HOMOTOPIA

Homotopia to relacja równoważności między przekształceniami ciągłymi ustalonych przestrzeni, precyzująca intuicję ciągłej modyfikacji jednego przekształcenia w drugie. W Analizie Matematycznej pojęcie homotopii jest znane pod postacią rodzin funkcji zależnych od parametru rzeczywistego. Relacja homotopii przekształceń prowadzi do zdefiniowania homotopijnej równoważności przestrzeni topologicznych, grubszej od relacji homeomorfizmu. Okazuje się jednak, że bywa łatwiej pokazać iż pewne przestrzenie topologiczne (np. powierzchnie) nie są homotopijnie równoważne, niż wykazać bezpośrednio iż nie są homeomorficzne. Homotopijne własności płaszczyzny zespolonej z usuniętym zerem prowadzą do dowodu podstawowego twierdzenia algebry.

Homotopia odwzorowań

Definicja Niech $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ będą przestrzeniami topologicznymi, a $ I :=[0,1] $ będzie odcinkiem z topologią euklidesową. Homotopią nazxywamy dowolne przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times I \to Y $. Przekształcenia $ f_0,f_1\colon X\to Y $ nazywamy homotopijnymi jeśli istnieje homotopia $ F\colon X\times I \to Y $ taka, że dla każdego $ x\in X $ zachodzą równości   $ F(x,0)=f_0(x),\, F(x,1) = f_1(x) $ i oznaczamy $ f_0\sim f_1 $ lub jeśli chcemy pamiętać jaka homotopia je łączy $ f_0\sim_F f_1 $ .
Stwierdzenie (#) Homotopia $ \sim $ jest relacją równoważności w zbiorze odwzorowań $ \Map (X,Y) $.
Dowód: Sprawdzimy trzy warunki, które musi spełniać relacja równoważności:

Zwrotność. Każde przekształcenie $ f\colon X\to Y $ jest homotopijne ze sobą przez homotopię stałą: $ F\colon X\times I\to Y,\, F(x,t) := f(x) $.

Symetria. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $, to $ F'\colon X\times I\to Y,\, F'(x,t) := F(x,1-t) $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_0 $.

Przechodniość. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między $ f_1 $ i $ f_2 $ to $ H\colon X\times I\to Y $ zdefiniowane przez $ F $ na dolnej połowie walca i przez $ G $ na górnej połowie:

$$H(x,t) := \begin{cases} F(x,2t)\,\text{dla}\, 0\leq t\leq \frac 12 \\ G(x,2t-1)\,\text{dla}\, \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

jest homotopią między $ f_0 $ a $ f_2 $. □

    

Zbiór klas homotopii oznaczamy $ [X,Y] := \Map (X,Y)/\sim $. Zauważmy, że   $  [\{p\},X] = \pi_0(X) $, gdzie $ \{p\} $ -- przestrzeń jednopunktowa, jest rozważanym poprzednio zbiorem składowych łukowych przestrzeni $ X $.

Stwierdzenie Dowolne dwa przekształcenia $ f_0,f_1\colon X \to W $ gdzie $ W\subset\R^n $ jest podzbiorem wypukłym są homotopijne przez homotopię $ F(x,t) := (1-t)f_0(x)+tf_1(x) $, zwaną homotopią afiniczną.

Składanie przekształceń zachowuje relację homotopii:

Stwierdzenie (#) Jeśli $ f_0,f_1\colon X\to Y $ oraz $ g_0,g_1\colon Y\to Z $ oraz $ f_0 \sim f_1 $ i~$ g_0\sim g_1 $, to ich złożenia są homotopijne: $ g_0f_0\sim g_1f_1 $
Dowód: Skonstruujemy homotopie $ g_0f_0\sim  g_0f_1\sim g_1f_1 $ i skorzystamy z przechodniości relacji homotopii. Niech $ F\colon X\times I\to Y $ będzie homotopią między $ f_0 $ i $ f_1 $ a $ G\colon Y\times I\to Z $ homotopią między $ g_0 $ i $ g_1 $. Wtedy złożenie $ X\times I\arr {F} Y \arr {g_0} Z $ jest homotopią $ g_0f_0\sim  g_0f_1 $ a złożenie $ X\times I \arr {f_1\times id} Y\times I\arr {G} Z $ jest homotopią $ g_0f_1\sim g_1f_1 $. □
Stwierdzenie (#) Jeśli $ f:X\to Y $, to dla dowolnej przestrzeni $ Z $ są dobrze określone przekształcenia $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y],\, f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ . Jeśli $ f\sim g $ to $ f_{\#} = g_{\#} $ i $ f^{\#} = g^{\#} $. Jeśli dane są dwa przekształcenia $ X\arr {f} Y\arr {g} Z $, to $ (gf)_{\#} = g_{\#}f_{\#} $ oraz $ (gf)^{\#} = f^{\#}g^{\#} $.
Dowód: Wynika natychmiast z definicji i z poprzedniego Stwierdzenia. □

Następne twierdzenie powiada, że przekształcenia bliskie o wartościach w otwartych podzbiorach przestrzeni euklidesowych są homotopjne.

Twierdzenie Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą, a $ W\subset\R^n $ otwartym podzbiorem. Dla każdego przekształcenie $ f\colon X\to W $ istnieje $ \epsilon>0 $ takie, że dowolne przekształcenie $ g\colon X\to W $ dla którego $ d_{\sup}(g,f)<\epsilon $ jest homotopijne z $ f $.
Dowód: Obraz $ f(X)\subset G $ jest podzbiorem zwartym. Zatem jego pokrycie

$$f(X)\subset \bigcup\limits_{x\in X} B(f(x),r_x) \subset W$$

ma liczbę Lebesgue'a $ \lambda >0 $ tzn. dowolne dwa punkty odległe o mniej niż $ \lambda $ leżą w pewnej kuli $ B(f(x),r_x)\subset W $. Zatem jeśli $ d_{\sup}(g,f)<\lambda =:\epsilon $ to afiniczna homotopia   $ F(x,t) = (1-t)f(x)+tg(x) $ jest dobrze określonym odwzorowaniem $ F:X\times I \to W $. □

Definicja Przekształcenie $ f\colon X\to Y $ nazywa się ściągalne jeśli jest homotopijne z przekształceniem stałym w pewien punkt. Przestrzeń $ X $ nazywa się ściągalna jeśli przekształcenie identycznościowe $ Id\colon X\to X $ jest ściągalne.
Przykład Podzbiór $ G\subset\R^n $ nazywamy gwiaździstym jeśli istnieje punkt $ p_0\in G $ (srodek gwiazdy) taki, że dla każdego $ p\in G $ odcinek $ [p_0,p]\subset G $. Zbiory wypukłe są gwiaździste. Dowolny podzbiór gwiaździsty jest ściągalny, a ściagnięcie jest dane wzorem $ F\colon G\times I \to G,\, F(p,t) = (1-t)p_0 + tp. $
Stwierdzenie Dowolne przekształcenie określone na przestrzeni ściągalnej lub o wartościach w przestrzeni ściągalnej jest ściągalne. □

Punktowana homotopia

Jak zobaczymy w dalszych rozdziałach bywa pożyteczne rozpatrywanie przestrzeni topologicznych z wyróżninym punktem i odwzorowań zachowujacych te punkty. Takie sytuacje spotykamy jeśli w przestrzeni występuje struktura algebraiczna (np. przestrzenie wektorowe lub grupy macierzy). Punktem wyróżnionym jest wtedy element neutralny i jest on zachowywany przez homomorfizmy. Dokładniej, punktowaną przestrzenią (lub przestrzenią z wyróżnionym punktem) nazywamy parę $ (X,x_0) $ gdzie $ X $ jest przestrzenią topologiczną (oznaczenie topologii pomijamy), a $ x_0\in X $. Przekształceniem punktowanym nazywamy odwzorowanie punktowanych przestrzeni $ f\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $ takie, że $ f(x_0)=y_0 $.

