sT) $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) podzbiór spójny w $ X $. Składową punktu $ x\in X $ nazywamy składową spójną zawierającą punkt $ x $, a więc maksymalny zbiór spójny zawierający punkt $ x $.
Stwierdzenie Niech $ (X,\sT) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną.

  1. Jeśli $ C_1, C_2\subset X $ są składowymi spójnymi, to $ C_1=C_2 $ lub $ C_1\cap C_2 = \emptyset $;
  2. $ X=\bigcup \{C\, |\, C\, \text{składowa przestrzeni}\, X\} $;
  3. Składowe spójne są zbiorami domkniętymi.
Dowód:

Ad 1. Jeśli $ C_1\cap C_2 \neq \emptyset $ to $ C_1\cup C_2 $ jest zbiorem spójnym, zawierającym $ C_1 $ oraz $ C_2 $, a więc $ C_1 = C_1\cup C_2 = C_2. $ Każdy punkt $ x\in X $ należy do pewnej składowej spójnej, zwanej składową tego punktu i oznaczanej $ C_x $.

Ad 2. Każdy punkt przestrzeni $ X $ należy do pewnej składowej, czyli maksymalnego zbioru spójnego zawierającego ten punkt.

Ad 3. Jeśli $ C\subset X $ jest składową, to ponieważ $ C\subset\operatorname{cl}(C) $ i na mocy Stw. [link] pkt. 2 domknięcie $ \operatorname{cl}(C) $ jest zbiorem spójnym, musi zachodzić równość $ C=\operatorname{cl}(C) $. □

Uwaga Składowe spójne nie muszą być podzbiorami otwartymi. Np. składowymi zbioru $ \{0\}\cup \{\frac{1}{n}\, |\, n\in\N\}\subset\R $ są zbiory jednopunktowe, a $ \{0\} $ nie jest zbiorem otwartym. Natomiast składowe spójne dowolnego otwartego podzbioru $ \R^n $ są otwarte, bowiem punkty w $ \R^n $ posiadają dowolnie małe otoczenia spójne. Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT_X) $ nie zawsze jest homeomorficzna z sumą rozłączną swoich składowych $ (C,\sT_X|C) $. .
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ciągłym, a $ C\subset X $ jest składową spójną, to zbiór $ f(C) $ jest zawarty w pewnej składowej przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Jeśli $ f $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnej składowej $ C\subset X $, $ f|C:C\to f(C) $ jest homeomorfizmem na składową $ (Y,\sT_Y). $
Dowód: Teza wynika bezpośrednio z Stw. [link], bowiem obraz składowej musi być zbiorami spójnymi, a więc są zawarty w pewnym maksymalnym zbiorze spójnym. □

Zbiór składowych spójnych

Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Rozbicie zbioru $ X $ na sumę składowych, które są zbiorami rozłącznymi, wyznacza w $ X $ relację równoważności. Zbiór jej klas abstrakcji (czyli zbiór składowych) oznaczmy $ \pi_0'(X) $.

Uwaga W zbiorze $ \pi_0'(X) $ można wprowadzić topologię ilorazową z przestrzeni $ (X,\sT) $ (p. BCPP Zad. 5.9 -- 5.11), ale w zastosowaniach do rozstrzygania pytania, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne rozpatruje się na ogół jedynie zbiór $ \pi_0'(X) $, ignorując topologię.

Bardzo ważna własność przypisania przestrzeni $ X $ zbioru $ \pi_0'(X) $ polega na tym, że przekształceniom ciągłym między przestrzeniami mozna w ''naturalny'' sposób przypisać odwzorowania zbiorów. Dokładniej:

Stwierdzenie (#) Dowolne odwzorowanie ciągłe $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ definiuje odwzorowanie zbiorów:

$$f_\#\colon\pi_0'(X)\to\pi_0'(Y),\, f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C)$$

przy czym $ (Id_X)_\#=Id $ oraz jeśli $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) \arr {g} (Z.\sT_Z) $ to zachodzi równość $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $.

Dowód: Odwzorowanie $ f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C) $ jest dobrze zdefiniowane, bowiem $ f(C) $ jest zbiorem spójnym, a więc istnieje dokładnie jedna składowa przestrzeni $ X $, która go zawiera.

Sprawdzimy, że $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $. Z definicji

$$(g\circ f)_\#(C) = g( \text{składowa zawierająca}\,f(C)),$$

a więc jest maksymalnym zbiorem spójnym $ E_1 \supset g(D)\supset g(f(C)) $, gdzie $ D\supset f(C) $ jest składową przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Z drugiej strony

$$(gf)_\#(C) = \{\text{składowa zawierająca}\,g(f(C))\} := E_2,$$

przy czym $ E_1\cap E_2\supset  g(f(C)) $ Suma zbiorów spójnych $ E_1\cup E_2 $ jest więc zbiorem spójnym, a z maksymalności $ E_1 $ i $ E_2 $ wynika, że $ E_1 = E_2 $. □

Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to $ \pi_0'(X)\arr {f_\#} \pi_0'(Y) $ jest bijekcją .
Dowód: Niech $ (Y,\sT_Y) \arr{g} (X,\sT_X)  $ będzie odwzorowaniem odwrotnym, czyli $ g\circ f = Id_X $ oraz $ f\circ g = Id_Y. $ Z Stw. [link] otrzymujemy, że $ g_\#\circ f_\# = (g\circ f)_\# = Id_X $ oraz $ f_\#\circ g_\# = (f\circ g)_\# = Id_Y $, a więc $ f_\# $ i $ g_\# $ są bijekcjami. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{h} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnego podzbioru $ A\subset X, $ obcięcie $ h\colon X\setminus A \to Y\setminus h(A) $ też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję zbiorów $ \pi_0'(X\setminus A)\arr{h_\#}\pi_0'(Y\setminus h(A)). $
Uwaga Skorzystaliśmy z tego argumentu w szczególnym przypadku w dowodzie Tw. [link], wykazując że różne przedziały standardowe na prostej nie są homeomorficzne.

Łukowa spójność

Często łatwiejsze niż bezpośrednie wykazanie spójności jest sprawdzenie silniejszej, lecz bardziej geometrycznej własności przestrzeni, zwanej łukową spójnością.

Definicja Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ jest łukowo spójna jeśli dla dowolnych punktów $ x_0,x_1\in X $ istnieje odwzorowanie ciągłe (zwane drogą) $ \omega : [0,1]\to X $: $ \omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1. $
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ jest łukowo spójna to jest spójna.
Dowód: Wybierzmy punkt $ x_0\in X $ oraz dla każdego innego punktu $ x\in X $ drogę $ \omega_x : [0,1]\to X $: $ \omega_x (0)=x_0,\, \omega_x (1) = x. $ Wtedy $ X = \bigcup\limits_{x\in X}\omega_x ([0,1]) $, czyli jest sumą zbiorów spójnych o niepustym przecięciu: $ x_0\in\bigcap\limits_{x\in X}\omega_x ([0,1]) $, a więc na podstawie Stw. [link] $ X $ jest przestrzenią spójną. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_drogi.jpg}}

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Relacja $ R $ w zbiorze $ X $:

$$R := \{(x_0,x_1)\in X\times X \, |\, \exists_ {\omega : [0,1]\to X} \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1\}.$$

(czyli dwa punkty są w relacji $ R $ jeśli istnieje droga je łącząca) jest relacją równoważności.

Dowód: Relacja $ R $ jest zwrotna, droga stała $ c_x(t) = x $ łączy $ x $ z $ x $. $ R $ jest także symetryczna: jeśli $ \omega : [0,1]\to X $ łączy $ x_0 $ z $ x_1 $ to droga $ \bar\omega (t) := \omega (1-t) $ łączy $ x_1 $ z $ x_0. $ Pozostaje wykazać przechodniość. Niech $ \omega_1 : [0,1]\to X $ łączy $ x_0 $ z $ x_1 $ a $ \omega_2 : [0,1]\to X $ łączy $ x_1 $ z $ x_2. $ Zdefiniujemy drogę $ \omega $ jako złożenie dróg

$$\omega (t) := (\omega_1\star\omega_2)(t) = \begin{cases} \omega_1(2t)\,\text{dla}\, 0\leq t\leq\frac{1}{2} \\ \omega_2(2t-1)\,\text{dla}\,\frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}.$$

Droga $ \omega $ łączy $ x_0 $ z $ x_2. $

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_drogi_sklad.jpg}}

Przykład (#) Podzbiór $ G\subset\R^n $ nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt $ p_0\in G $ taki, że dla dowolnego $ p\in G $ odcinek $ [p_0,p]\subset G $. Oczywiście każdy zbiór wypukły jest gwiaździsty. Dowolny zbiór gwiaździsty jest łukowo spójny. Dowolny punkt $ x\in G $ można połączyć z $ x_0 $ drogą afiniczną $ \omega (t) := (1-t)x + tx_0 $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_gwiazda.jpg}}

Przykład (#) Podzbiór płaszczyzny euklidesowej

$$S=\{\,(x,\sin\frac1x)\in \R^2:  -\frac{1}{\pi}\le x\le \frac{1}{2\pi},\, x\neq 0\}\cup \{\,(0,y):|y|\le 1\,\} $$

     jest spójny, lecz nie jest łukowo spójny ( BCPP 4.2.3). Wskaż składowe spójne zbioru $ S $.

Wlasność łukowej spójności zachowuje się podobnie jak spójność (por. Stw. [link] ), z tym że domknięcie zbiorów łukowo spójnych nie musi być zbiorem łukowo spójnym. Domknięcie podzbioru łukowo spójnego $ S':=\{\,(x,\sin\frac1x)\in \R^2:  -\frac{1}{\pi}\le x\le \frac{1}{2\pi},\, x>0\} \subset S $ nie jest zbiorem łukowo spójnym.

Stwierdzenie (#)

  1. Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją określoną na łukowo spójnej przestrzeni $ (X,\sT_X) $ to $  (Y,\sT_Y) $ też jest spójna.
  2. Jeśli $ X= \bigcup\limits_{i\in I} C_i $ gdzie dla każdego $ {i\in I} $ zbiór $ C_i $ jest łukowo spójny oraz istnieje $ {i_0\in I} $ taki, że dla każdego $ {i\in I}\, C_{i_0}\cap C_i\neq\emptyset $, to $ X $ jest przestrzenią łukowo spójną.
Dowód:

Ad 1. Aby znaleźć drogę łączącą $ y_0,y_1\in Y $ wybierzmy punkty $ x_0\in f^{-1}(y_0),\, x_1\in f^{-1}(y_1) $. Ponieważ $ X $ jest łukowo spójna, istnieje droga $ \omega : [0,1]\to X \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x_1 $. Drogę łączącą $ y_0,y_1\in Y $ definiujemy jako złożenie odwzorowań $ \eta (t) := f(\omega (t)) $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_obraz_drogi.jpg}}

Ad 2. Każdy punkt $ x\in X $ można połączyć drogą z pewnym (zależnym a priori od $ x\in X $ ! ) punktem $ x_0\in C_0 $, a dowolne dwa punkty w $ C_0 $ można też połączyć drogą. Stąd wynika, że dowolne dwa punkty w $ X $ można połączyć drogą. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_spoj_luk_suma_zbiorow.jpg}}

Łukowa spójność a operacje na przestrzeniach

Zauważmy jak zachowuje się łukowa spójność przy poznanych operacjach na przestrzeniach topologicznych. Nastepujące własności są oczywiste:

  1. Podprzestrzeń przestrzeni łukowo spójnej może nie być łukowo spójna.
  2. Przestrzeń ilorazowa przestrzeni spójnej jest spójna na mocy Stw. \ref {s:spoj_luk_podzb} pkt. 1.
  3. Suma prosta niepustych przestrzeni topologicznych nie jest łukowo spójna (bo nie jest spójna).

Dla iloczynu kartezjańskiego dowód twierdzenia analogicznego do Twierdzenia [link] jest znacznie prostszy.

Twierdzenie (#) Iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych jest przestrzenią łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki iloczynu są spójne.
Dowód:

     $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenia łukowo spójną, to wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ też są przestrzeniami łukowo spójnymi na mocy Stw. [link] pkt.1, ponieważ rzutowania $ p_t\colon \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s)\to (X_t,\sT_t) $ są ciagłymi surjekcjami.

     $ \impliedby $ Jeśli $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $ i $ x^1:=\{x_s^1\}_{s\in S} $ są dwoma punktami w iloczynie kartezjańskim, to wybierzmy dla każdego $ s\in S $ drogę $ \omega_s : [0,1]\to X_s $ łączącą $ x_s^0 $ z $ x_s^1. $ Droga $ \omega\colon [0,1]\to \prod\limits_{s\in S}  X_s $, $ \omega (t) := \{\omega_s(t)\}_{s\in S} $ jest ciagła na mocy Stw. [link] i łączy $ x^0 $ z $ x^1 $. □

Składowe łukowo spójne

Analogicznie do pojęcia składowej spójnej przestrzeni topologicznej definiujemy składowe łukowo spójne.

Definicja Składową łukowo spójną przestrzeni $ (X,\sT) $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) podzbiór łukowo spójny w $ X $.

Zauważmy, że składowe łukowo spójne są dokładnie klasami równoważności relacji ''istnienia drogi łączącej punkty'', zdefiniowanej w Stw. [link]. Wynika stąd natychmiast:

Stwierdzenie Jeśli $ C_1, C_2\subset X $ są składowymi łukowo spójnymi przestrzeni $ (X,\sT_X) $, to $ C_1=C_2 $ lub $ C_1\cap C_2 = \emptyset $, a zbiór $ X=\bigcup C $ jest sumą składowych łukowo spójnych. □
Stwierdzenie Jęśli $ f\colon (X,\sT_X)\to  (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ciągłym, a $ C\subset X $ składową łukowo spójna, to $ f(C) $ jest zawarty w pewnej składowej łukowo spójnej $ (Y,\sT_Y). $
Dowód: Teza wynika natychmiast z Stw. [link] pkt.1. □

Zbiór składowych łukowych przestrzeni $ (X,\sT) $, a więc klas abstrakcji relacji opisanej w Stw. [link], oznaczamy $ \pi_0(X) $.

Uwaga W zbiorze $ \pi_0(X) $ można wprowadzić topologię ilorazową z przestrzeni $ (X,\sT) $, ale w zastosowaniach do rozstrzygania pytania, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne rozpatruje się jedynie zbiór $ \pi_0(X) $, ignorując topologię.

Bardzo ważny aspekt przypisania przestrzeni $ X $ zbioru $ \pi_0(X) $ polega na tym, że przekształceniom ciągłym między przestrzeniami mozna w ''naturalny'' sposób przypisać odwzorowania zbiorów. Dokładniej:

Stwierdzenie (#) Dowolne odwzorowanie ciągłe $ (X,\sT_X)\arr{f} (Y,\sT_Y) $ definiuje odwzorowanie zbiorów:

$$f_\#\colon\pi_0(X)\to\pi_0(Y),\, f_\#(C) := \text{składowa łukowa zawierająca}\,f(C)$$

przy czym $ (Id_X)_\#=Id $ oraz dla dwóch odwzorowań $ (X,\sT_X)\arr {f} (Y,\sT_Y) \arr {g} (Z.\sT_Z) $ zachodzi równość $ (g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\# $.

Dowód: Odwzorowanie $ f_\#(C) := \text{składowa zawierająca}\,f(C) $ jest dobrze zdefiniowane, bowiem $ f(C) $ jest zbiorem sp/ójnym, a więc istnieje dokładnie jedna składowa przestrzeni $ X $, która go zawiera. $ (g\circ f)_\#(C) = g( \text{składowa zawierająca}\,f(C)) $, a więc jest maksymalnym zbiorem spójnym $ E_1 \supset g(D)\supset g(f(C)) $, gdzie $ D\supset f(C) $ jest składową przestrzeni $ (Y,\sT_Y). $ Z drugiej strony $ (gf)_\#(C) = \{\text{składowa zawierająca}\,g(f(C))\} := E_2 $, przy czym $ E_1\cap E_2\supset  g(f(C)) $ Suma zbiorów spójnych $ E_1\cup E_2 $ jest więc zbiorem spójnym, a z maksymalności $ E_1 $ i $ E_2 $ wynika, że $ E_1 = E_2 $. □
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to(Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to $ f_\#\colon\pi_0(X)\to \pi_0(Y) $ jest bijekcją .
Dowód: Niech $ (Y,\sT_Y) \arr{g} (X,\sT_X)  $ będzie odwzorowaniem odwrotnym, czyli $ g\circ f = Id_X $ oraz $ f\circ g = Id_Y. $ Z Stw. [link] otrzymujemy, że $ g_\#\circ f_\# = (g\circ f)_\# = Id_X $ oraz $ f_\#\circ g_\# = (f\circ g)_\# = Id_Y $, a więc $ f_\# $ i $ g_\# $ są bijekcjami. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr{h} (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to dla dowolnego podzbioru $ A\subset X, $ obcięcie $ h\colon X\setminus A \to Y\setminus h(A) $ też jest homeomorfizmem, a więc definiuje bijekcję zbiorów $ \pi_0(X\setminus A)\arr{h_\#}\pi_0(Y\setminus h(A)). $

Spójność i łukowa spójność w przestrzeniach euklidesowych

Zauważyliśmy, że zbiory gwiaździste w przestrzeniach euklidesowych [link] , są łukowo spójne, a więc także spójne. Poniżej dyskutujemy związki pojęć łukowej spójności i spójności dla otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.

Stwierdzenie [Składowe spójne podzbiorów otwartych] Składowe spójne dowolnego otwartego podzbioru $ \R^n $ są zbiorami otwartymi.
Dowód: Niech $ C\subset U $ będzie składową spójną oraz $ x\in C\subset U $. Ponieważ zbiór $ U $ jest otwarty możemy wybrać promień $ r>0 $ taki,że $ B(x,r)\subset U $. Zbiór $ C\cup B(x,r) $ jest spójny, a więc z maksymalności $ U $ wynika, że $ B(x,r)\subset C $, czyli $ C $ jest zbiorem otwartym. □
Stwierdzenie [Spójność i łukowa podzbiorów otwartych](#) Otwarty, spójny podzbiór przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,\sT_e) $ jest łukowo spójny. Składowe spójne takiego zbioru są identyczne ze składowymi łukowo spójnymi.
Dowód: Niech $ U\subset\R^n $ będzie spójnym podzbiorem otwartym. Wybierzmy punk $ x_0\in U $ i rozważmy zbiór:

$$U_{x_0} := \{x\in U\, |\, \exists_ {\omega : [0,1]\to X} \,\omega (0)=x_0,\, \omega (1) = x\},$$

który oczywiście jest łukowo spójny. Pokażemy, że $ U_{x_0} $ jest zbiorem otwarto-domkniętym w $ U $. Niech $ x\in U_{x_0} $, wówczas istnieje $ r>0 $ takie, że $ B(x,r) \subset U_{x_0}. $ Ponieważ kula euklidesowa jest łukowo spójna, więc dowolny punkt $ x'\in B(x,r) $ można połączyć drogą z $ x $, a zatem na mocy Stw. [link] także z punktem $ x_0 $. Taki sam argument pokazuje, że dopełnienie zbioru $ U_{x_0} $ jest zbiorem otwartym, a więc $ U_{x_0} = U. $

Składowe spójne grupy liniowej

Zajmiemy się teraz zbadaniem spójności ważnego podzbioru otwartego w przestrzeni macierzy kwadratowych $ n\times n $ o wspólczynnikach rzeczywistych, a mianowicie grupy liniowej

$$GL(n,\R) :=  \{ A\in M(n,n;\R)\, |\, \det A \neq 0\}\subset  M(n,n;\R) = \prod_{i,j=1}^n\R \simeq \R^{n^2}$$
  • $ \det\colon M(n,n;\R)  \to \R $ jest odwzorowaniem ciągłym, a więc $ GL(n,\R) $ jest podzbiorem otwartym przestrzeni macierzy $ M(n,n;\R). $
  • Mnożenie macierzy $ GL(n,\R)\times GL(n,\R) \to GL(n,\R) $ jest odwzorowaniem ciągłym.
  • $ \det\colon GL(n,\R) \to \R\setminus\{0\} $ jest ciąglą surjekcją, a więc   $ GL(n;\R) = GL^+(n,\R) \cup GL^-(n,\R) $ jest sumą dwóch rozłącznych podzbiorów otwartych składających sie odpowiednio z macierzy o wyznaczniku dodatnim i ujemnym.
  • mnożenie przez dowolna macierz $ A\in GL^-(n,\R) $ zadaje homeomorfizm $ h_A\colon GL^+(n,\R) \to GL^-(n,\R). $
Twierdzenie Zbiór macierzy $ GL^+(n,\R) $ jest łukowo spójny.
Dowód: Na mocy Stw. [link] wystarczy pokazać, że $ GL^+(n,\R) $ jest zbiorem spójnym. Będziemy postepować indukcyjnie ze wzgledu na wymiar macierzy: $ GL^+(1,\R) = \R^* = \{t\in\R\, |\, t>0\} $ a więc jest to zbiór spójny. Załóżmy, że $ GL^+(k,\R) $ jest spójna dla $ k<n $ i rozważmy rzutowanie $ p\colon  GL^+(n,\R) \to \R^n\setminus\{0\} $ przypisujące każdej macierzy jej ostatnia kolumnę. Jako obcięcie rzutowania w produkcie kartezjańskim do otwartego podzbioru jest to odwzorowanie otwarte, a więc ilorazowe. Zauważmy, że odwzorowanie $ p $ polega na mnożeniu macierzy z prawej strony przez pionowo zapisany wektor bazy kanonicznej $ {\bf e}_n :=(0,..,0,1) $

Do odwzorowania $ p $ chcemy zastosować Stw.[lin]. Dla $ n>1 $ przestrzeń $ \R^n\setminus\{0\} $ jest łukowo spójna, a więc spójna. Należy więc zbadać przeciwobrazy $ p^{-1}(\vv) $ gdzie $ \vv\in \R^n\setminus\{0\}. $ Zauważmy przede wszystkim, że dla dowolnych dwóch wektorów $ p^{-1}(\vv) $ i $ p^{-1}(\ww)  $ są homeomorficzne. Istotnie, jeśli $ C\in GL^+(n,\R) $ jest macierzą taka, ze $ C(\vv) = \ww $, to mnozenie przez $ C $ z lewej strony zadaje homeomorfizm $ C\cdot\colon p^{-1}(\vv)\to p^{-1}(\ww) $ -- przekształcenie odwrotne jest mnożeniem przez $ C^{-1} $.

Rozpatrzmy więc $ p^{-1}({\bf e}_n). $ Jest to zbiór macierzy postaci zapisanych blokowo

$$M =\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ {\bf c} & 1 \end{pmatrix}$$

gdzie $ A\in GL^+(n-1,\R) $ a $ {\bf c} = (c_{n,1},...,c_{n,n-1})\in\R^{n-1} $. Taką macierz można w połaczyć drogą $ \omega\colon [0,1]\to GL^+(n,\R) $z macierzą dla której $ {\bf c} = 0 $:

$$\omega(t) :=\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ t{\bf c} & 1 \end{pmatrix}$$

Zbiór macierzy postaci

$$\begin{pmatrix} A & {\bf 0} \\ {\bf 0} & 1 \end{pmatrix} \in GL^+(n,\R)$$

jest homeomorficzny z $ GL^+(n-1,\R) $, a więc na mocy założenia indukcyjnego jest spójny, a zatem zbiór $ p^{-1}({\bf e}_n) $ jest spójny, co kończy dowód twierdzenia. □

Stwierdzenie Rozkład $ GL(n;\R) = GL^+(n,\R) \cup GL^-(n,\R) $ jest rozkładem na sumę dwóch homeomorficznych ze sobą składowych spójnych.
Uwaga Korzystając z rozkładu macierzy na iloczyn macierzy elementarnych można podać bezpośrednią konstrukcję drogi łączącej daną macierz z macierzą identycznościową. Szkic dowodu jest następujący:

  1. Każda macierz $ A\in GL^+(n,\R) $ jest iloczynem macierzy elementarnych.
  2. Dla każdej macierzy elementarnej $ E_{ij}(\lambda) $ istnieje droga $ [0,1] \arr {\omega} GL(n,\R) $ taka, że $ \omega_{ij} (0) = E_{ij}(\lambda) $ oraz $ \omega (1) = Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $
  3. Jeśli $ A = E^1_{i_1j_1}(\lambda_1)\circ\dots \circ E^k_{i_kj_k}(\lambda_k) $ i $ \omega_r  $ droga łącząca $  E^r_{i_rj_r}(\lambda_r) $ z $ Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $ Wtedy droga $ \omega (t) := \omega_1 (t)\circ\dots\circ\omega_k(t) $ łączy macierz $ A $ z $ Id_{n-1}\oplus [\pm 1]. $ Jeśli $ \det A>0 $, to $ \omega (0) = Id. $

Zadania

Zadanie [Przykłady] Zbadać spójność przestrzeni opisanych w Serii 1, Zad. 1 i Zad. 7.
Zadanie [Odwzorowania ilorazowe i spójność] (#) Jeśli $ p:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest odwzorowaniem ilorazowym takim, że $ \forall_{y\in Y}\, f^{-1}(y) $ jest zbiorem spójnym oraz $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią spójną, to $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią spójną.
Zadanie [Kryterium spójności podzbioru] Zbiór $ S $ w przestrzeni $ (X, \sT) $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych niepustych zbiorów $ A,B $ takich, ze $ S = A\cup B, $ mamy $ \op{cl}(A)\cap B \neq\emptyset $ lub $ A\cap \op{cl}(B) \neq\emptyset . $
Zadanie Niech $ X $ będzie przestrzenią spójną a $ Y\subset X $ jest spójnym podzbiorem. Jesli $ A,B\subset X\setminus Y $ są niepustymi, rozłacznymi podzbiorami otartymi w $ X\setminus Y $ takimi, że $ A\cup B = X\setminus Y $, wtedy zbiory $ Y\cup A $ oraz $ Y\cup B $ są spójne. (p. math.stackexchange.com )
Zadanie [Spójność w $ \R^n $] Wykazać, że jesli $ n>1 $ to dopełnienie dowolnego zbioru przeliczalnego w przestrzeni $ (\R^n,\sT_e) $ jest przestrzenią łukowo spójną.
Zadanie Jeśli $ f:S^n\to [0,1] $ jest przekształceniem ciągłym i $ n>1 $ to przeciwobraz co najwyżej dwóch punktów jest przeliczalny. Czy teza zachodzi dla $ n=1 $?
Zadanie [Spójność i łukowa spójność w $ \R^n $] Udowodnij, że otwarty, spójny podzbiór $ (\R^n,\sT_e) $ jest łukowo spójny.
Zadanie [Klasyfikacja homeomorficzna cyfr] Traktując cyfry $ 0\,1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9 $ jako podzbiory płaszczyzny euklidesowej, podzielić je na klasy równoważności relacji homeomorfizmu.
Zadanie [Klasyfikacja homeomorficzna liter] Traktując drukowane, wielkie litery $ A,B,C,\dots  $ jako podzbiory płaszczyzny euklidesowej, podzielić je na klasy równoważności relacji homeomorfizmu.
Zadanie [Podzbiory okręgu] Wykazać, że dowolny spójny podzbiór okręgu $ S^1 $ jest homeomorficzny z $ S^1 $ lub jednym z odcinków $ [-1,1], [-1,1), (-1,1) $ i żadne dwie z tych przestrzeni nie są homeomorficzne.
Zadanie [Przestrzeń spójna, która nie jest łukowo spójna] BCPP Zad. 4.19.
Zadanie [Składowe produktu] BCPP Zad. 4.25.

