Ciągłość funkcji wielu zmiennych

Zajęcia z Analizy Matematycznej II poświęcone są funkcjom wielu zmiennych rzeczywistych. Dlatego zaczniemy od opisania najważniejszych z punktu widzenia podstaw Analizy własności przestrzeni $ \R^n $ i pewnych klas jej podzbiorów. Dzięki temu będziemy mogli później zobaczyć, że uogólnienia pewnych pojęć, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, są w gruncie rzeczy jasne i naturalne (choć, dla $ n> 3 $, mogą zdaniem Czytelnika mieć dość abstrakcyjny charakter).

Podkreślmy jednak, że nawet z punktu widzenia w miarę naturalnych zastosowań matematyki nie warto ograniczać studiowania funkcji $ f\colon \R^n\to\R^m $ do `fizycznych' przypadków $ n,m\in \{1,2,3\} $. Na przykład, opis temperatury, ciśnienia, prędkości wiatru i wilgotności powietrza w punktach pewnego obszaru przestrzeni $ \R^3 $ i w czasie $ t\in (t_0,t_1) $ -- a więc, po ludzku mówiąc, możliwie wierne prognozowanie pogody -- wymaga w istocie, jak widać, konstrukcji pewnego przekształcenia z podzbioru przestrzeni $ \R^4 $ w przestrzeń $ \R^6 $: temperatura, ciśnienie i wilgotność powietrza to trzy liczby, a prędkość wiatru jest wektorem o trzech współrzędnych. Choćby dlatego, ale i ze względów teoretycznych, będziemy zajmować się funkcjami $ f\colon \R^n\to\R^m $ dla dowolnych $ m,n $ naturalnych.

Topologia w $\mathbb{R}^n$. Zbiory otwarte, domknięte i zwarte

Przestrzeń kartezjańska $ n $-wymiarowa, $ \R^n $, to iloczyn $ n $ kopii prostej rzeczywistej $ \R $. Elementy przestrzeni $ \R^n $ będziemy zamiennie nazywać punktami lub wektorami i oznaczać je $ \tl{x}=(x_1,\ldots,x_n) $, $ \yy=(y_1,\ldots,y_n) $ itp., starając się - w skrypcie, nie na tablicy - konsekwentnie używać pogrubionych liter dla zasygnalizowania, że chodzi o punkt w $ \R^n $, niepogrubionych zaś dla oznaczenia współrzędnych punktu.

Norma i iloczyn skalarny

Definicja [iloczyn skalarny] (Standardowym) iloczynem skalarnym w $ \R^n $ nazywamy funkcję

\[ 	\R^n\times\R^n \ni (\xx,\yy)\longmapsto \langle \xx, \yy\rangle :=\sum_{i=1}^n x_iy_i\in \R\,. 	\]

     Jak wiadomo z wykładów Algebry Liniowej, iloczyn skalarny jest dwuliniowy (liniowy względem każdej zmiennej z osobna), symetryczny (tzn. $ \langle\xx,\yy\rangle=\langle \yy,\xx\rangle $ dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $) i dodatnio określony, tzn. $ \langle \xx,\xx\rangle>0 $ dla wszystkich $ \xx\not=\zero\in\R^n $.

Definicja [norma euklidesowa] Funkcję

\[ \R^n\ni \xx\mapsto \|x\|_2\equiv\|x\|=\biggl(\sum_{i=1}^n x_i^2\biggr)^{1/2}\ \in\  [0,\infty) \]

nazywamy normą euklidesową.

Przymiotnik euklidesowa, a także dolny indeks 2, będziemy zwykle opuszczać, pisząc po prostu $ \|\xx\| $. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że dla $ n=2 $ (odpowiednio, $ n=3 $) liczba $ \|\xx\| $ jest po prostu odległością punktu $ \xx $ od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie $ \R^2 $ (odpowiednio, w trójwymiarowej przestrzeni $ \R^3 $).

Liczbę $ \|\xx-\yy\| $ nazywamy, zgodnie z naturalną geometryczną interpretacją, odległością punktów $ \xx $ i $ \yy\in \R^n $

Stwierdzenie [własności normy i iloczynu skalarnego w $ \R^n $] $ \phantom{a} $ (#)

  1. (Nierówność trójkąta). Dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $ jest
    \[ 	\|\xx+\yy\|\le \|\xx\|+\|\yy\|\, .  	\]
  2. (Jednorodność). Dla wszystkich $ t\in \R $ i $ \xx\in\R^n $ jest $ \|t\, \xx\|=|t|\cdot \|\xx\| $.
  3. Równość $ \|\xx\|=0 $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=\zero\in \R^n $.
  4. (Nierówność Schwarza). Dla wszystkich $ \xx,\yy\in \R^n $ jest
    \[ \begin{equation} 		\label{nierSchwarza} 		|\langle \xx,\yy\rangle|\le \|\xx\|\cdot \|\yy\|\, , \end{equation} \]

    a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=t\yy $ lub $ \yy=t \xx $ dla pewnego $ t\in \R $.

Dowód: Własności (ii) oraz (iii) są oczywiste. Nierówność Schwarza i nierówność trójkąta Czytelnik miał okazję poznać wcześniej, ale naszkicujemy dla porządku krótkie dowody.

Zaczniemy od nierówności Schwarza. Niech $ t\in \R $. Z definicji normy oraz dwuliniowości i symetrii iloczynu skalarnego otrzymujemy

\[ \begin{eqnarray*} 	0 &\le & \|\xx+t\yy\|^2 = \langle \xx+t\yy ,   \xx+t\yy \rangle\\ 	& = &  \|\xx\|^2+2t\langle \xx, \yy\rangle + t^2 \|\yy\|^2\, . \end{eqnarray*} \]

Trójmian kwadratowy $ P(t)=\|\xx\|^2+2t\langle \xx, \yy\rangle + t^2 \|\yy\|^2 $ jest więc nieujemny dla każdego $ t\in\R $. Wyróżnik tego trójmianu musi zatem być niedodatni, tzn.

\[ 4 \langle \xx, \yy\rangle^2 - 4\|\xx\|^2\cdot \|\yy\|^2\le 0\, . \]

Stąd już wynika nierówność nierSchwarza. Zauważmy, że równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $ \xx=\zero $ lub $ \yy=\zero $ lub gdy $ P(t) $ ma pierwiastek, tzn. gdy $ \xx=t\yy $ dla pewnego $ t\in \R $. To jest równoważne warunkowi, podanemu w punkcie (iv).

Nierówność trójkąta łatwo wyprowadzić z nierówności Schwarza: ponieważ $ \langle \xx, \yy\rangle\le |\langle \xx, \yy\rangle|\le \|\xx\|\cdot \|\yy\| $, więc jest

\[ \begin{eqnarray*} \bigl(\|\xx\|+\|\yy\|\bigr)^2 - \|\xx+\yy\|^2 & = &\|\xx\|^2+  2\|\xx\|\cdot \|\yy\|+ \|\yy\|^2-\bigl(             \|\xx\|^2+  2\langle \xx, \yy\rangle + \|\yy\|^2\bigr) \\ &=& 2\bigl(\|\xx\|\cdot \|\yy\|-  \langle \xx, \yy\rangle \bigr)\\  &\ge& 0.          \end{eqnarray*} \]

Dowód stwierdzenia jest zakończony. □

Uwaga Ogólnie, normą w $ \R^n $ nazywa się każdą funkcję $ \|\cdot\|\colon \R^n\to [0,\infty) $, która spełnia warunki (i)-(iii) Stwierdzenia [link]. Zauważmy, że w dowodzie tego stwierdzenia wystarczyło korzystać ze związku $ \|\xx\|^2=\langle \xx,\xx\rangle $ i z tego, że przekształcenie $ (\xx,\yy)\mapsto\langle\xx,\yy\rangle $ jest dwuliniowe, symetryczne i dodatnio określone. Nie było ważne, że chodzi akurat o standardowy iloczyn skalarny. Ponadto, normy można definiować w dowolnych przestrzeniach liniowych, także nieskończonego wymiaru. Przykład, bardzo ważny zarówno w analizie, jak i w topologii, to tzw. norma supremum

\[ 	\|f\|_\infty=\sup_{x\in I} |f(x)|\, , 	\]

określona na przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na odcinku domkniętym $ I\subset \R $. Czytelnik zna tę normę z wykładów Analizy I (patrz rozdział o zbieżności jednostajnej). Inne przykłady norm spotkamy wielokrotnie później.

Wniosek Dla każdego przekształcenia dwuliniowego, symetrycznego i dodatnio określonego

\[ \R^n\times\R^n \ni (\xx,\yy)\longmapsto \langle \xx, \yy\rangle \in \R \]

funkcja $ \xx\mapsto\|\xx\|=\langle \xx,\xx\rangle^{1/2} $ jest normą na przestrzeni $ \R^n $.

Można podać inne przykłady norm.

