GENEROWANIE TOPOLOGII i BAZA

Nie każda rodzina podzbiorów ustalonego zbioru jest topologią, bowiem w ogólności nie musi spełniać żadnego z warunków definicji topologii. W tym rozdziale dla ustalonej rodziny podzbiorów opisujemy procedurę znajdywania najmniejszej zawierającej ją rodziny spełniającej aksjomaty topologii. Taką topologię nazywamy topologią generowaną przez rodzinę podzbiorów. Dla ustalonej topologii można poszukiwać najmniejszej rodziny generującej tę topologię. Szczególną rolę odgrywają bazy topologii - czyli takie rodziny podzbiorów danej topologii, że dowolny zbiór należący do tej topologii jest sumą zbiorów z bazy.

Generowanie topologii

Niech $ X $ będzie dowolnym zbiorem a $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ dowolną rodziną jego podzbiorów.

Definicja Topologią generowaną przez rodzinę $ \rodz{U}\subset\sP (X) $ nazywamy najmniejszą topologię w $ X $ zawierającą $ \rodz{U} $ - czyli przecięcie wszystkich topologii zawierających rodzinę $ \rodz{U} $. Oznaczamy ją $ \topind(\rodz{U}) $.

     Konstrukcja topologii $ \topind(\rodz{U}) $:

  1. dołączamy do $ \rodz{U} $ przecięcia skończenie wielu elementów rodziny $ \rodz{U} $ definiując rodzinę:
    $$\rodz{U}^\cap := \{U_1\cap\dots \cap U_k\, |\, U_i\in\rodz{U}\}$$

    Rodzina $ \rodz{U}^\cap  $ jest już zamknięta ze względu na branie przecięć skończenie wielu zbiorów tzn. jeśli $ V_1,V_2\in \rodz{U}^\cap $ to $ V_1\cap V_2\in \rodz{U}^\cap $

  2. Do rodziny $ \rodz{U}^\cap $ dołączamy wszystkie sumy zbiorów należących do $ \rodz{U}^\cap $ definiując rodzinę:
    $$(\rodz{U}^\cap)^\cup := \{\bigcup\limits_{i\in I} V_i\, |\, V_i\in\rodz{U}^\cap\}$$

    Rodzina $ (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jest zamknięta ze względu na branie sum zbiorów tzn. dla dowolnej rodziny $ \{W_j\}_{j\in J}\subset (\rodz{U}^\cap)^\cup $ jej suma $ \bigcup\limits_{j\in J}W_j\in (\rodz{U}^\cap)^\cup. $

  3. $ \topind(\rodz{U}) = (\rodz{U}^\cap)^\cup $
Stwierdzenie Niech $ (X,\sT) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną, $ Y $ będzie zbiorem oraz $ {\cal V}\subset\sP (Y) $ rodziną jego podzbiorów. Przekształcenie $ f\colon (X,\sT) \to (Y,\sT({\cal V})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru $ V\in\rodz{V} $ jego przeciwobraz $ f^{-1}(V)\in {\cal T} $ .
Przykład Wybór rodziny generującej topologię nie jest oczywiście jednoznaczny; np. cała topologia generuje samą siebie. W przestrzeni metrycznej topologia $ \sT(d) $ jest generowana przez każdą z następujących rodzin:

  1. Rodzinę wszystkich kul otwartych.
  2. Rodzinę kul otwartych o promieniach wymiernych.
  3. Rodzinę kul otwartych o promieniach $ \frac{1}{n} $ dla $ n=1,2,3... $.

i wiele innych.

Przykład Topologia euklidesowa na prostej jest generowana przez rodzinę półprostych o końcach będących liczbami wymiernymi.

Baza topologii

Definicja [Baza topologii] Niech $ {\cal T}\subset \sP(X) $ będzie topologią w zbiorze $ X $. Podrodzinę $ {\cal B}\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ jeśli dowolny zbiór $ U\in{\cal T} $ jest sumą mnogościową pewnych zbiorów należących do $ \cal B $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną, to mówimy że spełnia II aksjomat przeliczalności.

Rodzina $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \cal T $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu $ x\in X $ oraz zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \cal B $ taki, że $ x\in V\subset U $. Istotnie, jest to warunek równoważny stwierdzeniu, że $ U $ jest sumą zbiorów należących do $ {\cal B} $. W zapisie logicznym warunek, że zbiór jest otwarty, wyrażony w terminach bazy jest nastepujący:

$$U\in\sT\,\iff\, \forall_{x\in U}\,\exists_{V\ni \sB}\, x\in V\subset U.$$

Jeśli $ {\cal B}\subset{\cal T} $ jest bazą topologii $ \sT $ to oczywiście $ \sB $ generuje topologię $ \sT $, przy czym w opisanej wyżej procedurze generowania topologii przez rodzinę zbiorów wystarczy dokonać kroku drugiego, bowiem definicji bazy przecięcie skończenie wielu zbiorów otwartych jest sumą zbiorów z $ \sB $.

