CIĄGŁOŚĆ i TOPOLOGIA

Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego wykładu Analizy Matematycznej dotyczy jednynie liczb rzeczywistych i wykorzystuje dwie struktury, w które wyposażone są liczby rzeczywiste: dodawanie i porządek. Definicja topologii w zbiorze motywowana jest pytaniem, jaka możliwie najsłabsza struktura jest potrzebna, aby mówić o ciągłości w taki sposób, by w znanych przypadkach pokrywało się ono z faktami z analizy matematycznej oraz z intuicją geometryczną związaną z potocznym rozumieniem tego pojęcia.

Topologie i przestrzenie topologiczne

Definicja topologii w dowolnym zbiorze jest motywowana własnościami podzbiorów prostej rzeczywistej będących sumami mnogościowymi odcinków otwartych, czyli takich podzbiorów $ U\subset\R $, że dla każdego punktu $ {x\in U} $ istnieją liczby $ {s<x<t} $ takie, że $ (s,t)\subset U. $ Istotnie, ciągłość funkcji rzeczywistej, zdefiniowana przez Cauchy (Paris 1789 - Sceaux (near Paris) 1857)

Definicja Niech $ f\colon\R\to\R $ będzie będzie funkcją rzeczywistą. Mówimy, że $ f $ jest ciągła jeśli dla każdego punktu $ x_0\in\R $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ \delta >0 $ taka, że zachodzi implikacja: $  |x_0 - x| < \delta\quad \implies\quad  |f(x_0) - f(x)| < \epsilon. $

może być określona odwołując się jedynie do odcinków otwartych:

Stwierdzenie Funkcja $ f\colon\R\to\R $ jest ciagła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego odcinka otwartego $ (c,d)\subset\R $ i dowolnego punktu $ x\in f^{-1}((c,d)) $ istnieje odcinek owarty $ (a,b)\ni x $ taki, że $ (a,b)\subset f^{-1}((c,d)) $, czyli przeciwobraz $ f^{-1}((c,d)) $ jest sumą mnogościową odcinków otwartych. □

Łatwo zauważyć, że przecięcie skończonej rodziny sum odcinków otwartych jest sumą odcinków otwartych. Mamy zatem następującą definicję topologii w dowolnym zbiorze:

Definicja (#) Niech $ X $ będzie zbiorem. Topologią w zbiorze $ X $ nazywamy rodzinę podzbiorów $ \sT\subset \sP (X) $ taką, że:

  1. $ \emptyset, X \in \cal T $
  2. Dla dowolnej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in \cal T $ suma mnogościowa $ \bigcup_{i\in I}U_i\in\cal T $
  3. Dla dowolnej skończonej rodziny zbiorów $ \{U_i\}_{i\in I} $ takich, że $ U_i\in\cal T $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}U_i\in\cal T $

Przestrzenią topologiczną nazywamy parę $ (X,\sT) $, gdzie $ X $ jest zbiorem, a $ {\sT} $ ustaloną topologią. Zbiory należące do $ \sT $ nazywa się otwartymi w przestrzeni topologicznej $ (X,{\sT}) $.

     Zauważmy kilka własności topologii jako podzbiorów zbioru potęgowego $ \sP(X) $, czyli zbioru wszystkich podzbiorów zbioru $ X $, oznaczanego też czasem $ 2^X $:

  • Zbiór topologii w $ X $ jest częściowo uporządkowany przez inkluzję rodzin.
  • W dowolnym zbiorze $ X $ definiuje się dwie topologie: minimalną (antydyskretną) $ {\cal T}_{\alpha\delta} = \{\emptyset , X\} $ oraz maksymalną (dyskretną) $ {\cal T}_{\delta} = {\cal P}(X). $ Dla dowolnego zbioru $ X $ przestrzeń $ (X,\sT_{\alpha\delta}) $ nazywamy przestrzenią antydyskretną, a przestrzeń $ (X,\sT_{\delta}) $ nazywamy przestrzenią dyskretną.
  • Dla dowolnej topologii $ \cal T $ w $ X:\quad {\cal T}_{\alpha\delta} \subset {\cal T} \subset {\cal T}_{\delta} $.
Stwierdzenie Jeśli $ \{{\cal T}_s\}_{s\in S} $ jest rodziną topologii w zbiorze $ X $, to ich przecięcie $ \bigcap\limits_{s\in S}  {\cal T}_s $ też jest topologią.

Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy

Definicja Niech $ (X,{\cal T}_X) $ oraz $ (Y,{\cal T}_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie zbiorów $ f:X\to Y $ nazywa się ciągłym jeśli dla każdego zbioru $ V\in{\cal T}_Y $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T}_X $ .

Powyższa definicja jest równoważna następującemu warunkowi, nawiązującemu do definicji ciągłości wg. Cauchy:

Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (X,\sT_X)\to  (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru $ V\in\sT_Y  $ takiego, że $  f(x)\in V $ istnieje zbiór $ U\in \sT_X $ taki, że $ x\in U $ oraz $ f(U)\subset V. $

Zauważmy, że każde przekształcenie określone na przestrzeni dyskretnej o wartościach w dowolnej przestrzeni topologicznej oraz każde przekształcenie określone na dowolnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni antydyskretnej jest ciągłe.

Stwierdzenie Jeśli odwzorowania $ (X,\sT_X)\arr f  (Y,\sT_Y) \arr g (Z,\sT_Z) $ są ciągłe, to ich złożenie $ (X,\sT_X)\arr {g\circ f} (Z,\sT_Z) $ też jest ciągłe. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT_X) $ odwzorowanie identycznościoweid_X\colon $ (X,\sT_X) \to{id_X} (X,\sT_X) $} jest ciągłe.
Definicja Przekształcenie ciągłe $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ nazywa się homeomorfizmem jeśli istnieje przekształcenie ciągłe $ g: (Y,{\cal T}_Y)\to (X,{\cal T}_X)  $ takie, że $ f\circ g = Id_Y $ oraz $ g\circ f = Id_X $.

     Odnotujmy kilka własności homeomorifzmów:

  • Homeomorfizm $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest bijekcją zbiorów $ X\arr f Y $, ale nie każda ciągła bijekcja jest homeomorfizmem; np. jeśli zbiór $ X $ ma co najmniej dwa punkty, to identyczność $ Id:(X,\sT_\delta)\to (X,\sT_{a\delta}) $ jest ciągła, ale nie jest homeomorfizmem!
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym, bowiem jeśli $ g $ jest ciagłym przekształceniem odwrotnym, to $ f(U) = g^{-1}(U) $ a ten zbiór na mocy ciągłości $ g $ jest otwarty.
  • Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, to dla dowolnego zbioru $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem; uzasadnienie jak wyżej.

Zbiory domknięte

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się domknięty (w topologii $ \sT $) jeśli $ X\setminus A\in\sT $. Rodzinę podzbiorów domkniętych oznaczamy $ \sF_{\sT} $.

Zauważmy, że odwzorowanie $ -^c : {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ przypisujące każdemu zbiorowi jego dopełnienie ustala bijekcję między rodziną zbiorów otwartych $ \sT $ i rodziną zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $.

Ze wzorów De Morgana (Madurai, Tamil Nadu, India 1806 - 1871 London, UK) wynikają następujące własności rodziny zbiorów domkniętych $ \sF_\sT $, dwoiste do własności rodziny zbiorów otwartych $ \sT $, wymienionych w Definicji [link] :

  1. $ X,\, \emptyset\in\sF_\sT $,
  2. Dla dowolnej skończonej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ suma mnogościowa   $ \bigcup_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $,
  3. Dla dowolnej rodziny $ \{A_i\}_{i\in I}\subset\sF_\sT $ ich część wspólna $ \bigcap_{i\in I}A_i\in\sF_\sT $ .

