POWIERZCHNIE

W tym rozdziale zajmiemy się topologią zamkniętych powierzchni, a więc przestrzeni zwartych, lokalnie homeomorficznych z płaszczyzną $ \R^2 $. Dokładniej:

Definicja Powierzchnią (lub rozmaitością 2-wymiarową) nazywamy przestrzeń Hausdorffa posiadającą przeliczalną bazę taka, że każdy jej punkt posiada otoczenie otwarte homeomorficzne z podzbiorem otwartym płaszczyzny $ \R^2 $ (równoważnie z płaszczyzną $ \R^2 $). Powierzchnią zamkniętą nazywamy powierzchnię, która jest przestrzenią zwartą.

Nasze dalsze rozważania ograniczymy do poznanych przykładów powierzchni zwartych, czyli: sfery, torusa , płaszczyzny rzutowej , butelki Kleina i wykażemy, że żadne dwie z nich nie są homeomorficzne.

Sfera

Chociaż w tym rozdziale interesujemy się przede wszystkim wybranymi powierzchniami, to własności sfer przedyskutujemy dla dowolnego wymiaru. Przypomnijmy, że $ n $-wymiarową sferą nazywamy podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej $ S^n :=\{x\in\R^{n+1} \, |\, ||x||=1\} $, a $ n $--wymiarowym dyskiem podprzestrzeń $ D^n := \{\vv\in\R^n\colon ||\vv||\leq 1\} $, czyli domknięcie kuli euklidesowej o środku w $ 0 $ i promieniu $ 1 $. Zauważmy, że brzeg dysku jest sferą: $ \partial D^n = S^{n-1} $.

Stwierdzenie (#) Dla $ n>0 $ następujące przestrzenie są homeomorficzne są homeomorficzne ze sferą $ S^n $:

  1. Zbiór $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez kule euklidesowe zawarte w $ \R^n $ oraz zbiory $ \{x\in\R^n\, |\, ||x||>r\}\cup \{\infty\} $;
  2. Zbiór $ \R^n \cup \{\infty\} $ z topologią generowaną przez podzbiory otwarte $ U\subset \R^n $ oraz zbiory postaci $ \{\infty\}\cup (\R^n\setminus K) $ gdzie $ K\subset\R^n $ jest zbiorem zwartym;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ D^n/\sim $ gdzie $ x\sim y\iff x=y\, \text{lub} \, x,y\in S^{n-1} $.

Sfera jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Zaczniemy od zauważenia, że sfera jest przestrzenią zwartą, jako ograniczony i domknięty podzbiór $ \R^{n+1} $. Także łatwo jest zauważyć, że każdy punkt posiada otocznie homeomorficzne z otwartą kulą $ B(0,1)\in\R^n $ pokrywając sferę $ 2(n+1) $ półsferami. Homeomorfizmy półsfer z otwartą kulą $ B(0,1) $ są dane przez rzutowania na odpowiednie $ n $-wymiarowe podprzestrzenie. Dalej wykażemy, że sferę można pokryć dwoma zbiorami, z których każdy jest homeomorficzny z $ \R^n $, a mianowicie wybrawszy dowolny punkt $ p\in S^n $, $ S^n = (S^n\setminus\{p\})\cup (S^n\setminus\{-p\}) $.

Zauważmy teraz , że topologie w zbiorze $ (\R^n)^+ := \R^n\cup \{\infty\} $ opisane w pkt. 1 i 2 są identyczne. Oznaczmy je odpowiednio $ \sT_1 $ i $ \sT_2 $. Ponieważ domknięcia kul euklidesowych są zbiorami zwartymi, więc $ \sT_1\subset \sT_2 $. Odwrotnie, dowolny zbiór zwarty jest podzbiorem pewnej kuli domkniętej, a więc zachodzi inkluzja $ \sT_1\supset \sT_2 $, skąd topologie są równe.

