ZUPEŁNOŚĆ

Zupełność to własność metryki mająca swe korzenie w Analizie Matematycznej. Zbiór zupełny w przestrzeni euklidesowej to taki, że granica każdego ciągu Cauchy jego elementów należy do tego zbioru. Własność ta w oczywisty sposób przenosi się na dowolne przestrzenie metryczne, bowiem definicja ciągu Cauchy wyrażona jest w terminach metryki. Zupełność, w odróżnieniu od omawianych wcześniej spójności i zwartości, jest własnością metryki, a nie topologii. Jeśli nawet dwie metryki są równoważne tzn wyznaczają tę samą topologię, to jedna z nich może być zupełna a druga nie. Jednak nie każda topologia pochodząca od metryki może być zdana przez metrykę zupełną - przestrzenie dla których tak jest nazywamy metryzowalnymi w sposób zupełny. Takie przestrzenie mają wiele własności analogicznych do własności topologii euklidesowej.

Ciągi Cauchy i zupełność przestrzeni metrycznych

Znane z Analizy Matematycznej pojęcie ciągu Cauchy liczb przenosi się na dowolne przestrzenie metryczne:

Definicja Ciąg punktów $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ , nazywa się ciągiem Cauchy jeśli dla każdej liczby $ \epsilon>0 $ istnieje liczba $ n(\epsilon) $ taka, że dla dowolnych $ r,s>n(\epsilon) $ zachodzi nierówność $ d(x_r,x_s)<\epsilon $ (czyli ciąg $ d(x_r,x_s) \to 0 $).

Dowolny ciag zbieżny w $ (X,d) $ jest ciągiem Cauchy, lecz nie każdy ciąg Cauchy musi być zbieżny (np. w $ ((0,1),d_e) $).

Stwierdzenie (#) Jeśli $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy to prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli o dowolnie małym promieniu. Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to ciąg $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x_0 $.
Dowód: Niech $ \epsilon >0. $ Z definicji ciągu Cauchy istnieje $ n_0 $ takie, że dla każdego $ n,m \geq n_0 $ zachodzi $ d(x_n,x_m)\leq\frac 12 \epsilon $, a zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w kuli $ B(x_{n_0},\epsilon) $.

Jeśli zbiór $ \{x_n\} $ posiada punkt skupienia $ x_0 $, to istnieje podciąg $ \{x_{n_k}\} $ zbieżny do $ x_0 $. Stąd $ d(x_n,x_0)\leq d(x_n,x_{n_k})+d(x_{n_k},x_0)\leq\epsilon $ dla dostatecznie dużych $ n $ i $ n_k $.□

Definicja Przestrzeń metryczna jest zupełna jeśli dowolny ciąg Cauchy jej elementów jest zbieżny (tzn. posiada granicę).
Stwierdzenie (#) Jeśli $ h\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y) $ jest bijekcją zachowującą odległość (tzn. izometrią) oraz $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną, to $ (Y,d_Y) $ też jest przestrzenią zupełną. □

Zwarta przestrzeń metryczna jest oczywiście zupełna, a z Twierdzenia [link] wynika, że dowolna metryka wyznaczająca topologię zwartą jest zupełna. Zachodzi nawet następujące nieco silniejsze twierdzenie:

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną. Załóżmy, że istnieje liczba $ r>0 $ taka, że dla każdego punktu $ {x\in X} $ domknięcie kuli $ \cl(B(x,r)) $ jest zbiorem zwartym. Wtedy $ (X,d) $ jest przestrzenią zupełną.
Dowód: Niech $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z Stwierdzenia [link] wynika, że prawie wszystkie elementy tego ciągu leżą w pewnej zwartej kuli $  \cl(B(x,r)) $, a więc ten ciąg jest zbieżny. □

Zupełność jest własnością metryczną pokrewną topologicznej zwartości, co świetnie ilustruje kolejne twierdzenie, analogiczne do Lematu [link]. Należy jednak zauważyć, że w ogólności zupełność nie jest własnością topologiczną: dwie metryki mogą być równoważne, ale jedna zupełna a druga nie. Np. w zbiorze liczb rzeczywistych $ \R $ można określić metrykę równoważną z (zupełną) metryką euklidesową, która nie jest zupełna.