Odnotujmy fakty dotyczące ciągłości odwzorowań w terminach zbiorów domkniętych, analogiczne do sformułowanych poprzednio dla zbiorów otwartych.

  1. Przeształcenie $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy przeciwobraz $ f^{-1}(B) $ dowolnego podzbioru domknietego $ B\subset Y $ jest domknięty w $ X $.
  2. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem, to obraz dowolnego zbioru domkniętego jest zbiorem domkniętym.
  3. Jeśli $ (X,\sT_X)\arr f (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą bijekcją taką, że dla dowolnego zbioru domkniętego $ A\subset X $ jego obraz $ f(A)\subset Y $ jest zbiorem domkniętym to $ f $ jest homeomorfizmem.

Własność Hausdorffa

Definicja [Własność Hausdorffa (Breslau (Wrocław) 1868 - 1942 Bonn ).] Przestrzeń topologiczną $ (X,{\cal T}) $ nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów $ x_0,x_1\in X $ istnieją zbiory $ U_0,U_1\in\sT $ takie, że $ x_0\in U_0,\,\, x_1\in U_1 $ oraz $ U_0\cap U_1 = \emptyset $.

Przykład Niech $ X $ będzie zbiorem nieskończonym. Zdefiniujmy w $ X $ tzw. "finite complement topology" jako rodzinę składającą się ze zbiorów, których dopełnienia są zbiorami skończonymi oraz całego zbioru pustego. W tej topologii dowolne dwa niepuste zbiory otwarte mają niepuste przecięcie (na rysunku na płaszczyźnie zaznaczono dwa zbiory - jeden po usunięciu punktów $ x_i $, drugi $ y_j $):

Stwierdzenie Jeśli $ (X,\sT_X)\arr h (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem i $ (X,\sT_X) $ jest przestrzenią Haudorffa, to $ (Y,\sT_Y) $ też jest przestrzenią Hausdorffa.

Topologie pochodzące od metryki

Definicja [Metryka] Metryką w zbiorze X nazywa się funkcję $ d\colon X \times X \to \R $ spełniającą następujące warunki:

  1. $ d(x, y) = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ x = y $,
  2. $ d(x, y) = d(y, x) $, dla $ x, y \in  $X,
  3. $ d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y), $ dla $ x, y, z \in X. $ (nier. trójkąta)

Liczba $ d(x,y) $ nazywa się odległością punktów $ x, y \in X $ w metryce $ d $. Parę $ (X, d) $ nazywamy przestrzenią metryczną.

Uwaga Jeśli $ A\subset X $ jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d_X) $, to obcięcie odwzorowania $ d $ do zbioru $ A\times A $ zadaje metrykę na $ A $ - odpowiednią przestrzeń metryczną oznaczamy $ (A,d_X|A) $.
Definicja Kulą (otwartą) w przestrzeni metrycznej $ (X, d) $ o środku w punkcie $ x_0\in X $ i promieniu $ r > 0 $ nazywamy zbiór

$$B(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) < r\},$$

a kulą domkniętą zbiór $ D(x_0, r) := \{x \in X\, |\, d(x_0, x) \leq r\} $

Stwierdzenie Niech $ (X, d) $ będzie przestrzenią metryczną. Rodzina podzbiorów zbioru $ X $:

$$\sT (d) := \{U\subset X\,|\, \forall_{x\in U}\exists_{r>0}\,  B(x,r)\subset U\}$$

czyli składająca się z sum kul otwartych, jest topologią w $ X, $ spełniajacą warunek Hausdorffa.