Skonstruujemy ciągłą bijekcję $ D^n/\sim\, \to (\R^n)^+ $. Dla $ n=1 $ wybierzmy homeomorfizm $ h_1\colon (-1,1)\to\R $ np. $ h_1(t) :=\frac{t}{t^2-1} $ i rozszerzmy do odwzorowania $ \bar h_1\colon D^1\to (\R^1)^+ $ kładąc $ h_1(1)=h_1(-1)=\infty $ Odwzorowanie to jest ciagłe i definiuje odwzorowanie przestrzeni ilorazowej $ \bar h_1\colon D^1/\sim\, \to (\R^1)^+ $ które jest ciagłą bijekcją. Ponieważ $ D^1/\sim $ jest przestrzenią zwartą, więc jest homemorfizmem. W przypadku sfery dowolnego wymiaru przeprowadzamy dokładnie takie samo rozumowanie, uciekając do nieskończoności po prostych przechodzących przez środek układu współrzędnych. Definiujemy homeomorfizm $ h_n\colon B(0;1) \to \R^n $ wzorem $ h_n(t\vv) := h_1(t)\vv $, gdzie $ \vv\in S^{n-1} $ i $ 0\leq t<1 $. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym rozszerzamy to przekształcenie do $ h_n\colon D^n \to (\R^n)^+ $ kładąc $ h_n(\vv) = \infty $ dla $ \vv\in S^{n-1} $. Przekształcenie to definiuje ciagła bijekcję $ \bar h_n\colon D^n/\sim \, \to (\R^n)^+ $, która jest homeomorfizmem bo $ (\R^n)^+ $ jest oczywiście przestrzenią Hausdorffa.

Homeomorfizm $ S^n\to (\R^n)^+ $ można określić wykorzystując rzut stereograficzny, czyli homeomorfizm $ h\colon S^n\setminus {p} \to \R^n $. Wybierzmy punkt $ p:=(0,\ldots,0,1)\in S^n $ i zdefiniujmy:

$$h(x_1,\ldots,x_{n+1}) := \frac{1}{1-x_{n+1}}(x_1,\ldots,x_n).$$

Łatwo się przekonać, że kładąc $ h(p) = \infty $ otrzymujemy ciągłą bijekcję $ \bar h\colon S^n \to (\R^n)^+ $, a więc homeomorfizm.□

Uwaga Zauważmy, że model sfery opisany w punkcie 2) nie wymaga wyboru metryki w przestrzeni $ \R^n $, a jest wyznaczony jedynie przez topologię tej przestrzeni!
Stwierdzenie (#) Dla dowolnego punktu $ p\in S^n $ przekłuta sfera $ S^n\setminus\{p\} $ jest homeomorficzna z przestrzenią euklidesową $ \R^n $.
Dowód: Zauważmy, że dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in S^n $ sfery w tych punktach przekłute są homeomorficzne, bowiem istnieje homeomorfizm sfery $ h\colon S^n\to S^n $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $. Homeomorfizm $ p $ jest łatwo skonstruować metodami znanymi z algebry liniowej. Niech $ P\in\R^2 $ bedzie dwuwymiarową podprzestrzenią zawierającą punkty $ p_1,p_2 $. W tej płaszczyźnie można przeprowadzić punkt $ p_1 $ na $ p_2 $ przy pomocy obrotu, który jest izometrią liniową. Kładąc identyczność na podprzestrzeni prostopadłej $ P^\perp $ otrzymujemy izometrię liniową $ h\colon \R^{n+1}\to\R^{n+1} $, która oczywiście zachowuje sferę i przeprowadza $ p_1 $ na $ p_2 $. Korzystając [link] pkt. 2 i wyjmując punkt $ \infty $ otrzymujemy tezę. □
Twierdzenie (#) Jeśli $ n>1 $, to $ H^1(S^n) := [S^n,S^1] = 0 $.
Dowód: Skorzystamy z Twierdzenia Eilenberga [link], pokazując , że dowolne odwzorowanie $ f\colon S^n\to \C^* $ posiada logarytm. Zauważmy, że rozkłada się na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ S^n = S^n_+\cup S^n_- $, z których każdy jest homeomorficzny z dyskiem $ D^n $ a ich przecięcie $ S:=S^n_+\cap S^n_- $ jest homeomorficzne ze sferą $ S^{n-1} $, a więc jest spójne. Ponieważ dyski są ściągalne, więc odwzorowanie $ f $ posiada na nich logarytmy. Z Wniosku [link] wynika istnienie logarytmu $ \tilde f\colon X\to\C $, a więc odwzorowanie $ f $ jest ściągalne. □

Torus

Torusem nazywamy produkt dwóch okręgów $ S^1\times S^1 $ . Zauważmy, że tak zdefiniowany torus jest w naturalny sposób podprzestrzenią w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej: $ S^1\times S^1\subset \C\times\C. $ Można go jednak zanurzyć w $ \R^3 $ oraz przedstawić jako przestrzeń ilorazową kwadratu (Wizualizacja p. Neil Strickland web page ).