ZWARTOŚĆ

Zbiory zwarte w przestrzeni kartezjańskiej to takie, które są jednocześnie domknięte i ograniczone, czyli zawarte w pewnej kuli. Ważną własnością takich zbiorów jest to, że dowolna funkcja rzeczywista na nich określona przybiera swoje kresy. Podana definicja zwartości wymaga jednak metryki; co więcej zbiór ograniczony w jednej metryce nie musi być ograniczony w innej, wyznaczającej tę samą topologię. Z Analizy Matematycznej znana jest ciągowa definicja zwartości; ona jednak także wymaga wyboru metryki. Okazuje się jednak, że własność zwartości ma charakter topologiczny, a więc może być zdefiniowana jedynie w terminach topologii, a znane z Analizy Matematycznej własności zbiorów zwartych i funkcji na nich określonych przenoszą się na znacznie ogólniejszy kontekst.

Przestrzenie zwarte

Przypomnijmy, że pokryciem zbioru $ X $ nazywamy rodzinę jego podzbiorów $ \{W_s\}_{s\in S} $ której suma mnogościowa jest zbiorem $ X $ tzn. $ \bigcup\limits_{s\in S}W_s = X $. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią topologiczną, to pokrycie $ \{W_s\}_{s\in S} $ nazywamy otwartym (odp. domkniętym) jeśli wszystkie zbiory $ W_s $ są otwarte (odp. domknięte).

Definicja Przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni $ X $ zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie skończone. Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się zwarty jeśli przestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest zwarta.

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.

Stwierdzenie (#) Przestrzeń Hausdorffa jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna rodzina zbiorów domkniętych $ \{F_s\}_{s\in S} $ taka, że dla dowolnego skończonego zbioru wskaźników $ {s_1,\dots ,s_k\in S} $ przecięcie zbiorów $ F_{s_1}\cap\dots\cap F_{s_k} \neq\emptyset $ (zwana wtedy rodziną scentrowaną) cała ma niepuste przecięcie $ \bigcap\limits_{s\in S}F_s\neq\emptyset. $
Dowód: Będziemy dowodzić, że przestrzeń jest niezwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina scentrowana o pustym przecięciu. Rzeczywiście, przestrzeń jest niezwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pokrycie otwarte $ \rodz{U} $ z którego nie można wybrać podpokrycia skończonego tzn. rodzina zbiorów domkniętych $ \{X\setminus U\, |\, U\in\rodz{U}\} $ ma puste przecięcie i jest scentrowana. Odwrotnie, mając rodzinę scentrowaną zbiorów domkniętych o pustym przecięciu $ \{F_s\}_{s\in S} $ otrzymujemy pokrycie otwarte $ \{X\setminus F_s\}_{s\in S} $ którego nie można wybrać pokrycia skończonego. □

Pożyteczne bywa następujące kryterium zwartości.

Stwierdzenie Jeśli przestrzeń Hausdorffa $ (X,\sT) $ mozna przedstawić jako skończoną sumę jej podzbiorów zwartych, to przestrzeń ta jest zwarta. □

Zwartość, podobnie jak spójność jest zachowywana przez przekształcenia ciągłe.

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją z przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa, to $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią zwartą. □
Uwaga Założenie o tym, że $ (Y,\sT_Y) $ jest przestrzenią Hausdorffa jest konieczne, bowiem obraz ciągły (a nawet iloraz) przestrzeni zwartej nie musi być przestrzenią Hausdorffa (p. Przykład[link]).

Zwartość a operacje na przestrzeniach

Podprzestrzenie

Twierdzenie

  1. Jeśli podprzestrzeń w przestrzeni Hausdorffa $ (A,\sT|A)\subset (X,\sT) $ jest zwarta to $ A\subset X $ jest podzbiorem domkniętym.
  2. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią zwartą i $ A\subset X $ podzbiorem domkniętym, to przestrzeń $ (A,\sT|A) $ jest zwarta.
Dowód: Ad 1. Załóżmy, że $ (A,\sT|A)\subset (X,\sT) $ jest zwarta i niech $ x\notin A. $ Wtedy dla każdego punktu $ a\in A $ istnieją rozłączne otoczenia $ U_a\ni a $ oraz $ V_a\ni x. $ Zbiory $ \{U_a\cap A\}_{a\in A} $ tworzą otwarte pokrycie $ A $, a więc można z niego wyjąć pokrycie skończone $ U_{a_1}\cup\dots\cup U_{a_n}\supset A $. Przecięcie $ V := V_{a_1}\cap\dots\cap V_{a_n} $ jest rozłączne z $ U_{a_1}\cup\dots\cup U_{a_n} $, a zatem $ x\in V\subset X\setminus A $.

Ad 2. Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią zwartą, a $ A\subset X $ jesj podzbiorem domkniętym. Z Stw. [link] wiemy, że $ (A,\sT|A) $ jest przestrzenią Hausdorffa. Rozpatrzmy więc pokrycie otwarte $ \{V_s\}_{s\in S} $ przestrzeni $ (A,\sT|A) $. Z definicji topologii podprzestrzeni wynika, ze istnieją zbiory $ U_s\in\sT $ takie, że $ V_s = U_s\cap A $. Rozpatrzmy pokryciem otwarte przestrzeni $ X $ zbiorami $ \{V_s\}_{s\in S} \cup \{X\setminus A\}. $ Ponieważ $ (X,\sT) $ jest zwarta z tego pokrycia można wybrać pokrycie skończone, a więc skończoną liczbe zbiorów $ U_{s_1}\cup\dots\cup U_{s_n}\supset A $ co kończy dowód. □

Z ostatniego twierdzenia wynikaja wnioski bardzo użyteczne przy sprawdzaniu, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne.

Stwierdzenie Niech $ f:(X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ będzie odwzorowaniem ciagłym określonym na przestrzeni zwartej $ (X,\sT_X) $ o wartościach w przestrzeni Hausdorffa $ (Y,\sT_Y) $. Wtedy:

  1. odwzorowanie $ f $ jest domknięte (a więc ilorazowe);
  2. jeśli $ f $ jest bijekcją, to jest homeomorfizmem. □
Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_1) $ jest przestrzenią zwartą a $ \sT_2 $ topologią Hausdorffa w $ X $ taką, że $ \sT_2\subset\sT_1 $, to $ \sT_2 = \sT_1. $

Iloczyn kartezjański

Twierdzenie (#) [A. N. Tikhonov ] Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ są przestrzeniami zwartymi.

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia Tichonowa sformułujemy bardzo ważny, mający wiele zastosowań lemat o tubie.

Lemat [Lemat o tubie](#) Niech $ (X,\sT_X) $ bedzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Dla dowolnego punktu $ x_0\in X $ i zbioru otwartego w iloczynie kartezjańskim $ W\supset \{x_0\}\times Y $ istnieje otocznie otwarte $ U\ni x_0 $ takie, że   $ W\supset U\times Y\supset \{x_0\}\times Y $.
Dowód: Dla każdego punktu $ (x_0,y)\in \{x_0\}\times Y $ istnieją otoczenia $ U_y\ni x_0 $ oraz $ V_y\ni y $ takie, że $ (x_0,y)\in U_y\times V_y \subset W $. Zbiory $ \{V_y\}_{y\in Y} $ tworzą otwarte pokrycie przestrzeni $ Y $, a więc mozna zeń wyjąć pokrycie skończone: $ V_{y_1}\cup\dots\cup V_{y_n} = Y. $ Zbiór $ U := U_{y_1}\cap\dots\cap U_{y_n} $ jest otoczeniem $ x_0 $ i oczywiście dla każdego $ y_i $, $ U\times V_{y_i} \subset W $ a zatem $ U\times Y \subset W $. □

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_zwartosc_tuba.jpg}}

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT_X) $ bedzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Wtedy projekcja $ p_X: (X\times Y, \sT^*) \to (X,\sT_X) $ jest przekształceniem domkniętym.
Dowód: Niech $ A\subset X\times Y $ będzie zbiorem domkniętym. Żeby wykazać, że $ p_X(A)\subset X $ jest domknięty trzeba sprawdzic, że dla każdego $ x\notin p_X(A) $ istnieje otoczenie $ U\ni x $ takie, że \newline $ U\cap p_X(A) = \emptyset $ tzn. $ p_X^{-1}(U)\cap A = \emptyset $. Oczywiście $ p_X^{-1}(U) = U\times Y $, a więc wystarczy zastosować Lemat o tubie [link] do zbioru otwartego $ X\times Y\setminus A $ oraz punktu $ x\notin p_X(A) $. □

Kolejne twierdzenie jest analogiczne do udowodnionego wcześniej stwierdzenia [link] dotyczącego spójności.

Twierdzenie (#) Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest przekształceniem domkniętym takim, że $  (X,\sT_X) $ jest przestrzenią Hausdorffa, $ (Y,\sT_Y) $ jest zwarta i dla każdego $ y\in Y $ przeciwobraz $ f^{-1}(y) $ jest zbiorem zwartym, to przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta.
Dowód: Niech $ \{U_s\}_{s\in S} $ będzie pokryciem otwartym $ X $. Dla każdego punktu $ y\in Y $ istnieje skończony podzbiór $ S_y\subset S $ taki, że $ \bigcup\limits_{s\in S_y}U_s\supset f^{-1}(y). $ Ponieważ $ f $ jest domkniete, więc istnieje $ V_y\ni y $ takie, że $ f^{-1}(V_y)\subset \bigcup\limits_{s\in S_y}U_s $. Zbiory $ \{V_y\}_{y\in Y} $ tworzą pokrycie przestrzeni $ Y $, zatem można z niego wybrać pokrycie skończone $ V_{y_1},\dots V_{y_n} $. Zbiory $ \{U_s\}_{s\in S'} $ gdzie $ S' := S_{y_1}\cup\dots \cup S_{y_n} $ tworzą pokrycie skończone $ X $. □

Wywnioskujemy teraz tezę twierdzenia Tichonowa dla skończonych rodzin przestrzeni.

Stwierdzenie Iloczyn kartezjański skończonej rodziny przestrzeni topologicznych $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki $ (X_s,\sT_s) $ są przestrzeniami zwartymi.
Dowód: Jak zauważylismy wcześniej zwartość iloczynu pociąga zwartośc czynników. Odwrotnie, skoro rodzina przestrzeni jest skończona wystarczy wykazać tezę dla iloczynu dwóch przestrzeni. Wynika ona natychmiast z Wniosku [link] oraz Twierdzenia [link].□

Twierdzenie Tichonowa [link] w pełnej ogólności jest równoważne pewnikowi wyboru w teorii mnogości, a jego dowód wymaga zastosowania lematu Kuratowskiego-Zorna [p. BCPP Rozdział 7.3].

Przestrzeń ilorazowa i suma prosta

Zachowanie zwartości przy pozostałych dwóch operacjach jest znacznie łatwiejsze do sprawdzenia.

Przestrzeń ilorazowa przestrzeni zwartej jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Hausdorffa (p. Stw. [link]).

Natomiast suma prosta $ \coprod_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przestrzenie $ X_s $ są zwarte oraz $ X_s\neq\emptyset $ tylko dla skończenie wielu $ s\in S. $

Zwartość w przestrzeniach metrycznych

Zwartość metryczna i topologiczna

Definicja Przestrzeń metryczna $ (X,d) $ nazywa się zwarta jeśli z dowolnego ciągu jej elementów można wybrać podciąg zbieżny.
Twierdzenie (#) Przestrzeń metryczna $ (X,d) $ jest zwarta (w sensie metrycznym) wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń topologiczna $ (X,\sT(d)) $ jest zwarta.

     Do dowodu implikacji $ \implies $ potrzebne będą dwa lematy:

Lemat (#) Jeśli przestrzeń $ (X,d) $ jest zwarta (metrycznie), to topologia $ \sT(d) $ posiada bazę przeliczalną, a więc z każdego pokrycia otwartego przestrzeni $ (X,\sT(d)) $ można wybrać pokrycie przeliczalne.
Dowód: Dla każdej liczby naturalnej $ n $ rozważmy pokrycie przestrzeni $ X $ kulami o promieniu $ \frac 1n $. Z tego pokrycia można wybrać pokrycie skończone $ \sU_n $. Rodzina $ \sB := \bigcup \sU_n $ jest przeliczalną bazą przestrzeni $ (X,\sT(d)) $, a zatem na podstawie Stw. [link] z dowolnego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie przeliczalne. □
Lemat (#) Przestrzeń Hausdorffa $ (X,\sT) $ taka, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać pokrycie przeliczalne jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda zstępująca rodzina podzbiorów niepustych podzbiorów domkniętych ma niepuste przecięcie.
Dowód: $ \implies $ Dowód wynika natychmiast z Stw. [link], bowiem zstępująca rodzina podzbiorów domkniętych jest scentrowana.

$ \impliedby $ Jeśli $ \{U_s\}_{s\in S} $ jest dowolnym pokryciem otwartym, to można z niego wyjąc pokrycie przeliczalne, więc do dowodu zwartości wystarczy ograniczyć się do rozpatrywania otwartych pokryć przeliczalną liczbą zbiorów. Niech więc $ \{U_i\}_{i=1}^{\infty} $ będzie pokryciem przeliczalnym. Zdefiniujmy zbiory $ V_n := U_1\cup\dots\cup U_n $. Wystarczy wykazać, że istnieje $ N $ takie, że $ V_N = X $. Rozważmy w tym celu zstepującą rodzinę zbiorów domkniętych $ F_n:= X\setminus V_n $. Ponieważ $ \bigcap\limits_{n=1}^{+\infty} F_n = X \setminus \bigcup\limits_{n=1}^{+\infty} U_n = \emptyset $, więc istnieje $ N $ takie, że $ \bigcap\limits_{n=1}^{N} F_n = \emptyset $, a więc $ V_N=X $. □

Dowód:[Dowód twierdzenia [link]] $ \impliedby $ Niech $ A_1 := \{x_n\}_{n=1}^\infty $ oraz $ A_n := \{x_n,x_{n+1},\dots\} $. Zstępująca rodzina zbiorów domkniętych $ F_n:= \op{cl}(A_n) $ jest scentrowana, a więc $ \bigcap\limits_{n=1}^\infty F_n $ zawiera pewien punkt $ x_0 $. Wybierając po jednym punkcie z każdego zbioru $ x_{n(k)}\in F_k\cap B(x_0,\frac 1k) $ otrzymujemy podciąg zbieżny do $ x_0 $.

$ \implies $ Na mocy lematów [link] oraz [link] wystarczy sprawdzić, że dowolna zstepująca przeliczalna rodzina niepustych zbiorów domkniętych ma niepuste przecięcie. Z założenia dowolnie wybrany ciąg elementów $ x_n\in F_n $ posiada podciąg zbieżny $ \{x_{n_k}\} $, którego granica musi należeć do $ \bigcap\limits_{n=1}^\infty F_n $. □

Liczba Lebesgue'a pokrycia

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,d) $ będzie zwartą przestrzenią metryczną a $ \sU = \{U_s\}_{s\in S} $ jej pokryciem zbiorami $ U_s\in\sT(d). $ Wówczas istnieje liczba $ \lambda > 0 $ -- zwana liczbą Lebesgue'a pokrycia ( Henri Léon Lebesgue, (Beauvais, Oise, Picardie, F 1875 - 1941 Paryż) taka, że dla każdego punktu $ x\in X $ istnieje index $ s(x)\in S $ taki, że $ B(x,\lambda)\subset U_{s(x)}. $
Dowód: Dla każdego $ x\in X $ istnieje zbiór $ U_s $ i liczba $ \epsilon_{s,x}>0 $ taka, że $ B(x,2\epsilon_{s,x})\subset U_s $. Z pokrycia kulami $ \{B(x,\epsilon_{s,x})\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone $ \{B(x_i,\epsilon_{s_i,x_i})\}_{i=1}^N. $ Liczba $ \lambda := \min\{\epsilon_{s_1,x_1},\dots,\epsilon_{s_N,x_N} \} $ spełnia tezę twierdzenia. Istotnie, dla dowolnego punktu $ y\in X $ oraz istnieje zbiór $ B(x_i,\epsilon{s_i,x_i}\in y. $ Zatem dla dowolnego $ z\in B(y,\lambda) $ mamy $ d(x_i,z)\leq d(x_i,y) + d(y,z) \leq \epsilon_{s_i,x_i} + \lambda \leq 2\epsilon_{s_i,x_i} $, a więc $ B(y,\lambda)\subset U_{s_i}. $

Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowych

Stwierdzenie Podzbiór zwarty dowolnej przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest domknięty i ograniczony (tzn. zawarty w pewnej kuli). W przestrzeni przestrzeni euklidesowej $ (\R^n,d_e) $ podzbiór domknięty i ograniczony jest zwarty.
Dowód: Jeśli $ A\subset X $ jest podzbiorem zwartym przestrzeni metryzowalnej, to musi być domknięty, bowiem przestrzeń metryzowalna jest Hausdorffa. Zauważmy najpierw, że podzbiór zwarty prostej musi być ograniczony. Wybierzmy punkt $ a_0\in A $ i rozważmy funkcję $ d(a_0,\cdot )\colon X\to\R. $ Ponieważ $ A $ jest zbiorem zwartym istnieje $ R>0 $ takie, że dla każdego $ {a\in A} $ zachodzi nierówność $ d(a_0,a) \leq R $, stąd zbiór $ A $ jest zawarty w kuli $ B(a_0,R) $.

Niech teraz $ A\subset\R^n $ będzie domkniętym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni euklidesowej (metryka euklidesowa!). Wtedy istnieje odcinek $ [a,b] $ taki, że $ A\subset [a,b]^n\subset\R^n. $ Ponieważ kostka $ [a,b]^n $ jest zwarta, a więc $ A $ jako jej podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym. □

Przykład Zbiór macierzy ortogonalnych $ O(n)\subset GL(n,\R)\subset \R^n\times\dots\times\R^n $ jest zwarty. Istotnie, jako zbiór rozwiązań układu równań dwuliniowych jest on domknięty. Ponieważ kolumny macierzy ortogonalnej są wektorami o długości 1, $ O(n) $ jest zbiorem ograniczonym, a więc zwartym.

Zadania

Przykłady

Zadanie [Podzbiory płaszczyzny euklidesowej] BCPP Zad. 2.1
Zadanie [Zwarte podzbiory płaszczyzny kolejowej] BCPP Zad. 2.2 (A). Analogicznie, scharakteryzować podzbiory zwarte płaszczyzny ze słabą topologią kolejową tzn. topologią bukietu $ \bigvee\limits_{0\leq\alpha <\pi} (\R,\sT_e) $rodziny kontinuum prostych euklidesowych z $ 0\in\R $ jako punktem wyróżnionym. (p. Seria 3 Zad. 3).
Zadanie [Zwarte podzbiory strzałki] Wykazać, że zwarty podzbiór prostej z topologią strzałki ma puste wnętrze.y, że jeśli $ C\subset\R $ jest zwarty w topologii strzałki to jest zwarty w topologii euklidesowej oraz $ \sT_s|C = \sT_e|C $.
Zadanie [Zwarte podzbiory płaszczyzny Niemyckiego] Wykazać, że jeśli podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest zwarty to jest zwarty w topologii euklidesowej i przecina oś $ \{(x,y)\,|\, y=0\} $ w skończonej liczbie punktów. Podać przykład zbioru spełniającego te warunki, który nie jest zwarty w topologii Niemyckiego. Wykazać, że jeśli $ C\subset\R^2 $ jest zbiorem zwartym w topologii Niemyckiego, to $ \sT_{Niem}|C = \sT_e|C $.
Zadanie [Pawie oczka] Zbadać zwartość przestrzeni opisanych w Serii 3 Zad. 6 oraz scharakteryzować ich zwarte podzbiory.
Zadanie [Zbiór Cantora] BCPP Zad. 2.22

Własności

Zadanie Wykazać, że przestrzeń $ (X,\sT) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy gdy z dowolnego pokrycia zbiorami pewnej bazy $ \sB\subset\sT $ można wybrać pokrycie skończone.
Zadanie [Odstęp między podzbiorami przestrzeni metrycznej] BCPP Zad. 2.9
Zadanie [Oddzielanie podzbiorów zwartych] BCPP Zad. 2.18
Zadanie Niech $ (X,\sT_X) $ będzie przestrzenią Hausdorffa a $ (Y,\sT_Y) $ przestrzenią zwartą. Pokazać, że jeśli $ p\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest przekształceniem domkniętym takim, że $ \forall_{y\in Y}\, f^{-1}(y) $ jest zbiorem zwartym (takie przekształcenia nazywa się doskonałymi) to przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta. Podać przykład pokazujący, ze założenie domkniętości przekształcenia jest istotne.
Zadanie Wykazać, że przekształcenie doskonałe określone na przestrzeni Hausdorffa jest właściwe tzn. przeciwobrazy zbiorów zwartych są zbiorami zwartymi.
Zadanie Złożenie przekształceń doskonałych między przestrzeniami Hausdorffa jest przekształceniem doskonałym. Jeśli $ f_i:(X_i,\sT_{X_i})\to (Y_i,\sT_{Y_i}) $ są przekształceniami doskonałymi dla $ i=1,2 $, to odwzorowanie $ f_1\times f_2 : X_1\times X_2 \to Y_1\times Y_2 $ jest doskonałe.
Zadanie [Sumy podzbiorów zwartych]BCPP Zad. 2.16
Zadanie [Wykres funkcji] BCPP Zad. 2.17

Uzwarcenie Aleksandrowa

Zadanie [Przestrzeń z jednym punktem skupienia] BCPPZad. 2.20
Zadanie [Modele sfery] Rozpatrzmy zbiór $ S_n:= \R^n \cup \{\infty\} $ i zdefiniujmy w nim topologię jako generowaną przez podzbiory otwarte w $ \R^n $ oraz zbiory postaci $ \{\infty\}\cup (\R^n\setminus K) $ gdzie $ K\subset\R^n $ jest zbiorem zwartym. Udowodnij, że

  1. Przestrzeń $ S_n $ jest zwarta i homeomorficzna ze sferą $ S^n :=\{\vv\in\R^{n+1}\, |\, ||\vv||=1\} $.
  2. Istnieje homeomorfizm $ D^n/S^{n-1} \simeq S^n $, gdzie $ D^n :=\{\vv\in\R^{n}\, |\, ||\vv||\leq 1\} $.

Wskazówka. Jeśli $ (X,\sT_d) $ jest przestrzenią metryzowalną, to dla dowolnego zbioru domkniętego przestrzeń ilorazowa $ X/A $ jest Hausdorffa, a zatem jeśli $ X $ jest zwarta to $ X/A $ jest też zwarta.

ZUPEŁNOŚĆ

Zupełność to własność metryki mająca swe korzenie w Analizie Matematycznej. Zbiór zupełny w przestrzeni euklidesowej to taki, że granica każdego ciągu Cauchy jego elementów należy do tego zbioru. Własność ta w oczywisty sposób przenosi się na dowolne przestrzenie metryczne, bowiem definicja ciągu Cauchy wyrażona jest w terminach metryki. Zupełność, w odróżnieniu od omawianych wcześniej spójności i zwartości, jest własnością metryki, a nie topologii. Jeśli nawet dwie metryki są równoważne tzn wyznaczają tę samą topologię, to jedna z nich może być zupełna a druga nie. Jednak nie każda topologia pochodząca od metryki może być zdana przez metrykę zupełną - przestrzenie dla których tak jest nazywamy metryzowalnymi w sposób zupełny. Takie przestrzenie mają wiele własności analogicznych do własności topologii euklidesowej.