Definicja (#) Niech $ (X,x_0),\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Homotopią punktowaną nazywamy przekształcenie ciągłe $ F\colon X\times [0,1] \to Y $, takie, że dla każdego $ {t\in I} $, $ F(x_0,t)=y_0 $.

Przekształcenia punktowane $ f_0,f_1\colon (X,x_0)\to (Y,y_0) $homotopijne jeśli istnieje punktowana homotopia $ F\colon X\times [0,1] \to Y $ taka, że $ F(-,0)=f_0,\, F(-,1) = f_1 $.

Definicja punktowanej homotopii prowadzi w oczywisty sposób do definicji punktowanej homotopijnej równoważności. Np. włożenie $ j\colon (S^{n-1},e_1)\subset (\R^n\setminus\{0\},e_1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, gdyż retrakcja $ r\colon (\R^n\setminus\{0\},e_1)\to (S^{n-1},e_1) $ jest przekształceniem punktowanym, $ rj = id_{S^{n-1}} $ oraz $ jr $ i $ id_{\R^n\setminus\{0\}} $ wiąże punktowana homotopia: $ H\colon (\R^n\setminus\{0\})\times [0,1]\to\R^n\setminus\{0\} $ zadana wzorem: $ H(p,t) := (1-t)\frac {p}{||p||} + tp $.

Podobnie jak zwykła homotopia, punktowana homotopia $ \sim  $ jest relacją równoważności w zbiorze przekształceń punktowanych $ \Map_* (X,Y)\subset \Map (X,Y) $. Zbiór klas punktowanej homotopii oznaczamy $ [X,Y]_* := \Map_* (X,Y)/\sim $. Konstrukcje w dowodzie Stw. [link] zachowują homotopie punktowane. Istnieje odwzorowanie zapominania $ \Phi\colon [X,Y]_*\to [X,Y] $ przypisujące klasie homotopii punktowanej odwzorowania jego zwykłą klasę homotopii: $ \Phi [f]_* = [f] $. Odwzorowanie to w ogólności nie musi być ani surjekcją, ani injekcją. Dla odwzorowań w okrąg $ S^1 $ mamy jednak następujące:

Stwierdzenie (#) Dla dowolnej przestrzeni punktowanej $ (X,x_0) $ i punktowanego okręgu $ (S^1,1) $, odwzorowanie $ \Phi\colon [X,S^1]_*\arr {\simeq} [X,S^1] $ jest bijekcją.
Lemat Niech $ z_0\in S^1 $. Odwzorowanie $ f_{z_0}\colon S^1\to S^1,\, f_{z_0}(w) = wz_0 $ jest homotopijne z identycznością.
Dowód: Zdefiniujemy drogę na okręgu łączącą punkty $ 1 $ i $ z_0 $. Zapiszmy punkt $ z_0 $ w postaci trygonometrycznej $ z_0=\cos\alpha + i \sin\alpha $ i zdefiniujmy drogę $ z_0(t) :=\cos t\alpha + i \sin t\alpha $ dla $ t\in [0,1] $ i przy jej pomocy homotopię $ F(w,t) := wz_0(t) $. Homotopią $ F $ łączy przekształcenie $ F(w,0)=w $ z $ F(w,1)= wz_0 $. □
Dowód:[Dowód [link]] Zastosujemy dwukrotnie powyższy lemat.

$ \Phi $ jest surjekcją, bo dowolne $ f\colon X\to S^1 $ jest homotopijne z odwzorowaniem $ g\colon X\to S^1 $ $ g(x) := f(x)f(x_0)^{-1} $ dla którego $ g(x_0)=1 $.

$ \Phi $ jest injekcją. Jeśli $ F\colon X\times I\to Y $ jest homotopią między punktowanymi przekształceniami, to $ G(x,t) := F(x,t)F(x_0,t)^{-1} $ jest punktowaną homotopią. □

Na przestrzeniach punktowanych można wykonywać konstrukcje opisane w Rozdziale 3. Podprzestrzeń przestrzeni punktowanej zawierająca wyróżniony punkt jest oczywiście przestrzenią punktowaną a włożenie przekształceniem punktowanym, przestrzeń ilorazowa jest przestrzenią punktowana - wyróżnionym punktem jest w niej klasa równoważności punktu wyróżnionego. Podobnie produkt kartezjański rodziny przestrzeni z wyróżnionym punktem $ {(X_s,x_s^0)}_{s\in S} $ posiada naturalny punkt wyróżniony $ x^0:=\{x_s^0\}_{s\in S} $, a rzutowania na czynniki są odwzorowaniami punktowanymi. Inaczej jest z konstrukcją sumy prostej; w sumie rozłącznej mamy dwa punkty wyróżnione, które następnie utożsamiamy. Odpowiednik sumy prostej dla przestrzeni punktowanych nazywa się bukietem, co uzasadnia następująca:

Definicja Niech $ (X,x_0)\, (Y,y_0) $ będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Bukietem tych przestrzeni nazywamy przestrzeń punktowaną $ X\vee Y := X\sqcup Y /\sim $ gdzie $ (x_0,1)\sim (y_0,2) $ i punktem wyróżnionym jest klasa $ [(x_0,1)]=[ (y_0,2)] $, wyposażoną w włożenia $ j_X\colon X\to X\vee Y $ oraz $ j_Y\colon Y\to X\vee Y $ (por. Definicja [link]}).

Zauważmy, że bukiet $ X\vee Y $ jest homeomorficzny z podzbiorem produktu kartezjańskiego:

$$X\vee Y = \{(x,y)\in X\times Y\colon x=x_0\,\text{lub}\, y=y_0\}.$$

i ten podzbiór bywa przyjmowany za definicję bukietu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (Z,z_0) $ będzie przestrzenią z wyróżnionym punktem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,Z]_*\to [X,Z]_*\times [Y,Z]_*$$
Dowód: Odwzorowanie $  (j_1^*,j_2^*)\colon \Map_* (X\vee Y,Z)\to \Map_*(X,Z)\times \Map_*(Y,Z) $ jest bijekcją, bo przekształcenia $ X\vee Y\to Z $ są wyznaczone przez pary przekształceń $ X\to Z $, $ Y\to Z $ zgodnych w punktach wyróżnionych. Trzeba pokazać, że odwzorowanie to pozostaje bijekcją po przejściu do klas homotopii. Oczywiście pozostaje surjekcją. Niech $ f,g\colon X\vee Y\to Z $ będą dwoma odwzorowaniami takimi, że $ f|X\sim g|X $ oraz $ f|Y\sim g|Y $ i niech $ H_X\colon X\times I\to Z $ oraz $ H_Y\colon Y\times I\to Z $ będą odpowiednimi punktowanymi homotopiami.Definiujemy homotopię $ H\colon (X\vee Y)\times I\to Z $ następująco (traktujemy $ X\vee Y $ jako podzbiór $ X\times Y $):

$$H(x,y,t)=\begin{cases} H_X(x,t)\quad\text{jeśli}\quad y=y_0 \\ H_Y(y,t)\quad\text{jesli}\quad x=x_0\end{cases}$$

Ponieważ homotopie $ H_X $ i $ H_Y $ są punktowane, więc $ H $ jest dobrze określone, a ponieważ podzbiory $ X\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ oraz $ Y\times I\subset  (X\vee Y)\times I $ są domknięte (tu korzystamy z własności Hausdorffa!), więc $ H $ jest ciągłe. □

Stwierdzenie (#) Niech $ (S^1,1) $ będzie punktowanym okręgiem. Dla dowolnych dwóch przestrzeni Hausdorffa z wyróżnionymi punktami włożenia $ j_X\colon X\subset X\vee Y,\, j_Y\colon Y\subset X\vee Y  $ definiują bijekcję

$$ (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]\to [X,S^1]\times [Y,S^1].$$
Dowód: Ze Stw. (#) otrzymujemy bijekcję zbiorów punktowanych klas homotopii $  (j_1^*,j_2^*)\colon [X\vee Y,S^1]_*\to [X,S^1]_*\times [Y,S^1]_*. $ Dzięki Stw. [link] możemy zastapić zbiory klas punktowanych przez klasy zwykłej homotopii. □

    

Uwaga Ponieważ jak zauważyliśmy włożenie okręgu jednostkowego w płaszczyznę zespoloną bez zera $ (S^1,1)\subset (\C^*,1) $ jest punktowaną homotopijną równoważnością, więc we Wn. [link] mozna zastąpić okrąg przez $ \C^* $.

