KONSTRUKCJE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH

Mając daną przestrzeń topologiczną lub rodzinę przestrzeni można poprzez pewne standardowe konstrukcje budować nowe przestrzenie. Cztery konstrukcje (zwane także operacjami), które opisujemy w tym rozdziale to: podprzestrzeń, przestrzeń ilorazowa, produkt kartezjański i suma prosta. Nowe przestrzenie powstają przez wykonanie najpierw odpowiedniej konstrukcji na zbiorach, a potem zdefiniowanie w nich ''naturalnej'' topologii. Analogiczne konstrukcje występują w wielu innych teoriach matematycznych m.in. w algebrze liniowej i w teorii grup. Pierwszy podrozdział poświęcony jest definiowaniu topologii w zbiorze poprzez żądanie, aby były ciągłe przekształcenia należace do danej rodziny przekształceń określonych na tym zbiorze (lub prowadząca do tego zbioru). W następnych podrozdziałach stosujemy ten punkt widzenia do omawiając kolejno wspomniane wyżej konstrukcje przestrzeni.

Przeciąganie i popychanie topologii

Przeciąganie topologii

Niech $ X $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\mathfrak{f}} = \{f_i:X \rightarrow Y_i\}_{i\in I} $ rodziną przekształceń określonych na $ X $ o wartościach w przestrzeniach topologicznych $ (Y_i,{\sT}_i) $.

Definicja $ \sT^*({\frak f}) $ najmniejsza topologia w $ X $, w której ciągłe są wszystkie odwzorowania

$$\{f_i\colon (X,\sT^*({\frak f})) \to (Y_i,\sT_i)\}_{i\in I}.$$
Stwierdzenie Topologia $ \sT^*({\frak f}) $ jest generowana przez rodzinę zbiorów

$$\{f_{i}^{-1} (U_{i})\,|\, U_{i}\in{\cal T}_{i},\, i\in I\}.$$

Bazą topologii $ \sT^*({\frak f}) $ są zbiory $ \{f_{i_1}^{-1} (U_{i_1})\cap ...\cap f_{i_k}^{-1}(U_{i_k})\} $, gdzie $ U_{i_k}\in{\cal T}_{i_k} $, $ k\in \N $.

Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ g:(Z,\sT_Z) \to (X,\sT^*({\frak f})) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {i\in I} $ złożenie przekształceń  $ (Z,\sT_Z)  \arr g (X,\sT^*({\frak f})) \arr {f_i} (Y_i,\sT_i) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Z definicji topologii $ \sT^*({\frak f}) $ dowolne odwzorowanie $ f_i $ jest ciągłe, a więc jego złożenie z odwzorowaniem ciągłym $ g $ jest ciągłe.

     $ \impliedby $ Załóżmy, że wszystkie złożenia $ f_ig $ są przekształceniami ciągłymi. W takim razie dla dowolnego zbioru otwartego $ U_i\in\sT_i $ przeciwobraz $ (f_ig)^{-1}(U_i) = g^{-1}(f_i^{-1} (U_i)) $ jest zbiorem otwartym w $ (Z,\sT_Z) $. Z definicji zbiory postaci $ f_i^{-1} (U_i) $ generują topologię $ \sT^*({\frak f} $, a więc przeciwobraz dowolnego zbioru z tej topologii jest otwarty w $ (Z,\sT_Z) $. □

Popychanie topologii

Niech teraz $ Y $ będzie ustalonym zbiorem a $ {\frak g} := \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ rodziną przekształceń określonych na przestrzeniach topologicznych $ (X_j,{\sT}_j) $ o wartościach w zbiorze $ Y $.

Definicja $ \sT_*({\frak g}) $ największa topologia w $ Y $, w której wszystkie odwzorowania $ \{g_j:X_j \to Y\}_{j\in J} $ są ciągłe.
Stwierdzenie $ \sT_*({\frak g}) =\{U\subseteq Y\,\colon\, \forall_{j\in J}\, g_j^{-1}(U)\in{\cal T}_j\} $
Stwierdzenie (#) Odwzorowanie $ (Y,\sT_*({\frak g})) \arr {f} (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {j\in J} $ złożenie $ (X_j,\sT_j) \arr {g_j} (Y,\sT_*({\frak g}))\arr f (Z,\sT_Z) $ jest ciągłe.
Dowód: $ \implies $ Odwzorowania $ g_j $ są ciągle na mocy definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $, a więc jeśli $ f $ jest ciągłe to złożenie $ fg_j $ jest ciągłe.