Definicja Niech $ A $ będzie podzbiorem w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $. Średnicą zbioru $ A $ nazywa sie liczbę (lub $ +\infty $) $ d(A) := \sup\{d(x,y)\, |\, x,y\in A\} $
Lemat (#) Dla dowolnego podzbioru $ A $ w w przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ zachodzi równość średnic: $ d(A) = d(\cl (A)) $
Dowód: $ d(a,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b)\leq d(a,a_n)+d(a_n,b_n)+d(b_n,b) $ stąd $ d(a,b)\leq d(a_n,b_n) + 2\epsilon $ dla $ n>n_0 $, a więc $ d(A) = d(\cl (A)) $. □
Twierdzenie [Warunek Cantora ( Georg Cantor (St Petersburg 1845 -- 1918 Halle) (#) Przestrzeń $ (X, d) $ jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.
Dowód: Niech $ F_1\supset F_2\supset F_3\supset ... $ będzie zstępującym ciagiem zbiorów domkniętych takich, że $ d(F_i)\to 0 $. Wybierając po jednym punkcie $ x_n\in F_n $ otrzymujemy ciąg Cauchy. Na mocy zupełności $ (X,d) $ posiada on granicę, która musi należeć do $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i $.

Odwrotnie, jeśli $ \{x_i\} $ jest ciągiem Cauchy, to średnice zstępujących zbiorów domkniętych $ F_n :\op{cl}\{x_{n+1}, x_{n+2},...\} $ zbiegają do zera na mocy Lematu [link], a więc $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}F_i \neq 0 $ i punkt z tego zbioru jest granicą ciagu $ \{x_i\}. $

Definicja Przestrzeń metryczna jest całkowicie ograniczona jeśli dla dowolnej liczby $ {\epsilon > 0} $ istnieje pokrycie $ X $ skończenie wieloma zbiorami o średnicy $ <\epsilon $. (Równoważnie: z pokrycia kulami $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.)
Twierdzenie Przestrzeń $ (X,d) $ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie ograniczona i zupełna.
Dowód: $ \implies $ Jak zauważyliśmy dowolna przestrzeń zwarta jest zupełna, a z dowolnego pokrycia $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in X} $ można wybrać pokrycie skończone.

$ \impliedby $ Załóżmy, że $ (X,d) $ jest zupełna i całkowicie ograniczona a $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie dowolnym ciągiem z którego mamy wybrać podciąg zbieżny. SKonstruujemy indukcyjnie zstępujący ciąg zbiorów domkniętych, w którego przecięciu będzie znajdować się granica pewnego podciągu : pokryjmy przestrzeń $ X $ kulami o promieniu 1: $ \{B(x,1)\}_{x\in X} $ i wybierzmy z niego kule w której znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ Załóżmy, że skonstruowaliśmy już ciąg kul domknętych $ \bar B(x_1,1),\dots,\bar B(x_k,\frac 1k) $ takich, że w przecięciu $ F_k:=\bar B(x_1,1)\cap\dots,\cap B(x_k,\frac 1k) $ znajduje się nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $. Pokryjmy $ X $ kulami $ \{B(x,\frac {1}{k+1})\}_{x\in X}. $ Istnieje wśród nich kula, która zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ znajdujących się w $ F_k $. Otrzymaliśmy więc zstępujący ciąg zbiorów domkniętych $ F_1\supset F_2\supset\dots  $ o średnicach zbiegających do 0. na mocy warunku Cantora [link] $ \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ a z konstrukcji wynika, że punkt $ x_0\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} F_i \neq\emptyset $ jest punktem skupienia zbioru u $ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} $ a zatem granicą pewnego podciągu. □