Definicja Mówimy, że rodzina podzbiorów $ \{A_s\}_{s\in S} $ zbioru $ X $ jest jego pokryciem jeśli $ \bigcup\limits_{s\in S}A_s = X $ .
Stwierdzenie Rodzina $ \sB\subset\sP (X) $ jest bazą topologii $ \sT(\sB) $ generowanej przez rodzinę $ \sB $ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

  1. Rodzina $ \sB $ jest pokryciem $ X $;
  2. Dla dowolnych zbiorów $ V_1,V_2\in\sB $ oraz punktu $ x\in V_1\cap V_2 $ istnieje zbiór $ {V\in\sB $ taki, że $ x\in V\subset V_1\cap V_2 $.

Stwierdzenie (#) Niech $ \sT_1,\,\sT_2 $ będą topologiami w zbiorze $ X $ a $ \sB_1\subset\sT_1, $ i $ \sB_2\subset\sT_2 $ odpowiednio pewnymi ich bazami. Inkluzja topologii $ \sT_1\subset \sT_2 $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ x\in X $ i zbioru bazowego $ U_1\in\sB_1 $ takiego, że $ x\in U_1\in\sB_1 $ istnieje zbiór $ U_2 $ taki, ze $ x\in U_2\subset U_1 $. □
Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ posiada bazę przeliczalną, to z każdego pokrycia $ X $ zbiorami otwartymi $ \{U_s\}_{s\in S}\subset\sT $ można wybrać podpokrycie przeliczalne, czyli istnieją wskaźniki $ s_1,s_2,...\in S $ takie, że $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_{s_i} = X $.

Ostatnie stwierdzenie wynika natychmiast z następującego lematu teorio-mnogościowego:

Lemat (#) Załóżmy, że mamy dane dwa pokrycia zbioru $ X $: $ \{A_s\}_{s\in S} $ oraz $ \{B_t\}_{t\in T} $. Jeśli dla każdego $ s\in S $ i dla każdego punktu $ a\in A_s $ istnieje zbiór $ B_{t(a)} $ taki, że $ a\in B_{t(a)}\subset A_s $, to istnieje podzbiór $ S'\subset S $ mocy nie większej niż moc zbioru $ T $ taki, że $ \{A_s\}_{s\in S'} $ jest także pokryciem.
Dowód: Rozpatrzmy funkcję $ \tau:\left\{ (a,s) \ | \ a \in A_s, \ s \in S\right\} \to T $ taką, że $ \forall_{(a,s)} a\in B_{\tau (a,s)}\subset A_s $ i oznaczmy przez $ T'\subset T $ obraz $ \tau $, a więc $ X= \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} $. Dla dowolnego $ t'\in T' $ wybieramy po jednym elemencie $ (a', s')\in\tau^{-1}(t') $ i definiujemy zbiór

$$S' := \{s'\in S\, |\, \exists_{t'\in T'}\, (a', s')\, \text{jest wybranym elementem}\, \tau^{-1}(t')\}.$$

Oczywiście $ |S'|\le |T'|\le |T| $ oraz $ \{A_{s'}\}_{s'\in S'} $ jest pokryciem, bowiem:

$$\bigcup_{s' \in S'}A_{s'} \supset \bigcup\limits_{t' \in T'}B_{t'} = X.$$

Stwierdzenie Jeśli przestrzeń $ (X,\sT) $ spełnia II aksjomat przeliczalności (tzn. posiada bazę przeliczalną), to z dowolnej bazy można wybrać bazę przeliczalną.
Dowód: Oznaczmy bazę przeliczalną $ X $ jako $ \sB $, natomiast dowolną bazę $ \sB' $. Dowód wynika natychmiast z Stw. [link]. Dowolny zbiór z przeliczalnej bazy $ \sB $ można pokryć przeliczalną ilością zbiorów z bazy $ \sB' $ - ponieważ przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, więc biorąc zbiory z bazy $ \sB' $ potrzebne do pokrycia wszystkich zbiorów z bazy $ \sB $ otrzymujemy bazę przeliczalną. □
Definicja [Baza topologii w punkcie] Niech $ x\in X $ będzie ustalonym punktem. Podrodzinę $ {\cal B}_x\subset{\cal T} $ nazywamy bazą topologii $ \cal T $ w punkcie $ x $ jeśli dla każdego zbioru otwartego $ U\ni x $ istnieje zbiór $ V\in \sB_x $ taki, że $ x\in V\subset U $. Bazę w punkcie nazywamy także bazą otoczeń punktu $ x $.

Jeśli przestrzeń topologiczna posiada bazę przeliczalną w każdym punkcie, to mówimy że spełnia I aksjomat przeliczalności.