Homotopijna równoważność

Definicja Przeksztacenie $ f:X\to Y $ nazywa się homotopiją równoważnością jeśli istnieje $ g:Y\to X $ takie, że $ f\circ g \sim Id_Y $ i $ g\circ f\sim Id_X $. Mówimy, że przestrzenie $ X $, $ Y $ są homotopijnie równoważne.
Uwaga Każdy homeomorfizm jest homotopijną równoważnością. Przestrzeń jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
Stwierdzenie Jeśli $ f\colon X\to Y $ jest homotopijną równoważnością i $ Z $ jest dowolną przestrzenią, to przekształcenia indukowane zbiorów klas homotopii $ f^{\#}\colon [Y,Z]\to [X,Z],\, f^{\#}([\phi]) := [\phi\circ f] $ oraz $ f_{\#}\colon [Z,X]\to [Z,Y] $, $ f_{\#}([\psi]) := [f\circ \psi] $ są bijekcjami. W szczególności $ f $ definiuje bijekcję zbiorów składowych łukowych $ f_{\#}\colon \pi_0(X)\to \pi_0(Y) $.
Dowód: Wykażemy, że $ f_{\#} $ jest bijekcją. Niech $ g\colon Y\to X $ będzie homotopijną odwrotnością tzn. $ fg\sim id_Y $ i $ gf\sim id_X $. Z Wniosku [link] otrzymujemy równości $ f_{\#}g_{\#} =  (fg)_{\#} = id_{[Z,Y]} $ i $ g_{\#}f_{\#} = (gf)_{\#} = id_{[Z,X]} $, a więc $ f_{\#} $ jest bijekcją. Podobnie rozumowanie przeprowadzamy dla $ f^{\#} $. □
Przykład Podajemy przykłady ważnych homotopijnych równoważności:

  1. Homotopijną odwrotnością włożenia $ \iota\colon S^{n-1}\subset\R^n\setminus\{0\} $ jest retrakcja $ r\colon\R^n\setminus\{0\} \to S^{n-1},\, r(x):= \frac{x}{||x||} $
  2. Jeśli $ Y $ jest ściągalna, to $ p_X\colon X\times Y \to X $ jest homotopijną równoważnością.
  3. Włożenie równika $ S^1 \hookrightarrow M $ we wstęgę Möbiusa jest homotopijną równoważnością.
  4. $ S^n\setminus \{p_1,p_2\} $ jest homotopijnie równoważna $ S^{n-1} $. A co będzie jeśli wyjąć więcej punktów?
  5. Dopełnienie sfery $ k $ wymiarowej w sferze $ n $-wymiarowej $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważna ze sferą $ S^{n-k-1} $

Jednospójność

Definicja Łukowo spójną przestrzeń $ X $ nazywamy jednospójną jeśli dowolne odwzorowanie $ S^1\to X $ jest ściągalne.
Przykład Dowolna przestrzeń ściągalna jest jednospójna.

W dalszym ciągu będziemy często rozważać w przestrzeni euklidesowej kulę domkniętą o promieniu 1.Wprowadzimy więc oznaczenie $ D^{n+1} := \bar B(0,1)\subset\R^{n+1} $ (litera ''D'' od słowa dysk). Brzegiem dysku $ D^{n+1}\subset\R^{n+1} $ jest oczywiście sfera $ n $--wymiarowa $ S^n = \{x\in\R^{n+1}\, |\, ||x||=1\} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n \geq 0 $ odwzorowanie $ f\colon S^n\to X $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie $ \bar f\colon D^{n+1}\to X $ takie, że $ \bar f|S^n = f $.
Dowód: $ \implies $ Jeśli $ f $ jest ściągalne, to istnieje homotopia $ F\colon S^n\times [0,1]\to X $ taka, że $ F(x,0)=x_0 $ i $ F(x,1)=f(x) $. Rozpatrzmy odwzorowanie $ q\colon S^n\times [0,1] \to D^{n+1},\, q(\vv,t):=t\vv $. Ponieważ $ q $ jest domknięte (a więc ilorazowe) odwzorowanie $ \bar f ([\vv,t]) := F(\vv,t) $ jest dobrze zdefiniowanym i ciągłym rozszerzeniem $ f $.

$ \impliedby $ Jeśli $ f $ rozszerza się na $ D^{n+1} $ to jest ściągalne, bowiem dysk jest ściągalny jako podzbiór wypukły. Ściągnięcie $ f $ można zadać wzorem: $ F(\vv,t) := (1-t)f(\vv)+ t{\bf e_1} $, gdzie $ {\bf e_1} $ jest wektorem bazy kanonicznej. □

Zamiast odzwzorowań zdefiniowanych na okręgu $ S^1\subset\R^2 $ wygodnie jest rozważać zamknięte drogi (pętle) czyli odzwzorowania określone na odcinku $ \omega\colon [0,1]\to X $ takie, że $ \omega (0) = \omega (1) $. Nawet jesli interesują nas pętle, to pożyteczne jest też rozpatrywanie dróg o różnych początku i końcu.

Stwierdzenie (#) Niech $ (X,\sT_X) $ będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie $ p\colon [0,1] \to S^1 $ dane wzorem $ p(t):=(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t) $ ustanawia bijekcję między zbiorem dróg zamkniętych (pętli) w $ X $ tzn. odwzorowań $ \omega\colon [0,1]\to X $ takich, że $ \omega (0) = \omega (1) $ a zbiorem odwzorowań $ S^1\to X $.
Dowód: Dowolnemu odwzorowaniu $ \alpha\colon S^1\to X $ przypisujemy drogę zamkniętą $ \alpha_p := p\circ\alpha\colon I\to X $. Odwrotnie, jeśli $ \omega\colon [0,1]\to X $ jest drogą zamkniętą, to odwzorowanie   $ \omega^p\colon S^1\to X,\,  \omega^p(z) := \omega (t) $ gdzie $ p(t)=z $ jest dobrze zdefiniowane i jest ciągłe, ponieważ $ p $ jest odwzorowaniem ilorazowym (a nawet domkniętym). □

Przypomnijmy z GAL, że odwzorowanie $ f\colon [a,b] \to \R^n $ nazywa się afiniczne jeśli zachowuje kombinacje wypukłe tzn. dla każdego $ t\in [0,1] $ zachodzi równość

$$f((1-t)a+tb) = (1-t)f(a)+tf(b).$$

Obrazem przekształcenia afinicznego jest odcinek euklidesowy łączący punkty $ f(a) $ i $ f(b) $.