Zauważmy też, że torus jest grupą topologiczną - mnożenie zdefiniowane jest przez mnożenie zespolone współrzędnych; to działanie a także branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami ciągłymi.

Stwierdzenie Następujące przestrzenie są homeomorficzne z torusem:

  1. $ T' $ -- powierzchnia w $ \R^3 $ otrzymaną przez obrót wokół osi $ x_3 $ okręgu położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $, który nie przecina osi $ x_3 $.
  2. $ T'' $ -- przestrzeń ilorazowa $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (-1,t)\sim (1,t),\, (s,1)\sim (s,-1) $ a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe.

Torus jest przestrzenią zwartą, w której każdy punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Torus jest zwarty jako produkt kartezjański dwóch przestrzeni zwartych. Dla dowolnego punktu torusa $ (z_1,z_2) $ zbiór $ (S^1\setminus \{z_1\})\times (S^1\setminus \{z_2\}) $ jest zbiorem otwartym, homeomorficznym z $ \R^2 $ i zbiory tej postaci oczywiście pokrywają torus.

Homeomorfizm $ [-1,1]\times [-1,1]/\sim \to S^1\times S^1 $ jest zadany przez odwzorowanie $ p(s,t) := (\exp \pi t, \exp \pi s ) $. Wzory na zanurzenie torusa w przestrzeń $ \R^3 $ podane są w Neil Strickland web page oraz opisane w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość . □

Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów torusa $ (z_1,z_2) $ i $ (w_1,w_2) $ istnieje homeomorfizm $ h\colon T\to T $ taki, że $ h(z_1,z_2)= (w_1,w_2). $
Dowód: Definiujemy $ h(u_1,u_2):= (u_1,u_2)(z_1,z_2)^{-1}(w_1,w_2) = (u_1z_1^{-1}w_1, u_2z_2^{-1}w_2) $. □
Stwierdzenie Niech $ p\in T $ będzie dowolnym punktem. Przekłuty torus $ T\setminus\{p\} $ jest homotopijnie równoważny z bukietem okręgów $ S^1\vee S^1 $, a więc

$$H^1(T\setminus\{p\}) = [S^1\vee S^1,S^1] \simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Wybierzmy model torusa jako przestrzeni ilorazowej kwadratu i punkt $ p:=(0,0)\in [-1,1]\times [-1,1] =: J^2 $. Odwzorowanie $ [-1,1]\times [-1,1]\setminus \{p\} \to T $ pozostaje ilorazowe. Oczywista retrakcja przekłutego kwadratu na jego (euklidesowy) brzeg $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2 $ wyznacza odwzorowanie retrakcję $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\, \to (\partial J^2)/\sim $. Odwzorowanie $ \bar r\colon (J^2\setminus \{p\})/\sim\, \to (\partial J^2)/\sim \subset (J^2\setminus \{p\})/\sim $ jest homotopijne z identycznością; homotopia jest wyznaczona przez afiniczną homotopię $ r\colon J^2\setminus \{p\} \to \partial J^2\subset J^2\setminus \{p\} $ z identycznością. Z definicji bukietu wnika, że $ (\partial J^2)/\sim \subset J^2/\sim $ jest bukietem okręgów. □
Uwaga Teza Stw. pozostaje prawdziwa jeśli zamiast punktu wyjmiemy z torusa mały dysk lub kwadrat np. $ \bar B(0;\epsilon) $ lub $ [-\epsilon,\epsilon]\times [-\epsilon,\epsilon] $ gdzie $ 0<\epsilon < 1. $
Twierdzenie Włożenie $ j\colon S^1\vee S^1\subset S^1\times S^1 $ definiuje izomorfizm