Zauważmy, że jeśli $ {\cal B} $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $, to dla dowolnego $ x\in X $ rodzina $ {\cal B}_x := \{U\in\ {\cal B}\, |\, U\ni x\} $ jest bazą w punkcie $ x $. Odwrotnie, mając bazy w punktach $ {\cal B}_x $ dla wszystkich $ x\in X $, rodzina $ {\cal B} := \bigcup\limits_{x\in X} {\cal B}_x $ jest bazą przestrzeni $ (X,\sT) $.

Przykład (#) Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną to dla ustalonego punktu $ x_0\in X $ rodzina kul $ \sB(x_0) :=\{B(x_0;\frac{1}{n})\, |\, n=1,2,...\} $ jest bazą topologii $ \sT(d) $ w punkcie $ x_0 $, a więc dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności.

Zadania

Zadanie Niech $ \sB_1,\,\sB_2 $ będą bazami topologii $ \sT. $ Wykazać, że rodzina podzbiorów $ \sB_{12}:=\{U\cap V\, |\, U\in\sB_1,\, V\in\sB_2\} $ też jest bazą $ \sT $.
Zadanie Wykazać. że przekształcenie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy obrazy zbiorów z pewnej bazy przestrzeni $ (X,\sT_X) $ są bazą przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.
Zadanie Na płaszczyźnie rzeczywistej $ \R^2 $ zdefiniujmy rodziny podzbiorów. $ \sU_i $: (punkty płaszczyzny oznaczamy $ x=(x_1,x_2) $).

  • $ \sU_1=\sP (\R^2) $ -- topologia dyskretna;
  • $ \sU_2=\{(a,b)\times\R \colon a<b\}\cup\{\R\times(a,b) \colon a<b\} $;
  • $ \sU_3=\{(a,b)\times (c,d) \colon  a<b,\, c<d\} $ -- topologia euklidesowa;
  • $ \sU_4=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \} $ gdzie $ B(x,r) := \{x'\in X\, |\, ||x-x'||\leq r\} $;
  • $$\sU_5=\{B(x,r)\subset \R^2\colon  x\in\R^2,\,  r>0 \}\cup \{B((x_1,x_2),|x_2|)\cup \{(x_1,0)\}\cup B((x_1,- x_2),|x_2|)\, |\,  \, x_2\neq 0\}\}$$

    - płaszczyzna motylków Niemyckiego. (Zazwyczaj płaszczyzną Niemyckiego nazywa się górną półpłaszczyznę z opisaną topologią. Opisana przestrzeń to sklejenie dwóch półprzestrzeni Niemyckiego wzdłuż osi poziomej $ x_2=0 $.);

  • $$\sU_6:=\{\{a\}\times (c,d) \colon a\in\R,\, c<d<0\, \text{lub}\, 0<c<d\}\cup\{ (a,b)\times (-c,c)  \colon a < b,\, c >0\}$$

    - topologia rzeczna;

  • $ \sU_7=\{I(\vv,\epsilon)  \colon \vv\neq 0,\, 0<\epsilon<1 \}\cup  \{(-a,a)\times (-a,a) \colon a >0\}, $ gdzie dla wektora $ \vv\in\R^2 $ i $ \epsilon >0 $, $ I(\vv,\epsilon) := \{t\vv\,|\, 1-\epsilon < t < 1+\epsilon\} $ -- topologia kolejowa;
  • $ \sU_8=\{\emptyset\}\cup\{U\subset \R^2\colon  \R^2\setminus U \; \hbox{jest zbiorem jednopunktowym}\} $ -- topologia Zariskiego;
  • $ \sU_{10}=\{\emptyset\}\cup\{\R^2\} $ -- topologia antydyskretna;

Topologie generowane przez te rodziny będziemy oznaczać $ \sT_i := \sT (\sU_i) $.

  1. Które z rodzin $ \sU_i $ są topologiami, a które bazami topologii przez nie generowanymi?
  2. Porównaj topologie $ \sT_i := \sT (\sU_i) $, rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia $ \sT_i\cap\sT_j $. Kiedy otrzymuje się inną topologię niż jedną z wyżej zdefiniowanych ?
  3. Zbadaj, które z topologii $ \sT_i  $ mają własność Hausdorffa.
  4. O których przestrzeniach $ (\R^2 ,\sT_i),\, (\R^2 ,\sT_j) $ potrafisz powiedzieć, że są lub nie są homeomorficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
  5. Dla wektora $ {\vv}\in {\R^2} $ definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) $ T_{\vv}\colon \R^2\to\R^2 $ wzorem $ T_{\vv}(\ww):=\vv+\ww. $ Dla każdego $ i=1..8 $ zbadać dla jakich wektorów $ \vv $ przesunięcie $ T_{\vv}\colon (\R^2,\sT_i)\to (\R^2,\sT_i) $ jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem).
  6. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ spełniają I, a które II aksjomat przeliczalności ?
  7. Które z przestrzeni $ (\R^2 ,\sT_i) $ są metryzowalne?