Definicja

  1. Drogę $ \omega\colon I\to A\subset \R^n $ nazywamy kawałkami afiniczną (lub kawałkami liniową) jeśli istnieje podział odcinka $ 0=t_0<\dots <t_{n-1}<t_n=1 $ taki, że obcięcia $ \omega | [t_i,t_{i+1}] $ są przekształceniami afinicznymi.
  2. Drogę $ \omega\colon [0,1]\to \R^n $ nazywamy łamaną jeśli jest afiniczna i jest przekształceniem różnowartościowym (a więc homeomorfizmem $ \omega\colon [0,1]\arr {\simeq} \omega ([0,1]) $).
Lemat (#) Dla dowolnej drogi $ \alpha\colon [0,1]\to\R^n $ i liczby $ \epsilon>0 $ istnieje droga kawałkami afiniczna $ \beta\colon [0,1]\to\R^n $ taka, że $ \alpha(0)=\beta(0) $, $ \alpha(1)=\beta(1) $ oraz $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $.
Dowód: Pokryjmy obraz $ \alpha ([0,1]) $ kulami euklidesowymi o środkach $ x\in \alpha ([0,1]) $ i promieniach $ \epsilon $: $ \{B(x,\epsilon)\}_{x\in\alpha ([0,1])} $ i rozpatrzmy pokrycie odcinka przeciwobrazami $ \{\alpha^{-1}(B(x,\epsilon))\}_{x\in\alpha ([0,1])}. $ Niech $ \lambda >0 $ będzie liczbą Lebesgue'a tego pokrycia a $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}<t_n=1 $ podziałem odcinka takim, że $ |t_i - t_{i+1}|<\lambda $. Niech $ \beta_i\colon [t_i,t_{i+1}] \to \R^n $ będzie drogą afiniczną łączącą punkt $ \alpha (t_i) $ z $ \alpha (t_{i+1}) $. Definiujemy kawałkami afiniczną drogę $ \beta (s) := \beta_i(s) $ jesli $ t_i\leq s\leq t_{i+1} $. Oczywiście $ d_{\sup}(\alpha,\beta)<\epsilon $. □
Twierdzenie Dla $ n>1 $ sfera $ S^n $ jest jednospójna.
Dowód: Niech $ \alpha\colon I\to S^n $ będzie dowolną pętlą (tzn. $ \alpha (0)=\alpha (1) = p_0 $). Pokażemy, że jest ona homotopijna z pętlą, której obraz nie jest całą sferą, a więc zawartą w zbiorze ściągalnym $ S^n\setminus \{p\} \simeq \R^n $. Rozważmy naszą pętlę jako odwzorowanie w całą przestrzeń euklidesową $ \alpha\colon I\to S^n\subset\R^{n+1} $ i korzystając z Lematu [link] wybierzmy kawałkami afiniczną petlę zaczepioną w $ p_0 $ $ \beta\colon I\to \R^{n+1} $ taką, że $ d_{\sup}(\alpha,\beta)< 1 $. Wynika stąd, że $ \beta\colon I\to \R^{n+1}\setminus\{0\} $ a także obraz homotopii afinicznej $ F(s,t) : (1-t)\alpha (s) + t \beta (s) $ leży w $ \R^{n+1}\setminus\{0\} $. Składając tę homotopię z retrakcją $ r\colon\R^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n,\, r(x):= \frac{x}{||x||} $ otrzymujemy homotopię $ H := r\circ F\colon I\times I \to S^n $ łączącą pętlę $ \alpha\colon I\to S^n $ z pętlą $ r\circ\beta\colon I\to S^n $. Zauważmy, że $ r(\beta (I)) $ jest suma mnogościową skończonej liczby łuków, a więc nie wypełnia sfery, skąd wynika, że $ \alpha\sim\beta $ jest ściagalna. □
Uwaga W pdoobny sposób można wykazać, że dla $ k<n $ dowolne odwzorowanie $ S^k\to S^n $ jest ściągalne.

Jak zobaczymy sfera jednowymiarowa, czyli okrąg $ S^1 $ nie jest jednospójna -- gdyby była, to każda przestrzeń byłaby jednospójna! W dalszych rozdziałach zajmiemy się zbadaniem zbioru klas homotopii odzworowań $ [S^1,S^1] $ i wykazaniem szeregu wniosków dotyczących topologii powierzchni.

Odwzorowanie wykładnicze i logarytm

This is the most important function in mathematics.

Walter Rudin Real & Complex Analysis. Second Edition.McGraw-Hill Series in Higher Mathematics 1966, Prologue.

    

Opiszemy jedno z najważniejszych odwzorowań topologii i analizy zespolonej, mające daleko idące uogólnienia w geometrii różniczkowej. Od tej pory wygodnie nam będzie traktować płaszczyznę euklidesową $ \R^2 $ jako zbiór liczb zespolonych $ \C $ i korzystać z dodawania i mnożenia liczb zespolonych. Płaszczyznę euklidesową traktowaną jako ciało liczb zespolonych nazywa się płaszczyną Gaussa ( Carl Friedrich Gauß (Braunschweig 1777 - 1855 Göttingen). Będziemy też oznaczać $ \C^* := \C\setminus\{0\} $ zbiór liczb zespolonych różnych od zera, który jest grupą abelową ze względu na mnożenie liczb zespolonych.

Definicja Jeśli $ z=x+iy $ jest liczbą zespoloną to definiujemy

$$\exp(z) := e^z =  e^{x+iy} = e^xe^{iy} = e^x(\cos y + i\sin y)\in\C^*.$$

Część rzeczywistą liczby zespolonej $ z=x+iy $ będziemy oznaczać $ \Re (z) := x $ a część urojoną $ \Im (z) := y $. Przez $ \arg (z) $ argument liczby $ z $, czyli liczbę $ 0\leq \theta <2\pi  $ taką, że $ z=|z|(\cos \theta + i \sin\theta) $, gdzie $ |z| $ jest modułem $ z $.

Stwierdzenie [Własności $ \exp $] (#) Odwzorowanie $ \exp\colon\C\to\C^* $, (oznaczane krócej $ p:=\exp $) ma następujące własności:

  1. $ p(z_1+z_2) = p(z_1)p(z_2),\, p(0)=1 $, czyli $ p $ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb zespolonych w grupę multyplikatywną liczb zespolonych różnych od zera;
  2. Jądro homomorfizmu $ p $ składa jest podgrupą generowaną przez elment $ 2\pi i\in\C $, a więc $ \ker p = 2\pi i\Z \simeq \Z $ oraz $ p(z)=p(z') $ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że $ z' = z +2k\pi i $;
  3. Dla ustalonego punktu $ z_0\in \C^* $ oznaczmy półprostą $ L_{z_0} ^*:= \{tz_0 \colon t\in\R_+ \}\subset\C^* $. Przeciwobraz pólprostej $ p^{-1}(L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) = \arg (z) + 2\pi k,\, k\in \Z\} $, czyli jest sumą rozłączną przeliczalnie wielu prostych równoległych do osi rzeczywistej.
  4. Przeciwobraz $ p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) $ jest sumą rozłączną otwartych pasów
    $$U_k(z_0) :=\{z\in\C\colon \arg(z_0) + 2k\pi  < \Im (z) < \arg(z_0)+  2(k+1)\pi\}$$

    a każdy z nich jest odwzorowywany przez $ p $ homeomorficznie na $ \C^*\setminus L_z ^* $, a więc $ p $ jest otwartą surjekcją.

  5. Przeciwobrazem okręgu o promieniu $ r>0 $, $ S^1_r := \{z\in\C^*\colon |z| =r\} $ jest prosta równoległa do osi urojonej $ x= \log r $.
Dowód: Ad 1,2. Równości wynikają z definicji funkcji wykładniczej przez szereg zespolony badź z własności rzeczywistych funkcji trygonometrycznych.

