WNĘTRZE i DOMKNIĘCIE ZBIORU

Nie każdy podzbiór przestrzeni topologicznej jest otwarty lub domknięty. Dla danego podzbioru przestrzeni można jednak wskazać zarówno jego punkty wewnętrzne, jak też punkty leżące blisko tego zbioru, choć niekoniecznie do niego należące. Ta geometryczna intuicja jest sformalizowana w postaci definicj operacji wnętrza i domknięcia zbioru. Poniżej niech $ (X,\sT) $ będzie ustaloną przestrzenią topologiczną.

Wnętrze zbioru

Definicja Wnętrzem zbioru $ A\subset X $ nazywamy maksymalny (ze względu na inkluzję) otwarty podzbiór w $ A $, a więc sumę wszystkich podzbiorów otwartych zawartych w $ A $:

$$\Int_{(X,\sT)}(A) := \bigcup\{U\, |\,U\subset A,\, U\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \Int_{(X,\sT)}(A) $ podkreśla, że rozpatrujemy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ (X,\sT) $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej położony jest zbiór $ A $ stosowane są skrócone oznaczenia $ \Int_X (A),\, \Int (A) $ lub $ \overset{\;\circ} A $.
Stwierdzenie Operacja brania wnętrza wyznacza odwzorowanie zbiorów potegowych $ \Int\colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \Int (A)\subset A $,
  2. $ U\in\sT\,\iff\,\Int (U) = U, $
  3. $ \Int(\Int (A)) = \Int (A) $,
  4. $ \Int (A)\cap \Int (B) =  \Int (A\cap B). $

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy w punkcie $ a $ istnieje zbiór $ U $ z tej bazy taki, że $ U\subset A $.
Definicja (#) Podbiór $ A\subset X $ nazywa się brzegowy jeśli ma puste wnętrze tzn. $ \Int (A)=\emptyset $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest brzegowy wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera żadnego odcinka.

Domknięcie zbioru

Definicja Domknięciem zbioru $ A\subset X $ nazywamy minimalny (ze względu na inkluzję) domknięty podzbiór zawierający $ A $, a więc przecięcie wszystkich podzbiorów domkniętych zawierających $ A $:

$$\cl_{(X,\sT)} (A) := \bigcap\{C\, |\,C\supset A,\, X\setminus C\in\sT\}$$
Uwaga Oznaczenie $ \cl_{(X,\sT)} (A) $ podkreśla, że domykamy $ A $ jako podzbiór przestrzeni $ X $. Jeśli jest jasne z kontekstu w jakiej przestrzeni topologicznej domykamy nasz zbiór, stosowane jest skrócone oznaczenie $ \cl_X (A), \cl (A) $ lub $ \bar A $.
Stwierdzenie Operacja domknięcie wyznacza odwzorowanie zbiorów potęgowych $ \cl \colon {\cal P}(X)\to {\cal P}(X) $ spełniające następujące warunki:

  1. $ \forall A\subset X,\, \cl (A)\supset A $,
  2. $ \cl (A) = A\,\iff\, X\setminus A\in\sT, $
  3. $ \cl(\cl (A)) = \cl (A) $,
  4. $ \cl (A)\cup \cl (B) =  \cl (A\cup B). $
Stwierdzenie $ x\in \bar A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru otwartego $ U\ni x $ (równoważnie dowolnego zbioru z pewnej bazy w punkcie $ x\in X $) przecięcie ze zbiorem $ A $ jest niepuste: $ U\cap A\neq \emptyset $
Dowód: Niech $ \sB_x $ będzie ustaloną bazą w punkcie $ x $. Rozpatrzmy zbiór

$$C:=\{x\in X\, |\, \forall_{U\in\sB_x}\, U\cap A \neq\emptyset\}.$$

Z definicji wynika, że $ A\subset C $ oraz $ X\setminus C $ jest zbiorem otwartym, a więc $ C $ jest zbiorem domkniętym, a więc $ \bar A\subset C $. Zauważmy, że także $ C\subset \bar A $. Istotnie, jeśli $ x\notin\bar A $ to znaczy, że istnieje podzbiór domknięty $ B\supset A $ taki, że $ x\notin B $, a więc zbiór otwarty $ X\setminus B $ zawiera $ x $ i nie przecina się z $ A $. □