$$j^*\colon [S^1\times S^1,S^1] \arr {\simeq} [S^1\vee S^1,S^1]\simeq \Z\times\Z.$$
Dowód: Homomorfizm $ j^* $ jest epimorfizmem. Jeśli $ f\colon S^1\vee S^1 \to S^1 $ jest pewnym odwzorowaniem, to definiujemy jego rozszerzenie na cały torus wzorem: $ \bar f(z_1,z_2) := f(z_1,1)f(1,z_2) $. Wykażemy, że $ j^* $ jest monomorfizmem. Załóżmy więc, że obcięcie przekształcenia $ g\colon S^1\times S^1\to S^1 $ do bukietu $ S^1\vee S^1 $ jest homotopijne z przekształceniem stałym. Podobnie jak w dowodzie Tw. [link] , stosując Tw. [link] , dla takiego $ g $ skonstruujemy jego logarytm $ \tilde g\colon S^1\times S^1\to \C $. Niech $ p=(-1,-1)\in T $ i rozłóżmy torus na sumę dwóch podzbiorów otwartych $ T = U_1\cup U_2 $ gdzie $ U_1 :=(T\setminus\{p\}) $ a $ U_2 :=((S^1\setminus\{1\})\times (S^1\setminus\{1\})) $. Zbiór $ U_2 $ jest oczywiście homeomorficzny z otwartym kwadratem $ (-1,1)\times (-1,1) $, a więc jest ściągalny. Na mocy Stw. [link] włożenie $ S^1\vee S^1 \subset T\setminus\{p\} $ jest homotopijną równoważnością. Stąd wynika, że dla $ i=1,2 $ obcięcie $ g|U_i $ posiada logarytm. Ponieważ przecięcie $ U_1\cap U_2 $ jest spójne (homeomorficzne z przekłutym kwadratem), a więc na mocy Wniosku [link] odwzorowanie $ g $ posiada logarytm, czyli na mocy Tw. [link][link] jest odwzorowaniem ściągalnym. □
Stwierdzenie Torus nie jest homeomorficzny ze sferą.
Dowód: Jeśli $ h\colon T\to S^2 $ byłoby homeomorfizmem (a nawet tylko homotopijną równoważnością), to $ h^*\colon 0=H^1(S^2)\to H^1(T)\neq 0 $ byłoby bijekcją, co jest niemozliwe. □

Płaszczyzna rzutowa i wstęga Moebiusa

Bardzo ważną i interesującą powierzchnią jest płaszczyzna rzutowa. Jak pokazaliśmy sferę można sobie wyobrażać jako płaszczyznę z dodanym jednym punktem w nieskończoności. Płaszczyzna rzutowa to płaszczyzna do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej prostej przechodzącej przez $ 0 $, lub równoważnie dla każdej klasy prostych równoległych (jedna przechodzi przez 0). Ponieważ o dysku $ D(0,1)\subset\R^2 $ można mysleć jako o przestrzeni $ \R^2 $ (wnętrze dysku) do której dodano po jednym punkcie w nieskończoności dla każdej półprostej, a więc naturalne jest zdefiniowanie płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni iloraowej dysku, w której antypodyczne punkty na jego brzegu są utożsamione:

$$P := D^2/\sim \quad \text{gdzie}\quad p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \quad\text{lub}\quad p_1,p_2\in S^1\quad \text{oraz}\quad p_1=-p_2$$

Definicja ta i intuiucja bez trudu uogólnia się na wyższe wymiary prowadząc do definicji $ n $-wymiarowej przestrzeni rzutowej $ \R P(n) $.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z płaszczyzną rzutową $ P $:

  1. Przestrzeń ilorazowa $ P':= [-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (t_1,t_2)\sim(s_1,s_2)\,\iff\, (t_1,t_2)=(s_1,s_2) $ lub $ (t_1,t_2)= - (s_1,s_2) $ gdzie $ t_1\in\{-1,1\} $ lub $ t_2\in\{-1,1\} $;
  2. Przestrzeń ilorazowa $ P'':= S^2/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\, p_1=-p_2 $;
  3. Przestrzeń ilorazowa $ P''':=(\R^3\setminus\{0\})/\sim $ gdzie $ p_1\sim p_2\, \iff\, p_1=p_2 \,\text{lub}\, p_1= \lambda p_2 $ dla pewnej liczby $ \lambda\in\R $ .