    $ \impliedby $ Żeby pokazać, że $ f $ jest ciągłe trzeba pokazać, żę przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ gdzie $ V\in\sT_Z $ jest zbiorem otwartym. W myśl definicji topologii $ \sT_*({\frak g} $ ma to miejsce wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ j\in J $ przeciwobraz $ g_j^{-1}(f^{-1}(V)) = (fg_j)^{-1}(V) $ jest zbiorem otwartym w $ (X_j,\sT_j) $, co jest równoważne z ciągłością złożenia $ fg_j $. □

Podprzestrzeń

Rozpatrujemy przestrzeń $ (X,\sT) $ i jej podzbiór $ A\subset X. $ Chcemy określić topologię $ \sT|A $ w tym zbiorze, wyznaczoną przez topologię w całej przestrzeni. Naturalnym żądaniem jest aby odwzorowanie włożenia $ \iota\colon A\subset X,\, \iota (a) := a $ było ciągłe, a z drugiej strony topologia ta była jak najbliższa topologii w $ X $. Definiujemy więc topologię $ \sT|A $ jako przeciagnięcie topologii $ \sT $ przez włożenie $ \iota $:

$$\sT|A := \sT^*(\iota) = \{\iota^{-1}(U)\, |\, U\in\sT\} =  \{U\cap A\, |\, U\in\sT\}$$

Zauważmy, że jeśli $ \sB $ jest bazą topologii $ \sT $, to rodzina $ \sB|A := \{U\cap A\colon U\in\sB\} $ jest bazą topologii $ \sT|A $ -- podobnie dla bazy w punkcie.

Podobnie jak w przypadku zbiorów otwartych w $ \sT|A $, zbiory domknięte w topolgii podprzestrzeni to przecięcia zbiorów domkniętych w całej przestrzeni z tą podprzestrzenią: $ \sF_{\sT|A} = \{B\cap A \subset A\colon B\in\sF_\sT\}. $

Stwierdzenie Dla dowolnego podzbioru $ B\subset A $ zachodzi równość $ \cl_{(A,\sT|A)} (B) = \cl_{(X,\sT)} (B)\cap A $. □

Podobna równość nie zachodzi dla wnętrza zbioru!

Stwierdzenie

  1. Odwzorowanie $ (X',{\cal T}')\to (A,{\cal T}|A) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X',{\cal T}')\arr {f}  (A,{\cal T}|A) \arr {\iota} (X,{\cal T}) $ jest ciągłe.
  2. Jeśli odwzorowanie $ f:(X,{\cal T}_X) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe oraz $ A\subset X $, to obcięcie $ f|A : (A,{\cal T}_X|A)\to (Y,{\cal T}_Y) $ też jest ciągłe. □

Odnotujmy zachowanie poznanych własności topologii przy przechodzeniu do podprzestrzeni (tzw. dziedziczność własności):

Stwierdzenie (#)

  1. Podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Jeśli przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności), to dowolna jej podprzestrzeń też spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności).
  3. Dowolna podprzestrzeń przestrzeni metryzowalnej jest metryzowalna. Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną oraz $ A\subset X $, to zachodzi równość topologii $ \sT (d)|A = \sT (d|A) $.
  4. Dowolna podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa. □
Dowód: Dowody punktów 1-3 wynikają bezpośrednio z definicji. Żeby pokazać, że podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej jest ośrodkowa przypomnijmy, że dla przestrzeni metryzowalnej ośrodkowośc pociąga spełnianie II aksjomatu przeliczalności, a zatem na mocy punktu 2. podprzestrzeń również spełnia II aksjomat przeliczalności, czyli w szczególności jest ośrodkowa. □
Przykład Podprzestrzeń przestrzeni ośrodkowej nie musi być ośrodkowa (np. oś $ y=0 $ na płaszczyźnie Niemyckiego). Wynika stąd także, że topologia płaszczyzny Niemyckiego nie jest metryzowalna.

Produkt kartezjański

Niech dana będzie rodzina przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ . Zaczniemy od przypomnienia definicji produktu (iloczynu) kartezjańskiego zbiorów.

Definicja Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór:

$$\prod\limits_{s\in S}X_s :=\{\phi :S\to \bigcup\limits_{s\in S}X_s\, |\, \forall_{s\in S}\,\phi (s)\in X_s\} $$

wraz z rodziną rzutowań na współrzędne $ {\frak p} := \{\prod\limits_{s\in S}X_s \arr{p_t} X_t\}_{t\in S} $ gdzie $ p_t( \{x_s\}_{s\in S}) := x_t $

Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów $ S $. Funkcję $ \phi $ można zapisać jako rodzinę jej wartości $ \{\phi (s)\}_{s\in S} $, tak więc punkty w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny $ \{x_s\}_{s\in S} $ gdzie $ x_s\in X_s $, co nawiązuje do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami naturalnymi jako ciągów $ (x_1,x_2,..) $.