Przykład Dla $ p\in [1,\infty) $ połóżmy

\[ 	\|\xx\|_p=\biggl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\biggr)^{1/p}, 	\]

a dla $ p=\infty $ niech

\[ \|\xx\|_\infty=\max_{i=1,\ldots,n} |x_i|\, . \]
Zadanie Wykazać, że $ \|\xx\|_p $ jest normą dla każdego $ p\in [1,\infty] $.

    Wskazówka. Dla dowodu nierówności trójkąta przypomnieć sobie nierówność H\"oldera izauważyć, że $ |x_i+y_i|^p\le |x_i|\cdot |x_i+y_i|^{p-1} + |y_i|\cdot |x_i+y_i|^{p-1} $.

Zadanie Czy dla $ p\not =2 $ norma $ \|\cdot\|_p $ pochodzi od pewnego (niekoniecznie standardowego) iloczynu skalarnego na $ \R^n $?     Wskazówka. W każdym równoległoboku suma kwadratów długości obu przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków. Zapisać to twierdzenie w języku normy i spróbować je wykorzystać.

Kule. Zbiory otwarte i domnkięte.

Definicja Kulą otwartą o środku $ \xx\in\R^n $ i promieniu $ r>0 $ nazywamy zbiór

\[ 	B(\xx, r)=\{\yy\in \R^n\colon \|\yy-\xx\|< r\}\, . 	\]

Zbiór $ \overline{B}(\xx, r)=\{\yy\in \R^n\colon \|\yy-\xx\|\le r\} $ to kula domknięta o środku $ \xx $ i promieniu $ r $.

Dla $ n=1 $ kule są po prostu przedziałami: norma euklidesowa w $ \R $ to wartość bezwzględna liczby, zaś warunki $ |y-x|<r $ i $ y\in (x-r,x+r) $ są równoważne. Kule w normie euklidesowej na płaszczyźnie $ \R^2 $ to koła: warunek $ (y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2< r^2 $ oznacza, że $ \yy=(y_1,y_2) $ leży wewnątrz okręgu o środku w punkcie $ \xx=(x_1,x_2) $ i promieniu $ r>0 $.

Definicja (#) Zbiór $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu $ \xx\in \Omega  $ istnieje promień $ r>0 $ taki, że $ B(\xx,r)\subset \Omega $.

Inaczej mówiąc, zbiór otwarty to taki zbiór, który wraz z każdym swoim punktem zawiera pewną kulę otwartą wokół tego punktu.

Przykład Cała przestrzeń $ \R^n $ jest zbiorem otwartym (dla każdego $ \xx\in \Omega=\R^n $ można wziąć w warunku z definicji np. $ r=2011 $). Zbiór pusty jest otwarty; warunek zdefinicji jest wtedy pusto spełniony. Kula otwarta $ B(\aa,r) $ jest zbiorem otwartym: jeśli $ \xx\in B(\aa,r) $ i $ 0<\rho< r-\|\xx-\aa\| $, to kula $ B(\xx,\rho)\subset B(\aa,r) $, gdyż dla $ \yy\in B(\xx,\rho) $ mamy z nierówności trójkąta

\[ \|\yy-\aa\|\le \|\yy-\xx\|+\|\xx-\aa\| < \rho + \|\xx-\aa\|< r-\|\xx-\aa\| +  \|\xx-\aa\| =r\, . \]

(Proszę samodzielnie zrobić rysunek, ilustrujący to oszacowanie). □

Stwierdzenie [własności zbiorów otwartych]$ \phantom{a} $ (#)

  1. Jeśli zbiory $ \Omega_i\subset \R^n $, gdzie $ i\in I $, a $ I $ jest dowolnym zbiorem, są otwarte, to zbiór $ \displaystyle\bigcup_{i\in I}\Omega_i $ jest otwarty.
  2. Jeśli zbiory $ \Omega_1, \Omega_2,\ldots, \Omega_N \subset \R^n $ są otwarte, to zbiór $ \displaystyle\bigcap_{i=1}^N\Omega_i $ jest otwarty.

Zauważmy od razu, że własność (ii) nie zachodzi dla nieskończonych rodzin zbiorów otwartych: przecięcie wszystkich kul $ B(\zero,1/j)\subset \R^n $, gdzie $ j=1,2,\ldots $, jest zbiorem jednopunktowym $ \{\zero\} $, a zbiór jednopunktowy w $ \R^n $ nie jest otwarty (bo każda kula otwarta w $ \R^n $ jest zbiorem nieskończonym).

Dowód: Wykażemy najpierw pierwszą własność. Jeśli $ \xx\in \bigcup_{i\in I}\Omega_i $, to $ \xx\in \Omega_{i_0} $ dla pewnego $ i_0\in I $. Ponieważ zbiór $ \Omega_{i_0} $ jest otwarty, więc istnieje $ r>0 $ takie, że $ B(\xx,r)\subset \Omega_{i_0} $. Zatem, $ B(\xx,r)\subset \bigcup_{i\in I}\Omega_i $, a więc zbiór $ \bigcup_{i\in I}\Omega_i $ jest otwarty.

Jeśli $ \xx\in \bigcap_{i=1,\ldots, N}\Omega_i $, to $ \xx\in \Omega_{i} $ dla każdego $ i=1,2,\ldots, N $. Zatem, wobec otwartości $ \Omega_i $, znajdziemy liczby $ r_i>0 $ (gdzie $ i=1,2,\ldots, N $) takie, że $ B(\xx,r_i)\subset \Omega_i $. Niech $ r>0 $ będzie najmniejszą (Tu właśnie korzystamy z tego, że zbiorów $ \Omega_i $ jest tylko skończenie wiele!) spośród liczb $ r_1,r_2,\ldots, r_N $. Mamy

\[ B(\xx,r)\subset B(\xx,r_i)\subset \Omega_i\qquad\mbox{dla każdego $i=1,2,\ldots N$,} \]

a więc $ B(\xx,r)\subset \bigcap_{i=1,\ldots, N}\Omega_i  $. □

Uwaga Rodzinę zbiorów otwartych w $ \R^n $ nazywamy topologią (euklidesową).
Definicja (#) Zbiór $ F\subset \R^n $ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie $ \R^n\setminus F $ jest zbiorem otwartym.

Cała przestrzeń $ \R^n $ i zbiór pusty są domknięte, istnieją więc zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte. Nietrudno sprawdzić, że każda kula domknięta jest zbiorem domkniętym. Nie należy oczywiście uważać, że każdy zbiór w $ \R^n $ jest albo otwarty, albo domknięty: np. przedział $ [0,1)\subset \R $ nie jest ani domknięty, ani otwarty. Podobnie, koło otwarte $ B(\zero,1)\subset \R^2 $ z dołączonym punktem $ (1,2) $ nie jest ani domknięte, ani otwarte.

Korzystając z praw de Morgana (dopełnienie iloczynu zbiorów jest sumą dopełnień, a dopełnienie sumy jest iloczynem dopełnień) i definicji zbioru domkniętego, otrzymujemy natychmiast następujący odpowiednik Stwierdzenia [link].

Stwierdzenie [własności zbiorów domkniętych]$ \phantom{a} $ (#)

  1. Jeśli zbiory $ F_i\subset \R^n $, gdzie $ i\in I $, a $ I $ jest dowolnym zbiorem, są domknięte, to zbiór $ \displaystyle\bigcap_{i\in I}F_i $ jest domknięty.
  2. Jeśli zbiory $ F_1, F_2,\ldots, F_N \subset \R^n $ są domknięte, to zbiór $ \displaystyle\bigcup_{i=1}^NF_i $ jest domknięty. □

Podamy teraz definicję zbieżnego ciągu punktów przestrzeni $ \R^n $. Czytelnik miał już z nią do czynienia dla $ n=2 $, gdy mówiliśmy o zbieżności ciągów liczb zespolonych.

Definicja Mówimy, że ciąg $ (\xx_j) \subset \R^n $ jest zbieżny do punktu $ \xx\in\R^n $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $ dla $ j\to\infty $.

Definicja ma, jak widać, bardzo naturalny sens: zbieżność $ \xx_j\to\xx $ oznacza, że odległości punktów $ \xx_j $ i $ \xx $ są zbieżne do zera dla $ j\to\infty $. Okazuje się, że badanie zbieżności ciągów punktów $ \R^n $ można sprowadzić do badania zbieżności ciągów poszczególnych współrzędnych tych punktów. (Wnikliwy Czytelnik zechce zauważyć, że do określenia pojęcia ciągu zbieżnego nie jest potrzebna metryka - wystarczy topologia. Jednak w analizie zwykle wygodniej posługiwać się jest normą lub odległością.)