Ciągi Cauchy i zupełność przestrzeni metrycznych

Znane z Analizy Matematycznej pojęcie ciągu Cauchy liczb przenosi się na dowolne przestrzenie metryczne:

Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ , nazywa się ciągiem Cauchy jeśli dla każdej liczby $ \epsilon>0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla dowolnych $ r,s>n(\epsilon) $ zachodzi nierówność $ d(x_r,x_s)<\epsilon $ (czyli ciąg $ d(x_r,x_s) \to 0 $).

Dowolny ciag zbieżny w $ (X,d) $ jest ciągiem Cauchy, lecz nie każdy ciąg Cauchy musi być zbieżny (np. w $ ((0,1),d_e) $).

Stwierdzenie (#) Jeśli $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy to prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli o dowolnie małym promieniu. Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to ciąg $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x_0 $.
Dowód: Niech $ \epsilon >0. $ Z definicji ciągu Cauchy istnieje $ n_0 $ takie, że dla każdego $ n,m \geq n_0 $ zachodzi $ d(x_n,x_m)\leq\frac 12 \epsilon $, a zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli $ B(x_{n_0},\epsilon) $.

Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to istnieje podciąg $ \{x_{n_k}\} $ zbieżny do $ x_0 $. Stąd $ d(x_n,x_0)\leq d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x_0)\leq\epsilon $ dla dostatecznie dużych $ n $ i $ n_k $.□

Definicja Przestrzeń metryczna jest zupełna jeśli dowolny ciąg Cauchy jej elementów jest zbieżny (tzn. posiada granicę).
Stwierdzenie (#) Jeśli $ h\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y) $ jest bijekcją zachowującą odległość (tzn. izometrią) oraz $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną, to $ (Y,d_Y) $ też jest przestrzenią zupełną. □

Zwarta przestrzeń metryczna jest oczywiście zupełna, a z Twierdzenia [link] wynika, że dowolna metryka wyznaczająca topologię zwartą jest zupełna. Zachodzi nawet następujące nieco silniejsze twierdzenie:

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną. Załóżmy, że istnieje liczba $ r>0 $ taka, że dla każdego punktu $ {x\in X} $ domknięcie kuli $ \cl(B(x,r)) $ jest zbiorem zwartym. Wtedy $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną.
Dowód: Niech $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z Stwierdzenia [link] wynika, że prawie wszystkie elementy tego ciągu leżą w pewnej zwartej kuli $  \cl(B(x,r)) $, a więc ten ciąg jest zbieżny. □

Zupełność jest własnością metryczną pokrewną topologicznej zwartości, co świetnie ilustruje kolejne twierdzenie, analogiczne do Lematu [link]. Należy jednak zauważyć, że w ogólności zupełność nie jest własnością topologiczną: dwie metryki mogą być równoważne, ale jedna zupełna a druga nie. Np. w zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ można określić metrykę równoważną z (zupełną) metryką euklidesową, która nie jest zupełna.

Definicja Niech $ A $ będzie podzbiorem w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $. Średnicą zbioru $ A $ nazywa sie liczbę (lub $ +\infty $) $ d(A) := \sup\{d(x,y)\, |\, x,y\in A\} $
Lemat (#) Dla dowolnego podzbioru $ A $ w w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ zachodzi równość średnic: $ d(A) = d(\cl (A)) $
Dowód: $ d(a,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b_n)+d(b_n,b) $ stąd $ d(a,b)\leq d(a_n,b_n) + 2\epsilon $ dla $ n>n_0 $, a więc $ d(A) = d(\cl (A)) $. □
Twierdzenie [Warunek Cantora ( Georg Cantor (St Petersburg 1845 -- 1918 Halle) (#) Przestrzeń $ (X, d) $ jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.
Dowód: Niech $ F_1\supset F_2\supset F_3\supset ... $ będzie zstępującym ciagiem zbiorów domkniętych takich, że $ d(F_i)\to 0 $. Wybierając po jednym punkcie $ x_n\in F_n $ otrzymujemy ciąg Cauchy. Na mocy zupełności $ (X,d) $ posiada on granicę, która musi należeć do $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i $.

Odwrotnie, jeśli $ \{x_i\} $ jest ciągiem Cauchy, to średnice zstępujących zbiorów domkniętych $ F_n :\op{cl}\{x_{n+1}, x_{n+2},...\} $ zbiegają do zera na mocy Lematu [link], a więc $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i \neq 0 $ i punkt z tego zbioru jest granicą ciagu $ \{x_i\}. $

Definicja Przestrzeń metryczna jest całkowicie ograniczona jeśli dla dowolnej liczby $ {\epsilon > 0} $ istnieje pokrycie $ X $ skończenie wieloma zbiorami o średnicy $ <\epsilon $. (Równoważnie: z pokrycia kulami $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.)
Twierdzenie Przestrzeń $ (X,d) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie ograniczona i zupełna.
Dowód: $ \implies $ Jak zauważyliśmy dowolna przestrzeń zwarta jest zupełna, a z dowolnego pokrycia $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.

$ \impliedby $ Załóżmy, że $ (X,d) $ jest zupełna i całkowicie ograniczona a $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie dowolnym ciągiem z którego mamy wybrać podciąg zbieżny. SKonstruujemy indukcyjnie zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, w którego przecięciu będzie znajdować się granica pewnego podciągu : pokryjmy przestrzeń $ X $ kulami o promieniu 1: $ \{B(x,1)\}_{x\in X} $ i wybierzmy z niego kule w której znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ Załóżmy, że skonstruowaliśmy już ciąg kul domknętych $ \bar B(x_1,1),\dots,\bar B(x_k,\frac 1k) $ takich, że w przecięciu $ F_k:=\bar B(x_1,1)\cap\dots,\cap B(x_k,\frac 1k) $ znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $. Pokryjmy $ X $ kulami $ \{B(x,\frac {1}{k+1})\}_{x\in X}. $ Istnieje wśród nich kula, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ znajdujących się w $ F_k $. Otrzymaliśmy więc zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $ F_1\supset F_2\supset\dots  $ o średnicach zbiegających do 0. na mocy warunku Cantora [link] $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ a z konstrukcji wynika, że punkt $ x_0\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ jest punktem skupienia zbioru u $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ a zatem granicą pewnego podciągu. □

Przestrzenie unormowane

Definicja Przestrzenią unormowaną nazywamy przestrzeń wektorową $ \bV $ nad $ \R $ wyposażoną w normę $ ||\cdot|| :\bV\to \R^+ $ spełniającą warunki:

  1. $ \Vert\vv\Vert = 0\,\iff\, \vv=0 $
  2. $ \Vert\lambda\vv\Vert =|\lambda| \Vert\vv\Vert $
  3. $ \Vert\vv + \ww \Vert\leq \Vert\vv\Vert+ \Vert\ww\Vert $

Norma definiuje metrykę w zbiorze $ \bV $: $ d(\vv,\ww) := \Vert\vv - \ww \Vert $. Jeśli ta metryka jest zupełna, to przestrzeń unormowana nazywa się przestrzenią Banacha ( Stefan Banach (Kraków 1892 -- 1945 Lwów)

Skończenie wymiarowe przestrzenie unormowane

Twierdzenie [Równoważność norm](#) Jeśli $ \bV $ jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad $ \R $ to dowolne dwie normy definiują zupełne, równoważne metryki (tzn. wyznaczające tę samą topologię.)

Wybierzmy bazę $ \vv_1,..,\vv_n\in\bV $ i zdefiniujmy normę $ \Vert\vv\Vert_{\sup}:= \sup\{|\lambda_i|\, |\, \vv=  \sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\}. $ Wykażemy, że dowolna norma $ \Vert\cdot\Vert $ jest równoważna z normą $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ tzn. istnieją stałe $ B,C >0  $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\cdot\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $ oraz $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $.

Lemat Istnieje $ B>0 $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\vv\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $, w szczególności odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert\colon \bV\to \R $ jest ciągłe w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $.
Dowód: Niech $ \mu:= \max\{\Vert\vv_1\Vert,...,\Vert\vv_n\Vert\}. $

$$  \Vert\vv\Vert = \Vert\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\Vert \leq \sum\limits_{j=1}^n|\lambda_j\Vert| \vv_j\Vert \leq \mu\sum\limits_{j=1}^n|\lambda_i|\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup},\,\text{gdzie}\quad B:=n\mu$$

Lemat Dowolna kula domknięta w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $, czyli zbiór $ D(\vv,r) := \{\ww\in\bV\, |\, \Vert\ww - \vv\Vert_{\sup}\leq r\} $ jest zbiorem zwartym w topologii $ \sT(d_{\Vert\cdot\Vert_{\sup}}) $.
Dowód: Wystarczy rozważyć kule o środku w punkcie $ \vv=0 $. Odwzorowanie liniowe   $ f:(\R^n,\sT_e) \to (\bV,\sT(d_{\Vert\cdot \Vert}) $ takie, że $ f(\lambda_1,..,\lambda_n)=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_i\vv_j $ jest ciągłe na mocy poprzedniego lematu, a więc kula $ D(\vv,r) = f([-r,r]\times ...\times [-r,r]) $ jest zwarta jako obraz zbioru zwartego. □
Lemat Istnieje $ C>0 $ takie, że dla każdego wektora $ {\vv\in\bV} $ zachodzi nierówność $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $
Dowód: Niech $ c:=\inf\{\Vert\vv\Vert\, |\, \Vert\vv\Vert_{\sup} = 1\}. $ Ciągłość normy $ \Vert\cdot\Vert $ w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oraz zwartość kuli w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $ implikują, że $ C>0. $ $ \forall_{\vv\neq 0}\quad \Vert\vv\Vert = \frac{\Vert\vv\Vert}{\Vert\vv\Vert_{\sup}}\Vert\vv\Vert_{\sup}\geq c \Vert\vv\Vert_{\sup} $, a więc $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert  $, gdzie $ C:=\frac{1}{c} $.□
Dowód:[Dowód twierdzenia o normach] Twierdzenie wynika z lematów 1,3 bowiem jeśli dwie normy $ \Vert\cdot\Vert_1, \Vert\cdot\Vert_2 $ są równoważne, to ciąg jest Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągiem Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_2, $ a ciąg $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_1} \ww $ jest zbieżny ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ do wektora $ \ww $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_2} \ww $

Zauważmy, że zbieżność w sensie normy $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oznacza zbieżność współrzędnych wektorów ciągu w wybranej bazie, a na mocy twierdzenia w dowolnej bazie. □

Przestrzenie odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Przez $ C(X) $ oznaczamy zbiór h funkcji ciagłych $ f\colon (X,\sT)\to (\R,\sT_e) $, a przez $ C_b(X) $ podzbiór składający się z funkcji ograniczonych. Dla dowolnej funkcji $ f\in C_b(X) $ definiujemy

$$\Vert f\Vert_{\sup} := \sup\{|f(x)|\, |\, x\in X\}.$$
Uwaga Jeśli $ (X,\sT) $ jest zwarta, to $ C_b(X) = C(X) $. Jeśli $ X:=\{1,..,n\} $ to   $ C_b(X) = \R\times..\times\R $, a norma $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest identyczna z normą $ \sup $ wyznaczoną przez bazę kanoniczną $ \R^n $.
Stwierdzenie Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT) $ przestrzeń funkcji $ C_b(X) $ wyposażona w odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest przestrzenią Banacha.
Dowód: Przestrzeń funkcji $ C(X) $ jest oczywiście przestrzenią wektorową jeśli położymy: $ (f_1+f_2)(x) := f_1(x)+f_2(x) $ oraz $ (\lambda f)(x) := \lambda f(x) $. To, że odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest normą wynika natychmiast z własności wartości bezwzględnej. Pozostaje wykazać, że $ C_b(X) $ z metryką wyznaczoną przez normę $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest zupełna. Niech $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy w $ C_b(X) $. Wynika stąd, że dla każdego $ x\in X $ ciąg wartości $ f_n(x) $ jest ciągiem Cauchy liczb rzeczywistych, a więc ma granicę, którą oznaczymy $ f(x) $. Otrzymujemy w ten sposób funkcję $ f:X\to\R $, która oczywiście jest ograniczona; pozostaje sprawdzić jej ciągłość. Wynika to z następnego, nieco ogólniejszego lematu. □
Lemat Niech $ \{f_n:X\to\R\} $ będzie ciągiem funkcji ciągłych na przestrzeni $ (X,\sT) $, a $ f\colon X\to\R $ taką funkcją, że ciąg $ \sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)| $ jest zbieżny do zera -- (tzn. ciąg $ \{f_n\} $ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $ f:X\to\R $). Wtedy $ f $ jest funkcją ciągłą.
Dowód:Niech $ x_0\in X $ i $ \epsilon>0 $. Trzeba wskazać otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ \forall_{x\in U} |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $. Dla dowolnego $ x\in U $ zachodzi nierówność:

$$|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|.$$

Dobierając dostatczenie duże $ n $ zapewnimy, że pierwszy i trzeci składnik bedą dowolnie małe, w szczególności $ \frac 13\epsilon $, dla wszystkich $ x\in X $. Z kolei dzięki ciągłości funkcji $ f_n $ możemy znaleźć otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ |f_n(x) - f_n(x_0)|<\frac 13\epsilon $ dla $ x\in U $, co kończy dowód ciągłości $ f $. □

Uwaga Przestrzenie $ C_b(X) $ są na ogół nieskończenie wymiarowe i istnieje w nich wiele norm definiujących nierównoważne i niezupełne metryki. Np. wzór $ \Vert f\Vert_{\int} := \int\limits_{0}^{1} |f(t)|dt $ zadanie normę w przestrzeni $ C([0,1]) $, jednak przestrzeń metryczna $ (C([0,1]),d_{\int}) $ nie jest zupełna a metryki $ d_{\sup}, d_{\int} $ nie są równoważne.

Przestrzenie metryczne w arytmetyce - norma $ p $-adyczna

Stwierdzenie Niech $ p $ będzie liczbą liczba pierwszą. Odwzorowanie $ |\cdot |_p:\Z\to \R, $ $ |m|_p := p^{-\alpha} $ gdzie $ m=p^{\alpha}k,\, (p,k)=1,\, |0|_p=0 $, które nazywa się normą $ p $-adyczną ma nastepujące własności:

  1. $ |n|_p=0\,\iff\, n=0 $
  2. $ |n\cdot m|_p = |n|_p \cdot |m|_p $
  3. $  |n+m|_p\leq |n|_p + |m|_p $ -- nierówność trójkąta
  4. $ |x+y|_p \leq \max (|x|_p,|y|_p) $ -- silna nierówność trójkąta

i wyznacza w $ \Z $ metrykę $ p $-adyczną: $ d_p(n,m) := |n-m|_p. $

Uwaga Zauważmy, że metryka $ d_p $ jest przesuwalna tzn. dla ustalonej liczby $ n_0 $ odwzorowanie $ \tau_{n_0}(m) := n_0 +m $ jest izometrią. Dowolne dwie kule są albo rozłączne, albo jedna jest zawarta w drugiej. Przestrzenie metryczne $ (\Z,d_p) $ nie są zupełne.

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Definicja Niech $ f:X\to X $ będzie dowolnym odwzorowaniem zbioru $ X $ w siebie. Punktem stałym odwzorowania nazywamy element $ x\in X $ taki, że $ f(x)=x $.

Twierdzenia o istnieniu punktów stałych odgrywają ogromną rolę w wielu działach matematyki. Poniższe twierdzenie mówi nie tylko o istnieniu punktów stałych dla ważnej klasy odwzorowań, ale dostarcza także algorytmu jego poszukiwania:

Twierdzenie [S.~Banach](#) Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną a $ f\colon X\to X $ odwzorowaniem zbliżającym tzn. takim dla którego istnieje liczba $ 0\leq c<1 $ taka, że dla dowolnych punktów $ x,y\in X $ zachodzi nierówność $ d(f(x),f(y))< cd(x,y) $. Wtedy $ f $ posiada dokładnie jeden punkt stały.
Dowód: Zauważmy, że przekształcenie zbliżające musi być ciągłe, przeprowadza więc ciągi zbieżne na ciągi zbieżne. Wybierzmy dowolny punkt $ x\in X $ i rozpatrzmy ciąg $ \{x_n\} $ określony rekrencyjnie $ x_1 := x $, $ x_{n+1} := f(x_n) $. Łatwo sprawdzić, że ten ciąg jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę $ x_0 $. Z ciągłości odwzorowania $ f $ wynika, że $ f(x_0)=x_0 $. Jeśli punt $ x_0' $ byłby innym punktem stałym, to $ d(x_0,x_0') =  d(f(x_0),f(x_0')) $, co przeczy zalożeniu iż $ f $ jest odwzorowaniem zbliżającym.□

Zupełność a konstrukcje przestrzeni metrycznych

Omawiając konstrukcje przestrzeni topologicznych (Rozdział 4) zauważalismy które z nich zachowują metryzowalność, pokazując w jaki sposób mogą być przeprowadzane na przestrzeniach metrycznych. W przypadku podprzestrzeni było to po prostu obcięcie metryki, przestrzenie ilorazowe przestrzeni metryzowalnych nie są często metryzowalna, a nawet jeśli są nie dziedziczą naturalnej metryki. W przypadku nieskończonego produktu kartezjańskiego i sumy rozłącznej wyjściowe metryki musiały być zamienione na metryki ograniczone z gory przez 1. Zauważmy jednak, że jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną, to metryka ''obcięta'' $ d'(x,y) := \min (d(x,y),1) $ nie tylko wyznacza tę samą topologię, co $ d $, ale także wyznacza tę samą klasę ciągów Cauchy, a więc jeśli $ d $ jest zupełna to i $ d' $ jest zupełna.

Stwierdzenie [Podprzestrzenie zupełne] Jeśli podprzestrzeń przestrzeni metrycznej jest zupełna, to jest domknięta. Dowolna domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej jest zupełna.
Dowód: Jeśli $ A\subset X $ jest podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ takim, że przestrzeń metryczna $ (A,d|A) $ jest zupełna. Niech $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem elementów $ A $ zbieżnym do elementu $ x_0\in A $. Skoro $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny w $ (X,d) $ , to jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę w $ A $. Ponieważ każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę, $ x_0\in A $, a więc $ A $ jest zbiorem domknętym. Jeśli podprzestrzeń $ (A,d|A)\subset (X,d) $ przestrzeni zupełnej jest domknięta to dowolny ciąg Cauchy $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ posiada granicę w $ X $, która na mocy domkniętości $ A $ należy do $ A $. □
Stwierdzenie [Zupełność produktu] Przeliczalny (w tym skończony) produkt produkt przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są przestrzeniami zupełnymi.
Dowód: Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. Przypomnijmy, że w zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ (W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej: $ d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i). $)

Jeśli produkt $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ jest przestrzenią zupełną, to dowolna podprzestrzeń $ (X,d_i') $ (z zatem też $ (X,d_i) $ jest zupełna bowiem jest izometryczna z podzbiorem domkniętym $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ (p.Lemat [link].

Odwrotnie, załóżmy że wszystkie przestrzenie $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ są zupełne. Niech $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z definicji metryki produktowej wynika, że dla każdego $ k\in\N $ ciąg $ \{x^n_k\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy w $ (X_k,d_k) $, a więc jest zbieżny do pewnego punktu $ x^0_k $. Pokażemy, że ciąg $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x^0 $. Niech $ \epsilon >0 $, dla dostatecznie dużych $ N $ i $ n>N $ zachodzą nierówności:

$$d'(x^n,x^0) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) \leq \sum\limits_{i=1}^N \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) +\frac 12 \epsilon \leq  \frac 12 \epsilon + \frac 12 \epsilon = \epsilon$$

Stwierdzenie [Zupełność sumy] Suma rozłączna przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami zupełnymi.

Twierdzenie Baire'a i topologiczna zupełność

Zupełność przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ pociąga pewną ważną wlasność topologii $ \sT(d) $, która może być przyjęta za definicję zupełności w sensie topologicznym.

Twierdzenie [ René-Louis Baire (Paryż 1874 - 1918 Chambéry, Francja) ] Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to przecięcie dowolnej rodziny $ \rodz{U}=\{U_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów otwartych i gęstych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem gęstym.
Dowód: Niech $ V\in\sT(d) $ będzie niepusty. Trzeba pokazać, że $ V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i \neq\emptyset. $ Z gęstości $ U_i  $ mamy $ \forall_i\, V\cap U_i\neq\emptyset $, a więc można wybrać punkt $ x_1\in V\cap U_1\neq\emptyset $ oraz promień $ r_1>0 $ taki, że $ \bar B(x_1,r_1))\subset  V\cap U_i $, a następnie skonstruuować indukcyjnie zstępujący ciąg domknięć kul: $ \bar B(x_i,r_i)\subset B(x_{i-1},r_{i-1})\cap U_{i-1} $ , takich, że $ r_i\to 0 $. Z zupełności $ (X,d) $ mamy

$$V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i  \supset \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \bar B(x_i,r_i) \neq\emptyset. $$

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to suma dowolnej rodziny $ \rodz{F}=\{F_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów domkniętych i brzegowych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem brzegowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z praw de Morgana, bowiem dopełnienia zbiorów domkniętych i brzegowych są zbiorami otwartymi, gęstym. Mamy więc $ X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}(X\setminus F_i) $ jest zbiorem gęstym a więc $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i $ jest zbiorem brzegowym. □

Twierdzenie Baire'a i wnioski z niego, stosowane do przestrzeni odwzorowań ma wiele zastosowań w Analizie Matematycznej i Topologii Różniczkowej.

Zadania

Zadanie [Metryka kolejowa i rzeczna] BCPP Zad. 3.2
Zadanie [Metryka całkowa] Czy metryka całkowa, określona w BCPP Zad. 1.7 jest zupełna?
Zadanie [Ciągi liczb naturalnych] Czy przestrzeń określona w BCPP 1.8 jest zupełna ?
Zadanie [Przestrzenie przeliczalne] Zauważyć, że przeliczalna przestrzeń metryczna, która ma więcej niż jeden punkt nie jest spójna, ale może nie mieć punktów izolowanych. Rozwiązać BCPP Zad. 3.6.
Zadanie Jeśli $ f\colon (X,d_X) \to (Y,d_Y) $ jest ciagłą surjekcją oraz $ \exists_{c>0}\forall_{x_1,x_2\in X}\,d_X(x_1,x_2) \leq cd_Y(f(x_1),f(x_2)) $ (w szczególności jeśli $ f $ jest izometrią) to jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (Y,d_Y) $ jest zupełna.
Zadanie Jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (X,d') $ gdzie $ d' (x_1,x_2) := \min (d_X (x_1,x_2), 1) $ też jest zupełna. Uogólnić ten fakt podając warunki na funkcję $ \phi\colon\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0} $ gwarantujące, że $ d_\phi (x_1,x_2) := \phi (d(x_1,x_2) ) $ jest metryką oraz, że jest zupełna.(p. BCPP Zad. 1.5)
Zadanie [Sumy zbiorów zwartych] BCPP Zad. 3.16
Zadanie [Metryzowalność w sposób zupełny] BCPP Zad. 3.10
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.13
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.14
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.15
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.23
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.36
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.27
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.28

PRZESTRZENIE ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH

W obecnym rozdziale, nawiązującym do Rozdziału 4, omawiamy jeszcze jedną konstrukcję przestrzeni topologicznych. Dla ustalonych przestrzeni topologicznych $ (X,\sT_X) $ i $ (Y,\sT_Y) $ rozważamy topologie w zbiorze przekształceń ciągłych $ X\to Y $, oznaczanym $ \Map\, (X,Y) $. Topologie te pozwalają przenieść do kontekstu topologicznego znane z Analizy Matematycznej rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych: punktową, niemal jednostajną i jednostajną. Żeby wyjaśnić pochodzenie tych nazw, zauważmy że pojęcie zbieżności ciągu znane z przestrzeni metrycznych, przenosi się na dowolne przestrzenie topologiczne.

Definicja Niech $ (X,\sT_X) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną, a $ \{x_n\}_{n=1}^\infty $ ciągiem jej elementów. Ciąg $ \{x_n\}_{n=1}^\infty $ zbiega to punktu $ x_0 $ jeśli dla dowolnego otoczenia $ U\ni x_0 $ istnieje liczba $ n_0 $ taka, że dla każdego $ n>n_0,\, x_n\in U $.

Pokażemy, że rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych występujące w Analizie Matematycznej mogą być interpretowane jako zbieżności w sensie topologii zdefiniowanych w przestrzeniach odwzorowań. Przestrzenie odwzorowań odgrywają ogromną rolę w Analizie Matematycznej, Analizie Funkcjonalnej i Matematyce Obliczeniowej, dlatego poświęcamy im osobny rozdział, wykraczający poza program przedmiotu Topologia I na Wydziale MIM UW.