Definicja (#) Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych nazywamy zbiór $ \{X_s\}_{s\in S} $ wyposażony w topologię $  \sT^*({\frak p}) $ przeciągnietą przez rodzinę projekcji $ {\frak p} $

$$\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))$$

wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t). $

Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:

Stwierdzenie (#)

  1. Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci
    $$p_t^{-1}(U_t)= \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s\neq t $ oraz $ U_t\in\sT_t $.

  2. Jeśli dla każdego $ s\in S $ wybrana jest baza $ \sB_s $ topologii $ \sT_s $, to bazę iloczynu kartezjańskiego tworzą zbiory postaci
    $$\langle U_{s_1},..,U_{s_n}\rangle := p_{s_1}^{-1}(U_{s_1})\cap\dots p_{s_n}^{-1}(U_{s_n}) = \prod\limits_{s\in S} U_s \subset \prod\limits_{s\in S} X_s$$

    gdzie $ U_s = X_s $ dla $ s $ poza pewnym skończonym zbiorem indeksów $ \{s_1,..,s_n\} $ oraz $ U_{s_i}\in\sB_{s_i} $. □

Stwierdzenie Rzutowania $ (\prod\limits_{s\in S}X_s , \sT^*({\frak p}))\arr {p_t} (X,\sT_t) $ są odwzorowaniami otwartymi tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte.
Dowód: Wystarczy pokazać, że obrazy zbiorów z pewnej bazy topologii $  \sT^*({\frak p}) $ są otwarte, co wynika ze Stw. [link] oraz faktu, że $ p_t( \prod\limits_{s\in S} U_s) = U_t $. □
Stwierdzenie [Produkty kartezjańskie odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f: (Y,{\cal T}_Y)\to \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne odwzorowania $ f $, czyli zdefiniowane dla każdego $ t\in S $ złożenia $ (Y,{\cal T}_Y)\arr {f}\prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{p_t} (X_t,{\cal T}_t) $ są ciągłe.
  2. Dla rodziny odwzorowań ciągłych $ \{(Y,\sT_Y)\arr{f_s} (X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ (Y,\sT_Y)\arr{f}\prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)  $ takie, że dla każdego $ s\in S $ współrzędna $  p_s\circ f = f_s $.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z definicji topologii iloczynu kartezjańskiego i Stw. [link]. □

Wykorzystamy Stw. [link] aby wykazać iż przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ są homeomorficzne z podprzestrzeniami produktu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $. Wybierając punkt dowolny punkt $ x^0\in \prod X_s $ dla każdego $ {t\in S} $ definiujemy odwzorowanie zbiorów $ \iota_t\colon X_t\to \prod\limits_{s\in S} X_s: $

$$\iota_t (x_t)_s = \begin{cases} x_t\,\text{jeśli}\, s=t\\ x_s^0 \,\text{jeśli}\, s\neq t \end{cases}$$
Lemat (#) Odwzorowanie $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\to \prod (X_s,\sT_s) $ jest ciągłe i zadaje homeomorfzim $ \iota_t\colon (X_t,\sT_t)\arr {\simeq} (i_t(X_t), \sT|i_t(X_t)), $ gdzie $ \sT $ oznacza topologię produktową w $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s). $
Dowód: Żeby sprawdzić, że odwzorowanie jest ciągłe wystarczy sprawdzić, że złożenia z rzutowaniami $ \prod (X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są ciągłe. Istotnie z definicji: $ p_t\circ \iota_t = id_{X_t} $ natomiast dla $ s\neq t,\, p_s\circ \iota_t = x_s^0 $ jest odwzorowaniem stałym. Odwzorowaniem odwrotnym do $ \iota_t $ jest obcięcie rzutowania $ p_t\colon \iota (X_t)\to X_t $.□

    

Podobnie jak poprzednio zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na produkty kartezjańskie.

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) oraz wszystkie zbiory $ X_s $, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ spełnia I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności) to dowolna podprzestrzeń, a zatem przestrzenie $ (X_s,\sT_s) $ spełniają I aksjomat przeliczalności (odp. II aksjomat przeliczalności). Jeśli zbiór $ S $ jest nieprzeliczalny oraz $ |X_s|>2 $, to stosując Lemat [link] stwierdzamy, że z bazy w punkcie (odp. bazy) opisanej w Stw. [link] nie da się wybrać bazy przeliczalnej.

$ \impliedby $ Niech $ (X_i,\sT_i) $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni spełniajacych II (odp. I) aksjomat przeliczalności. Wybierając bazy przeliczalne $ \sB_i\subset\sT_i $ w przestrzeniach, wykonując konstrukcję opisaną w Stw. [link] otrzymujemy przeliczalną bazę produktu kartezjańskiego (odp. bazę w punkcie). □

Stwierdzenie Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa oraz co najwyżej $ 2^{\aleph_0} $ spośród przestrzeni $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma więcej niż jeden punkt.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest ośrodkowa to dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. [link]).