Definicja Podzbiór $ A\subset X $ nazywa się gęsty jeśli jego domknięcie jest całą przestrzenią tzn. $ \cl (A) = X $.
Przykład Podzbiór prostej euklidesowej jest gęsty wtedy i tylko wtedy gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym odcinkiem.
Stwierdzenie (#) Jeśli $ p\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest ciągłą surjekcją oraz $ A\subset X $ jest podzbiorem gęstym, to jego obraz $ f(A)\subset Y $ też jest podzbiorem gęstym. □
Uwaga Obraz ciągły zbioru brzegowego nie musi być zbiorem brzegowym!
Definicja Brzegiem zbioru $ A\subset X $ nazywamy zbiór

$$ \op{Fr} (A) := \cl (A)\cap\cl (X\setminus A).$$
Stwierdzenie Zachodzą następujące równości zbiorów:

  1. $ \Int (A) = A\setminus \op{Fr}(A). $
  2. $  \op{Fr}(A)\cap\Int (A) = \emptyset $
  3. $ \cl (A) = \Int (A)\cup \op{Fr}(A) $
  4. $ X = \Int (A)\cup \op{Fr}(A)\cup \Int (X\setminus A) $ i te zbiory są parami rozłączne.
Uwaga Zbiór jest brzegowy [link] wtedy i tylko wtedy, gdy $ \cl(A)=\op{Fr}(A). $

Ośrodkowość

Definicja Przestrzeń $ (X,{\cal T}) $ nazywa się ośrodkowa jeśli posiada gęsty podzbiór przeliczalny.
Przykład Prosta euklidesowa jest przestrzenią ośrodkową. Liczby wymierne są zbiorem przeliczalnym, gęstym.
Stwierdzenie Niech $ (X,{\cal T}) $ będzie przestrzenią topologiczną.

  1. Podzbiór $ A\subset X $ jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy ma niepuste przecięcie z dowolnym niepustym zbiorem otwartym (równoważnie: zbiorem z pewnej bazy).
  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. ma bazę przeliczalną), to jest ośrodkowa.
  3. Jeśli metryzowalna przestrzeń topologiczna $ (X,\sT) $ jest ośrodkowa, to spełnia II aksjomat przeliczalności.
Dowód:

     Ad 1. Wynika natychmiast ze Stw. 4.4

    Ad 2. Wybierając z każdego zbioru bazy przeliczalnej po jednym punkcie otrzymujemy zbiór przeliczalny mający niepuste przecięcie z każdym zbiorem otwartym (bo każdy zbiór otwarty jest sumą zbiorów z bazy.)

    Ad 3. Niech dla pewnej metryki $ d $ w $ X $, $ \sT = \sT(d). $ Jeśli $ G\subset X $ jest zbiorem przeliczalnym gęstym, to pokażemy, że przeliczalna rodzina zbiorów $ \sB := \{B(y,\frac{1}{n})\, |\, y\in G,\, n\in\N\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $. W tym celu wystarczy pokazać, że dla dowolnej kuli $ B(x_0,r) $ i punktu $ x\in B(x_0,r) $ istnieje punkt $ y_i\in G $ oraz $ \epsilon>0 $ takie, że $ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $. Ponieważ $ G $ jest gęsty a więc w $ G $ istnieje ciąg punktów $ \{y_n\}_{n=1}^\infty $ zbieżny do $ y $. Dobierzemy teraz punkt $ y_i $ z tego ciagu i promień $ \epsilon $ dla których$ x\in B(y_i,\epsilon)\subset B(x_0,r) $ w następujący sposób: niech $ y_i\in G $ będzie punktem takim, że $ d(y_i,x)\leq \frac13 (r-d(x,x_0)) $ natomiast $ \epsilon := \frac12 (r-d(x,x_0)) $. Wykorzystując warunek trójkąta sprawdzamy, że zachodzą wymagane inkluzje. [Wykonaj rysunek]

    

Zauważmy, że obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej jest przestrzenią ośrodkową. Wynika to natychmiast ze Stw. [link].