Topologia zwarto-otwarta

Niech $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ będą przestrzeniami Hausdorffa. Zbiór przekształceń ciągłych $ \Map\, (X,Y) $ , który można utożsamiać z podzbiorem produktu kartezjańskiego $ \prod_{x\in X} Y_x $ gdzie dla każdego $ x\in X $, $ Y_x=Y $. Zbiór $ \Map\, (X,Y) $ można więc rozpatrywać z topologią podprzestrzeni produktu kartezjańskiego. Topologia ta nazywa się topologią zbieżności punktowej, bo zbieżność ciągu elementów iloczynu kartezjańskiego jest równoważna zbieżności wszystkich ciągów współrzędnych. Topologię tę oznaczamy $ \sT_{p} $ i nazywamy topologią zbieżności punktowej. Topologia ta jest całkowicie wyznaczona przez topologię w $ Y $, a topologia w $ X $ określa jedynie jakie funkcje należą do $ \Map\, (X,Y) $. W przestrzeniach odwzorowań definiuje się więc subtelniejszą topologię, zwaną topologią zwarto-otwartą, lub topologią zbieżności niemal jednostajnej.

Definicja [Topologia zwarto-otwarta](#) $ (X,\sT_X), (Y,\sT_Y) $ -- przestrzenie Hausdorffa. Topologią zwarto-otwartą, oznaczaną $ \sT_{co} $ nazywamy topologię w zbiorze $ \Map\, (X,Y) $ generowaną przez rodzinę zbiorów

$$\{\langle A, W\rangle \ |\ A\subset X\, \text{zwarty},\, W\subset Y \text{otwarty}\},$$

gdzie $ \langle A,W\rangle := \{f\in\Map (X,Y) \ | f(A)\subset W\} $.

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę podzbiorów wynika, że bazą topologii zwarto-otwartej są skończone przecięcia zbiorów postaci $ \langle A,W\rangle $ czyli zbiory $  \langle A_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle A_n,W_n\rangle $ gdzie $ A_i\subset X $ są podzbiorami zwartymi, a $ W_i\subset Y $ podzbiorami otwartymi.

Stwierdzenie Dla dowolnych przestrzeni Hausdorffa zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{p}\subset \sT_{co} $, a jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią dyskretną, to $ \sT_{p}=\sT_{co}. $
Dowód: Podzbiory skończone przestrzeni Hausdorffa są zbiorami zwartymi. Zbiory postaci $ \langle F,W\rangle $ gdzie $ F\subset X $ jest podzbiorem skończonym (a nawet jednopunktowym) generują topologię podprzestrzeni w iloczynie kartezjańskim. □
Stwierdzenie $ (\Map\, (X,Y),\sT_{co}) $ jest przestrzenią Hausdorffa.
Dowód: Wynika z poprzedzającego Stwierdzenia oraz faktu,ze iloczyn kartezjański przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa. □

Zanim przejdziemy do dokładniejszej analizy topologii zwarto-otwartej odnotujmy teorio-mnogościowe własności konstrukcji zbiorów postaci $ \langle A,W\rangle . $

Lemat Niech $ X,Y $ będą dowolnymi zbiorami oraz $ A\subset X,\, W\subset W $ ich podzbiorami. $ \langle A,W\rangle := \{f\in\Map (X,Y) \ | f(A)\subset W\} $. Dla rodzin podzbiorów odpowiednio w $ X $ i $ Y $ zachodzą następujące równości i inkluzje zbiorów:

$$1)\,\bigcap\limits_{i\in J} \langle A_i,W\rangle = \langle\bigcup\limits_{i\in J} A_i,W\rangle \quad  2)\, \bigcap\limits_{i\in J}\langle A,W_i\rangle = \langle A,\bigcap\limits_{i\in J}  W_i\rangle$$
$$3)\, \bigcap\limits_{i\in J} \langle A_i,W_i\rangle\subset \langle\bigcup\limits_{i\in J} A_i, \bigcup\limits_{i\in J} W_i\rangle $$
Dowód: Dowody 1), 2), 3) wynikają natychmiast z definicji. □

Okazuje się, że rodzinę zbiorów potrzebną do generowania topologii zwarto-otwartej można istotnie ograniczyć, korzystając z rodziny generującej topologię w $ (Y,\sT_Y) $ , np. z jej bazy.

Lemat (#) Jeśli $ \sT_Y = \sT(\sF) $ to rodzina $ \{\langle A, W\rangle \ |\ A\subset X \,\text{zwarty,}\, W\in \rodz F\} $ generuje topologię zwarto-otwartą na $ \Map (X,Y) $.
Dowód: Oczywiście rodzina $ \rodz F_{\Map} := \{\langle  A, W \rangle \, |\ A\subset X \,\text{zwarty,}\, W\in \rodz F\} $ jest zawarta w rodzinie generujacej topologię zwarto -- otwartą (Def. [link]). Trzeba więc pokazać, że dowolny zbiór postaci $ \langle A,W\rangle  $ gdzie $ A\subset X $ jest zwarty, a $ W\subset Y $ jest otwarty jest zawarty w topologii generowanej przez rodzinę $ \rodz F_{\Map} $.

Z definicji topologii generowanej wynika, że dowolny zbiór $ W\in\sT(\sF) $ jest sumą skończonych przecięć zbiorów z rodziny $ \sF $. Zauważmy najpierw, że jeśli $ W = W_1\cap\dots\cap W_n $ gdzie $ W_i\in\sF $, to

$$\langle A,W\rangle = \langle A, \bigcap_{1}^n W_i\rangle = \bigcap_{1}^n \langle A, W_i\rangle \in \sT(\sF_{\Map}).$$

Pokażemy teraz, że jeśli $ W = \bigcup\limits_{s\in S} W_s $ oraz dla każdego zwartego podzbioru $ A\subset X $ oraz każdego $ s\in S, \,  \langle A,W_s\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $ to $ \langle A,W\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $. W tym celu trzeba pokazać, że dla dowolnego $ f\in \langle A,W\rangle $ istnieje zbiór taki, że $ f\in \langle A_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle A_n,W_n\rangle \subset \langle A,W\rangle $ gdzie $ A_i\subset X $ są podzbiorami zwartymi oraz $ \langle A_i,W_i\rangle\in \sT(\sF_{\Map}) $.

Dla dowolnego punktu $ a\in A $ istnieje $ s(a)\in S $ taki, że $ f(a)\subset W_{s(a)} $, a więc z ciągłości $ f $ wynika, ze istnieje otoczenie $ a\in \op{cl}_A (V_a) \subset A $ takie, że $ f(\op{cl}_A(V_a))\subset W_{s(a)} $. Zbiory $ \{(V_a\}_{a\in A} $ tworzą otwarte pokrycie zbioru zwartego $ A $, można więc wybrać skończone podpokrycie $ V_{a_1}\cup\dots\cup V_{a_n} = A $. Przecięcie zbiorów $ \bigcap\limits_{i=1}^n\langle A_{a_i},W_{a_i}\rangle $ spełnia nasze wymagania:

$$ f\in \langle A_{a_1},W_{a_1}\rangle\cap\dots\cap \langle A_{a_n},W_{a_n}\rangle \subset (\bigcup\limits_{i=1}^n A_{a_i}, \bigcup\limits_{i=1}^n W_{a_i}) \subset \langle A,W\rangle .$$

Pożyteczne bywa też ograniczenie klasy zbiorów zwartych używanych do generowania topologii zwarto-otwartej:

Lemat (#) Niech $ \sC = \{C_s \}_{s\in S} $ będzie rodziną zwartych zbiorów w $ (X,\sT_X) $ z następującą własnością: dla każdego zbioru zwartego $ A\subset X $ i otwartego $ U \supset A $ istnieje skończenie wiele $ C_i\in \sC $ spełniających $ A\subset \bigcup_1^n C_i \subset U. $ Niech $ \sB\subset\sT_Y $ będzie pewną bazą. Wtedy rodzina

$$\sF(\sC,\sB) := \{\langle C,W\rangle \ |\ C\in \rodz{F}, W\in \rodz{B}\}$$

generuje topologię zwarto -- otwartą w $ \Map (X,Y) $.

Dowód: Na mocy Lematu [link] wiemy, że $ \sT(\sF_{co}) = \sT(\sF (All, \sB)) $ gdzie $ All $ oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zwartych, baza generuje topologię. Ponieważ $ \sF(\sC,\sB)\subset \sT(\sF (All, \sB)) $ więc podobnie jak w poprzednim lemacie, wystarczy wykazać że dla każdego elementu zbioru $ f\in \langle C,W\rangle  $ istnieją zbiory zwarte $ C_{s_1},...,C_{s_n} \in\sC $ oraz otwarte $ W_1,\dots,W_n \in\sB $ takie, że $  f\in \langle A_{1},W_{1}\rangle\cap\dots\cap \langle A_{n},W_{n}\rangle \subset \langle C,W\rangle $. Rozważmy zbiór otwarty $ U:= f^{-1}(W)\supset C $, z założenia istnieje skończona rodzina zbiorów $ C_{s_1},\dots ,C_{s_n}\in\sC $ taka, że $ C\subset \bigcup\limits_{i=1}^n C_{s_i} \subset U $. Przecięcie zbiorów $ \bigcap\limits_{i=1}^n\langle C_{s_i},W_{a_i}\rangle $ spełnia nasze wymagania:

$$f\in \bigcap\limits_{i=1}^n\langle C_{s_i},W\rangle = \langle\bigcup\limits_{i=1}^n  C_{s_i},W\rangle \subset \langle C,W\rangle.$$

Zbadamy przekształcenia ciągłe przestrzeni $ \Map (X,Y) $ pochodzące od odwzorowań $ X\to X' $ i $ Y\to Y' $.

Stwierdzenie (#) $ f\colon (X,\sT_X) \to (X',\sT_{X'}),\, g\colon (Y,\sT_Y) \to (Y',\sT_{Y'}) $ -- odwz. ciągłe. Odwzorowania

$$f^*:\Map (X',Y)\to \Map(X,Y),\, f^*(\phi) := \phi\circ f $$
$$ g_*:\Map (X,Y)\to \Map(X,Y')\, \, g_*(\psi) := g\circ\psi$$

są ciągłe w topologii zwarto-otwartej oraz zachodzą równości $ (f_1\circ f_2)_* = f_2^*\circ f_1^*, \, (g_1\circ g_2)_* = g_{1*}\circ  g_{2*},\ Id_X^* = Id,\, Id_{Y*} = Id $.

Dowód: Ciągłość wynika łatwo z teorio-mnogościowych własności zbiorów generujących topologię. Żeby sprawdzić, iż $ f^* $ jest ciągłe wystarczy zauważyć, że dla zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y) $ zachodzi: $ (f^*)^{-1}(\langle C,W\rangle) = \langle f(C), W\rangle $, a więc jest zbiorem otwartym w $ \Map (X',Y) $. Podobnie $ (g_*)^{-1}(\langle C,W'\rangle) = (\langle C, g^{-1}(W')\rangle) $ jest zbiorem otwartym w $ \Map (X,Y) $. □
Uwaga Jeśli $ Y=Y'=\R^n $, to odwzorowanie $ f^* $ jest liniowe. Jeśli $ Y=\R^n,\, Y=\R^m' $ a $ g:\R^n\to \R^m $ jest odwzorowaniem liniowym, to $ g_* $ też jest liniowe.

Topologia $\mathcal{T}_{co}$ a produkt kartezjański

Niech $ X,\, Y $ oraz $ X_i,Y_i,\, i=1,2 $ będą przestrzeniami topologicznymi. Z definicji iloczynu kartezjańskiego i sumy prostej wynika, że przekształcenia zbiorów odwzorowań ciągłych zadane przez rzutowania na współrzędne $ p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2 $ (odp. włożenia na składniki $ \iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2 $):

$$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$$
$$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$$

są bijekcjami. Okazuje się, że jeśli w przestrzeniach odwzorowań rozpatrywać topologię zwarto-otwartą, są także homeomorfizmami.

Stwierdzenie (#)

  1. Rzutowania na współrzędne $ p_i\colon Y_1\times Y_2 \to Y_i,\, i=1,2 $ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań:
    $$(p_{1*},p_{2*})\colon \Map (X,Y_1\times Y_2) \arr {\simeq} \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2)$$
  2. Włożenia $ \iota_k\colon X_k\to X_1\coprod X_2,\, k=1,2 $ zadają homeomorfizm przestrzeni odwzorowań
    $$(\iota_1^*,\iota_2^*)\colon \Map (X_1\coprod X_2,Y) \to \Map (X_1,Y)\times \Map (X_2,Y).$$
Dowód:
Ad 1. Ciagłość odwzorowania $ (p_{1*},p_{2*}) $ wynika z Stw. [link] a z definicji produktu kartezjańskiego iż jest bijekcją. Wystarczy więc pokazać iż jest otwarte. Na mocy Lematu [link] topologia w $ \Map (X,Y_1\times Y_2) $ jest generowana przez zbiory postaci $ \langle C, p_i^{-1}(W_i)\rangle $ gdzie $ i=1,2,\, W_i\in\sT_{Y_i},\, C\subset X $ -- zwarty. Dla $ i=1 $ zachodzi równość zbiorów $ (p_{1*},p_{2*})(\langle C, p_1^{-1}(W_1)\rangle) = \langle C,W_1\rangle \times \Map (X,Y_2) $ i podobnie dla $ i=2 $, a więc obrazy zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y_1\times Y_2) $ generują topologię w produkcie $ \Map (X,Y_1)\times \Map (X,Y_2) $.

Ad 2. Dowód, że odwzorowanie $ (\iota_1^*,\iota_2^*) $ jest ciągłą bijekcją jest identyczny jak Stw. [link]. Dowód, że rodzina generująca bazę w $ \Map (X_1\coprod X_2,Y) $ przechodzi na rodzinę generującą topologię w produkcie wynika natychmiast z Lematu [link] oraz faktu, że dowolny zwarty podzbiór $ C\subset X_1\coprod X_2 $ jest sumą rozłącznych zwartych zbiorów $ C = (C\cap X_1)\cup (C\cap X_2) $. □

Interesujace jest, że w terminach przestrzeni funkcyjnych można opisać odwzorowania dwóch zmiennych $ f\colon X\times Y\to Z $ jako rodziny odwzorowań jednej zmiennej $ f_x\colon Y\to Z,\, f_x(y) := F(x,y) $ parametryzowanie w sposób ciągły przestrzenią $ X $. O przestrzeni $ Y $ musimy jednak poczynić dodatkowe założenie:

Definicja Przestrzeń Hausdorffa $ (Y,\sT_Y) $ nazywa się lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $ y\in Y $ posiada otoczenie $ V\ni y $ takie, że jego domknięcie $ \op{cl}_Y(V) $ jest zbiorem zwartym.
Uwaga Przestrzenie zwarte są lokalnie zwarte. Przestrzenie euklidesowe nie są zwarte, lecz są lokalnie zwarte, bowiem domknięcia kul euklidesowych sa zbiorami domknętymi i ograniczonymi, a więc zwartymi.
Twierdzenie (#) Jeśli przestrzeń $ Y $ jest jest lokalnie zwarta, to dla dowolnych przestrzeni $ Y,\, Z $ przekształcenie

$$\Map(X\times Y, Z)  \arr {e}\Map(X, \Map(Y,Z))$$
$$ e(h)(x)(y) :=\hat{h}(x)(y) := h(x,y)$$

homeomorfizmem (a więc także bijekcją) przestrzeni odwzorowań z topologią zwarto-otwartą.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem opisującym topologię w przestrzeni   $ \Map(X\times Y, Z) $.

Lemat (#) Zbiory postaci $ \langle A\times B, W\rangle $ gdzie $ A\subset X $, $ B\subset Y $ są podzbiorami zwartymi, a $ W\subset Z $ jest podzbiorem otwartym generują topologię zwarto-otwartą w $ \Map (X\times Y, Z) $.
Dowód: Sprawdzimy, że rodzina zbiorów

$$\{A\times B\subset X\times Y\colon A\subset X,\, B\subset Y\, \text{zbiory zwarte}\}$$

spełnia założenia Lematu [link]. Niech $ X\times Y\supset U\supset C $ będzie otoczeniem podzbioru zwartego. Dla każdego punktu $ c\in C $ istnieją zbiory otwarte $ U_c\subset X,\, V_c\subset Y $ takie, że $ U_c\times V_c\subset U $, a ze zwartości $ C $ można wybrać skończone przykrycie otwarte $ U \supset (U_{c_1}\times V_{c_1})\cup\dots\cup (U_{c_n}\times V_{c_n}) \supset C $. Ponieważ $ C $ jest zbiorem zwartym, w to przykrycie można wpisac pokrycie $ C $ zbiorami domknietymi $ C_i\subset U_{c_i}\times V_{c_i} $. Zachodzą inkluzje

$$\bigcup\limits_{i=1}^np_1(C_i)\times p_2(C_i)\subset \bigcup\limits_{i=1}^nU_{c_i}\times V_{c_i}\subset U$$

a zatem znależliśmy przykrycie zbioru $ C $ produktami zbiorów zwartych, zawartymi w danym otoczeniu $ U\supset C $. □

Dowód:[Dowód Twierdzenia [link]] Dowód składa się z trzech kroków.

Najpierw musimy wykazać, że przekształcenie $ e $ jest dobrze zdefiniowane tzn. dla odwzorowania ciągłego $ f:X\times Y\to Z $ przyporządkowane mu odwzorowanie $ \hat{h}(x)(y) := h(x,y) $ jest odwzorowaniem ciągłym $ X\to \Map(Y,Z) $. Zauważmy najpierw, że $ \forall_{x\in X} \hat h(x)\in\Map (Y,Z) $, jest to bowiem obcięcie $ h $ do poziomicy $ \{x\}\times Y $. Teraz sprawdzimy ciagłość $ \hat h\colon X\to \Map(Y,Z) $. Załóżmy, że $ \hat h(x)\in \langle C,W\rangle $ co oznacza, że $ h(\{x\}\times C)\subset W $. Z ciągłości $ h $ wynika, że istnieje biór otwarty $ G\supset \{x\}\times C $ taki, ze $ h(G)\subset W $, a ze zwartości $ C $ wynika (p.Lemat o tubie), ze istnieje otoczenie $ U\ni x $ takie, że $ U\times C \subset G $, a więc $ \hat h(U)\subset  \langle C,W\rangle $. Zauważmy, że dla poprawnego zedfiniowania przekształcenia $ e $ założenie lokalnej zwartości $ Y $ nie jest potrzebne.

Przyporządkowanie $ h\rightsquigarrow \hat h $ jest oczywiście róznowartościowe. Pokażemy, że jest bijekcją tzn. jeśli odwzorowanie $ \hat h\colon X\to \Map(Y,Z) $ jest ciągłe, to odpowiadające mu odwzorowanie $ h(x,y) := \hat h(x)(y) $ jest ciągłe. Niech $ h(x_0,y_0)\in W $ tzn. $ \hat h(x_0)\in \langle \{y_0\}, W\rangle $, a z ciąglości $ \hat h(x_0) $ i lokalnej zwartości $ Y $ wynika istnienie otoczenia $ V\ni y_0 $ takiego, że $ \bar V $ jest zbiorem zwartym i $ \hat h(x_0)\in \langle \bar V, W\rangle $. Z ciągłości $ \hat h $ wynika, ze istnieje otoczenie $ U\ni x_0 $ dla którego $ \hat h(U)\in \langle \bar V, W\rangle $, a więc $ h(U\times V)\subset W $ co kończy dowód, że przyporządkowanie $ h\rightsquigarrow \hat h $ jest bijekcją.

Pozostaje sprawdzić, że jest homoeomorfizmem. W tym celu wystarczy zauważyc, że obraz rodziny zbiorów generujących topologię w $ \Map(X\times Y, Z) $, opisany w Lemacie [link] generuje topologię w $ \Map(X, \Map(Y,Z)) $. □

Topologia $\mathcal{T}_{co}$ a zbieżność jednostajna

Niech $ (Y,d) $ będzie przestrzenią metryczną. Rozważając zbiór przekształceń ciągłych $ (X,\sT_X)\to (Y,\sT(d)) $ zauważamy, że metrykę $ d_{\sup}(f,g) := \sup_{x\in X} d(f(x),g(x)) $ można zdefiniować sensownie jedynie w podzbiorze składającym się z przekształceń ograniczonych, podczas gdy topologia zwarto-otwarta określona jest w całym zbiorze $ \Map (X,Y) $. Zajmiemy się obecnie porównaniem topologii $ \sT(d_{\sup}) $ w zbiorze ograniczonych przekształceń ciągłych $ \Map_b(X,Y) $ oraz topologii podprzestrzeni pochodzącej z topologii zwarto-otwartej w $ \Map (X,Y) $.

Stwierdzenie Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT_X) $ i przestrzeni metrycznej $ (Y,d) $ w zbiorze $ \Map_b(X,Y) $ zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{co}\subset \sT(d_{\sup}) $. Jeśli $ X $ jest zwarta, to $  \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $.
Dowód: Wystarczy pokazać, że dowolny zbiór generujący topologię $ \sT_{co} $ należy do topologii $ \sT(d_{\sup}) $. Na mocy Lematu [link] wystarczy sprawdzić to dla zbiorów postaci $ \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ gdzie $ C\subset X $ jest podzbiorem zwartym, a $ B(y_0,r) $ kulą w przestrzeni $ (Y,d) $. Niech $ f\in \langle C,B(y_0,r)\rangle $ Odwzorowanie $ d(y_0, f(-))\colon X\to \R $ jest ciągłe, zatem ze zwartości $ C $ wynika, że przyjmuje swoje kresy; kres górny oznaczmy $ 0<r_0 < r $, a przez $ r_1:= \frac12 (r-r_0) >0 $. Twierdzimy, że kula $ B_{d_{\sup}}(f,r_1 )\subset \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ .

Niech $ g\in B_{d_{\sup}}(f,r_1) $. Dla dowolnego $ x\in C $ zachodzą nierówności:

$$d(y_0,g(x))\leq d(y_0,f(x)) + d(f(x),g(x)) \leq r_0 + r_1 = r_0 +\frac12 (r-r_0) < r$$

a więc dla dowolnego elementu $ f\in \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $ istnieje kula w metryce $ d_{\sup} $ o środku w tym punkcie, zawarta w $  \langle C,B_d(y_0,r)\rangle $.

Wykażemy teraz równość topologii $  \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $, gdy $ X $ jest przestrzenią zwartą. W tym celu trzeba pokazać, że dla dowolnej kuli $ B_{d_{\sup}}(f,r) $ istnieje zbiór postaci $ \langle C_1,W_1\rangle\cap\dots\cap\langle C_n,W_n\rangle $ taki, że

$$f\in \langle C_1,W_1\rangle\cap\dots\cap \langle C_n,W_n\rangle \subset B_{d_{\sup}}(f,r)$$

Dla każdego $ x\in X $ wybierzmy otoczenie $ U_x\ni x $ takie, że \newline $ f(\bar U_x)\subset B_d(f(x),\frac{r}{3}) =: B_x $. Na mocy zwartości $ X $ z pokrycia $ \{U_x\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone $ U_{x_1}\cup\dots\cup U_{x_n} = X $. Pokażemy, że dowolny element $ g\in \langle \bar U_{x_1},B_{x_1}\rangle \cap\dots\cap\langle\bar U_{x_n},B_{x_n}\rangle $ należy do kuli $ B_{d_{\sup}}(f,r) $. Dla dowolnego $ x\in X $ wybierzmy $ U_i\ni x $. Zachodzą nierówności:

$$d(f(x),g(x)) \leq d(f(x),f(x_i))+d(f(x_i),g(x)) \leq \frac{r}{3} + \frac{r}{3} < r$$

oraz z definicji $ f\in \langle \bar U_{x_1},B_{x_1}\rangle \cap\dots\cap\langle\bar U_{x_n},B_{x_n}\rangle \subset B_{d_{\sup}}(f,r). $

    

Topolgia zwarto -otwarta jest nazywana także topologią zbieżności niemal jednostajnej. Żeby wyjaśnić skojarzenie z nazwą znaną z Analizy Matematycznej udowodnimy najpierw ogólny fakt dotyczący obcinania przekształceń do podzbiorów zwartych. Niech $ (X,\sT_X), (Y,\sT_Y) $ będą dowolnymi przestrzeniami Hausdorffa. Dla dowolnego zwartego podzbioru $ C\subset X $ inkluzja definiuje ciagłe odwzorowanie $ \iota_C^*\colon\Map (X,Y)\to \Map (C,Y) $.

Stwierdzenie Niech $ \sC $ oznacza rodzinę wszystkich zwartych podzbiorów przestrzeni $ X $. Przekątna rodziny odwzorowań $ \{\iota_C^*\}_{C\in\sC} $

$$\iota_{\sC}^*\colon \Map (X,Y) \to \prod\limits_{C\in\sC}\Map (C,Y)\quad \iota_{\sC}^*(f) := \{f|_C\}_{C\in\sC} $$

jest zanurzeniem homeomorficznym.

Dowód: Odwzorowanie $ \iota_{\sC}^* $ jest oczywiście różnowartościowe, bo zbiory jednopunktowe są zwarte. Topologia w produkcie $ \prod\limits_{C\in\sC}\Map (C,Y) $ jest generowana przez zbiory $ p_C^{-1}(\langle K,W\rangle) $ gdzie $ K\subset C $, $ W\in\sT_Y $, a więc topologia podprzestrzeni jest generowana przez przecięcia tych zbiorów z obrazem $ \iota_{\sC}(\Map (X,Y)). $ Z definicji zachodzi równość zbiorów

$$\iota_{\sC}(\Map (X,Y))\cap p_C^{-1}(\langle K,W\rangle) = \iota_{\sC}(\langle K,W\rangle)$$

a więc topologia podprzestrzeni jest generowana przez obrazy zbiorów generujących topologię w $ \Map (X,Y) $. □

Stwierdzenie Ciąg odwzorowań $ f_n\in\Map (X,Y) $ jest zbieżny w topologii zwarto-otwartej do odwzorowania $ f\in\Map (X,Y) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru zwartego $ C\subset X $, ciąg $ f_n|_C\in \Map (C,Y) $ jest zbieżny do $ f|_C\in \Map (C,Y) $.