Przestrzenie unormowane

Definicja Przestrzenią unormowaną nazywamy przestrzeń wektorową $ \bV $ nad $ \R $ wyposażoną w normę $ ||\cdot|| :\bV\to \R^+ $ spełniającą warunki:

  1. $ \Vert\vv\Vert = 0\,\iff\, \vv=0 $
  2. $ \Vert\lambda\vv\Vert =|\lambda| \Vert\vv\Vert $
  3. $ \Vert\vv + \ww \Vert\leq \Vert\vv\Vert+ \Vert\ww\Vert $

Norma definiuje metrykę w zbiorze $ \bV $: $ d(\vv,\ww) := \Vert\vv - \ww \Vert $. Jeśli ta metryka jest zupełna, to przestrzeń unormowana nazywa się przestrzenią Banacha ( Stefan Banach (Kraków 1892 -- 1945 Lwów)

Skończenie wymiarowe przestrzenie unormowane

Twierdzenie [Równoważność norm](#) Jeśli $ \bV $ jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad $ \R $ to dowolne dwie normy definiują zupełne, równoważne metryki (tzn. wyznaczające tę samą topologię.)

Wybierzmy bazę $ \vv_1,..,\vv_n\in\bV $ i zdefiniujmy normę $ \Vert\vv\Vert_{\sup}:= \sup\{|\lambda_i|\, |\, \vv=  \sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\}. $ Wykażemy, że dowolna norma $ \Vert\cdot\Vert $ jest równoważna z normą $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ tzn. istnieją stałe $ B,C >0  $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\cdot\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $ oraz $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $.

Lemat Istnieje $ B>0 $ takie, że $ \forall_{\vv\in\bV}\,\Vert\vv\Vert\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup} $, w szczególności odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert\colon \bV\to \R $ jest ciągłe w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $.
Dowód: Niech $ \mu:= \max\{\Vert\vv_1\Vert,...,\Vert\vv_n\Vert\}. $

$$  \Vert\vv\Vert = \Vert\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j\vv_j\Vert \leq \sum\limits_{j=1}^n|\lambda_j\Vert| \vv_j\Vert \leq \mu\sum\limits_{j=1}^n|\lambda_i|\leq B\Vert\vv\Vert_{\sup},\,\text{gdzie}\quad B:=n\mu$$

Lemat Dowolna kula domknięta w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $, czyli zbiór $ D(\vv,r) := \{\ww\in\bV\, |\, \Vert\ww - \vv\Vert_{\sup}\leq r\} $ jest zbiorem zwartym w topologii $ \sT(d_{\Vert\cdot\Vert_{\sup}}) $.
Dowód: Wystarczy rozważyć kule o środku w punkcie $ \vv=0 $. Odwzorowanie liniowe   $ f:(\R^n,\sT_e) \to (\bV,\sT(d_{\Vert\cdot \Vert}) $ takie, że $ f(\lambda_1,..,\lambda_n)=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_i\vv_j $ jest ciągłe na mocy poprzedniego lematu, a więc kula $ D(\vv,r) = f([-r,r]\times ...\times [-r,r]) $ jest zwarta jako obraz zbioru zwartego. □
Lemat Istnieje $ C>0 $ takie, że dla każdego wektora $ {\vv\in\bV} $ zachodzi nierówność $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert $
Dowód: Niech $ c:=\inf\{\Vert\vv\Vert\, |\, \Vert\vv\Vert_{\sup} = 1\}. $ Ciągłość normy $ \Vert\cdot\Vert $ w normie $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oraz zwartość kuli w normie $ \Vert\vv\Vert_{\sup} $ implikują, że $ C>0. $ $ \forall_{\vv\neq 0}\quad \Vert\vv\Vert = \frac{\Vert\vv\Vert}{\Vert\vv\Vert_{\sup}}\Vert\vv\Vert_{\sup}\geq c \Vert\vv\Vert_{\sup} $, a więc $ \Vert\vv\Vert_{\sup}\leq C\Vert\vv\Vert  $, gdzie $ C:=\frac{1}{c} $.□
Dowód:[Dowód twierdzenia o normach] Twierdzenie wynika z lematów 1,3 bowiem jeśli dwie normy $ \Vert\cdot\Vert_1, \Vert\cdot\Vert_2 $ są równoważne, to ciąg jest Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągiem Cauchy ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_2, $ a ciąg $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_1} \ww $ jest zbieżny ze względu na normę $ \Vert\cdot\Vert_1 $ do wektora $ \ww $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ww_i\arr {\Vert\cdot\Vert_2} \ww $