Niech teraz $ T:=\{t\in S\, |\, |X_t|\geq 2\} $ i dla każdej przestrzeni $ X_t $ niech $ U_t,\, V_t\in\sT_t $ będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że $ |T|\leq 2^{\aleph_0} $. Niech $ G\subset \prod\limits_{s\in S} X_s $ będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; $ \forall_{t\in T}\, G^t := G\cap \langle U_t\rangle $. Wykażemy, iż $ G^t \neq G^r $ jesli $ r\neq t $. Istotnie, dla dowolnych $ r,t\in T $ wybierzmy element $ d(r,t)\in G\cap\langle U_r, V_t \rangle = D\cap\langle U_r\rangle\cap\langle V_t \rangle $. Z definicji wynika, że $ d(r,t)\in G^r $, ale $ d(r,t)\notin G^t $. Wynika stąd, że przyporzadkowanie $ T\ni t \rightsquigarrow G^t\in \sP(G) $ jest injekcją, a więc $ |T|\le |\sP(G)|\le 2^{\aleph_0} $.

$ \impliedby $ Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi $ \{(X_r,\sT_r)\}_{r\in\R} $ i niech $ \forall_{r\in\R}\, \iota_r\colon (\N,\sT_\delta)\to (X_r,\sT_r) $ będzie przekształceniem przeliczalnej przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w $ X_r. $ Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań $ \prod\limits_{r\in\R}\iota_r\colon\prod\limits_{r\in\R} \N \to \prod\limits_{r\in\R} X_r $ jest podzbiorem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania $ \phi\colon\R\to\N $. Wybierając dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych $ [p_{\cdot},q_{\cdot}]:=\{ [p_1,q_1],..,[p_k,q_k] \} $ i ciąg liczb naturalnych $ n_{\cdot} := \{ n_1,...,n_k\} $ definiujemy funkcję:

$$\phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }(r) = \begin{cases} n_i\,\text{jeśli}\, r\in [p_i,q_i]\\ 0 \,\,\text{jeśli}\,  r\notin \bigcup [p_i,q_i]\end{cases}$$

Zbiór funkcji postaci $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) } $ jest przeliczalny oraz jest gęsty w $ \prod\limits_{r\in\R} (\N,\sT_\delta) $. Wystarczy wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw. [link] są postaci $ U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) :=\{\psi\colon \R\to\N\,|\, \psi (r_i) = n_i\} $ gdzie $ r_i\in\R $ są różnymi liczbami rzeczywistymi oraz $ n_i\in\N $. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych $ [p_i,q_i]\ni r_i $ otrzymujemy funkcję $ \phi_{([p_{\cdot},q_{\cdot}],n_{\cdot}) }\in U(r_1,..,r_k; n_1,...,n_k) $. □

Stwierdzenie (#) Produkt kartezjański $ \prod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ ma wlasność Hausdorffa.
Dowód: $ \implies $ Jeśli dwa punkty $ x=\{x_s\}_{s\in S},\, y=\{y_s\}_{s\in S} $ są różne to istnieje $ t\in S $ takie, że $ x_t\neq y_t $. Wybierzmy w przestrzeni $ X_t $ otoczenia rozłączne $ U_{x_t}\ni x_t $ oraz $ U_{y_t}\ni y_t. $ Zbiory $ \langle U_{x_t}\rangle\ni x $ oraz $ \langle U_{y_t}\rangle\ni y $ są rozłącznymi otoczeniami $ x,y $ (oznaczenia p. [link]).

$ \impliedby $ Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa. □

Twierdzenie Produkt kartezjański niepustych przestrzeni $ \prod\limits_{s\in S}  (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ {s\in S} $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ \prod (X_s, {\cal T}_s) $ jest przestrzenią metryzowalna, to dowolna jej podprzestrzeń, a zatem każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ jest metryzowalna.

Jeśli nieprzeliczalnie wiele przestrzeni występujących w rodzinie $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ ma więcej niż jeden punkt, to na mocy Stw. [link] $ \prod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s) $ nie ma bazy przeliczalnej w żadnym punkcie, a więc nie jest metryzowalna, bowiem dowolna przestrzeń metryzowalna spełnia I aksjomat przeliczalności (p. Przykład [link]).