Uwaga Założenie o metryzowalności przestrzeni topologicznej w ostatniej implikacji jest istotne, wystarczy rozpatrzeć prostą z topologią strzałki, która jest ośrodkowa, lecz nie spełnia II aksjomatu przeliczalności.

Wnętrze i domknięcie w terminach metryki

Niech $ (X,d) $ będzie przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $. Opiszemy operacje wnętrza i domknięcie zbioru $ A $ w topologii $ \sT(d) $ w terminach metryki $ d $ .

Stwierdzenie Punkt $ a\in\Int (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba $ {r>0} $ taka, że $ B(a,r)\subset A. $
Stwierdzenie Punkt $ x\in\cl (A) $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciag elementów $ a_n\in A $ zbieżny do punktu $ x $.
Dowód: Jeśli $ x\in \bar A $, to dla dowolnej kuli $ B(x,\frac{1}{n}) $ istnieje punkt $ a_n\in B(x,\frac{1}{n})\cap A $. Ciąg $ \{a_n\} $ jest więc zbieżny do $ x $.

Odwrotnie, jeśli ciąg $ a_n\to x $, to w dowolnym otoczeniu punktu $ x $ leżą punkty ze zbioru $ A $, a więc $ x\in\bar A $. □

Domknięcie zbioru może być opisane w terminach intuicyjnej funkcji odstępu punktu od zbioru.

Stwierdzenie Funkcja odstępu punktu $ a\in X $ od podzbioru $ A \subset X $, $ d(\cdot ,A):X\to \R $ określona wzorem $ d(x ,A) := \inf \{d(x.a)\, |\, a\in A\} $ jest ciągła oraz:

$$d(x,A) = 0\quad\iff\quad x\in \cl (A).$$
Dowód: Sprawdzimy, że $ d(\cdot ,A) $ jest ciągła. Dla każdego punktu $ a\in A $ z nierówności trójkąta mamy oszacowanie: $ d(x,a)  \leq d(x,y) - d(y,a) $ oraz $ d(y,a)  \leq d(x,y) - d(x,a)| $, a więc $ |d(x,A) - d(y,A)|  \leq d(x,y). $ Z definicji ciągłości wg Heine natychmiast wynika ciągłość $ d(\cdot ,A) $. Odstęp $ d(x,A)=0 $ wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg $ {\{a_n\}\subset A} $ zbieżny do $ x $, a więc $ x\in\cl (A) $. □

Zadania

Zadanie [Wnętrza i domknięcia na płaszczyźnie] Wybrane przykłady zbiorów np. BCPP Zad. 1.16
Zadanie [Przestrzenie z jednym punktem skupienia] BCPP Zad. 1.33.
Zadanie [Wnętrze, domknięcie, ciągłość] Udowodnij, że dla przekształcenia przestrzeni topologicznych $ (X,\sT_X)\arr{f}(Y,\sT_Y) $ następujące warunki są równoważne:

  1. $ f $ jest ciągłe
  2. $ \forall_{B\subset Y}\,\cl ({f^{-1}(B)})\subset f^{-1}(\cl (B)) $.
  3. $ \forall_{B\subset Y}\, f^{-1}(\Int (B)) \subset \Int f^{-1}(B) $.
  4. $ \forall_{A\subset X}\, f(\cl (A)) \subset \cl (f(A)) $.
Zadanie Jeśli przestrzeń topologiczna zawiera nieprzeliczalny podzbiór dyskretny, to nie spełnia II aksjomatu przeliczalności.