Z ostatniego wniosku wynika, że jeśli $ (Y,d) $ jest przestrzenią metryczną to zbieżność w sensie topologii zwarto\dywiz otwartej w $ \Map (X,Y) $ jest dokładnie znaną z Analizy Matematycznej zbieżnością niemal jednostajną (czyli na zbiorach zwartych).

Na zakończenie podsumujmy związki między trzema topologiami w przestrzeniach odwzorowań: zbieżności punktowej, zwarto\dywiz otwartą i zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Dla dowolnych przestrzeni Hausdorffa $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ w zbiorze $ \Map (X,Y) $ zachodzi inkluzja topologii $ \sT_p \subset \sT_{co} $.

  1. Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenia dyskretną, to $ \sT_p =\sT_{co} $.
  2. Jeśli $ (Y,d) $ jest przestrzenią metryczną i $ \Map_b (X,Y) $ zbiorem ograniczonych, ciągłych odwzorowań, to zachodzi inkluzja topologii $ \sT_{co}|\Map_b (X,Y) \subset \sT(d_{\sup}) $.
  3. Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest zwarta, to $ \sT_{co}=\sT(d_{\sup}) $.

Twierdzenie Stone'a - Weierstrassa

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (Y,\sT_Y) $ oznaczmy $ \sC(Y) := \Map (Y,\R) $ z topologią zwarto-otwartą.

Stwierdzenie Dodawanie i mnożenie funkcji definiuje w $ \sC(Y) $ strukturę pierścienia, przy czym oba działania są ciagłe. Zerem jest funkcja stała równa zero; a jednością funkcja stała równa jeden. Mnożenie przez funkcje stałe i dodawanie określają w $ \sC(Y) $ strukturę rzeczywistej przestrzeni wektorowej. □
Definicja Podzbiór $ A\subset\sC(Y) $ nazywamy $ \R $-podalgebrą jeśli podprzestrzenią liniową oraz jest zamknięty ze względu na iloczyn funkcji.
Stwierdzenie Dla dowolnego podzbioru $ D\subset\sC(Y) $ istnieje minimalna ze względu na inkluzję $ \R $-podalgebra $ A(D)\supset D $, którą nazywamy $ \R $-podalgebrą generowaną przez $ D $.
Dowód: Przecięcie dowolnej rodziny $ \R $-podalgebr jest oczywiście $ \R $-podalgebrą. Podalgebrę $ A(D) $ definiujemy więc jako przekrój rodziny $ \R $-podalgebr zawierających zbiór $ D $. □
Twierdzenie [ M. H. Stone (New York 1903 - 1989 Madras, India) - K. T. W. Weierstrass (Ostenfelde, Westphalia 1815 - 1897 Berlin)] (#) Niech $ (Y,\sT_Y) $ będzie dowolną przestrzenią Hausdorffa. Jeśli $ D\subset\sC(Y) $ jest podzbiorem zawierającym niezerową funkcję stałą takim, że funkcje z $ D $ rozdzielają punkty w $ Y $ tzn. dla dowolnych $ y_1\neq y_2 $ istnieje funkcja $ f\in D $ taka, że $ f(y_1)\neq f(y_2) $, to zbiór $ A(D) $ jest gęsty w $ \sC(Y) $.

Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia, przypomnimy jego klasyczne zastosowania.

Przykład [Klasyczne Twierdzenie Weierstrassa.] Niech $ (Y,\sT_Y) = ([0,1],\sT_e) $ i rozpatrzmy $ D := \{1, j\colon j(t) = t\} $. $ \R $--podalgebra generowana przez $ D $ to po prostu algebra funkcji wielomianowych zmiennej $ t $. Ponieważ topologia zwarto -- otwarta w $ \sC([0,1]) $ to topologia wyznaczona przez metrykę $ d_{\sup} $, a więc tw. Stone'a-Weierstrassa w tym przypadku powiada, że każda funkcja ciagła jest granicą jednostajną ciagu wielomianów. Zauważmy, że funkcję identycznościową możemy zastapić dowolną funkcją róznowartosciową! Jeśli zamiast odcinka rozpatrzyć całą prosta otrzymujemy wniosek, że każda funkcja $ f\colon\R\to\R $ jest granicą niemal jednostajnie zbieżnego ciagu wielomianów. (przestrzeń $ \sC (\R) $ jest metryzowalna!).
Przykład [Wielomiany trygonometryczne] Zauważmy, że funkcje ciągłe $ f\colon\R\to\R $ o okresie $ 2\pi $ można utożsamiać z funkcjami określonymi na okręgu $ S^1 $. Punkty okręgu będziemy parametryzować kątem $ \phi $ między dodatnim kierunkiem osi $ y=0 $ oraz półprostą wyznaczoną przez dany wektor. Rozpatrzmy $ D := \{\sin n\phi,\, \cos n\phi\colon n= 0,1,2,..\} \subset \sC (S^1) $. Ze wzorów na cosinus i sinus sumy kątów:

$$2\sin \phi_1 \sin \phi_2 = \cos(\phi_1- \phi_2)- \cos(\phi_1 + \phi_2)\quad 2\cos \phi_1 \cos \phi_2 = \cos(\phi_1- \phi_2) + \cos(\phi_1 + \phi_2)\quad 2\sin \phi_1 \cos \phi_2 = \sin(\phi_1- \phi_2) + \sin(\phi_1 + \phi_2)$$

łatwo wynika, że przestrzeń liniowa rozpięta na zbiorze $ D $ jest zamknieta ze względu na mnożenie, czyli jest $ \R $--podalgebrą. A z twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że dowolna funkcja okresowa jest granicą jednostajną ciagu funkcji postaci:

$$ f_n(\phi) = a_0 + \sum\limits_{n=1}^N (a_n\sin n\phi + b_n\cos n\phi)$$

Dowód twierdzenia poprzedzimy ważnym lematem:

Lemat (#) Niech $ A\subset\sC(Y) $ będzie podalgebrą. Jeśli $ f\in A $, to $ |f|\in \bar A $. Dla dowolnych funkcji $ f,g\in \bar A $ funkcje $ \min (f,g) $ i $ \max (f,g) $ też należą do $ \bar A $ .
Dowód: Ponieważ $ |f|=\sqrt {f^2} $ kluczowym kluczowym elementem dowodu będzie obserwacja, że funkcja $ \phi\colon [0,1]\to\R,\, \phi (t) := \sqrt t $ jest granicą jednostajną ciagu wielomianów $ p_n(t) $, co można pokazać bezpośrednio bądź powołać się na klasyczne tw. Weierstrassa zastosowane do funkcji $ \phi (t) := \sqrt t $.

Niech $ f\in A $ oraz $ |f|\in \bigcap\limits_1^n \langle C_i,W_i\rangle $. Pokażemy, że to otoczenie zawiera pewną funkcję $ g\in A $. Niech $ \epsilon := \min\{d_e(|f|(C_i),Y\setminus W_i)\colon i=1,\dots ,n\}>0  $. Wystarczy znaleźć $ g\in A $ taką, że $ ||f|(c) - g(c)|<\epsilon $ dla $ c\in C := \bigcup_1^n C_i $. Ponieważ $ C $ jest zwarty, funkcja $ f $ jest ograniczona, a więc istnieje $ M>0 $ takie, że $ |f(c)|\leq M $ dla $ c\in C $. Stąd wynika, że $ |f| $ jest na $ C $ granicą jednostajną ciągu wielomianów od funkcji $ f $: $ p_n(f^2/B^2) \to \sqrt{f^2/M^2} = |f|/M $.

Teza dla $ \min (f,g) $ i $ \max (f,g) $ łatwo wynika ze wzorów:

$$ \max (f,g) =  \frac12((f+g) + |f-g|),\quad  \min (f,g) = \frac12((f+g) - |f-g|).$$

    

Dowód:[Dowód tw. Stone'a-Weierstrassa] Bedziemy dowodzić, że zbiór $ \overline {A(D)} $ jest gęsty, a zatem ponieważ jest domknięty, musi być równy $ \sC(X) $. W tym celu trzeba sprawdzić, że dowolny zbiór z bazy topologii zwarto--otwartej $ \bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $ przecina się z $ \overline {A(D)} $. Ustalmy zbiór bazowy i funkcję $ f\in\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $. Będziemy konstruować funkcję $ g\in \overline {A(D)}\cap\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $. Oznaczmy zbiór zwarty $ Z:=\bigcup\limits_1^nA_i \subset Y $ oraz $ \epsilon := \min\{d_e(f(A_i),Y\setminus W_i)\colon i=1,\dots ,n\}>0  $. Dowód składa się z trzech kroków.     

     Krok 1. Dla dowolnych punktów w $ y_1 \neq y_2 $ w $ Z $ oraz $ a_1,a_2\in\R $ istnieje $ f\in A(D) $ taka, że $ f(y_1)=a_1,\, f(y_2)=a_2 $.

Niech $ g $ będzie funkcją rozdzielającą $ y_1,y_2 $. Ponieważ funkcje stałe należą do $ A(D) $, a więc funkcja

$$f(y) := a + \frac{b-a}{g(y_1)-g(y_2)}[g(y)-g(y_1)]$$

należy do $ A(G) $ i przyjmuje żądane wartości w punktach$ y_1,y_2 $.     

     Krok 2. Dla dowolnej funkcji $ f\in\sC(X) $ oraz $ z_0\in Z $ istnieje $ g\in\overline  {A(D)} $ taka, że: $ g(z_0) = f(z_0) $ oraz $ g(z) < f(z) + \epsilon $ dla $ z\in Z $.

Z Kroku 1. dla każdego $ z\in Z $ istnieje funkcja $ h_z\in A(D) $ taka, że $ h_z(z_0)=f(z_0) $ oraz $ h_z(z) < f(z)+\frac{\epsilon}{2} $. (Jeśli $ z\neq z_0 $ można znaleźć funkcję taką, że $ h_z(z) = f(z)+\frac{\epsilon}{4} $, w przypadku $ z=z_0,\, h_{z_0}=f $.) Z ciągłości $ h_z $ i $ f $ wynika, że istnieje otoczenie $ W(z)\ni z $ takie, że $ h_z(y) < f(y)+{\epsilon} $ dla $ y\in V(z) $. Zbiory $ \{W(z)\}_{z\in Z} $ tworzą otwarte przykrycie $ Z $, a więc można z niego wybrać przykrycie skończone $ W(z_1)\cup\dots\cup W(z_m) \supset Z $. Niech $ g:=\min \{h_{z_1},\dots ,h_{z_m}\} $ Z Lematu [link] wynika, że $ g\in\overline {A(D)} $. Ponieważ dowolny punkt $ z\in Z $ należy do pewnego zbioru $ W(z_i) $, więc zachodza nierówności: $ g(z)\leq h_{z_i}(z)<f(z) +\epsilon $.     

     Krok 3. Istnieje $ g\in\overline  {A(D)} $ taka, że: $ \sup_{z\in Z} |f(z)-g(z)|<\epsilon $, a zatem $ g\in \overline {A(D)}\cap\bigcap\limits_1^n\langle A_i,W_i\rangle $.

Dla dowolnego $ z\in Z $ niech $ g_{z} $ bedzie funkcją skonstruowaną w Kroku 2. Istnieje otoczenie $ V(z)\ni z $ takie, że dla $ y\in V(z) $ zachodzi nierówność: $ g_{z}(y) > f(y)-\epsilon $. Zbiory $ \{V(z)\}_{z\in Z} $ przykrywają $ Z $ a więc można spośród nich wybrać przykrycie skończone $ V(z_1),\dots ,V(z_k) $ i zdefiniować $ g:=\max\{g_{z_1},\dots , g_{z_k}\} $. Podobnie jak w Kroku 2. $ g\in\overline{A(D)} $ oraz $  f(z)-\epsilon < g_{z_i}(z) \leq g(z) < f(z)+\epsilon $, czyli $ \sup_{z\in Z} |f(z)-g(z)|<\epsilon $ co należało dowieść. □

Funkcje na przestrzeniach metryzowalnych

Dla przestrzeni metryzowalnych (i ogólniej normalnych) zachodzi ważne twierdzenie o rozszerzaniu funkcji ciągłych ze zbiorów domknietych, pokzaujace że na takich przestrzeniach jest ''duzo'' funkcji ciagłych o wartościach rzeczywistych.

Twierdzenie [H. F. F. Tietze (Schleinz, Austria 1880 - 1964 München)] Jeśli $ A\subset X $ jest domkniętym podzbiorem przestrzeni metryzowalnej $ (X,\sT(d)) $ to dowolne przekształcenie ciągłe $ f\colon (A,\sT(d)|A)\to([0,1],\sT_e) $ rozszerza się na całą przestrzeń tzn. istnieje $ \bar f\colon (X,\sT(d))\to([0,1],\sT_e) $ takie, że $ \bar f(a) = f(a) $ dla każdego $ {a\in A} $.

Dowód twierdzenia Tietze znajduje się w BCPP Podrozdział 1.6.

Stwierdzenie W tw. Tietze odcinek $ [0,1] $ mozna zastąpić przez kostkę $ [0,1]^n $.
Stwierdzenie Odwzorowanie obcięcia $ i^*\colon C_b(X) \to C_b(A) $ jest epimorfizmem.

Zadania

HOMOTOPIA

Homotopia to relacja równoważności między przekształceniami ciągłymi ustalonych przestrzeni, precyzująca intuicję ciągłej modyfikacji jednego przekształcenia w drugie. W Analizie Matematycznej pojęcie homotopii jest znane pod postacią rodzin funkcji zależnych od parametru rzeczywistego. Relacja homotopii przekształceń prowadzi do zdefiniowania homotopijnej równoważności przestrzeni topologicznych, grubszej od relacji homeomorfizmu. Okazuje się jednak, że bywa łatwiej pokazać iż pewne przestrzenie topologiczne (np. powierzchnie) nie są homotopijnie równoważne, niż wykazać bezpośrednio iż nie są homeomorficzne. Homotopijne własności płaszczyzny zespolonej z usuniętym zerem prowadzą do dowodu podstawowego twierdzenia algebry.

Homotopia odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi, a $ I :=[0,1] $ będzie odcinkiem z topologią euklidesową. Homotopią nazxywamy dowolne przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times I \to Y $. Przekształcenia $ f_0,f_1\colon X\to Y $ nazywamy homotopijnymi jeśli istnieje homotopia $ F\colon X\times I \to Y $ taka, że dla każdego $ x\in X $ zachodzą równości   $ F(x,0)=f_0(x),\, F(x,1) = f_1(x) $ i oznaczamy $ f_0\sim f_1 $ lub jeśli chcemy pamiętać jaka homotopia je łączy $ f_0\sim_F f_1 $ .
Stwierdzenie (#) Homotopia $ \sim $ jest relacją równoważności w zbiorze odwzorowań $ \Map (X,Y) $.
Dowód: Sprawdzimy trzy warunki, które musi spełniać relacja równoważności:

Zwrotność. Każde przekształcenie $ f\colon X\to Y $ jest homotopijne ze sobą przez homotopię stałą: $ F\colon X\times I\to Y,\, F(x,t) := f(x) $.

Symetria. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $, to $ F'\colon X\times I\to Y,\, F'(x,t) := F(x,1-t) $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_0 $.

Przechodniość. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_2 $ to $ H\colon X\times I\to Y $ zdefiniowane przez $ F $ na dolnej połowie walca i przez $ G $ na górnej połowie:

$$H(x,t) := \begin{cases} F(x,2t)\,\text{dla}\, 0\leq t\leq \frac 12 \\ G(x,2t-1)\,\text{dla}\, \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

jest homotopią między $ f_0 $ a $ f_2 $. □

    

Zbiór klas homotopii oznaczamy $ [X,Y] := \Map (X,Y)/\sim $. Zauważmy, że   $  [\{p\},X] = \pi_0(X) $, gdzie $ \{p\} $ -- przestrzeń jednopunktowa, jest rozważanym poprzednio zbiorem składowych łukowych przestrzeni $ X $.

Stwierdzenie Dowolne dwa przekształcenia $ f_0,f_1\colon X \to W $ gdzie $ W\subset\R^n $ jest podzbiorem wypukłym są homotopijne przez homotopię $ F(x,t) := (1-t)f_0(x)+tf_1(x) $, zwaną homotopią afiniczną.

Składanie przekształceń zachowuje relację homotopii:

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f_0,f_1\colon X\to Y $ oraz $ g_0,g_1\colon Y\to Z $ oraz $ f_0 \sim f_1 $ i~$ g_0\sim g_1 $, to ich złożenia są homotopijne: $ g_0f_0\sim g_1f_1 $
Dowód: Skonstruujemy homotopie $ g_0f_0\sim  g_0f_1\sim g_1f_1 $ i skorzystamy z przechodniości relacji homotopii. Niech $ F\colon X\times I\to Y $ będzie homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon Y\times I\to Z $ homotopią między $ g_0 $ i $ g_1 $. Wtedy złożenie $ X\times I\arr {F} Y \arr {g_0} Z $ jest homotopią $ g_0f_0\sim  g_0f_1 $ a złożenie $ X\times I \arr {f_1\times id} Y\times I\arr {G} Z $ jest homotopią $ g_0f_1\sim g_1f_1 $. □
Stwierdzenie (#) Jeśli $ f:X\to Y $, to dla dowolnej przestrzeni $ Z $ są dobrze określone przekształcenia $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y],\, f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ . Jeśli $ f\sim g $ to $ f_{\#} = g_{\#} $ i $ f^{\#} = g^{\#} $. Jeśli dane są dwa przekształcenia $ X\arr {f} Y\arr {g} Z $, to $ (gf)_{\#} = g_{\#}f_{\#} $ oraz $ (gf)^{\#} = f^{\#}g^{\#} $.
Dowód: Wynika natychmiast z definicji i z poprzedniego Stwierdzenia. □

Następne twierdzenie powiada, że przekształcenia bliskie o wartościach w otwartych podzbiorach przestrzeni euklidesowych są homotopjne.

Twierdzenie Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą, a $ W\subset\R^n $ otwartym podzbiorem. Dla każdego przekształcenie $ f\colon X\to W $ istnieje $ \epsilon>0 $ takie, że dowolne przekształcenie $ g\colon X\to W $ dla którego $ d_{\sup}(g,f)<\epsilon $ jest homotopijne z $ f $.
Dowód: Obraz $ f(X)\subset G $ jest podzbiorem zwartym. Zatem jego pokrycie

$$f(X)\subset \bigcup\limits_{x\in X} B(f(x),r_x) \subset W$$

ma liczbę Lebesgue'a $ \lambda >0 $ tzn. dowolne dwa punkty odległe o mniej niż $ \lambda $ leżą w pewnej kuli $ B(f(x),r_x)\subset W $. Zatem jeśli $ d_{\sup}(g,f)<\lambda =:\epsilon $ to afiniczna homotopia   $ F(x,t) = (1-t)f(x)+tg(x) $ jest dobrze określonym odwzorowaniem $ F:X\times I \to W $. □

Definicja Przekształcenie $ f\colon X\to Y $ nazywa się ściągalne jeśli jest homotopijne z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń $ X $ nazywa się ściągalna jeśli przekształcenie identycznościowe $ Id\colon X\to X $ jest ściągalne.
Przykład Podzbiór $ G\subset\R^n $ nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt $ p_0\in G $ (srodek gwiazdy) taki, że dla każdego $ p\in G $ odcinek $ [p_0,p]\subset G $. Zbiory wypukłe są gwiaździste. Dowolny podzbiór gwiaździsty jest ściągalny, a ściagnięcie jest dane wzorem $ F\colon G\times I \to G,\, F(p,t) = (1-t)p_0 + tp. $
Stwierdzenie Dowolne przekształcenie określone na przestrzeni ściągalnej lub o wartościach w przestrzeni ściągalnej jest ściągalne. □

Punktowana homotopia

Jak zobaczymy w dalszych rozdziałach bywa pożyteczne rozpatrywanie przestrzeni topologicznych z wyróżninym punktem i odwzorowań zachowujacych te punkty. Takie sytuacje spotykamy jeśli w przestrzeni występuje struktura algebraiczna (np. przestrzenie wektorowe lub grupy macierzy). Punktem wyróżnionym jest wtedy element neutralny i jest on zachowywany przez homomorfizmy. Dokładniej, punktowaną przestrzenią (lub przestrzenią z wyróżnionym punktem) nazywamy parę $ (X,x_0) $ gdzie $ X $ jest przestrzenią topologiczną (oznaczenie topologii pomijamy), a $ x_0\in X $. Przekształceniem punktowanym nazywamy odwzorowanie punktowanych przestrzeni $ f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $ takie, że $ f(x_0)=y_0 $.

Definicja (#) Niech $ (X,x_0),\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Homotopią punktowaną nazywamy przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times [0,1] \to Y $, takie, że dla każdego $ {t\in I} $, $ F(x_0,t)=y_0 $.

Przekształcenia punktowane $ f_0,f_1\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $homotopijne jeśli istnieje punktowana homotopia $ F\colon X\times [0,1] \to Y $ taka, że $ F(-,0)=f_0,\, F(-,1) = f_1 $.

Definicja punktowanej homotopii prowadzi w oczywisty sposób do definicji punktowanej homotopijnej równoważności. Np. włożenie $ j\colon (S^{n-1},e_1)\subset (\R^n\setminus\{0\},e_1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, gdyż retrakcja $ r\colon (\R^n\setminus\{0\},e_1)\to (S^{n-1},e_1) $ jest przekształceniem punktowanym, $ rj = id_{S^{n-1}} $ oraz $ jr $ i $ id_{\R^n\setminus\{0\}} $ wiąże punktowana homotopia: $ H\colon (\R^n\setminus\{0\})\times [0,1]\to\R^n\setminus\{0\} $ zadana wzorem: $ H(p,t) := (1-t)\frac {p}{||p||} + tp $.

Podobnie jak zwykła homotopia, punktowana homotopia $ \sim  $ jest relacją równoważności w zbiorze przekształceń punktowanych $ \Map_* (X,Y)\subset \Map (X,Y) $. Zbiór klas punktowanej homotopii oznaczamy $ [X,Y]_* := \Map_* (X,Y)/\sim $. Konstrukcje w dowodzie Stw. [link] zachowują homotopie punktowane. Istnieje odwzorowanie zapominania $ \Phi\colon [X,Y]_*\to [X,Y] $ przypisujące klasie homotopii punktowanej odwzorowania jego zwykłą klasę homotopii: $ \Phi [f]_* = [f] $. Odwzorowanie to w ogólności nie musi być ani surjekcją, ani injekcją. Dla odwzorowań w okrąg $ S^1 $ mamy jednak następujące:

Stwierdzenie (#) Dla dowolnej przestrzeni punktowanej $ (X,x_0) $ i punktowanego okręgu $ (S^1,1) $, odwzorowanie $ \Phi\colon [X,S^1]_*\arr {\simeq} [X,S^1] $ jest bijekcją.
Lemat Niech $ z_0\in S^1 $. Odwzorowanie $ f_{z_0}\colon S^1\to S^1,\, f_{z_0}(w) = wz_0 $ jest homotopijne z identycznością.
Dowód: Zdefiniujemy drogę na okręgu łączącą punkty $ 1 $ i $ z_0 $. Zapiszmy punkt $ z_0 $ w postaci trygonometrycznej $ z_0=\cos\alpha + i \sin\alpha $ i zdefiniujmy drogę $ z_0(t) :=\cos t\alpha + i \sin t\alpha $ dla $ t\in [0,1] $ i przy jej pomocy homotopię $ F(w,t) := wz_0(t) $. Homotopią $ F $ łączy przekształcenie $ F(w,0)=w $ z $ F(w,1)= wz_0 $. □
Dowód:[Dowód [link]] Zastosujemy dwukrotnie powyższy lemat.

$ \Phi $ jest surjekcją, bo dowolne $ f\colon X\to S^1 $ jest homotopijne z odwzorowaniem $ g\colon X\to S^1 $ $ g(x) := f(x)f(x_0)^{-1} $ dla którego $ g(x_0)=1 $.

$ \Phi $ jest injekcją. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między punktowanymi przekształceniami, to $ G(x,t) := F(x,t)F(x_0,t)^{-1} $ jest punktowaną homotopią. □

Na przestrzeniach punktowanych można wykonywać konstrukcje opisane w Rozdziale 3. Podprzestrzeń przestrzeni punktowanej zawierająca wyróżniony punkt jest oczywiście przestrzenią punktowaną a włożenie przekształceniem punktowanym, przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią punktowana - wyróżnionym punktem jest w niej klasa równoważności punktu wyróżnionego. Podobnie produkt kartezjański rodziny przestrzeni z wyróżnionym punktem $ {(X_s,x_s^0)}_{s\in S} $ posiada naturalny punkt wyróżniony $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $, a rzutowania na czynniki są odwzorowaniami punktowanymi. Inaczej jest z konstrukcją sumy prostej; w sumie rozłącznej mamy dwa punkty wyróżnione, które następnie utożsamiamy. Odpowiednik sumy prostej dla przestrzeni punktowanych nazywa się bukietem, co uzasadnia następująca:

Definicja Niech $ (X,x_0)\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Bukietem tych przestrzeni nazywamy przestrzeń punktowaną $ X\vee Y := X\sqcup Y /\sim $ gdzie $ (x_0,1)\sim (y_0,2) $ i punktem wyróżnionym jest klasa $ [(x_0,1)]=[ (y_0,2)] $, wyposażoną w włożenia $ j_X\colon X\to X\vee Y $ oraz $ j_Y\colon Y\to X\vee Y $ (por. Definicja [link]}).

