Zbiory zwarte w przestrzeni kartezjańskiej to takie, które są jednocześnie domknięte i ograniczone, czyli zawarte w pewnej kuli. Ważną własnością takich zbiorów jest to, że dowolna funkcja rzeczywista na nich określona przybiera swoje kresy. Podana definicja zwartości wymaga jednak metryki; co więcej zbiór ograniczony w jednej metryce nie musi być ograniczony w innej, wyznaczającej tę samą topologię. Z Analizy Matematycznej znana jest ciągowa definicja zwartości; ona jednak także wymaga wyboru metryki. Okazuje się jednak, że własność zwartości ma charakter topologiczny, a więc może być zdefiniowana jedynie w terminach topologii, a znane z Analizy Matematycznej własności zbiorów zwartych i funkcji na nich określonych przenoszą się na znacznie ogólniejszy kontekst.
Przypomnijmy, że pokryciem zbioru nazywamy rodzinę jego podzbiorów
której suma mnogościowa jest zbiorem
tzn.
. Jeśli
jest przestrzenią topologiczną, to pokrycie
nazywamy otwartym (odp. domkniętym) jeśli wszystkie zbiory
są otwarte (odp. domknięte).
Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.
Pożyteczne bywa następujące kryterium zwartości.
Zwartość, podobnie jak spójność jest zachowywana przez przekształcenia ciągłe.
Ad 2. Niech będzie przestrzenią zwartą, a
jesj podzbiorem domkniętym. Z Stw. [link] wiemy, że
jest przestrzenią Hausdorffa. Rozpatrzmy więc pokrycie otwarte
przestrzeni
. Z definicji topologii podprzestrzeni wynika, ze istnieją zbiory
takie, że
. Rozpatrzmy pokryciem otwarte przestrzeni
zbiorami
Ponieważ
jest zwarta z tego pokrycia można wybrać pokrycie skończone, a więc skończoną liczbe zbiorów
co kończy dowód. □
Z ostatniego twierdzenia wynikaja wnioski bardzo użyteczne przy sprawdzaniu, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne.
Zanim przejdziemy do dowodu twierdzenia Tichonowa sformułujemy bardzo ważny, mający wiele zastosowań lemat o tubie.
%\centerline{\includegraphics[height=7cm]{rys_zwartosc_tuba.jpg}}
Kolejne twierdzenie jest analogiczne do udowodnionego wcześniej stwierdzenia [link] dotyczącego spójności.
Wywnioskujemy teraz tezę twierdzenia Tichonowa dla skończonych rodzin przestrzeni.
Twierdzenie Tichonowa [link] w pełnej ogólności jest równoważne pewnikowi wyboru w teorii mnogości, a jego dowód wymaga zastosowania lematu Kuratowskiego-Zorna [p. BCPP Rozdział 7.3].
Zachowanie zwartości przy pozostałych dwóch operacjach jest znacznie łatwiejsze do sprawdzenia.
Przestrzeń ilorazowa przestrzeni zwartej jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią Hausdorffa (p. Stw. [link]).
Natomiast suma prosta jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie przestrzenie
są zwarte oraz
tylko dla skończenie wielu
Do dowodu implikacji potrzebne będą dwa lematy:
Jeśli
jest dowolnym pokryciem otwartym, to można z niego wyjąc pokrycie przeliczalne, więc do dowodu zwartości wystarczy ograniczyć się do rozpatrywania otwartych pokryć przeliczalną liczbą zbiorów. Niech więc
będzie pokryciem przeliczalnym. Zdefiniujmy zbiory
. Wystarczy wykazać, że istnieje
takie, że
. Rozważmy w tym celu zstepującą rodzinę zbiorów domkniętych
. Ponieważ
, więc istnieje
takie, że
, a więc
. □
Na mocy lematów [link] oraz [link] wystarczy sprawdzić, że dowolna zstepująca przeliczalna rodzina niepustych zbiorów domkniętych ma niepuste przecięcie. Z założenia dowolnie wybrany ciąg elementów
posiada podciąg zbieżny
, którego granica musi należeć do
. □
Niech teraz będzie domkniętym i ograniczonym podzbiorem przestrzeni euklidesowej (metryka euklidesowa!). Wtedy istnieje odcinek
taki, że
Ponieważ kostka
jest zwarta, a więc
jako jej podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym. □
Wskazówka. Jeśli jest przestrzenią metryzowalną, to dla dowolnego zbioru domkniętego przestrzeń ilorazowa
jest Hausdorffa, a zatem jeśli
jest zwarta to
jest też zwarta.