Płaszczyzna rzutowa jest przestrzenią zwartą, a każdy jej punkt posiada otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: Żeby sprawdzić zwartość płaszczyzny rzutowej wystarczy wykazać, że jest przestrzenią Hausdorffa, co jest łatwo sprawdzić bezpośrednio z definicji $ P,\, P',\, P'',\, P''' $. To, ze każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $ najłatwiej jest zauważyć w modelu $ P'' $: odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ odwzorowuje homeomorficznie otwarte półsfery na podzbiory otwarte płaszczyzny rzutowej.

Kanoniczny homeomorfizm dysku i kwadratu (''po promieniach'') zachowuje antypodyczność punktów, a więc definiuje homeomorfizm $ P\to P' $. Z kolei włożenie $ S^2\subset \R^3\setminus\{0\} $ definiuje ciągłą bijekcję $ P''\to P''' $, a ponieważ $ P'' $ jest przestrzenią zwartą, jest więc ona homeomorfizmem. Pozostaje wskazać homeomorfizm $ P''\to P $. Niech $ p\colon S^2 \to D^2 $ będzie projekcją na pierwsze dwie współrzędne: $ p(x_0,x_1,x_2) := (x_0,x_1) $. Łatwo zauważyć, że zadaje ona bijekcję na klasach równoważności, a więc ciągłą bijekcję $ P''\to P $, która wobec zwartości $ P'' $ jest homeomorfizmem. □

Uwaga Przestrzeń $ P'' $ jest przestrzenią orbit działania grupy $ \Z_2 = \{-1,1\} $ na sferze $ S^2 $, a przestrzeń $ P''' $ jest przestrzenią orbit działania grupy multyplikatywnej liczb rzeczywistych $ \R^* $ na $ \R^3\setminus\{0\} $.
Uwaga Zanurzenie płaszczyzny rzutowej w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Przykład 5.1.3. oraz w w skrypcie Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość a wizualizacja obrazu z samoprzecięciami w $ \R^3 $ w Neil Strickland web page.
Stwierdzenie Dla dowolnych dwóch punktów $ p_1,p_2\in P $ istnieje homeomorfizm $ h\colon P\to P $ taki, że $ h(p_1)=p_2 $.
Dowód: Skorzystamy z interpertacji płaszczyzny rzutowej jako przestrzeni ilorazowej sfery $ S^2 $ oraz homeomorfizmu sfery skonstruowanego w dowodzie Wniosku [link] . Niech $ p_1=[\vv_1],\, p_2=[\vv_2] $ liniowa izometria $ h\colon \R^3\to\R^3 $ taka, że $ h(\vv_1)=\vv_2 $ zadaje homeomorfizm płaszczyny rzutowej $ \bar h\colon P''\to P'' $ taki, że $ \bar h(p_1)=p_2) $. □

Udowodnimy teraz, że przekłuta płaszczyzna rzutowa, czyli po usunięciu jednego punktu, jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa. wizualizację wstęgi Möbiusa można znaleźć w Neil Strickland web page.

Stwierdzenie (#) Niech $ p_0\in P $. Przekłuta płaszczyzna rzutowa $ P\setminus\{p_0\} $ jest homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Istnieje rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup K $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa, $ K $ -- zbiorem homeomorficznym z dyskiem a $ M\cap K $ ich wpólnym brzegiem, czyli podzbiorem homeomorficznym z okręgiem.
Dowód: Rozpatrzmy odwzorowanie ilorazowe $ q\colon S^2\to P'' $ i jego obcięcie do przeciwobrazu przekłutej płaszczyzny rzutowej $ q\colon S^2\setminus \{\vv_0, -\vv_0\}\to P''\setminus \{p_0\} $ gdzie $ p_0=[\vv_0] = [-\vv_0] $. Sfera z wykłutymi punktami antypodycznymi jest homeomorficzna z otwartym walcem $ W:=S^1\times (-1,1) $, przy czym punkty antypodyczne na sferze przechodzą na punkty antypodyczne na walcu, skąd otrzymujemy homeomorfizm $ W/\sim\,\, \simeq P''\setminus \{p_0\} $, a jak wiemy (otwarty) walec z utożsamieniem antypodycznych punktów jest homeomorficzny z (otwartą) wstęgą Moebiusa.

