Mając daną przestrzeń topologiczną lub rodzinę przestrzeni można poprzez pewne standardowe konstrukcje budować nowe przestrzenie. Cztery konstrukcje (zwane także operacjami), które opisujemy w tym rozdziale to: podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa, produkt kartezjański i suma prosta. Nowe przestrzenie powstają przez wykonanie najpierw odpowiedniej konstrukcji na zbiorach, a potem zdefiniowanie w nich ''naturalnej'' topologii. Analogiczne konstrukcje występują w wielu innych teoriach matematycznych m.in. w algebrze liniowej i w teorii grup. Pierwszy podrozdział poświęcony jest definiowaniu topologii w zbiorze poprzez żądanie, aby były ciągłe przekształcenia należace do danej rodziny przekształceń określonych na tym zbiorze (lub prowadząca do tego zbioru). W następnych podrozdziałach stosujemy ten punkt widzenia do omawiając kolejno wspomniane wyżej konstrukcje przestrzeni.
Niech będzie ustalonym zbiorem a
rodziną przekształceń określonych na
o wartościach w przestrzeniach topologicznych
.
![]() |
![]() |
Bazą topologii są zbiory
, gdzie
,
.
Załóżmy, że wszystkie złożenia
są przekształceniami ciągłymi. W takim razie dla dowolnego zbioru otwartego
przeciwobraz
jest zbiorem otwartym w
. Z definicji zbiory postaci
generują topologię
, a więc przeciwobraz dowolnego zbioru z tej topologii jest otwarty w
. □
Niech teraz będzie ustalonym zbiorem a
rodziną przekształceń określonych na przestrzeniach topologicznych
o wartościach w zbiorze
.
Żeby pokazać, że
jest ciągłe trzeba pokazać, żę przeciwobraz
gdzie
jest zbiorem otwartym. W myśl definicji topologii
ma to miejsce wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego
przeciwobraz
jest zbiorem otwartym w
, co jest równoważne z ciągłością złożenia
. □
Rozpatrujemy przestrzeń i jej podzbiór
Chcemy określić topologię
w tym zbiorze, wyznaczoną przez topologię w całej przestrzeni. Naturalnym żądaniem jest aby odwzorowanie włożenia
było ciągłe, a z drugiej strony topologia ta była jak najbliższa topologii w
. Definiujemy więc topologię
jako przeciagnięcie topologii
przez włożenie
:
![]() |
Zauważmy, że jeśli jest bazą topologii
, to rodzina
jest bazą topologii
-- podobnie dla bazy w punkcie.
Podobnie jak w przypadku zbiorów otwartych w , zbiory domknięte w topolgii podprzestrzeni to przecięcia zbiorów domkniętych w całej przestrzeni z tą podprzestrzenią:
Podobna równość nie zachodzi dla wnętrza zbioru!
Odnotujmy zachowanie poznanych własności topologii przy przechodzeniu do podprzestrzeni (tzw. dziedziczność własności):
Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.
![]() |
wraz z rodziną rzutowań na współrzędne gdzie
Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów . Funkcję
można zapisać jako rodzinę jej wartości
, tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny
gdzie
, co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów
.
![]() |
wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami
Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:
![]() |
gdzie dla
oraz
.
![]() |
gdzie dla
poza pewnym skończonym zbiorem indeksów
oraz
. □
Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego
. Wybierając punkt dowolny punkt
dla każdego
definiujemy odwzorowanie zbiorów
![]() |
Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.
Niech
będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne
w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □
Niech teraz i dla każdej przestrzeni
niech
będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że
. Niech
będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym;
. Wykażemy, iż
jesli
. Istotnie, dla dowolnych
wybierzmy element
. Z definicji wynika, że
, ale
. Wynika stąd, że przyporzadkowanie
jest injekcją, a więc
.
Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi
i niech
będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w
Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań
jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni
. Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania
. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych
i ciąg liczb naturalnych
definiujemy funkcję:
![]() |
Zbiór funkcji postaci jest przeliczalny oraz jest gęsty w
. Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci
gdzie
są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz
. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych
otrzymujemy funkcję
. □
Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego
przestrzeń
jest przestrzenią Hausdorffa. □
Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link]
nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).
Niech
będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze
definiujemy metrykę:
![]() |
gdzie Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk
jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu
można metrykę zdefiniować prościej:
![]() |
Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w przez metrykę
jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □
Niech będzie zbiorem,
relacją równoważności w tym zbiorze, a
odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi
jego klasę abstrakcji
. Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego
. Odwzorowanie
jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów
definiuje relację równoważności
i odwzorowanie
wyznacza bijekcję
. Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).
![]() |
Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].
%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}
Odwzorowania ilorazowe
Mając daną ciągłą surjekcję chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia
jest zdefiniowana przez odwzorowanie
, co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni
.
Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco:
lub w terminach zbiorów domknętych:
.
Zdefiniujemy konstrukcję sumy prostej rodziny zbiorów , dwoistą w pewnym sensie dokonstrukcji iloczynu kartezjańskiego .
%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_koprod_suma_prosta.jpg}}
Zauważmy, że dla .
![]() |
gdzie jest topologią wprowadzoną przez rodzinę odwzorowań
, wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami
Utożsamiając za pomocą zbiór
z
możemy powiedziec, że podzbiór
jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przecięcia
, czyli są otwarte w
. Zauważmy, że włożenia
są zanurzeniami homeomorficznymi.
Podobnie jak w przypadku iloczynów kartezjańskich zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na sumy proste. Jest to jednak dużo łatwiejsze.
Ad 5. Jeśli
jest przestrzenią metryzowalną to dowolna jej podprzestrzeń, zatem także
jest przestrzenią metryzowalną.
Jeśli dana jest rodzina przestrzeni metrycznych
to w zbiorze
określamy metrykę:
![]() |
gdzie W tej metryce kule o środku w punkcie
i promieniu
są identyczne jak kule w metryce
w zbiorze
. Stąd wynika, że metryka
definiuje topologię
. □
Zauważmy, że tak jak w przypadku metryki w produkcie kartezjańskim musielismy ''obciąć'' metryki (nawet w przypadku sumy dwóch przestrzeni!), tym razem po to, aby spełniona była nierówność trójkąta.
![]() |
gdzie ostatni zbiór rozpatrujemy z topologią podprzestrzeni . Wykonać rysunek w przypadku, gdy przestrzenie
są prostymi, odcinkami lub okręgami.
Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''walec bez brzegu''. Zastępując w punktach a), c), d) prostą odcinkiem
otrzymujemy ''walec z brzegiem (podstawami)''. Nazwa ''walec'' stosowana jest w obu przypadkach.
Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''wstęgę Möbiusa bez brzegu''. Zastępując w a),b),c) odcinek otwarty odcinkiem domkniętym
otrzymujemy ''wstegę Möbiusa z brzegiem''. Nazwa ''wstęgę Möbiusa'' jest używana zarówno do wstęgi z brzegiem, jak i bez brzegu.
%\bza [Rozcinanie wstęgi Möbiusa] Udowodnić, że przestrzeń powstała ze wstęgi Möbiusa
po usunięciu jej ''równika'' (czyli rozcięciu w połowie tworzącej) jest homeomorficzna z walcem
. A co się stanie jeśli zacząć rozcinać wstęgę Möbiusa w
długości tworzącej?