Ad 3. Z definicji funkcji $ \exp $ wynika, że

$$p^{-1}(\C^*\setminus L_{z_0} ^*) = \{z\in\C\colon \Im (z) \neq \arg (z_0) + 2k\pi i \}.$$

Żeby pokazać, że $ p\colon U_k(z_0)\to \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ jest homeomorfizmem skonstruujemy odwzorowanie odwrotne $ \log_k\colon \C^*\setminus L_{z_0}^* \to U_k(z_0) $ dane wzorem

$$\log_k(w) := \log |w| + (\arg (z_0) + \theta (w)+ 2k\pi)i$$

gdzie $ \theta (w) $ jest kątem między półprostą $ L_{z_0}^* $ a wektorem $ w\in\C^* $. Ciągłość tego odwzorowania wynika z ciągłości logarytmu rzeczywistego oraz funkcji $ \theta\colon \C^*\setminus L_{z_0} ^*\to (0,2\pi) $. Ponieważ pasy $ U_k(z_0) $ i dopełnienia półprostych $ \C^*\setminus L_{z_0} ^* $ są podzbiorami otwartymi, a więc $ p $ jest odwzorowaniem otwartym. □

Działanie przekształcenia $ \exp $ na prostych siatki współrzędnych kartezjańskich pokazano na poniższej wizualizacji (u góry płaszczyzna $ \C $, u dołu $ \C^* $):

Definicja Logarytmem odwzorowania ciagłego $ f\colon X\to \C^* $ będziemy nazywać dowolne odwzorowanie ciagłe $ \tilde f \colon  X\to \C $ takie, że $ \exp\circ\tilde f = f $, czyli dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość $ \exp (\tilde f(x)) = f(x) $ tzn. diagram przekształceń:

\[ \begin{align*} \xymatrix{   &  \C \ar[d]^{\exp}\\  		X\ar[r]^f \ar[ru]^{\tilde f} & {\C^*}} \end{align*}  \]

jest przemienny.

Zauważmy, że identyczność $ Id\colon\C^* \to \C^* $ nie posiada logarytmu, nawet na podzbiorze $ A\subset\C^* $, o ile zawiera on okrąg okrążający zero.

Stwierdzenie [Jednoznaczność logarytmu] (#)

  1. Niech $ f\colon X\to \C^* $. Jeśli $ \tilde f  \colon  X\to \C $ jest logarytmem $ f $, to dla każdej liczby całkowitej $ k\in\Z $, $ \tilde f_k(x) := \tilde f (x) + 2k\pi i $ jest także logarytmem $ f $.
  2. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $, takimi, że dla pewnego punktu $ x_0\in X $ $ \tilde f_1 (x_0)=\tilde f_2 (x_0) $ to $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $
  3. Jeśli $ X $ jest spójna i $ \tilde f_k  \colon  X\to \C,\, k=1,2 $ są logarytmami odwzorowania $ f\colon X\to \C^* $ to istnieje liczba całkowita $ k\in\Z $ taka, że dla każdego $ x\in X $ $ \tilde f_1(x) - \tilde f_2(x) = 2k\pi i  $.
Dowód:

Ad 1. Wynika bezpośrednio z Tw. [link] pkt. 2.

Ad 2. Załóżmy, że $ X $ jest przestrzenią spójną. Wykażemy, że zbiór

$$\{x\in X\colon \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) \}$$

jest otwarto -- domknięty. Domkniętość wynika stąd, że $ \C $ jest przestrzenią Hausdorffa. Wykażemy, że jest także otwarty. Jeśli dla pewnego punktu $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) = z_0 $ to możemy wybrać pewien pas $ U_k(z)\ni z_0 $ oraz otoczenie $ V\ni x $ takie, że $ \tilde f_i(V) \subset U_k(z) $ dla $ i=1,2 $. Z definicji logarytmu zachodzą równości $ p\tilde f_1 = p\tilde f_2 = f $. Ponieważ $ p\colon U_k(z)\to \C^* $ jest różnowartościowe, więc stąd wynika, że $ \tilde f_1(x') = \tilde f_2(x') $ dla $ x'\in U $. Jedynym niepustym podzbiorem otwarto--domknietym przestrzeni spójnej jest cała przestrzeń, a więc $ \tilde f_1 =\tilde f_2 $ na $ X $.

Ad 3. Niech $ x_0\in X $; z własności funkcji wykładniczej (Tw. [link]) wynika istnienie liczby całkowitej $ k\in\Z $ takiej, że $ \tilde f_1(x_0) = \tilde f_2(x_0) + 2k\pi i  $. Z punktów 1,2 wynika, że $ \tilde f_1(x) = \tilde f_2(x) + 2k\pi i  $ dla wszystkich $ x\in X $. □

Stwierdzenie (#) Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie odwzorowaniem ciągłym. Załóżmy, że istnieje pokrycie $ X = A_1\cup A_2 $ gdzie oba zbiory są otwarte, albo oba sa domknięte, ich przecięcie $ A_1\cap A_2 $ jest spójne, oraz obcięcie przekształcenia $ f|A_i $ posiada logarytm dla $ i=1,2 $. Wtedy przekształcenie $ f $ posiada logarytm.
Dowód: Niech $ \tilde f_i\colon A_i\to \C $ dla $ i=1,2 $ będą logarytmami. Oznaczmy $ A_{12}:=A_1\cap A_2 $. Ze Stw. [link] wnioskujemy, że istnieje $ k\in\Z $ takie, że $ \tilde f_1|A_{12} + 2k\pi i = \tilde f_2|A_{12} $. Stąd formuła

$$\tilde f (p) := \begin{cases} \tilde f_1|A_{12}(p) + 2k\pi i\quad\text{dla}\quad p\in A_1 \\  \tilde f_2|A_{12}(p) \quad\text{dla}\quad p\in A_2\end{cases}$$

określa logarytm $ f $ na $ X $.□

Twierdzenie [Samuel Eilenberg (Warszawa 1913 - 1998 New York)] (#)Niech $ X $ będzie przestrzenią zwartą.

  1. Odwzorowanie $ f\colon X\to\C^* $ jest ściągalne wtedy i tylko wtedy, gdy posiada logarytm.
  2. Dwa odwzorowania $ f,g\colon X\to\C^* $ są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz $ f/g $ posiada logarytm.
Dowód: Ad 1. $ \impliedby $ Niech $ \tilde f\colon X\to\C $ będzie logarytmem tzn. $ p\circ\tilde f = f $. Ponieważ przestrzeń $ \C $ jest ściągalna, a więc przekształcenie $ \tilde f $ jest ściagalne, a zatem złożenie z dowolnym innym przekształceniem jest ściągalna. Nb. homotopia może być łatwo zapisana wzorem $ H\colon X\times I\to\C^*,\, H(x,t):= p(t\tilde f(x)) $.

Ad 2. Jeśli $ f\sim g $ i $ F\colon X\times I\to \C^* $ jest homotopią między nimi, to   $ H(x,t) := F(x,t)/g(x) $ jest homotopią między odwzorowanien stałym w $ 1\in\C^* $ a $ f/g $. Odwrotnie, jeśli $ H(x,t) $ jest homotopia między $ f/g $ a odwzorowaniem stałym w $ 1\in\C^* $, to iloczyn $ H(x,t)g(x) $ jest homotopią między $ f $ i $ g $. □

Dowód punktu 1 twierdzenia w przeciwną stronę, a więc że przekształcenie ściągalne posiada logarytm, poprzedzimy ciekawym lematem, w którym wykorzystuje się mnożenie liczb zespolonych.