Zauważmy, że zbieżność w sensie normy $ \Vert\cdot\Vert_{\infty} $ oznacza zbieżność współrzędnych wektorów ciągu w wybranej bazie, a na mocy twierdzenia w dowolnej bazie. □

Przestrzenie odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT) $ będzie przestrzenią topologiczną. Przez $ C(X) $ oznaczamy zbiór h funkcji ciagłych $ f\colon (X,\sT)\to (\R,\sT_e) $, a przez $ C_b(X) $ podzbiór składający się z funkcji ograniczonych. Dla dowolnej funkcji $ f\in C_b(X) $ definiujemy

$$\Vert f\Vert_{\sup} := \sup\{|f(x)|\, |\, x\in X\}.$$
Uwaga Jeśli $ (X,\sT) $ jest zwarta, to $ C_b(X) = C(X) $. Jeśli $ X:=\{1,..,n\} $ to   $ C_b(X) = \R\times..\times\R $, a norma $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest identyczna z normą $ \sup $ wyznaczoną przez bazę kanoniczną $ \R^n $.
Stwierdzenie Dla dowolnej przestrzeni topologicznej $ (X,\sT) $ przestrzeń funkcji $ C_b(X) $ wyposażona w odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest przestrzenią Banacha.
Dowód: Przestrzeń funkcji $ C(X) $ jest oczywiście przestrzenią wektorową jeśli położymy: $ (f_1+f_2)(x) := f_1(x)+f_2(x) $ oraz $ (\lambda f)(x) := \lambda f(x) $. To, że odwzorowanie $ \Vert\cdot\Vert_{\sup}\colon C_b(X)\to\R $ jest normą wynika natychmiast z własności wartości bezwzględnej. Pozostaje wykazać, że $ C_b(X) $ z metryką wyznaczoną przez normę $ \Vert\cdot\Vert_{\sup} $ jest zupełna. Niech $ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy w $ C_b(X) $. Wynika stąd, że dla każdego $ x\in X $ ciąg wartości $ f_n(x) $ jest ciągiem Cauchy liczb rzeczywistych, a więc ma granicę, którą oznaczymy $ f(x) $. Otrzymujemy w ten sposób funkcję $ f:X\to\R $, która oczywiście jest ograniczona; pozostaje sprawdzić jej ciągłość. Wynika to z następnego, nieco ogólniejszego lematu. □
Lemat Niech $ \{f_n:X\to\R\} $ będzie ciągiem funkcji ciągłych na przestrzeni $ (X,\sT) $, a $ f\colon X\to\R $ taką funkcją, że ciąg $ \sup_{x\in X}|f_n(x) - f(x)| $ jest zbieżny do zera -- (tzn. ciąg $ \{f_n\} $ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $ f:X\to\R $). Wtedy $ f $ jest funkcją ciągłą.
Dowód:Niech $ x_0\in X $ i $ \epsilon>0 $. Trzeba wskazać otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ \forall_{x\in U} |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $. Dla dowolnego $ x\in U $ zachodzi nierówność:

$$|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|.$$

Dobierając dostatczenie duże $ n $ zapewnimy, że pierwszy i trzeci składnik bedą dowolnie małe, w szczególności $ \frac 13\epsilon $, dla wszystkich $ x\in X $. Z kolei dzięki ciągłości funkcji $ f_n $ możemy znaleźć otoczenie $ U\ni x_0 $ takie, że $ |f_n(x) - f_n(x_0)|<\frac 13\epsilon $ dla $ x\in U $, co kończy dowód ciągłości $ f $. □

Uwaga Przestrzenie $ C_b(X) $ są na ogół nieskończenie wymiarowe i istnieje w nich wiele norm definiujących nierównoważne i niezupełne metryki. Np. wzór $ \Vert f\Vert_{\int} := \int\limits_{0}^{1} |f(t)|dt $ zadanie normę w przestrzeni $ C([0,1]) $, jednak przestrzeń metryczna $ (C([0,1]),d_{\int}) $ nie jest zupełna a metryki $ d_{\sup}, d_{\int} $ nie są równoważne.