Stwierdzenie Niech $ \xx_j=(x_{j,1},x_{j,2},\ldots,x_{j,n}) $ dla $ j\in \N $. Następujące warunki są równoważne:

  1. Ciąg $ (\xx_j) \subset \R^n $ jest zbieżny do punktu $ \xx=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\R^n $.
  2. Dla każdego $ i=1,2,\ldots, n\,  $ jest $ \, \lim_{j\to\infty }x_{j,i}=x_i $.

(#)

Dowód: Dla każdego $ i_0=1,2,\ldots, n\,  $ jest

\[ \begin{equation} \label{zbciagn}                       0\le |x_{j,i_0}-x_{i_0}|\le \biggl(\sum_{i=1}^n |x_{j,i}-x_i|^2\biggr)^{1/2}=\|\xx_j-\xx\|.      \end{equation} \]

Na mocy twierdzenia o trzech ciągach, warunek (i) pociąga za sobą %$ \lim_{j\to\infty} |x_{j,i_0}-x_{i_0}| =0  $, tzn. $ \lim_{j\to\infty} x_{j,i_0}=x_{i_0} $.

Na odwrót, jeśli każdy z $ n $ składników skończonej sumy w zbciagn zbiega do zera dla $ j\to \infty $, to, wobec arytmetycznych własności granicy ciągu i ciągłości pierwiastka, ciąg $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $ dla $ j\to \infty $. Zatem, warunek (ii) pociąga za sobą (i). □

Podamy jeszcze wygodną charakteryzację zbiorów domkniętych przestrzeni $ \R^n $.

Stwierdzenie (#) Następujące warunki są równoważne:

  1. Zbiór $ F\subset \R^n $ jest domknięty.
  2. Dla każdego ciągu $ (\xx_j)\subset F $, który jest zbieżny, zachodzi warunek $ \xx=\lim \xx_j\in F $.
Dowód: Obu implikacji (i) $ \Rightarrow $ (ii) oraz (ii) $ \Rightarrow $ (i) dowiedziemy przez zaprzeczenie.

Załóżmy najpierw, że $ F $ jest domknięty, ale warunek (ii) nie zachodzi. Istnieje wtedy ciąg $ (\xx_j)\subset F $, który jest zbieżny do punktu $ \xx\in \Omega= \R^n\setminus F $. Z definicji zbioru domkniętego wynika, że $ \Omega  $ jest zbiorem otwartym, tzn. dla pewnego $ r>0 $ kula $ B(\xx,r) $ jest zawarta w $ \Omega $ (i oczywiście nie ma punktów wspólnych ze zbiorem $ F=\R^n\setminus\Omega $). Jednak $ \|\xx_j-\xx\|\to 0 $, a więc $ \|\xx_j-\xx\|<r $ dla wszystkich $ j $ dostatecznie dużych; dla takich $ j $ mamy $ \xx_j\in B(\xx,r) $, tzn. $ \xx_j\not \in F $, sprzeczność.

Na odwrót, załóżmy, że (ii) zachodzi, ale $ F $ nie jest domknięty. Wówczas zbiór $ \Omega= \R^n\setminus F $ nie jest otwarty. Zaprzeczając warunkowi, podanemu w Definicji [link], wskażemy taki punkt $ \xx\in \Omega $, że dla każdego $ j\in \N $ kula $ B(\xx,1/j) $ zawiera pewien punkt $ \xx_j\not\in\Omega $, tzn. punkt $ \xx_j\in F $. (Można myśleć o tym tak: punkt $ \xx $ jest `świadkiem', że zbiór $ \Omega $ nie jest owtarty, natomiast punkt $ \xx_j $ jest `świadkiem', że kula $ B(\xx, 1/j) $ nie jest cała zawarta w $ \Omega $.) Wtedy $ \|\xx_j-\xx\|<1/j $, a więc $ F\ni \xx_j\to \xx\in \Omega=\R^n\setminus F $. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem: warunek (ii) nie zachodzi. □

Uwaga Czytelnik mógłby zadać pytanie: czy, zmieniając w definicjach normę euklidesową $ \|\cdot\|\equiv\|\cdot\|_2 $ na jakąś inną, otrzymalibyśmy w $ \R^n $ tę samą rodzinę zbiorów otwartych (i tę samą rodzinę zbiorów domkniętych)? Okazuje się, że tak: to, czy zbiór jest otwarty, nie zależy od tego, jaką normą się posłużymy, określając kule w Definicji [link]. Wrócimy do tej sprawy później, mówiąc o równoważności norm\/ w $ \R^n $. Najpierw jednak potrzebne nam będą pojęcia zbioru zwartego i funkcji ciągłej.

Zbiory zwarte.

Mówiąc o własnościach funkcji ciągłych jednej zmiennej rzeczywistej, wprowadziliśmy bardzo ważną klasę zbiorów zwartych. Tak samo definiuje się zbiory zwarte w $ \R^n $.

Definicja Zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu $ (\xx_j) \subset K $ można wybrać podciąg $ (\xx_{j_k}) $ zbieżny do pewnego punktu $ \xx\in K $.
Definicja Zbiór $ A\subset\R^n $ nazywa się ograniczony, jeśli zawiera się w pewnej kuli.
Stwierdzenie Następujące warunki są równoważne:

  1. Zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty.
  2. Zbiór $ K\subset \R^n $ jest domknięty i ograniczony.
Dowód: Dla każdego zbioru zwartego zachodzi warunek (ii) Stwierdzenia [link] (gdyż dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co cały ciąg). Dlatego zwartość pociąga za sobą domkniętość.

Gdyby zbiór $ K $ był zwarty i nieograniczony, to dla każdego $ j $ znaleźlibyśmy punkt $ \xx_j\in K\setminus B(\zero, j) $. Bez zmniejszenia ogólności, przechodząc w razie potrzeby do podciągu zbieżnego, można założyć, że $ \xx_j\to \xx\in K $. Wtedy jednak, z nierówności trójkąta i definicji granicy,

\[ j\le \|\xx_j\| \le \|\xx\|+\|\xx_j-\xx\|\to \|\xx\| < \infty\qquad \mbox{dla $j\to \infty$.} \]

To jest sprzeczność, gdyż lewa strona nie jest ograniczona.

Załóżmy teraz, że zachodzi (ii). Niech $ (\xx_j)\subset K $. Aby wskazać podciąg $ (\xx_j) $ zbieżny do pewnego punktu w $ K $, posłużymy się Stwierdzeniami [link] i [link].

Dla każdego numeru $ i=1,2,\ldots, n $ ciąg współrzędnych $ (x_{j,i})_{j=1,2,\ldots} $ jest ograniczonym ciagiem liczb rzeczywistych. Możemy wybrać podciąg $ j_{k}' $ tak, aby otrzymać zbieżność na pierwszej współrzędnej, tzn. zbieżność $ x_{j_k',1}\to x_1 $. Następnie, z $ j_k' $ można wybrać kolejny podciąg $ j_k'' $ tak, żeby otrzymać zbieżność także na drugiej współrzędnej, itd. Po $ n $ krokach wybierzemy ostatecznie podciąg $ j_k $ taki, że $ x_{j_k,i}\to x_i $ dla każdego $ i=1,2,\ldots, n $. (Czytelnik być może pamięta, że z podobnym kolejnym wybieraniem podciągów mieliśmy do czynienia w dowodzie twierdzenia Arzeli i Ascoliego - tylko tam proces nie kończył się po $ n $ krokach i trzeba było używać metody przekątniowej.) Na mocy Stwierdzenia [link], $ \xx_{j_k}\to \xx $, a na mocy Stwierdzenia [link] i domkniętości $ K $, punkt $ \xx\in K $. □

Funkcje ciągłe: definicje, własności, przykłady

Definicja Funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ \aa\in A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \eps>0 $ istnieje $ \delta>0 $ takie, że jeśli $ \xx\in A $ i $ \|\xx-\aa\|<\delta $, to $ \|f(\xx)-f(\aa)\|<\eps $.

Jak widać, jest to wierny odpowiednik definicji Cauchego funkcji ciągłej jednej zmiennej rzeczywistej. Można też definiować ciągłość funkcji wielu zmiennych, posługując się ciagową definicją Heinego: funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ \aa\in A $ wtedy itylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $ A\ni \xx_j\to \aa $ jest $ f(\xx_j)\to f(\aa) $. Dowód równoważności obu definicji jest taki sam, jak w przypadku jednowymiarowym. Nie będziemy go powtarzać.

Mówimy, że funkcja $ f $ jest ciągła na zbiorze $ A $, jeśli jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru.

Również jednostajną ciągłość funkcji wielu zmiennych definiuje się tak samo, jak w przypadku jednowymiarowym.

Definicja Funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest jednostajnie ciągła na $ A $ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $ \eps>0 $ istnieje $ \delta>0 $ takie, że jeśli $ \xx,\yy\in A $ i $ \|\xx-\yy\|<\delta $, to $ \|f(\xx)-f(\yy)\|<\eps $.