Rozkład przestrzeni rzutowej na sumę dwóch podzbiorów domkniętych $ P = M\cup D $ gdzie $ M $ jest domkniętą wstęgą Möbiusa , $ D $ -- dyskiem a $ M\cap D $ ich wpólnym brzegiem otrzymujemy rozkładając ''duży'' dysk $ D^2 = \bar B(0,\frac 12) \cup (D^2\setminus B(0,\frac 12)) $. □

Twierdzenie (#) $ H^1(P) := [P,S^1] = 0 $.

Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem traktującym o homotopijnych własnościach wstęgi Möbiusa. Domkniętą wstęgę będziemy utożsamiać z przestrzenią ilorazową domkniętego walca $ S^1\times [-1,1] $ otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych: $ (z,t)\sim (-z,-t) $.

Twierdzenie (#) Rzutowanie wstegi Möbiusa na jej równik $ p\colon M\to S^1 $ zdefiniowane $ p([z,t]) := z^2 $ jest homotopijną równoważnością. Jeśli $ \iota_1\colon S^1\to M,\, \iota_1(z) :=[z,1] $ (włożenie okręgu na brzeg wstęgi) to złożenie $ S^1\arr {\iota_1} M \arr {p} S^1 $ jest odwzorowaniem stopnia 2. Włożenie $ \iota_1\colon S^1\to M $ definiuje monomorfizm $ \iota_1^*\colon [M,S^1] \to [S^1,S^1] $, którego obrazem jest podgrupa generowana przez odwzorowanie stopnia 2.
Dowód: Zauważmy najpierw, że punkty $ M_0 :=\{[z,0]\in M\colon z\in S^1\} $ tworzą równik wstęgi, a odwzorowanie $ p|M_0\colon M_0\to S^1 $ jest homeomorfizmem. Oznaczmy odwzorowanie odwrotne $ \iota_0\colon S^1 \to M_0\subset M $. Złożenie $ p\iota_0 = id_{S^1} $. Złożenie $ \iota_0\circ p\colon M\to M $ jest homotopijne z $ id\colon M\to M $ poprzez homotopię $ H([z,t],s) := [z,st] $. Z definicji wynika, że $ (p\circ\iota_1)(z) = p([z,1]) = z^2 $ jest więc odwzorowaniem stopnia 2, a więc złożenie $ \Z\simeq [S^1,S^1]\arr {p^*} [M,S^1] \arr {\iota_1^*} [S^1,S^1]\simeq Z $ przeprowadza $ id\colon S^1\to S^1 $ na $ \phi_2\colon S^1\to S^1 $, a więc jest monomorfizmem. Ponieważ $ p $ jest homotopijną równoważnością, $ p^* $ jest izomorfizmem, a stąd wynika, że $ \iota_1^* $ jest różnowartościowe a jego obraz jest generowany przez odwzorowanie stopnia 2. □
Dowód:[Dowód Tw. [link]] Tak jak w przypadku sfery i torusa skorzystamy z Tw. [link], konstruujac logarytm dla dowolnego odwzorowania $ g\colon P\to \C^* $. Skorzystamy z rozkładu przestrzeni rzutowej skonstruowanego w Stw. [link] $ P = M\cup K $ i pokażemy, że $ g $ posiada logarytm na obu skladnikach, a stąd wobec spójności przecięcia $ M\cap K $, na całej płaszczyźnie rzutowej, a więc $ g $ jest ściągalne (p.Wniosek [link]). Ponieważ $ K $ jest zbiorem ściągalnym, więc $ g|K $ posiada logarytm, skad wynika, że $ g|\partial K $ jest odwzorowaniem ściągalnym. Żeby pokazać, że $ g|M $ posiada logarytm, wykażemy że jest ściągalne. Ponieważ brzeg dysku $ \partial K = \partial M $, a więc $ g $ obcięte do brzegu wstęgi Möbiusa jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że $ g|M $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ani ze sferą, ani z torusem.
Dowód: Nie istnienie homeomorfizmu płaszczyzny rzutowej z torusem jest natychmiastowe, bowiem $ H^1(P)=0 $, a $ H^1(T)\neq 0 $. Jesli istniałby homeomorfizm $ h\colon P\to S^2 $, to dawałby homeomorfizm przekłutych przestrzeni. To jest jednak niemozliwe, bo przekłuta sfera jest ściagalna, a przekłuta płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a więc ściągalna nie jest. □