Przestrzenie metryczne w arytmetyce - norma $ p $-adyczna

Stwierdzenie Niech $ p $ będzie liczbą liczba pierwszą. Odwzorowanie $ |\cdot |_p:\Z\to \R, $ $ |m|_p := p^{-\alpha} $ gdzie $ m=p^{\alpha}k,\, (p,k)=1,\, |0|_p=0 $, które nazywa się normą $ p $-adyczną ma nastepujące własności:

  1. $ |n|_p=0\,\iff\, n=0 $
  2. $ |n\cdot m|_p = |n|_p \cdot |m|_p $
  3. $  |n+m|_p\leq |n|_p + |m|_p $ -- nierówność trójkąta
  4. $ |x+y|_p \leq \max (|x|_p,|y|_p) $ -- silna nierówność trójkąta

i wyznacza w $ \Z $ metrykę $ p $-adyczną: $ d_p(n,m) := |n-m|_p. $

Uwaga Zauważmy, że metryka $ d_p $ jest przesuwalna tzn. dla ustalonej liczby $ n_0 $ odwzorowanie $ \tau_{n_0}(m) := n_0 +m $ jest izometrią. Dowolne dwie kule są albo rozłączne, albo jedna jest zawarta w drugiej. Przestrzenie metryczne $ (\Z,d_p) $ nie są zupełne.

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Definicja Niech $ f:X\to X $ będzie dowolnym odwzorowaniem zbioru $ X $ w siebie. Punktem stałym odwzorowania nazywamy element $ x\in X $ taki, że $ f(x)=x $.

Twierdzenia o istnieniu punktów stałych odgrywają ogromną rolę w wielu działach matematyki. Poniższe twierdzenie mówi nie tylko o istnieniu punktów stałych dla ważnej klasy odwzorowań, ale dostarcza także algorytmu jego poszukiwania:

Twierdzenie [S.~Banach](#) Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną a $ f\colon X\to X $ odwzorowaniem zbliżającym tzn. takim dla którego istnieje liczba $ 0\leq c<1 $ taka, że dla dowolnych punktów $ x,y\in X $ zachodzi nierówność $ d(f(x),f(y))< cd(x,y) $. Wtedy $ f $ posiada dokładnie jeden punkt stały.
Dowód: Zauważmy, że przekształcenie zbliżające musi być ciągłe, przeprowadza więc ciągi zbieżne na ciągi zbieżne. Wybierzmy dowolny punkt $ x\in X $ i rozpatrzmy ciąg $ \{x_n\} $ określony rekrencyjnie $ x_1 := x $, $ x_{n+1} := f(x_n) $. Łatwo sprawdzić, że ten ciąg jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę $ x_0 $. Z ciągłości odwzorowania $ f $ wynika, że $ f(x_0)=x_0 $. Jeśli punt $ x_0' $ byłby innym punktem stałym, to $ d(x_0,x_0') =  d(f(x_0),f(x_0')) $, co przeczy zalożeniu iż $ f $ jest odwzorowaniem zbliżającym.□