W zeszłym roku poznaliśmy trzy ogólne twierdzenia, podające własności funkcji ciagłych: twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów, twierdzenie Cantora o jednostajnej ciągłości oraz własność Darboux. Pierwsze dwa dotyczyły własności funkcji ciągłych $ f\colon \R\supset K\to \R $ na zwartych podzbiorach prostej. Przenoszą się one bez zmian, z takimi samymi dowodami, na przypadek funkcji wielu zmiennych. Oto ich sformułowania.

Twierdzenie [Weierstrassa o przyjmowaniu kresów](#) Jeśli $ K\subset \R^n $ jest niepustym zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R $ jest ciągła, to istnieją punkty $ \xx_1,\xx_2\in K $ takie, że

\[ f(\xx_1) = \sup_{K} f\, , \qquad   f(\xx_2) = \inf_{K} f\, .  \]
Twierdzenie [Cantora o jednostajnej ciągłości] Jeśli $ K\subset \R^n $ jest zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R $ jest ciągła, to $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ K $.

Wspomnijmy jeszcze, zanim przejdziemy do przykładów, że Twierdzenie [link] można traktować jako wniosek z ogólniejszego rezultatu.

Twierdzenie Jeśli $ K\subset \R^n $ jest zbiorem zwartym, a funkcja $ f\colon K\to \R^m $ jest ciągła, to zbiór $ f(K) $ jest zwarty w $ \R^m $.
Dowód: Ustalmy dowolny ciąg punktów $ (\yy_j)\subset f(K) $. Z definicji obrazu zbioru, istnieją punkty $ \xx_j\in K $ takie, że $ \yy_j=f(\xx_j) $ dla każdego $ j\in \N $. Zbiór $ K $ jest zwarty, więc istnieje podciąg $ j_k $ taki, że $ \xx_{j_k}\to \xx\in K $. Wobec ciągłości $ f $, otrzymujemy $ \yy_{j_k}=f(\xx_{j_k})\to f(\xx)\in f(K) $. Zatem, zbiór $ f(K) $ jest zwarty. □

Poznaliśmy formalną definicję ciągłości i trzy proste, choć bardzo ważne twierdzenia, opisujące własności tych funkcji. Przejdźmy teraz do przykładów.

Definicja [warunek Lipschitza] Powiemy, że funkcja $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ spełnia na zbiorze $ A $ warunek Lipschitza ze stałą $ L $ wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność

\[ 	 \|f(\xx)-f(\yy)\| \le L\|\xx-\yy\| 	\]

zachodzi dla wszystkich $ \xx,\yy\in A $.

Nieformalnie mówiąc, funkcja lipschitzowska to taka funkcja, która wszystkie odległości między punktami zwiększa co najwyżej $ L $-krotnie.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $ L $, to $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ A $.
Dowód: (Jest taki sam, jak w przypadku jednowymiarowym). Dla $ L=0 $ teza jest oczywista. Załóżmy więc, że $ L>0 $.

Niech $ \eps>0 $; weźmy $ \delta=\eps/L $. Jeśli $ \xx,\yy\in A $ i $ \|\xx-\yy\|<\delta $, to mamy wtedy

\[ \|f(\xx)-f(\yy)\|  \le L\|\xx-\yy\| < L\delta=\eps\, ,                                      \]

a zatem, dzięki dowolności $ \eps>0 $, $ f $ jest jednostajnie ciągła na $ A $. □

Przykład (#) Funkcja $ f(\xx)=x_i $, przypisująca każdemu punktowi wartość jego $ i $-tej współrzędnej, jest ciągła na $ \R^n $, gdyż spełnia warunek Lipschitza ze stałą 1. Istotnie,

\[ 	|f(\xx)-f(\yy)|= |x_i-y_i|\le \biggl(\sum_{j=1}^n |x_j-y_j|^2\biggr)^{1/2}=\|\xx-\yy\|\, . 	\]

Na przypadek wielowymiarowy przenoszą się bez żadnych istotnych zmian (analizę szczegółów w prostych dowodach pozostawiamy dla Czytelnika jako ćwiczenie) twierdzenia o ciągłości sumy, iloczynu, ilorazu czy złożenia funkcji ciągłych, które poznaliśmy dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

Sformułujmy je dla porządku.

Stwierdzenie Jeśli $ f,g\colon \R^n\supset A\to \R^m $ są ciągłe w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ f+g\colon \R^n\supset A\to \R^m $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □

Wynika stąd w szczególności, że przestrzeń funkcji ciągłych $ C(A,\R^m) $, określonych na zbiorze $ A\subset \R^n $ i przyjmujących wartości w $ \R^m $, jest przestrzenią liniową nad $ \R $.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ i $ g\colon \R^n\supset A\to \R $ są ciągłe w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ g\cdot f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □
Stwierdzenie Jeśli $ g\colon \R^n\supset A\to \R\setminus\{0\} $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $, to wówczas funkcja $ \frac 1g \colon \R^n\supset A\to \R\setminus\{0\} $ też jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □
Stwierdzenie [ciągłość złożenia] Jeśli $ f\colon \R^n\supset A\to \R^m $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $, zaś $ g\colon \R^m\subset B\to \R^k $, gdzie $ B\supset f(A) $ (tzn. wszystkie wartości funkcji $ f $ należą do dziedziny funkcji $ g $) jest ciągła w punkcie $ b=f(a) $, to wówczas funkcja $ g\circ f\colon \R^n\supset A\to \R^k $ jest ciągła w punkcie $ a\in A $. □

Wreszcie, zachodzi następujący prosty odpowiednik Stwierdzenia [link], dzięki któremu można sprowadzić badanie ciągłości odwzorowania o wartościach w $ \R^m $ do badania ciągłości poszczególnych współrzędnych tego odwzorowania.

Stwierdzenie Niech $ f=(f_1,\ldots,f_m)\colon \R^n\supset A\to \R^m $ i $ \aa\in A $. Następujące warunki są równoważne:

  1. Funkcja $ f $ jest ciągła w punkcie $ \aa $.
  2. Dla każdego $ j=1,2,\ldots, m\,  $ funkcja $ f_j $ jest ciągła w punkcie $ \aa $.

(#)

Dowód: Dla każdego $ j_0=1,2,\ldots, m $ i każdego ciągu $ (\xx_k)\subset A $, $ \xx_k\to \aa $ mamy oczywiście

\[ 0\le |f_{j_0}(\xx_k)-f_{j_0}(\aa)|\le \biggl(\sum_{j=1}^m |f_{j}(\xx_k)-f_{j}(\aa)|^2\biggr)^{1/2} = \|f(\xx_k)-f(\aa)\|\, . \]

Dlatego implikacja (i) $ \Rightarrow $ (ii) wynika natychmiast z twierdzenia o trzech ciągach, a implikacja w drugą stronę jest konsekwencją arytmetycznych własności granicy i ciągłości pierwiastka kwadratowego. □

Uwaga W powyższym stwierdzeniu ciągłość $ f_j $ wynika także stąd, że $ f_j $ jest złożeniem $ f $ i rzutu na $ j $-tą oś układu współrzędnych. To minimalnie inny sposób wypowiedzenia tego samego faktu.
Wniosek Każdy wielomian $ n $ zmiennych rzeczywistych jest funkcją ciagłą.
Dowód: To wynika natychmiast z ciągłości funkcji współrzędnych i funkcji stałej, oraz z ciągłości sumy i iloczynu funkcji ciągłych. □
Wniosek Wyznacznik macierzy jest funkcją ciągłą na zbiorze $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $ wszystkich macierzy kwadratowych $ n\times n $.
Dowód: Z permutacyjnej definicji wyznacznika wiadomo, że

\[ \det X = \sum_{\sigma\in S_n} \mathrm{sgn}\,  \sigma \cdot x_{1,\sigma(1)}x_{2,\sigma(2)}\cdot\ldots\cdot x_{n,\sigma(n)}\, , \qquad X=(x_{i,j})_{1\le i,j\le n}\, , \]

gdzie sumowanie odbywa się względem wszystkich permutacji $ \sigma\in S_n $ zbioru $ n $-ele\-men\-towego, a $ \mathrm{sgn}\,  \sigma=\pm 1 $ oznacza znak permutacji. Zatem, wyznacznik jest po prostu wielomianem $ n^2 $ zmiennych rzeczywistych (wyrazów macierzy $ X $), a więc jest funkcją ciągłą. □

Z ostatniego wniosku wynika łatwo, że zbiór wszystkich macierzy odwracalnych jest otwartym podzbiorem $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $. Wiąże się z tym następująca ważna intuicja: mała zmiana wyrazów macierzy odwracalnej daje macierz odwracalną. Sformułujmy to ściśle.