Butelka Kleina

Butelkę Kleina Felix Christian Klein (Duesseldorf 1849 - 1925 Göttingen ) zazwyczaj definiuje się jako przestrzeń powstała z następujących utożsamień na bokach kwadratu $ J^2=[-1,1]\times [-1,1] $: $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $. Kolejne etapy utożsamiania boków są pokazane w serii ilustracji w Wikipedia. Podobnie jak sfera, torus i płaszczyzna rzutowa butelka Kleina posiada także inne użyteczne modele.

Stwierdzenie (#) Następujące przestrzenie są homeomorficzne z butelką Kleina.

  1. $ B' $ - przestrzeń ilorazowa walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiamy punkty $ (z,1)\sim (\bar z, -1) $;
  2. $ B'' $ - przestrzeń ilorazowa torusa $ S^1\times S^1 $ w którym utożsamiamy punkty $ (z_1,z_2)\sim (\bar z_1,-z_2) $, gdzie $ \bar z $ oznacza sprzężenie zespolone;
  3. $ B''' $ - przestrzeń ilorazowa sumy prostej dwóch domkniętych wstęg Moebiusa $ M_1\sqcup M_2 $ w której utożsamiamy punty $ ([z,1],1)\sim ([z,1],2) $ -- czyli dwie wstęgi Möbiusa sklejone wzdłuż brzegów.

Butelka Kleina jest przestrzenią zwarta, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $.

Dowód: W celu sprawdzenia zwartości, wystarczy zauważyć, że butelka Kleina jest przestrzenią Hausdorffa. Odwzorowanie ilorazowe $ q\colon T\to B'' $ jest homeomorfizmem na górnych i dolnych ''ćwiartkach'' torusa, które są homeomorficzne z $ \R^2 $. Czytelnik, który dobrnął do tego miejsca bez trudu wyobrazi sobie i zapisze powyższe homeomorfizmy ;). □
Uwaga Podobnie jak poprzednio rozważane powierzchnie, butelka Kleina jest topologicznie jednorodna tzn. dla każdej pary punktów istnieje homeomorfizm przeprowadzający jeden na drugi. Przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów.
Uwaga Zanurzenie butelki Kleina w przestrzeń euklidesową $ \R^4 $ opisane jest w BCPP Zad. 5.8. oraz Michał Krych, Analiza Matematyczna 2, Funkcje wielu zmiennych - ciągłość.. Poniższa, atrakcyjna wizualizacje obrazu przekształcenia butelki Kleina w $ \R^3 $ pochodzi w Wikipedii:

Twierdzenie Przekształcenie okręgu na wspólny brzeg wstęg Möbiusa $ \iota\colon S^1\to B''' $,

$$\iota (z) := [[z,1],1] = [[-z,-1],1]= [[z,1],2] = [[-z,-1],2]$$

(dwukrotne nawinięcie) definiuje monomorfizm $ \iota^*\colon H^1(B''')\to H^1(S^1) $, którego obrazem jest podgrupa cykliczna generowana przez klasę homotopii odwzorowanie stopnia 2, a więc $ H^1(B)\simeq \Z $.

Dowód: Oznaczmy $ E := \iota (S^1) = M_1\cap M_2 $ i nazwijmy ten zbiór, homeomorficzny z okręgiem, równikiem butelki Kleina. Niech $ g\colon B\to S^1 $ będzie odwzorowaniem, które po obcięciu do równika jest ściągalne. Z Tw. [link] wynika, że jest ono ściągalne na obu wstęgach Möbiusa, a więc na obu można określić jego logarytm. Ponieważ przecięcie tych wstęg jest spójne, wieć na mocy Wniosku [link] istnieje logarytm $ g $ określony na całej butelce, a więc $ g $ jest ściągalne. □
Stwierdzenie Butelka Kleina nie jest homeomorficzna (a nawet homotopijnie równoważna) ze sferą, torusem, ani płaszczyzną rzutową.
Dowód: Grupy kohomologii wymienionych przestrzeni nie są izomorficzne, a więc nie są one homotopijnie równoważne. □