Zauważmy, że bukiet $ X\vee Y $ jest homeomorficzny z podzbiorem produktu kartezjańskiego:

$$X\vee Y = \{(x,y)\in X\times Y\colon x=x_0\,\text{lub}\, y=y_0\}.$$

i ten podzbiór bywa przyjmowany za definicję bukietu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (Z,z_0) $ będzie przestrzenią z wyróżnionym punktem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,Z]_*\to [X,Z]_*\times [Y,Z]_*$$
Dowód: Odwzorowanie $  (j_1^*,j_2^*)\colon \Map_* (X\vee Y,Z)\to \Map_*(X,Z)\times \Map_*(Y,Z) $ jest bijekcją, bo przekształcenia $ X\vee Y\to Z $ są wyznaczone przez pary przekształceń $ X\to Z $, $ Y\to Z $ zgodnych w punktach wyróżnionych. Trzeba pokazać, że odwzorowanie to pozostaje bijekcją po przejściu do klas homotopii. Oczywiście pozostaje surjekcją. Niech $ f,g\colon X\vee Y\to Z $ będą dwoma odwzorowaniami takimi, że $ f|X\sim g|X $ oraz $ f|Y\sim g|Y $ i niech $ H_X\colon X\times I\to Z $ oraz $ H_Y\colon Y\times I\to Z $ będą odpowiednimi punktowanymi homotopiami.Definiujemy homotopię $ H\colon (X\vee Y)\times I\to Z $ następująco (traktujemy $ X\vee Y $ jako podzbiór $ X\times Y $):

$$H(x,y,t)=\begin{cases} H_X(x,t)\quad\text{jeśli}\quad y=y_0 \\ H_Y(y,t)\quad\text{jesli}\quad x=x_0\end{cases}$$

Ponieważ homotopie $ H_X $ i $ H_Y $ są punktowane, więc $ H $ jest dobrze określone, a ponieważ podzbiory $ X\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ oraz $ Y\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ są domknięte (tu korzystamy z własności Hausdorffa!), więc $ H $ jest ciągłe. □

Stwierdzenie (#) Niech $ (S^1,1) $ będzie punktowanym okręgiem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]\to [X,S^1]\times [Y,S^1].$$
Dowód: Ze Stw. (#) otrzymujemy bijekcję zbiorów punktowanych klas homotopii $  (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]_*\to [X,S^1]_*\times [Y,S^1]_*. $ Dzięki Stw. [link] możemy zastapić zbiory klas punktowanych przez klasy zwykłej homotopii. □

    

Uwaga Ponieważ jak zauważyliśmy włożenie okręgu jednostkowego w płaszczyznę zespoloną bez zera $ (S^1,1)\subset (\C^*,1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, więc we Wn. [link] mozna zastąpić okrąg przez $ \C^* $.

Homotopijna równoważność

Definicja Przeksztacenie $ f:X\to Y $ nazywa się homotopiją równoważnością jeśli istnieje $ g:Y\to X $ takie, że $ f\circ g \sim Id_Y $ i $ g\circ f\sim Id_X $. Mówimy, że przestrzenie $ X $, $ Y $ są homotopijnie równoważne.
Uwaga Każdy homeomorfizm jest homotopijną równoważnością. Przestrzeń jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon X\to Y $ jest homotopijną równoważnością i $ Z $ jest dowolną przestrzenią, to przekształcenia indukowane zbiorów klas homotopii $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y] $, $ f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ są bijekcjami. W szczególności $ f $ definiuje bijekcję zbiorów składowych łukowych $ f_{\#}\colon \pi_0(X)\to \pi_0(Y) $.
Dowód: Wykażemy, że $ f_{\#} $ jest bijekcją. Niech $ g\colon Y\to X $ będzie homotopijną odwrotnością tzn. $ fg\sim id_Y $ i $ gf\sim id_X $. Z Wniosku [link] otrzymujemy równości $ f_{\#}g_{\#} =  (fg)_{\#} = id_{[Z,Y]} $ i $ g_{\#}f_{\#} = (gf)_{\#} = id_{[Z,X]} $, a więc $ f_{\#} $ jest bijekcją. Podobnie rozumowanie przeprowadzamy dla $ f^{\#} $. □
Przykład Podajemy przykłady ważnych homotopijnych równoważności:

  1. Homotopijną odwrotnością włożenia $ \iota\colon S^{n-1}\subset\R^n\setminus\{0\} $ jest retrakcja $ r\colon\R^n\setminus\{0\} \to S^{n-1},\, r(x):= \frac{x}{||x||} $
  2. Jeśli $ Y $ jest ściągalna, to $ p_X\colon X\times Y \to X $ jest homotopijną równoważnością.
  3. Włożenie równika $ S^1 \hookrightarrow M $ we wstęgę Möbiusa jest homotopijną równoważnością.
  4. $ S^n\setminus \{p_1,p_2\} $ jest homotopijnie równoważna $ S^{n-1} $. A co będzie jeśli wyjąć więcej punktów?
  5. Dopełnienie sfery $ k $ wymiarowej w sferze $ n $-wymiarowej $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważna ze sferą $ S^{n-k-1} $

Jednospójność

Definicja Łukowo spójną przestrzeń $ X $ nazywamy jednospójną jeśli dowolne odwzorowanie $ S^1\to X $ jest ściągalne.
Przykład Dowolna przestrzeń ściągalna jest jednospójna.

W dalszym ciągu będziemy często rozważać w przestrzeni euklidesowej kulę domkniętą o promieniu 1.Wprowadzimy więc oznaczenie $ D^{n+1} := \bar B(0,1)\subset\R^{n+1} $ (litera ''D'' od słowa dysk). Brzegiem dysku $ D^{n+1}\subset\R^{n+1} $ jest oczywiście sfera $ n $--wymiarowa $ S^n = \{x\in\R^{n+1}\, |\, ||x||=1\} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n \geq 0 $ odwzorowanie $ f\colon S^n\to X $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie $ \bar f\colon D^{n+1}\to X $ takie, że $ \bar f|S^n = f $.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ f $ jest ściągalne, to istnieje homotopia $ F\colon S^n\times [0,1]\to X $ taka, że $ F(x,0)=x_0 $ i $ F(x,1)=f(x) $. Rozpatrzmy odwzorowanie $ q\colon S^n\times [0,1] \to D^{n+1},\, q(\vv,t):=t\vv $. Ponieważ $ q $ jest domknięte (a więc ilorazowe) odwzorowanie $ \bar f ([\vv,t]) := F(\vv,t) $ jest dobrze zdefiniowanym i ciągłym rozszerzeniem $ f $.

$ \impliedby $ Jeśli $ f $ rozszerza się na $ D^{n+1} $ to jest ściągalne, bowiem dysk jest ściągalny jako podzbiór wypukły. Ściągnięcie $ f $ można zadać wzorem: $ F(\vv,t) := (1-t)f(\vv)+ t{\bf e_1} $, gdzie $ {\bf e_1} $ jest wektorem bazy kanonicznej. □

Zamiast odzwzorowań zdefiniowanych na okręgu $ S^1\subset\R^2 $ wygodnie jest rozważać zamknięte drogi (pętle) czyli odzwzorowania określone na odcinku $ \omega\colon [0,1]\to X $ takie, że $ \omega (0) = \omega (1) $. Nawet jesli interesują nas pętle, to pożyteczne jest też rozpatrywanie dróg o różnych początku i końcu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT_X) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie $ p\colon [0,1] \to S^1 $ dane wzorem $ p(t):=(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) $ ustanawia bijekcję między zbiorem dróg zamkniętych (pętli) w $ X $ tzn. odwzorowań $ \omega\colon [0,1]\to X $ takich, że $ \omega (0) = \omega (1) $ a zbiorem odwzorowań $ S^1\to X $.
Dowód: Dowolnemu odwzorowaniu $ \alpha\colon S^1\to X $ przypisujemy drogę zamkniętą $ \alpha_p := p\circ\alpha\colon I\to X $. Odwrotnie, jeśli $ \omega\colon [0,1]\to X $ jest drogą zamkniętą, to odwzorowanie   $ \omega^p\colon S^1\to X,\,  \omega^p(z) := \omega (t) $ gdzie $ p(t)=z $ jest dobrze zdefiniowane i jest ciągłe, ponieważ $ p $ jest odwzorowaniem ilorazowym (a nawet domkniętym). □

Przypomnijmy z GAL, że odwzorowanie $ f\colon [a,b] \to \R^n $ nazywa się afiniczne jeśli zachowuje kombinacje wypukłe tzn. dla każdego $ t\in [0,1] $ zachodzi równość

$$f((1-t)a+tb) = (1-t)f(a)+tf(b).$$

Obrazem przekształcenia afinicznego jest odcinek euklidesowy łączący punkty $ f(a) $ i $ f(b) $.

Definicja

  1. Drogę $ \omega\colon I\to A\subset \R^n $ nazywamy kawałkami afiniczną (lub kawałkami liniową) jeśli istnieje podział odcinka $ 0=t_0<\dots <t_{n-1}<t_n=1 $ taki, że obcięcia $ \omega | [t_i,t_{i+1}] $ są przekształceniami afinicznymi.
  2. Drogę $ \omega\colon [0,1]\to \R^n $ nazywamy łamaną jeśli jest afiniczna i jest przekształceniem różnowartościowym (a więc homeomorfizmem $ \omega\colon [0,1]\arr {\simeq} \omega ([0,1]) $).
Lemat (#) Dla dowolnej drogi $ \alpha\colon [0,1]\to\R^n $ i liczby $ \epsilon>0 $ istnieje droga kawałkami afiniczna $ \beta\colon [0,1]\to\R^n $ taka, że $ \alpha(0)=\beta(0) $, $ \alpha(1)=\beta(1) $ oraz $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $.
Dowód: Pokryjmy obraz $ \alpha ([0,1]) $ kulami euklidesowymi o środkach $ x\in \alpha ([0,1]) $ i promieniach $ \epsilon $: $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in\alpha ([0,1])} $ i rozpatrzmy pokrycie odcinka przeciwobrazami $ \{\alpha^{-1}(B(x,\epsilon))\}_{x\in\alpha ([0,1])}. $ Niech $ \lambda >0 $ będzie liczbą Lebesgue'a tego pokrycia a $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}<t_n=1 $ podziałem odcinka takim, że $ |t_i - t_{i+1}|<\lambda $. Niech $ \beta_i\colon [t_i,t_{i+1}] \to \R^n $ będzie drogą afiniczną łączącą punkt $ \alpha (t_i) $ z $ \alpha (t_{i+1}) $. Definiujemy kawałkami afiniczną drogę $ \beta (s) := \beta_i(s) $ jesli $ t_i\leq s\leq t_{i+1} $. Oczywiście $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $. □
Twierdzenie Dla $ n>1 $ sfera $ S^n $ jest jednospójna.
Dowód: Niech $ \alpha\colon I\to S^n $ będzie dowolną pętlą (tzn. $ \alpha (0)=\alpha (1) = p_0 $). Pokażemy, że jest ona homotopijna z pętlą, której obraz nie jest całą sferą, a więc zawartą w zbiorze ściągalnym $ S^n\setminus \{p\} \simeq \R^n $. Rozważmy naszą pętlę jako odwzorowanie w całą przestrzeń euklidesową $ \alpha\colon I\to S^n\subset\R^{n+1} $ i korzystając z Lematu [link] wybierzmy kawałkami afiniczną petlę zaczepioną w $ p_0 $ $ \beta\colon I\to \R^{n+1} $ taką, że $ d_{\sup}(\alpha,\beta)< 1 $. Wynika stąd, że $ \beta\colon I\to \R^{n+1}\setminus\{0\} $ a także obraz homotopii afinicznej $ F(s,t) : (1-t)\alpha (s) + t \beta (s) $ leży w $ \R^{n+1}\setminus\{0\} $. Składając tę homotopię z retrakcją $ r\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n,\, r(x):= \frac{x}{||x||} $ otrzymujemy homotopię $ H := r\circ F\colon I\times I \to S^n $ łączącą pętlę $ \alpha\colon I\to S^n $ z pętlą $ r\circ\beta\colon I\to S^n $. Zauważmy, że $ r(\beta (I)) $ jest suma mnogościową skończonej liczby łuków, a więc nie wypełnia sfery, skąd wynika, że $ \alpha\sim\beta $ jest ściagalna. □
Uwaga W pdoobny sposób można wykazać, że dla $ k<n $ dowolne odwzorowanie $ S^k\to S^n $ jest ściągalne.

Jak zobaczymy sfera jednowymiarowa, czyli okrąg $ S^1 $ nie jest jednospójna -- gdyby była, to każda przestrzeń byłaby jednospójna! W dalszych rozdziałach zajmiemy się zbadaniem zbioru klas homotopii odzworowań $ [S^1,S^1] $ i wykazaniem szeregu wniosków dotyczących topologii powierzchni.

Odwzorowanie wykładnicze i logarytm

This is the most important function in mathematics.

Walter Rudin Real & Complex Analysis. Second Edition.McGraw-Hill Series in Higher Mathematics 1966, Prologue.

    

Opiszemy jedno z najważniejszych odwzorowań topologii i analizy zespolonej, mające daleko idące uogólnienia w geometrii różniczkowej. Od tej pory wygodnie nam będzie traktować płaszczyznę euklidesową $ \R^2 $ jako zbiór liczb zespolonych $ \C $ i korzystać z dodawania i mnożenia liczb zespolonych. Płaszczyznę euklidesową traktowaną jako ciało liczb zespolonych nazywa się płaszczyną Gaussa ( Carl Friedrich Gauß (Braunschweig 1777 - 1855 Göttingen). Będziemy też oznaczać $ \C^* := \C\setminus\{0\} $ zbiór liczb zespolonych różnych od zera, który jest grupą abelową ze względu na mnożenie liczb zespolonych.

Definicja Jeśli $ z=x+iy $ jest liczbą zespoloną to definiujemy

$$\exp(z) := e^z =  e^{x+iy} = e^xe^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\in\C^*.$$

Część rzeczywistą liczby zespolonej $ z=x+iy $ będziemy oznaczać $ \Re (z) := x $ a część urojoną $ \Im (z) := y $. Przez $ \arg (z) $ argument liczby $ z $, czyli liczbę $ 0\leq \theta <2\pi  $ taką, że $ z=|z|(\cos \theta + i \sin\theta) $, gdzie $ |z| $ jest modułem $ z $.

Stwierdzenie [Własności $ \exp $] (#) Odwzorowanie $ \exp\colon\C\to\C^* $, (oznaczane krócej $ p:=\exp $) ma następujące własności:

  1. $ p(z_1+z_2) = p(z_1)p(z_2),\, p(0)=1 $, czyli $ p $ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb zespolonych w grupę multyplikatywną liczb zespolonych różnych od zera;
  2. Jądro homomorfizmu $ p $ składa jest podgrupą generowaną przez elment $ 2\pi i\in\C $, a więc $ \ker p = 2\pi i\Z \simeq \Z $ oraz $ p(z)=p(z') $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że $ z' = z +2k\pi i $;
  3. Dla ustalonego punktu $ z_0\in \C^* $ oznaczmy półprostą $ L_{z_0} ^*:= \{tz_0 \colon t\in\R_+ \}\subset\C^* $. Przeciwobraz pólprostej $ p^{-1}(L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) = \arg (z) + 2\pi k,\, k\in \Z\} $, czyli jest sumą rozłączną przeliczalnie wielu prostych równoległych do osi rzeczywistej.
  4. Przeciwobraz $ p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) $ jest sumą rozłączną otwartych pasów
    $$U_k(z_0) :=\{z\in\C\colon \arg(z_0) + 2k\pi  < \Im (z) < \arg(z_0)+  2(k+1)\pi\}$$

    a każdy z nich jest odwzorowywany przez $ p $ homeomorficznie na $ \C^*\setminus L_z ^* $, a więc $ p $ jest otwartą surjekcją.

  5. Przeciwobrazem okręgu o promieniu $ r>0 $, $ S^1_r := \{z\in\C^*\colon |z| =r\} $ jest prosta równoległa do osi urojonej $ x= \log r $.
Dowód: Ad 1,2. Równości wynikają z definicji funkcji wykładniczej przez szereg zespolony badź z własności rzeczywistych funkcji trygonometrycznych.

Ad 3. Z definicji funkcji $ \exp $ wynika, że

$$p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) \neq \arg (z_0) + 2k\pi i \}.$$

Żeby pokazać, że $ p\colon U_k(z_0)\to \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ jest homeomorfizmem skonstruujemy odwzorowanie odwrotne $ \log_k\colon \C^*\setminus L_{z_0}^* \to U_k(z_0) $ dane wzorem

$$\log_k(w) := \log |w| + (\arg (z_0) + \theta (w)+ 2k\pi)i$$

gdzie $ \theta (w) $ jest kątem między półprostą $ L_{z_0}^* $ a wektorem $ w\in\C^* $. Ciągłość tego odwzorowania wynika z ciągłości logarytmu rzeczywistego oraz funkcji $ \theta\colon \C^*\setminus L_{z_0} ^*\to (0,2\pi) $. Ponieważ pasy $ U_k(z_0) $ i dopełnienia półprostych $ \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ są podzbiorami otwartymi, a więc $ p $ jest odwzorowaniem otwartym. □

Działanie przekształcenia $ \exp $ na prostych siatki współrzędnych kartezjańskich pokazano na poniższej wizualizacji (u góry płaszczyzna $ \C $, u dołu $ \C^* $):

Definicja Logarytmem odwzorowania ciagłego $ f\colon X\to \C^* $ będziemy nazywać dowolne odwzorowanie ciagłe $ \tilde f \colon  X\to \C $ takie, że $ \exp\circ\tilde f = f $, czyli dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość $ \exp (\tilde f(x)) = f(x) $ tzn. diagram przekształceń:

\[ \begin{align*} \xymatrix{   &  \C \ar[d]^{\exp}\\  		X\ar[r]^f \ar[ru]^{\tilde f} & {\C^*}} \end{align*}  \]

jest przemienny.

Zauważmy, że identyczność $ Id\colon\C^* \to \C^* $ nie posiada logarytmu, nawet na podzbiorze $ A\subset\C^* $, o ile zawiera on okrąg okrążający zero.

Stwierdzenie [Jednoznaczność logarytmu] (#)

  1. Niech $ f\colon X\to \C^* $. Jeśli $ \tilde f  \colon  X\to \C $ jest logarytmem $ f $, to dla każdej liczby całkowitej $ k\in\Z $, $ \tilde f_k(x) := \tilde f (x) + 2k\pi i $ jest także logarytmem $ f $.
  2. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $, takimi, że dla pewnego punktu $ x_0\in X $ $ \tilde f_1 (x_0)=\tilde f_2 (x_0) $ to $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $
  3. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $ to istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że dla każdego $ x\in X $ $ \tilde f_1(x) - \tilde f_2(x) = 2k\pi i  $.
Dowód:

Ad 1. Wynika bezpośrednio z Tw. [link] pkt. 2.

Ad 2. Załóżmy, że $ X $ jest przestrzenią spójną. Wykażemy, że zbiór

$$\{x\in X\colon \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) \}$$

jest otwarto -- domknięty. Domkniętość wynika stąd, że $ \C $ jest przestrzenią Hausdorffa. Wykażemy, że jest także otwarty. Jeśli dla pewnego punktu $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) = z_0 $ to możemy wybrać pewien pas $ U_k(z)\ni z_0 $ oraz otoczenie $ V\ni x $ takie, że $ \tilde f_i(V) \subset U_k(z) $ dla $ i=1,2 $. Z definicji logarytmu zachodzą równości $ p\tilde f_1 = p\tilde f_2 = f $. Ponieważ $ p\colon U_k(z)\to \C^* $ jest różnowartościowe, więc stąd wynika, że $ \tilde f_1(x') = \tilde f_2(x') $ dla $ x'\in U $. Jedynym niepustym podzbiorem otwarto--domknietym przestrzeni spójnej jest cała przestrzeń, a więc $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $ na $ X $.

Ad 3. Niech $ x_0\in X $; z własności funkcji wykładniczej (Tw. [link]) wynika istnienie liczby całkowitej $ k\in\Z $ takiej, że $ \tilde f_1(x_0) = \tilde f_2(x_0) + 2k\pi i  $. Z punktów 1,2 wynika, że $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) + 2k\pi i  $ dla wszystkich $ x\in X $. □

Stwierdzenie (#) Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie odwzorowaniem ciągłym. Załóżmy, że istnieje pokrycie $ X = A_1\cup A_2 $ gdzie oba zbiory są otwarte, albo oba sa domknięte, ich przecięcie $ A_1\cap A_2 $ jest spójne, oraz obcięcie przekształcenia $ f|A_i $ posiada logarytm dla $ i=1,2 $. Wtedy przekształcenie $ f $ posiada logarytm.
Dowód: Niech $ \tilde f_i\colon A_i\to \C $ dla $ i=1,2 $ będą logarytmami. Oznaczmy $ A_{12}:=A_1\cap A_2 $. Ze Stw. [link] wnioskujemy, że istnieje $ k\in\Z $ takie, że $ \tilde f_1|A_{12} + 2k\pi i = \tilde f_2|A_{12} $. Stąd formuła

$$\tilde f (p) := \begin{cases} \tilde f_1|A_{12}(p) + 2k\pi i\quad\text{dla}\quad p\in A_1 \\  \tilde f_2|A_{12}(p) \quad\text{dla}\quad p\in A_2\end{cases}$$

określa logarytm $ f $ na $ X $.□

Twierdzenie [Samuel Eilenberg (Warszawa 1913 - 1998 New York)] (#)Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą.

  1. Odwzorowanie $ f\colon X\to\C^* $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy posiada logarytm.
  2. Dwa odwzorowania $ f,g\colon X\to\C^* $ są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz $ f/g $ posiada logarytm.
Dowód: Ad 1. $ \impliedby $ Niech $ \tilde f\colon X\to\C $ będzie logarytmem tzn. $ p\circ\tilde f = f $. Ponieważ przestrzeń $ \C $ jest ściągalna, a więc przekształcenie $ \tilde f $ jest ściagalne, a zatem złożenie z dowolnym innym przekształceniem jest ściągalna. Nb. homotopia może być łatwo zapisana wzorem $ H\colon X\times I\to\C^*,\, H(x,t):= p(t\tilde f(x)) $.

Ad 2. Jeśli $ f\sim g $ i $ F\colon X\times I\to \C^* $ jest homotopią między nimi, to   $ H(x,t) := F(x,t)/g(x) $ jest homotopią między odwzorowanien stałym w $ 1\in\C^* $ a $ f/g $. Odwrotnie, jeśli $ H(x,t) $ jest homotopia między $ f/g $ a odwzorowaniem stałym w $ 1\in\C^* $, to iloczyn $ H(x,t)g(x) $ jest homotopią między $ f $ i $ g $. □

Dowód punktu 1 twierdzenia w przeciwną stronę, a więc że przekształcenie ściągalne posiada logarytm, poprzedzimy ciekawym lematem, w którym wykorzystuje się mnożenie liczb zespolonych.

Lemat (#) Niech $ X $ będzie przestrzenią zwarta a $ F\colon X\times I\to \C^* $ homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ dla wszystkich $ x\in X $. Dla dowolnego otoczenia otwartego $ 1\in U\subset\C^* $ istnieją funkcje $ G_1,\dots G_n\colon X\times I \to U\subset \C^* $ takie, że dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $
Dowód:[Dowód lematu.] Zbiory $ \{zU\}_{z\in\C^*} $ tworzą otwarte pokrycie $ \C^* $. Zatem dzięki zwartości $ X\times I $ możemy wybrać liczbę $ \epsilon >0 $ taką, że jeśli $ |t-t'|<\epsilon $, to dla każdego $ x\in X $, $ F(x,t), F(x,t')\in zU $ dla pewnego $ z\in \C^* $. Niech $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}< t_n=1 $ będzie podziałem odcinka takim, że $ |t_i-t_{i+1}|<\epsilon $. Dla $ j=0,..,n-1 $ zdefiniujemy funkcje

$$G_j(x,t) := \frac{F(x,\frac{j+1}{n}t)}{F(x,\frac{j}{n}t)}$$

Dowód:[Dowódu pkt. 1 Twierdzenia [link]] $ \implies $ Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie ściągalne a   $ F\colon X\times I\to \C^* $ będzie jego ściagnięciem, a więc homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ oraz $ F(x,1) = f(x). $ Korzystając z Lematu [link] rozłóżmy $ F $ na iloczyn: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $ w którym $ G_j(x,t)\in \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\} $. Ze Stw. [link] pkt.4 wiemy, że obcięcie odwzorowania wykładniczego

$$p\colon \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}\arr {\simeq}    \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}$$

jest homeomorfizmem i oznaczmy jego odwrotność

$$\log_0\colon \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}\arr {\simeq}  \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}.$$

Niech $ w_0 $ będzie dowolnym punktem takim, że $ p(w_0)=z_0 $. Definiujemy logarytm $ F $ wzorem:

$$\tilde F (x,t) := w_0 + \log_0(G_1(x,t))+\dots + \log_0(G_n(x,t)).$$

Z tej definicji natychmiast widać, że $ \tilde F $ jest odwzorowaniem ciągłym, a z własności przekształcenia wykładniczego, że $ p\tilde F = F $. □

Homotopijna klasyfikacja odwzorowań w $\mathbb{C}^*$

Dla dowolnej przestrzeni $ X $ zbiór odwzorowań $ \Map (X,\C^*) $ posiada strukturę grupy abelowej, wyznaczoną przez mnożenie liczb zespolonych -- funkcje mnożymy mnożąc je w każdym punkcie. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać zbiór klas homotopii odwzorowań $ [X,\C^*] = [X, S^1] $, który tę strukturę grupową dziedziczy, bowiem jeśli $ f_0 \sim f_1,g_0\sim g_1\colon X\to\C^* $ to ich iloczyny też są homotopijne: $ f_0\cdot g_0 \sim f_1\cdot g_1 $.