Stwierdzenie Jeśli $ f\colon \R^n\supset \Omega\to \R $ jest ciągła, a $ \Omega $ jest otwartym podzbiorem $ \R^n $, to dla każdego przedziału otwartego $ (a,b)\supset \R $ (dopuszczamy też możliwość $ a=-\infty $ lub $ b=+\infty $) zbiór $ U=f^{-1}\bigl((a,b)\bigr) $ jest otwarty. (#)
Dowód: Wybierzmy $ \xx\in U $. Znajdziemy taką liczbę $ \delta>0 $, że $ B(\xx,\delta)\subset U $, co zakończy dowód otwartości tego zbioru.

Skoro $ \xx\in U $, to z definicji $ a<f(\xx)<b $. Wybierzmy taką liczbę $ \eps>0 $, żeby przedział $ (f(\xx)-\eps,f(\xx)+\eps) $ był zawarty w $ (a,b) $. Następnie, dobierzmy $ \delta>0 $ tak, aby dla $ \|\yy-\xx\|<\delta $ zachodziła nierówność $ |f(\xx)-f(\yy)|<\eps $ (uwaga: tu właśnie korzystamy z ciągłości $ f $). Wtedy

\[ f(\yy)\in (f(\xx)-\eps,f(\xx)+\eps) \subset (a,b), \]

a więc, wprost z definicji przeciwobrazu, $ \yy\in f^{-1}\bigl((a,b)\bigr)=U $. Wykazaliśmy więc, że jeśli $ \yy\in B(\xx,\delta) $, to $ \yy\in U $, tzn. $ B(\xx,\delta)\subset U $. Zgodnie z początkową zapowiedzią, dowód jest zakończony.□

Wniosek Zbiór macierzy odwracalnych $ n\times n $ jest otwartym podzbiorem $ M_{n\times n}\simeq\R^{n^2} $.
Dowód: Zbiór, o który chodzi, jest sumą dwóch zbiorów:

\[ \{X\in M_{n\times n}\colon \det X > 0\} \qquad\mbox{oraz}\qquad \{X\in M_{n\times n}\colon \det X < 0\}. \]

Ze Stwierdzenia [link] i ciągłości wyznacznika wnioskujemy, że każdy z tych zbiorów jest otwarty, a więc ich suma też jest zbiorem otwartym. □

Ciągłość norm i przekształceń liniowych

Stwierdzenie Każde przekształcenie liniowe $ A\colon \R^n\to \R^m $ spełnia warunek Lipschitza (w szczególności: jest ciągłe). (#)
Dowód: Niech $ A=(a_{ij}) $, bez zbytnich obaw o kolizję oznaczeń, oznacza macierz przekształcenia $ A $ w standardowych bazach $ \R^n $ i $ \R^m $. Wektory standardowej bazy w $ \R^n $ będziemy oznaczać

\[ \ee_i=(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{i},0,\ldots,0)\, ,\qquad i=1,\ldots,n. \]

Zauważmy, że zapis $ \xx=(x_1,\ldots,x_n) $ oznacza tyle samo, co $ \xx=\sum x_i\ee_i $. Posługując się najpierw nierównością trójkąta i własnościami normy, następnie zaś nierównością Schwarza, łatwo sprawdzamy, że

\[ \begin{eqnarray*} \|A\xx\| & = & \biggl\|\sum_{i=1}^n x_i\, A\ee_i\biggr\|  \\            & \le &\sum_{i=1}^n |x_i|\, \cdot\,  \|A\ee_i\|  \\ & \le & \biggl(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\biggr)^{1/2}  \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}\\ & = & C\|x\|\, ,            \end{eqnarray*} \]

gdzie

\[ C\equiv C_A =   \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}  \]

jest pewną stałą, zależną tylko od przekształcenia $ A $, nie zaś od punktu $ \xx $.

Zastępując w powyższym rachunku wektor $ \xx $ wektorem $ \xx-\yy $, otrzymujemy

\[ \|A\xx-A\yy\| = \|A(\xx-\yy)\|\le C \|\xx-\yy\|, \qquad\xx,\yy\in \R^n\, . \]

Przekształcenie $ A\colon R^n\to \R^m $ spełnia więc warunek Lipschitza.□

Uwaga Definicję ciągłości można formalnie, bez najmniejszych zmian, przenieść na przypadek funkcji $ f\colon V\to W $, gdzie $ V,W $ są przestrzeniami liniowymi unormowanymi. Jednak, gdy $ V $ ma wymiar nieskończony, to istnieją przekształcenia liniowe $ A\colon V\to \R $, które nie są ciągłe. Czytelnik, zapoznawszy się do końca z treścią tego rozdziału, może samodzielnie zastanowić się nad (prostymi) przykładami.
Uwaga Stała $ C_A $, którą uzyskaliśmy w powyższym dowodzie, jest (na ogół) nieoptymalna. Zauważmy, że $ A\ee_i $ to po prostu $ i $-ta kolumna macierzy $ A $. Dlatego

\[ C_A =   \biggl(\sum_{i=1}^n \|A\ee_i\| ^2\biggr)^{1/2}=  \biggl(\sum_{i,j} a_{ij}^2\biggr)^{1/2}  \]

jest po prostu normą euklidesową macierzy $ A $, traktowanej jako wektor o $ n\cdot m $ współrzędnych. Np. dla $ n=m=3 $ i $ A=\mathrm{Id}\colon \R^3\to \R^3 $ otrzymujemy tu wynik $ C_{\mathrm{Id}}=\sqrt{3} $, a widać wszak, że dla przekształcenia identycznościowego odpowiednia nierówność zachodzi ze stałą równą $ 1 $ (i jest po prostu równością).

Zadanie Wykazać, że dla przekształcenia liniowego $ A\colon V\to W $, gdzie $ V,W $ są przestrzeniami liniowymi unormowanymi, następujące warunki są równoważne:

  1. $ A $ jest ciągłe na $ V $;
  2. $ A $ jest ciągłe w jednym punkcie przestrzeni $ V $;
  3. Istnieje taka stała $ C $, że $ \|A\xx\|\le C\|\xx\| $ dla wszystkich $ \xx\in V $.

Nietrudno sprawdzić, że wśród wszystkich stałych, spełniających warunek (iii) z powyższego zadania, istnieje zawsze najmniejsza (nierówności nieostre zachowują się w granicy). Tę stałą nazywamy normą (lub normą operatorową) przekształcenia liniowego $ A $ i oznaczamy $ \|A\| $. Ma ona poglądową interpretację geometryczną: dla $ A\colon\R^n\to \R^m $ liczba $ \|A\| $ jest równa

\[ \sup_{\|\xx\|=1} \|A\xx\|\, , \]

tzn. jest długością najdłuższej półosi elipsoidy, która jest obrazem kuli jednostkowej pod działaniem przekształcenia $ A $.

Stwierdzenie Niech $ f(\xx)=\|\xx\|' $ będzie dowolną normą na przestrzeni $ \R^n $. Wówczas $ f $ spełnia warunek Lipschitza w normie euklidesowej $ \|\cdot\|\equiv\|\cdot\|_2 $. W szczególności, dowolna norma jest funkcją ciągłą na $ \R^n $.
Dowód: Dla każdego $ \xx\in \R^n $, postępując tak samo, jak w początkowej części dowodu Stwierdzenia [link], otrzymujemy

\[ \|\xx\|'=\biggl\|\sum_{i=1}^nx_i\ee_i\biggr\|'\le   \sum_{i=1}^n|x_i|\cdot\|\ee_i\|' \le \|x\|_2\cdot \biggl(\sum_{i=1}^n\bigl(\|\ee_i\|'\bigr)^2\biggr)^{1/2}=C\|x\|_2, \]

gdzie stała

\[ C=\biggl(\sum_{i=1}^n\bigl(\|\ee_i\|'\bigr)^2\biggr)^{1/2} \]

zależy tylko od nieznanej normy $ \|\cdot\|' $, nie zaś od konkretnego punktu $ \xx\in\R^n $. Dlatego, z nierówności trójkąta,

\[ \bigl|\|\xx\|'-\|\yy\|'\bigr| \le \|\xx-\yy\|' \le C \|\xx-\yy\|_2 \, , \]

tzn. funkcja $ f=\|\cdot\|' $ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $ C $. □

Definicja [równoważność norm] Powiemy, że normy $ \|\cdot\| $ i $ \|\cdot\|' $ określone na tej samej przestrzeni liniowej $ V $ są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała $ C\ge 1 $ taka, że

\[ 	\frac 1C \|\xx\|'\le \|\xx\|\le C\|\xx\|' \qquad\mbox{dla wszystkich $\xx\in V$.} 	\]
Twierdzenie Wszystkie normy na przestrzeni $ \R^n $ są równoważne.

     Dowód tego twierdzenia pozostawimy jako zadanie dla Czytelnika. Oto wskazówka: wystarczy umieć porównać każdą normę z normą euklidesową; porównanie $ \|\cdot\|'\le C\|\cdot\|_2 $ przeprowadziliśmy w ostatnim dowodzie. Wystarczy zatem wykazać, że zachodzi, być może z inną stałą, nierówność przeciwna. Można w tym celu wykorzystać twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów i fakt, że sfera $ \{\xx\in \R^n\colon x_1^2+\cdots+x_n^2=1\} $ jest zbiorem zwartym.