Lemat (#) Niech $ X $ będzie przestrzenią zwarta a $ F\colon X\times I\to \C^* $ homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ dla wszystkich $ x\in X $. Dla dowolnego otoczenia otwartego $ 1\in U\subset\C^* $ istnieją funkcje $ G_1,\dots G_n\colon X\times I \to U\subset \C^* $ takie, że dla każdego $ x\in X $ zachodzi równość: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $
Dowód:[Dowód lematu.] Zbiory $ \{zU\}_{z\in\C^*} $ tworzą otwarte pokrycie $ \C^* $. Zatem dzięki zwartości $ X\times I $ możemy wybrać liczbę $ \epsilon >0 $ taką, że jeśli $ |t-t'|<\epsilon $, to dla każdego $ x\in X $, $ F(x,t), F(x,t')\in zU $ dla pewnego $ z\in \C^* $. Niech $ 0=t_0<t_1<\dots < t_{n-1}< t_n=1 $ będzie podziałem odcinka takim, że $ |t_i-t_{i+1}|<\epsilon $. Dla $ j=0,..,n-1 $ zdefiniujemy funkcje

$$G_j(x,t) := \frac{F(x,\frac{j+1}{n}t)}{F(x,\frac{j}{n}t)}$$

Dowód:[Dowódu pkt. 1 Twierdzenia [link]] $ \implies $ Niech $ f\colon X\to\C^* $ będzie ściągalne a   $ F\colon X\times I\to \C^* $ będzie jego ściagnięciem, a więc homotopią taką, że $ F(x,0) = z_0 $ oraz $ F(x,1) = f(x). $ Korzystając z Lematu [link] rozłóżmy $ F $ na iloczyn: $ F(x,t) =z_0 G_1(x,t)\dots G_n(x,t). $ w którym $ G_j(x,t)\in \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\} $. Ze Stw. [link] pkt.4 wiemy, że obcięcie odwzorowania wykładniczego

$$p\colon \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}\arr {\simeq}    \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}$$

jest homeomorfizmem i oznaczmy jego odwrotność

$$\log_0\colon \{z\in\C\colon \arg (z)\neq \pi\}\arr {\simeq}  \{z\in\C\colon -\pi<\Im(z)<\pi\}.$$

Niech $ w_0 $ będzie dowolnym punktem takim, że $ p(w_0)=z_0 $. Definiujemy logarytm $ F $ wzorem:

$$\tilde F (x,t) := w_0 + \log_0(G_1(x,t))+\dots + \log_0(G_n(x,t)).$$

Z tej definicji natychmiast widać, że $ \tilde F $ jest odwzorowaniem ciągłym, a z własności przekształcenia wykładniczego, że $ p\tilde F = F $. □

Homotopijna klasyfikacja odwzorowań w $\mathbb{C}^*$

Dla dowolnej przestrzeni $ X $ zbiór odwzorowań $ \Map (X,\C^*) $ posiada strukturę grupy abelowej, wyznaczoną przez mnożenie liczb zespolonych -- funkcje mnożymy mnożąc je w każdym punkcie. W dalszym ciągu będziemy rozpatrywać zbiór klas homotopii odwzorowań $ [X,\C^*] = [X, S^1] $, który tę strukturę grupową dziedziczy, bowiem jeśli $ f_0 \sim f_1,g_0\sim g_1\colon X\to\C^* $ to ich iloczyny też są homotopijne: $ f_0\cdot g_0 \sim f_1\cdot g_1 $.

Definicja Zbiór $ H^1(X) :=[X,\C^*] = [X, S^1] $ z wyżej zdefiniowanym działaniem będziemy nazywać (pierwszą) grupą kohomologii (lub kohomotopii) przestrzeni $ X $.

Ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, więc dla dowolnej przestrzeni grupa $ H^1(X) $ jest abelowa.

Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie przestrzeni topologicznej $ X $ grupy $ H^1(X) $ ma następujące własności:

  1. Dla dowolnego przekształcenia $ \phi\colon X\to Y $ przekształcenie $ \phi^*\colon H^1(Y)\to H^1(X) $ dane wzorem $ \phi^*(f) := f\circ\phi $ jest homomorfizmem grup.
  2. Jeśli przekształcenia $ \phi_0,\phi_1\colon X\to Y $ są homotopijne, to $ \phi_0^* = \phi_1^* $
  3. Dla dowolnych dwóch punktowanych przestrzeni $ (X_1,x_1), (X_2,x_2) $ włożenia zadają izomorfizm grup
    $$H^1(X_1\vee X_2) \arr {\simeq} H^1(X_1)\times H^1(X_2).$$
Dowód:

     Ad 1. $ \phi^*(f\cdot g )(x) := (f \cdot g)(\phi (x)) =   f(\phi (x) \cdot g (\phi (x))= \phi^*(f)\cdot\phi^*(g) $.

     Ad 2. To jest szczególny przypadek Wniosku [link].

     Ad 3. Włożenia $ \iota_1\colon X_1\subset X_1\sqcup X_2 $ i $ \iota_2\colon X_2\subset X_1\sqcup X_2 $ zadają homorfizm grup

$$(\iota_1^{\#},\iota_2^{\#}):  H^1(X_1\vee X_2) \to H^1(X_1)\times H^1(X_2),$$

który na mocy Stw. [link] jest bijekcją, a więc izomorfizmem.□

Dla dowolnej przestrzeni ściągalnej $ H^1(X)=0 $. Zajmiemy się więc obliczeniem grupy $ H^1(S^1) $, czyli zbadaniem zbioru klas homotopii $ [S^1,\C^*] = [S^1, S^1]. $ Rozpoczniemy od zdefiniowania stopnia przekształcenia $ S^1\to\C^* $ (zwanego też indeksem pętli względem punktu 0). Korzystając z Stw. [link] bedziemy utożsamiać odwzorowania $ S^1\to X $ z drogami zamkniętymi, czyli pętlami $ [0,1]\to X $ i oznaczać je tą samą literą.

Niech $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ będzie drogą zamkniętą. Ponieważ odcinek jest przestrzenią ściągalną, na mocy Twierdzenia [link] odwzorowanie $ \alpha $ posiada logarytm $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to \C $. Zdefiniujemy stopień $ \alpha $:

$$\deg (\alpha ) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0)).$$
Stwierdzenie (#) Przyporządkowanie pętli $ \alpha\colon [0,1] \to \C^* $ jej stopnia $ \deg (\alpha ) $ ma następujące własności:

  1. Wartość $ \deg (\alpha ) $ nie zależy od wyboru logarytmu $ \tilde\alpha $ i jest liczbą całkowitą.
  2. Jeśli $ \alpha_0\sim \alpha_1\colon S^1\to\C^* $ są homotopijne, to $ \deg (\alpha_0 ) = \deg (\alpha_1) $.
  3. Dla dowolnych $ \alpha, \beta\colon S^1\to\C^* $ zachodzi: $ \deg (\alpha\beta) = \deg (\alpha) + \deg (\beta) $.
  4. Dla dowolnej liczby całkowitej $ n\in\Z $ odwzorowanie $ \phi_n\colon S^1\to\C^*,\, \phi_n(z) :=z^n, $ ma stopień $ n $.
Dowód:

Ad 1. Ponieważ odcinek jest przestrzenią spójną, więc na mocy Stw. [link] logarytm $ \tilde\alpha $ jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do składnika $ 2k\pi i $, a więc $ \deg(\alpha) $ nie zależy od wyboru logarytmu. Ponieważ $ \alpha (0) = \alpha (1)  $ więc $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) = 2d\pi i $, dla pewnej liczby całkowitej $ d\in\Z $ skąd wynika, że $ \deg(\alpha) = d $ jest liczbą całkowitą.

Ad 2. Skoro $ \alpha_0\sim\alpha_1 $ to istnieje homotopia $ H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C^* $ taka, że $ H(\cdot,0) = \alpha_0,\, H(\cdot,1) = \alpha_1,\, H(0,t) = H(1,t) $. Ponieważ kwadrat jest zwartą przestrzenią ściągalną więc na mocy Tw. [link] przekształcenie $ H $ posiada logarytm $ \tilde H\colon [0,1]\times [0,1]\to \C $. Rozważmy funkcję $ d(t) := \frac{1}{2\pi i} (\tilde H (1,t) - \tilde H (0,t)) $. Funkcja ta jest ciągła i na mocy pkt. 1 przybiera wartości całkowite, a więc jest stała. Wynika stąd, że $ \deg(\alpha_0) =  d(0) = d(1) = \deg(\alpha_1) $

Ad 3. Jesli $ \tilde\alpha\colon [0,1]\to\C $ i $ \tilde\beta\colon [0,1]\to\C $ są odpowiednio logarytmami $ \alpha $ i $ \beta $, to $ \tilde\alpha + \tilde\beta $ jest logarytmem iloczynu $ \alpha\cdot\beta $.