Zadania

Zadanie (#) [Płaszczyzna rzutowa ]

  1. Wykazać, że ''przekłuta'' płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie równoważna z okręgiem, a nawet homeomorficzna z otwartą wstęgą Möbiusa. Wskazówka. W modelu 1) lub 2) wyciąć po środku małe domknięte kółko i metodą rozcinania i sklejania pokazać homeomrofizm ze wstęgą Möbiusa. W modelu 3) wyciąć w sferze $ S^2 $ małe otoczenie bieguna północnego i południowego.

  2. Znaleźć rozkład płaszczyzny rzutowej na sumę podzbiorów   $ \RP2 = M_1\cup M_2 $ takich, że $ M_1 $ jest homeomorficzny z kołem domkniętym $ \bar B(0,1) $, $ M_2 $ z domkniętą wstęgą Möbiusa a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie [Torus]

  1. Wykazać, że przekłuty torus jest homotopijnie równoważny z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozkład torusa $ T = M_1\cup M_2 $ na sume dwóch domkniętych podprzestrzeni takich, że $ M_1 $ jest homotopijnie równoważne z bukietem $ S^1\vee S^1 $, $ M_2 $ jest homeomorficzne z domkniętym kołem $ \bar B(0,1) $ a $ M_1\cap M_2 $ jest homeomorficzne z okręgiem .
Zadanie [Butelka Kleina] Butelkę Kleina definiujemy jako przestrzeń ilorazową $ B:=[-1,1]\times [-1,1]/\sim $ gdzie $ (1,t)\sim (-1,-t) $ oraz $ (s,1)\sim (s,-1) $.

  1. Zauważyć, że: $ B $ jest przestrzenią zwartą i spójną i dowolny jej punkt ma otoczenie homeomorficzne z $ \R^2 $. Zauważyć, że przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów $ S^1\vee S^1 $.
  2. Znaleźć rozklad butelki Kleina na sumę podzbiorów $ B=M_1\cup M_2 $ z których każdy jest homeomorficzny z domkniętą wstęgą Möbiusa, a $ M_1\cap M_2 $ z okręgiem $ S^1 $.
Zadanie Przedstawmy wstęgę Möbiusa jako przestrzeń ilorazową walca $ S^1\times [-1,1] $ w którym utożsamiono punkty antypodyczne $ (z,t)\sim (-z,-t) $. Zauważ, że rzutowanie na równik wstęgi $ p\colon M\to S^1 $ jest dane wzorem $ p([z,t]) = z^2 $ i udowodnij, że jest homotopijną równoważnością.
Zadanie Wykaż, że płaszczyzna rzutowa $ \RP(2) := S^2/ \{x\sim -x\} $ po usunięciu punktu jest homeomorficzna ze wstegą Möbiusa, a zatem homotopijnie równoważna z okręgiem. Wywnioskuj stąd, że płaszczyzna rzutowa nie jest homeomorficzna ze sferą.
Zadanie Wykazać, że (otwarta) wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times (-1,1) $. Wskazówka. Jednopunktowe uzwarcenia tych przestrzeni, czyli $ \RP2 $ i $ S^1\times [-1,1]/A $ gdzie \newline $ A:=S^1\times\{0\}\cup S^1\times\{1\} $ nie są homeomorficzne.
Zadanie Wykazać, że domknięta wstęga Möbiusa nie jest homeomorficzna z walcem $ S^1\times [-1,1] $. Wskazówka. Wskazać punkty wstęgi Möbiusa i walca, po których usunięciu są one nadal homotopijnie równoważne z okręgiem i takie, których usunięcie zmienia typ homotopii.
Zadanie Wykazać, że przekłuty torus i przekłuta butelka Kleina są homotopijnie równoważne (z $ S^1\vee S^1 $), ale nie są homeomorficzne. Wywnioskować stąd, że butelka Kleina nie jest homeomorficzna z żadną z następującycy przestrzeni: sferą, torusem, płaszczyną rzutową. Wskazówka. Porównać grupy kohomologii.