Inne z eleganckich zastosowań twierdzenia Weierstrassa opisuje poniższy

Przykład [dowód nierówności między średnimi] (#) Załóżmy, że $ x_1,\ldots,x_n\ge 0 $. Wykażemy nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną,

\[ \begin{equation} 	\label{AG}  \bigl(x_1x_2\ldots x_n\bigr)^{1/n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n \, ,    \end{equation} \]

a także sprawdzimy, że równość w tej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby $ x_i $ są równe.

Zauważmy najpierw, że rozważania wystarczy ograniczyć do przypadku, gdy $ x_1+x_2+\cdots+x_n=n $. To wynika z jednorodności: jeśli każdą z liczb $ x_i $ pomnożymy przez ten sam współczynnik $ t>0 $, to lewa i prawa strona AG też zostaną pomnożone przez $ t $.

Oznaczmy teraz

\[                                                              K=\{\xx\in\R^n  \colon x_i\ge 0 \mbox{ dla wszystkich $i$, a ponadto } x_1+\cdots+x_n=n\}\, . \]

Zbiór $ K $ jest zwarty. ($ K $ jest określony przez układ nierówności nieostrych, więc jego domkniętość uzysujemy np. ze Stwierdzenia , to $ \|\xx\|_\infty=\max |x_i|\le n $; stąd ograniczoność i ostatecznie zwartość $ K $." title="chardomkn). Jeśli $ \xx\in K $, to $ \|\xx\|_\infty=\max |x_i|\le n $; stąd ograniczoność i ostatecznie zwartość $ K $." class="ext">[link] Dla $ \xx\in K $ prawa strona nierówności AG jest równa 1. Wystarczy więc wykazać, że

\[ f(\xx):=x_1x_2\ldots x_n \le 1=f(1,1,\ldots, 1)\qquad \mbox{dla wszystkich $\xx\in K$,}   \]

przy czym równość zachodzi jedynie wtedy, gdy $ \xx=(1,1,\ldots,1)\in K $.

Funkcja $ f(\xx)=x_1x_2\ldots x_n $ jest ciągła, osiąga zatem w pewnym punkcie $ \aa\in K $ swój kres górny. Przypuśćmy, że ów punkt ma pewne dwie współrzędne różne, np. dla ustalenia uwagi niech $ a_1<a_2 $. Z pewnością $ \sup f\ge 1 $, więc $ a_i>0 $ dla wszystkich $ i $. Rozważmy pomocniczy punkt

\[ \aa'=\bigl((a_1+a_2)/2,(a_1+a_2)/2, a_3,\ldots,a_n\bigr). \]

Suma jego współrzędnych jest równa $ \sum a_i=n $, więc także $ \aa'\in K $. Nietrudno jednak sprawdzić, że z uwagi na ostrą nierówność $ a_1<a_2 $ jest (To w istocie nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb).

\[  \left(\frac{a_1+a_2}2\right)^2 > a_1a_2 \]

stąd zaś, ponieważ $ a_i>0 $ dla wszystkich $ i $,

\[ f(\aa')=\left(\frac{a_1+a_2}2\right)^2a_3\ldots a_n> a_1a_2a_3\ldots a_n= f(\aa)=\sup_K f\, , \]

sprzeczność. Punkt $ \aa $, w którym $ f $ osiąga największą wartość, musi więc mieć wszystkie współrzędne równe. W $ K $ jest tylko jeden taki punkt, mianowicie $ \aa=(1,1,\ldots, 1) $.

Ostatecznie więc

\[ \bigl(x_1x_2\ldots x_n\bigr)^{1/n}\le 1 \qquad \mbox{na $K$},  \]

i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ x_1=x_2=\ldots =x_n=1 $. □

Przykład (#) Rozważmy teraz funkcję dwóch zmiennych rzeczywistych daną wzorem

\[ 	f(x,y)=\left\{ 	\begin{array}{ll} 		\displaystyle\frac{yx^2}{y^2+x^4}\, , \qquad & (x,y)\not=(0,0),\\[12pt] 	   0, & (x,y)=(0,0).    \end{array}\right. \]

Funkcja $ f $ jest ciągła na $ \R^2\setminus\{\zero\}; $ to wynika z ciągłości licznika i mianownika.

Wykres funkcji $ f $ z Przykładu [link]; na rysunku jest $ x^2+y^2>1/500 $ (tzn. z dziedziny $ f $ wycięty został niewielki dysk o środku w zerze) i $ x,y\in [-1,1] $. Grubymi liniami zaznaczono parabole, złożone z punktów $ (t,t^2,1/2) $ oraz $ (t,-t^2,-1/2) $, gdzie $ t\in [-1,1] $: z dokładnością do punktów $ (0,0,\pm \frac 12) $, obie są położone na wykresie $ f $.

Na osiach układu współrzędnych w $ \R^2 $, tzn. tam, gdzie $ x=0 $ lub $ y=0 $, $ f $ przybiera wartość 0. Na prostej o równaniu $ y=kx $ funkcja $ f $ ma wartość

\[ f(x,kx)=\frac{kx^3}{k^2x^2+x^4}=\frac{kx}{k^2+x^2} \to 0\, , \qquad x\to 0. \]

Zatem, analizując zachowanie $ f $ na wszystkich prostych przechodzących przez $ \zero\in \R^2 $, nie widzimy jeszcze powodu, dla którego $ f $ miałaby być nieciągła w zerze. Jednak na paraboli o równaniu $ y=x^2 $ jest, poza punktem $ (0,0) $,

\[ f(x,x^2)= \frac{x^4}{(x^2)^2+x^4}=\frac{1}{2}. \]

Nie jest więc prawdą, że $ f(x_n,y_n)\to 0 $ dla każdego ciągu $ (x_n,y_n) $ zbieżnego do $ \zero\in \R^2 $: wystarczy wędrować do zera po paraboli i wtedy $ f(x_n,y_n)\equiv \frac 12 \not \to 0 $. □

Zbiory spójne

Aby zakończyć krótki przegląd podstawowych własności funkcji ciągłych, podamy jeszcze wielowymiarowy odpowiednik własności Darboux. Potrzebne nam będzie w tym celu pojęcie zbioru spójnego. Oto odpowiednia definicja.

Definicja Zbiór $ A\subset \R^n $ jest niespójny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwa zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ \begin{equation} 		\label{niespojny} 		\Omega_1\cap A\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap A, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \end{equation} \]

Zbiór $ B $ nazywa się spójny, jeśli nie jest niespójny.

Przykład [spójność odcinka] Sprawdzimy, że dla dowolnych punktów $ \xx,\yy\in \R^n $ odcinek

\[ [\xx,\yy]=\{\zz(t)= (1-t)\xx+t\yy\in \R^n\colon t\in [0,1]\} \]

jest zbiorem spójnym.

Dowód:Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Niech $ \Omega_1,\Omega_2 $ będą zbiorami otwartymi, spełniającymi niespojny dla $ A=[\xx,\yy] $. Bez zmniejszenia ogólności przyjmijmy, że $ \xx\in \Omega_1 $. Z otwartości $ \Omega_1 $ wynika, że punkt $ \zz(t)=(1-t)\xx+t\yy\in \Omega_1 $ dla wszystkich dostatecznie małych (Czytelnik sprawdzi, że jest tak dla $ 0\le t<\delta/\|\yy-\xx\| $, gdzie $ \delta>0 $ jest taką liczbą, że $ B(\xx,\delta)\subset\Omega_1 $.) $ t\ge 0 $. Oznaczmy teraz

\[ S_1=\{s\in [0,1]\colon \mbox{dla wszystkich $t\in [0,s]$ punkt $\zz(t)\in \Omega_1$}\}\, .  \]

To jest niepusty i ograniczony podzbiór odcinka $ [0,1] $. Niech $ \sigma=\sup S_1 $. Mamy $ \sigma \in (0,1] $. Gdyby $ \sigma<1 $, $ \sigma\in S_1 $, to odcinek $ [x,\zz(\sigma)] $ zawierałby się w $ \Omega_1 $. Biorąc $ \rho>0 $ takie, że $ B(\zz(\sigma),\rho)\subset\Omega_1 $, sprawdzamy, że

\[ \|\zz(\sigma)-\zz(s)\|=|\sigma-s|\cdot \|\xx-\yy\|<\rho \qquad\mbox{dla $|\sigma-s|<\rho/\|\xx-\yy\|$, $s\in [0,1]$,} \]

tzn. $ \zz(s)\in\Omega_1 $ dla wszystkich $ s $ dostatecznie bliskich $ \sigma $, co przeczy temu, że $ \sigma=\sup S_1 $.