Ad 4. Logarytmem funkcji potęgowej $ \phi_n (z) := z^n $ traktowanej jako odwzorowanie odcinka $ \phi'_n\colon [0,1]\to\C^*,\, \phi'_n (t) = \exp (2n\pi i t) $ jest przekształcenie $ \tilde\phi'_n (t) = 2n\pi i t $ a więc $ \deg (\phi_n) = n $. □

Twierdzenie (#) Stopień wyznacza izomorfizm grup $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {\simeq} \Z $.
Dowód: Na mocy Stw. [link] $ \deg\colon [S^1,\C^*] \arr {} \Z $ jest dobrze zdefiniowanym homomorfizmem grup i jest epimorfizmem. Pozostaje zauważyć, że jest monomorfizmem. Niech $ \deg (\alpha) = 0 $; oznacza to, że dla pewnego logarytmu $ \tilde\alpha (1) - \tilde\alpha (0) =0 $, czyli logarytm jest drogą zamkniętą, a więc definiuje przekształcenie $ \tilde\alpha\colon S^1\to\C $ takie, że $ \alpha = p\tilde\alpha $. Ponieważ $ \C $ jest ściągalna, więc $ \alpha\sim 1 $ . □

Ostatnie twierdzenie powiada, że dowolne odwzorowanie $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ jest homotopijne z jednym z odwzorowań potęgowych $ \phi_n $ i żadne dwa różne takie odwzorowania nie są homotopijne.

Stwierdzenie $ [S^1\vee\dots\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\dots\times\Z $
Dowód: Wynika natychmiast z Stw. {s:grupa_kohomologii} pkt. 3. □

Sformułujemy kilka ważnych wniosków wypływających ze znajomości homotopijnej klasyfikacji odwzorowań $ S^1\to\C^* $.

Stwierdzenie Okrąg $ S^1 $ nie jest ściągalny i nie jest retraktem dysku   $ D^2 := \{z\in\C\colon ||z|| \leq 1\} $.
Dowód: Dla $ n=1 $ twierdzenie wynika ze spójności odcinka oraz niespójności sfery $ S^0 $. Odwzorowanie identycznościowe $ id:S^1\to S^1 $ ma stopień 1, zatem nie jest ściągalne. Jeśli istniałaby retrakcja $ r\colon D^2\to S^1 $, to oznaczałoby to, że identyczność na $ S^1 $ jest ściągalna (p. Stw. [link]). □
Uwaga Sfera $ S^n $ nie jest ściągalna dla każdego $ n\geq 0 $. Zauważmy, że $ S^0 = \{-1,1\} $ nie jest spójna. Dowód dla $ n>1 $ opiera się na konstrukcji stopnia dla odwzorowań $ S^n\to S^n $. (p. John W. Milnor Topology from Differentiable Viewpoint Tłum. polskie PWN 1969). Poniższe słynne twierdzenie Brouwera (L. E. J. Brouwer (Overschie, Rotterdam 1881 - 1966 Blaricum, Netherlands) ) o punktach stałych także zachodzi dla dysków dowolnych wymiarów i jest wnioskiem z nieściągalności sfery.
Stwierdzenie [Twierdzenie Brouwera dla $ n\leq 2 $] Dowolne odwzorowanie $ f\colon D^n\to D^n $, dla $ n\leq 2 $, ma punkt stały.
Dowód: Jeśli $ f\colon D^n\to D^n $ byłoby przekształceniem bez punktów stałych, to istniałaby retrakcja $ r\colon D^n\to S^{n-1} $ zdefiniowana następująco: $ r(x) $ jest punktem przecięcia półprostej   $ f(x)+t(x - f(x)) $ dla $ t\geq 1 $ ze sferą $ S^n $ . Pokazaliśmy, że sfera $ S^{n-1} $ nie jest retraktem dysku $ D^n $ dla $ n\leq 2 $, więc dla tych wymiarów twierdzenie Brouwera jest w pełni udowodnione. □

Piekną ilustracją jedności matematyki jest to, że kurs topologii kończy się dowodem podstawowego twierdzenia algebry, powiadającego, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Stwierdzenie [Zasadnicze twierdzenie algebry] Dowolny wielomian dodatniego stopnia o współczynnikach zespolonych posiada pierwiastek zespolony.
Dowód: Niech $ w(z) = z^n+a_{n-1}z^{n-1}+ \dots + a_1z + a_0 $ będzie wielomianem takim, że $ w(z)\neq 0 $ dla $ z\in\C $, zadaje więc odwzorowanie wielomianowe $ w\colon\C\to\C^* $. Ponieważ $ \C $ jest przestrzenią ściągalną, więc odwzorowanie $ w $ obcięte do dowolnego jej podzbioru, w szczególności $ S^1\subset\C $, jest odwzorowaniem ściągalnym. Z drugiej strony fomuła

$$H(z,t) : =  z^n+ta_{n-1}z^{n-1}+ \dots + t^{n-1}a_1z + t^na_0 = \begin{cases}  t^n w(\frac zt)\quad\text{dla}\, t\neq 0 \\ z^n \quad\text{dla}\, t=0\end{cases}$$

zadaje homotopię $ H\colon S^1\times [0,1] \to \C^* $ między $ H(z,0) = z^n :=\phi_n(z) $ i $ H(z,1) = w(z) $, a więc $ \deg (w) = n>0 $, co oznacza, że otrzymaliśmy sprzeczność. □

Uwaga Zasadnicze twierdzenie algebry oczywiście nie zachodzi dla ciała liczb rzeczywistych, natomiast zachodzi dla wielomianów o współczynnikach w ciele kwaternionów (które nie jest przemienne). Dowód opiera się na nieściągalności sfery $ S^4 = \HH\cup\{\infty\} $ gdzie $ \HH $ oznacza ciało kwaternionów. S. Eilenberg, I.Niven The “fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Math. Soc. Volume 50, Number 4 (1944), pp. 246-248.}
Stwierdzenie [Twierdzenie Borsuka ( Karol Borsuk (Warszawa 1905 - 1982 Warszawa)) - Ulama ( Stanisław Ulam (Lwów 1909 - 1984 Santa Fe, New Mexico, USA)) o antypodach dla $ n\leq 2 $] Dla dowolnego odwzorowania ciągłego $ f\colon S^n\to\R^n $, gdzie $ n\leq 2 $, istnieje punkt $ p\in S^n $ taki, że   $ f(p) = f(-p) $.
Dowód: Załóżmy, że istnieje odwzorowanie $ f\colon S^n\to\R^n $ takie, że dla każdego $ p\in S^2 $, $ f(p) \neq f(-p) $. Zdefiniujmy odwzorowanie $ g\colon S^n\to\R^n\setminus \{0\},\, g(p):=f(p)-f(-p) $. Sferę $ S^{n-1} $ można traltować jako podzbiór $ S^n $ (''równik'') a obcięcie odwzorowania $ g|S^{n-1} $ jest ściągalne (bowiem rozszerza się górną półsferę, czyli dysk) oraz spełnia warunek   $ g(-z) = - g(z) $.

Dla $ n=1 $ jest to niemożliwe, bo odwzorowanie $ S^0\to \R\setminus  \{0\} $ jest homotopije ze stałym wtedy i tylko wtedy, gdy przyjmuje wartości stałego znaku, co warunek $ g(-z) = - g(z) $ wyklucza.