Dowód: Spełnienie przez zdefinowaną wyżej rodzinę warunków (1), (2) w definicji topologii [link] jest oczywiste. Jeśli $ U_1,.., U_k\in\sT(d) $ oraz $ x\in  U_1\cap...\cap U_k $ i dla każdego $ i=1,..,k $ istnieje liczba $ r_i>0 $ taka, że $ B(x,r_i)\subset U_i $, to dla $ r := \min \{r_1,..,r_k\} $ zachodzi inkluzja $ B(x,r)\subset U_1\cap...\cap U_k. $

Zauważmy, że dowolna kula otwarta $ B(x,r)\in\sT(d) $, bowiem dla dowolnego punktu $ y\in B(x,r) $ z nierówności trójkata wynika, że dla $ s := r - d(x,y) $ zachodzi inkluzja $ B(y,s)\subset B(x,r). $

Podobnie warunek Hausdorffa wynika natychmiast z warunku (1) i z nierówności trójkąta. Jeśli $ x_1,x_2\in X $ są różnymi punktami i $ d := d(x_1,x_2)>0 $ to kule $ B(x_1,\frac{d}{2}) $ i $ B(x_2,\frac{d}{2}) $ są rozłącznymi otoczeniami otwartymi tych punktów. □

Nie każda topologia pochodzi od metryki, choćby dlatego, ze nie każda ma własność Hausdorffa. Z drugiej strony dwie różne metryki mogą wyznaczać tę samą topologię. Np. dla dowolnej metryki $ d $ jej ''obcięcie'' z góry przez dowolną liczbę $ >0 $ np. 1, czyli $ d'(x,y) := \min\{d(x,y),1\} $ wyznacza tę samą topologię co $ d $ bowiem kule o promieniu $ <1 $ są w obu metrykach identyczne. Stąd następna definicja:

Definicja [Metryki równoważne i topologia metryzowalna] Metryki $ d_1, d_2 $ w zbiorze $ X $ nazywają się równoważne jeśli $ \sT (d_1) = \sT(d_2). $ Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią topologiczną taką, że istnieje metryka $ d $ na $ X $ taka, że $ \sT = \sT(d) $ to mówimy, że przestrzeń $ (X,\sT) $ jest metryzowalna.
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest metryzowalna, a przestrzeń $ (Y,\sT_Y) $ jest z nią homeomorficzna, to jest także metryzowalna.
Dowód: Jeśli $ g:(Y,\sT_Y) \to (X,\sT_X) $ jest homeomorfizmem, a $ d_X:X\times X\to\R $ metryką taką, że $ \sT_X=\sT(d_X) $ to definiujemy metrykę ''przenosząc'' ją przez odwzorowanie $ g $ : $ d_Y:Y\times Y\to\R $ wzorem $ d_Y(y_1,y_2) := d_X(g(y_1),g(y_2)). $
Stwierdzenie Odwzorowanie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ {x_0\in X} $ i dla każdej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ {\delta >0} $ taka, że $ f(B(x_0,\delta))\subset B(f(x_0),\epsilon). $
Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\} $ przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbieżny do punktu $ x_0\in X $ wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby $ \epsilon >0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla wszystkich $ n>n(\epsilon),\, x_n\in B(x_0,\epsilon) $ tzn. $ d(x_n,x_0)<\epsilon . $
Stwierdzenie $ (X,\sT(d_X))\arr f (Y,\sT(d_Y)) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje granice ciągów, tzn.

$$ x_0 = \lim \{x_n\} \implies  f(x_0) = \lim \{f(x_n)\}.$$
Dowód: Powtórz dowód równoważności definicji ciagłości wg Heinego i Cauchy znany z Analizy Matematycznej I.□

Zadania

Zadanie (#) W zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów $ {\cal T}_i $:

  • $ {\cal T}_1=\sP (\R) $ -- topologia dyskretna
  • $ {\cal T}_2=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t>s}[s,t)\subset U\} $ -- topologia prawej strzałki
  • $ {\cal T}_3=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{t<s}(t,s]\subset U\} $ -- topologia lewej strzałki
  • $ {\cal T}_4=\{U\subset \R\colon  \forall_{s\in U}\exists_{r<s<t}(r,t)\subset U\} $ -- topologia euklidesowa
  • $ {\cal T}_5=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(-\infty,x)\colon x\in \R\} $ - topologia lewych przedziałów
  • $ {\cal T}_6=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{(x,+\infty)\colon x\in \R\} $ - topologia prawych przedziałów
  • $ {\cal T}_7=\{\emptyset\}\cup\{\R\}\cup\{U\subset \R\colon  \R\setminus U \; \hbox{jest zbiorem skończonym}\} $ -- topologia Zariskiego
  • $ {\cal T}_8=\{\emptyset\}\cup\{\R\} $ -- topologia antydyskretna
  1. Sprawdź, że rodziny $ {\cal T}_i $ są topologiami.
  2. Porównaj topologie $ {\cal T}_i $, rysując diagram inkluzji tych topologii i zbadaj ich przecięcia.
  3. Które z topologii $ (\R ,\sT_i), $ mają własność Hausdorffa?
  4. Wskaż pary $ (\R ,\sT_i),\, (\R ,\sT_j) $, które są lub nie są homeomorficzne. Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
Zadanie Jeśli odwzorowanie ciągłe przestrzeni topologicznych $ f: (X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest bijekcją oraz dla dowolnego zbioru otwartego $ U\in\sT_X $ jego obraz $ f(U)\in\sT_Y $, to $ f $ jest homeomorfizmem.
Zadanie Zdefiniujmy funkcje $ f,g,h\colon \R\longrightarrow \R $ wzorami:

$$f(x)=x^2 , \quad g(x)=\begin{cases}x^2 \quad\text{jeżeli $x\ge0$} \\ 0,\quad\text{jeżeli $x<0$}\end{cases}, \quad h(x)=\begin{cases}1 \quad\text{jeżeli $x\in [0,1)$}\\ 0\quad\text{jeżeli $x\notin [0,1)$}\end{cases}$$

Zbadać ciągłość funkcji jako przekształceń $ (\R,{\cal T}_i)\longrightarrow (\R,{\cal T}_j) $. Wyniki badań wpisać w tabelki.

Zadanie Rozpatrzmy w zbiorach liczb rzeczywistych $ \R $ i zespolonych $ \C $ topologię Zariskiego tzn. taką w której otwarte są jedynie dopełnienia zbiorów skończonych i cała prosta (odp. płaszczyzna zespolona). Sprawdzić, że odwzorowania wielomianowe $ w:\R\to\R $ oraz $ w:\C\to\C $ są ciągłe w topologii Zariskiego. Czy dowolne odwzorowanie $ \R\to\R $, ciągłe w topologii euklidesowej jest ciągłe w topologii Zariskiego?
Zadanie Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa a $ \sT'\subset \sP(X) $ inną topologią w zbiorze $ X $ taką, że $ \sT\subset\sT' $, to przestrzeń $ (X,\sT') $ jest także przestrzenią Hausdorffa.
Zadanie Wykaż, że jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolny zbiór jednopunktowy jest domknięty. Czy zachodzi odwrotna implikacja?
Zadanie Jeśli $ f,g:X\to Y $ są przekształceniami ciągłymi o wartościach w przestrzeni Hausdorffa, to zbiór $ Eq (f,g):=\{x\in X\, |\, f(x)=g(x)\} $ jest domknięty.
Zadanie Przekonaj się, że metryki $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisane w BCPP Przykład 1.1.2 oraz 1.1.6 (A) są równoważne.
Zadanie Wykaż, że dowolne dwie kule w metrykach $ d_e,\, d_s,\, d_m\colon \R^n\times\R^n\to \R $ opisanych w BCPP są homeomorficzne (wypisz wzory dla $ n=2 $). Podać przykład przestrzeni metrycznej i dwóch kul w niej, które nie są homeomorficzne.
Zadanie Czy dowolna metryka, która wyznacza w nieskończonym zbiorze $ X $ topologię dyskretną jest ograniczona z dołu?
Zadanie Wykaż, że kula domknięta w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ jest zbiorem domkniętym w topologii $ \sT(d) $.
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.1 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.2 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.6 z BCPP
Zadanie Rozwiąż Zadanie 1.7 z BCPP. Porównaj topologie z Zad 1.6 i 1.7.