Gdyby $ \sigma=1\in S_1 $, to mielibyśmy $ [\xx,\yy]\subset \Omega_1 $, co przeczy definicji niespójności: zbiory $ \Omega_i\cap [\xx,\yy] $ powinny być oba niepuste i rozłączne.

Zatem $ 0<\sigma\not\in S_1 $, stąd zaś wynika, że $ \zz(\sigma)\in \Omega_2 $. Wtedy jednak, tym razem wobec otwartości $ \Omega_2 $, dla wszystkich $ s $ dostatecznie bliskich $ \sigma $ jest $ \zz(s)\in \Omega_2 $, co przeczy równości $ \sigma=\sup S_1 $ i definicji $ S_1 $. □

Przykład [spójność łamanych] Łamaną w $ \R^n $ nazwiemy sumę skończenie wielu odcinków $ I_1 $, \ldots, $ I_N $, o tej własności, że koniec odcinka $ I_k $ jest początkiem $ I_{k+1} $ dla każdego $ k=1,2,\ldots, N-1 $. (Odcinki mogą mieć inne punkty wspólne: nie wymagamy, żeby łamana nie przecinała siebie samej).

Każda łamana też jest zbiorem spójnym. Można to wykazać na kilka sposobów. Po pierwsze, łamana jest ciągłym obrazem odcinka, a ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym (oba fakty nietrudno udowodnić samemu; szczegóły, które pojawią się na zajęciach z topologii, pozostawimy Czytelnikowi). Po drugie, można wykorzystać spójność odcinka i stosować przez indukcję następujący lemat:

Lemat Jeśli zbiory $ A,B\subset\R^n $ są spójne i $ A\cap B\not=\emptyset $, to $ S=A\cup B $ jest zbiorem spójnym.
Dowód: Przypuśćmy, że tak nie jest. Istnieją wtedy zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ \begin{equation} 			\label{niespojnysum} 			\Omega_1\cap S\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap S, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap S=\emptyset, \qquad S \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . 	\end{equation} \]

Niech $ \xx\in A\cap B $. Bez zmniejszenia ogólności, $ \xx\in \Omega_1 $. Zbiór $ A $ jest zawarty w sumie $ S $ zbiorów $ A $ i $ B $; dlatego, wobec drugiego i trzeciego warunku w niespojnysum,

\[  \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

Jednak $ A $ jest spójny, dlatego - z definicji! - któryś ze zbiorów $ \Omega_i\cap A $ musi być pusty. Ponieważ $ \xx\in A\cap\Omega_1 $, tzn. $ A\cap\Omega_1 $ nie jest pusty, więc $ A\cap\Omega_2=\emptyset $. Ponieważ $ \xx\in B, $ więc, powtarzając powyższe rozumowanie, wnioskujemy, że $ B\cap\Omega_2=\emptyset $.

Skoro jednak $ A\cap\Omega_2=B\cap\Omega_2=\emptyset $, to $ (A\cup B)\cap \Omega_2=S\cap \Omega_2=\emptyset $. Otrzymaliśmy sprzeczność z pierwszym warunkiem w niespojnysum.□

Uwaga Proszę sprawdzić, że powyższy lemat zachodzi nie tylko dla dwóch zbiorów spójnych, ale i dla dowolnej rodziny zbiorów spójnych, mających choć jeden punkt wspólny. W dowodzie trzeba dopasowac tylko oznaczenia.
Twierdzenie Załóżmy, że zbiór $ U\subset \R^n $ ma następującą własność: dla każdych $ \xx,\yy\in U $ istnieje zbiór spójny $ A\subset U $ taki, że $ \xx,\yy\in A $. Wtedy $ U $ jest spójny.
Dowód: Przypuśćmy, że $ U $ nie jest spójny. Weźmy zbiory otwarte $ \Omega_1,\Omega_2\subset\R^n $ takie, że

\[ 		\Omega_1\cap U\not=\emptyset\not=\Omega_2\cap U, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap U=\emptyset, \qquad U \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

Niech $ \xx\in \Omega_1\cap U $, $ \yy\in \Omega_2\cap U $. Dobierzmy zbiór spójny $ A\subset U $ taki, że $ \xx,\yy\in A $. Wtedy

\[ 		\Omega_1\cap A\supset\{\xx\}\not=\emptyset\not=\{\yy\}\subset\Omega_2\cap A, \qquad \Omega_1\cap\Omega_2\cap A=\emptyset, \qquad A\subset U \subset \Omega_1\cup \Omega_2\, . \]

To jednak przeczy spójności $ A $, zatem $ U $ nie może być niespójny.□

Wniosek (#) Jeśli dowolne dwa punkty zbioru $ U $ można połączyć łamaną (ogólniej: krzywą) zawartą w tym zbiorze, to $ U $ jest zbiorem spójnym.

Okazuje się, że jeśli zbiór $ U $ jest otwarty, to implikację z ostatniego wniosku można odwrócić. Zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie [spójność zbiorów otwartych] Niech $ U\subset\R^n $ będzie otwarty. Wówczas $ U $ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa punkty zbioru $ U $ można połączyć łamaną, zawartą w tym zbiorze.

     Łamane można w tym twierdzeniu zastąpić ogólniejszymi krzywymi (definiując krzywą jako ciagły obraz odcinka). Zanim przejdziemy do dowodu, podkreślmy ważną rzecz: teza tego twierdzenia nie zachodzi dla zbiorów, które nie są otwarte. Różne przykłady Czytelnik pozna na zajęciach z Topologii; w szczególności, zbiór

\[ A=\{(x,y)\in \R^2\colon x=0, -1\le y\le 1\}\ \cup\ \{(x,y)\in \R^2\colon x>0, \ y=\sin (1/x)\} \]

jest spójny, ale nie każde jego dwa punkty można połączyć krzywą zawartą w $ A $.

Dowód: Wobec Wniosku [link] wystarczy wykazać, że jeśli $ \xx\in U $, to dla każdego $ \yy\in U $ istnieje łamana zawarta w $ U $ i łącząca punkty $ \xx,\yy $.

Dla $ \xx\in U $ niech

\[ U(\xx)=\{\zz\in U\colon \mbox{istnieje łamana $L\subset U$, łącząca $\xx$ i $\zz$}\}\, . \]

Zauważmy:

\[ \begin{equation} 	\label{spojnoscUxx}   	\mbox{dla każdego $\xx\in U$ zbiór $U(\xx)$ jest niepusty, otwarty i spójny. } \end{equation} \]

Istotnie, jeśli $ z\in U(\xx)\subset U $, to wobec otwartości $ U $ pewna kula $ B(\zz,\delta)\subset U $. Każdy punkt $ \yy $ tej kuli można połączyć odcinkiem (promieniem) ze środkiem kuli, punktem $ \zz $. Dodając ten odcinek do zawartej w $ U $ łamanej o końcach $ \xx,\zz $, otrzymamy łamaną, która łączy w zbiorze $ U $ punkty $ \yy $ i $ \xx $. Dlatego $ B(\zz,\delta)\subset U(\xx) $, a więc $ U(\xx) $ jest otwarty. Spójność $ U(\xx) $ wynika z Wniosku [link]: jeśli dwa punkty $ \zz_1,\zz_2\in U(\xx) $, to istnieje łamana, łącząca je w $ U(\xx) $. Łączymy po prostu łamaną w $ U $ punkty $ \zz_1 $ i $ \xx $, a nastepnie $ \xx $ i $ \zz_2 $; każdy punkt takiej łamanej z definicji należy do $ U(\xx) $.

Rozumując podobnie, stwierdzamy, że jeśli $ U(\yy)\cap U(\xx) $ jest zbiorem niepustym, to $ \yy\in U(\xx) $, a zatem cały zbiór $ U(\yy)\subset U(\xx) $. Czytelnik sam zechce wskazać łamane, łączące odpowiednie punkty. Zamieniając rolami $ \xx $ i $ \yy $, otrzymujemy inkluzję przeciwną. Zatem:

\[ \begin{equation}  	\mbox{jeśli $U(\xx)\cap U(\yy)\not = \emptyset$, to $U(\xx)=U(\yy)$.} \label{skladowax} \end{equation} \]

Ustalmy teraz $ \xx_0\in U $. Przypuśćmy, że punktu $ \yy_0\in U $ nie można z $ \xx_0 $ połączyć łamaną. Niech $ \Omega_1 $ będzie sumą tych zbiorów $ U(\zz) $, które mają punkty wspólne z $ U(\xx_0) $. Wobec skladowax, mamy $ \Omega_1=U(\xx_0)\not=\emptyset $. Niech $ \Omega_2 $ będzie sumą tych zbiorów $ U(\zz) $, które nie mają punktów wspólnych z $ U(\xx_0) $. Z założenia, $ U(\yy_0)\subset \Omega_2 $, więc $ U\cap\Omega_2\not=\emptyset $.