Definicja Zbiór $ H^1(X) :=[X,\C^*] = [X, S^1] $ z wyżej zdefiniowanym działaniem będziemy nazywać (pierwszą) grupą kohomologii (lub kohomotopii) przestrzeni $ X $.

Ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, więc dla dowolnej przestrzeni grupa $ H^1(X) $ jest abelowa.

Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie przestrzeni topologicznej $ X $ grupy $ H^1(X) $ ma następujące własności:

  1. Dla dowolnego przekształcenia $ \phi\colon X\to Y $ przekształcenie $ \phi^*\colon H^1(Y)\to H^1(X) $ dane wzorem $ \phi^*(f) := f\circ\phi $ jest homomorfizmem grup.
  2. Jeśli przekształcenia $ \phi_0,\phi_1\colon X\to Y $ są homotopijne, to $ \phi_0^* = \phi_1^* $
  3. Dla dowolnych dwóch punktowanych przestrzeni $ (X_1,x_1), (X_2,x_2) $ włożenia zadają izomorfizm grup
    $$H^1(X_1\vee X_2) \arr {\simeq} H^1(X_1)\times H^1(X_2).$$
Dowód:

     Ad 1. $ \phi^*(f\cdot g )(x) := (f \cdot g)(\phi (x)) =   f(\phi (x) \cdot g (\phi (x))= \phi^*(f)\cdot\phi^*(g) $.

     Ad 2. To jest szczególny przypadek Wniosku [link].

     Ad 3. Włożenia $ \iota_1\colon X_1\subset X_1\sqcup X_2 $ i $ \iota_2\colon X_2\subset X_1\sqcup X_2 $ zadają homorfizm grup

$$(\iota_1^{\#},\iota_2^{\#}):  H^1(X_1\vee X_2) \to H^1(X_1)\times H^1(X_2),$$

który na mocy Stw. [link] jest bijekcją, a więc izomorfizmem.□

Dla dowolnej przestrzeni ściągalnej $ H^1(X)=0 $. Zajmiemy się więc obliczeniem grupy $ H^1(S^1) $, czyli zbadaniem zbioru klas homotopii $ [S^1,\C^*] = [S^1, S^1]. $ Rozpoczniemy od zdefiniowania stopnia przekształcenia $ S^1\to\C^* $ (zwanego też indeksem pętli względem punktu 0). Korzystając z Stw. [link] bedziemy utożsamiać odwzorowania $ S^1\to X $ z drogami zamkniętymi, czyli pętlami $ [0,1]\to X $ i oznaczać je tą samą literą.

Niech $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ będzie drogą zamkniętą. Ponieważ odcinek jest przestrzenią ściągalną, na mocy Twierdzenia [link] odwzorowanie $ \alpha $ posiada logarytm $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to \C $. Zdefiniujemy stopień $ \alpha $:

$$\deg (\alpha ) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0)).$$
Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie pętli $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ jej stopnia $ \deg (\alpha ) $ ma następujące własności:

  1. Wartość $ \deg (\alpha ) $ nie zależy od wyboru logarytmu $ \tilde\alpha $ i jest liczbą całkowitą.
  2. Jeśli $ \alpha_0\sim \alpha_1\colon S^1\to\C^* $ są homotopijne, to $ \deg (\alpha_0 ) = \deg (\alpha_1) $.
  3. Dla dowolnych $ \alpha, \beta\colon S^1\to\C^* $ zachodzi: $ \deg (\alpha\beta) = \deg (\alpha) + \deg (\beta) $.
  4. Dla dowolnej liczby całkowitej $ n\in\Z $ odwzorowanie $ \phi_n\colon S^1\to\C^*,\, \phi_n(z) :=z^n, $ ma stopień $ n $.
Dowód:

Ad 1. Ponieważ odcinek jest przestrzenią spójną, więc na mocy Stw. [link] logarytm $ \tilde\alpha $ jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do składnika $ 2k\pi i $, a więc $ \deg(\alpha) $ nie zależy od wyboru logarytmu. Ponieważ $ \alpha (0) = \alpha (1)  $ więc $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) = 2d\pi i $, dla pewnej liczby całkowitej $ d\in\Z $ skąd wynika, że $ \deg(\alpha) = d $ jest liczbą całkowitą.

Ad 2. Skoro $ \alpha_0\sim\alpha_1 $ to istnieje homotopia $ H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C^* $ taka, że $ H(\cdot,0) = \alpha_0,\, H(\cdot,1) = \alpha_1,\, H(0,t) = H(1,t) $. Ponieważ kwadrat jest zwartą przestrzenią ściągalną więc na mocy Tw. [link] przekształcenie $ H $ posiada logarytm $ \tilde H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C $. Rozważmy funkcję $ d(t) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde H (1,t) - \tilde H (0,t)) $. Funkcja ta jest ciągła i na mocy pkt. 1 przybiera wartości całkowite, a więc jest stała. Wynika stąd, że $ \deg(\alpha_0) =  d(0) = d(1) = \deg(\alpha_1) $

Ad 3. Jesli $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to\C $ i $ \tilde\beta\colon [0,1]\to\C $ są odpowiednio logarytmami $ \alpha $ i $ \beta $, to $ \tilde\alpha + \tilde\beta $ jest logarytmem iloczynu $ \alpha\cdot\beta $.

Ad 4. Logarytmem funkcji potęgowej $ \phi_n (z) := z^n $ traktowanej jako odwzorowanie odcinka $ \phi'_n\colon [0,1]\to\C^*,\, \phi'_n (t) = \exp (2n\pi i t) $ jest przekształcenie $ \tilde\phi'_n (t) = 2n\pi i t $ a więc $ \deg (\phi_n) = n $. □

Twierdzenie (#) Stopień wyznacza izomorfizm grup $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {\simeq} \Z $.
Dowód: Na mocy Stw. [link] $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {} \Z $ jest dobrze zdefiniowanym homomorfizmem grup i jest epimorfizmem. Pozostaje zauważyć, że jest monomorfizmem. Niech $ \deg (\alpha) = 0 $; oznacza to, że dla pewnego logarytmu $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) =0 $, czyli logarytm jest drogą zamkniętą, a więc definiuje przekształcenie $ \tilde\alpha\colon S^1\to\C $ takie, że $ \alpha = p\tilde\alpha $. Ponieważ $ \C $ jest ściągalna, więc $ \alpha\sim 1 $ . □

Ostatnie twierdzenie powiada, że dowolne odwzorowanie $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ jest homotopijne z jednym z odwzorowań potęgowych $ \phi_n $ i żadne dwa różne takie odwzorowania nie są homotopijne.

Stwierdzenie $ [S^1\vee\dots\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\dots\times\Z $
Dowód: Wynika natychmiast z Stw. {s:grupa_kohomologii} pkt. 3. □

Sformułujemy kilka ważnych wniosków wypływających ze znajomości homotopijnej klasyfikacji odwzorowań $ S^1\to\C^* $.

Stwierdzenie Okrąg $ S^1 $ nie jest ściągalny i nie jest retraktem dysku   $ D^2 := \{z\in\C\colon ||z|| \leq 1\} $.
Dowód: Dla $ n=1 $ twierdzenie wynika ze spójności odcinka oraz niespójności sfery $ S^0 $. Odwzorowanie identycznościowe $ id:S^1\to S^1 $ ma stopień 1, zatem nie jest ściągalne. Jeśli istniałaby retrakcja $ r\colon D^2\to S^1 $, to oznaczałoby to, że identyczność na $ S^1 $ jest ściągalna (p. Stw. [link]). □
Uwaga Sfera $ S^n $ nie jest ściągalna dla każdego $ n\geq 0 $. Zauważmy, że $ S^0 = \{-1,1\} $ nie jest spójna. Dowód dla $ n>1 $ opiera się na konstrukcji stopnia dla odwzorowań $ S^n\to S^n $. (p. John W. Milnor Topology from Differentiable Viewpoint Tłum. polskie PWN 1969). Poniższe słynne twierdzenie Brouwera (L. E. J. Brouwer (Overschie, Rotterdam 1881 - 1966 Blaricum, Netherlands) ) o punktach stałych także zachodzi dla dysków dowolnych wymiarów i jest wnioskiem z nieściągalności sfery.
Stwierdzenie [Twierdzenie Brouwera dla $ n\leq 2 $] Dowolne odwzorowanie $ f\colon D^n\to D^n $, dla $ n\leq 2 $, ma punkt stały.
Dowód: Jeśli $ f\colon D^n\to D^n $ byłoby przekształceniem bez punktów stałych, to istniałaby retrakcja $ r\colon D^n\to S^{n-1} $ zdefiniowana następująco: $ r(x) $ jest punktem przecięcia półprostej   $ f(x)+t(x - f(x)) $ dla $ t\geq 1 $ ze sferą $ S^n $ . Pokazaliśmy, że sfera $ S^{n-1} $ nie jest retraktem dysku $ D^n $ dla $ n\leq 2 $, więc dla tych wymiarów twierdzenie Brouwera jest w pełni udowodnione. □

Piekną ilustracją jedności matematyki jest to, że kurs topologii kończy się dowodem podstawowego twierdzenia algebry, powiadającego, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Stwierdzenie [Zasadnicze twierdzenie algebry] Dowolny wielomian dodatniego stopnia o współczynnikach zespolonych posiada pierwiastek zespolony.
Dowód: Niech $ w(z) = z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \dots + a_1z + a_0 $ będzie wielomianem takim, że $ w(z)\neq 0 $ dla $ z\in\C $, zadaje więc odwzorowanie wielomianowe $ w\colon\C\to\C^* $. Ponieważ $ \C $ jest przestrzenią ściągalną, więc odwzorowanie $ w $ obcięte do dowolnego jej podzbioru, w szczególności $ S^1\subset\C $, jest odwzorowaniem ściągalnym. Z drugiej strony fomuła

$$H(z,t) : =  z^n+ta_{n-1}z^{n-1}+ \dots + t^{n-1}a_1z + t^na_0 = \begin{cases}  t^n w(\frac zt)\quad\text{dla}\, t\neq 0 \\ z^n \quad\text{dla}\, t=0\end{cases}$$

zadaje homotopię $ H\colon S^1\times [0,1] \to \C^* $ między $ H(z,0) = z^n :=\phi_n(z) $ i $ H(z,1) = w(z) $, a więc $ \deg (w) = n>0 $, co oznacza, że otrzymaliśmy sprzeczność. □

Uwaga Zasadnicze twierdzenie algebry oczywiście nie zachodzi dla ciała liczb rzeczywistych, natomiast zachodzi dla wielomianów o współczynnikach w ciele kwaternionów (które nie jest przemienne). Dowód opiera się na nieściągalności sfery $ S^4 = \HH\cup\{\infty\} $ gdzie $ \HH $ oznacza ciało kwaternionów. S. Eilenberg, I.Niven The “fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 50, Number 4 (1944), pp. 246-248.}
Stwierdzenie [Twierdzenie Borsuka ( Karol Borsuk (Warszawa 1905 - 1982 Warszawa)) - Ulama ( Stanisław Ulam (Lwów 1909 - 1984 Santa Fe, New Mexico, USA)) o antypodach dla $ n\leq 2 $] Dla dowolnego odwzorowania ciągłego $ f\colon S^n\to\R^n $, gdzie $ n\leq 2 $, istnieje punkt $ p\in S^n $ taki, że   $ f(p) = f(-p) $.
Dowód: Załóżmy, że istnieje odwzorowanie $ f\colon S^n\to\R^n $ takie, że dla każdego $ p\in S^2 $, $ f(p) \neq f(-p) $. Zdefiniujmy odwzorowanie $ g\colon S^n\to\R^n\setminus \{0\},\, g(p):=f(p)-f(-p) $. Sferę $ S^{n-1} $ można traltować jako podzbiór $ S^n $ (''równik'') a obcięcie odwzorowania $ g|S^{n-1} $ jest ściągalne (bowiem rozszerza się górną półsferę, czyli dysk) oraz spełnia warunek   $ g(-z) = - g(z) $.

Dla $ n=1 $ jest to niemożliwe, bo odwzorowanie $ S^0\to \R\setminus  \{0\} $ jest homotopije ze stałym wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje wartości stałego znaku, co warunek $ g(-z) = - g(z) $ wyklucza.

Niech teraz $ n=2 $. Pokażemy, że odwzorowanie $ g\colon S^{1}\to \R^2\setminus \{0\} = \C^* $ spełniające warunek $ g(-z) = - g(z) $ nie może być ściągalne, bowiem musi mieć nieparzysty stopień. Rozważmy drogę zamkniętą $ [0,1] \arr {p}  S^{1}\arr {g} \C^* $, którą będziemy oznaczać $ g_p $ i obliczymy jej stopień. Jeśli $ g_p(0) = g(1) = z_0 = |z_0|\exp (i\theta_0 ) $ to

$$g_p(\frac 12) = g(-1)  = - z_0 =  |z_0|\exp (i(\theta_0 + (2k+1)\pi) )$$

Niech $ \tilde g'_p\colon [0,\frac 12]\to \C^* $ będzie logarytmem $ g_p|[0,\frac 12] $. Z powyższego wzoru wynika, że dla pewnego $ k\in Z $ zachodzi równość: $ \tilde g'_p (\frac 12) = \tilde g'_p(0) + (2k+1)\pi i $. Warunek $ g(-z) = - g(z) $ oznacza, że odwzorowanie $ g $, a więc logarytm $ g_p $ jest wyznaczony przez wartości $ g $ na górnym półokręgu. Zdefiniujmy więc logarytm $ \tilde g_p\colon [0,1]\to \C^* $ wzorem:

$$\tilde g_p (t) := \begin{cases} \tilde g'_p(t)\quad \text{dla}\quad 0\leq t\leq \frac 12 \\ \tilde g'_p(t - \frac 12) + (2k+1)\pi i \quad \text{dla}\quad \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

Stąd

$$(2\pi i) \deg (g) = \tilde g_p (1) - \tilde g_p (0) =   \tilde g'_p (\frac 12) + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) =\\ \tilde g'_p (0) + (2k+1)\pi i + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) = 2(2k+1)\pi i,$$

a więc $ \deg (g) = 2k+1 $ jest liczbą nieparzystą, czyli $ g $ nie jest ściągalne. □

Uwaga Podobnie jak twierdzenie Brouwera, twierdzenie Borsuka-Ulama zachodzi dla dowolnrgo wymiaru $ n $ i także stanowi konsekwencję klasyfikacji homotopijnej odwzorowań $ S^n\to \R^n\setminus \{0\} $ przez wspomniany wyżej stopień odwzorowania.

Zadania

Zadanie Przestrzeń $ (X,\sT_X) $ nazywa się ściągalna jesli istnieje punkt $ x_0 $ i odwzorowanie $ H\colon X\times I\to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x,\, H(x,1) = x_0 $. Wykazać, że:

  1. Jeśli $ (Y,\sT_Y) $ jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
  2. Przestrzeń jest ściągalna $ \iff $ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
  3. Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest ściągalna do punktu $ x_0 $, to jest ściągalna do dowolnego punktu $ x_1\in X $.
  4. Dowolny gwiaździsty podzbiór $ \R^n $ jest ściągalny.
  5. Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
  6. Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
  7. Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń, ani przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
  8. Każda przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym przestrzeni ściągalnej (stożka nad przestrzenią).
  9. Jeśli jedna z przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ jest ściągalna, to przestrzeń odwzorowań $ (\Map (X,Y),\sT_{co}) $ jest ściągalna.
  10. Jeśli $ A\subset X $ jest podzprzestrzenią ściągalną i istnieje odwzorowanie $ F\colon X\times I \to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x $, oraz $ \forall_{x\in X} H(x,1) \in A $, to $ X $ jest przestrzenią ściągalną.
Zadanie Dowolne przekształcenie o wartościach w przestrzeni ściągalnej, bądź określone na przestrzeni ściągalnej jest homotopijne z przekształceniem stałym.
Zadanie Jeśli przekształcenia ciągłe $ f_0,f_1\colon (X\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ są homotopijne oraz $ C\subset X $ jest składową łukową przestrzeni $ (X,\sT) $, to istnieje dokładnie jedna składowa łukowa przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $ zawierająca zbiór $ f_0(C)\cup f_1(C) $.
Zadanie Niech $ S^n $ oznacza sferę euklidesową a $ S^k\subset S^n $ będzie sferą $ k $--wymiarową włożoną na pierwszych $ (k+1) $ współrzędnych. Wykazać, że dopełnienie $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważne z $ S^{n-k-1} $ Wskazówka. Zauważyć, że rzut stereograficzny wyznacza homemorfizm $ S^n\setminus S^k \simeq \R^n\setminus \R^k $ a następnie zrzutować ten zbiór na podprzestrzeń prosotpadła do $ \R^k $.
Zadanie BCPP Zad. 6.1.
Zadanie Niech $ w\in\C $ będzie liczbą zespoloną taką, że $ \|w\|\neq 1 $. Dla jakich wartości parametru $ w $ odwzorowania $ \alpha_w\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_w(z) := z+w $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ w_1,w_2\in\C $ będą liczbami zespolonymi takimi, że $ \|w_i\|\neq 1 $ dla $ i=1,2 $. Dla jakich wartości parametrów $ w_,w_2 $ odwzorowania $ \alpha_{w_1,w_2}\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_{w_1,w_2}(z) := \frac{z+w_1}{z+w_2} $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ n,m\in\Z $ będą liczbami całkowitymi takimi, że $ n\equiv m\mod 2 $. Sprawdzić, że odwzorowanie $ \alpha_{n,m}\colon S^1\to \C^* $ dane wzorem: $ \alpha_{n,m} (z) = \begin{cases} z^n \quad\text{dla}\quad \Im(z)\geq 0\\ z^{m} \quad\text{dla}\quad \Im(z)\leq 0\end{cases} $ jest dobrze określone i znaleźć jego stopień.
Zadanie Dla dowolnego odwzorowania $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ oraz liczby zespolonej $ w\in\C^* $ odwzorowania $ \alpha $ i $ \alpha_w(z):=w\alpha (z) $ są homotopijne.
Zadanie Udowodnić, że dowolne przekształcenie $ S^n\to S^1 $ gdzie $ n>1 $ jest homotopijne ze stałym. Wskazówka. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko wtedy gdy posiada logarytm. Rozłożyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zadanie Znaleźć homeomorfizmy następujących przestrzeni:

  1. ''Przekłutej płaszczyzny'' $ \R^2\setminus\{p\} $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem.
  2. ''Płaszczyzny z dziurą'' $ \R^2\setminus  \bar B(p;r) $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem i $ r>0 $,
  3. ''Płaszczyzny ze szparą'' $ \R^2\setminus [p,q] $ gdzie $ [p,q] := \{(1-t)p + tq  \colon 0\leq t\leq 1\} $ jest odcinkiem domkniętym.
  4. Walca $ S^1\times (-1,1) $.

i wykazać, że każda z nich jest homotopijnie równoważne z okręgiem $ S^1 $ (wskazać homotopijną równoważność w każdym przypadku osobno).

Zadanie [Przekłuta płaszczyzna] Udowodnić, że ''przekłuta płaszczyzna'' $ \R^2\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważna z $ S^1 $, a płaszczyzna przekłuta $ 2 $-razy tzn $ \R^2\setminus \{p_1, p_2\} $ jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 :=\{(z_1,z_2)\in S^1\times S^1\colon z_1 = 1\,\text{lub}\, z_2 = 1\} $ . Uogólnić to na płaszczyznę przekłutą $ n $-razy tzn. $ \R^2\setminus\{p_1,\dots ,p_n\} $. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę $ S^2 $ ?
Zadanie (#)[Wstęga Möbiusa] Skonstruować retrakcję wstęgi Möbiusa (zarówno otwartej jak i domkniętej) na jej równik i wykazać, że jest ona homotopijną równoważnością.

POWIERZCHNIE

W tym rozdziale zajmiemy się topologią zamkniętych powierzchni, a więc przestrzeni zwartych, lokalnie homeomorficznych z płaszczyzną $ \R^2 $. Dokładniej:

Definicja Powierzchnią (lub rozmaitością 2-wymiarową) nazywamy przestrzeń Hausdorffa posiadającą przeliczalną bazę taka, że każdy jej punkt posiada otoczenie otwarte homeomorficzne z podzbiorem otwartym płaszczyzny $ \R^2 $ (równoważnie z płaszczyzną $ \R^2 $). Powierzchnią zamkniętą nazywamy powierzchnię, która jest przestrzenią zwartą.

Nasze dalsze rozważania ograniczymy do poznanych przykładów powierzchni zwartych, czyli: sfery, torusa , płaszczyzny rzutowej , butelki Kleina i wykażemy, że żadne dwie z nich nie są homeomorficzne.

Sfera

Chociaż w tym rozdziale interesujemy się przede wszystkim wybranymi powierzchniami, to własności sfer przedyskutujemy dla dowolnego wymiaru. Przypomnijmy, że $ n $-wymiarową sferą nazywamy podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej $ S^n :=\{x\in\R^{n+1} \, |\, ||x||=1\} $, a $ n $--wymiarowym dyskiem podprzestrzeń $ D^n := \{\vv\in\R^n\colon ||\vv||\leq 1\} $, czyli domknięcie kuli euklidesowej o środku w $ 0 $ i promieniu $ 1 $. Zauważmy, że brzeg dysku jest sferą: $ \partial D^n = S^{n-1} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n>0 $ następujące przestrzenie są homeomorficzne są homeomorficzne ze sferą $ S^n $:

  1. Zbiór $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez kule euklidesowe zawarte w $ \R^n $ oraz zbiory $ \{x\in\R^n\, |\, ||x||>r\}\cup \{\infty\} $;
  2. Zbiór $ \R^n \cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez podzbiory otwarte $ U\subset \R^n $ oraz zbiory postaci $ \{\infty\}\cup (\R^n\setminus K) $ gdzie $ K\subset\R^n $ jest zbiorem zwartym;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ D^n/\sim $ gdzie $ x\sim y\iff x=y\, \text{lub} \, x,y\in S^{n-1} $.

Sfera jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Zaczniemy od zauważenia, że sfera jest przestrzenią zwartą, jako ograniczony i domknięty podzbiór $ \R^{n+1} $. Także łatwo jest zauważyć, że każdy punkt posiada otocznie homeomorficzne z otwartą kulą $ B(0,1)\in\R^n $ pokrywając sferę $ 2(n+1) $ półsferami. Homeomorfizmy półsfer z otwartą kulą $ B(0,1) $ są dane przez rzutowania na odpowiednie $ n $-wymiarowe podprzestrzenie. Dalej wykażemy, że sferę można pokryć dwoma zbiorami, z których każdy jest homeomorficzny z $ \R^n $, a mianowicie wybrawszy dowolny punkt $ p\in S^n $, $ S^n = (S^n\setminus\{p\})\cup (S^n\setminus\{-p\}) $.

Zauważmy teraz , że topologie w zbiorze $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ opisane w pkt. 1 i 2 są identyczne. Oznaczmy je odpowiednio $ \sT_1 $ i $ \sT_2 $. Ponieważ domknięcia kul euklidesowych są zbiorami zwartymi, więc $ \sT_1\subset \sT_2 $. Odwrotnie, dowolny zbiór zwarty jest podzbiorem pewnej kuli domkniętej, a więc zachodzi inkluzja $ \sT_1\supset \sT_2 $, skąd topologie są równe.

Skonstruujemy ciągłą bijekcję $ D^n/\sim\, \to (\R^n)^+ $. Dla $ n=1 $ wybierzmy homeomorfizm $ h_1\colon (-1,1)\to\R $ np. $ h_1(t) :=\frac{t}{t^2-1} $ i rozszerzmy do odwzorowania $ \bar h_1\colon D^1\to (\R^1)^+ $ kładąc $ h_1(1)=h_1(-1)=\infty $ Odwzorowanie to jest ciagłe i definiuje odwzorowanie przestrzeni ilorazowej $ \bar h_1\colon D^1/\sim\, \to  (\R^1)^+ $ które jest ciagłą bijekcją. Ponieważ $ D^1/\sim $ jest przestrzenią zwartą, więc jest homemorfizmem. W przypadku sfery dowolnego wymiaru przeprowadzamy dokładnie takie samo rozumowanie, uciekając do nieskończoności po prostych przechodzących przez środek układu współrzędnych. Definiujemy homeomorfizm $ h_n\colon B(0;1) \to \R^n $ wzorem $ h_n(t\vv) := h_1(t)\vv $, gdzie $ \vv\in S^{n-1} $ i $ 0\leq t<1 $. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym rozszerzamy to przekształcenie do $ h_n\colon D^n \to (\R^n)^+ $ kładąc $ h_n(\vv) = \infty $ dla $ \vv\in S^{n-1} $. Przekształcenie to definiuje ciagła bijekcję $ \bar h_n\colon D^n/\sim \, \to (\R^n)^+ $, która jest homeomorfizmem bo $ (\R^n)^+ $ jest oczywiście przestrzenią Hausdorffa.