Zupełność a konstrukcje przestrzeni metrycznych

Omawiając konstrukcje przestrzeni topologicznych (Rozdział 4) zauważalismy które z nich zachowują metryzowalność, pokazując w jaki sposób mogą być przeprowadzane na przestrzeniach metrycznych. W przypadku podprzestrzeni było to po prostu obcięcie metryki, przestrzenie ilorazowe przestrzeni metryzowalnych nie są często metryzowalna, a nawet jeśli są nie dziedziczą naturalnej metryki. W przypadku nieskończonego produktu kartezjańskiego i sumy rozłącznej wyjściowe metryki musiały być zamienione na metryki ograniczone z gory przez 1. Zauważmy jednak, że jeśli $ (X,d) $ jest przestrzenią metryczną, to metryka ''obcięta'' $ d'(x,y) := \min (d(x,y),1) $ nie tylko wyznacza tę samą topologię, co $ d $, ale także wyznacza tę samą klasę ciągów Cauchy, a więc jeśli $ d $ jest zupełna to i $ d' $ jest zupełna.

Stwierdzenie [Podprzestrzenie zupełne] Jeśli podprzestrzeń przestrzeni metrycznej jest zupełna, to jest domknięta. Dowolna domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej jest zupełna.
Dowód: Jeśli $ A\subset X $ jest podzbiorem przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ takim, że przestrzeń metryczna $ (A,d|A) $ jest zupełna. Niech $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem elementów $ A $ zbieżnym do elementu $ x_0\in A $. Skoro $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny w $ (X,d) $ , to jest ciągiem Cauchy, a więc posiada granicę w $ A $. Ponieważ każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę, $ x_0\in A $, a więc $ A $ jest zbiorem domknętym. Jeśli podprzestrzeń $ (A,d|A)\subset (X,d) $ przestrzeni zupełnej jest domknięta to dowolny ciąg Cauchy $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ posiada granicę w $ X $, która na mocy domkniętości $ A $ należy do $ A $. □
Stwierdzenie [Zupełność produktu] Przeliczalny (w tym skończony) produkt produkt przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie czynniki są przestrzeniami zupełnymi.
Dowód: Niech $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ będzie przeliczalną rodziną przestrzeni metrycznych. Przypomnijmy, że w zbiorze $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ definiujemy metrykę:

$$d'(x,y) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x_i,y_i)$$

gdzie $ d'_i(x_i,y_i) := \min (d_i(x_i,y_i),1). $ (W przypadku skończonego produktu $ (X_1,d_1)\times\dots\times (X_k,d_k), $ można metrykę zdefiniować prościej: $ d(x,y) := \sum\limits_{i=1}^k d(x_i,y_i). $)

Jeśli produkt $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ jest przestrzenią zupełną, to dowolna podprzestrzeń $ (X,d_i') $ (z zatem też $ (X,d_i) $ jest zupełna bowiem jest izometryczna z podzbiorem domkniętym $ \prod\limits_{i=1}^\infty X_i $ (p.Lemat [link].

Odwrotnie, załóżmy że wszystkie przestrzenie $ \{(X_i,d_i)\}_{i=1}^{\infty} $ są zupełne. Niech $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ będzie ciągiem Cauchy. Z definicji metryki produktowej wynika, że dla każdego $ k\in\N $ ciąg $ \{x^n_k\}_{n=1}^{\infty} $ jest ciągiem Cauchy w $ (X_k,d_k) $, a więc jest zbieżny do pewnego punktu $ x^0_k $. Pokażemy, że ciąg $ \{x^n\}_{n=1}^{\infty} $ jest zbieżny do $ x^0 $. Niech $ \epsilon >0 $, dla dostatecznie dużych $ N $ i $ n>N $ zachodzą nierówności:

$$d'(x^n,x^0) := \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) \leq \sum\limits_{i=1}^N \frac{1}{2^i}d'(x^n_i,x^0_j) +\frac 12 \epsilon \leq  \frac 12 \epsilon + \frac 12 \epsilon = \epsilon$$

Stwierdzenie [Zupełność sumy] Suma rozłączna przestrzeni zupełnych jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są przestrzeniami zupełnymi.

Twierdzenie Baire'a i topologiczna zupełność

Zupełność przestrzeni metrycznej $ (X,d) $ pociąga pewną ważną wlasność topologii $ \sT(d) $, która może być przyjęta za definicję zupełności w sensie topologicznym.

