W tym rozdziale zajmiemy się topologią zamkniętych powierzchni, a więc przestrzeni zwartych, lokalnie homeomorficznych z płaszczyzną . Dokładniej:
Nasze dalsze rozważania ograniczymy do poznanych przykładów powierzchni zwartych, czyli: sfery, torusa , płaszczyzny rzutowej , butelki Kleina i wykażemy, że żadne dwie z nich nie są homeomorficzne.
Chociaż w tym rozdziale interesujemy się przede wszystkim wybranymi powierzchniami, to własności sfer przedyskutujemy dla dowolnego wymiaru. Przypomnijmy, że -wymiarową sferą nazywamy podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej
, a
--wymiarowym dyskiem podprzestrzeń
, czyli domknięcie kuli euklidesowej o środku w
i promieniu
. Zauważmy, że brzeg dysku jest sferą:
.
Sfera jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z .
Zauważmy teraz , że topologie w zbiorze opisane w pkt. 1 i 2 są identyczne. Oznaczmy je odpowiednio
i
. Ponieważ domknięcia kul euklidesowych są zbiorami zwartymi, więc
. Odwrotnie, dowolny zbiór zwarty jest podzbiorem pewnej kuli domkniętej, a więc zachodzi inkluzja
, skąd topologie są równe.
Skonstruujemy ciągłą bijekcję . Dla
wybierzmy homeomorfizm
np.
i rozszerzmy do odwzorowania
kładąc
Odwzorowanie to jest ciagłe i definiuje odwzorowanie przestrzeni ilorazowej
które jest ciagłą bijekcją. Ponieważ
jest przestrzenią zwartą, więc jest homemorfizmem. W przypadku sfery dowolnego wymiaru przeprowadzamy dokładnie takie samo rozumowanie, uciekając do nieskończoności po prostych przechodzących przez środek układu współrzędnych. Definiujemy homeomorfizm
wzorem
, gdzie
i
. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym rozszerzamy to przekształcenie do
kładąc
dla
. Przekształcenie to definiuje ciagła bijekcję
, która jest homeomorfizmem bo
jest oczywiście przestrzenią Hausdorffa.
Homeomorfizm można określić wykorzystując rzut stereograficzny, czyli homeomorfizm
. Wybierzmy punkt
i zdefiniujmy:
![]() |
Łatwo się przekonać, że kładąc otrzymujemy ciągłą bijekcję
, a więc homeomorfizm.□
Torusem nazywamy produkt dwóch okręgów . Zauważmy, że tak zdefiniowany torus jest w naturalny sposób podprzestrzenią w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej:
Można go jednak zanurzyć w
oraz przedstawić jako przestrzeń ilorazową kwadratu (Wizualizacja p. Neil Strickland web page ).
Zauważmy też, że torus jest grupą topologiczną - mnożenie zdefiniowane jest przez mnożenie zespolone współrzędnych; to działanie a także branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami ciągłymi.
Torus jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z .
Homeomorfizm jest zadany przez odwzorowanie
. Wzory na zanurzenie torusa w przestrzeń
podane są w Neil Strickland web page oraz opisane w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość . □
![]() |
![]() |
Bardzo ważną i interesującą powierzchnią jest płaszczyzna rzutowa. Jak pokazaliśmy sferę można sobie wyobrażać jako płaszczyznę z dodanym jednym punktem w nieskończoności. Płaszczyzna rzutowa to płaszczyzna do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej prostej przechodzącej przez , lub równoważnie dla każdej klasy prostych równoległych (jedna przechodzi przez 0). Ponieważ o dysku
można mysleć jako o przestrzeni
(wnętrze dysku) do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej półprostej, a więc naturalne jest zdefiniowanie płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni iloraowej dysku, w której antypodyczne punkty na jego brzegu są utożsamione:
![]() |
Definicja ta i intuiucja bez trudu uogólnia się na wyższe wymiary prowadząc do definicji -wymiarowej przestrzeni rzutowej
.
Płaszczyzna rzutowa jest przestrzenią zwartą, a każdy jej punkt posiada otoczenie homeomorficzne z .
Kanoniczny homeomorfizm dysku i kwadratu (''po promieniach'') zachowuje antypodyczność punktów, a więc definiuje homeomorfizm . Z kolei włożenie
definiuje ciągłą bijekcję
, a ponieważ
jest przestrzenią zwartą, jest więc ona homeomorfizmem. Pozostaje wskazać homeomorfizm
. Niech
będzie projekcją na pierwsze dwie współrzędne:
. Łatwo zauważyć, że zadaje ona bijekcję na klasach równoważności, a więc ciągłą bijekcję
, która wobec zwartości
jest homeomorfizmem. □
Udowodnimy teraz, że przekłuta płaszczyzna rzutowa, czyli po usunięciu jednego punktu, jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa. wizualizację wstęgi Möbiusa można znaleźć w Neil Strickland web page.
Rozkład przestrzeni rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych gdzie
jest domkniętą wstęgą Möbiusa ,
-- dyskiem a
ich wpólnym brzegiem otrzymujemy rozkładając ''duży'' dysk
. □
Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem traktującym o homotopijnych własnościach wstęgi Möbiusa. Domkniętą wstęgę będziemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową domkniętego walca otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych:
.
Butelkę Kleina Felix Christian Klein (Duesseldorf 1849 - 1925 Göttingen ) zazwyczaj definiuje się jako przestrzeń powstała z następujących utożsamień na bokach kwadratu :
oraz
. Kolejne etapy utożsamiania boków są pokazane w serii ilustracji w Wikipedia. Podobnie jak sfera, torus i płaszczyzna rzutowa butelka Kleina posiada także inne użyteczne modele.
Butelka Kleina jest przestrzenią zwarta, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z .
![]() |
(dwukrotne nawinięcie) definiuje monomorfizm , którego obrazem jest podgrupa cykliczna generowana przez klasę homotopii odwzorowanie stopnia 2, a więc
.