Homeomorfizm $ S^n\to (\R^n)^+ $ można określić wykorzystując rzut stereograficzny, czyli homeomorfizm $ h\colon S^n\setminus {p} \to \R^n $. Wybierzmy punkt $ p:=(0,\ldots,0,1)\in S^n $ i zdefiniujmy:

$$h(x_1,\ldots,x_{n+1}) := \frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\ldots,x_n).$$

Łatwo się przekonać, że kładąc $ h(p) = \infty $ otrzymujemy ciągłą bijekcję $ \bar h\colon S^n \to (\R^n)^+ $, a więc homeomorfizm.□

Uwaga Zauważmy, że model sfery opisany w punkcie 2) nie wymaga wyboru metryki w przestrzeni $ \R^n $, a jest wyznaczony jedynie przez topologię tej przestrzeni!
Stwierdzenie (#) Dla dowolnego punktu $ p\in S^n $ przekłuta sfera $ S^n\setminus\{p\} $ jest homeomorficzna z przestrzenią euklidesową $ \R^n $.
Dowód: Zauważmy, że dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in S^n $ sfery w tych punktach przekłute są homeomorficzne, bowiem istnieje homeomorfizm sfery $ h\colon S^n\to S^n $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $. Homeomorfizm $ p $ jest łatwo skonstruować metodami znanymi z algebry liniowej. Niech $ P\in\R^2 $ bedzie dwuwymiarową podprzestrzenią zawierającą punkty $ p_1,p_2 $. W tej płaszczyźnie można przeprowadzić punkt $ p_1 $ na $ p_2 $ przy pomocy obrotu, który jest izometrią liniową. Kładąc identyczność na podprzestrzeni prostopadłej $ P^\perp $ otrzymujemy izometrię liniową $ h\colon \R^{n+1}\to\R^{n+1} $, która oczywiście zachowuje sferę i przeprowadza $ p_1 $ na $ p_2 $. Korzystając [link] pkt. 2 i wyjmując punkt $ \infty $ otrzymujemy tezę. □
Twierdzenie (#) Jeśli $ n>1 $, to $ H^1(S^n) := [S^n,S^1] = 0 $.
Dowód: Skorzystamy z Twierdzenia Eilenberga [link], pokazując , że dowolne odwzorowanie $ f\colon S^n\to \C^* $ posiada logarytm. Zauważmy, że rozkłada się na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ S^n = S^n_+\cup S^n_- $, z których każdy jest homeomorficzny z dyskiem $ D^n $ a ich przecięcie $ S:=S^n_+\cap S^n_- $ jest homeomorficzne ze sferą $ S^{n-1} $, a więc jest spójne. Ponieważ dyski są ściągalne, więc odwzorowanie $ f $ posiada na nich logarytmy. Z Wniosku [link] wynika istnienie logarytmu $ \tilde f\colon X\to\C $, a więc odwzorowanie $ f $ jest ściągalne. □

Torus

Torusem nazywamy produkt dwóch okręgów $ S^1\times S^1 $ . Zauważmy, że tak zdefiniowany torus jest w naturalny sposób podprzestrzenią w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej: $ S^1\times S^1\subset \C\times\C. $ Można go jednak zanurzyć w $ \R^3 $ oraz przedstawić jako przestrzeń ilorazową kwadratu (Wizualizacja p. Neil Strickland web page ).

Zauważmy też, że torus jest grupą topologiczną - mnożenie zdefiniowane jest przez mnożenie zespolone współrzędnych; to działanie a także branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami ciągłymi.

Stwierdzenie Następujące przestrzenie są homeomorficzne z torusem:

  1. $ T' $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T'' $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (s,1)\sim (s,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Torus jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Torus jest zwarty jako produkt kartezjański dwóch przestrzeni zwartych. Dla dowolnego punktu torusa $ (z_1,z_2) $ zbiór $ (S^1\setminus \{z_1\})\times (S^1\setminus \{z_2\}) $ jest zbiorem otwartym, homeomorficznym z $ \R^2 $ i zbiory tej postaci oczywiście pokrywają torus.

Homeomorfizm $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim \to S^1\times S^1 $ jest zadany przez odwzorowanie $ p(s,t) := (\exp \pi t, \exp \pi s ) $. Wzory na zanurzenie torusa w przestrzeń $ \R^3 $ podane są w Neil Strickland web page oraz opisane w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość . □

Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów torusa $ (z_1,z_2) $ i $ (w_1,w_2) $ istnieje homeomorfizm $ h\colon T\to T $ taki, że $ h(z_1,z_2)= (w_1,w_2). $
Dowód: Definiujemy $ h(u_1,u_2):= (u_1,u_2)(z_1,z_2)^{-1}(w_1,w_2) =  (u_1z_1^{-1}w_1, u_2z_2^{-1}w_2) $. □
Stwierdzenie Niech $ p\in T $ będzie dowolnym punktem. Przekłuty torus $ T\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważny z bukietem okręgów $ S^1\vee S^1 $, a więc

$$H^1(T\setminus\{p\}) = [S^1\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Wybierzmy model torusa jako przestrzeni ilorazowej kwadratu i punkt $ p:=(0,0)\in [-1,1]\times [-1,1] =: J^2 $. Odwzorowanie $ [-1,1]\times [-1,1]\setminus \{p\} \to T $ pozostaje ilorazowe. Oczywista retrakcja przekłutego kwadratu na jego (euklidesowy) brzeg $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2 $ wyznacza odwzorowanie retrakcję $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\,  \to (\partial J^2)/\sim $. Odwzorowanie $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\,  \to (\partial J^2)/\sim \subset (J^2\setminus \{p\})/\sim $ jest homotopijne z identycznością; homotopia jest wyznaczona przez afiniczną homotopię $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2\subset J^2\setminus \{p\}  $ z identycznością. Z definicji bukietu wnika, że $ (\partial J^2)/\sim \subset J^2/\sim $ jest bukietem okręgów. □
Uwaga Teza Stw. pozostaje prawdziwa jeśli zamiast punktu wyjmiemy z torusa mały dysk lub kwadrat np. $ \bar B(0;\epsilon) $ lub $ [-\epsilon,\epsilon]\times [-\epsilon,\epsilon] $ gdzie $ 0<\epsilon < 1. $
Twierdzenie Włożenie $ j\colon S^1\vee S^1\subset S^1\times S^1 $ definiuje izomorfizm

$$j^*\colon [S^1\times S^1,S^1] \arr {\simeq} [S^1\vee S^1,S^1]\simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Homomorfizm $ j^* $ jest epimorfizmem. Jeśli $ f\colon S^1\vee S^1 \to S^1 $ jest pewnym odwzorowaniem, to definiujemy jego rozszerzenie na cały torus wzorem: $ \bar f(z_1,z_2) := f(z_1,1)f(1,z_2) $. Wykażemy, że $ j^* $ jest monomorfizmem. Załóżmy więc, że obcięcie przekształcenia $ g\colon S^1\times S^1\to S^1 $ do bukietu $ S^1\vee S^1 $ jest homotopijne z przekształceniem stałym. Podobnie jak w dowodzie Tw. [link] , stosując Tw. [link] , dla takiego $ g $ skonstruujemy jego logarytm $ \tilde g\colon S^1\times S^1\to \C $. Niech $ p=(-1,-1)\in T $ i rozłóżmy torus na sumę dwóch podzbiorów otwartych $ T = U_1\cup U_2 $ gdzie $ U_1 :=(T\setminus\{p\}) $ a $ U_2 :=((S^1\setminus\{1\})\times (S^1\setminus\{1\})) $. Zbiór $ U_2 $ jest oczywiście homeomorficzny z otwartym kwadratem $  (-1,1)\times (-1,1) $, a więc jest ściągalny. Na mocy Stw. [link] włożenie $ S^1\vee S^1 \subset T\setminus\{p\} $ jest homotopijną równoważnością. Stąd wynika, że dla $ i=1,2 $ obcięcie $ g|U_i $ posiada logarytm. Ponieważ przecięcie $ U_1\cap U_2 $ jest spójne (homeomorficzne z przekłutym kwadratem), a więc na mocy Wniosku [link] odwzorowanie $ g $ posiada logarytm, czyli na mocy Tw. [link][link] jest odwzorowaniem ściągalnym. □
Stwierdzenie Torus nie jest homeomorficzny ze sferą.
Dowód: Jeśli $ h\colon T\to S^2 $ byłoby homeomorfizmem (a nawet tylko homotopijną równoważnością), to $ h^*\colon 0=H^1(S^2)\to H^1(T)\neq 0 $ byłoby bijekcją, co jest niemozliwe. □

Płaszczyzna rzutowa i wstęga Moebiusa

Bardzo ważną i interesującą powierzchnią jest płaszczyzna rzutowa. Jak pokazaliśmy sferę można sobie wyobrażać jako płaszczyznę z dodanym jednym punktem w nieskończoności. Płaszczyzna rzutowa to płaszczyzna do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej prostej przechodzącej przez $ 0 $, lub równoważnie dla każdej klasy prostych równoległych (jedna przechodzi przez 0). Ponieważ o dysku $ D(0,1)\subset\R^2 $ można mysleć jako o przestrzeni $ \R^2 $ (wnętrze dysku) do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej półprostej, a więc naturalne jest zdefiniowanie płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni iloraowej dysku, w której antypodyczne punkty na jego brzegu są utożsamione:

$$P := D^2/\sim \quad \text{gdzie}\quad  p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \quad\text{lub}\quad p_1,p_2\in S^1\quad \text{oraz}\quad p_1=-p_2$$

Definicja ta i intuiucja bez trudu uogólnia się na wyższe wymiary prowadząc do definicji $ n $-wymiarowej przestrzeni rzutowej $ \R P(n) $.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z płaszczyzną rzutową $ P $:

  1. Przestrzeń ilorazowa $ P':= [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (t_1,t_2)\sim(s_1,s_2)\,\iff\, (t_1,t_2)=(s_1,s_2) $ lub $ (t_1,t_2)= - (s_1,s_2) $ gdzie $ t_1\in\{-1,1\} $ lub $ t_2\in\{-1,1\} $;
  2. Przestrzeń ilorazowa $ P'':= S^2/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\,  p_1=-p_2 $;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ P''':=(\R^3\setminus\{0\})/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\,  p_1= \lambda p_2 $ dla pewnej liczby $ \lambda\in\R $ .

Płaszczyzna rzutowa jest przestrzenią zwartą, a każdy jej punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Żeby sprawdzić zwartość płaszczyzny rzutowej wystarczy wykazać, że jest przestrzenią Hausdorffa, co jest łatwo sprawdzić bezpośrednio z definicji $ P,\, P',\, P'',\, P''' $. To, ze każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $ najłatwiej jest zauważyć w modelu $ P'' $: odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ odwzorowuje homeomorficznie otwarte półsfery na podzbiory otwarte płaszczyzny rzutowej.

Kanoniczny homeomorfizm dysku i kwadratu (''po promieniach'') zachowuje antypodyczność punktów, a więc definiuje homeomorfizm $ P\to P' $. Z kolei włożenie $ S^2\subset \R^3\setminus\{0\} $ definiuje ciągłą bijekcję $ P''\to P''' $, a ponieważ $ P'' $ jest przestrzenią zwartą, jest więc ona homeomorfizmem. Pozostaje wskazać homeomorfizm $ P''\to P $. Niech $ p\colon S^2 \to D^2 $ będzie projekcją na pierwsze dwie współrzędne: $ p(x_0,x_1,x_2) := (x_0,x_1) $. Łatwo zauważyć, że zadaje ona bijekcję na klasach równoważności, a więc ciągłą bijekcję $ P''\to P $, która wobec zwartości $ P'' $ jest homeomorfizmem. □

Uwaga Przestrzeń $ P'' $ jest przestrzenią orbit działania grupy $ \Z_2 = \{-1,1\} $ na sferze $ S^2 $, a przestrzeń $ P''' $ jest przestrzenią orbit działania grupy multyplikatywnej liczb rzeczywistych $ \R^* $ na $ \R^3\setminus\{0\} $.
Uwaga Zanurzenie płaszczyzny rzutowej w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Przykład 5.1.3. oraz w w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość a wizualizacja obrazu z samoprzecięciami w $ \R^3 $ w Neil Strickland web page.
Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in P $ istnieje homeomorfizm $ h\colon P\to P $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $.
Dowód: Skorzystamy z interpertacji płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni ilorazowej sfery $ S^2 $ oraz homeomorfizmu sfery skonstruowanego w dowodzie Wniosku [link] . Niech $ p_1=[\vv_1],\, p_2=[\vv_2] $ liniowa izometria $ h\colon \R^3\to\R^3 $ taka, że $ h(\vv_1)=\vv_2 $ zadaje homeomorfizm płaszczyny rzutowej $ \bar h\colon P''\to P'' $ taki, że $ \bar h(p_1)=p_2) $. □

Udowodnimy teraz, że przekłuta płaszczyzna rzutowa, czyli po usunięciu jednego punktu, jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa. wizualizację wstęgi Möbiusa można znaleźć w Neil Strickland web page.

Stwierdzenie (#) Niech $ p_0\in P $. Przekłuta płaszczyzna rzutowa $ P\setminus\{p_0\} $ jest homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Istnieje rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup K $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa, $ K $ -- zbiorem homeomorficznym z dyskiem a $ M\cap K $ ich wpólnym brzegiem, czyli podzbiorem homeomorficznym z okręgiem.
Dowód: Rozpatrzmy odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ i jego obcięcie do przeciwobrazu przekłutej płaszczyzny rzutowej $ q\colon S^2\setminus \{\vv_0, -\vv_0\}\to P''\setminus \{p_0\} $ gdzie $ p_0=[\vv_0] = [-\vv_0] $. Sfera z wykłutymi punktami antypodycznymi jest homeomorficzna z otwartym walcem $ W:=S^1\times (-1,1) $, przy czym punkty antypodyczne na sferze przechodzą na punkty antypodyczne na walcu, skąd otrzymujemy homeomorfizm $ W/\sim\,\, \simeq P''\setminus \{p_0\} $, a jak wiemy (otwarty) walec z utożsamieniem antypodycznych punktów jest homeomorficzny z (otwartą) wstęgą Moebiusa.

Rozkład przestrzeni rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup D $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa , $ D $ -- dyskiem a $ M\cap D $ ich wpólnym brzegiem otrzymujemy rozkładając ''duży'' dysk $ D^2 = \bar B(0,\frac 12) \cup (D^2\setminus  B(0,\frac 12)) $. □

Twierdzenie (#) $ H^1(P) := [P,S^1] = 0 $.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem traktującym o homotopijnych własnościach wstęgi Möbiusa. Domkniętą wstęgę będziemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową domkniętego walca $ S^1\times [-1,1] $ otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych: $ (z,t)\sim (-z,-t) $.

Twierdzenie (#) Rzutowanie wstegi Möbiusa na jej równik $ p\colon M\to S^1 $ zdefiniowane $ p([z,t]) := z^2 $ jest homotopijną równoważnością. Jeśli $ \iota_1\colon  S^1\to M,\, \iota_1(z) :=[z,1] $ (włożenie okręgu na brzeg wstęgi) to złożenie $ S^1\arr {\iota_1} M \arr {p} S^1 $ jest odwzorowaniem stopnia 2. Włożenie $ \iota_1\colon  S^1\to M $ definiuje monomorfizm $ \iota_1^*\colon [M,S^1] \to [S^1,S^1] $, którego obrazem jest podgrupa generowana przez odwzorowanie stopnia 2.
Dowód: Zauważmy najpierw, że punkty $ M_0 :=\{[z,0]\in M\colon z\in S^1\} $ tworzą równik wstęgi, a odwzorowanie $ p|M_0\colon M_0\to S^1 $ jest homeomorfizmem. Oznaczmy odwzorowanie odwrotne $ \iota_0\colon S^1 \to M_0\subset M $. Złożenie $ p\iota_0 = id_{S^1} $. Złożenie $ \iota_0\circ p\colon M\to M $ jest homotopijne z $ id\colon M\to M $ poprzez homotopię $ H([z,t],s) := [z,st] $. Z definicji wynika, że $ (p\circ\iota_1)(z) = p([z,1]) = z^2 $ jest więc odwzorowaniem stopnia 2, a więc złożenie $  \Z\simeq [S^1,S^1]\arr {p^*}  [M,S^1] \arr {\iota_1^*}  [S^1,S^1]\simeq Z $ przeprowadza $ id\colon S^1\to S^1 $ na $ \phi_2\colon S^1\to S^1 $, a więc jest monomorfizmem. Ponieważ $ p $ jest homotopijną równoważnością, $ p^* $ jest izomorfizmem, a stąd wynika, że $ \iota_1^* $ jest różnowartościowe a jego obraz jest generowany przez odwzorowanie stopnia 2. □
Dowód:[Dowód Tw. [link]] Tak jak w przypadku sfery i torusa skorzystamy z Tw. [link], konstruujac logarytm dla dowolnego odwzorowania $ g\colon P\to \C^* $. Skorzystamy z rozkładu przestrzeni rzutowej skonstruowanego w Stw. [link] $ P = M\cup K $ i pokażemy, że $ g $ posiada logarytm na obu skladnikach, a stąd wobec spójności przecięcia $ M\cap K $, na całej płaszczyźnie rzutowej, a więc $ g $ jest ściągalne (p.Wniosek [link]). Ponieważ $ K $ jest zbiorem ściągalnym, więc $ g|K $ posiada logarytm, skad wynika, że $ g|\partial K $ jest odwzorowaniem ściągalnym. Żeby pokazać, że $ g|M $ posiada logarytm, wykażemy że jest ściągalne. Ponieważ brzeg dysku $ \partial K = \partial M $, a więc $ g $ obcięte do brzegu wstęgi Möbiusa jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że $ g|M $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ani ze sferą, ani z torusem.
Dowód: Nie istnienie homeomorfizmu płaszczyzny rzutowej z torusem jest natychmiastowe, bowiem $ H^1(P)=0 $, a $ H^1(T)\neq 0 $. Jesli istniałby homeomorfizm $ h\colon P\to S^2 $, to dawałby homeomorfizm przekłutych przestrzeni. To jest jednak niemozliwe, bo przekłuta sfera jest ściagalna, a przekłuta płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a więc ściągalna nie jest. □

Butelka Kleina

Butelkę Kleina Felix Christian Klein (Duesseldorf 1849 - 1925 Göttingen ) zazwyczaj definiuje się jako przestrzeń powstała z następujących utożsamień na bokach kwadratu $ J^2=[-1,1]\times [-1,1] $: $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $. Kolejne etapy utożsamiania boków są pokazane w serii ilustracji w Wikipedia. Podobnie jak sfera, torus i płaszczyzna rzutowa butelka Kleina posiada także inne użyteczne modele.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z butelką Kleina.

  1. $ B' $ - przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiamy punkty $ (z,1)\sim (\bar z, -1) $;
  2. $ B'' $ - przestrzeń ilorazowa torusa $ S^1\times S^1 $ w którym utożsamiamy punkty $ (z_1,z_2)\sim (\bar z_1,-z_2) $, gdzie $ \bar z $ oznacza sprzężenie zespolone;
  3. $ B''' $ - przestrzeń ilorazowa sumy prostej dwóch domkniętych wstęg Moebiusa $ M_1\sqcup M_2 $ w której utożsamiamy punty $ ([z,1],1)\sim ([z,1],2) $ -- czyli dwie wstęgi Möbiusa sklejone wzdłuż brzegów.

Butelka Kleina jest przestrzenią zwarta, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: W celu sprawdzenia zwartości, wystarczy zauważyć, że butelka Kleina jest przestrzenią Hausdorffa. Odwzorowanie ilorazowe $ q\colon T\to B'' $ jest homeomorfizmem na górnych i dolnych ''ćwiartkach'' torusa, które są homeomorficzne z $ \R^2 $. Czytelnik, który dobrnął do tego miejsca bez trudu wyobrazi sobie i zapisze powyższe homeomorfizmy ;). □
Uwaga Podobnie jak poprzednio rozważane powierzchnie, butelka Kleina jest topologicznie jednorodna tzn. dla każdej pary punktów istnieje homeomorfizm przeprowadzający jeden na drugi. Przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów.
Uwaga Zanurzenie butelki Kleina w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Zad. 5.8. oraz Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość.. Poniższa, atrakcyjna wizualizacje obrazu przekształcenia butelki Kleina w $ \R^3 $ pochodzi w Wikipedii:

Twierdzenie Przekształcenie okręgu na wspólny brzeg wstęg Möbiusa $ \iota\colon S^1\to B''' $,

$$\iota (z) := [[z,1],1] = [[-z,-1],1]=  [[z,1],2] =  [[-z,-1],2]$$

(dwukrotne nawinięcie) definiuje monomorfizm $ \iota^*\colon H^1(B''')\to H^1(S^1) $, którego obrazem jest podgrupa cykliczna generowana przez klasę homotopii odwzorowanie stopnia 2, a więc $ H^1(B)\simeq \Z $.

Dowód: Oznaczmy $ E := \iota (S^1) = M_1\cap M_2 $ i nazwijmy ten zbiór, homeomorficzny z okręgiem, równikiem butelki Kleina. Niech $ g\colon B\to S^1 $ będzie odwzorowaniem, które po obcięciu do równika jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że jest ono ściągalne na obu wstęgach Möbiusa, a więc na obu można określić jego logarytm. Ponieważ przecięcie tych wstęg jest spójne, wieć na mocy Wniosku [link] istnieje logarytm $ g $ określony na całej butelce, a więc $ g $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Butelka Kleina nie jest homeomorficzna (a nawet homotopijnie równoważna) ze sferą, torusem, ani płaszczyzną rzutową.
Dowód: Grupy kohomologii wymienionych przestrzeni nie są izomorficzne, a więc nie są one homotopijnie równoważne. □

Zadania

Zadanie (#) [Płaszczyzna rzutowa ]

  1. Wykazać, że ''przekłuta'' płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a nawet homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Wskazówka. W modelu 1) lub 2) wyciąć po środku małe domknięte kółko i metodą rozcinania i sklejania pokazać homeomrofizm ze wstęgą Möbiusa. W modelu 3) wyciąć w sferze $ S^2 $ małe otoczenie bieguna północnego i południowego.

  2. Znaleźć rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę podzbiorów   $ \RP2 = M_1\cup M_2 $ takich, że $ M_1 $ jest homeomorficzny z kołem domkniętym $ \bar B(0,1) $, $ M_2 $ z domkniętą wstęgą Möbiusa a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie [Torus]

  1. Wykazać, że przekłuty torus jest homotopijnie równoważny z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozkład torusa $ T = M_1\cup M_2 $ na sume dwóch domkniętych podprzestrzeni takich, że $ M_1 $ jest homotopijnie równoważne z bukietem $ S^1\vee S^1 $, $ M_2 $ jest homeomorficzne z domkniętym kołem $ \bar B(0,1) $ a $ M_1\cap M_2 $ jest homeomorficzne z okręgiem .
Zadanie [Butelka Kleina] Butelkę Kleina definiujemy jako przestrzeń ilorazową $ B:=[-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $.

  1. Zauważyć, że: $ B $ jest przestrzenią zwartą i spójną i dowolny jej punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $. Zauważyć, że przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozklad butelki Kleina na sumę podzbiorów $ B=M_1\cup M_2 $ z których każdy jest homeomorficzny z domkniętą wstęgą Möbiusa, a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie Przedstawmy wstęgę Möbiusa jako przestrzeń ilorazową walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiono punkty antypodyczne $ (z,t)\sim (-z,-t) $. Zauważ, że rzutowanie na równik wstęgi $ p\colon M\to S^1 $ jest dane wzorem $ p([z,t]) = z^2 $ i udowodnij, że jest homotopijną równoważnością.
Zadanie Wykaż, że płaszczyzna rzutowa $ \RP(2) := S^2/ \{x\sim -x\} $ po usunięciu punktu jest homeomorficzna ze wstegą Möbiusa, a zatem homotopijnie równoważna z okręgiem. Wywnioskuj stąd, że płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ze sferą.
Zadanie Wykazać, że (otwarta) wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times (-1,1) $. Wskazówka. Jednopunktowe uzwarcenia tych przestrzeni, czyli $ \RP2 $ i $ S^1\times [-1,1]/A $ gdzie \newline $ A:=S^1\times\{0\}\cup S^1\times\{1\} $ nie są homeomorficzne.
Zadanie Wykazać, że domknięta wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times [-1,1] $. Wskazówka. Wskazać punkty wstęgi Möbiusa i walca, po których usunięciu są one nadal homotopijnie równoważne z okręgiem i takie, których usunięcie zmienia typ homotopii.
Zadanie Wykazać, że przekłuty torus i przekłuta butelka Kleina są homotopijnie równoważne (z $ S^1\vee S^1 $), ale nie są homeomorficzne. Wywnioskować stąd, że butelka Kleina nie jest homeomorficzna z żadną z następującycy przestrzeni: sferą, torusem, płaszczyną rzutową. Wskazówka. Porównać grupy kohomologii.