Z określenia $ \Omega_1 $ i $ \Omega_2 $ wnioskujemy łatwo, że $ \Omega_1 $ i $ \Omega_2 $ są rozłączne. Są też otwarte; to wynika z otwartości $ U(\xx) $ i Stwierdzenia [link]. Są też niepuste ($ \xx_0\in \Omega_1 $, a $ \yy_0\in \Omega_2 $), a ich suma jest zbiorem $ U $. To przeczy spójności $ U $. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.□

Twierdzenie [własność Darboux](#) Załóżmy, że zbiór $ \Omega\subset \R^n $ jest otwarty i spójny, a funkcja $ f\colon \Omega\to \R $ jest ciągła. Jeśli $ \xx,\yy\in \Omega $ i

\[   f(\xx)< c <f(\yy) \]

dla pewnego $ c\in \R $, to wówczas istnieje punkt $ \zz\in \Omega $ taki, że $ f(\zz)=c $.

Dowód: Wybierzmy łamaną $ L $, która łączy w zbiorze $ \Omega $ punkty $ \xx $ i $ \yy $. Niech $ \gamma\colon [0,1]\to L $ będzie funkcją ciągłą (Można wybrać funkcję $ \gamma $, która jest kawałkami afiniczna: po prostu parametryzujemy kolejne odcinki łamanej $ L $, np. dzieląc $ [0,1] $ na tyle przedziałów, z ilu odcinków składa się $ L $.) taką, że $ \gamma(0)=\xx $ i $ \gamma(1)=\yy $.

Funkcja $ g=f\circ\gamma\colon [0,1]\to \R $ jest ciągła i spełnia

\[ g(0)=f(\gamma(0))=f(\xx) <c <f(\yy)=f(\gamma(1))=g(1)\, . \]

Dlatego istnieje $ s\in (0,1) $ takie, że $ g(s)=c $. Zatem $ f(\zz)=c $ dla $ \zz=\gamma(s) $. □

Uwaga Czytelnik zechce zauważyć, że wykazaliśmy w istocie, że przy założeniach Twierdzenia [link] punkt pośredni $ \zz $, o którym mowa w tezie, można znaleźć na każdej łamanej, łączącej w $ \Omega $ punkty $ \xx,\yy $.

Na zakończenie powiemy kilka słów o ciągłości funkcji odwrotnej do funkcji wielu zmiennych (i założeniach, których wymaga odpowiednik jednowymiarowego twierdzenia o ciągłości funkcji odwrotnej).

Twierdzenie (#) Załóżmy, że zbiór $ K\subset \R^n $ jest zwarty, a funkcja $ f\colon \R^n\supset K\to \R^m $ jest ciągła i różnowartościowa. Wówczas $ g=f^{-1}\colon \R^m\supset f(K)\to \R^n $ jest ciągła.
Dowód: Załóżmy, że $ \yy_j\to \yy\in f(K) $. Wykażemy, że $ g(\yy_j)\to g(\yy) $ dla $ j\to \infty $.

Niech $ \xx_j=g(\yy_j)\in K $. Ponieważ $ K $ jest zwarty, więc istnieje podciąg $ \xx_{j_k}\to\xx\in K $. Zatem, wobec ciągłości $ f $, ciąg $ \yy_{j_k}=f(\xx_{j_k}) $ ma granicę $ f(\xx) $, a ponieważ ciąg nie może mieć dwóch granic, więc $ f(\xx)=\yy $, tzn. $ \xx=g(\yy) $. Wiemy zatem, że $ g(\yy_{j_k})=\xx_{j_k}\to g(\yy) $.

Rozumując podobnie, można wykazać, że każdy podciąg ciągu $ g(\yy_j) $ zawiera podciąg $ g(\yy_{j_s}) $ taki, że $ g(\yy_{j_s})\to g(\yy) $. Stąd już wynika, ze cały ciąg $ g(\yy_j) $ jest zbieżny do $ g(\yy) $. □

Okazuje się, że założenie zwartości jest w Twierdzeniu [link] istotne. Oto przykłady.

Przykład Niech

\[ 	f\colon [0,\infty)\ni t\longmapsto f(t)=\exp\bigl(2\pi i \cdot   e^{-t}\bigr)\equiv \bigl(\cos 2\pi e^{-t},\sin 2\pi e^{-t} \bigr)\in \C\equiv \R^2\, . 	\]

Czytelnik bez trudu sprawdzi, że funkcja $ f $ jest ciągła różnowartościowa (to wynika z własności funkcji wykładniczej w $ \C $), a zbiorem jej wartości jest okrąg jednostkowy $ \gamma=\{(x,y)\in \R^2\colon x^2+y^2=1\} $. Jednak

\[ f(0)= (1,0) = \lim_{t\to+\infty} f(t)\,  \]

a więc funkcja odwrotna do $ f $ nie jest ciągła w $ (1,0) $.

Przykład [gęste krzywe na torusie] (#) Niech $ R>r>0 $ i niech $ F\colon \R^2\to \R^3 $ będzie dana wzorem

\[ F(\theta,\varphi) = \bigl((R+r\cos\varphi)\cos\theta,  \   (R+r\cos\varphi)\sin\theta,\ r\sin\varphi\bigr)\in \R^3\, . \]

Można sprawdzić, że obrazem funkcji $ F $ jest torus obrotowy $ \T $, który powstaje przez obrót (położonego w płaszczyźnie $ x_2=0 $) okręgu

\[ \gamma:= \{\xx\in \R^3\colon \|\xx-(R,0,0)\|=0\} \cap  \{\xx\in \R^3\colon x_2=0\} \]

wokół osi $ x_3 $ układu współrzędnych. Oczywiście, $ F $ jest ciągła. Rozpatrzmy teraz złożenie $ F $ z funkcją $  \R\ni t\longmapsto (t,at),  $ gdzie $ a $ jest (jakąkolwiek) ustaloną liczbą niewymierną, tzn. przekształcenie

\[ g(t)=F(t,at)= \bigl((R+r\cos at)\cos t,  \   (R+r\cos at)\sin t,\ r\sin at\bigr)    \]

Nietrudno sprawdzić, że $ g $ jest różnowartościowa (to wynika z niewymierności $ a $), zaś obraz funkcji $ g $, tzn. krzywa $ g(\R) $, jest gęstym (Proszę wykazać, że dla każdego $ \xx\in\T $ i każdego $ \eps>0 $ istnieją dowolnie duże liczby $ t\in \R $ takie, że $ g(t)\in\T\cap B(\xx,\eps)\setminus\{\xx\} $. Można wcześniej przypomnieć sobie dowód gęstości - dla niewymiernych $ b\in \R $ - ciągu $ c_n=nb-[nb] $ w odcinku $ [0,1] $; Czytelnik zapewne widział ten dowód podczas ćwiczeń z Analizy Matematycznej I.) podzbiorem torusa $ \T $.

Oba obrazki uzyskano dla $ R=8 $, $ r=1 $. Po lewej stronie: obraz przekształcenia $ g_1(t)=F(2t, 3t) $ to krzywa zamknięta na torusie (węzeł, nazywany trójlistnikiem). Funkcja $ g_1 $ jest okresowa.

Po prawej: obraz przekształcenia $ g_2(t)=F(t, at) $ dla $ a=1+\sqrt{5} $, $ t\in [0,15\pi] $. Funkcja $ g_2 $ jest różnowartościowa i ciągła na $ \R $, ale odwrotna do niej nie jest ciągła na zbiorze $ A=g_2(\R) $ w $ \R^3 $. Podobne krzywe na torusie nazywa się czasem obmotkami.

Z geometrycznego punktu widzenia, $ g\colon \R\to \T\subset \R^3 $ to różnowartościowe, równomierne nawinięcie (nieskończenie cienkiej i długiej) nitki na torus obrotowy.

Funkcja $ g $ jest ciągła. Jednak przekształcenie $ g^{-1} $ nie jest ciągłe w żadnym punkcie zbioru $ g(\R) $, bo dowolnie blisko punktu $ g(s) $ znajdują się punkty $ g(t) $, dla których liczba $ |t-s| $ może być dowolnie duża.

Założenie zwartościw Twierdzeniu [link] można zastąpić założeniem otwartości dziedziny oraz równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia $ f $. Zachodzi następujące twierdzenie, udowodnione przez holenderskiego matematyka L.E.J. Brouwera w 1912 roku.

Twierdzenie [Brouwera o niezmienniczości obszaru] Przypuśćmy, że zbiór $ U\subset\R^n $ jest otwarty, a funkcja $ f\colon U\to\R^n $ jest różnowartościowa i ciągła. Wtedy $ V=f(U) $ jest otwartym podzbiorem $ \R^n $, a funkcja $ f^{-1}\colon V\to U\subset \R^n $ jest ciągła.

Dowód wykracza poza ramy tego wykładu i należy do topologii, a nie do analizy.