$ \impliedby $ Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. W zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ Zauważmy, że ''obcięcie'' metryk $ d_i $ jest konieczne, aby zapewnić zbieżność szeregu. W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej:

$$d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i)$$

Trzeba wykazać, że topologia zdefiniowana w $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ przez metrykę $ d' $ jest identyczna z topologią produktową. Patrz BCPP Tw. 1.5.2. □

Przestrzeń ilorazowa

Niech $ X $ będzie zbiorem, $ R\subset X\times X $ relacją równoważności w tym zbiorze, a $ q:X\to X/R $ odwzorowaniem przypisującym każdemu elementowi $ x $ jego klasę abstrakcji $ [x]_R := \{y\in X\,\colon (x,y)\in R\} $. Zbiór klas abstrakcji jest podzbiorem zbioru potęgowego $ \sP (X) $. Odwzorowanie $ q:X\to X/R\subset \sP (X) $ jest oczywiście surjekcją. Odwrotnie, dowolna surjekcja zbiorów $ p:X\to Y $ definiuje relację równoważności $ R_p := \{(x',x'')\in X\times X\, |\, p(x') = p(x'')\} $ i odwzorowanie $ p $ wyznacza bijekcję $ \bar p\colon X/R_p \arr {\simeq} Y $. Będziemy więc niżej rozpatrywać surjekcje zbiorów; rzutowanie na zbiór klas abstrakcji będzie szczególnym przypadkiem poniższej konstrukcji, dwoistej w pewnym sensie do poprzedniego przypadku, gdy rozważaliśmy injekcje (włożenia podzbiorów).

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną, a $ p\colon X\to Y $ surjekcją na zbiór $ Y. $ Definiujemy topologię $ \sT_*(p) $ w zbiorze $ Y $ jako największą topologię, w której $ p $ jest ciągłe:

$$ \sT_*(p) = \{V\subset Y\, |\, p^{-1}(V)\in {\cal T}_X\}$$
Stwierdzenie Odwzorowanie $ f\colon (Y,\sT_*(p)) \to (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $ (X,{\cal T}_X) \arr p  (Y,\sT_*(p)) \arr f (Z,{\cal T}_Z) $ jest ciągłe.

Spośród poznanych własności topologii jedynie ośrodkowość zachowuje się przy konstrukcji przestrzeni ilorazowej [link].

Przykład [Odcinek z rozdwojonym punktem](#) Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Niech $ X:= \{(x_1,x_2)\in\R^2\, |\, -1\leq x_1\leq 1,\, x_2 = 0\,\text{lub}\, 1\} $ z topologią euklidesową, $ Y = [-1,1] \cup \{0'\} $ będzie zbiorem, $ p:X\to Y,\, p(x_1,x_2) := x_1 $ jeśli $ (x_1,x_2)\neq (0,1), \, p(0,1):=0' $. W przestrzeni $ (Y,\sT_*(p)) $ punkty $ 0,0' $ nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają).

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_odc_podw.jpg}}

Przykład Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna, nawet jeśli jest Hausdorffa. Rozpatrzmy przestrzeń $ \R/\sim $ gdzie $ t_1\sim t_2\,\iff\, t_1=t_2 \,\text{lub}\, t_1,t_2 $ są liczbami całkowitymi. Przestrzeń $ \R/\sim $ jest przestrzenią Hausdorffa nie ma jednak bazy przeliczalnej w punkcie $ [0]\in \R/\sim $, a więc nie spełnia I aksjomatu przeliczalności. Wszystkie inne punkty mają przeliczalną bazę otoczeń, homeomorficznych z otoczeniami euklidesowymi.

     Odwzorowania ilorazowe

Mając daną ciągłą surjekcję $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ chcielibysmy czasem wiedzieć, czy topologia $ \sT_Y $ jest zdefiniowana przez odwzorowanie $ f $, co może ułatwić konstruowanie odwzorowań ciągłych określonych na przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $.

Definicja Odwzorowanie ciągłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się ilorazowe jeśli jest surjekcją oraz jeśli przeciwobraz $ f^{-1}(V) $ podzbioru $ V\subset Y $ jest otwarty w $ (X,\sT_X) $, to $ V\in\sT_Y $.

Ponieważ ciągłość przekształcenia oznacza, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte, więc warunek na to, aby surjekcja $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ była przekształceniem ilorazowym mozna wyrazić następująco: $ V\in\sT_Y\,\iff \, f^{-1}(V)\in\sT_X $ lub w terminach zbiorów domknętych: $ B\in\sF_{\sT_Y}\,\iff \, f^{-1}(B)\in\sF_{\sT_X} $.

Definicja Przekształcenie ciagłe $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ nazywa się otwarte (odp. domknięte) jeśli obraz dowolnego zbioru otwartego w $  (X,\sT_X) $ jest otwarty (odp. domknięty) w $  (Y,\sT_Y) $.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon (X,\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ jest otwartą lub domkniętą surjekcją, to $ f $ jest przekształceniem ilorazowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z równości $ f(f^{-1}(A)) = A $, która zachodzi dla dowolnego podzbioru $ A\subset Y $.□

Suma prosta

Zdefiniujemy konstrukcję sumy prostej rodziny zbiorów , dwoistą w pewnym sensie dokonstrukcji iloczynu kartezjańskiego .