Niech teraz $ n=2 $. Pokażemy, że odwzorowanie $ g\colon S^{1}\to \R^2\setminus \{0\} = \C^* $ spełniające warunek $ g(-z) = - g(z) $ nie może być ściągalne, bowiem musi mieć nieparzysty stopień. Rozważmy drogę zamkniętą $ [0,1] \arr {p}  S^{1}\arr {g} \C^* $, którą będziemy oznaczać $ g_p $ i obliczymy jej stopień. Jeśli $ g_p(0) = g(1) = z_0 = |z_0|\exp (i\theta_0 ) $ to

$$g_p(\frac 12) = g(-1)  = - z_0 =  |z_0|\exp (i(\theta_0 + (2k+1)\pi) )$$

Niech $ \tilde g'_p\colon [0,\frac 12]\to \C^* $ będzie logarytmem $ g_p|[0,\frac 12] $. Z powyższego wzoru wynika, że dla pewnego $ k\in Z $ zachodzi równość: $ \tilde g'_p (\frac 12) = \tilde g'_p(0) + (2k+1)\pi i $. Warunek $ g(-z) = - g(z) $ oznacza, że odwzorowanie $ g $, a więc logarytm $ g_p $ jest wyznaczony przez wartości $ g $ na górnym półokręgu. Zdefiniujmy więc logarytm $ \tilde g_p\colon [0,1]\to \C^* $ wzorem:

$$\tilde g_p (t) := \begin{cases} \tilde g'_p(t)\quad \text{dla}\quad 0\leq t\leq \frac 12 \\ \tilde g'_p(t - \frac 12) + (2k+1)\pi i \quad \text{dla}\quad \frac 12\leq t\leq 1 \end{cases}$$

Stąd

$$(2\pi i) \deg (g) = \tilde g_p (1) - \tilde g_p (0) =   \tilde g'_p (\frac 12) + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) =\\ \tilde g'_p (0) + (2k+1)\pi i + (2k+1)\pi i - \tilde g'_p (0) = 2(2k+1)\pi i,$$

a więc $ \deg (g) = 2k+1 $ jest liczbą nieparzystą, czyli $ g $ nie jest ściągalne. □

Uwaga Podobnie jak twierdzenie Brouwera, twierdzenie Borsuka-Ulama zachodzi dla dowolnrgo wymiaru $ n $ i także stanowi konsekwencję klasyfikacji homotopijnej odwzorowań $ S^n\to \R^n\setminus \{0\} $ przez wspomniany wyżej stopień odwzorowania.

Zadania

Zadanie Przestrzeń $ (X,\sT_X) $ nazywa się ściągalna jesli istnieje punkt $ x_0 $ i odwzorowanie $ H\colon X\times I\to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x,\, H(x,1) = x_0 $. Wykazać, że:

  1. Jeśli $ (Y,\sT_Y) $ jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
  2. Przestrzeń jest ściągalna $ \iff $ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową.
  3. Jeśli przestrzeń $ (X,\sT_X) $ jest ściągalna do punktu $ x_0 $, to jest ściągalna do dowolnego punktu $ x_1\in X $.
  4. Dowolny gwiaździsty podzbiór $ \R^n $ jest ściągalny.
  5. Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
  6. Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
  7. Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń, ani przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
  8. Każda przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym przestrzeni ściągalnej (stożka nad przestrzenią).
  9. Jeśli jedna z przestrzeni $ (X,\sT_X),\, (Y,\sT_Y) $ jest ściągalna, to przestrzeń odwzorowań $ (\Map (X,Y),\sT_{co}) $ jest ściągalna.
  10. Jeśli $ A\subset X $ jest podzprzestrzenią ściągalną i istnieje odwzorowanie $ F\colon X\times I \to X $ takie, że dla każdego $ x\in X $, $ H(x,0) = x $, oraz $ \forall_{x\in X} H(x,1) \in A $, to $ X $ jest przestrzenią ściągalną.
Zadanie Dowolne przekształcenie o wartościach w przestrzeni ściągalnej, bądź określone na przestrzeni ściągalnej jest homotopijne z przekształceniem stałym.
Zadanie Jeśli przekształcenia ciągłe $ f_0,f_1\colon (X\sT_X)\to (Y,\sT_Y) $ są homotopijne oraz $ C\subset X $ jest składową łukową przestrzeni $ (X,\sT) $, to istnieje dokładnie jedna składowa łukowa przestrzeni $ (Y,\sT_Y) $ zawierająca zbiór $ f_0(C)\cup f_1(C) $.
Zadanie Niech $ S^n $ oznacza sferę euklidesową a $ S^k\subset S^n $ będzie sferą $ k $--wymiarową włożoną na pierwszych $ (k+1) $ współrzędnych. Wykazać, że dopełnienie $ S^n\setminus S^k $ jest homotopijnie równoważne z $ S^{n-k-1} $ Wskazówka. Zauważyć, że rzut stereograficzny wyznacza homemorfizm $ S^n\setminus S^k \simeq \R^n\setminus \R^k $ a następnie zrzutować ten zbiór na podprzestrzeń prosotpadła do $ \R^k $.
Zadanie BCPP Zad. 6.1.
Zadanie Niech $ w\in\C $ będzie liczbą zespoloną taką, że $ \|w\|\neq 1 $. Dla jakich wartości parametru $ w $ odwzorowania $ \alpha_w\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_w(z) := z+w $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ w_1,w_2\in\C $ będą liczbami zespolonymi takimi, że $ \|w_i\|\neq 1 $ dla $ i=1,2 $. Dla jakich wartości parametrów $ w_,w_2 $ odwzorowania $ \alpha_{w_1,w_2}\colon S^1\to\C^* $ dane wzorem $ \alpha_{w_1,w_2}(z) := \frac{z+w_1}{z+w_2} $ są homotopijne? Obliczyć ich stopień.
Zadanie Niech $ n,m\in\Z $ będą liczbami całkowitymi takimi, że $ n\equiv m\mod 2 $. Sprawdzić, że odwzorowanie $ \alpha_{n,m}\colon S^1\to \C^* $ dane wzorem: $ \alpha_{n,m} (z) = \begin{cases} z^n \quad\text{dla}\quad \Im(z)\geq 0\\ z^{m} \quad\text{dla}\quad \Im(z)\leq 0\end{cases} $ jest dobrze określone i znaleźć jego stopień.
Zadanie Dla dowolnego odwzorowania $ \alpha\colon S^1\to\C^* $ oraz liczby zespolonej $ w\in\C^* $ odwzorowania $ \alpha $ i $ \alpha_w(z):=w\alpha (z) $ są homotopijne.
Zadanie Udowodnić, że dowolne przekształcenie $ S^n\to S^1 $ gdzie $ n>1 $ jest homotopijne ze stałym. Wskazówka. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko wtedy gdy posiada logarytm. Rozłożyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zadanie Znaleźć homeomorfizmy następujących przestrzeni:

  1. ''Przekłutej płaszczyzny'' $ \R^2\setminus\{p\} $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem.
  2. ''Płaszczyzny z dziurą'' $ \R^2\setminus  \bar B(p;r) $, gdzie $ p $ jest dowolnym punktem i $ r>0 $,
  3. ''Płaszczyzny ze szparą'' $ \R^2\setminus [p,q] $ gdzie $ [p,q] := \{(1-t)p + tq  \colon 0\leq t\leq 1\} $ jest odcinkiem domkniętym.
  4. Walca $ S^1\times (-1,1) $.

i wykazać, że każda z nich jest homotopijnie równoważne z okręgiem $ S^1 $ (wskazać homotopijną równoważność w każdym przypadku osobno).

Zadanie [Przekłuta płaszczyzna] Udowodnić, że ''przekłuta płaszczyzna'' $ \R^2\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważna z $ S^1 $, a płaszczyzna przekłuta $ 2 $-razy tzn $ \R^2\setminus \{p_1, p_2\} $ jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 :=\{(z_1,z_2)\in S^1\times S^1\colon z_1 = 1\,\text{lub}\, z_2 = 1\} $ . Uogólnić to na płaszczyznę przekłutą $ n $-razy tzn. $ \R^2\setminus\{p_1,\dots ,p_n\} $. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę $ S^2 $ ?
Zadanie (#)[Wstęga Möbiusa] Skonstruować retrakcję wstęgi Möbiusa (zarówno otwartej jak i domkniętej) na jej równik i wykazać, że jest ona homotopijną równoważnością.