Twierdzenie [ René-Louis Baire (Paryż 1874 - 1918 Chambéry, Francja) ] Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to przecięcie dowolnej rodziny $ \rodz{U}=\{U_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów otwartych i gęstych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem gęstym.
Dowód: Niech $ V\in\sT(d) $ będzie niepusty. Trzeba pokazać, że $ V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i \neq\emptyset. $ Z gęstości $ U_i  $ mamy $ \forall_i\, V\cap U_i\neq\emptyset $, a więc można wybrać punkt $ x_1\in V\cap U_1\neq\emptyset $ oraz promień $ r_1>0 $ taki, że $ \bar B(x_1,r_1))\subset  V\cap U_i $, a następnie skonstruuować indukcyjnie zstępujący ciąg domknięć kul: $ \bar B(x_i,r_i)\subset B(x_{i-1},r_{i-1})\cap U_{i-1} $ , takich, że $ r_i\to 0 $. Z zupełności $ (X,d) $ mamy

$$V\cap\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}U_i  \supset \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} \bar B(x_i,r_i) \neq\emptyset. $$

Stwierdzenie Jeśli $ (X,d) $ jest zupełną przestrzenią metryczną, to suma dowolnej rodziny $ \rodz{F}=\{F_i\}_{i=1}^{\infty} $ zbiorów domkniętych i brzegowych w topologii $ \sT(d) $ jest zbiorem brzegowym.
Dowód: Dowód wynika natychmiast z praw de Morgana, bowiem dopełnienia zbiorów domkniętych i brzegowych są zbiorami otwartymi, gęstym. Mamy więc $ X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i = \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}(X\setminus F_i) $ jest zbiorem gęstym a więc $ \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} F_i $ jest zbiorem brzegowym. □

Twierdzenie Baire'a i wnioski z niego, stosowane do przestrzeni odwzorowań ma wiele zastosowań w Analizie Matematycznej i Topologii Różniczkowej.

Zadania

Zadanie [Metryka kolejowa i rzeczna] BCPP Zad. 3.2
Zadanie [Metryka całkowa] Czy metryka całkowa, określona w BCPP Zad. 1.7 jest zupełna?
Zadanie [Ciągi liczb naturalnych] Czy przestrzeń określona w BCPP 1.8 jest zupełna ?
Zadanie [Przestrzenie przeliczalne] Zauważyć, że przeliczalna przestrzeń metryczna, która ma więcej niż jeden punkt nie jest spójna, ale może nie mieć punktów izolowanych. Rozwiązać BCPP Zad. 3.6.
Zadanie Jeśli $ f\colon (X,d_X) \to (Y,d_Y) $ jest ciagłą surjekcją oraz $ \exists_{c>0}\forall_{x_1,x_2\in X}\,d_X(x_1,x_2) \leq cd_Y(f(x_1),f(x_2)) $ (w szczególności jeśli $ f $ jest izometrią) to jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (Y,d_Y) $ jest zupełna.
Zadanie Jeśli $ (X,d_X) $ jest zupełna, to $ (X,d') $ gdzie $ d' (x_1,x_2) := \min (d_X (x_1,x_2), 1) $ też jest zupełna. Uogólnić ten fakt podając warunki na funkcję $ \phi\colon\R_{\geq 0} \to \R_{\geq 0} $ gwarantujące, że $ d_\phi (x_1,x_2) := \phi (d(x_1,x_2) ) $ jest metryką oraz, że jest zupełna.(p. BCPP Zad. 1.5)
Zadanie [Sumy zbiorów zwartych] BCPP Zad. 3.16
Zadanie [Metryzowalność w sposób zupełny] BCPP Zad. 3.10
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.13
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.14
Zadanie [Tw. Baire'a] BCPP Zad. 3.15
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.23
Zadanie [Kostka Hilberta] BCPP Zad. 3.36
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.27
Zadanie [Punkty stałe] BCPP Zad. 3.28