Definicja Sumą prostą (zwaną też koproduktem lub sumą rozłączną) rodziny zbiorów $ \{X_s\}_{s\in S} $ nazywamy zbiór zbiór $ \coprod\limits_{s\in S} X_s  := \bigcup\limits_{s\in S} X_s\times \{s\} $ wraz z rodziną przekształceń (włożeń): $ {\frak j} := \{X_t \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} X_s \}_{t\in S}, \quad j_t( x_t) := (x_t, t) $.

%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_koprod_suma_prosta.jpg}}

Zauważmy, że dla $ s\neq t, (X_s\times \{s\})\cap (X_t\times \{t\}) = \emptyset $.

Definicja (#) Sumą prostą (koproduktem) rodziny przestrzeni topologicznych $ \{(X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ nazywamy przestrzeń

$$\coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) := (\coprod\limits_{s\in S}X_s , \sT_*({\mathfrak j}))$$

gdzie $ \sT_*({\mathfrak j} $ jest topologią wprowadzoną przez rodzinę odwzorowań $ {\mathfrak j} $, wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami $ j_t: (X_t,\sT_t)\arr{j_t} \coprod\limits_{s\in S}(X_s , \sT_*({\frak j})). $

Utożsamiając za pomocą $ j_s $ zbiór $ X_s $ z $ X_s\times\{s\} $ możemy powiedziec, że podzbiór $ U\subset \coprod\limits_{s\in S} X_s $ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przecięcia $ U\cap X_s \in\sT_s $, czyli są otwarte w $ (X_s,\sT_s) $. Zauważmy, że włożenia $ j_t\colon (X_t,\sT_t)\to \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s)  $ są zanurzeniami homeomorficznymi.

Stwierdzenie [Sumy proste odwzorowań](#)

  1. Odwzorowanie $ f:  \coprod\limits_{s\in S} (X_s, {\cal T}_s) \to (Y,{\cal T}_Y) $ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ t\in S $ złożenie $  (X_t,\sT_t) \arr {j_t} \coprod\limits_{s\in S} (X_s,\sT_s)  \arr{f} (X_t,{\cal T}_t) $ jest odwzorowaniem ciagłym.
  2. Dla dowolnej rodziny odwzorowań ciągłych $ \{ (X_s,\sT_s) \arr{f_s} (Y,\sT_Y)\}_{s\in S} $ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) \arr{f} (Y,\sT_Y) $ takie, że dla każdego $ s\in S $ zachodzi równość $ f\circ j_s = f_s $.

Podobnie jak w przypadku iloczynów kartezjańskich zbadamy zachowanie poznanych własności topologii ze wzgledu na sumy proste. Jest to jednak dużo łatwiejsze.

Stwierdzenie

  1. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest przestrzenią Hausdorffa.

  2. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia I aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności.
  3. Suma prosta rodziny przestrzeni spełnia II aksjomat przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki spełniają I aksjomat przeliczalności i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  4. Suma prosta rodziny przestrzeni jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami ośrodkowymi i co najwyzej przeliczalnie wiele jest niepustych.
  5. Suma prosta $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ s\in S $ przestrzeń $ (X_s,{\cal T}_s) $ jest metryzowalna.
Dowód: Dowody punktów 1-4 jako bardzo łatwych pomijamy.

Ad 5. $ \implies $ Jeśli $ \coprod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną to dowolna jej podprzestrzeń, zatem także $ (X_s,\sT_s) $ jest przestrzenią metryzowalną.

$ \impliedby $ Jeśli dana jest rodzina przestrzeni metrycznych $ \{(X_s,d_s)\}_{s\in S} $ to w zbiorze $ \coprod\limits_{s\in S}X_s $ określamy metrykę:

$$d(((x,s), (x',t)) = \begin{cases} d'_s(x,x') \quad\text {jeśli} \quad s=t \\ 1 \quad  \text {jeśli} \quad s\neq t \end{cases}$$

gdzie $ d'_s(x,x') : =\min (d_s(x,x'),1). $ W tej metryce kule o środku w punkcie $ (x,s)\in \coprod\limits_{s\in S}X_s $ i promieniu $ <1 $ są identyczne jak kule w metryce $ d_s $ w zbiorze $ X_s $. Stąd wynika, że metryka $ d' $ definiuje topologię $ \sT_*({\mathfrak j}) $. □

Zauważmy, że tak jak w przypadku metryki w produkcie kartezjańskim musielismy ''obciąć'' metryki $ d_i $ (nawet w przypadku sumy dwóch przestrzeni!), tym razem po to, aby spełniona była nierówność trójkąta.

Zadania

Zadanie [Rzutowania w iloczynie kartezjańskim] Wykaż, że rzutowania na czynniki iloczynu kartezjańskiego $ \prod\limits_{s\in S}(X_s,\sT_s)\arr {p_s} (X_s,\sT_s) $ są odwzorowaniami otwartymi (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte), a nie są zawsze odwzorowaniami domkniętymi (tzn. obrazy zbiorów domknętych nie muszą być domknięte.) (p. BCPP Zad. 1.37)
Zadanie Wykazać, że dla dowolnych przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ i podzbiorów $ A\subset X,\, B\subset Y $ zachodzi równość $ \Int (A\times B) = \Int (A)\times\Int (B) $. Czy analogiczna równość zachodzi dla produktów nieskończenie wielu przestrzeni?
Zadanie [Domknięcie w iloczynie kartezjańskim] BCPP Zad. 1.38
Zadanie [Zbiór Cantora] Pokazać, że odwzorowanie $ \prod\limits_1^{+\infty} (\{0,2\},\sT_\delta) \arr{f} ([0,1],\sT_e) $ dane wzorem $ f(\{n_i\}):= \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{n_i}{3^i} $ jest homeomorfizmem na obraz, którym jest zbiór Cantora. p. M.Krych AM1. Przykład 6.5.
Zadanie Jeśli $ A\subset X $, to przez $ X/\{A\} $ lub czasem $ X/A $ oznaczamy zbiór klas abstrakcji relacji $ \sim_A $ takiej, że $ x_1\sim_A x_2 $ wtedy i tylko wtedy gdy $ x_1 = x_2 $ lub $ x_1,x_2\in A $. Wykazać, że jeśli $ A $ jest podziorem domkniętym w $ (X,\sT) $ (odpowiednio otwartym), to rzutowanie $ q\colon (X,\sT) \to (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest odzworowaniem domkniętym (odpowiednio otwartym). Jeśli $ (X,\sT) $ jest przestrzenią metryzowalną, to przestrzeń $ (X/\{A\},\sT_*(q)) $ jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy gdy $ A\subset X $ jest podzbiorem domkniętym.
Zadanie [Bukiet przestrzeni] Niech $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ będzie rodziną przestrzeni topologicznych i w każdej z nich został wyróśniony punkt $ x_s^0\in X_s $. Bukietem tej rodziny nazywamy przestrzeń ilorazową $ (\coprod\limits_{s\in S} X_s)/\sim $ gdzie $ (x_s,s)\sim (x_{s'},s') $ wtedy i tylko wtedy gdy $ (x_s,s)= (x_{s'},s') $ lub $ x_s = x_s^0 $ i $ x_{s'} = x_{s'}^0 $. Bukiet przestrzeni oznaczamy $ \bigvee\limits_{s\in S} X_s $. Wykazać, że dla dwóch przestrzeni, czyli $ S={1,2} $, istnieje homeomorfizm

$$X_1\vee X_2 \simeq (X_1\times \{x_2^0\})\cup  (\{x_1^0\}\times X_2)$$

gdzie ostatni zbiór rozpatrujemy z topologią podprzestrzeni $ X_1\times \{x_2^0\}\cup  \{x_1^0\}\times X_2\subset X_1\times X_2 $. Wykonać rysunek w przypadku, gdy przestrzenie $ X_1,X_2 $ są prostymi, odcinkami lub okręgami.

Zadanie Niech w rodzinie $ \{X_s,\sT_s)\}_{s\in S} $ każda przestrzeń $ (X_s,\sT_s) $ będzie prostą euklidesową $ (\R,\sT_e) $ a jej punktem wyróznionym będzie $ 0 $. Wykazać, że bukiet $ \bigvee\limits_{s\in S} \R $ jest homeomorficzny z podzbiorem płaszczyzny z metryką kolejową wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $ S $ jest skończony.
Zadanie Stwierdzić, które z następujacych przestrzeni, (przypominających bukiet okręgów) są homeomorficzne, a które nie są homeomorficzne. Dla dowolnego punktu płaszczyzny $ x\in\R^2 $ i liczby $ r>0 $ przez oznaczamy $ S^1(x,r) := \{x'\in\R^2\, |\, ||x-x'||=r\} $ czyli okrąg o srodku w punkcie $ x $ i promieniu $ r $. Przez $ S^1 $ oznaczamy okrąg jednostkowy o środku w $ 0 $, czyli $ S^1:=S^1(0,1) $.

  1. Rozbieżne okręgi, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej $ X_1 := \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((n,0),n)\subset\R^2 $
  2. Pawie oczko, czyli podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej : $ X_2= \bigcup\limits_{n=1}^\infty S^1((\frac 1n,0),\frac 1n)\subset\R^2 $
  3. Podprzestrzeń $ X_3 := \{ (z_1,z_2,z_3,\dots )\, |\, \exists_n\forall_{i\neq n} z_i=1\}\subset \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ gdzie w $ \prod\limits_{i=1}^\infty S^1 $ rozpatrujemy topologię produktu kartezjańskiego;
  4. Bukiet przeliczalnej rodziny okręgów z wyróżnionym punktem $ 1\in S^1 $: $ \bigvee\limits_{i=1}^\infty S^1 $
  5. Przestrzeń ilorazowa prostej euklidesowej: $ \R/\{\Z\} $ gdzie $ \Z\subset\R $ oznacza liczby całkowite.
Zadanie [Ilorazy odcinka] }BCPP Zad. 5.2. Narysuj podzbiory płaszczyzny homeomorficzne z tymi przestrzeniami.
Zadanie [Suma prosta odcinków] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ \R\setminus\Z $ gdzie $ \Z $ oznacza (zawsze) liczby całkowite
  2. $ (0,1)\setminus \{\frac{1}{n}\, |\, n\in\N\} $
  3. $ (0,1)\times\N $ , gdzie $ \N $ - liczby naturalne z topologią dyskretną
  4. $ \coprod\limits_{n=1}^\infty X_i $ gdzie $ \forall_{i\in\N}\, X_i = (0,1) $
Zadanie [Nawijanie prostej na okrąg] Wykaż, że $ p:\R\to S^1 $, gdzie $ S^1:=\{v\in\R^2\, |\, ||v||=1\} = \{z\in\C\,|\, |z|=1\}  $, dane wzorem $ p(t) := (\cos 2\pi t , \sin  2\pi t) = e^{2\pi t}  $ jest odwzorowaniem otwartym (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte) oraz definuje homeomorfizm odcinka z utożsamionymi końcami z okręgiem: $ [0,1]/\{0\sim 1\} \arr {\bar p} S^1 $. Zauważyć, że $ p:\R\to S^1 $ jest homomorfizmem jeśli grupy addytywnej $ \R $ w grupę multyplikatywną liczb zespolonych o module 1 i definiuje izomorfizm grup $ \R/\Z \to S^1 $ będący jednocześnie homeomorfizmem przestrzeni topologicznych.
Zadanie [Walec] Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne (p.BCPP Zad. 1.39 A)

  1. $ W_1 := \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 = 1,\, x_3\in\R\} $ (powierzchnia powstała przez obrót prostej $ x_1=1,x_2=0 $ wokół osi $ x_3 $)
  2. $ W_2 := \R^2\setminus \{0\} $
  3. $ W_3 := S^1\times\R $
  4. $ W_4 := [-1,1]\times\R /\sim $ gdzie $ (x,t)\sim (x',t')\, \iff \, |x|=|x'|=1\, t = t' $ lub $ (x,t) = (x',t') $
  5. $ W_5 := \op{Fr} (A),\,  A:= \{ (x_1,x_2,x_3)\in\R^3\, |\, |x_1|^2+|x_2|^2 \leq 1,\, x_3\in\R\} $

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''walec bez brzegu''. Zastępując w punktach a), c), d) prostą $ \R $ odcinkiem $ [-1,1] $ otrzymujemy ''walec z brzegiem (podstawami)''. Nazwa ''walec'' stosowana jest w obu przypadkach.

Zadanie [Wstęga Möbiusa] (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ M_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ powstała przez obrót odcinka $ x_1=1,x_2=0, -1<x_3<1 $ wokół osi $ x_3 $ z jednoczesnym obrotem tego odcinka o kąt $ \pi $
  2. $ M_2 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,-t), $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.
  3. $ M_3 $ -- przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times (-1,1)/\sim $ gdzie $ (z,t)\sim (-z,-t) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Uwaga: Powyżej zdefiniowano ''wstęgę Möbiusa bez brzegu''. Zastępując w a),b),c) odcinek otwarty $ (-1,1) $ odcinkiem domkniętym $ [-1,1] $ otrzymujemy ''wstegę Möbiusa z brzegiem''. Nazwa ''wstęgę Möbiusa'' jest używana zarówno do wstęgi z brzegiem, jak i bez brzegu.

%\bza [Rozcinanie wstęgi Möbiusa] Udowodnić, że przestrzeń $ U:= M_2\setminus \{[s,0]\,|\, s\in [-1,1]\} $ powstała ze wstęgi Möbiusa $ M $ po usunięciu jej ''równika'' (czyli rozcięciu w połowie tworzącej) jest homeomorficzna z walcem $ W $. A co się stanie jeśli zacząć rozcinać wstęgę Möbiusa w $ \frac{1}{3} $ długości tworzącej?

Zadanie [Torus] (p. BCPP Zad. 1.39 B) (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:

  1. $ T_1 $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T_2 := S^1\times S^1 $
  3. $ T_3 $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (t,1)\sim (t,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.